高三第二次月考数学文试题
广西壮族自治区贵港市桂平市2024届高三下学期第二次月考试题数学试题
广西壮族自治区贵港市桂平市2024届高三下学期第二次月考试题数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲线C 的右支上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．23,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B ．231,3⎛⎤⎥ ⎝⎦C ．)3,⎡+∞⎣ D ．(1,3⎤⎦2．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．3．已知椭圆22y a +22x b =1(a >b >0)与直线1y a x b -=交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A 5-1B 3-1C 31+D 51+ 4．已知实数,x y 满足线性约束条件1020x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则1y x +的取值范围为（ ）A ．(-2,-1］B ．(-1,4］C ．[-2,4)D ．[0,4]5．ABC ∆中，25BC =D 为BC 的中点，4BAD π∠=，1AD =，则AC =（ ）A ．5B ．22C ．65D ．26．如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）A ．2017年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省．B ．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP 总量实现了增长．C ．2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D ．去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元．7．已知定义在R 上函数()f x 的图象关于原点对称，且()()120f x f x ++-=，若()11f =，则()1(2)(3)(2020)f f f f ++++=（ ）A ．0B ．1C ．673D ．6748．已知集合A ＝{x ∈N |x 2＜8x }，B ＝{2，3，6}，C ＝{2，3，7}，则()AB C ⋃＝（ ）A ．{2，3，4，5}B ．{2，3，4，5，6}C ．{1，2，3，4，5，6}D ．{1，3，4，5，6，7}9．函数cos ()cos x xf x x x+=-在[2,2]ππ-的图象大致为A ．B ．C ．D ．10．已知实数,x y 满足约束条件11220220x y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎪⎨-+≥⎪⎪--≤⎩，则23x y -的最小值是A ．2-B ．72-C ．1D ．411．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ） A ．12B ．45C ．38D ．3412．ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =，CA b =，2a =，1b =，则CD =（ ） A ．2133a b + B ．1233a b +C ．3455a b + D ．4355a b + 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题
河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题一、单选题1．已知数列{}n a 满足112n na a +=-，则11a =-，则4a =（ ） A ．3B ．53C ．75D ．152．已知α是第四象限角且3sin ,2sin cos 05αββ=--=，则tan()αβ-的值为（ ）A ．1B ．1-C ．2-D ．2113．函数()15f x x =的图象在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π24．如图，平行四边形ABCD 中，2AE EB =，DF FC =，若C B m =u u u r r ，CE n =u u ur r ，则AF =u u u r （ ）A ．1322m n +r rB ．3122m n -r rC ．1322m n -+r r D ．1322m n -r r5．已知等差数列{}n a 的公差小于0，前n 项和为n S ，若727131a a a +=-，844S =，则n S 的最大值为（ ） A ．45B ．52C ．60D ．906．设ABC V 内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知2sin sin sin ABC S A B C =△，若ABC V 的周长为1．则sin sin sin A B C ++=（ ） A ．1B ．12C ．34D ．27．设函数()()3ππ40,0,3πππ4tan ,4k x f x k k x x ωωωω⎧+⎪=⎪⎪=>∈⎨⎪+⎛⎫⎪--≠ ⎪⎪⎝⎭⎩Z ，若函数()f x 在区间π3π,88⎛⎫- ⎪⎝⎭上有且仅有1个零点，则ω的取值范围为（ ） A ．2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．210,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]0,28．已知11e e ,12()1x xax x f x x --⎧--≤⎪⎪=⎨>，()a ∈R 在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．[]2,1-B ．[]2,1--C ．(],1-∞D ．[)2,-+∞二、多选题9．以下正确的选项是（ ） A ．若a b >，c d <，则a c b d ->- B ．若a b >，c d <，则a bc d > C ．若22ac bc >，则33a b >D ．若a b >，0m >，则b m ba m a+>+ 10．设正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项正确的是（ ）A ．4945S S q S =+B ．若20252020T T =，则20231a =C ．若194a a =，则当2246a a +取得最小值时，1a D ．若21()n n n a T +>，则11a < 11．以下不等式成立的是（ ）A ．当x ∈ 0,1 时，1e ln 2x x x x+>-+B ．当x ∈ 1,+∞ 时，1e ln 2x x x x+>-+C ．当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，e sin x x x >D ．当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，e sin x x x >三、填空题12．已知平面向量a =r 2b =r ，4a b ⋅=r r ，R λ∈，则2a b λ+r r 的最小值为．13．已知函数()()2sin πcos (0)f x x x x ωωωω=->的最小正周期为π，则()f x 在区间[]2024π,2024π-上所有零点之和为．14．若定义在()(),00,-∞+∞U 上的函数() f x 满足：对任意的()(),,00,x y ∈-∞+∞U ，都有：()1x f f x f y y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当,0x y >时，还满足：()110x y f f x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则不等式()1f x x ≤-的解集为．四、解答题15．已知函数()()2e 1xf x x x =-+．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)函数()f x a ≤在[]2,1-上恒成立，求最小的整数a ．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，113a =，18,3,n n n a n a a n +-⎧=⎨⎩为奇数为偶数．(1)证明：数列{}2112n a --为等比数列； (2)若21161469n S n +=+，求n 的值．17．凸函数是数学中一个值得研究的分支，它包括数学中大多数重要的函数，如2x ，e x 等．记()f x ''为()y f x '=的导数．现有如下定理：在区间I 上()f x 为凸函数的充要条件为()()0f x x I ''≥∈． (1)证明：函数()31f x x x=-为()1,+∞上的凸函数； (2)已知函数()2()2ln ln g x ax x x x a =--∈R ．①若()g x 为[)1,+∞上的凸函数，求a 的最小值；②在①的条件下，当a 取最小值时，证明：()()31()223231x xx g x x -+≥+-+，在[)1,+∞上恒成立．18．如图，在平面直角坐标系中，质点A 与B 沿单位圆周运动，点A 与B 初始位置如图所示，A 点坐标为()1,0，π4AOB ∠=，现质点A 与B 分别以πrad /s 4，πrad /s 12的速度运动，点A 逆时针运动，点B 顺时针运动，问：(1)ls 后，扇形AOB 的面积及sin AOB ∠的值．(2)质点A 与质点B 的每一次相遇的位置记为点n P ，连接一系列点1P ，2P ，3P⋅⋅⋅构成一个封闭多边形，求该多边形的面积．19．已知函数()e xf x mx =-，()g x(1)讨论()f x 的单调性；(2)当0x ≥时，()()f x g x ≥恒成立，求m 的取值范围；(3)当0x ≥时，若()()f x ng x -的最小值是0，求m +的最大值．。
湖南省三湘名校教育联盟2024-2025学年高三上学期11月月考(第二次大联考)数学试题含答案
湖南省三湘名校教育联盟2024-2025学年高三上学期第二次大联考（11月）数学试题（答案在最后）本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本式卷和答题卡上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本式卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{40},{31}A xx B x x =-=-∣∣ ，则集合A B 中所含整数的个数为A.2 B.3C.4D.52.已知3i12iz -=+，则z 的虚部为A.75B.75-C.15-D.153.“202520251ab>”是“33a b >”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知()1sin 104θ︒+=-，则()sin 2110θ︒+=A.78B.18C.18-D.78-5.经研究表明：光源发射出来的粒子在没有被捕获之前属于光子，光子在离开光源后会与各种粒子撞击，其动量可能会改变，导致其速度降低，最终可能改变身份成为其他范围的粒子（如红外线粒子），不再能被人类的感光设备捕获.已知在某次光学实验中，实验组相关人员用人类感光设备捕获了从同一光源发射出来的两个光子A ，B ，通过数学建模与数据分析得知，此时刻在平面直角坐标系中它们的位移所对应的向量分别为(4,3),(2,10)A B s s == ，设光子B 相对光子A 的位移为s ，则s 在A s上的投影向量的坐标为A.43,55⎛⎫⎪⎝⎭B.(2,7)- C.5239,2525⎛⎫⎪⎝⎭ D.43,2525⎛⎫⎪⎝⎭6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为1,2d a =也为等差数列，则d 的值为A.2B.3C.4D.87.已知函数1()ln 2(1)x f x x m x m+=+≠+关于点(,4)n 中心对称，则曲线()y f x =在点(n m -，())f n m -处的切线斜率为A.14 B.74C.38D.1388.ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且πcos cos 2,3b Cc B A +==，则ABC 的内切圆半径的最大值为A.2B.3C.2D.1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正数x ，y 满足21x y +=，则A.81xy B.1412x y+ C.22142x y +D.1(1)4x y +10.三棱台111ABC A B C -中，112AB A B =，设AB 的中点为1,E AA 的中点为1,F A E 与BF 交于点1,G A C 与1C F 交于点H ，则A.直线GH 与直线1BB 异面B.1//GH BC C.线段AE 上存在点P ，使得1//BC 平面1A PCD.线段BE 上存在点P ，使得1//BC 平面1A PC11.设函数2()e ,x f x nx n n +=-+∈N ，记()f x 的最小值为n a ，则A.122a a >- B.1n a n +C.()()n f a f n > D.n m n ma a a +>+三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知命题：“2,20x ax ax ∀∈--<R ”为真命题，则a 的取值范围是______．13.已知P 为边长为4的正六边形ABCDEF 内部及其边界上的一点，则AP AB ⋅的取值范围是______.14.三棱锥P ABC -中，AB AC AB AC ==⊥，平面PBC ⊥平面ABC ，且PB PC =.记P ABC -的体积为V ，内切球半径为r ，则21r V-的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知函数()2cos 2,(0,π)f x x x x =+∈.（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若()f x 在π,12m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2，求m 的取值范围.16.（本小题满分15分）记首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2(1)n n S n a =+.（1）探究数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是否为单调数列；（2）求数列{}2na n a ⋅的前n 项和nT .17.（本小题满分15分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是菱形，四面体11A BC D 的体积与四面体111A B BC 的体积之差为12,A BD 的面积为（1）求点A 到平面1A BD 的距离；（2）若11111,,2A B A D A B A C BD =⊥=，求锐二面角11A BD C --的余弦值．18.（本小题满分17分）已知函数2()ln 2x f x ax ax x =+-在(0,)+∞上有两个极值点12,x x ，且21x x <.（1）求a 的取值范围；（2）当21(1,e)x x ∈时，证明：122eln ln e 1x x <+<+.19.（本小题满分17分）对于(2,3,)m m = 项数列{}n a ，若满足111m miii i a am ==-=-∑∑，则称它为一个满足“绝对值关联”的m 阶数列．（1）对于一个满足“绝对值关联”的m 阶数列{}n a .证明：存在,{1,2,,}i j m ∈ ，满足0i j a a <；（2）若“绝对值关联”的m 阶数列{}n a 还满足(1,2,,)i a i m λ=，则称{}n a 为“绝对值λ关联”的m 阶数列．①请分别写出一个满足“绝对值34关联”的4阶数列和满足“绝对值1关联”的5阶数列（不必论证，符合要求即可）；②若存在“绝对值λ关联”的n 阶数列(2)n ，求λ的最小值（最终结果用常数或含n 的式子表示）．三湘名校教育联盟•2025届高三第二次大联考•数学参考答案、提示及评分细则1.【答案】C 【解析】由题意可得{40},{31}A xx B x x =-=-∣∣ ，可得{30}A B x x =- ∣ ，故集合A B 中所含整数有3,2,1,0---，共4个，故选C.2.【答案】A 【解析】由题意可得3i (3i)(12i)32i 6i 17i 12i (12i)(12i)555z ------====++-，故17i 55z =+，其虚部为75，故选A.3.【答案】A 【解析】由202520251ab> 及指数函数的单调性可得0a b > ，令函数3()f x x =，易得()f x 单调递增，故当0a b > 时，一定有33a b >，故充分性成立，但由33a b >只能推出a b >，即必要性不成立，故“20252025a b >1 ”是“33a b >”的充分不必要条件，故选A.4.【答案】A 【解析】由题意可得()1sin 104θ︒+=-，故()()()()2sin 2110sin 90220cos 22012sin 10θθθθ︒︒︒︒︒+=++=+=-+2171248⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，故选A.5.【答案】C 【解析】由向量(4,3),(2,10)A B s s == ，可得(2,10)(4,3)(2,7)B A s AB s s ==-=-=-，所以s 在A s 上的投影向量为218135239(4,3),55252525A A A A As s s s s s ⋅-⎛⎫⋅=⨯=⋅= ⎪⎝⎭ ，故选C.6.【答案】C 【解析】易知232222n n d S a n d n d ⎛⎫-=+-+- ⎪⎝⎭也为等差数列，则232222d n d n d ⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭为完全平方，则2322(2)02d d d ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，解得4d =，故选C.7.【答案】D 【解析】因为()f x 关于点(,4)n 中心对称，所以函数1()()4ln224x n g x f x n x n x m n ++=+-=++-++为奇函数，则240n -=，即2n =，且3ln 2x y x m +=++为奇函数，所以23m +=-，解得5m =-，故1()ln 5x f x x +=+-2,7x n m -=，且6()2(1)(5)f x x x '=-+-，故切线斜率为13(7)8f '=，故选D.8.【答案】B 【解析】设ABC 的内切圆半径为r ，由题意可得cos cos 2b C c B +=，由余弦定理可得2222a b c b ab +-⋅+2222222222222a c b a b c a c b c a ac a a +-+-+-⋅=+==，而11sin ()22ABC S bc A a b c r ==++ ，故2r =⋅2bcb c ++，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，则224b c bc bc =+- ，当且仅当b c =时等号成立，而4=2()3b c bc +-，则b c +=，其中4bc ，故33222bc r b c =⋅=++=(24)t t < ，故24(2)6263t r t t -=⋅=-+ .故选B.9.【答案】AC 【解析】对于A ：因为21x y +=18xy ，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时取等号，故A 正确；对于B ：1424(2)8666x y x y x y x y x y y x +++=+=+++=+，当且仅当8x yy x =，即x =1,22y =时取等号，故B 错误；对于C ：因为22x y +，则22142x y + ，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时取等号，故C 正确；对于D ：因为2112(1)1(1)2(1)2222x y x y x y ++⎡⎤+=⨯+⨯=⎢⎥⎣⎦，当且仅当21x y =+，即1,02x y ==时取等号，这与x ，y 均为正数矛盾，故1(1)2x y +<，故D 错误，故选AC.10.【答案】AD 【解析】如图所示，对于A ，因为1BB ⊂/平面11,BC F BB 平面1BC F B =，故1BB 与平面1BC F 的交点为B ，且是唯一的.又因为B ，G ，H 三点不共线，所以GH 不经过点B ，又GH ⊂平面1BC F ，所以直线GH 与直线1BB 没有交点，即直线GH 与直线1BB 异面，故A 正确；对于B ，因为AB 的中点为1,E AA 的中点为F ，所以点G 是1A AB 的重心，:1:2FG GB =，若1//GH BC ，则1:1:2FH HC =，事实上：()()1111111222A H A C A A AC A F A C A F λλλλ==+=+=+112AC λ ，所以H 是1FC 的中点，1:1:2FH HC =不成立，故B 错误；对于CD 选项，如图，取线段BF 的中点Q ，连接1AQ 并延长，交BE于点P ，下证1//BC 平面1A PC ：由H 为1C F 的中点可知1//HQ BC ，又1BC ⊂/平面1,A PC HQ ⊂平面1A PC ，所以1//BC 平面1A PC ，故D 正确，C 错误；故选AD.11.【答案】BCD 【解析】由题意可得()e xf x n '=-，当(,ln )x n ∈-∞时，()0,()f x f x '<单调递减，当(ln ,)x n ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增，故2(ln )ln n a f n n n n n ==+-．对于A ：12212,62ln 2,22a a a a ==---=-2ln 20>，即122a a <-，故A 错误；对于B ：设函数2()1ln ,,()2ln 1F x x x x x F x x x '+=--∈=--N ，设函数1()2ln 1,()2,1g x x x g x x x '=--=- 时，则()0()g x g x '>⇒单调递增，故()(1)10g x g =>⇒ ()0()F x F x '>⇒单调递增，故22()(1)01ln 0ln 11n F x F n n n n n n n n a n =⇒--⇒+-+⇒+ ，故B 正确；对于C ：易知ln n n >，又因为()f x 在(ln ,)x n ∈+∞上单调递增，故(ln )()(1)f n f n f n <<+ ()n f a ，故()()n f a f n >，故C 正确；对于D ：[ln ln()][ln n m m n a a a m n m n m n m n +--=+-+++-ln()]n m +，只需证明ln ln()0n m n m +-+>即可，而ln ln e n n m m +=，由e 1(1)x x x >+易得e n m >(1)m n m mn m n +=++，故ln ln()0n m n m +-+>，同理可得ln ln()0m n n m +-+>，故n m n a a +>+m a ，故D 正确，故选BCD ．12.【答案】（8,0-]【解析】因为命题“2,20x ax ax ∀∈--<R ”为真命题，当0a =时，20-<成立，当0a ≠时，则280a a a <⎧⎨∆=+<⎩，解得80a -<<，故a 的取值范围是(8,0]-，故答案为(8,0]-.13.【答案】[-8，24]【解析】由题意可得AB 的模为4，根据正六边形的特征及投影的定义可以得到AP 在AB方向上的投影长度的取值范围是[2,6]-，由数量积定义可知AP AB ⋅ 等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影长度的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是[8,24]-，故答案为[8,24]-.14.62+【解析】设三棱锥P ABC -的高为h ，依题意，可取BC 中点O ，连接OA ，OP ，则OA =1,OB OC OP h ===，则PBC 的面积为1,2h BC h ABC ⋅= 的面积112OA BC ⋅=，由21PA PB h ==+可得PBA 的面积为2212h +，于是三棱锥P ABC -2211h h +++，由等体积可知)2211133r hh h +++=⨯，所以2222222122122h h h r h h ++++==+，故21r V-=2222123221122h h h h h ++-+-=+.设函数22211()2x f x x +=+，且0x >，则()f x '=()2222222212121212x x x x x x +=++++，当3,()0,()2x f x f x '<<单调递减，3()02x f x '>>，()f x 单调递增，所以3()622f x f =+ ，所以62h =时，21r V -取得最小值62+62．15.【解析】（1）由题意可得π()32cos 22sin 2,(0,)6f x x x x x π⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，………………2分令π2,(0,π)6z x x =+∈，则π13π,66z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为π13πsin ,,66y z z ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭的单调递减区间是π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…………………………………………5分且由π3π22z ，得π2π63x ，所以()f x 的单调递减区间是π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦.………………………………7分（2）当π,12x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则πππ2,2636x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为()f x 在区间π,12m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2，……9分即sin y z =在ππ,236m ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的最小值为-1，又因为π13π,66z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3ππ13π2,266m +< ……12分即2ππ3m < ，故m 的取值范围为2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.……………………………………………………………13分16.【解析】（1）由题意得2(1)n n S n a =+，当2n 时，112n n S na --=，………………………………1分两式作差得112(1),(1)n n n n n a n a na n a na --=+--=，……………………………………………………3分所以11n n a a n n -=-，则数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数数列，………………………………………………………………5分无单调性，故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是单调数列.……………………………………………………………………6分（2）由（1）可得111n a a n ==，所以n a n =，故22an n n a n ⋅=⋅．……………………………………8分所以231222322n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅ ，①……………………………………………………………10分23412122232(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，②………………………………………………12分①-②得()231112122222222(1)2,12n nn n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=---⋅- ……………14分所以1(1)2 2.n n T n +=-⋅+…………………………………………………………………………………15分17.【解析】（1）如图，连接AC 交BD 于点O ，设四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为V Sh =（其中S 为菱形ABCD 的面积，h 为四棱柱ABCD -1111A B C D 的高），…………………………………………1分所以1ABDA 的体积为111236S h V ⋅=，同理四面体111A B BC 的体积为111236S h V ⋅=……………2分又因为四边形ABCD 是菱形，所以111122AO OC AC A C ===，所以点A 到平面1A BD 的距离为点1C 到平面1A BD 距离的一半，所以四面体11A BC D 的体积是四面体1ABDA 的体积的两倍，即13V ．……4分设点A 到平面1A BD 的距离为d ，则1111233663V V V d =-==⋅………………………………5分解得3d =分（2）如图，连接1OA ，由111A B A C ⊥得1A B AC ⊥，又四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又11,,A B BD B A B BD =⊂ 平面1A BD ，所以AC ⊥平面1A BD ，又1AO ⊂平面1A BD ，所以1A O AC ⊥，………………………………………………………………………………………………8分又11,A B A D BO BD ==，所以1A O BD ⊥，…………………………………………………………9分又,,BD AC O BD AC =⊂ 平面ABCD ，所以1A O ⊥平面ABCD ，以点O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，1OA 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，由（1）知12V =，且菱形ABCD的面积为S =，所以h ==………………………………11分依题意，1(0,0,0),((0,1,0),(O C B C -，易得平面1A BD的一个法向量为(0,0)OC =，…………………………………………………12分设平面1BC D 的一个法向量为(,,)n a b c =，又1(0,1,0),(OB OC ==- ，所以100OB n OC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00b a c =⎧⎨-=⎩，取(1,0,1)n = ，…………………………………………………13分故111cos ,2||n OC n OC n OC ⋅<>===⋅ ，……………………………………………………14分故锐二面角11A BD C --的余弦值为2.…………………………………………………………………15分【评分细则】本题第二问若考生通过利用几何法来求解二面角11A BD C --的平面角为11π4A OC ∠=，或者利用余弦定理等来直接求解二面角的余弦值，只要过程合理，最终答案正确均给满分，若过程有误或证明过程不严谨酌情扣一定的分数．18【解析】(1)易得()f x 定义域为(0,),()ln f x x a x '+∞=-，显然0a ≠.…………………………1分①当0a <时，()f x '单调递增，不可能有两零点，不合题意.…………………………………………2分②当0a >时，令函数()()g x f x '=，易得()x a g x x'-=，故(0,)x a ∈时，()0,()g x g x '<单调递减(,)x a ∈+∞时，()0,()g x g x '>单调递增，……………………………………………………………4分当e a 时，有()()(1ln )0g x g a a a =- ，不可能有两零点；当e a >时，有()0,(1)10g a g <=>，由零点存在性定理可得()g x 在区间(1,)a 必有一个零点1x ．……………………………………………6分()2(2ln )g a a a a =-，令函数()2ln a a a ϕ=-，则2()10a aϕ'=->，即()a ϕ单调递增，故()(e)a ϕϕ>=e 20->，即()20g a >，故()g x 在(,)a +∞上有零点2x ，综上(e,)a ∈+∞．…8分（2）依题意有()()120g x g x ==，即1122ln ln 0x a x x a x -=-=，故得12211221ln ln ln ln x x x x a x x x x -====-2121ln x x x x -，…………………………………………………………10分因此2121122111ln ln ln 1x x x x x x x x x x ==--，令21(1,e)x t x =∈.则1ln ln 1t x t =-，同理2ln ln 1t t x t =-，故12eln ln x x +=e ln 1t t t +-，欲证122eln ln e 1x x <+<+，即证112ln (e 1)e e t t t t t --<<+++，……12分令函数1()ln 2e t m t t t -=-+，函数1()(e 1)ln ,(1,e)e t n t t t t -=+-∈+，只需证明()0,()0m t n t >>即可，又22222(e)2(e 1)(1)e 1()0(e)(e)t t t m t t t t t '+-+-+-==>++，……………………………………………………14分故()m t 是增函数，故()(1)0m t m >=，又222222(e 1)(e)1e ()e 1(e)(e)t t n t t t t t t '⎛⎫+-+==+-- ⎪++⎝⎭，令函数22e ()e 1h t t t =+--，则22e ()10h t t '=->，故()h t 单调递增，故()(1)0h t h >=，………………16分因此21()()0(e)n t h t t '=>+，故()n t 单调递增，故()(1)0n t n >=，故122eln ln e 1x x <+<+得证.17分【评分细则】第一问若考生求完导后用参变分离的方法来求参数范围，只要最终答案正确均给分，第二问也可用其他方法来证明，逻辑正确，严谨可酌情给分．19.【解析】（1）因为{}n a 为满足“绝对值关联”的m 阶数列，假设0i a ，则11110m m m m i i i i i i i i a a a a====-=-=≠∑∑∑∑1(2)m m - ，不满足题意，同理若0i a ，则111101(2)m m m mi i i i i i i i a aa a m m ====-=-+=≠-∑∑∑∑ ，也不满足题意，………………………………4分所以12,,,m a a a 中必有一些数小于0，也必有一些数大于0，不妨设121,,,0,,,,0l k k m a a a a a a +>< （其中1l k m << ），故存在{1,2,,},{,1,,}i l j k k m ∈∈+ ，满足0i j a a <．………………6分（2）①一个满足“绝对值34关联”的4阶数列为：3333,,,4444--；（答案不唯一，符合要求即可）8分一个满足“绝对值1关联”的5阶数列为：222,,,1,1333--；（答案不唯一，符合要求即可）……10分②设(1,2,,)i a i n λ= ，且111n n i i i i a an ==-=-∑∑．不妨设1212,,,0,,,,0k k k n a a a a a a ++< ，其中1k n < ，并记11,k n i i i i k a x a y ==+==∑∑，为方便起见不妨设x y （否则用i a -代替i a 即可），于是得11,n n i i i i ax y a x y ===+=-∑∑，因为111n n i i i i a a n ==-=-∑∑，即()()1x y x y n +--=-，所以11,22n n y x --=，一方面有1()2n y n k λ-=- ，另一方面12n x k λ- .所以1()n n k k n λλλ--+= ，即1n n λ- ，当且仅当n k k -=，即2n k =时等号成立.………13分（i ）当n 为偶数时，设*2,n s s =∈N ，则有前s 项为正数，后s 项为负数的数列111,,,n n n n n n --- ，111,,,n n n n n n ------ 是“绝对值1n n -关联”的n 阶数列，又1n n λ- ，所以λ的最小值为1n n -；……………………………………………………………………14分（ii ）当n 为奇数时，设*21,n s s =+∈N ，则11(),22n n y n k x k λλ--=- 等价于21s s k λ+- 且s k λ ，即λ不小于21s s k +-与s k中的最大者．……………………………………………………15分当k s =或1s +时，两者中的最大者均为1，有1λ ，当k s <或1k s >+时，有1s k >或121s s k>+-，则有1λ>，所以取k s =或1s +时，λ可能取得最小值1，且有前s 项为正数，后1s +项为负数数列1111,1,,1,,,,111n n n n n n ------+++ 符合题意，所以λ可以取得最小值1．…………………………………………………………………………………………16分综上所述λ的最小值为()*1,21,21n n s s n n s -⎧=⎪∈⎨⎪=+⎩N .……………………………………………………17分。
湖南省长沙市2025届高三上学期第二次月考数学试卷含答案
湖南2025届高三月考试卷（二）数学（答案在最后）命题人､审题人：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数11i z =+的虚部是（）A.1 B.12 C.12- D.1-【答案】C【解析】【分析】先化简给定复数，再利用虚部的定义求解即可.【详解】因为()()11i 1i 1i 1i 1i 1i 222z --====-++-，所以其虚部为12-，故C 正确.故选：C.2.已知a 是单位向量，向量b 满足3a b -= ，则b 的最大值为（）A.2B.4C.3D.1【答案】B【解析】【分析】设,OA a OB b == ，由3a b -= ，可得点B 在以A 为圆心，3为半径的圆上，利用向量的模的几何意义，可得 b 的最大值.【详解】设,OA a OB b == ，因为3a b -= ，即3OA OB BA -== ，即3AB = ，所以点B 在以A 为圆心，3为半径的圆上，又a 是单位向量，则1OA = ，故OB 最大值为134OA AB +=+= ，即 b 的最大值为4.故选：B.3.已知角θ的终边在直线2y x =上，则cos sin cos θθθ+的值为（）A.23- B.13- C.23 D.13【答案】D【解析】【分析】由角θ的终边，得tan 2θ=，由同角三角函数的关系得cos 1sin cos 1tan θθθθ=++，代入求值即可.【详解】因为角θ的终边在直线2y x =上，所以tan 2θ=.所以cos 111sin cos 1tan 123θθθθ===+++.故选：D.4.已知函数()2e 33,0,0x a x f x x a x ⎧+-<=⎨+≥⎩对任意的12,x x ∈R ，且12x x ≠，总满足以下不等关系：()()12120f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围为（）A.34a ≤ B.34a ≥ C.1a ≤ D.1a ≥【答案】D【解析】【分析】由条件判定函数的单调性，再利用指数函数、二次函数的性质计算即可.【详解】()()()12120f x f x f x x x ->⇒- 在上单调递增，又()2e 33,0,0x a x f x x a x ⎧+-<=⎨+≥⎩，当0x <时，()e 33xf x a =+-单调递增，当0x ≥时，()f x 单调递增，只需1330a a +-≤+，解得1a ≥.故选：D.5.如图，圆柱的母线长为4,,AB CD 分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且AB CD ⊥，三棱锥A BCD -的体积为83，则圆柱的表面积为（）A.10πB.9π2C.4πD.8π【答案】A【解析】【分析】取AB 的中点O ，由13A BCD OCD V S AB -=⋅△，可求解底面半径，即可求解.【详解】设底面圆半径为r ，由AB CD ⊥，易得BC AC BD AD ===，取AB 的中点O ，连接,OC OD ，则,AB OC AB OD ⊥⊥，又OC OD O,OC,OD =⊂ 平面OCD ，所以AB ⊥平面OCD ，所以，11182423323A BCD OCD V S AB r r -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，解得=1，所以圆柱表面积为22π42π10πr r +⨯=.故选:A.6.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，则23AF BF +的最小值为（）A.52+ B.5 C.10 D.11【答案】B【解析】【分析】（方法一）首先求出抛物线C 的方程为24y x =，设直线l 的方程为：1x ty =+，与抛物线C 的方程联立，利用根与系数的关系求出21x x 的值，再根据抛物线的定义知11AF x =+，21BF x =+，从而求出23AF BF +的最小值即可.（方法二）首先求出111AF BF+=，再利用基本不等式即可求解即可.【详解】（方法一）因为抛物线C 的焦点到准线的距离为2，故2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =，焦点坐标为1,0，设直线l 的方程为：()()11221,,,,x ty A x y B x y =+，不妨设120y y >>，联立方程241y x x ty ⎧=⎨=+⎩，整理得2440y ty --=，则12124,4y y t y y +==-，故221212144y y x x =⋅=，又B =1+2=1+1，2212p BF x x =+=+，则()()12122321312352525AF BF x x x x +=+++=++≥=，当且仅当12,23x x ==时等号成立，故23AF BF +的最小值为5.故选：B.（方法二）由方法一可得121x x =，则11AF BF +211111x x =+++121212211x x x x x x ++==+++，因此23AF BF +()1123AF BF AF BF ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭235AF BF BF AF =++55≥+=+，当且仅当661,123AF BF =+=+时等号成立，故23AF BF +的最小值为5.故选：B.7.设函数()()cos f x x ϕ=+，其中π2ϕ<.若R x ∀∈，都有ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则()y f x =的图象与直线114y x =-的交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】利用给定条件求出()πcos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再作出图像求解交点个数即可.【详解】对R x ∀∈，都有ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π4x =是=的一条对称轴，所以()ππZ 4k k ϕ+=∈，又π2ϕ<，所以π4ϕ=-.所以()πcos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，在平面直角坐标系中画出()πcos 4f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭与114y x=-的图象，当3π4=-x 时，3π14f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，11113π3π4164y --=⨯(-=-<-，当5π4x =时，5π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，5π5π14111461y =⨯-=->-，当9π4x =时，9π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11119π9π4416y =⨯-=-<，当17π4x =时，17π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，111117π17π4416y =⨯-=->所以如图所示，可知=的图象与直线114y x =-的交点个数为3，故C 正确.故选：C.8.已知定义域为R 的函数()(),f x g x 满足：()()()()()()00,g f x g y f y g x f x y ≠-⋅=-，且()()()()()g x g y f x f y g x y -=-，则下列说法正确的是（）A.()01f =B.()f x 是偶函数C.若()()1112f g +=，则()()2024202420242f g -=-D.若()()111g f -=，则()()202420242f g +=【答案】C【解析】【分析】对A ，利用赋值法令0,0x y ==即可求解；对B ，根据题中条件求出()f y x -，再利用偶函数定义即可求解；对C ，先根据题意求出()()001f g -=-，再找出()()11f x g x ---与()()f x g x ⎡⎤-⎣⎦的关系，根据等比数列的定义即可求解；对D ，找出()()11f x g x -+-与()()f x g x ⎡⎤+⎣⎦的关系，再根据常数列的定义即可求解.【详解】对A ，()()()()()f x g y f y g x f x y -⋅=- ，令0,0x y ==，即()()()()()00000f g f g f -⋅=，解得()00f =，故A 错；对B ，根据()()()()()f x g y f y g x f x y -=-，得()()()()()f y g x f x g y f y x -=-，即()()f y x f x y -=--，故()f x 为奇函数，故B 错；对C ，()()()()()g x g y f x f y g x y -=- 令0x y ==，即()()()()()00000g g f f g -=，()00f = ，()()200g g ∴=，又()00g ≠，()01g ∴=，()()001f g ∴-=-，由题知：()()f x yg x y ---()()()()()()()()f x g y f y g x g x g y f x f y ⎡⎤=-⋅--⎣⎦()()()()f y g y f x g x ⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦，令1y =，即()()()()()()1111f x g x f g f x g x ⎡⎤⎡⎤---=+-⎣⎦⎣⎦，()()1112f g += ，()()()()1112f xg x f x g x ⎡⎤∴---=-⎣⎦，即()(){}f xg x -是以()()001f g -=-为首项2为公比的等比数列；故()()()2024202420242024122f g -=-⨯=-，故C 正确；对D ，由题意知：()()f x yg x y -+-()()()()()()()()f xg y f y g x g x g y f x f y =-⋅+-()()()()g y f y f x g x ⎡⎤⎡⎤=-+⎣⎦⎣⎦，令1y =，得()()()()()()1111f x g x g f f x g x ⎡⎤⎡⎤-+-=-+⎣⎦⎣⎦，又()()111g f -=，即()()()()11f x g x f x g x -+-=+，即数列()(){}f xg x +为常数列，由上知()()001f g +=，故()()202420241f g +=，故D 错.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的关键是对抽象函数进行赋值，难点是C ，D 选项通过赋值再结合数列的性质进行求解.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.一个样本的方差()()()22221220133320s x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L ，则这组样本数据的总和等于60B.若样本数据1210,,,x x x 的标准差为8，则数据1221,21,x x -- ，1021x -的标准差为16C.数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23D.若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小【答案】ABD【解析】【分析】对于A ，由题意可得样本容量为20，平均数是3,从而可得样本数据的总和，即可判断；对于B ，根据标准差为8，可得方差为64，从而可得新数据的方差及标准差，即可判断；对于C ，根据百分位数的定义，求出第70百分位数，即可判断；对于D ，由题意可求得新数据的平均数及方差，即可判断.【详解】解：对于A ，因为样本的方差()()()222212201333,20s x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ 所以这个样本有20个数据，平均数是3,这组样本数据的总和为32060,⨯=A 正确；对于B ，已知样本数据1210,,,x x x 的标准差为8s =，则264s =，数据121021,21,,21x x x --- 的方差为2222264s =⨯2816=⨯=，故B 正确；对于C ，数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23共10个数，从小到大排列为12,13,14,15,17,19,23,24,27,30，由于100.77⨯=，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即232423.52+=，所以第70百分位数是23.5，故C 错误；对于D ，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，设此时这9个数的平均数为x ，方差为2S ，则2285582(55)165,2999x S ⨯+⨯+-====<，故D 正确.故选：ABD.10.已知函数()32f x ax bx =-+，则（）A.()f x 的值域为RB.()f x 图象的对称中心为()0,2C.当30b a ->时，()f x 在区间()1,1-内单调递减D.当0ab >时，()f x 有两个极值点【答案】BD【解析】【分析】利用一次函数、三次函数的性质结合分类讨论思想可判定A ，利用函数的奇偶性判定B ，利用导数研究函数的单调性结合特殊值法排除C ，利用极值点的定义可判定D.【详解】对于A ：当,a b 至少一个不为0，则()f x 为三次或者一次函数，值域均为；当,a b 均为0时，值域为{}2，错误；对于B ：函数()()32g x f x ax bx =-=-满足()()3g x ax bx g x -=-+=-，可知()g x 为奇函数，其图象关于()0,0中心对称，所以()f x 的图象为()g x 的图象向上移动两个单位后得到的，即关于0,2中心对称，正确；对于C ：()23f x ax b '=-，当30b a ->时，取1,1a b =-=-，当33,33x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，()()2310,f x x f x =-+>'在区间33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，错误；对于D ：()23f x ax b '=-，当0ab >时，()230f x ax b '=-=有两个不相等的实数根，所以函数()f x 有两个极值点，正确.故选：BD.11.我国古代太极图是一种优美的对称图.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，则下列命题中正确的是（）A.函数()sin 1f x x =+是圆22:(1)1O x y +-=的一个太极函数B.对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数C.对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，均为中心对称图形D.若函数()()3f x kx kx k =-∈R 是圆22:1O x y +=的太极函数，则()2,2k ∈-【答案】AD【解析】【分析】根据题意，对于A ，D 利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可，对于B ，C 举反例说明．【详解】对于A ，圆22:(1)1O x y +-=，圆心为0,1，()sin 1f x x =+的图象也过0,1，且0,1是其对称中心，所以()sin 1f x x =+的图象能将圆一分为二，所以A 正确；对于B,C ，根据题意圆22:1O x y +=，如图()331,332313,03231332331,332x x x f x x x x ⎧--<-⎪⎪+-≤≤=⎨⎪+<≤⎪->⎩，与圆交于点()1,0-，1,0，且在x 轴上方三角形面积与x 轴下方个三角形面积之和相等，()f x 为圆O 的太极函数，且()f x 是偶函数，所以B ，C 错误；对于D ，因为()()()()()33()f x k x k x kx kx f x k -=---=--=-∈R ，所以()f x 为奇函数，由()30f x kx kx =-=，得0x =或1x =±，所以()f x 的图象与圆22:1O x y +=的交点为()()1,0,1,0-，且过圆心()0,0，由3221y kx kx x y ⎧=-⎨+=⎩，得()2624222110k x k x k x -++-=，令2t x =，则()232222110k t k t kt -++-=，即()()222110t k t k t --+=，得1t =或22210k t k t -+=，当1t =时，1x =±，当22210k t k t -+=时，若0k =，则方程无解，合题意；若0k ≠，则()4222Δ44k k k k=-=-，若Δ0<，即204k <<时，方程无解，合题意；所以()2,2k ∈-时，两曲线共有两个交点，函数能将圆一分为二，如图，若Δ0=，即2k =±时，函数与圆有4个交点，将圆分成四部分，若Δ0>，即24k >时，函数与圆有6个交点，且均不能把圆一分为二，如图，所以()2,2k ∈-，所以D 正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解新定义，即如果一个函数过圆心，并且函数图象关于圆心中心对称，且函数将圆分成2部分，不能超过2部分必然合题．如果函数不是中心对称图形，则考虑与圆有2个交点，交点连起来过圆心，再考虑如何让面积相等．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线与抛物线22y ax ax =-+相切，则a =__________.【答案】1【解析】【分析】求出曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线方程，由该切线与抛物线22y ax ax =-+相切，联立消元，得到一元二次方程，其Δ0=，即可求得a .【详解】由2ln y x x =-，则12y x'=-，则11x y ='=，曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线方程为21y x -=-，即1y x =+，当0a ≠时，则212y x y ax ax =+⎧⎨=-+⎩，得()2110ax a x -++=，由2Δ(1)40a a =+-=，得1a =.故答案为：1.13.已知椭圆G22+22=1>>0的左､右焦点分别为12,F F ，若P 为椭圆C 上一点，11212,PF F F PF F ⊥ 的内切圆的半径为3c，则椭圆C 的离心率为______.【答案】23【解析】【分析】由内切圆半径的计算公式，利用等面积法表示焦点三角形12PF F 的面积，得到,a c 方程，即可得到离心率e 的方程，计算得到结果.【详解】由题意，可知1PF 为椭圆通径的一半，故21b PF a =，12PF F 的面积为21122b cc PF a⋅⋅=，又由于12PF F 的内切圆的半径为3c，则12PF F 的面积也可表示为()12223c a c +⋅，所以()111222223c c PF a c ⋅⋅=+⋅，即()212223b c ca c a =+⋅，整理得：22230a ac c --=，两边同除以2a ，得2320e e +-=，所以23e =或1-，又椭圆的离心率()0,1e ∈，所以椭圆C 的离心率为23.故答案为：23.14.设函数()()44xf x ax x x =+>-，若a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则()f x b >恒成立的概率为__________.【答案】58##0.625【解析】【分析】根据题意，利用基本不等式，求得2min ()1)f x =+，转化为21)b +>恒成立，结合a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，得到基本事件总数有24个，再利用列举法，求得()f x b >成立的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】因为0,4a x >>，可得40x ->，则()()441441444x f x ax ax a x a x x x =+=++=-+++---2411)a ≥++=，当且仅当4x =时，等号成立，故2min ()1)f x =+，由不等式()f x b >恒成立转化为21)b >恒成立，因为a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则构成(),a b 的所有基本事件总数有24个，又由()221)1)912,16==+，()221)1319,201)25+=+=，设事件A =“不等式()f x b >恒成立”，则事件A 包含事件：()()1,4,1,8，()()()2,4,2,8,2,12，()()()()3,4,3,8,3,12,3,16，()()()()()()4,4,4,8,4,12,4,16,4,20,4,25共15个，因此不等式()f x b >恒成立的概率为155248=.故答案为：58.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C a c A +-=-.（1）求B ；（2）若ABC 的面积为334，且2AD DC = ，求BD 的最小值.【答案】（1）π3B =（2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得()()()b c b c a c a +-=-，再结合余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，从而可求解.（2）结合ABC V 的面积可求得3ac =，再由.112333BD BC CA BA BC =+=+，平方后得，()222142993BD c a =++ ，再结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得()()()b c b c a c a +-=-，即222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为ABC V 的面积为33π,43B =，所以133sin 24ac B =，所以3ac =.因为()11123333BD BC CA BC BA BC BA BC =+=+-=+，所以()()()()22222221421441422cos 999999993BD BA BC BA BC c a ac B c a =++⋅⋅=++=++ ，所以2214212222993333c a c a ++≥⋅⋅+=，当且仅当6,2a c ==时取等号，所以BD .16.已知双曲线E 的焦点在x 轴上，离心率为233，点(在双曲线E 上，点12,F F 分别为双曲线的左､右焦点.（1）求E 的方程；（2）过2F 作两条相互垂直的直线1l 和2l ，与双曲线的右支分别交于A ，C 两点和,B D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值.【答案】（1）2213x y -=（2）6【解析】【分析】（1）由222c a b =+和3e =，及点(在双曲线E 上，求出22,a b ，即可求出E 的方程；（2）设直线()()121:2,:2l y k x l y x k =-=--，其中0k ≠，根据题中条件确定2133k <<，再将1l 的方程与2213x y -=联立，利用根与系数的关系，用k 表示AC ，BD 的长，再利用12ABCDS AC BD =，即可求出四边形ABCD 面积的最小值.【小问1详解】因为222c a b =+，又由题意得22243c e a ==，则有223a b =，又点(在双曲线E 上，故229213-=b b，解得221,3b a ==，故E 的方程为2213xy -=.【小问2详解】根据题意，直线12,l l 的斜率都存在且不为0，设直线()()121:2,:2l y k x l y x k=-=--，其中0k ≠，因为12,l l 均与E 的右支有两个交点，所以313,33k k >->，所以2133k <<，将1l 的方程与2213x y -=联立，可得()222213121230k x k x k -+--=.设()()1122,,,A x y C x y ，则2212122212123,1313k k x x x x k k---+==--，所以()222121212114AC k x k x x x x =+-=++-)22222222222311212323114113133113k k k kkk k k k k +⎛⎫---+=+-⨯+ ⎪----⎝⎭，同理)22313k BD k +=-，所以))()()()2222222223131111622313313ABCD kkk S AC BD k kkk+++==⋅⋅=⋅----.令21t k =+，所以241,,43k t t ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭，则2222166661616316161131612ABCDt S t t t t t =⋅=⋅=≥-+-⎛⎫-+---+ ⎪⎝⎭，当112t =，即1k =±时，等号成立.故四边形ABCD 面积的最小值为6.17.如图，侧面11BCC B 水平放置的正三棱台11111,24ABC A B C AB A B -==，2,P 为棱11A B 上的动点.（1）求证：1AA ⊥平面11BCC B ；（2）是否存在点P ，使得平面APC 与平面111A B C 的夹角的余弦值为53333？若存在，求出点P ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，点P 为11A B 中点【解析】【分析】（1）延长三条侧棱交于一点O ，由勾股定理证明OA OB ⊥，OA OC ⊥，根据线面垂直的判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面111A B C 和平面APC 的法向量，利用向量夹角公式求解.【小问1详解】延长三条侧棱交于一点O ，如图所示，由于11124,2AB A B BB ===22OB OA ==所以22216OA OB AB +==，所以OA OB ⊥，同理OA OC ⊥.又OB OC O = ，,OB OC ⊂平面OBC ，所以OA ⊥平面OBC ，即1AA ⊥平面11BCC B .【小问2详解】由（1）知,,OA OB OA OC OB OC ⊥⊥⊥，如图建立空间直角坐标系，则(()0,0,,0,A C，()()111,,0,A B C ，所以((1110,0,,0,,AA AC A B ==-=，()110,B C =.设)111,0,A P A B λλ===，则1AP AA =+)[]1,0,,0,1A P λ=∈，设平面111A B C 和平面APC 的法向量分别为(),,,m x y z n ==(),,r s t ，所以)01000r t λ⎧=+=⎪⎨+==⎪⎪⎩⎩，取()()1,1,1,1,,m n λλλ==+，则cos ,33m n m n m n ⋅===.整理得212870λλ+-=，即()()21670λλ-+=，所以12λ=或76λ=-（舍），故存在点P （点P 为11A B 中点时），满足题意.18.若无穷正项数列{}n a 同时满足下列两个性质：①存在0M >，使得*,n a M n <∈N ；②{}n a 为单调数列，则称数列{}n a 具有性质P .（1）若121,3nn n a n b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，（i ）判断数列{}{},n n a b 是否具有性质P ，并说明理由；（ii ）记1122n n n S a b a b a b =+++ ，判断数列{}n S 是否具有性质P ，并说明理由；（2）已知离散型随机变量X 服从二项分布()1,,02B n p p <<，记X 为奇数的概率为n c .证明：数列{}n c 具有性质P .【答案】（1）（i ）数列{}n a 不具有性质P ，数列{}n b 具有性质P ，理由见解析；（ii ）数列{}n S 具有性质P ，理由见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）判断数列是否满足条件①②，可得（i ）的结果；利用错位相减法求数列{}n n a b 的前n 项和，再判断是否满足条件①②.（2）先求数列{}n c 的通项公式，再判断是否满足条件①②.【小问1详解】（i ）因为21n a n =-单调递增，但无上限，即不存在M ，使得n a M <恒成立，所以数列不具有性质P .因为113nn b ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，又数列为单调递减数列，所以数列具有性质P .（ii ）数列{}n S 具有性质P .2112113333n n n S -=⋅+⋅++ ，23111121133333n n n S +-=⋅+⋅++ ，两式作差得23121111211222333333n n n n S +-=⋅+⋅+⋅++⋅- ，即1121121212223313333313n n n n n n S ++⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=-+-=--，所以111,3n n n S +=-<∴数列{}n S 满足条件①.(){}11210,,3nn n n n n a b n S S S +⎛⎫=->∴<∴ ⎪⎝⎭为单调递增数列，满足条件②.综上，数列{}n S 具有性质P .【小问2详解】因为*0,1,,,X n n =∈N ，若X 为奇数的概率为,n c X 为偶数的概率为n d ，()1[1]nn n c d p p +==-+001112220C (1)C (1)C (1)C (1)n n n n nn n n n p p p p p p p p --=-+-+-++- ①()001112220[1]C ()(1)C ()(1)C ()(1)C ()(1)n n n n n n n n n n p p p p p p p p p p ----=--+--+--++-- ②，2n c -=①②，即1(12)2nn p c --=.所以当102p <<时，0121p <-<，故n c 随着n 的增大而增大，且12n c <.故数列{}n c 具有性质P .19.已知函数()24e 2x f x x x-=-，()2233g x x ax a a =-+--（a ∈R 且2a <）.（1）令()()()(),x f x g x h x ϕ=-是()x ϕ的导函数，判断()h x 的单调性；（2）若()()f x g x ≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）ℎ在(),0∞-和0,+∞上单调递增；（2）(],1-∞.【解析】【分析】（1）需要二次求导，利用导函数的符号分析函数的单调性.（2）法一先利用()()22f g ≥这一特殊情况，探索a 的取值范围，再证明对()1,x ∈+∞时，()()f x g x ≥恒成立；法二利用导数工具求出函数()x ϕ的最小值()0x ϕ，同法一求证(]0,1a ∈时()00x ϕ≥，接着求证()1,2a ∈时()20ϕ<不符合题意即可得解.【小问1详解】()()()2224e 233x x f x g x x x ax a a xϕ-=-=-+-++，定义域为{}0xx ≠∣，所以()()()224e 1223x x h x x x a xϕ--==-+-'，所以()()2234e 2220x x x h x x --+=+>'.所以()h x 在(),0-∞和()0,∞+上单调递增.【小问2详解】法一：由题知()()22f g ≥即()()()2232120a a a a ϕ=-+=--≥，即1a ≤或2a ≥，所以1a ≤.下证当1a ≤时，()()f x g x ≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立.令()()24e x F x f x x x x -=+=-，则()()()()()222234e 224e 11,0x x x x x F x t x t x x x---+-'=-==>'，所以()()224e 11x x F x x --=-'在()1,+∞单调递增，又()20F '=，所以当()1,2x ∈时，()()0,F x F x '<单调递减，当()2,x ∈+∞时，()()0,F F x x '>递单调增，所以()()20F x F ≥=，故()f x x ≥-，要证()()f x g x ≥，只需证()x g x -≥，即证()223130x a x a a -+++≥，令()()22313G x x a x a a =-+++，则()()()222Δ(31)43561151a a a a a a a =+-+=-+=--，若115a ≤≤，则0∆≤，所以()()223130G x x a x a a =-+++≥.若15a <，则对称轴31425a x +=<，所以()G x 在()1,+∞递增，故()()210G x G a >=≥，综上所述，a 的取值范围为(],1-∞.法二：由题知2224e 233x x x ax a a x--≥-+--对任意的()1,x ∈+∞恒成立，即()2224e 2330x x x x ax a a xϕ-=-+-++≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立.由（1）知()()224e 1223x x x x a x ϕ--=-+-'在()1,+∞递增，又()13a ϕ'=-.①若0a ≤，则()()()10,x x ϕϕϕ'>≥'在()1,+∞递增，所以()()24110e x a ϕϕ>=-+>，符合；②若0a >，则()130a ϕ=-<'，又()112224e 14e (1)(1)(1)a a a a a a a a a ϕ--⎡⎤+=-=-+⎣⎦++'，令()124e(1)a m a a -=-+，则()()()14e 21a m a a h a -=-+='，则()14e 2a h a -'=-为单调递增函数，令()0h a '=得1ln2a =-，当()0,1ln2a ∈-时()()0,h a m a ''<单调递减，当()1ln2,a ∞∈-+时()()0,h a m a ''>单调递增，又()()10,00m m ='<'，所以当()0,1a ∈时，()()0,m a m a '<单调递减，当()1,a ∈+∞时，()()0,m a m a '>单调递增，所以()()10m a m ≥=，则()12214e (1)0(1)a a a a a ϕ-⎡⎤+'=-+≥⎣⎦+，所以(]01,1x a ∃∈+，使得()00x ϕ'=，即()0200204e 12230x x x a x ---+-=，且当()01,x x ∈时，()()0,x x ϕϕ'<单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()()0,x x ϕϕ'>单调递增，所以()()0222min 000004e 233x x x x x ax a a x ϕϕ-==-+-++.若(]0,1a ∈，同法一可证()0222000004e 2330x x x x ax a a x ϕ-=-+-++≥，符合题意.若()1,2a ∈，因为()()()2232120a a a a ϕ=-+=--<，所以不符合题意.综上所述，a 的取值范围为(],1-∞.【点睛】方法点睛：导数问题经常会遇到恒成立的问题.常见的解决思路有：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数最值问题.（2）若()0f x >恒成立，就可以讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值与最值，最终转化为()min 0f x >；若()0f x <⇔()max 0f x <.（3）若()()f x g x ≥恒成立，可转化为()()min max f x g x ≥（需在同一处取得最值）.。
山西省吕梁市孝义市2024年高三第二次(4月)月考数学试题试卷
山西省吕梁市孝义市2024年高三第二次（4月）月考数学试题试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．将函数()2sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向右平移8π个单位长度后，得到函数的图象关于直线3x π=对称，则函数()f x 在,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是（ ） A ．[1,2]-B ．[3,2]-C ．2,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[2,2]-2．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（ ）A ．203π B ．6πC ．103π D ．163π 3．复数()(1)2z i i =++的共轭复数为（ ） A ．33i -B ．33i +C ．13i +D ．13i -4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．48122+B ．60122+C ．72122+D ．845．已知向量()22cos ,3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．周期为2πD ．()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 6．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P 为双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左，右支于另一点12,,3M N PF PF =若，且260MF N ∠=，则双曲线的离心率为( ) A ．52B ．3C ．2D ．727．已知复数552iz i i=+-，则||z =（ ） A ．5B ．52C ．32D ．258．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ）A ．B ．C ．D ．9．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ） A ．12B ．45C ．38D ．3410．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2550S =，则1115a a +=（ ） A ．4B ．8C ．16D ．211．已知()()()[)3log 1,1,84,8,6x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨∈+∞⎪-⎩ 若()()120f m f x ⎡⎤--≤⎣⎦在定义域上恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．()0,∞+B ．[)1,2C ．[)1,+∞D ．()0,112．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届天津市南开中学高三上学期12月月考数学试题及答案
2024南开中学高三数学第二次月考一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合{}ln A x y x ==，{}21B y y x ==+，则()R A B ⋂=ð（ ）A. ()0,1 B. (]0,1 C. [)0,1 D. []0,12. 设数列{}n a 的公比为q ，则“10a >且01q <<”是“{}n a 是递减数列”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数()2cos e ex x x x f x -+=-的大致图像为（ ）A. B.C. D.4. 设5log 2a =，ln 2b =，0.20.5c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a c b <<B. a b c <<C. b<c<aD. c a b <<5. 设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，5a ，33a ，4a 成等差数列，则84S S 的值为（ ）A. 116 B. 117 C. 16D. 176. 已知35a b =且211a b +=，则a 的值为（ ）A. 3log 15 B. 5log 15 C. 3log 45 D. 5log 457. 我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何?”这里的“羡除”，是指由三个等腰梯形和两个全等的三角形围成的五面体．在图1所示羡除中，////AB CD EF ，10AB =，8CD =，6EF =，等腰梯形ABCD 和等腰梯形ABFE 的高分别为7和3，且这两个等腰梯形所在的平面互相垂直．按如图2的分割方式进行体积计算，得该“羡除”的体积为（ ）A. 84B. 66C. 126D. 1058. 记()n a τ表示区间[],n n a 上的偶数的个数．在等比数列{}n a n -中，14a =，211a =，则()4a τ=（ ）A. 39B. 40C. 41D. 429. 将函数πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点向右平移π4个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则（ ）A. ()g x 为奇函数 B. ()3πcos 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. ()g x 最小正周期为2πD. ()g x 的单调递增区间为5πππ,π88k k ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，Zk ∈二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 设i 是虚数单位，()12a i i bi +=+（,a b ∈R ），则b a -=_____．11. 在5223x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数是______．12. 已知直线():20l y kx k =->与圆221x y +=相切，且被圆()()2240x y a a ++=>截得的弦长为k =______；=a ______．13. 锐角α，β满足2π23αβ+=，tan tan 22αβ=-α和β中的较小角等于______．14. D 为ABC 的边AB 一点，满足2AD DB = ．记CA a = ，CB b = ，用a ，b 表示CD = ______；若的的1CD = ，且ABC 的面积为98，则ACB ∠的最小值为______．15. 若二次函数()()2121f x ax b x a =+---在区间[]2,3上存在零点，则22a b +的最小值为______．三．解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16. 在ABC 中，,,A B C 对应的边为,,a b c .已知1cos 2a C cb +=.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若4,6b c ==，求cos B 和()cos 2A B +的值.17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BC BB ===，D 为棱AB 中点．M 为线段1BC 的中点．（1）求证：1//BC 平面1ACD ；（2）求平面1ACD 与平面1C DC 的夹角的余弦值；（3）求点M 到平面1ACD 的距离．18. 椭圆22221x y a b+=的左、右顶点分别为A ，B ，上顶点为()0,2C ，左、右焦点分别为1F ，2F ，且1AF ，12F F ，1F B 成等比数列．（1）求椭圆的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，直线CM ，CN 分别与x 轴交于P ，Q 两点．若CMN CPQ S S =△△，求直线l 的斜率．19. 已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，数列{}n b 是公比不为1的等比数列，满足122a a b +=，233a a b +=，454a a b +=．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；的（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n S ；（3）若数列{}n d 满足11d =，1n n n d d b ++=，记12nk n i k d T b ==∑．是否存在整数m ，使得对任意*n ∈N 都有212n n nd mT b ≤-<成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．20. 已知函数()2e xf x a x =-，0a >且1a ≠．（1）当e a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若1a >，且()f x 存在三个零点1x ，2x ，3x ．（i ）求实数a 的取值范围；（ii ）设123x x x <<，求证：1233x x x ++>．的2024南开中学高三数学第二次月考一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】B二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．【10题答案】【答案】3．【11题答案】【答案】720【12题答案】【答案】①. ②. 4【13题答案】【答案】π6##30︒【14题答案】【答案】 ① 1233a b + ②. π2【15题答案】【答案】125三．解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【16题答案】【答案】（Ⅰ）π3A =（Ⅱ）1114-【17题答案】【答案】（1）证明见解析；（2； （3.【18题答案】【答案】（1）22154x y += （2）12-或0【19题答案】【答案】（1）21n a n =-，2n n b =（2）()12326n n S n +=-⋅+（3）存在5m =，理由见解析【20题答案】【答案】（1）e e 0x y -+=（2）（i）1a <<，（ii ）证明见解析.。
四川省内江市第六中学2022-2023学年高三上学期第二次月考《文科》数学(解析版)
内江六中2022—2023学年（上）高2023第二次月考文科数学试题第Ⅰ卷 选择题（满分60分）一、选择题（每题5分，共60分）1. 已知向量()1,2a =r ，()1,1b = ，若c a kb =+ ，且b c ⊥ ，则实数k =（ ）A. 32B. 53-C. 53D. 32-【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量坐标的线性运算得c得坐标，在根据向量垂直的坐标关系，即可得实数k 的值.【详解】解：因为向量()1,2a =r ，()1,1b = ，所以()1,2c a kb k k =+=++ ，又b c ⊥，所以120b c k k ⋅=+++= ，解得32k =-.故选：D.2. 复数13i2iz -=+的虚部为（ ）A. 75-B. 7i 5-C. 73-D. 7i 3-【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法运算化简，即可得复数的虚部.【详解】解：复数13i (13i)(2i)17i 17i 2i (2i)(2i)555z -----====--++-故z 的虚部为75-.故选：A ．3. 若集合{1A =-，0，1}，2{|1B y y x ==-，}x A ∈，则A B = （ ）A. {0} B. {1}C. {0，1}D. {0，1}-【答案】D 【解析】【分析】把A 中元素代入B 中解析式求出y 的值，确定出B ，找出两集合的交集即可．【详解】解：把A 中=1x -，0，1代入B 中得：0y =，1，即{0B =，1}，则{0A B = ，1}-，故选：D ．4. 若变量x 、y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+取最大值时的最优解是（ ）A. 5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 12,33⎛⎫⎪⎝⎭D. ()2,1-【答案】C 【解析】【分析】作出满足约束条件的可行域，平移直线20x y +=，即可得出结果.【详解】作出满足约束条件的可行域（如图中阴影部分所示）.2z x y =+可化为20x y z +-=，平移直线20x y +=，当其经过点C 时，目标函数2z x y =+取得最大值，联立21y x x y =⎧⎨+=⎩，解得13x =，23y =，故最优解是12,33⎛⎫⎪⎝⎭，故选：C.5. 若a ，b 均为实数，则“ln ln a b >”是“e e a b >”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据函数ln y x =与e x y =解不等式，即可判断.【详解】解：因为ln ln a b >，由函数ln y x =在()0,+∞上单调递增得：0a b >>又e e a b >，由于函数e x y =在R 上单调递增得：a b >由“0a b >>”是“a b >”的充分不必要条件可得“ln ln a b >”是“e e a b >”的充分不必要条件.故选：A.6. 如图是函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的图象的一部分，则函数()f x 的解析式为（ ）A. ()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. ()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. ()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由图象可确定()f x 最小正周期T ，由此可得ω；根据712f A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭可求得ϕ；由()0f =可求得A ，由此可得()f x .【详解】由图象可知：()f x 最小正周期23471T πππ⎛⎫-=⎪⎝⎭=⨯，22T πω∴==；又77sin 126f A A ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()73262k k ππϕπ∴+=+∈Z ，解得：()23k k πϕπ=+∈Z ，又02πϕ<<，3πϕ∴=，()sin 23f x A x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭，()0sin 3f A A π=== ，2A ∴=，()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.故选：B.7. 已知向量,a b 的夹角为4π，且1||4,(23)122a a b a b ⎛⎫=+⋅-= ⎪⎝⎭，则向量b 在向量a 方向上的投影是（ ）A.B. 3C. D. 1【答案】D 【解析】【分析】由题意，根据数量积的运算，化简等式，解得模长，结合投影的计算公式，可得答案.【详解】由()123122a b a b ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭，22323122a a b a b b -⋅+⋅-= ，2213122a a b b +⋅-= ，21164cos 31224b b π+⨯⋅-=，230b -= ，(30b += ，解得b = b 在向量a 方向上的投影为cos 14b π= ，故选：D.8. 蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系．用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法，现设计一个实验计算圆周率的近似值，向两直角边长分别为6和8的直角三角形中均匀投点40个．落入其内切圆中的点有22个，则圆周率π≈（ ）A.6320B.3310C.7825D.9429【答案】B 【解析】【分析】根据几何概型的计算公式和题意即可求出结果.【详解】直角三角形内切圆的直径等于两直角边的和与斜边的差，即268104r =+-=，由几何概型得2222140682π⨯≈⨯⨯，从而3310π≈.故选：B.9. 双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C （单位：A·h ），放电时间t （单位：h ）与放电电流I （单位：A ）之间关系的经验公式n C I t =⋅，其中32log 2n =为Peukert 常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流10A I =时，放电时间57h t =，则当放电电流15A I =，放电时间为（ ）A. 28h B. 28.5hC. 29hD. 29.5h【答案】B 【解析】【分析】根据题意求出蓄电池的容量C ，再把15A I =代入，结合指数与对数的运算性质即可得解.【详解】解：根据题意可得5710n C =⋅，则当15A I =时，571015n n t ⋅=⋅，所以32231log 2log 222257575728.5h 333nt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=⋅= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即当放电电流15A I =，放电时间为28.5h.故选：B .10. 已知函数()32e ,0461,0x x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，则函数()()()2232g x f x f x =--⎡⎤⎣⎦的零点个数为（ ）．A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B 【解析】【分析】首先根据()()22320f x f x --=⎡⎤⎣⎦，得到()2f x =或1()2f x =-，然后利用导数分析0x ≥时函数的单调性，结合单调性画出函数的图象，通过图象即可观察出函数零点的个数.【详解】由()()()22320g x f x f x =--=⎡⎤⎣⎦，得()2f x =或1()2f x =-.当0x ≥时，2()121212(1)f x x x x x '=-=-，所以当(0,1)x ∈，()0,()'<f x f x 单调递减；当()1,x ∈+∞，()0,()'>f x f x 单调递增，所以1x =时，()f x 有极小值(1)4611f =-+=-.又0x <时，()x f x e =，画出函数()f x 的图象如图所示，由图可知：函数()()()2232g x f x f x =--⎡⎤⎣⎦的零点个数为3.故选：B .11. 已知()f x 是定义在R 上的函数满足(4)()f x f x -=-，且满足(31)f x -为奇函数，则下列说法一定正确的是（ ）A. 函数()f x 图象关于直线=2x 对称B. 函数()f x 的周期为2C. 函数()f x 关于点1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称 D. (2023)0f =【答案】D 【解析】【分析】对于A.令2x x =+代入(4)()f x f x -=-即可判断.对于C.可考虑图像平移或者将3x 换元进行判断.对于BD.通过AB对称轴和对称中心即可判断出函数周期，继而计算出(2023)f 【详解】因为函数()f x 关于直线2x =-对称，不能确定()f x 是否关于直线2x =对称，A 错误；因为(31)f x -为奇函数，所以(31)(31)f x f x -=---，所以(1)(1)f x f x -=---，所以()(2)f x f x =---，所以函数()f x 关于点(1,0)-中心对称，故C 错误;由()(4)f x f x =--与()(2)f x f x =---得(4)(2)f x f x --=---，即(4)(2)f x f x -=--，故(4)()f x f x -=，所以函数()f x 的周期为4，故B 错误；(2023)(50641)(1)0f f f =⨯-=-=，故D 正确．故选:D的的12. 已知关于x 的不等式(e )e ->x x x x m m 有且仅有两个正整数解（其中e 2.71828= 为自然对数的底数），则实数m 的取值范围是（ ）A. 43169(,]5e 4eB. 3294(,4e 3eC. 43169[,5e 4eD. 3294[,e 3e 4【答案】D 【解析】【分析】问题转化为2(1)e x x m x +<（0x >）有且仅有两个正整数解，讨论0m ≤、0m >并构造()(1)f x m x =+、2()ex x g x =，利用导数研究单调性，进而数形结合列出不等式组求参数范围.【详解】当0x >时，由2e e 0xxx mx m -->，可得2(1)ex x m x +<（0x >），显然当0m ≤时，不等式2(1)ex x m x +<在(0,)+∞恒成立，不合题意；当0m >时，令()(1)f x m x =+，则()f x 在(0,)+∞上单调递增，令2()ex x g x =，则(2)()e xx x g x '-=，故(0,2)上()0g x '>，(2,)+∞上()0g x '<，∴()g x 在(0,2)上递增，在(2,)+∞上递减，又(0)(0)0f m g =>=且x 趋向正无穷时()g x 趋向0，故()240,e g x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，综上，(),()f x g x 图象如下：由图知：要使()()f x g x <有两个正整数解，则()()()()()()11{2233f g f g f g <<≥，即2312e 43e 94e m m m ⎧<⎪⎪⎪<⎨⎪⎪≥⎪⎩，解得32944e 3e m ≤<．故选：D【点睛】关键点点睛：问题转化为2(1)ex x m x +<（0x >）有且仅有两个正整数解，根据不等式两边的单调性及正整数解个数列不等式组求范围.第Ⅱ卷非选择题（满分90分）二、填空题（每题5分，共20分）13. 1289log 24⎛⎫+= ⎪⎝⎭______ ．【答案】116##516【解析】【分析】利用指数幂与对数运算即可求解.【详解】112388893111log 2log 8log 84236⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭.故答案为：116.14. 曲线123x y x -=+在点()1,2--处的切线方程为________．（用一般式表示）【答案】530x y -+=【解析】【分析】利用导数的几何意义即得.【详解】由123x y x -=+，得22(23)2(1)5(23)(23)x x y x x +--'==++，所以切线的斜率为255(23)k ==-+，所以所求的切线方程为(2)5[(1)]y x --=--，即530x y -+=.故答案为：530x y -+=.15. 已知π4sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.【答案】725##0.28【解析】分析】利用倍角余弦公式求得2π7cos(2)325α+=-，由诱导公式π2πsin(2cos(263αα+=-+，即可求值.【详解】22ππ167cos(212sin 12332525αα⎛⎫+=-+=-⨯=- ⎪⎝⎭，而πππ2π7sin(2cos(2)cos(2)662325ααα+=-++=-+=.故答案为：72516. 已知函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(ω>0)，若()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，且在,424ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是________.【答案】510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，令3x k πωπ+=，Z k ∈，可得52338233ππωππω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，令22232k x k ππππωπ-+≤+≤+，Z k ∈，可得f (x )在5,66ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，从而有5646240ππωππωω⎧-≤-⎪⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎪⎩，联立求解即可得答案.【详解】解：由题意，令3x k πωπ+=，Z k ∈，得x ＝33k ππω-，Z k ∈，∴f (x )的第2个、第3个正零点分别为53πω，83πω，【∴52338233ππωππω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得542ω≤<，令22232k x k ππππωπ-+≤+≤+，Z k ∈，∴52266k k x ππππωωωω-+≤≤+，Z k ∈，令k ＝0，f (x )在5,66ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴5,,42466ππππωω⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴5646240ππωππωω⎧-≤-⎪⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎪⎩，解得1003ω<≤，综上，ω的取值范围是51023ω≤≤.故答案为：510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.三、解答题（共70分）（一）必考题（共60分）17. 在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知sin sin ,2A Ca b A b +==.（1）求角B 的大小；（2）求2a c -的取值范围.【答案】（1）3π（2）()0,6【解析】【分析】（1）结合A C B π+=-，以及诱导公式、二倍角公式、正弦定理化简原式，即得解；（2）利用正弦定理，辅助角公式可化简26a c A π⎛⎫-=-⎪⎝⎭，结合A 的范围即得解【小问1详解】A CB π+=- ，sinsin 2B a b A π-∴=cos sin 2B a b A ∴=sin cos sin sin 2B A B A ∴=cos sin 2sin cos 222B B B B ∴==1sin 22B ∴=，又B 为锐角,263B B ππ∴==【小问2详解】由正弦定理4sin sin sin a b c A B C ====，214sin ,4sin 4sin 4sin 2sin 32a A c C A A A A A π⎫⎛⎫∴===-=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，128sin 2sin 6sin cos 2a c A A A A A A A ⎫∴-=--=-=-⎪⎪⎭6A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭由锐角ABC ，故20,0232A C A πππ<<<=-<故(),sin ,20,6626A A a c πππ⎛⎛⎫<<∴-∈∴-∈ ⎪ ⎝⎭⎝.18. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2512a a +=，424S S =．（1）求n a 及n S ；（2）若11n n n n a b S S ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =-，2n S n =（2）()2111n T n =-+【解析】【分析】（1）设出等差数列的首项和公差，利用等差数列的通项公式、前n 项和公式得到关于首项和公差的方程组求出1a 和d ，进而求出n a 及n S ；（2）利用（1）求出n b ，再利用裂项抵消法进行求和.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则11125124344(2)2a d a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=+⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以()12121n a n n =+-=-，()21212n n n S n n -⨯=⨯+=．【小问2详解】由（1）得：+121n a n =+，21(1)n S n +=+，则()()122221211111n n n n a n b S S n n n n +++===-⋅++，所以123n nT b b b b =+++⋅⋅⋅+()22222222111111122331114n n =-+-+-+⋅⋅-+⋅+()2111n =-+..19. 已知()2ex x a f x -=.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若()1f x x ≤-对[)1,x ∞∈+恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）10x y --=（2）1a ≥【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义以及直线方程的点斜式即可求解.（2）分离参数a ，转化成不等式恒成立问题，利用导数求最值即可.【小问1详解】当1a =时，()21ex x f x -=，()01f =-，()22(1)ex x x f x --'=，(0)1k f '∴==，所以切线方程为：11(0)y x +=⨯-，即10x y --=.【小问2详解】()1f x x ≤-恒成立，即2(1)e x a x x ≥--在[)1,x ∞∈+上恒成立，设2()(1)e x g x x x =--，()(2e )x g x x '=-，令()0g x '=，得120,ln 2x x ==，在[)1,+∞上，()0g x '<，所以函数2()(1)e x g x x x =--在[)1,+∞上单调递减，所以max ()(1)1g x g ==，max ()a g x ∴≥，故有1a ≥.20. 2022年2月4日北京冬奥运会正式开幕，“冰墩墩”作为冬奥会的吉祥物之一，受到各国运动员的“追捧”，成为新晋“网红”，尤其在我国，广大网友纷纷倡导“一户一墩”，为了了解人们对“冰墩墩”需求量，某电商平台采用预售的方式，预售时间段为2022年2月5日至2022年2月20日，该电商平台统计了2月5日至2月9日的相关数据，这5天的第x 天到该电商平台参与预售的人数y （单位：万人）的数据如下表：日期2月5日2月6日2月7日2月8日2月9日第x 天12345人数y （单位：万人）4556646872（1）依据表中的统计数据，请判断该电商平台的第x 天与到该电商平台参与预售的人数y （单位：万人）是否具有较高的线性相关程度？（参考：若0.300.75r <<，则线性相关程度一般，若0.75r ≥，则线性相关程度较高，计算r 时精确度为0.01）（2）求参与预售人数y 与预售的第x 天的线性回归方程；用样本估计总体，请预测2022年2月20日该电商平台的预售人数（单位：万人）.参考数据：()()()55211460, 6.78i i i i i y y x x y y ==-=--=≈∑∑，附：相关系数()()()121ˆˆˆ,n i i i n i i x x y y r b ay bx x x ==--===--∑∑【答案】（1）具有较高的线性相关程度（2）ˆ 6.641.2yx =+，146.8万人【解析】【分析】（1）根据已知数据计算出相关系数r 可得；（2）由已知数据求出回归方程的系数得回归方程，然后在回归方程中令16x =代入计算可得估计值．【小问1详解】由表中数据可得1234545566468723,6155x y ++++++++====，所以()52110i i x x =-=∑又()()()55211460,66i i i i i y y x x y y ==-=--=∑∑所以0.970.75nx x y y r --==≈>所以该电商平台的第x 天与到该电商平台参与预售的人数y （单位：万人）具有较高的线性相关程度即可用线性回归模型拟合人数y 与天数x 之间的关系.【小问2详解】由表中数据可得()()()12166ˆ 6.610ni ii n i i x x y y b x x ==--===-∑∑则ˆˆ61 6.6341.2a y bx=-=-⨯=所以ˆ 6.641.2yx =+令16x =，可得ˆ 6.61641.2146.8y=⨯+=（万人）故预测2022年2月20日该电商平台预售人数146.8万人21. 已知()()2e 2ln x f x x a x x =-+（1）当e a =时，求()f x 的单调性；（2）讨论()f x 的零点个数．【答案】（1）()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增； （2）当0e ≤<a ，0个零点；当e a =或a<0，1个零点；e a >，2个零点【解析】【分析】（1）求出函数的导函数()()e 2e x f x x x x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，可得()10f '=，令()e e x g x x x =-，利用导数说明()g x 的单调性，即可求出()f x 的单调区间；（2）依题意可得()()2ln e 2ln 0x x f x a x x +=-+=，令2ln t x x =+，则问题转化为e t at =，R t ∈，利用零点存在定理结合单调性可判断方程的解的个数.【小问1详解】解：因为e a =，0x >，()()2e e 2ln x f x x x x =-+所以()()()()()2e 22e 2e e 12e 2e x x x x f x x x x x x x x x x +⎛⎫⎛⎫'=+-+=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()10f '=令()e e xg x x x =-，()()2e 1e 0x g x x x '=++>，所以()g x 在()0,+∞单增，且()10g =，当()0,1∈x 时()e e 0x g x x x =-<，当()1,x ∈+∞时()e e 0x g x x x =->，所以当()0,1∈x 时()0f x ¢<，当()1,x ∈+∞时()0f x ¢>，所以()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增【小问2详解】解：因为()()()2ln 2ln e e 2ln e 2ln 0x x x x f x a x x a x x +=⋅-+=-+=令2ln t x x =+，易知2ln t x x =+在()0,+∞上单调递增，且R t ∈，故()f x 零点转化为()()2ln e 2ln e 0x x t f x a x x at +=-+=-=即e t at =，R t ∈，的设()e t g t at =-，则()e tg t a '=-，当0a =时，()e tg t =无零点；当a<0时，()e 0t g t a '=->，故()g t 为R 上的增函数，而()010g =>，11e 10a g a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故()g t 在R 上有且只有一个零点；当0a >时，若(),ln t a ∈-∞，则()0g t '<；()ln ,t a ∈+∞，则()0g t '>；故()()()min ln 1ln g t g a a a ==-，若e a =，则()min 0g t =，故()g t 在R 上有且只有一个零点；若0e a <<，则()min 0g t >，故()g t 在R 上无零点；若e a >，则()min 0g t <，此时ln 1a >，而()010g =>，()()22ln 2ln 2ln g a a a a a a a =-=-，设()2ln h a a a =-，e a >，则()20a h a a-'=>，故()h a 在()e,+∞上为增函数，故()()e e 20h a h >=->即()2ln 0g a >，故此时()g t 在R 上有且只有两个不同的零点；综上：当0e ≤<a 时，0个零点；当e a =或a<0时，1个零点；e a >时，2个零点；【点睛】思路点睛：导数背景下的零点问题，注意利用零点存在定理结合函数单调性来讨论.（二）选考题（10分）请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 已知曲线1C 的参数方程为e e e e t tt t x y --⎧=+⎨=-⎩（t 为参数），以直角坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线2C 的极坐标方程4cos ρθ=.（1）求1C 的极坐标方程；（2）若曲线π(0)6θρ=>与曲线1C 、曲线2C 分别交于两点A ，B ，点(40)P ， ，求△PAB 的面积.【答案】（1）24ππ(cos 244ρθθ=-<<（2）【解析】【分析】（1）将1C 的参数方程化为普通方程，再根据极坐标与直角坐标的转化公式即可得答案;（2）联立方程，分别求得点A ，B 的极坐标，根据三角形面积公式即可求得答案.【小问1详解】由e e e et tt t x y --⎧=+⎨=-⎩消去参数t ，得224x y -=,因为e e 2t t -+≥，所以曲线1C 的直角坐标方程为224(2)x y x -=≥，因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以曲线1C 的极坐标方程为24ππ()cos 244ρθθ=-<< ；【小问2详解】由2π64cos2θρθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得:A ρ=所以曲线π(0)6θρ=>与曲线1C 交于点A π)6，由π64cos θρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩,得:B ρ=， 所以曲线π(0)6θρ=>与曲线2C :4cos ρθ=交于点B π6，则PAB S =△PA PBS S -△O △O 1π4()sin 26B A ρρ=⨯⨯-=选修4-5：不等式选讲23. 己知函数()221f x x a x a =+++-．（1）当0a =时，求不等式()2f x ≥的解集；（2）若对于任意x ∈R ，都有()2f x ≥，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭（2）32a ≤-或1a ≥．【解析】【分析】（1）分0x ≥，102x -≤<，12x <-三种情况打开绝对值，求解即可；（2）打开绝对值，将函数()f x 写成分段函数，结合单调性求解即可【小问1详解】()21f x x x=++当0x ≥时，()312f x x =+≥，解得13x ≥，当102x -≤<时，()12f x x =+≥，解得x ∈∅，当12x <-时，()312f x x =--≥，解得1x ≤-，所以不等式()2f x >的解集为()1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭．【小问2详解】因为222172()12148(0222a a a a a +++++--==>，故212a a +>-所以()2222231,11,2131,2x a a x a a f x x a a x a a x a a x ⎧⎪++-≥⎪+⎪=+++-≤<⎨⎪+⎪---+<-⎪⎩所以函数()f x 在1,2a +⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上递减，在1,2a +⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上递增，所以函数()f x 在R 上的最小值为21122a a f a ++⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．所以2122a a ++≥，即223(23)(1)0a a a a +-=+-≥解得32a ≤-或1a ≥。
河北省石家庄市第一中学2025届高三下学期第二次月考-数学试题试卷
河北省石家庄市第一中学2025届高三下学期第二次月考-数学试题试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A ．240，18B ．200，20C ．240，20D ．200，182．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的23，且球的表面积也是圆柱表面积的23”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为( ) A ．43π B ．16πC ．163π D ．323π 3．定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数[)12,0,x x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立，若关于x 的不等式()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[]1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1ln6,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．1ln3,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C ．1ln3,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．1ln6,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦4．已知A 类产品共两件12,A A ，B 类产品共三件123,,B B B ，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件A 类产品或者检测出3件B 类产品时，检测结束，则第一次检测出B 类产品，第二次检测出A 类产品的概率为（ ） A ．12B ．35C ．25D ．3105．函数()y f x =()x R ∈在(]1∞-，上单调递减，且(1)f x +是偶函数，若(22)(2)f x f -> ，则x 的取值范围是（ ） A ．（2，+∞） B ．（﹣∞，1）∪（2，+∞） C ．（1，2） D ．（﹣∞，1）6．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断拟合效果，2R 越小，模型的拟合效果越好； ③若数据123,,,,n x x x x 的方差为1，则1232+1,2+1,2+1,,2+1n x x x x 的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据()()()11221010,,,,,,x y x y x y ，其线性回归方程ˆˆˆy bx a =+，则“()00,x y 满足线性回归方程ˆˆˆybx a =+”是“1210010x x x x +++= ，1210010y y y y ++=”的充要条件；其中真命题的个数为( ) A ．4B ．3C ．2D ．18．函数f x x 2()cos(2)3π=+的对称轴不可能为（ ） A ．65x π=-B ．3x π=-C ．6x π=D ．3x π=9．已知集合{}10,1,0,12x A xB x -⎧⎫=<=-⎨⎬+⎩⎭，则A B 等于（ ） A ．{}11x x -<<B ．{}1,0,1-C ．{}1,0-D ．{}0,110．已知数列{}n a 中，121,2a a ==，且当n 为奇数时，22n n a a +-=；当n 为偶数时，()2131n n a a ++=+．则此数列的前20项的和为（ ）A ．1133902-+B ．11331002-+C ．1233902-+D ．12331002-+11．已知直三棱柱中111ABC A B C -，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成的角的正弦值为（ ）． A ．32B ．105 C ．155D ．6312．若函数()222y sin x ϕϕπ⎛⎫< ⎪⎝+⎭=的图象经过点012π⎛⎫⎪⎝⎭，，则函数()()()22f x sin x cos x ϕϕ=-+-图象的一条对称轴的方程可以为( )A ．24x π=-B ．3724x π=C ．1724x π=D ．1324x π=-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省厦门外国语中学2024届高三第二次月考试题数学试题
福建省厦门外国语中学2024届高三第二次月考试题数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若//m n ，m β⊥，则n β⊥；②若//m α，//m β，则//αβ；③若m α⊥，//n α，则m n ⊥；④若//m α，m β⊥，则αβ⊥；其中真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的1a ，2a ，3a ，，50a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（ ）A ．38m =，12n =B ．26m =，12n =C ．12m =，12n =D ．24m =，10n =3．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><≤的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．函数()f x 在1711,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减 B ．函数()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．函数()f x 的对称中心是(),026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭D ．函数()f x 的对称轴是()5212k x k Z ππ=-∈ 4．对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：()0.675,0.989-，()1.102,0.010-，()2.899,1.024，()9.101,2.978，下列函数模型中拟合较好的是（ ）A ．3y x =B ．3x y =C ．()21y x =--D ．3log y x =5．给出下列四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p ﹑q 均为假命题；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③若命题0:p x R ∃∈，200x ≥，则命题:p x R ⌝∀∈，20x <；④设集合{}1A x x =>，{}2B x x =>，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件；其中正确命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知函数()()222ln 25f x a x ax =+++.设1a <-，若对任意不相等的正数1x ，2x ，恒有()()12128f x f x x x -≥-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()3,1-- B ．()2,1-- C ．(],3-∞-D ．(],2-∞-7．已知f (x )=-1x x e e a+是定义在R 上的奇函数，则不等式f (x -3)<f (9-x 2)的解集为（ ）A ．(-2,6)B ．(-6,2)C ．(-4,3)D ．(-3,4)8．已知α、,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，αβ≠，则下列是等式sin sin 2αβαβ-=-成立的必要不充分条件的是（ ）A ．sin sin αβ>B ．sin sin αβ<C ．cos cos αβ>D ．cos cos αβ<9．已知i 为虚数单位，若复数12i12iz +=+-，则z = A ．9i 5+ B ．1i - C ．1i +D ．i -10．在三角形ABC 中，1a =，sin sin sin sin b c a bA AB C++=+-，求sin b A =（ ）A ．2B ．3C ．12D ．211．已知集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<则AB =（ ）A ．{|0}x x <B ．1|2x xC ．1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D ．{|1}x x >-12．已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，下列命题：①若//αβ，//αγ，则//βγ；②若//a α，//a β，则//αβ；③若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥；④若a α⊥，b α⊥，则//a b .其中正确命题序号为( )A ．②③B ．②③④C ．①④D ．①②③二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省百所重点高中2024学年高三3月线上第二次月考数学试题试卷
湖南省百所重点高中2024学年高三3月线上第二次月考数学试题试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在三棱锥P ABC -中，AB BP ⊥，AC PC ⊥，AB AC ⊥，PB PC ==，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ） A ．3πB．2C ．12πD ．24π2．已知定点1(4,0)F -，2(4,0)F ，N 是圆22:4O x y +=上的任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆3．若不等式22ln x x x ax -+对[1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞B ．(,1]-∞C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥5．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ） A ．163i B ．6i C ．203i D ．206．已知x ，y 满足不等式00224x y x y t x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z ＝9x +6y 最大值的变化范围[20，22]，则t 的取值范围（ ）A ．[2，4]B ．[4，6]C ．[5，8]D ．[6，7]7．点,,A B C 是单位圆O 上不同的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点M ，若,(0,0),2OC mOA nOB m n m n =+>>+=，则AOB ∠的最小值为（ ）A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 8．已知实数x 、y 满足不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =-+的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．32-D ．2-9．已知集合{}3|20,|0x P x x Q x x -⎧⎫=-≤=≤⎨⎬⎩⎭，则()R P Q 为（ ） A ．[0，2)B ．(2，3]C ．[2，3]D ．(0，2]10．已知31(2)(1)mx x--的展开式中的常数项为8，则实数m =（ ）A ．2B ．-2C ．-3D ．311．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）12．已知奇函数()f x 是R 上的减函数，若,m n 满足不等式组()(2)0(1)0()0f m f n f m n f m +-≥⎧⎪--≥⎨⎪≤⎩，则2m n -的最小值为（ ）A ．-4B ．-2C ．0D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024学年成都市双流区高三下学期5月月考数学试题文试题
2024学年成都市双流区高三下学期5月月考数学试题文试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设{1,0,1,2}U =-，集合2{|1,}A x x x U =<∈，则U C A =（ ）A ．{0,1,2}B ．{1,1,2}-C ．{1,0,2}-D ．{1,0,1}- 2．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P Q 、分别为抛物线与圆22(6)1x y -+=上的动点，则PQ 的最小值为（ ） A ．211- B ．525- C ．25 D ．251-3．()()()cos 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示，()()sin g x A x ωϕ=--，若将()y f x =的图象向左平移()0a a >个单位长度后所得图象与()y g x =的图象重合，则a 可取的值的是（ ）A ．112πB ．512πC ．712πD ．11π124．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立.记()23m n +的最小值为(),F m n ，则(),F m n 的最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．21eD ．31e5．已知棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为（ ）A ．22B ．23C ．4D ．266．网格纸上小正方形边长为1单位长度，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．1B ．43C ．3D ．4 7．2-31i i=+（ ） A ．15-22i B ．15--22i C ．15+22i D ．15-+22i 8．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值，则函数()y xf x =-'的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．9．已知下列命题：①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题；③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件；④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题.其中真命题的序号为（ ）A ．③④B ．①②C ．①③D ．②④ 10．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．11．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭，若(21)(0)f a f ->，则a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．()0,1 C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭12．复数1i i +=（ ）A ．2i -B ．12iC ．0D ．2i二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省深圳外国语学校2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试题(含答案)
深圳外国语学校2024-2025学年度高三第一学期第二次月考数学试题试卷共4页，卷面满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号码填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，则（ ）A.B.C.D.2.已知命题，则命题的否定为（ ）A. B.C. D.3.设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A. B. C.D.4.函数的图象大致为（）A. B.C. D.5.设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为（ ）A.1B.2C.3D.46.已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则的值为{{},21x A xy B y y ====+∣∣A B ⋂=(]1,2(]0,1[]1,2[]0,2:1,1p x x ∀>>p 1,1x x ∀><1,1x x ∀≤>1,1x x ∃>≤1,1x x ∃≤≤()()3x x a f x -=30,2⎛⎫⎪⎝⎭a (),1∞--[)3,0-(]0,1[)3,∞+()1cos ex x xf x -=a b c ､､2240a ab b c -+-=c ab 236a b c+-()f x (),e xy f x =+R ()3e xy f x =-()ln3f（ ）A.B.3C.D.7.已知三倍角公式，则的值所在的区间是（ ）A. B. C. D.8.已知函数，若对于任意的实数与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ ）A.B.C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若函数定义域为，则函数的定义域为B.若定义域为的函数值域为，则函数的值域为C.函数与的图象关于直线对称D.成立的一个必要条件是10.若，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B.C. D.11.已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ）A.的图象关于点对称B.是以8为周期的周期函数C.D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.731031133sin33sin 4sin ααα=-sin10 11,43⎛⎫⎪⎝⎭11,54⎛⎫ ⎪⎝⎭11,65⎛⎫ ⎪⎝⎭11,76⎛⎫ ⎪⎝⎭()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=(),x f x ()g x m ()0,2()0,8[)2,8(),0∞-()f x []1,3()21f x +[]0,1R ()f x []1,5()21f x +[]0,215xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭5log y x =-y x =a b >1a b ->log 1a b >a b <1ab a b+>+11a b a b ->-11a b a b+<+R ()f x ()g x ()()21f x g x ++-=()f x ()2,1()f x ()()8g x g x +=20241(42)2025k f k =-=∑12.已知函数，则__________.13.已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是__________.14.若，则的最大值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，若函数有三个不同零点，求c 的取值范围.16.（本小题满分15分）记的角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若点是边上一点，且，求的值.17.（本小题满分15分）如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，已知为棱的中点，在底面的投影为线段的中点，是棱上一点.（1）若，求证：平面；（2）若，确定点的位置，并求二面角的余弦值.18.（本小题满分17分）已知函数.（1）函数与的图像关于对称，求的解析式；()cos2f x x =066lim x f x f xππ∆→⎛⎫⎛⎫+∆-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=∆()223,2(06log ,2a x x x f x a x x ⎧-++≤=>⎨+>⎩1)a ≠()f x (],4∞-a ()e 1xa xb ≥++()1a b +()32.f x x ax bx c =+++().y f x =()()0,0f 4a b ==()f x ABC V ,,A B C ,,a b c sin sin sin A B Cb c a b-=++A D BC ,2AB AD CD BD ⊥=sin ADB ∠P ABCD -ABCD π3ABC ∠=E AD P H EC M PC 2CM MP =PE ∥MBD ,PB EM PC EC ⊥=M B EM C --()()()2ln 1cos 2g x x x =--+--()f x ()g x 1x =-()f x（2）在定义域内恒成立，求a 的值；（3）求证：，.19.（本小题满分17分）设集合，其中.若集合的任意两个不同的非空子集，都满足集合的所有元素之和与集合的元素之和不相等，则称集合具有性质.（1）试分别判断在集合与是否具有性质P ，不必说明理由；（2）已知集合具有性质P .①记，求证：对于任意正整数，都有；②令，，求证：；（3）在（2）的条件下，求的最大值.()1f x ax -≤2111ln 42nk n f k =+⎛⎫-< ⎪⎝⎭∑*n ∈N {}()12,,,3n S a a a n =≥ *,1,2,,i a i n ∈=N S A B ､A B S P {}11,2,3,4S ={}21,2,4,8S ={}12,,,n S a a a = 121kik i aa a a ==+++∑L k n ≤121kk i i a =≥-∑12i i i d a -=-1kk ii D d==∑0k D ≥12111na a a +++深圳外国语学校2025届高三第二次月考数学答案一､选择题：题号1234567891011答案ACDADDCBACBDABC二､填空题12. 13.14.三､解答题15.解：（1）由，得.因为，，所以曲线在点处的切线方程为.（2）当时，，所以.令，得，解得或.与在区间上的情况如下：所以，当且时，⎫⎪⎪⎭e2()32f x x ax bx c =+++()232f x x ax b =++'()0f c =()0f b '=()y f x =()()0,0f y bx c =+4a b ==()3244f x x x x c =+++()2384f x x x =++'()0f x '=23840x x ++=2x =-23x =-()f x ()f x '(),-∞+∞x(),2-∞-2-22,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭23-2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()f x '+0-0+()f x Zc]3227c -Z0c >32027c -<存在，，，使得.由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点.16.（1）由及正弦定理得，整理得，所以由余弦定理得：因为，所以.（2），记，则.在中，.①在中，由正弦定理得.②由①②及得，解得.由，解得.17.（1）设，因为底面是边长为2的菱形，所以，对角线BD 平分，又为棱的中点，所以，在中，根据角平分线性质定理得，又，所以，所以，，平面，且平面平面.()14,2x ∈--222,3x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()()1230f x f x f x ===()f x 320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()3244f x x x x c =+++sin sin sin A B C b c a b -=++a b cb c a b-=++222a b c bc =++2221cos ,22b c a A bc +-==-()0,πA ∈2π3A =π6DAC BAC BAD ∠=∠-∠=ADB α∠=π6C DAC αα∠=-∠=-Rt ABD V cos AD BD α=ADC V ππsinsin 66AD CDα=⎛⎫- ⎪⎝⎭2CD BD =cos 2ππsin sin 66αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭4=tan α=22πtan cos 1,0,2αααα⎛⎫=+=∈ ⎪⎝⎭sin α=sin ADB ∠=BD CE N ⋂=ABCD CD AB =ADC ∠E AD 2CD AB DE ==ADC V 2CN CDNE DE==2CM MP =2CM MP =2CN CMNE MP==MN ∴∥PE PE ⊄MBD MN ⊂,MBD PE ∴∥MBD（2）平面，且平面，，因为，所以，在中，，，所以是等边三角形，又为棱的中点，所以，平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面ABCD ，平面，又平面，，又，平面，平面，且平面，.因为P 在底面的投影H 为线段的中点，所以，又所以为等边三角形，故为中点，所以在底面上的投影为的中点.在中，，，以为原点，分别以为轴，以过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，所以，，设是平面的一个法向量，则，令，则，即，平面，是平面的一个法向量，PH ⊥ ABCD BC ⊂ABCD PHBC ∴⊥π3ABC∠=2π3BCD ∠=ACD V CD AB =π3ABC ∠=ACD V E AD BC CE ⊥PH ⊥ ABCD PH⊂PCE PCE ⊥ABCD PCE ⋂ABCD =CE BC ⊂BC ∴⊥PEC EM ⊂PEC BC EM ∴⊥PB EM ⊥ ,,PB BC B PB BC ⋂=⊂PBC EM ∴⊥PBC PC ⊂PBC EM PC ∴⊥EC PC PE =PC CE =PCE V MPC M ABCD CH CDE V CE ===3,2CEAD PH ⊥== C ,CB CE ,x y C ABCD z ()()()30,0,0,2,0,0,,4C B E M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()32,,4EB ME ⎛⎫∴==- ⎪ ⎪⎝⎭(),,n x y z = EBM 0203004n EB x n ME y z ⎧⋅=⇒=⎪⎨⋅=⇒-=⎪⎩ 2y =x z ==2,n =BC ⊥ PEC ()2,0,0CB ∴=PEC因为二面角是一个锐角，所以二面角18.（1）依题意，设图像上任意一点坐标为，则其关于对称的点在图像上，则，则，故，；（2）令，，则在在恒成立，又，且在上是连续函数，则为的一个极大值点，，，下证当时，在恒成立，令，，当，，在上单调递增，当，，在上单调递减，故，在上恒成立，又，则时，恒成立，综上，.（3）由（2）可知：，则，即，则，又由（2）可知：在上恒成立，则在上恒成立且当且仅当时取等，令，，则，cos ,n CB n CB n CB⋅∴===⋅B EMC --B EM C --()f x ()00,x y 1x =-()002,x y --()g x 000()(2)y f x g x ==--0000()(2)2ln(1)cos f x g x x x =--=++0(1)x >-()()2ln 1cos f x x x =++()1x >-()()()12ln 1cos 1h x f x ax x x ax =--=++--()1x >-()0h x ≤(1,)x ∈-+∞()00h =()h x (1,)x ∈-+∞0x =()h x 2()sin 1h x x a x '=--+(0)202h a a '=-=⇒=2a =()0h x ≤(1,)x ∈-+∞()ln(1)x x x ϕ=+-1()111x x x x ϕ'=-=-++()1,0x ∈-()0x ϕ'>()x ϕ()1,0-(0,)x ∈+∞()0x ϕ'<()x ϕ()0,∞+()()00x ϕϕ≤=()ln 1x x ≤+(1,)-+∞cos 1x ≤2a =()()()()12ln 1cos 10h x f x ax x x x ⎡⎤=--=+-+-⎦≤⎣2a =()12f x x -≤11111222f k k ⎛⎫⎛⎫--≤-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1122f k k⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭211111122122nk n f k n n n =+⎛⎫⎛⎫-≤+++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑ ()ln 1x x ≤+()1,-+∞ln 1x x ≤-()0,∞+1x =(0,1)1nx n =∈+*N n ∈1ln1111n n n n n -<-=+++即，则，综上，，即证19.（1）对于集合，因为，故集合的元素和相等，故不具有性质.对于，其共有15个非空子集：，，各集合的和分别为：，，它们彼此相异，故具有性质.（2）①因为具有性质，故对于任意的，也具有性质，否则有两个非空子集，它们的元素和相等，而也是的子集，故不具有性质，矛盾.注意到共有个非空子集，每个子集的元素和相异，且子集的和最大为，最小为，故.②因为，故，由①可得，故.（3）不妨设，设，则，由（2）可得，且.而11ln ln ln(1)ln 11n n n n n n n +<-==+-++111ln(1)ln ln(2)ln(1)ln(2)ln(21)122n n n n n n n n n+++<+-++-+++--++ ln(2)ln ln 2n n =-=21112ln 2ln 42nk n f k =+⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑{}11,2,3,4S =1423+=+{}{}1,4,2,31S P {}21,2,4,8S ={}{}{}{}{}{}{}{}{}{}8,,,,,,1,2481,21,41,82,42,,,84,{}{}{}{}{}1,2,41,2,81,4,82,4,81,2,4,8,,,,59610121,2,4,8,3,,,,,7,11,13,14,152S P {}12,,,n a a a P k {}12,,,k a a a P {}12,,,k a a a ,A B ,A B {}12,,,n a a a {}12,,,n a a a P {}12,,,k a a a 21k -12k a a a +++ 1a 1221kk a a a +++≥- 12i i i d a -=-()112122k k k D a a a -=+++-+++ ()1221k k a aa =+++-- ()12210kk a a a +++--> 0k D ≥12n a a a <<< 1121112122111112112222n n n n n n a a a a a a a a a ---⎛⎫+++-+++=+++ ⎪--⎝⎭- 112i i ic a -=10i i c c +->12i i i d a -=-10kk ii D d==≥∑112112211222122n n n n n n a a a c d c d c d a a a ---+++=+++-- ()()()112213321n n n c D c D D c D D c D D -=+-+-++-，故，当且仅当时等号成立，即此时任意的正整数，即故此时时等号成立，故的最大值为.()()()121232110n n n n n c c D c c D c c D c D --=-+-++-+≥ 111211*********n n n a a a --+++≤+++=- 120n D D D ==== k 1221kk a a a ++=-1111,222kk k k a a --==-=12k k a -=12111n a a a +++ 1122n --。
宁夏银川重点名校2023届高三上学期第二次月考数学(文)试题及答案
2023届高三年级第二次月考文 科 数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某国近日开展了大规模COVID -19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S 表示A ．无症状感染者B ．发病者C ．未感染者D ．轻症感染者2．已知2i z =+，则(i)z z -= A ．2i - B ．12i +C ．62i -+D ．62i -3．如图所示的程序框图，输入3个数，0.12a =，0.23b -=，41log 2c =，则输出的a 为 A ．0 B ．0.12C ．0.23-D ．41log 24．已知{}n a 是等差数列，172a a +=-，32a =，则{}n a 的公差d 等于 A ．3B ．4C ．-3D ．-45．设()0sin f x x =，()()10f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=，n N ∈，则()2020f x = A ．sin x B ．sin x -C ．cos xD ．cos x -6．若110a b<<，则下列不等式成立的是 A ．a b ab -> B ．a b ab -< C ．b a ab -> D ．b a ab -<7．若x ，y 满足约束条件423x y x y y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3z x y =+的最大值为A ．6B ．10C ．14D ．188．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]9．函数()ln e e x xy -=+的图像大致是A ．B ．C ．D ．10．已知实数,0x y >，且11y x+=，则12x y +的最小值是A ．6B ．322+C ．232+D ．1211．已知⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=0,30,)(3x x x x exx f x ，若关于x 的方程22()()10f x k f x ⋅--=有5个不同的实根，则实数k 的取值范围为A ．72(,)(,)2e e -∞--+∞B ．72](,2e e--C ．72(,)2e e--D ．72(,(,2])e e-∞--+∞12．英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列{}n x 满足()()1n n n n f x x x f x +=-'，则称数列{}n x 为牛顿数列，如果()22f x x x =--，数列{}n x 为牛顿数列，设1ln2n n n x a x +=-且11a =，2n x >，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2022S = A ．202221-B ．202222-C ．20221122⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2022122⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题(本大题共4小题，每小题5分．共20分)13．已知函数2,0()2,0x x a x f x x ⎧+≤=⎨>⎩，若f [ f ( - 1 ) ] = 4 ，且a > - 1 ，则 a =______.14．若1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使2210x x λ-+<成立是假命题，则实数λ的取值范围是___________.15．数列121321,,,,n n a a a a a a a ---⋯-，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么n a =________.16．已知定义域为R 的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，满足2()()4,(1)1f x xf x f >'+=,则21()2f x x >-的解集为_________． 三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
安徽省六安第二中学2024-2025学年高三上学期第二次月考(10月) 数学试题
六安二中2025届高三第二次月考试题数学分值：150分时间：120分钟注意事项1.考生务必将自己的姓名、班级写在答题卡上并粘好条形码.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的选项涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它选项.不能答在试题卷上.3.解答题按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域的答案无效.4.保持答题卡卷面清洁，不折叠，不破损.第Ⅰ卷(选择题58分)一、单项选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上.1.设集合{}|1A x x =<，集合{|B y y ==，则A∩B=（）A.（-1，1）B.（0，1）C.[0，1）D.（1，+∞）2.已知x ∈R ，则“10ln 2x <≤”是“102x x -<-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知12log 3a =，sin6b π=，20.5c -=，则（）A.a <b <cB.b <c <aC.c <a <bD.b <a <c4.函数2ln ||||x x y x =的图象大致是（）A.B. C. D.5.已知函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=x （x +2）.若.f （2+m ）+f （2m-5）>0，则m 的取值范围为（）A.（-∞，0）B.（0，+∞）C.（-∞，1）D.（1，+∞）6.科学技能的迅猛发展，使人们在学校里学到的专业知识，逐步陈旧过时，这就是所谓的“知识半衰期”.1950年以前，知识的半衰期为50年：21世纪，知识的半衰期平均为3.2年；IT 业高级工程师1.8年.如果一个高三学生的初始知识量为0T ，则经过一定时间，即t 个月后的知识量T 满足01()2a a ht T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，h 称为知识半衰期，其中a T 是课堂知识量，若25a T =，某同学知识量从80降至75大约用时1个月，那么知识量从75降至45大约还需要（）（参考数据:lg2≈0.30，lg11≈1.04）A.8个月B.9个月C.10个月D.11个月7、已知函数2,1()23,1x a a x f x ax ax a x ⎧+≥=⎨-+-+<⎩（a >0且a ≠1），若f （x ）的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A.20,3⎛⎤⎥⎝⎦B.31,2⎛⎤⎥⎝⎦C.[2，+∞）D.[3，+∞）8.对于x ∈（0，+∞），不等式()()ln 10x e mx m x -+-≥恒成立，则实数m 的取值范围为（）A.0<m <1B.0<m ≤1C.0<m ≤eD.0<m <e二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.下列结论中正确的是（）A.若函数f （x ）的定义域为[0，2]，则函数f （2x +2）的定义域为[-1，0]B.当x ∈R 时，不等式210kx kx ++>恒成立，则k 的取值范围是（0，4）C.命题“∀x >1，x 2-x >0”的否定是20001,0x x x ∃≤-≤”D.函数||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（0，1]10.已知a =log 315，b =log 515，则（）A.111ab+= B.ab >4C.a 2+b 2<8D.a +b >411.设函数f （x ）与其导函数f '（x ）定义域均为R ，且f '（x +2）为偶函数，110f x f x +--=（）（），则（）A.f '（1+x ）=f '（1-x ）B.f '（3）=0C.f '（2025）=1D.f （2+x ）+f （2-x ）=2f （2）第Ⅱ卷（非选择题92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数2()lg(43)f x x x =-+的单调递减区间为__________.13.已知曲线y =x +ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y =ax 2+(2a +3)x +1只有一个公共点，求a 的值__________.14.已知函数ln ,0,()1,0x x x f x x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩若函数()()()()1g x f f x af x =-+有唯一零点，则实数a 的取值范围是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知命题P :“∃x ∈R ，x 2-ax +1=0”为假命题，设实数a 的所有取值构成的集合为A .(Ⅰ)求集合C R A ;(Ⅱ)设集合B ={x |m+1<x <2m+1}，若t ∈A 是t ∈B 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.16.(15分)已知函数21()log 1xf x x-=+.(Ⅰ)判断并证明f (x )的奇偶性；(Ⅱ)若对任意11,,[2,2]33x t ⎡⎤∈-∈-⎢⎣⎦，不等式.f (x )≥t 2+at -6恒成立，求实数a 的取值范围.17.(15分)函数f (x )=(x +1)e x .(Ⅰ)求函数在(-2，f (-2))处的切线方程;(Ⅱ)求出方程f (x )=a (a ∈R)的解的个数.18.(17分)已知函数.f (x )=ac 2x +(a -2)c x -x ，(Ⅰ)当a >0时，求f (x )的单调区间:(Ⅱ)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围.19.(17分)从函数的观点看，方程的根就是函数的零点，设函数的零点为r .牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体做法如下：先在x 轴找初始点P 0(x 0，0)，然后作y =f (x )在点Q 0(x 0，f (x 0))处切线，切线与x 轴交于点P 1(x 1，0)，再作y =f (x )在点(Q 1(x 1，f (x 1))处切线(Q 1P 1⊥x 轴，以下同)，切线与x 轴交于点.P 2(x 2，0)，.再作y =f (x )在点Q 2(x 2，f (x 2))处切线，一直重复，可得到一列数:x 0，x 1，x 2，∴，x n .显然，它们会越来越逼近r .于是，求r 近似解的过程转化为求x n ，若设精度为ε，则把首次满足|x n -x n ₋1|<ε的x n 称为r 的近似解.(Ⅰ)设f (x )=x 3+x 2+1，试用牛顿法求方程.f (x )=0满足精度ε=0.4的近似解(取x 0=-1，且结果保留小数点后第二位)；(Ⅱ)如图，设函数g(x )=2x ;(i)由以前所学知识，我们知道函数8g(x )=2x 没有零点，你能否用上述材料中的牛顿法加以解释?(ii)若设初始点为P 0(0，0)，类比上述算法，求所得前n 个三角形00111211,,,n n n Q P P P PQ P P Q -- 的面积和.六安二中2025届高三第二次月考试题数学参考答案及评分标准(仅供参考)题号1234567891011答案CAADDCBCADABDBD6.【详解】由题意得117525(8025)2h⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1110211h⎛⎫= ⎪⎝⎭;则14525(7525)2t H⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以1120502th ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得102115t⎛⎫= ⎪⎝⎭，两边取对数102lg 1lg 115t =，25lg lg 2lg 52lg 2120.3110101lg11lg111 1.04lg 11t --⨯-===≈=---，故选:C.7.【详解】当x <1时，则f (x )=-ax 2+2ax -a +3=-a (x -1)2+3，且a >0，所以f (x )=-a (x -1)2+3<3，若函数f (x )的值域为R ，可知当x ≥1时，则.f (x )=a x +a 的值域包含[3，+∞)，若0<a <1，则.f (x )=a x +a 在[1，+∞)内单调递减，可得f (x )≤f (1)=2a ，不合题意;若a >1，则.f (x )=a x +a 在[1，+∞)内单调递增，可得f (x )≥f (1)=2a ，则2a ≤3，解得312a <≤;综上所述：实数a 的取值范围是31,2⎛⎤⎥⎝⎦故选:B.8.【详解】已知x ∈(0，+∞)，由()()ln 10x e mx m x -+-≥得，()()ln ln x mxe x e mx +≥+，构造函数f (x )=e x +x ，f (x )是R 上的增函数，则由.f (x )≥f (ln(m x ))得：x ≥ln(mx )，即x e m x ≤，令(),(0,)x eg x x x =∈+∞，2(1)()xx e g x x -'=，当x ∈(0，1)，g'(x )<0，则g(x )单调递减，当x ∈(1，+∞)，g'(x )>0，则g(x )单调递增，∴()()min 1g x g e ==，则m ≤e ，又m >0，则0<m ≤c .故选:C.9.【详解】A:由题设0≤2x +2≤2，则-1≤x ≤0，即f (2x +2)的定义域为[-1，0]，A 对;B:当x ∈R 时，不等式kx 2+kx +1>0恒成立，当k =0时，1>0恒成立，当k ≠0时，则需满足2040k k k >⎧⎨∆=-<⎩，∴0<k <4，综合可得k 的取值范围是[0，4)，B 不正确，C ：由全称命题的否定为特称命题，故原命题的否定为20001,0x x x >-≤，C 错；D:令t =|x |∈[0，+∞)，故1(0,1]2t y ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，即||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(0，1]，D 对.故选:AD10.【详解】a =log 315>0，b =log 515>0，a ≠b ，且151511log 3log 51a b+=+=，故A 正确;又由111ab+=可知ab =a +b >4，B 正确;a 2+b 2≥2ab >8，故C 错误.11()224b aa b a b a b a b ⎛⎫+=++=++>= ⎪⎝⎭，D 正确;故选:ABD.11.【详解】对于A ，∵f (1+x )-f (1-x )=0，∴f '(1+x )+f '(1-x )=0，即f '(x )关于(1，0)对称，故A 错误;对于B ，)'(2f x +为偶函数，故f '(x +2)=f '(-x +2)，即f '(x )关于x =2对称，由f '(x )关于x =2对称，知f '(3)=f '(1)=0，故B 正确;对于C ，f '(x )关于x =2对称和f '(x )关于(1，0)对称可得:f '(x )=-f '(-x +2)=f '(-x +4)，故f '(x +4)=-f '(x +2)=-[-f '(x )]=f '(x )，即f '(x )的周期为4，所以f '(2025)=f '(1)=0，故C 错;对于D ，由(2()2)f x f x ''+=-+得:f (x +2)=-f (-x +2)+m ，即f (x +2)+f (-x +2)=m ，令x =0得，2f (2)=m ，故f (2+x )+f (2-x )=2f (2)，故D 正确.故选:BD 12.(-∞，1)13.a =0或12a =详解(此题为书本选择性必修一第103页第13题)解：y =x +ln x 的导数为11y x'=+，曲线y =x +ln x 在x =1处的切线斜率为1121k =+=，则曲线y =x +ln x 在x =1处的切线方程为y -1=2x -2，即y =2x -1.由于切线与曲线y =ax 2+(2a +3)x +1只有一个公共点，y =ax 2+(2a +3)x +1可联立y =2x -1，得ax 2+(2a +1)x +2=0①有且只有一解，当a =0时①式变为x +2=0，则x =-2，方程①有且只有一解，符合题意;当a ≠0时，则Δ=(2a +1)2-8a =0，4a 2-4a +1=0，解得12a =综上，a =0或12a =.14.54a =-或-1≤a <1详解当x <0时，f (x )单调递减，图象为以y =-x 和y 轴为渐近线的双曲线的一支；当x >0时，有f '(x )=ln x +1，可得.f (x )在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增且min 11()f x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，0lim ()0x f x →=，画出图象如下：由题意，f (f (x ))-af (x )+1=0有唯一解，设t =f (x )，则1t e <-，(否则至少对应2个x ，不满足题意)，原方程化为f (t )-at +1=0，即f (t )=at -1，该方程存在唯一解t 0，且01(,)t e∈-∞-.转化为y =f (t )与y =at -1有唯一公共点，且该点横坐标在1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，画图如下：。
2022届宁夏银川一中高三上学期第二次月考数学(文)试题解析.docx
银川一中2022届高三年级第二次月考文科数学注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1.集合尸={1,2}的真子集的个数是（ ）A. 7B. 3C. 4D. 8【答案】B 【解析】根据真子集个数的计算方法，求得正确选项. 解：集合尸有两个元素，所以真子集个数为22-1 = 3. 故选：B2 复数 z =「r ，贝01 |z| =（）2-1A.季B. 1C. ^5D. 5【答案】A 【解析】3.已知命题p:3xeR,sinx<l ；命题V XG R ,此21,则下列命题中为真命题的是（）A . PE【答案】A【解析】 由正弦函数的有界性确定命题P 的真假性，由指数函数的知识确定命题0的真假性，由此确定正确选项.D.利用复数除法运算化简z,由此求得|z|.故选：A解：由于sin0=0,所以命题。
为真命题；由于y = e'在R上为增函数，国20,所以e w>e°=l，所以命题0为真命题;所以PE 为真命题，-P^<3 > 一i（pvg）为假命题.故选：A.4.已知等比数｛qj满足％。
7=3。
4。
3，则数列｛%｝的公比0=（）1 1A. 2B. —C. 3D.—3 2【答案】C【解析】根据题意代入等比数列通项公式可得a-" =3a；q\化简即可得解.解：由题意可得。
「苛=3。
含5,可得0 = 3.故选：Cx<45.若x, y满足约束条件< 2x + y>10,则z = x—v的最大值为（）y<4A. -1B. 0C. 2D. 10【答案】C【解析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线得最优解.解：作出可行域，如图△A3C内部（含边界），作直线l：x-y=O, 在直线x-V = z中-z是直线的纵截距，向下平移时纵截距减小，z增大.因此平移直线Z,当Z过A（4,2）时，z = x-y = 2为最大值.故选:C.y A【答案】B【解析】7通过平方将原式变形得到2sinacosa =-—,再结合正弦二倍角公式即可求解.94构轧因为sin a-cos a =—,32 2 1所以两边平方得sin a-2sinacosa + cos a -一，9又因为sin? + cos2 a =1，77所以一2sinocosa = —,艮|12sinacosa =——，9 97所以sin 2a = 2sin a cos a = ~—故选：B7.己知函数/(x) = 2'，在［1,9］上随机取一个实数则使得/(x0)<8成立的概率为( )1 1 1 2A. —B. —C. —D.—8 4 3 3【答案】B【解析】首先求不等式的解集，再根据区间长度，求几何概型的概率.解：由/(x0)<8,得2改<8,解得x0<3,在区间［1,9〕上随机取一实数知则实数％满足不等式a _i i/U)<8的概率为P = o.9— 1 4故选:B8.下列不等式恒成立的是( )A. a-+b- < 2abB. a2+b2 > -labC. a + b> -2^\ab\D. a + b< 2^|tzZ?|【答案】B【解析】由基本不等式，可判定A不正确；由a2 +b2 +2ab = (a + by>Q ,可判定B正确；根据特例，可判定C、D 不正确；解：由基本不等式可知a2+b2>2ab>故A不正确；由a2 +b2 > —lab > 可得a2 +b2 + 2ab > 0 > 即(a + Z?)2 > 0 恒成立，故B 正确；当a = -l,b = -l时，不等式不成立，故C不正确；当a = O,b = 1时，不等式不成立，故D不正确.故选：B.9.在数列｛%｝中，弓=上，。
河南省南阳市第一中学2022届高三数学上学期第二次月考(9月)试题 文
河南省南阳市第一中学2022届高三数学上学期第二次月考（9月）试题 文一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{}|02A x x =<<，13|log 2B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =( )A ．{}|0x x >B ．1|09x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．{}|02x x << D ．1|29x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭2．已知函数()2xy f =的定义域是[1,1]-，则函数()3log f x 的定义域是（ ）A ．[1,1]-B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[1,3]D ．[3,9]3．已知x 、y R ∈，若:224x yp +>，:2q x y +>，则p 是q 的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件4. 设命题0:(0,)p x ∃∈+∞，00132016xx +=；命题:,(0,)q a b ∀∈+∞，11,a b b a++中至少有一个不小于2。
则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝5．设，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>6．已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为（ ）A ．y x =-B ．2y x =-+C ．y x =D ．2y x =-7．已知函数()()()1,0ln 2,20a x a x f x x x ⎧-+>⎪=⎨+-<≤⎪⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．ln 2a <B ．ln 2a ≤C ．0a >D ．12ln <≤a 8．函数()()22xf x x x e =-的图象大致为( )A B C D9.已知函数112,1()2,1x x x f x x --⎧≥=⎨<⎩，若()2(22)2f x f x x -≥-+，则实数x 的取值范围是（ ）A ．[2,1]--B ．[1,)+∞C ．RD ．(,2][1,)-∞-+∞10．已知函数521log (21),(,3)()21022,[3,)x x f x x x x ⎧-∈⎪=⎨⎪-+∈+∞⎩，若方程()f x m =有4个不同的实根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则341211()()x x x x ++=( ) A ．12B ．16C ．18D ．2011．函数()f x 对于任意实数x ，都()()f x f x -=与)1()1(x f x f +=-成立，并且当01x ≤≤时，()2f x x =.则方程()02019xf x -=的根的个数是（ ） A ．2020 B ．2019C ．1010D ．100912．已知函数()31443f x x x =-+在区间()225,a a -上存在最大值，则实数a 的取值范围是( ) A ．32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．()2,2-C ．2,2⎡⎤-⎣⎦D ．32,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数()()2322log log 4f x x x =-+，(]1,4x ∈的值域为__________.14．已知函数21()3ln 2f x x ax x =+-在区间1[,2]3上是增函数，则实数a 的取值范围为 15．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()(1)f x f x y f x '>=+且是偶函数，2(0)2f e =，则不等式()2x f x e <的解集为16．已知函数211,0()62ln ,0a x x f x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩，若关于x 的方程()()0f x f x +-=在定义域上有四个不同的解，则实数a 的取值范围是_______.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）设p ：实数a 满足不等式3113a -≥（），:q 函数3213()392a f x x x x -=++无极值点. （1）若p q ⌝∧为假命题，p q ⌝∨为真命题，求实数a 的取值范围；20001202020192019,2019log ,2020log ===c b a（2）若p q ∧为真命题，并记为r ，且t ：12a m >+或a m <，若t 是r ⌝的必要不充分条件，求m 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知函数()()2210g x ax ax b a =-++>在区间[]2,3上有最大值4和最小值1，设()()g x f x x=.（1）求,a b 的值； （2）若不等式()220xxf k -⋅≥在区间[]1,1-上恒成立，求实数k 的取值范围.19．（本小题满分12分）某种出口产品的关税税率为t ，市场价格x (单位:千元)与市场供应量p (单位:万件)之间近似满足关系式:2))(1(2b x kt p --=,其中k 、b 均为常数.当关税税率75%t =时,若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；若市场价格为7千元,则市场供应量约为2万件. （1）试确定k 、b 的值；（2）市场需求量q (单位:万件)与市场价格x 近似满足关系式：2xq -=,当p q =时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值.20．（本小题满分12分）已知函数()()()()2ln 0,f x a x x a g x x =+>=．（1）若()f x 的图象在1x =处的切线恰好也是()g x 图象的切线．求实数a 的值；（2）对于区间[]1,2上的任意两个不相等的实数12,x x 且12x x <，都有()()()()2121f x f x g x g x -<-成立．试求实数a 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数R m x m x x f ∈+-=,ln )1()(2.若函数)(x f 有两个极值点21,x x ，且21x x <，求12)(x x f 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数()()()221ln f x x m x x m R =-++∈.（1）当12m =-时，若函数()()()1ln g x f x a x =+-恰有一个零点，求a 的取值范围； （2）当1x >时，()()21f x m x <-恒成立，求m 的取值范围.高三2022年秋期第二次月考文科数学答案DDABCA BBDDAD 13.7,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 14.8[,)9+∞ 15.(,2)-∞ 16.1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭16.若()()0f x f x +-=在定义域上有四个不同的解等价于21162a y x x =++关于原点对称的函数21162a y x x =-+-与函数f (x )=lnx -x (x >0)的图象有两个交点，联立可得211ln 062a x x x x -++=-有两个解，即2311ln 62a x x x x x =-++可设()2311ln 62g x x x x x x =-++，则()21ln 2232g x x x x '=-++，进而()120g x x x''=+-≥且不恒为零，可得()g x '在()0,∞+单调递增.由()10g '=可得01x <<时，()0,()g x g x '<单调递减；1x >时，()0,()'>g x g x 单调递增，即()g x 在1x =处取得极小值且为13-作出()y g x =的图象，可得103-<<a 时，211ln 062a x x x x -++=-有两个解. 17.解：若p 为真，则3a ≤， 又21'()(3)33f x x a x =+-+，若q 为真，令0∆≤，则15a ≤≤；（1）由p q⌝∧为假命题，p q ⌝∨为真命题，则p ⌝与q 一真一假 若p ⌝为真，q 为假，则351a a a >⎧⎨><⎩或，5a ∴>若p ⌝为假，q 为真，则315a a ≤⎧⎨≤≤⎩，13a ∴≤≤综上，实数a 的取值范围为5a >或13a ≤≤ ；（2）若p q ∧为真，则13a ≤≤，:3r a ∴⌝>或1a <1:2t a m ∴>+或a m <又t 是r ⌝的必要不充分条件，1132m m ≥⎧⎪∴⎨+≤⎪⎩，512m ∴≤≤. 18.（1）()()2g x a x 11b a =-++-，因为a 0>，所以()g x 在区间[]23，上是增函数，故()()21{34g g ==，解得1{0a b ==． （2）由已知可得()12=+-f x x x ，所以()20-≥x f kx 可化为12222+-≥⋅x xx k ，化为2111+222-⋅≥x x k （），令12=x t ，则221≤-+k t t ，因[]1,1∈-x ，故1,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ，记()221=-+h t t t ，因为1,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ，故()0=min h t ， 所以k 的取值范围是(],0∞-．19.（1）由已知22(10.75)(5)(10.75)(7)1222k b k b ----⎧=⎪⎨=⎪⎩，22(10.75)(5)0(10.75)(7)1k b k b ⎧--=⎨--=⎩解得，5,1b k == （2）当p q =时，2(1)(5)22t x x ---=所以221(1)(5)1125(5)10x t x x t x x x--=-=+=++-⇒- 而25()f x x x =+在(0,4]上单调递减，所以当4x =时，()f x 最小值414， 故当4x =时，关税税率的最大值为500%. 20.（1）∵()()ln f x a x x =+,∴()11f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭'， ∴ ()12f a '=， 又()1f a =，∴()f x 的图象在1x =处的切线方程为()21y a a x -=-， 即2y ax a =-，由22y ax a y x=-⎧⎨=⎩，消去y 整理得得220,x ax a -+= 则2440a a ∆=-=，解得 1a =；（2）由条件可知()()()()()221112f x g x f x g x x x -<-<，设()()()()2ln F x f x g x a x x x =-=+-，则由条件可得()F x 在[]1,2上单调递减， ∴ ()()2120a x x F x x+-'=≤在[]1,2上恒成立，∴ ()2120a x x +-≤在[]1,2上恒成立，即221x a x ≤+在[]1,2上恒成立， ∵ 22221111124x x x =≥+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，当x 2=时等号成立。
湖南省长郡中学高三第二次月考（数学文）
长郡中学高三月考试卷（二）文科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知a 、R b ∈，集合{,1},{,0},:b M N a f x x a==→表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a b +的值为A ．1-B ．0C ．1D ．1±2．将函数sin()()6y x x R π=+∈的图象上所有的点向左平行移动4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为A ．5sin(2)()12y x x R π=+∈ B ．5sin()()212x y x R π=+∈ C ．sin()()212x y x R π=-∈ D ．5sin()()224x y x R π=+∈3．函数2()2ln f x x x =-的单调减区间是A ．(0,1]B ．[1,)+∞C ．(,1]-∞-及(0,1]D ．[1,0)-及(0,1]4．数列{}n a ，已知对任意正整数123,21n n n a a a a ++++=-，则2222123n a a a a ++++ 等于A ．2(21)n - B ．1(21)3n-C ．1(41)3n - D ．41n- 5．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则55是 A ．乙胜的概率 B ．乙不输的概率C ．甲胜的概率D ．甲不输的概率6．已知(0,0),(30,0),(30,30),(0,30),(12,0),(30,18),(18,30),(0,12)O A B C E F P Q ，在正方形OABC 内任意取一点，该点在六边形OEFBPQ 内的概率为 A ．425 B ．2125 C ．725 D ．16257．O 是ABC ∆所在平面内一点，满足222222OA BC OB AC OC AB +=+=+，则O 是ABC ∆的A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心 8．已知函数13y x x =-++的最大值为M ，最小值为m ，则mM的值为 A ．14 B ．12C ．22D ．32二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
2024学年宁夏省重点中学高三下学期第二次月考(5月)数学试题试卷
2024学年宁夏省重点中学高三下学期第二次月考（5月）数学试题试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设ln3a =，则lg3b =，则（ ）A ．a b a b ab +>->B ．a b ab a b +>>-C ．a b a b ab ->+>D ．a b ab a b ->>+2．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为( )A ．23B ．34C ．53D ．743．已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论不正确的是（ ） A ．()y f x =的图像关于点(),0π中心对称 B ．()y f x =既是奇函数，又是周期函数C ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称D ．()y f x =的最大值是324．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．23B ．43C ．2D ．835．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于A B ，两点，若线段AB 中点的横坐标为3，且8AB =，则抛物线的方程是( ) A ．22y x =B ．24y x =C ．28y x =D ．210y x =6．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ） A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种7．已知抛物线22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦，若||1OF =，||8MN =，则OMN 的面积为（ ） A ．22B ．32C ．42D ．3228．设1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点1F 作圆222x y b += 的切线与双曲线的左支交于点P ，若212PF PF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．5D ．69．若集合{|2020}A x N x =∈=，22a =，则下列结论正确的是（ ）A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉10．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A ．B ．C ．D ．11．设复数z 满足|3|2z -=，z 在复平面内对应的点为(,)M a b ，则M 不可能为（ ） A ．3)B ．(3,2)C ．(5,0)D ．(4,1)12．i 是虚数单位，若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-，则乘积ab 的值是( ) A ．－15B ．－3C ．3D ．15二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024-2025学年宁夏银川一中高三上学期第二次月考数学试题及答案
银川一中2025届高三年级第二次月考数 学 试 卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1. 设集合{}1,4A =，{}240B x x x m =-+=，若{}1A B ⋂=，则集合B =（ ）A. {}1,3-B. {}1,3 C. {}1,0 D. {}1,52. 已知函数()10,()31x f x a a a -=>≠-恒过定点(),M m n ，则函数1()n g x m x +=+的图象不经过（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A b a c a-<+ B. 2c ab< C.c c b a> D. b c a c <4. 已知函数()f x 及其导函数(f x '的定义域均为R ，且()1f x '+为奇函数，则（ ）A. ()10f = B. ()20f '=C. ()()02f f = D. ()()02f f '='5. 如图为函数()y f x =在[]6,6-上的图像，则()f x 的解析式只可能是（ ）．A. ())ln cos f x x x=+ B. ())ln sin f x x x=+C. ())ln cos f x x x=- D. ())ln sin f x x x=.6. 当[]0,2πx ∈时，曲线cos y x =与π2cos 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭交点的个数为（ ）A. 3 B. 4C. 5D. 67. 已知3,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π1πtan tan 424αα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则21sin 24cos αα-=（）A. 6+B. 6-C. 17+D. 17-8. 已知(),()f x g x 是定义域为R 函数，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，满足2()()2f x g x ax x +=++，若对任意的1212x x <<<，都有g (x 1)−g (x 2)x 1−x 2>−5成立，则实数a 的取值范围是（ ）A [)0,∞+ B. 5,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭ C. 5,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ D. 5,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二．多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分）9. 下列说法正确的是（ ）A. 函数()2f x x =+与()2g x =是同一个函数B. 若函数()f x 的定义域为[]0,3，则函数(3)f x 的定义域为[]0,1C. 已知命题p ：0x ∀>，20x ≥，则命题p 的否定为0x ∃>，20x <D. 定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2)0f x f x --=，则函数()f x 的周期为210. 已知函数()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A.π2是函数()f x 的周期B. 函数()f x 在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C. 函数()f x 的图象可由函数sin 2y x =向左平移π8个单位长度得到()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. 函数()f x 对称轴方程为()ππZ 48k x k =-∈11. 已知函数()323f x ax ax b =-+，其中实数0,a b >∈R ，则下列结论正确的是（ ）A. ()f x 在()0,∞+上单调递增的.的B. 当()f x 有且仅有3个零点时，b 的取值范围是()0,4a C. 若直线l 与曲线()y f x =有3个不同的交点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，且AB AC =，则1233x x x ++=D. 当56a b a <<时，过点()2,P a 可以作曲线()y f x =的3条切线三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12. 已知函数2()()f x x x a =+在1x =处有极小值，则实数a =______．13. 已知函数y =f (x )为奇函数，且最大值为1，则函数()21y f x =+的最大值和最小值的和为__________.14. 在三角函数部分，我们研究过二倍角公式2cos 22cos 1x x =-，我们还可以用类似方式继续得到三倍角公式．根据你的研究结果解决如下问题：在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若π3A ≤，3cos 4cos 3cos 0C A A +-=，则()14tan tan A B A +-的取值范围是________．四、解答题（共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15. 已知函数()cos ex xf x =.（1）讨论函数()f x 在区间()0,π上的单调性；（2）若存在0π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得00()0f x x λ-≤成立，求实数λ的取值范围.16. 如图，AB 是半圆ACB 的直径，O 为AB 中点，,2OC AB AB ⊥=，直线BD AB ⊥，点P 为 BC上一动点（包括,B C 两点），Q 与P 关于直线OC 对称，记,,POB PF BD F θ∠=⊥为垂足，,PE AB E ⊥为垂足．（1）记 CP的长度为1l ，线段PF 长度为2l ，试将12L l l =+表示为θ的函数，并判断其单调性；（2）记扇形POQ 的面积为1S ，四边形PEBF 面积为2S ，求12S S S =+的值域．17. 已知函数π()2sin()(0,||)2f x x ωϕωϕ=+><，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定．条件①：(0)0f =；条件②：若12()2,()2f x f x ==-，且12x x -的最小值为π2；条件③：()f x 图象的一条对称轴为π4x =-．（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()(6g x f x f x π=++，若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()2g α=，求π()224f α-的值．18. 已知函数(1)()ln 1a x f x x x -=-+．（1）当2a =时，求函数()f x 在点(1,(1))f 处切线方程；（2）若函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）讨论函数()f x 的零点个数．19. 定义：如果函数()f x 在定义域内，存在极大值()1f x 和极小值()2f x ，且存在一个常数k ，使()()()1212f x f x k x x -=-成立，则称函数()f x 为极值可差比函数，常数k 称为该函数的极值差比系数．已知函数()1ln f x x a x=--．（1）当52a =时，判断()f x 是否为极值可差比函数，并说明理由；（2）是否存在a 使()f x 的极值差比系数为2a -？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（352a ≤≤，求()f x 的极值差比系数的取值范围．的银川一中2025届高三年级第二次月考数 学 试 卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1. 设集合{}1,4A =，{}240B x x x m =-+=，若{}1A B ⋂=，则集合B =（ ）A. {}1,3-B. {}1,3 C. {}1,0 D. {}1,5【答案】B 【解析】【分析】根据交集结果知1B ∈，将x =1代入方程求出m ，再求集合B 即可.【详解】由{}1A B ⋂=可知：21403m m -+=⇒=，当3m =时，2430x x -+=，解得：x =1或3x =，即{}1,3B =．故选：B2. 已知函数()10,()31x f x a a a -=>≠-恒过定点(),M m n ，则函数1()n g x m x +=+的图象不经过（ ）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数的性质求解．【详解】01a = ，1()3x f x a-∴=-恒过定点()1,2-，1m ∴=，2n =-，11(1)1g x x x-=++=∴，其图象如图所示，因此不经过第四象限，故选：D ．3. 已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A. b a c a -<+B. 2c ab< C.c c b a> D. b c a c <【答案】D 【解析】【分析】由数轴知0c b a <<< ，不妨取=3,2,1c b a -=-=-检验选项得解.【详解】由数轴知0c b a <<< ，不妨取=3,2,1c b a -=-=-，对于A ，2121-+>-- ，∴ 不成立.对于B ，2(3)(2)(1)->-- ，∴ 不成立.对于C ， 3231-<---，∴ 不成立.对于D ，(3)1(3)2-<´--´- ，因此成立. 故选：D ．【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．4. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且()1f x '+为奇函数，则（ ）A. ()10f = B. ()20f '=C. ()()02f f = D. ()()02f f '='【答案】C 【解析】【分析】取()1f x x '+=，()212f x x x c =-+，逐项判断.【详解】解：因为函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且()1f x '+为奇函数，所以不妨设()1f x x '+=，则()1f x x '=-，()()21,01f f '='=-，故BD 错误；取()212f x x x c =-+，则()()()11,022f c f f c =-==，故A 错误，C 正确，故选：C5. 如图为函数()y f x =在[]6,6-上的图像，则()f x 的解析式只可能是（ ）．A. ())ln cos f x x x=+ B. ())lnsin f x x x=+C. ())ln cos f x x x=- D. ())ln sin f x x x=【答案】A 【解析】【分析】判断函数的奇偶性，结合函数在给定区间上的符号，利用排除法求解即可．【详解】对于B.()f x 的定义域为R，且())sin()f x x x -=--)sin )sin ()x x x x f x =--==，故()f x 为偶函数；对于D.()f x 的定义域为R，且())sin()f x x x -=+-)sin )sin ()x x x x f x =-+=-=，故()f x 为偶函数；由图象，可知()y f x =奇函数，故排除B 、D ；对于C.当π02x <<时，由22221(1)21x x x x =+<+=++，可知01x <<，则)0x <，而cos 0x >，此时()0f x <，故排除D ；故选：A.6. 当[]0,2πx ∈时，曲线cos y x =与π2cos 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭交点的个数为（ ）A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】D【解析】为【分析】分别画出cos y x =与π2cos 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在[]0,2π上的函数图象，根据图象判断即可.【详解】cos y x =与π2cos 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在[]0,2π上的函数图象如图所示，由图象可知，两个函数图象交点的个数为6个.故选：D.7. 已知3,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π1πtan tan 424αα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则21sin 24cos αα-=（）A. 6+B. 6-C. 17+D. 17-【答案】A 【解析】tan α，然后结合二倍角公式及同角基本关系对所求式子进行化简，即可求解.【详解】因为3,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π1πtan tan 424αα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1tan 11tan 1tan 21tan αααα+-=⨯-+，tan 1α<-，解得tan 3α=--或tan 3α=-+（舍)，则()222221sin 2sin cos 2sin cos 1tan 2tan 14cos 4cos 4ααααααααα-+-==-+()()2211tan 131644α----=+==故选：A.8. 已知(),()f x g x 是定义域为R 的函数，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，满足2()()2f x g x ax x +=++，若对任意的1212x x <<<，都有()()12125g x g x x x ->--成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. [)0,∞+ B. 5,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭ C. 5,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ D. 5,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】根据奇偶函数构造方程组求出()g x 的解析式，再根据题意得到()232h x ax x =++在()1,2x ∈单调递增，分类讨论即可求解．【详解】由题意可得()()22f x g x ax x -+-=-+，因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，所以()()22f x g x ax x -+=-+，联立()()()()2222f xg x ax x f x g x ax x ⎧+=++⎪⎨-+=-+⎪⎩，解得()22g x ax =+，又因为对于任意的1212x x <<<，都有()()12125g x g x x x ->--成立，所以()()121255g x g x x x -<-+，即()()112255g x x g x x +<+成立，构造()()2552h x g x x ax x =+=++，所以由上述过程可得()252h x ax x =++在()1,2x ∈单调递增，若0a <，则对称轴0522x a =-≥，解得5<04a -≤；若0a =，则()52h x x =+在()1,2x ∈单调递增，满足题意；若a >0，则对称轴0512x a=-≤恒成立；综上，5,4a ∞⎡⎫∈-+⎪⎢⎣⎭．故选：B二．多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分）9. 下列说法正确的是（ ）A. 函数()2f x x =+与()2g x =是同一个函数B. 若函数()f x 的定义域为[]0,3，则函数(3)f x 的定义域为[]0,1C. 已知命题p ：0x ∀>，20x ≥，则命题p 的否定为0x ∃>，20x <D. 定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2)0f x f x --=，则函数()f x 的周期为2【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，两函数定义域不同；B 选项，令033x ≤≤，求出01x ≤≤，得到函数定义域；C 选项，全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定；D 选项，根据函数为偶函数得到f (−x )=f (x )，故()(2)f x f x -=-，得到函数周期.【详解】A 选项，()2f x x =+的定义域为R ，令20x +≥，解得2x ≥-，故()2g x =的定义域为2x ≥-，定义域不同，A 错误；B 选项，令033x ≤≤，解得01x ≤≤，故函数(3)f x 的定义域为[]0,1，B 正确；C 选项，命题p 的否定为0x ∃>，20x <，C 正确；D 选项，()f x 偶函数，故f (−x )=f (x )，又()(2)f x f x =-，故()(2)f x f x -=-，则函数()f x 的周期为2，D 正确.故选：BCD10. 已知函数()sin 2f x x ⎛= ⎝）A.π2是函数()f x 的周期B. 函数()f x 在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C. 函数()f x 的图象可由函数sin 2y x =向左平移π8个单位长度得到()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. 函数()f x 的对称轴方程为()ππZ 48k x k =-∈【答案】ACD 【解析】【分析】利用三角函数图象与性质逐一判断选项即可.【详解】因为()πππsin 2πsin 2244f x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以π2是函数()f x 的周期，故A 为的正确；∵π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ππ7π2,4412u x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又sin sin y u u ==在π7π,412⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故B 错误；∵函数sin 2y x =向左平移π8个单位长度得到ππsin 2sin 284x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；令2π4π2k x +=，得()ππZ 48k x k =-∈，故D 正确，故选：ACD ．11. 已知函数()323f x ax ax b =-+，其中实数0,a b >∈R ，则下列结论正确的是（ ）A. ()f x 在()0,∞+上单调递增B. 当()f x 有且仅有3个零点时，b 的取值范围是()0,4a C. 若直线l 与曲线()y f x =有3个不同的交点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，且AB AC =，则1233x x x ++=D. 当56a b a <<时，过点()2,P a 可以作曲线()y f x =的3条切线【答案】BCD 【解析】【分析】选项A 根据导函数及0a 可判断单调性；选项B 根据极大值极小值可得；选项C 由三次函数对称中心可得；选项D ，先求过点P 的切线方程，将切线个数转化为()322912g x ax ax ax a =-++与y b=图象交点个数，进而可得.【详解】选项A ：由题意可得()()236=32f x ax ax ax x ='--，令()0f x '=解得0x =或2x =，因为0a >，所以令f ′(x )>0解得0x <或2x >，令f ′(x )<0解得02x <<，故()f x 在区间(),0∞-或()2,∞+上单调递增，在(0,2)上单调递减，故A 错误，选项B ：要使()f x 有且仅有3个零点时，只需()()0020f f ⎧>⎪⎨<⎪⎩即08120b a a b >⎧⎨-+<⎩，解得04b a <<，故B正确；选项C ：若直线l 与曲线y =f (x )有3个不同的交点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，且AB AC =，则点A 是三次函数()f x 的对称中心，设()()236h x f x ax ax ==-'，则()66h x ax a '=-，令()0h x '=，得1x =，故()f x 的对称中心为(1,f (1))，123133x x x x ++==，故C 正确；选项D ：()236f x ax ax '=-，设切点为()32000,3C x ax ax b -+，所以在点C 处的切线方程为：()()()3220000336y ax ax b ax ax x x --+=--，又因为切线过点()2,P a ，所以()()()32200003362a ax ax b ax ax x --+=--，解得320002912ax ax ax a b -++=，令()322912,g x ax ax ax a y b =-++=，过点()2,P a 可以作曲线y =f (x )的切线条数可转化为y =g (x )与y b =图象交点个数，()()()261812612g x ax ax a a x x =-+=--'，因为0a >，所以()0g x '>得1x <或2x >，()0g x '<得12x <<，则()g x 在(),1∞-，()2,∞+上单调递增，在()1,2上单调递减，且()16g a =，()25g a =，()g x 图象如图所示，所以当56a b a <<时，y =g (x )与y b =图象有3个交点，即过点()2,P a 可以作曲线y =f (x )的3条切线，故D 正确，故选：BCD三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12. 已知函数2()()f x x x a =+在1x =处有极小值，则实数a =______．【答案】1-【解析】【分析】通过对函数()f x 求导，根据函数()f x 在1x =处有极小值，可知()0f x '=，解得a 的值，再验证即可求出a 的值．【详解】因为2()()f x x x a =+，所以22322()(2)2f x x x ax a x ax a x =++=++，所以22()34f x x ax a '=++，而函数2()()f x x x a =+在1x =处有极小值，所以()10f '=，故2340a a ++=，解得11a =-或23a =-，当23a =-时，()23129f x x x =-+'，令f ′(x )<0，()1,3x ∈，令f ′(x )>0，()(),13,x ∞∞∈-⋃+，故此时()f x 在()(),1,3,∞∞-+上单调递增，在()1,3上单调递减，此时()f x 在1x =处有极大值，不符合题意，排除，当11a =-时，()2341f x x x '=-+，令f ′(x )<0，1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令f ′(x )>0，()1,1,3x ∞∞⎛⎫∈-⋃+ ⎪⎝⎭，故此时()f x 在()1,,1,3∞∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，此时()f x 在1x =处有极小值，符合题意，故答案为：1-.13. 已知函数y =f (x )为奇函数，且最大值为1，则函数()21y f x =+的最大值和最小值的和为__________.【答案】2【解析】【分析】根据奇函数的性质求解即可.【详解】奇函数如果存在最值，则最大值和最小值之和为0，所以函数()f x 最大值和最小值之和为0，则函数()21y f x =+的最大值和最小值之和为2.故答案为：2.14. 在三角函数部分，我们研究过二倍角公式2cos 22cos 1x x =-，我们还可以用类似方式继续得到三倍角公式．根据你的研究结果解决如下问题：在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若π3A ≤，3cos 4cos 3cos 0C A A +-=，则()14tan tan A B A +-的取值范围是________．【答案】⎫⎪⎪⎭【解析】【分析】利用32A A A =+，再根据整体思想将()cos3cos 2A A A =+转化为两角和的余弦值化简，再利用诱导公式可得2B A =，根据锐角三角形性质可得A 取值范围，从而得tan A 的取值范围，代入()14tan tan A B A +-化简即可得出结论.【详解】三倍角公式：()cos3cos 2cos 2cos sin 2sin A A A A A A A =+=-()()222cos 1cos 21cos cos A A A A =---34cos 3cos A A =-，因为3cos 4cos 3cos C A A +-=，所以cos cos30C A +=.故()cos cos30cos cos3cos π3π32C A C A A C A B A +=⇒=-=-⇒=-⇒=，△ABC 为锐角三角形，故π0,2π02,2π0π3,2A A A ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩解得ππ64A <<，tan 1A <<，()114tan 4tan tan tan A A B A A ⎫+=+∈⎪⎪-⎭．故答案为：⎫⎪⎪⎭四、解答题（共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15 已知函数()cos e xxf x =.（1）讨论函数()f x 在区间()0,π上的单调性；（2）若存在0π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得00()0f x x λ-≤成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）()f x 在3π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； （2）[)0,∞+【解析】【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负求解，（2）将问题转化为存在0π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，000cos 0e x x x λ-≤成立，构造函数()cos π0e 2x x g x x x ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭，求导得函数的最值即可求解．【小问1详解】()sin cos π0e 4x x x f x x +⎛⎫=-=+= ⎪⎝⎭'，解得ππ4x k k =-+∈Z ，，因为x ∈(0,π)，所以3π4x =，当()3π0,04x f x ⎛⎫∈< '⎪⎝⎭，，当x ∈π，f ′(x )>0，所以()f x 在3π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；【小问2详解】()()00000cos 00ex x f x x f x x λλ-≤⇒=-≤，当00x =时，由0cos 0ex x x λ-≤可得10≤不成立，当0π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，000cos e x x x λ≥，令()()2cos πsin cos cos 00e 2ex xx x x x x xg x x g x x x ---⎛⎫=<≤=< ⎪⎝⎭'，恒成立，.故()g x 在π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦单调递减，所以()min π02g x g λ⎛⎫≥==⎪⎝⎭，所以λ的取值范围为[)0,∞+.16. 如图，AB 是半圆ACB 的直径，O 为AB 中点，,2OC AB AB ⊥=，直线BD AB ⊥，点P 为 BC上一动点（包括,B C 两点），Q 与P 关于直线OC 对称，记,,POB PF BD F θ∠=⊥为垂足，,PE AB E ⊥为垂足．（1）记 CP的长度为1l ，线段PF 长度为2l ，试将12L l l =+表示为θ的函数，并判断其单调性；（2）记扇形POQ 的面积为1S ，四边形PEBF 面积为2S ，求12S S S =+的值域．【答案】（1）12π1cos 2L l l θθ=+=-+在π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减（2）S 的值域为ππ62⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）由题意得π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，根据扇形弧长公式求得1l ，再得PF 长度为2l ，从而得12L l l =+，利用导数判断其单调性；（2）根据扇形面积公式得1S ，再得四边形PEBF 面积为2S ，从而得12S S S =+，求导确定单调性极值与最值即可12S S S =+的函数.【小问1详解】因POB θ∠=，则由题意知π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由题意可得，π2COP θ∠=-，圆半径为1，所以1π2l θ=-，又21cos l PF OB OE θ==-=-，所以12ππ1cos ,022L l l θθθ=+=-+-<<，则1sin 0L θ=-'+<恒成立，所以12π1cos 2L l l θθ=+=-+-在π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减.【小问2详解】由题意可得211ππ21222S θθ⎛⎫=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭，因为,PF BD PE AB ⊥⊥，所以四边形PEBF 为矩形，于是()2sin 1cos S PE BE θθ=⋅=-，所以()12πsin 1cos 2S S S θθθ=+=-+-，其中π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求导得()()1cos 1cos sin sin 1cos cos 2cos 12cos S θθθθθθθθ=-+-+⋅=-+-=-'，令0S '=得1cos 2θ=，即π3θ=，则可得如下表格：θ0π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭π3ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭π2S '-0+Sπ2极小值1由表可知当π3θ=时，min π6S S ==+极小值，max π2S =，所以S 的值域为ππ62⎡⎤⎢⎥⎣⎦.17. 已知函数π()2sin()(0,||)2f x x ωϕωϕ=+><，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定．条件①：(0)0f =；条件②：若12()2,()2f x f x ==-，且12x x -的最小值为π2；条件③：()f x 图象的一条对称轴为π4x =-．（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()(6g x f x f x π=++，若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()2g α=，求π()224f α-的值．【答案】（1）所选条件见解析，()2sin2f x x =；（2）【解析】【分析】（1）根据条件结合三角函数图象性质即可求解；（2）利用三角恒等变换和配凑角即可求解．【小问1详解】选择条件①②：由条件①()00f =，所以2sin 0ϕ=，解得π,Z k k ϕ=∈，又π2ϕ<，所以0ϕ=，由条件②得π22T =，得πT =，所以2π2Tω==，所以()2sin2f x x =；选择条件①③：由条件①()00f =，所以2sin 0ϕ=，解得π,Z k k ϕ=∈，又π2ϕ<，所以0ϕ=．由条件③，得ππ(π+,Z 42k k ω⨯-=∈，解得42,Z k k ω=--∈，所以()f x 的解析式不唯一，不合题意；选择条件②③：由条件②得π22T =，得πT =，所以2π2Tω==，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又()f x 图象的一条对称轴为π4x =-，所以ππ2()π+,Z 42k k ϕ⨯-+=∈，解得()1πk ϕ=+，又π2ϕ<，所以0ϕ=，所以()2sin2f x x =；【小问2详解】解：由题意得()π2sin22sin(23g x x x =++ππ2sin22sin 2cos2cos 2sin 33x x x =++3sin22x x=+π)6x =+，因为()2g α=，所以π6α+=，即π3sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ2π(,663α+∈，若ππ2π[,623α+∈，则πsin()6α+∈，又π3sin 65α⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，所以πππ(,)662α+∈，因为22ππsin (cos (166αα+++=，所以π4cos()65α+=±，又πππ(,662α+∈，所以π4cos(65α+=，所以ππ()2sin 2()224224f αα-=-π2sin()12α=-ππ2sin[(]64α=+-ππππ2sin()cos 2cos()sin6464αα=+-+=18. 已知函数(1)()ln 1a x f x x x -=-+．（1）当2a =时，求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）讨论函数()f x 的零点个数．【答案】（1）0y =； （2）(],2∞-；（3）2a ≤时，()f x 有1个零点，2a >时，()f x 有3个零点【解析】【分析】（1）由导数法求切线即可；（2）函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增等价于()212()01af x x x '=-≥+在(0,)+∞上恒成立，即()2111222x x a xx+≤=++在(0,)+∞上恒成立，由均值不等式求1122x x ++最小值即可；（3）当2a ≤，由（2）中()f x 在区间(0,)+∞上单调递增可得()f x 有1个零点，当2a >，由导数法讨论()f x 的单调性，再结合零点存在定理判断即可.【小问1详解】()ln f x x a =-，()()()22222112()11x a x a f x x x x x --+'=-=++，(1)0f =，当2a =时，()214(1)01f x x '=-=+，故函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为0y =；【小问2详解】函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增等价于()212()01a f x x x '=-≥+在(0,)+∞上恒成立，即()2111222x x a xx+≤=++在(0,)+∞上恒成立，∵111222x x ++≥=，当且仅当122x x =即1x =时成立，故实数a 的取值范围为(],2-∞；【小问3详解】由（2）得，当2a ≤，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，又(1)0f =，故()f x 有1个零点；当2a >，令()2()221g x x a x =--+，由()0g x =得，11x a =--，21x a =-，()10,1x ==，()21,x =++∞，由二次函数性质，在()10,x 上，()0g x >，()0f x '>；在()12,x x 上，()0g x <，()0f x '<；在()2,x +∞，()0g x >，()0f x '>，∴()f x 在()10,x ，()2,x +∞单调递增，在()12,x x 单调递减，又(1)0f =，∴()10f x >，()20f x <，又(e )0e 12aa a f =>+，e (e )210e 1a a a f a -⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭，所以存在唯一的()()()3141252e ,,,,,e a a x x x x x x x -∈∈∈，使得()()()3450f x f x f x ===，即()f x 有3个零点．【点睛】（1）含参不等式恒成立问题，一般通过构造函数解决.一般将参数分离出来，用导数法讨论不含参数部分的最值；或者包含参数一起，用导数法对参数分类讨论.当参数不能分离出来时，也可尝试将不等式左右变形成一致形式，即可将该形式构造成函数，通过导数法.（2）含参函数零点个数问题，i. 一般对参数分类讨论，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象与零点存在定理判断；ii. 将参数分离出来，用导数法讨论不含参数部分的单调性，由数形结合，转化成两个图象交点的问题；19. 定义：如果函数()f x 在定义域内，存在极大值()1f x 和极小值()2f x ，且存在一个常数k ，使()()()1212f x f x k x x -=-成立，则称函数()f x 为极值可差比函数，常数k 称为该函数的极值差比系数．已知函数()1ln f x x a x x =--．（1）当52a =时，判断()f x 是否为极值可差比函数，并说明理由；（2）是否存在a 使()f x 的极值差比系数为2a -？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（352a ≤≤，求()f x 的极值差比系数的取值范围．【答案】（1）()f x 是极值可差比函数，理由见解析；（2）不存在a 使()f x 的极值差比系数为2a -，理由见解析；（3）102ln2,23ln23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．【解析】【分析】（1）利用函数的导函数求出单调区间，由此得出极大值与极小值，由“极值可差比函数”的定义，求出极值差比系数k 的值，这样的值存在即可判断.（2）反证法，假设存在这样的a ，又“极值可差比函数”的定义列出等量关系，证明无解即可.（3）由（2）得到参数a 与极值点的关系式，对关系式进行转化，得出相应函数，利用导函数求出单调性即可得出函数取值范围.【小问1详解】当52a =时，()15ln (0)2f x x x x x =-->，所以()()()2221215122x x f x x x x-='-=+-，当()10,2,2x ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪⎝⎭时，f ′(x )>0；当1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，f ′(x )<0，所以()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,∞+上单调递增，在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 极大值为153ln2222f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，极小值为()352ln222f =-，所以()110122ln22232f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此()f x 是极值可差比函数．【小问2详解】()f x 的定义域为()()210,,1a f x x x ∞+=+-'，即()221x ax f x x -+'=，假设存在a ，使得()f x 的极值差比系数为2a -，则12,x x 是方程210x ax -+=的两个不等正实根，21212Δ401a x x ax x ⎧=->⎪+=⎨⎪=⎩，解得2a >，不妨设12x x <，则21x >，由于()()1211221211ln ln f x f x x a x x a x x x ⎛⎫-=----- ⎪⎝⎭的()11212211ln x x x a x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()()11121221222ln 2ln ,x x a x x a x x x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪-⎝⎭所以112222ln x a a x x x -=--，从而11221ln 1x x x x =-，得()22212ln 0,*x x x --=令()()2222121(1)2ln (1),0x x x g x x x x g x x x x-+-=-->==>'，所以()g x 在(1,+∞)上单调递增，有()()10g x g >=，因此()*式无解，即不存在a 使()f x 的极值差比系数为2a -．【小问3详解】由（2）知极值差比系数为11222ln x a x x x --，即1211222ln x x x x x x +--，不妨设120x x <<，令()12,0,1x t t x =∈，极值差比系数可化为12ln 1t t t +--，()2122121221122x x x x a t x x x x t+==++=++，52a ≤≤，解得1142t ≤≤，令()()212ln 1112ln ,142(1)t t t t p t t t p t t t +-+⎛⎫=-≤≤= '⎪--⎝⎭，设()()2221121212ln 1,14t t h t t t t h t t t t t --⎛⎫=+-≤≤=--= ⎪'⎝⎭22(1)0t t-=-≤所以()h t 在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当1,14t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()1102h t h h ⎛⎫≥>= ⎪⎝⎭，从而()0p t '>，所以()p t 在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()1142p p t p ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()102ln223ln23p t -≤≤-．故()f x 的极值差比系数的取值范围为102ln2,23ln23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．【点睛】思路点睛：合理利用导函数和“极值可差比函数”定义，在（2）利用极值点的性质找到几个变量间的基本关系，利用函数单调性判断方程无解。
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2014届毕业班第二次月考
数学文
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名，准考证号填写清楚，并帖好条形码。
请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分。
共60分。
在每小题绘出的四个选项中。
只
有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U ＝R ，集台M ＝{x ｜2x
＞1}，集合N ＝{x ｜2log x ＞1}，则下列结论中成立
的是
A ．M ∩N ＝M
B ．M ∪N ＝N
C ．M ∩（C U
N ）＝φD ．（C
U M ）∩N ＝
φ
2．设z ＝1－i （i 是虚数单位），则
2
z
＋z 等于 A ．2－2i B ．2＋2i C ．3－i D ．3＋i
3．已知P （x 0，y 0）是直线L ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋（Ax 0＋By 0
＋C ）＝0
A ．过点P 且与L 垂直的直线
B ．过点P 且与L 平行的直线
C ．不过点P 且与L 垂直的直线
D ．不过点P 且与L 平行的直线 4．已知f （x ）＝
214x ＋sin （2
π
＋x ），()f x '为f （x ）的导函数，则()f x '的图像是
5．已知一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 A ．10π＋96 B ．9π＋96 C ．8π＋96 D ．8π＋80 6．已知等差数列{n a }的前n 项的和为n S ，若
6
5a a ＝911
, 则
11
9
S S 等于 A ．1 B ．－1 C ．2 D ．
12
7．执行右边的程序框图，若t ∈[－1，2]，则S ∈
A ．[－1，1）
B ．[0，2]
C ．[0，1）
D ．[－1，2] 8．已知命题p ：x ∃∈（－∞，0），3x ＜4x
；命题q ：x ∀
∈（0，＋∞），x ＞sinx ，则下列命题中真命题是 A ．p ∧q B ．p ∨（q ⌝） C ．p ∧（p ⌝） D ．（p ⌝）∧q
9．已知等比数列{n a }的公比为q ，则“0＜q ＜1”是“{n a }
为递减数列”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
10．已知函数f （x ）＝sin （2x ＋θ
（2x ＋θ） （x ∈R ）满足()
2014f x －＝
()
12014f x ，且f （x ）在[0，4
π
]上是减函数，则θ的一个可 能值是 A ．
3
π B ．23π C ．43π D ．53π
11．已知F 1，F 2分别是双曲线2221x a b
2
y －＝
（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一
点，若∠F 1PF 2＝90°，且△F 1PF 2的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
12．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f （2＋x ）＝－f （x ），且当
x ∈[0，1]时，f （x ）＝－2
x ＋1，若a 2[()]f x －bf （x ）＋3＝0在[－1，5]上有5个根 x i （i ＝1，2，…5）， 则x 1＋x 2＋…＋x 5的值为
A ．7
B ．8
C ．10
D ．12
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分。
13．已知向量a ＝（λ，1），b ＝（λ＋2，1），若｜a ＋b ｜＝｜a －b ｜，则实数λ＝_________． 14．如图是甲、乙两名篮球运动员2013年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛
得分的中位数之和为_____________．
15．边长是ABC 内接于体积是的球O ，
则球面上的点到平面ABC 的最大距离为____________． 16．已知函数f （x ）＝32
x bx ＋＋cx ＋d 在区间[－1，2]上是
减函数，那么b ＋c 的最大值是________________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cosA ＝3
2
． （Ⅰ）求2
2sin
2
C
B ＋＋cos2（B ＋
C ）；
（Ⅱ）若a ABC 面积的最大值．
18．（本小题满分12分）
某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30），第2组 [30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50），得到的频率分布直方图
如图所示．
（Ⅰ）上表是年龄的频率分布表，求正整数a ，b 的值； （Ⅱ）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽
样的方法抽取6人，年龄在第1，2，3组的人 数分别是多少?
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，从这6人中随机抽取2人
参加社区宣传交流活动，求恰有1人年龄在第3 组的概率．
19．（本小题满分12分）
如图，已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边 长为4的正方形，△PAD 是正三角形，平面PAD ⊥ 平面ABCD ，E ，F ，G 分别是PD ，PC ，BC 的中 点．
（Ⅰ）求证：平面EFG ⊥平面PAD ；
（Ⅱ）若M 是线段CD 上一点，求三棱锥M －EFG 的
体积．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆2221x a b
2
y ＋＝
（a ＞b ＞0）的左焦点为F 1（－1，0），离心率e ＝12．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若M 是圆2
2
2
x y b ＋＝在第一象限内圆弧上的
一个动点，过点M 作圆2
2
2
x y b ＋＝的切线交 椭圆于P ，Q 两点，问｜F 1P ｜＋｜F 1Q ｜－
｜PQ ｜是否为定值?如果不是，说明理由；如果是，求出定值．
21．（本小题满分12分）
已知函数f （x ）＝2lnx －2
x ＋ax （a ∈R ）．
（Ⅰ）当a ＝2时，求f （x ）的图象在x ＝1处的切线方程； （Ⅱ）若函数g （x ）＝f （x ）－ax ＋m 在[1
e
，e]上有两个零点，求实数m 的取值范围．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答。
如果多做。
则按所做的第一题记分。
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如右图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，直线MN 切⊙O 于点C ，弦BD ∥MN ，AC 与BD 相交于点E ． （Ⅰ）求证：△ABE ≌△ACD ； （Ⅱ）若AB ＝6，BC ＝4，求AE ．
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2
4cos sin θ
θ，直线l 的参数方程为sin x t αα
⎧⎨⎩＝tcos y ＝1＋（t 为参
数，0≤α＜π）．
（Ⅰ）把曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程化为直角坐标方程，并说明曲线C 的
形状；
（Ⅱ）若直线l 经过点（1，0），求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数f （x ）＝｜2x －1｜＋｜ax －3｜，x ∈R ． （Ⅰ）若a ＝1时，解不等式f （x ）≤5；
（Ⅱ）若a＝2时，g（x）＝
1
()
f x m
＋
的定义域为R，求实数m的取值范围．
河南省新乡一中2014届毕业班第二次月考——数学文答案。