三角形的内切圆.习题集(2014-2015)-教师版
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【例1
】 如图所示，ABC △中，内切O ⊙和边BC ，CA ，AB 分别相切于点D ，E ，F .若70FDE ∠=︒，
求A ∠的度数.
O
F
E
D C B A
O F
E
D C B
A
【解析】 分别连接OE ，OF ，则OF AB ⊥，OE AC ⊥
∴3609090180A EOF ∠+∠=︒-︒-︒=︒
而EOF ∠与FDE ∠是同弧所对的圆心角和圆周角 ∴2EOF FDE ∠=∠
∴180240A FDE ∠=︒-∠=︒.
【例2】 如图，O ⊙是ABC △的内切圆，D E F 、、是切点，18cm AB =，20cm BC =，12cm AC =，又直
线MN 切O ⊙于G ，交AB BC 、于M N 、，则BMN △的周长为______________．
O N M G
F E
D
C B
A
【答案】26cm
【例3】 Rt ABC △中，9068C AC BC ∠=︒==，
，，则ABC △的内切圆半径r =________． 【答案】2
【例4】 如图，
O 为Rt ABC ∆的内切圆，9043ACB AC BC ∠=︒==，，，求内切圆半径r ．
4
3O
C
B
A
4
3
O
C
B
A
P
N
M
O C
B
A
【答案】方法一：
连接OA OB OC ，，， ∵43AC BC ==，， ∴5AB =
∵BOC AOC AOB ABC S S S S ∆∆∆∆++=，
设三角形的底BC AB AC ，，各为a b c ，，，
课堂练习
三角形的内切圆学案
即11112222ar br cr ab ++=，∴341345r ⨯==++ 方法二：
设O 切BC AC ，，AB 于M N ，，P 三点， 由切线长定理可知：CN CM AN AP BM BP ===，， ∴()()CM CN CB BM AC AN +=-+- BC AC BP AP =+--
3452BC AC AB =+-=+-= ∵CM CN =，∴1CM =， 由90C OM BC ON AC ∠=︒⊥⊥，，可证得四边形OMCN 为正方形． ∴1OM MC ==，即O 的半径1r =．
【例5】 如图，1O 和2O 为Rt ABC ∆的内切等圆，43AC BC ==，，求1O 的半径r ．
O 2
O 1C
B
A
【答案】连接1212BO AO CO CO ，，，．
则121212ABC BCO ACO CO O ABO O S S S S S ∆∆∆∆=+++梯形， 即34(25)(2.4)234r r r r r r ++++-=⨯，解得5
7
r =
． O 2
O 1
C
B
A
【例6】 如图，12
n O O O ，为Rt ABC ∆的内切等圆，43AC BC ==，，求1O 的半径r ．
O n
O 2
O 1C
B
A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
【答案】参见前一变式的解法，由面积易得，
∵111n n n ABC BO C CO O ACO BAO O S S S S S ∆∆∆∆=+++梯形，
即1111121
3434(22)()[2(1)5]222252
r r n r r n r r ⨯⨯=⨯+⨯+-⨯-+-+， ∴65
12236(1)5
r n n ==++-．
【例7】 如图，若两等圆12O O ，与Rt ABC ∆的边BC 及AC AB ，的延长线相切，且两等圆外
切，求此时两等圆的半径r ．
O 2
O 1B
A
C
【答案】连接121122O O O C O A O B O A ，，，，，
∵112212ABC ACO O O A AO B O O BC S S S S S ∆∆∆∆=+++梯形， 即()()12424523r r r r r r =+⋅++-+，解得，6
7
r =
． 【例8】 若将上面变式中的n 个等圆，放到ABC ∆外相邻两圆相外切，且与线段BC 相切，与线
段AB AC ，的延长线相切，求这些圆的半径r ．
O n
O 1C
B
A
分析：连接111n n n O C O A O O O B O A ，，，，，
则111n n n ABC AO C AO O ABO BCO O S S S S S ∆∆∆∆=++-梯形，
即4(22)(4)5[(22)3]12r n r r r n r r +-⋅++--+=，解得6
41
r n =
-． 【例9】 圆外切四边形的对边和相等：BC AD CD AB +=+；
O
D
C
B
A
【答案】由切线长定理可设线段长度如图所示；
则BC AD d c b a CD AB +=+++=+；
d d c
c
b
b a
a O
H
G F E D
C B A
【例10】 如图1,△ABC 是⊙O 的内接正三角形,点P 为BC 上一动点.
(2)如图2,四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形,点P 为BC 上一动点. (3)如图3,六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形,点P 为BC 上一动点. 请探究P A 、PB 、PC 三者之间有何数量关系，并给予证明.