第 三 章 静电场中的电介质

第 三 章 静电场中的电介质 （6学时）一、目的要求1．掌握电介质极化机制，熟悉极化强度、极化率、介电常数等概念。

2．会求解极化强度和介质中的电场。

3．掌握有介质时的场方程。

4．理解电场能量、能量密度概念，会求电场的能量 。

二、教学内容与学时分配 1．电介质与偶极子（ 1学时） 2．电介质的极化（1学时） 3．极化电荷（ 1学时）4．有电介质时的高斯定理（1学时） 5．有介质的场方程（1学时） 6．电场的能量（1学时） 三、本章思路本章主要研究电介质在静电场中的特性，其基本思路是：电介质与偶极子→电介质的极化→电介质的极化规律 →有介质的静电场方程 →静电场的能量。

四、重点难点重点：有介质的静电场方程 难点：电介质的极化规律。

五、讲授要点§3.1 电介质与偶极子一、教学内容 1．电介质概述 2．电介质与偶极子3．偶极子在外电场中受到的力矩 4．偶极子激发的静电场 二、教学方式、 讲授三、讲课提纲 1.电介质概述电介质是绝缘材料，如橡胶、云母、玻璃、陶瓷等。

特点：分子中正负电荷结合紧密，处于束缚状态，几乎没有自由电荷。

当导体引入静电场中时，导体对静电场有很大的影响，因静电感应而出现的感应电荷产生的静电场在导体内部将原场处处抵消，其体内00='+=E E E ϖϖϖ，且表现出许多特性，如导体是等势体、表面是等分为面、电荷只能分布在表面等；如果将电介质引入电场中情况又如何呢？实验表明，电介质对电场也有影响，但不及导体的影响大。

它不能将介质内部的原场处处抵消，而只能削弱。

介质内的电场00≠'+=E E E ϖϖϖ。

2．电介质与偶极子 (1)电介质的电结构电介质原子的最外层电子不像金属导体外层电子那样自由，而是被束缚在原子分子上，处于事缚状态。

一般中性分子的正负电荷不止一个，且不集中于一点，但它们对远处一点的影响可以等效为一个点电荷的影响，这个等效点电荷的位置叫做电荷“重心”。

分子中电荷在远处一点激发的场近似等于全部正负电荷分别集中于各自的“重心”时激发的场，正负电荷“重心”重合在一起的称无极分子，如 H ,N ,CO 等。

正负电荷“重心”不重合在一起的称有极分子，像SO ,H O,NH 等。

这样一个分子等效为一个偶极子。

(2)偶极子两个相距很近，带等量异号电量的电荷系统叫做偶极子 ①偶极子在外场中受到的力矩均匀外场中，0=∑F ρ但受到一个力矩：θθθsin sin *2*sin *2*qLE LF L F T =+=定义：L q P ρρ= 称为偶极子的偶极矩，上式可写为：E P T ρρρ⨯= 满足右手螺旋关系Q 、L 可以不同。

但只要其乘积qL 相同，力矩便相同。

此力矩总是企图使偶极距转到外电场的方向上去；非均匀外场中，0≠∑F ρ ∑≠0T ρ如摩擦事的笔头吸引纸屑，其实质就是纸屑在笔头电荷的非均匀电场中被极化，等效为偶极子，偶极子受到非均匀电场的作用力（指向场强增大的方向）而向笔头运动。

②偶极子的场中垂面上一点的场强：场点到q ±的距离相等，产生的场强大小相等为：44122l r q E E +==-+πεF ρ图3-3+q-ql ϖE ρF ρθ图3-1图3-2但它们沿垂线方向分量互相抵消，在平行于连线方向分量相等 ，故有：延长线上一点的场强向右，向左， 故总场强大小为偶极子在空间任一点的场强 分解电偶极矩为:应用(1)、(2) 结果叠加得 ： 当说明：（1）偶极子在空间任一点的电场，取决于偶极矩（2）P 在偶极子电场中的地位相当于q 在点电荷电场中的地位，但与r 的依赖关系不同。

四、作业P115 3.2.2 3.2.3§3.2 电介质的极化一、 电介质的极化在外电场的作用下，介质内部（或表面上）出现束缚电荷的现象。

1．无极分子的位移极化3232204)4(412r Pl r ql COS E E πεπεθ≈+==+⊥20)2(41l r qE -=+πε20)2(41l r qE +=-πε+E 302220220//42])4(241)2(1)2(1[4r Pl r qlr l r l r q E E E πεπεπε≈-=+--=-=-+-E θcos //p p =θsin p p =⊥θπεθπεθe r P e r P E r ρρρ30304sin 4cos 2+=304r P E περρ-=2πθ=偶极子中垂面上的电场0=θ3042r PE περρ=偶极子延长线上的电场+q-qrl图3-4图3-5无极分子的正、负电荷中心重合，加外场0E ρ，其正负电荷等效中心将发生一定的相对位移而形成电偶极子，如图3-5所示，在均匀介质内部正负电荷相消，而在两端出现未被抵消的正电荷或负电荷，这种在外电场作用下介质端部出现电荷的现象就叫 极化 。

由于这些电荷不自由而被束缚在原子分子上，所以极化产生的电荷叫极化电荷或束缚电荷。

对于上述极化是因电荷中心位移引起的，所以称作 位移极化 。

2． 有极分子的取向极化外场0E ϖ对有极分子的分p ϖ有力矩作用：0E p L ϖϖρ⨯=分，使分p ϖ转向/趋向外0E ϖ方向，使杂乱的各分p ϖ有向排列。

0E ϖ越强，分p ϖ有向排列越好。

各分p ϖ在0E ϖ方向取向——取向极化。

无序−−→−0E ρ场有序， 各向同性→取向优化。

[综述]一般地，以上兼而有之，在有极分子介质中取向极化占优势。

无论何种极化，外场0E ϖ都要对介质分子做功，即介质储能、耗能。

至于分子电矩是固有的，还是感生的，对产生附加电场E 'ϖ并无两样，在这个意义上可不予区别。

以后常用位移极化微观模型来研究问题。

二、 极化强度矢量对于介质极化的程度和方向，可以用极化强度矢量 P 来描述，它是某点处单位体积Vp P V∆=∑∆分子ρϖV ∆为介质中所取的物理小体元（可看作一个宏观点），其中包含大量分子。

P ϖ的物理意义即：介质中某点单位体积内所有分子电偶极矩之矢量和。

[说明](1)P ϖ是空间矢量点函数，介质中不同点一般P ϖ不同。

0E ϖ0E ϖ0E ϖ加0E ϖ0E ϖ分p ϖ图3-6若常量=P ϖ，即不随空间变，则称介质均匀极化；0=P ϖ可能的情况：真空中无介质分子，谈不上极化；导体中0=E ϖ，谈不上极化；有介质但未极化等。

(2) 若介质均匀，则指常数=r ε,而一般地),,(z y x r r εε=。

(3) P ϖ的单位：2米库。

(4) 设介质内某点),,(z y x 附近单位体积内介质分子数为),,(z y x n ，按统计平均看，当作各分子分p ϖ大小相同且方向排列整齐，有：l nq p n Vp n V Vp z y x P Vϖρρρϖ分分分分==∆⋅⋅∆=∆=∑∆),,(三、极化电荷q '介质极化出现实际存在的电荷——极化电荷，而P ϖ描述介质极化情况，故二者必有联系。

下面研究1、以位移极化为例推导公式：∑⎰'-=⋅内s sq s d P ϖϖ介质内任取体积V ，其周界面为S 。

如图3-6取体元：θcos ds l dV =，则θθπcos )cos(ds p ds p s d p 分分分-=-=⋅ϖρdV 中介质分子极化后通过dS 面元穿出电量为θcos lds nq ndV q q d 分分出-=-='sd P s d np ds np ϖϖϖ⋅=⋅=-=分分θcosE ϖ_内Slϖθ+sd ϖV外E ϖsd ϖS界θlϖrε0ε图3-7图3-8根据电荷守恒定律，正电荷留于dV 内，故dV 内净电荷为s d P q d q d ϖϖ⋅-='-='出对于整体V 、S 有⎰⎰⋅-='='sss d P q d q ϖϖ或写成常用形式∑⎰'-=⋅内s sq s d P ϖϖ上式表明：P ϖ矢量为有源场，其P ϖ线之源为负的极化电荷，也可写成：⎰⎰'-=⋅Vs dV s d P ρϖϖ其中V 为S 所围，ρ'为极化电荷体密度。

若均匀极化，则=P ϖ常矢，有0='ρ。

2、极化电荷面密度σ'在介质表面上，因极化电荷不能穿出表面S ，故相对集中面分布。

表面电荷厚度用斜高l 表示为：θcos l 。

取面元dS ，如图3-8所示，此厚度上净电荷s d n P s d P ds l nq q d ϖϖϖϖϖ⋅=⋅=='θcos 分所以θσcos P P n P dsq d n ==⋅='='ϖϖ四、退极化场E 'ϖ介质处于外场0E ϖ中发生极化，出现极化电荷),(σρ'''q ，q '在空间激发场E 'ϖ ——退极化场，故介质中总场为E E E '+=ϖϖϖ0一般地，E 'ϖ随点而异，且E 'ϖ处处与0E ϖ方向相反，但0E E ϖϖ<'，故E 'ϖ只能削弱 外场，而不能完全抵消外场（导体情况可以完全抵消外场），所以，介质中： 0E E ϖϖ<。

极化过程描述如下：↑→→→极化电荷极化介质0E ϖ↵'−→−E ϖ0ε 可见，决定介质极化程度和状态的是介质中的总场E ϖ。

五、电介质的极化规律介质中合场E E E '+=ϖϖϖ0决定极化强度P ϖ，P ϖ与E ϖ的关系如何即极化规律。

不同物质的P ϖ～E ϖ关系是不同的，需由实验确定。

对于线性介质，P ϖ与E ϖ成正比，其极化规律为⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=Z Y X ZZ Y X Y Z Y X X EE E P E E E P E E E P 330320310230220210130120110χεχεχεχεχεχεχεχεχε 表示成矩阵形式为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡3332312322211312110χχχχχχχχχεZ Y X P P P ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡Z Y X E E E 其中各系数ij χ与场无关。

再若介质为各向同性的，则P E ρϖ//，有⎪⎩⎪⎨⎧==≠=为极化率)()(0j i x x j i x e ij ij 有 ⎪⎩⎪⎨⎧===z z y y xx E p E p E p 330220110χεχεχε即E p e ϖϖχε0=值得指出：公式中的E ϖ为介质中总场。

e χ与E ϖ无关，与介质种类有关，是介质材料属性的反映，是一个纯数。

e χ与r ε属同一类量，有表可查。

如r ε与坐标无关，则为均匀介质。

六、例题例1：试解释经丝绸摩擦过的玻璃棒可吸引轻小物体。

解答：玻璃棒经摩擦带有电荷，在空间产生非均匀电场),,(z y x E ϖ，轻小物_________________________________体为电介质，它在非均匀电场中极化而产生极化电荷，轻小物体所受的电场力指向电场线较密的方向，所以它被吸引而向玻璃棒运动。