组合数学 第四章8母函数和递推关系应用举例
递推关系与母函数法
递推关系与母函数法1.2 递推关系Hanoi塔问题：这是组合数学中的著名问题。
n个圆盘依其半径大小，从下而上套在柱A上，如图1.1所示。
每次只允许取一个转移到柱B或柱C上，而且不允许大盘放在小盘上方。
若要求把柱A上的n个盘转移到柱C上，请设计一种方法，并估计要移动几个盘次，现在只有A，B，C三根柱子可供使用。
设a,b,c是3个塔座。
开始时，在塔座a上有一叠共n个圆盘，这些圆盘自下而上，由大到小地叠在一起。
各圆盘从小到大编号为1,2,…,n,现要求将塔座a 上的这一叠圆盘移到塔座b上，并仍按同样顺序叠置。
在移动圆盘时应遵守以下移动规则：规则1：每次只能移动1个圆盘；规则2：任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘之上；规则3：在满足移动规则1和2的前提下，可将圆盘移至a,b,c中任一塔座上。
图1.1Hanoi塔是个典型的问题，第一步要设计算法，进而估计它的复杂性，即估计工作量。
这一问题有典型的意义，第一步先解决算法问题，即如何完成n个盘的搬动，进一步还要对算法作出复杂性分析，即对要作多少盘次的搬动进行估计。
算法设计：n=时，第一步先把最上面一个圆盘套在柱B上；第二步把第二个圆盘转2移到柱C上；最后再把柱B上的一个圆盘转移到柱C上，到此转移完毕。
假定1n-个盘子的转移算法已经确定。
对于一般n个圆盘的问题，先把上面的1n-个圆盘转称到柱B上，再把最后一上圆盘转移到柱C上，然后把柱B上的1n-个圆盘转移到柱C上，转移完毕。
上述的算法是递归的连用。
2n=时，第一步便利用n=时已给出了算法；3算法把上面两个圆盘移到柱B上，第二步再把第三个圆盘转移到柱C上；最后把柱B上的两个圆盘转移到柱C上，4,5,,n= 以此类推。
图1.1形象地给出4n=的转移过程。
void hanoi (int n, int a, int b, int c) {if (n > 0) {hanoi (n-1, a, c, b); move (a,b);hanoi (n-1, c, b, a); } }算法分析：令n h 表示n 个圆盘所需要的转移盘次。
母函数的概念和使用
母函数的概念和使用
母函数是组合数学中的一种重要工具，用于描述序列的生成函数。
它可以将序列转化为形式简单的多项式，从而方便地进行计算和推导。
形式上，对于序列$\{a_n\}$，它的母函数可以定义为：
$A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+...$
母函数$A(x)$通常被视为$x$的函数，可以进行各种计算操作，比如加法、乘法、求导等。
母函数的使用有以下几个方面：
1. 求序列的常用操作：对于给定的序列，可以通过母函数求导、乘法、加法等操作得到新的序列。
例如，序列的微分对应于母函数的求导，序列的乘法对应于母函数的乘法，序列的加法对应于母函数的加法。
2. 求序列的递推关系：通过构造序列的母函数，可以得到序列的递推关系。
递推关系描述了序列相邻项之间的关系，是解决组合计数问题的关键。
通过求解递推关系，可以得到序列的通项公式，从而得到更深入的结论。
3. 求序列的生成函数：母函数可以将序列转化为一个形式简单的多项式。
通过对母函数进行逆变换，可以得到序列的生成函数，从而用多项式的形式来表示序列。
生成函数是分析序列性
质的一种强有力的工具，可以进行各种计算和推导。
母函数在组合计数、离散数学和概率等领域中具有广泛的应用，可以解决各种组合计数问题，如排列组合、图论、走迷宫等问题。
同时，母函数也是解决一些难题的关键，在一些具有复杂递推关系的序列中起到了重要作用。
母函数（生成函数）
母函数（⽣成函数）介绍母函数是组合数学中相当重要的⼀个知识点，可以⽤来解决⼀些排列组合问题，还有所有的常系数线性齐次递推问题。
如果系数不是常数，需要根据具体情况进⾏处理。
具体的内容可以看组合数学相关书籍或者，由于⼤佬总是想当然地把别⼈当成⼤佬，⼀些内容对（像我这种）蒟蒻来说不是很友好，在这⾥讲⼀下母函数的基础。
（研究母函数时，钦定|x|<1）,这样，由等⽐数列求和公式有：11−x=∑∞i=0x i=1+x+ (x)11−kx=∑∞i=0k i x i=1+kx+...+k∞x∞1.普通型母函数。
假设有⼀个数列a,那么它的母函数其实就是⼀个关于x的多项式，x n的系数为a n，对于已知通项的数列，其母函数可以直接写出来。
⽽对于未知的数列，主要分为两类：递推型和组合型。
递推型就是利⽤错位相消，举个栗⼦：a n=3a n−1+10a n−2,a0=1,a1=2移项，得a n−3a n−1−10a n−2=0，设a n的母函数为G(x)G(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3...−3xG(x)=−3a0x+(−3)a1x2+(−3)a2x3...−10x2G(x)=−10a0x2+(−10)a1x3三⾏相加，可以发现等式右侧除了第⼀⾏的第1,2项和第⼆⾏的第1项外全消掉了。
所以我们可以得到(1−3x−10x2)G(x)=a0+a1x−3a0x=1−x，即G(x)=1−x1−3x−10x2，⽣成函数就求出来了，那如果我们还要求an的通项呢？对于这种东西，我们可以把他化成k1x−A+k2x−B这种形式，其中A和B由分母的因式分解唯⼀确定，然后k1,k2可由待定系数法解得。
然后对于kx−A,总可以化成k′∗11−Nx，就是k′∑∞i=0N i x i，找出x k的系数就是a n，如果母函数拆开成多个该类分式的话各部分相加就好。
具体计算就不算了。
PS:⼀部分⾮齐次线性递推其实也可以这样解，⽐如a n−3a n−1−10a n−2=f(n)，按照上述⽅法错项后会剩下⼀个等⽐数列和前⼏项余项。
组合数学(4)递推递归母函数
ACM 暑期集训 组合数学（4） 递推 递归 母函数1 递推关系序列{a n }=a 0，a 1，…，a n ，…，把 a n 与某些a i (i <n )联系起来的等式叫做关于序列{a n }的递推方程。
当给定递推方程和适当的初值就唯一确定了序列。
递推关系分类： （1）按常量部分：齐次递推关系：指常量＝0，如F(n)=F(n-1)+F(n-2) 非齐次递推关系：指常量≠0，如F(n)=2*F(n-1)+1 （2）按运算关系：线性关系，如上面的两个；非线性关系，如F(n)=F(n-1)*F(n-2)。
（3）按系数：常系数递推关系，如（1）中的两个；变系数递推关系，如D(n)=(n-1)(D(n-1)+D(n-2)。
（4）按数列的多少一元递推关系，只涉及一个数列，上面的均为一元； 多元递推关系，涉及多个数列，如⎩⎨⎧+=+=----111177n n nn n n a b b b a a Fibonacci 数列为1,1,2,3,5,8,13,.....long long data[100]; data[1]=1; data[2]=1;for(int i=3;i<=50;i++) data[i]=data[i-1]+data[i-2]; while(cin>>n) cout<<data[n]<<endl;例1：直线割平面问题。
在一个无限的平面上有N 条直线，试问这些直线最多能将平面分割成多少区域？F(1) = 2; F(2) = 4; F(3) = 7; F(n)=F(n-1)+n; (n>1)int recurrence(int n) //递推 {f[1]=2;for(i=2;i<=n;i++) f[n]=f[n-1]+n; return f[n]; }int recursion(int n) 递归： {if(n==1) return 2;//递归终止条件 else return recursion(n-1)+n; }更快的方法是求出通项：F(n)=n^(n+1)/2+1例2：HDOJ2050 折线割平面问题在一个无限的平面上有N 条折线，试问这些折线最多能将平面分割成多少区域？F(n)=F(n-1)+4n-3; F(n)=2*n^2-n+1;例3：椭圆割平面问题。
《母函数与递推关系》PPT课件
ak
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7 8k1 2
9 10k1 2
验证：a1=8,a2=73
15
§2.2 递推关系
例三：从n个元素a1,a2,….an中取r个进行允许重
复的组合。假定允许重复的组合数用 C(n表, r)
示，其结果可能有以下两种情况。
1）不出现某特定元素设为a1，其组合数 为 C(，n 相1, r当) 于排除a1后从a2,….an 中取r个做 允许重复的组合。
h(1) 1, h(2) 2h(1) 1, h(3) 2h(2) 1,
(1 2x)H ( x) x x2 x3 x /(1 x)
H (x)
x
(1 2x)(1 x)
8
1
H (x) h(k )xk
x
g(x)=1+x+x2+x3+x4+... =
k 1
(1 x)(1 2x)
(1 x)Gn ( x) Gn1( x) 0
系数(1-x)不是常数。但
G1(x) C(1,0) C(1,1)x C(1,2)x2
1 x x2 1
Gn
( x)
1
1
x
Gn1( x)
1 1x (1 x)2
Gn2
(x)
1 (1- x)n-1
G1 ( x)
1 (1- x)n
17
(1 x) 1 x ( 1) x2
尾数不是为5的：9an-1
尾数为5的，前n-1位有奇数个5：bn1 9 10n2 an1
an 9an1 9 10n2 an1
an 8an1 9 10n2 ,
a1 8
x2 : a2 8a1 9 x3 : a3 8a2 90
组合数学 母函数与递推关系
§2.1 母函数 用类似的方法还可以得到：
C (n,1) x 2C (n,2) x 2 3C (n,3) x 3 nC (n, n) x nx(1 x)
n
2 2
n 1
C (n,1) 2 C (n,2) 3 C (n,3) n C (n, n)
2 3 2
§2.2 递推关系 整理得
x x (1 2 x) H ( x) x 1 x 1 x
这两种做法得到的结果是一样的。即：
2
x H ( x) (1 x)(1 2 x)
§2.2 递推关系 如何从母函数得到序列 (1), h(2), ？下 h 面介绍一种化为部分分数的算法。
(1 x) n
§2.2
递推关系
利用递推关系进行计数这个方法在算法 分析中经常用到，举例说明如下： 例一.Hanoi问题：这是个组合数学中的 著名问题。N个圆盘依其半径大小，从下而 上套在A柱上，如下图示。每次只允许取一 个移到柱B或C上，而且不允许大盘放在小 盘上方。若要求把柱A上的n个盘移到C柱上 请设计一种方法来，并估计要移动几个盘 次。现在只有A、B、C三根柱子可用。
C (m n, m) C (n,0)C (m,0) C (n,0)C (m,0) C (n,0)C (m,0) 正法如下： (2 - 1 - 3)
m n
(1 x) (1 1 / x) x (1 x)
n m
m
§2.1 母函数
[C (n,0) C (n,1) x C (n, n) x ]
h(2) x h(3) x H ( x) h(1) x H ( x) x
2 3
右端第一项为：
08母函数应用
§4.3 组合应用例6
§4.3 在排列组合中的应用
例 6 、在一个书架上共有 16 本书，其中 4 本是高等数学， 3 本是普通物理， 4 本是 数据结构，5本是离散数学。求从中选取 r本数的方式数，其中r=12。
4.3.1 在组合中的应用
例 题
解：这实际上是求重集{4*M,3*P,4*S,5*D}的12−组合数。 设ar是选取r本书的方式数。由于高等数学最多只能选取4本， 普通物理最多只能选取3本，数据结构最多只能选取4本，离散 数学最多只能选取5本，故序列{ar}的普通母函数为 f ( x ) (1 x x 2 x 3 x 4 )(1 x x 2 x 3 ) (1 x x 2 x 3 x 4 )(1 x x 2 x 3 x 4 x 5 ) 1 4 x 10 x 2 20 x 3 34 x 4 50 x 5 65 x 6 76 x 7 80 x 8 76 x 9 65 x10 50 x11 34 x12 20 x13 10 x14 4 x15 x16 取f(x)展开式中xr的系数即为所求的方式数。当r=12时，x12的系 数为34，即 a12=34。
§4.3 组合应用例7
§4.3 在排列组合中的应用
例7、现有2n个A，2n个B，2n个C，求从它们 之中选出3n个字母的不同的方式数。
4.3.1 在组合中的应用
例 题
§4.3 组合应用例7
§4.3 在排列组合中的应用
4.3.1 在组合中的应用
解：这个问题实际上是求重集{2n*A,2n*B,2n*C}的3n−组合数。 设ar为所求的方式数。则序列{ar}的普通母函数为 f ( x ) (1 x x 2 ... x 2 n )3 2 n1 3 3 1 x ( 3)( 4)...( 3 k 1) 2 n1 k 1 ( x ) 1 x k! k 1 1 x 3 4 ... (k 2) k 2 n1 4 n 2 6 n 3 1 3x 3x x x 1 k! k 1 k 2 xk 2 n1 4 n 2 6 n 3 1 3x 3x x 2 k 0 显然，上式中x 3 n的系数为 3n 2 3 n 1 2 2 故r 3n时，有a3 n 3n 2 3 n 1 2 2
母函数与求解递推关系
母函数与求解递推关系组合数学⽤的最多的⼯具要算母函数，究竟什么是母函数呢，先看(1+a1x)(1+a2x)⋯(1+a n x)=1+(a1+a2+⋯a n)x+(a1a2+a1a3+⋯a n−1a n)x2+⋯+a1a2⋯a n x n..x1项系数：a1+a2+⋯a n;x2项系数：a1a2+a1a3+⋯a n−1a n；⋯x n项系数：a1a2⋯a n即x k项系数：a1,a2,⋯,a n取k个组合的全体之和，k=1,2,⋯,n.令a1=a2=⋯=a n=1，即得(1+x)n=1+C(n,1)x+C(n,2)x2+⋯+C(n,n)x n另⼀⽅⾯(1+x)m(1+x)n=(1+x)m+n故$$(1+x)m(1+x)n=C(m,0)+C(m,1)+⋯+C(m,m)x m×C(n,0)+C(n,1)x+⋯+C(n,n)x n=C(m+n,0)+C(m+n,1)+⋯+C(m+n,m+n)x m+n$$⽐较上⾯等式得常系数，C(m,0)C(n,k)+C(m,1)C(n,k−1)+⋯+C(m,k)C(n,0)=C(m+n,k),k=0,1,2,⋯,minm,n这样就证明了这个等式，当然也可⽤组合意义证明。
可见 (1+x)n=1+C(n,1)x+C(n,2)x2+⋯+C(n,n)x n在研究序列C(n,0),C(n,1),⋯,C(n,n)时起作⽤.为此引进母函数得概念.定义对于序列C0,C1,C2⋯构造⼀函数G(x)=C0+C1x+C2X2+⋯称G(x)为序列C0,C1,C2⋯的母函数.例如(1+x)n称为序列C(n,0),C(n,1),⋯,C(n,n)的母函数，序列长度可能是有限的，也可能是⽆限的。
若已知序列可求得母函数，反之若求得母函数，序列也随之确定，因此，序列和对应的母函数是⼀⼀对应的。
现利⽤母函数求递推关系的解，⽤汉诺塔做例⼦.H(n)=2H(n−1)+1,H(1)=1补充定义H0=0，并作如下步骤的形式化演算：x:H1=2H0+1x2:H2=2H1+1x3:H3=2H2+1+⋯G(x)=2x[H0+H1x+H2x2+⋯]+[x+x2+x3+⋯]等式两边分别为H0+H1x+H2x2+⋯=2x∞∑k=0H k x k+∞∑k=1x kx+x2+x3+⋯=x[1+x+x2+⋯]=x 1−x所以得G(x)=2xG(x)+x 1−xG(x)=x(1−x)(1−2x)序列H k的母函数已求得，后⾯是设法从G(x)求序列H k.令Processing math: 100%x(1−x)(1−2x)=A1−2x+B1−x解⽅程得A=1,B=−1所以G(x)=11−2x−11−x=(1+2x+22x2+⋯)−(1+x+x2+⋯)因此H n=2n−1,n=1,2,⋯上⾯利⽤母函数求递推关系的序列，构建序列和母函数有座桥：11−x=1+x+x2+⋯。
运用母函数解决问题
运用母函数解决问题母函数是组合数学中一个重要的工具，它能够帮助我们解决一些复杂的组合问题。
在本文中，我们将探讨如何运用母函数来解决一些常见的组合问题。
母函数是一个形式幂级数，它可以表示一类组合对象的生成函数。
对于一个给定的组合对象，我们可以用母函数来表示其不同的可能性。
通过对母函数进行运算，我们可以得到这个组合对象的各个性质。
首先，让我们来看一个简单的例子。
假设我们有三种不同的硬币，分别是1元、2元和5元硬币。
我们想知道用这些硬币凑出10元有多少种方式。
我们可以定义硬币的母函数为：$C(x)=(1+x+x^2+x^3+...)(1+x^2+x^4+x^6+...)(1+x^5+x^{10}+...)$。
这个母函数表示了每种硬币的不同数量的组合方式。
我们可以将这个母函数进行展开：$C(x)=\frac{1}{(1-x)} \cdot\frac{1}{(1-x^2)} \cdot \frac{1}{(1-x^5)}$。
这个展开式告诉我们，用这三种硬币凑出10元的组合方式总数等于展开式中$x^{10}$的系数。
我们可以通过展开式中$x^{10}$的系数来求解这个问题。
在求解中，我们可以使用迭代法、递归法或其他数学方法来简化计算过程。
最终，我们可以得到用这三种硬币凑出10元的组合方式总数。
这个例子展示了母函数在组合问题中的应用。
通过定义一个合适的母函数，并运用适当的运算方法，我们可以解决一些复杂的组合问题。
除了求解组合问题，母函数还可以用于计算组合对象的期望值、方差等。
例如，我们可以通过求解母函数的导数来计算组合对象的期望值。
这些应用使得母函数成为了一个非常强大的解决组合问题的工具。
在实际应用中，我们还可以将母函数与其他数学方法结合起来，进一步拓展其应用领域。
例如，我们可以将母函数与递推关系、生成函数等结合，以解决更加复杂的组合问题。
总结起来，母函数是一种非常有用的工具，它能够帮助我们解决各种组合问题。
组合数学(第二版)母函数及其应用
考虑座位号),其中,甲、乙两 班最少1张,甲班最多5张,乙班最
多6张;丙班最少2张,最多7张;丁班最少4张,最 多10张.可有多
少种不同的分配方案?
母函数及其应用
母函数及其应用
【例 2.1.5】 从n 双互相不同的鞋中取出r 只(r≤n),要求
其中没有任何两只是成对 的,共有多少种不同的取法?
母函数及其应用
(1+x)n .
【例 2.1.2】 无限数列{1,1,…,1,…}的普母函数是
母函数及其应用
说明
(1)an 的非零值可以为有限个或无限个;
(2)数列{an}与母函数一一对应,即给定数列便得知它的
母函数;反之,求得母函数则数列也随之而定;
(3)这里将母函数只看作一个形式函数,目的是利用其有
关运算性质完成计数问题, 故不考虑“收敛问题”,即始终认
红红、黄黄、蓝蓝、红黄、黄红、红蓝、蓝红、黄蓝、 蓝
黄.其它情形依此类推.
母函数及其应用
这里需要说明的是:
(1)在例2.1.3中,利用普母函数可以将组合的每一种情况
都枚举出来,但是对排列问 题,指母函数却做不到,只能对排列
进行分类枚举.正如例2.3.1这样,项ryb 的系数6说 明红、蓝、
黄球各取一个时,有6种排列方案,但每一种方案具体是什么,
(每个数字可重复出现), 要求其中3,7出现的次数为偶数,1,5,9
出现的次数不加限制.
母函数及其应用
【例 2.3.4】 把上例的条件改为要求1、3、7出现的次数
一样多,5和9出现的次数不 加限制.求这样的n 位数的个数.
解 设满足条件的数有bn 个,与例2.1.6的分配问题类似,即
将n 个不同的球放入标号 为1、3、5、7、9的5个盒子,其中
母函数与递推关系
归纳法 计算这个数列前几项:
1, 3, 7, 15, 31, … 看起来有点象
hn=2n-1, n=1,2,… 根据递归关系(3.3)用归纳法即可证之.
8
例2 (Fibonacci问题): Fibonacci数列是递推关系的又一典型
问题, 数列的本身有着许多应用. (1) 问题的提出：假定初生的一对雌雄兔
14
母函数把数列的所有成员用一种非常 巧妙的方法联系在一起, 虽然这样做并 不一定能得到数列的简单公式, 可是也 许能够给出一个幂级数和的简单公式, 展开这个和函数, 所得到的幂级数的系 数就是我们所要找的数列.
比如我们学习到的Fibonacci 数列, 它 满足一个递归关系
Fn+1=Fn+Fn-1 (n>2; F1=F2=1).
《图论与组合优化》
第四讲
母函数与递归关系
1
例1(Hanoi塔问题)：n个圆盘依其半径大 小, 从下而上套在柱A上, 如图3.1所示. 每次只允许取一个转移到柱B或C上, 而且不允许大盘放在小盘上方. 若要求 把A上的n个盘转移到C柱上. 请设计一 种方法, 并估计要移动几个盘次. 现在 只有A, B, C三根柱子可供使用.
子, 从出生的第2个月之后每个月都可 以生出另外一对雌雄兔. 如果第1个月 只有一对初生的雌雄兔子, 问n个月之 后共有多少对兔子？
9
1月 2月 3月 4月
10
(2) 求递推关系: 设满n个月时兔子对数 为Fn, 其中当月新生兔数目设为Nn对. 第n-1个月留下的兔子数目设为Qn对. Fn= Nn+ Qn.
6
(2) 算法分析：令hn表示n个圆盘所需要 的转移次数. 根据算法先把前面n-1个 盘子转移到B上; 然后把第n个盘子转 移到C上; 最后再一次将B上的n-1个盘 子转到C上.
母函数与递推关系
例如
an an1 nan2 , an 3an1 n 1
aan1
an1 1,
2an2 a2 2
母函数与递推关系
利用递推关系进行计数这个方法在算法分析中 经常用到，举例说明如下：
例一. Hanoi Tower（河内塔）问题：n个圆盘 依其半径大小，从下而上套在A柱上，如下图 示。每次只允许取一个移到柱B或C上，而且不 允许大盘放在小盘上方。若要求把柱A上的n个 盘移到C柱上请设计一种方法来，并估计要移动 几个盘次。现在只有A、B、C三根柱子可用。
A
B
C
母函数与递推关系
Hanoi问题是个典型的问题，第一步要设计 算法，进而估计它的复杂性，集估计工作量。
算法：n = 2时 第第最到一二后此步步把转先把B移把上下完最的面毕上圆的面盘一的移个一到圆个C盘上圆移盘到套C上在B上
1
(1 x)(1 x)2
1 4
2
(1
x)2
1 1
x
1 1
x
母函数与递推关系
由 1
xn两边求导数得
1 x n0
1
(1 x)2
nxn1
n1
(n 1)xn
n1
于是
f
(x)
1 4
2 n0
(n
1)x n
n0
xn
n0
(1)n
x
n
2n 3 (1)n xn
n0
4
母函数与递推关系
1 4x 8x2 11x3 11x4 8x5 4x6 x7
母函数与递推关系
例 求用1元和2元的钞票支付n元的不同方式数。 解：设所求不同方式数为an,则由题设可得{an}的 母函数为
f ( x) [1 x x2 ][1 x2 ( x2 )2 ( x2 )3 ]
第四章 母函数及应用
14:28
12
一般地，由于
故从n个不同物体中不重复取k个的方法数即为xk的系数。 ⑵从n个不同物体中允许重复选取k个物体的方法数
1+x：可象征性地表示一个物体都不选，或只选取一次，即至多选取一次； 1+x+x2：可象征性地表示一个物体都不选，或只选取一次，或选取两次，
即至多选取两次； 1+x+x2+x3+….：可象征性地表示一个物体都不选，或只选取一次，或选取
例3 现有无穷多个字母A、B、C，求从中取n个字母但必须含有偶数个 A的方式数。
例4 现有2n个A，2n个B和2n个C，求从它们中选取3n个字母的不同方 式数。
14:28
15
三、指数母函数在排列计数问题中的应用
已知
(1
x)n
n k 0
n k
xk
,
kn
f (x) (x x2 x3)( x x3 x5 ...)(1 x x2 ...)
(2)因为第1、2个盒子装相同个糖果，故装入这两个盒子的糖果 总数应为偶数。所以先取2i个糖果，现将它们一分为二分别装 入第1、2个盒子。又因为糖果无区别，故每次一分为二的方法 仅一种。所以普通母函数为
为序列{a0,a1,a2,…,an,…}的普通母函数. n0
14:28
1
注:
①普通母函数从形式上看是一个无穷级数(幂级数),但 没有必要讨论它的收敛性,它实质上是序列的记号,x
为形式变元。对该级数可把它看成形式幂级数,从
而可进行加法、乘法及形式微分等运算,从而构成 一个代数体系。
②一个序列和它的普通母函数是一一对应的。
f (x) (1 x2 x4 ...)(1 x x2 ...)
母函数与递推关系
2 3 4 5 6 7
母函数与递推关系
例 求用1元和2元的钞票支付n元的不同方式数。 解：设所求不同方式数为an,则由题设可得{an}的 母函数为 f ( x ) [1 x x 2 ][1 x 2 ( x 2 )2 ( x 2 )3 ] 1 1 1 x 1 x2 1 (1 x )(1 x ) 2
1 2
1 (a b c ) x ( a ab ac b bc c ) x
2 3 2 2 2 2 2 2 2
( a a b ab a c ac abc b b c bc c ) x ...
3 2 2 3 3
母函数与递推关系
母函数与递推关系
算法复杂度为：
h(n) 2h(n 1) 1, h(1) 1
2 3
(*)
H ( x ) h(1) x h(2) x h(3) x ,(**) H(x)是序列 h(1), h(2), h(3), 的母函数。给
定了序列，对应的母函数也确定了。反过来也 一样，求得了母函数，对应的序列也就可得而 知了。当然，利用递推关系(*)式也可以依次求 得 h(2), h(3), ，这样的连锁反应关系，叫做递 推关系。
所以
5 4 1 an , n 1, 2,... 4
n n
母函数与递推关系
§2 递推关系
定义：设(a0,a1,…,an,…)是一个序列，把该序列 中 an 与它前面几个ai(0≤i<n)关联起来的方程称 为递推关系。序列中的一些已知条件称为初始 条件。 例如
an an1 nan2 , an 3an1 n 1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
故二项式 (1 x)m中 xnm 项系数为
m(m 1) (m n m 1) m(m 1) (n 1) (n 1)!
(n m)!
(n m)!
(m 1)!(n m)!
§4.8 母函数和递推关系应用举例
即 C(m (n m) 1, n m) C(n 1, n m) C(n 1, m 1)
即求对n位2进制数 b1b2 从左bn 而右扫描，
第一次在最后三位出现010图象的数的个数。 自然，最后三位除外任取连续三个都不会 是010的。
设 表a满n 足条件的n位数个数，和前例类似， 最后三位是010的n位2进制数共 个2，n3
§4.8 母函数和递推关系应用举例
对这 2n3个数分析如下。
（a）包含了在最后三位第1次出现010图象的
符 (,,组,)成的14个元素。求由其中的n个
元素的排列构成一算术表达式的个数。 因所求的n个元素的排列是算术表达式，
故从左向右的最后一个符号必然是数字。而 第n-1位有两种可能，一是数字，一是运算 符。如若第n-1位是十个数字之一，则前n1位必然构成一算术表达式。
§4.8 母函数和递推关系应用举例
0 1 0 0 1 0
§4.8 母函数和递推关系应用举例
（d）包含了在第(n 6) 位到第(n 4)位第
1
2an4
次出n 现3010图象的数，其个数是 ，因在
第 位（打*号的格）可以取0或1两种状态。
0 1 0 0 1 0
§4.8 母函数和递推关系应用举例
一般可以归纳为对 k 3 ，从第(n k 2)位 到第n k 位第一次出现010图象的数，其数 目为 2k3 a。nk从第 位n 到 k第 位中n 间3 的 k 位3 可以取0，1两种值，故有 2种k3状
故有
an an2 2n3, n 5,
a3 1, a4 2.
利用
推得 a2 0,
特征方程为
a1 0,
a0
1. 2
(x 2)(x2 1) 0.
i
x1 2, x2,3 e 2 .
§4.8 母函数和递推关系应用举例
设
an
Acos(n )
2
B sin(n )
2
C
2n,
解方程组
A
§4.8 母函数和递推关系应用举例
整理得
(1 x2 x3 ) A(x) 23 x3 1 2x 4x2.
1 2x
1 2x
1 2x x2 2x3 x3 A(x) 23 x3 1 4x2 4x2 8x3
1 2x
1 2x
1. 1 2x
§4.8 母函数和递推关系应用举例
A( x)
如若不然，即第n 1 位是4个运算符之一， 则前n 2 位必然是算术表达式。根据以 上分析，a令n n表 个元素排列成算术表达
式的个数。an则 10an1 40an2 , a1 10, a2 120.
a2 120 指的是从0到99的100个数，以及 0, 1,,9.
§4.8 母函数和递推关系应用举例
an
4
1 [(15 65
65)(5
65)n
(15 65)(5 65)n ].
§4.8 母函数和递推关系应用举例
例6：平面上有一点P，它是n个域D1, D2,, Dn
的共同交界点，见图 现
取k种颜色对这n个域进行着色， 要求相邻两个域着的颜色不同。
Dn D1
试求着色的方案数。
令an表示这n个域的着色
种不同的方案？其中n m
由于不允许有空盒，令n个球放到m个有
标志的盒子的方案数为a，n 序列 {a对n}应的母 函数为 。G则(x) G(x) (x x2 )(x x2 )(x x2 )
xm (1 x)m
§4.8 母函数和递推关系应用举例
因 (1 x)m 1 mx m(m 1) x2 2!
Dn1 P
D2 D3
方案数。无非有两种情况：
图
§4.8 母函数和递推关系应用举例
（1）D1和 Dn1有相同的颜色；（2）D1和Dn1所 着颜色不同。第一种情形， 域有k 1 种颜 色可用，即D1, Dn1域所用颜色除外；而且从 D1 到Dn2的着色方案，和 n 2 个域的着色 方案一一对应。后一种Dn 域有k 2 种颜 色可供使用；而且从D1 到Dn1 的每一个着 色方案和n 1 个域的着色方案一一对应。
黄一白。
§4.8 母函数和递推关系应用举例
令取r的组合数为c，r 则序列 c0 , c1, c2 , c3, c4
的母函数为
G(x) (1 x x2 )(1 x)2 1 3x 4x2 3x3 x4
共有1+3+4+3+1=12种组合方式。
§4.8 母函数和递推关系应用举例
例3：n个完全一样的球放到m个有标 志的盒子中，不允许有空盒，问共有多少
个数，其个数为 an，排除了在第 (n到 4第) (n 2)
位第1次出现010图象的可能。
（b）包含了在第(n 到4)第 (n位第2)1次出现 010图象的数，其个数为an2 .
0 1 0 1 0
§4.8 母函数和递推关系应用举例
（c）包含了在第(n 5)位到第 (n 3)位第1 次出现010图象的数，其个数是an3.
§4.8 母函数和递推关系应用举例
故数列 a0 , a1, a2 ,对应, a8一母函数 A(x) 1 28x2 70x4 28x6 x8
类似的方法可得女同志的允许组合数对应的母
函数位 B(x) 10x2 10x3 5x4 x5
§4.8 母函数和递推关系应用举例
C(x) A(x)B(x) (1 28x2 70x4 28x6 x8 ) (10x2 10x3 5x4 x5 ) 10x2 10x3 285x4 281x5 840x6 728x7 630x8 350x9 150x10 38x11 5x12 x13
其它依此类推。
§4.8 母函数和递推关系应用举例
令 A(x) 1 2x 3x2 a6x3 a7 x4 x3 : a6 a4 a3 23 x4 : a7 a5 a4 2a3 24
) x5 : a8a6a5 2a4 22 a3 25 [ A(x) 1 2x 3x2 ] x2[ A(x) 1] (x3 2x4 22 x5 ) A(x) 23 x3 1 2x.
§4.8 母函数和递推关系应用举例
例4：某单位有8个男同志，5个女同志， 现要组织一个有数目为偶数的男同志和数 目不少于2的女同志组成的小组，试求有多 少种组成方式。
令 为an从8位男同志中抽取出n个的允许组合数。
由于要男同志的数目必须是偶数，故
a1 a3 a5 a7 0, a0。 1, a2 C(8,2) 28, a4 C(8,4) 70, a6 C(8,6) 28, a8 1
C
1 2
,
B 2C 0,
A 4C 0.
§4.8 母函数和递推关系应用举例
得
A
2 5
,
B
1 5
,
C
1 10
.
an
2 cos(n )
5
2
1 sin(n )
5
2
1 2n,n 10
3.
§4.8 母函数和递推关系应用举例
例8：求n位的2进制数中最后三位才第一次 出现010图象的数的个数。
态。
0 1 0 0 1 0
§4.8 母函数和递推关系应用举例
故得递推关系如下： an an2 an3 2an4 2n6 a3 2n3, n 6
a3 1, a4 2, a5 3.
n 5 时有下面几种状态： 00010, 10010, 11010.
排除了01010，因从左而右扫描时01010属于 前
§4.8 母函数和递推关系应用举例
§4.8 母函数和递推关系应用举例
例1：下图是一逻辑回路，符号D是一延 迟装置，即在时间t输入一个信号给延迟装 置D，在t+1时刻D将输出同样的信号，符
号 表示加法装置
D
输入u
D
D
输出v
图
§4.8 母函数和递推关系应用举例
求相若同在时t 刻 0的,1,输2,出信时号刻v0,，v1,输入。信号u0,u1,, 显然，v0 u0 , v1 u1 u0 , v2 u2 u1, v3 u3 u2 u0 ,。
§4.8 母函数和递推关系应用举例
an (k 2)an1 (k 1)an2,
a2 k(k 1), a3 k(k 1)(k 2).
则
a1 0, a0 k.
的特征方程为
x2 (k 2)x (k 1) 0,
x1 k 1, x2 1. an A(k 1)n B(1)n.
§4.8 母函数和递推关系应用举例
被装置的特性所确定，可以看作是该装置 的传递函数，如图4-8-1
U (x)
P(x)
V (x)
§4.8 母函数和递推关系应用举例
例2：由红球两个，白球、黄球各一个， 试求有多少种不同的组合方案。
设r，w，y分别代表红球，白球，黄球。
(1 r r 2 )(1 w)(1 y) (1 r r 2 )(1 y w yw) 1 (r y w) (r 2 ry rw yw)
§4.8 母函数和递推关系应用举例
C中(x)项的xk系数 为符c合k 要求的 个人组k 成
的小组的数目，总的组成方式数目为
10 10 285 281 840 728 630 350 150 38 5 1 3328
§4.8 母函数和递推关系应用举例
例5：10个数字（0到9）和4个四则运算
三位出现010图象的。
§4.8 母函数和递推关系应用举例
请注意，递推关不是常系数递推关系。