北师大版-陕西省榆林育才中学选修1学案 2.3.2双曲线的简单性质
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-1 3.2双曲线的简单性质》
§双曲线的简单性质教材版本：北师大版（选修2-1）教材分析：双曲线是圆锥曲线之一，圆锥曲线是选修内容，但是高考必考内容，同时又是高考的热点问题。
双曲线的简单性质是北师大版选修2-1第三章第三节第二课时。
本节课是学生在已掌握椭圆及椭圆的简单性质和双曲线的定义及标准方程之后，类比椭圆的研究方法，再利用双曲线的标准方程和图形研究其简单性质。
双曲线的简单性质是教学大纲要求学生必须掌握的知识点；又是深入研究双曲线，并能灵活运用它解题的基础。
通过本节课的学习进一步使学生理解、掌握解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素养。
双曲线特有的性质--渐近线，课本上是小体字并带有星号部分。
本节课就没有证明，只是通过“动画”，让学生直观感受，需要学习渐近线的必要性。
学情分析：必修2中学生已经学习了《解析几何初步》，已有些研究解析几何的经验了。
本章学生首先系统地学习了椭圆的概念及标准方程和性质，学生以这些知识为基础，类比椭圆的研究方法，再利用双曲线的标准方程研究其简单性质，相对来说比较轻松。
在课堂中，可以充分以学生为主体，通过与椭圆的类比，启发学生自己找出双曲线的简单性质。
三维目标：1、知识与技能（1）结合图形利用双曲线标准方程了解双曲线的简单性质。
（2）能由双曲线标准方程求出双曲线的顶点坐标、实、虚轴长，渐近线方程和离心率。
（3）能由双曲线的简单性质得出相应的双曲线方程。
（4）理解离心率对双曲线开口大小的影响，能正确说出其中的规律。
2、过程与方法利用研究椭圆的简单性质方法类比获得双曲线的简单性质，培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力和分析、归纳、研究问题能力，以及类比的学习方法。
3、情感、态度与价值观培养学生主动探求知识、合作交流的意识，增强学生数学交流能力，提高学生的合作精神。
教学重点：双曲线的简单性质的探究及其应用。
教学难点：双曲线的简单性质的灵活应用。
教学方法：启发诱导，自主探究，类比分析法．即结合本节内容的特征，主要采用启发诱导式教学方式，学生类比椭圆自主地去探求出双曲线的简单性质，适当借助多媒体等教学辅助手段。
2.3.2双曲线的简单性质 学案 高中数学北师大版选修1-1
3．2 双曲线的简单性质2006年，我国流行一首校园歌曲，这就是著名的《悲伤的双曲线》，歌词就是一首优美的数学诗：“如果我是双曲线，你就是那渐近线．如果我是反比例函数，你就是那坐标轴．虽然我们有缘，能够生在同一个平面．然而我们又无缘，漫漫长路无交点．为何看不见，等式成立要条件．难道正如书上说的，无限接近不能达到．为何看不见，明月也有阴晴圆缺，此事古难全，但愿千里共婵娟．”为什么双曲线会如此悲伤呢？通过下面问题你就会明白．(1)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线是什么？ (2)双曲线的两支与渐近线有何特点？ 【提示】 (1)y ＝±ba x . (2)无限接近但不能接触．近线方程、离心率．【思路探究】化为标准方程→求a、b――→据c2＝a2＋b2求c→讨论性质【自主解答】将方程x2－3y2＝12化为标准方程x212－y24＝1，∴a2＝12，b2＝4，∴a＝23，b＝2，c＝a2＋b2＝16＝4.∴双曲线的实轴长为2a＝43，虚轴长为2b＝4.焦点F1(－4，0)，F2(4，0)，顶点A 1(－23，0)，A 2(23，0)，渐近线方程为y ＝±33x ，离心率e ＝233.1. 本题易出现“c 2＝a 2－b 2＝12－4＝8，c ＝22，忽视双曲线中c 2＝a 2＋b 2”的错误．2. 已知双曲线的方程求其几何性质时，若不是标准形式的先化为标准方程，确定方程中a 、b 的对应值，利用c 2＝a 2＋b 2得到c ，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．把双曲线方程改为x 2－3y 2＋12＝0，再求实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率．【解】 将方程x 2－3y 2＋12＝0化为标准方程y 24－x 212＝1，∴a 2＝4，b 2＝12，∴a ＝2，b ＝23， ∴c ＝a 2＋b 2＝16＝4.∴双曲线的实轴长2a ＝4，虚轴长2b ＝4 3.焦点F 1(0，－4)，F 2(0，4)，顶点A 1(0，－2)，A 2(0，2)，渐近线方程为y ＝±33x ，离心率e ＝2.求与双曲线x 9－y 16＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)的双曲线方程．【思路探究】 设出双曲线的标准方程，然后用待定系数法求出a ，b 的值，从而确定双曲线的方程．【自主解答】 法一 设所求双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝43，（－3）2a 2－（23）2b 2＝1，。
2022年 高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-1 3.2双曲线的简单性质》
双曲线的几何性质教学设计证明：设M〔0,0〕为第一象限双曲线上任一点，那么设M〔0,0〕到直线的距离为d假设M向远处运动，那么0 随着增大，d 就减少，于是 M 就无限接近直线〔设计意图：难点应该详细讲，详略得当，学生更容易接受〕3焦点到渐近线的距离是多少〔根据点F〔c,0〕到直线=b/a的距离是b。
图中会找到4个直角三角形，边长分别是a,b,c提示：我们已经学习了椭圆中可以找到的a,b,c线段2渐近线方程为＝±，且经过点A2，－3．解1依题意可知，双曲线的焦点在轴上，且c＝13，又＝，∴a＝5，b＝＝12，故其标准方程为－＝12法一∵双曲线的渐近线方程为＝±，假设焦点在轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1a>0，b>0，那么＝①∵A2，－3在双曲线上，∴－＝1②由①②联立，无解．假设焦点在轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1a>0，b>0，那么＝③∵A2，－3在双曲线上，∴－＝1④由③④联立，解得a2＝8，b2＝32∴所求双曲线的标准方程为－＝1法二由双曲线的渐近线方程为＝±，可设双曲线方程为－2＝λλ≠0，∵A2，－3在双曲线上，∴－－32＝λ，即λ＝－8∴所求双曲线的标准方程为－＝1规律方法由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了防止讨论，也可设双曲线方程为m2－n2＝1 mn>0，从而直接求得．假设双曲线的渐近线方程为＝±，还可以将方程设为－＝λλ≠0，防止讨论焦点的位置．〔设计意图：渐近线较难，逆向训练来加强对这个知识点的重视和理解〕四、课堂练习求双曲线2－32＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率．解将方程2－32＋12＝0化为标准方程－＝1，∴a2＝4，b2＝12，∴a＝2，b＝2，∴c＝＝＝4∴双曲线的实轴长2a＝4，虚轴长2b＝4。
高中数学选修1-1北师大版 双曲线的简单性质 学案2
3.2 双曲线的简单性质双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的简单性质：1．对称性双曲线是以______和______为对称轴的轴对称图形，也是以______为对称点的中心对称图形，这个对称中心称为______________．2．范围双曲线都在两条平行直线______和______的两侧，所以双曲线上点的横坐标满足________或________，而纵坐标满足____________．3．顶点双曲线与其________的交点A 1______，A 2________叫作双曲线的顶点，显然，两顶点是双曲线两支上的点中距离______的两点．两个顶点之间的线段A 1A 2叫作双曲线的______，其长度为______，则a 叫作双曲线的________．设B 1________，B 2________为y 轴上的两个点，则线段B 1B 2叫作双曲线的______，且其长度为______，则b 叫作双曲线的__________．4．离心率我们把ca ＝e 叫作双曲线的离心率，因为c ＞a ＞0，所以________，它用来表示双曲线开口的程度，离心率越大，开口越____．5．渐近线我们把直线y ＝b a x 和y ＝－ba x 叫作双曲线的渐近线，由双曲线的对称性可知，当双曲线的两支向外无限延伸时，双曲线与渐近线__________，但永远不会相交．预习交流1双曲线的焦点与实轴、虚轴之间有什么关系？ 预习交流2函数y ＝1x的图像叫什么？它的图像有渐近线吗？答案：1．x 轴 y 轴 原点 双曲线的中心 2．x ＝a x ＝－a x ≤－a x ≥a y ∈R3.对称轴 (－a ,0) (a ,0) 最近 实轴 2a 实半轴长 (0，－b ) (0，b ) 虚轴 2b 虚半轴长4．e ＞1 大 5．无限逼近 预习交流1：提示：双曲线只有两个顶点，与焦点共线，所以双曲线的焦点总在实轴上． 预习交流2：提示：其图像也叫双曲线，它以坐标轴为渐近线．一、根据双曲线方程研究几何性质求双曲线4y 2－9x 2＝－4的实半轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 思路分析：将方程化为标准形式，判明焦点所在的坐标轴，从而得到几何量a ，b ，c 的值，然后利用相应定义、公式写出几何性质．1．以双曲线y 2－x23＝1的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是( )A ．(x －2)2＋y 2＝4B ．x 2＋(y －2)2＝2C ．(x －2)2＋y 2＝2D ．x 2＋(y －2)2＝42．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x已知双曲线方程研究其几何性质时，首先要把方程化为标准形式，确定焦点所在的坐标轴，找准a 和b ，再写出其相关性质．其中在求渐近线方程时，只需把双曲线标准方程右边的1换为0后化简即可．二、根据双曲线几何性质求其方程已知双曲线离心率e ＝53，焦点在坐标轴上，并且焦点都在圆x 2＋y 2＝100上，求双曲线的标准方程．思路分析：先考虑焦点的位置，由于双曲线的离心率不能反映焦点所在的位置，所以需要分类讨论，可以利用待定系数法，将条件转化为方程(组)，求解标准方程中的参数值．1．以椭圆x 216＋y 29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为( )A ．x 216－y 248＝1B ．x 29－y 227＝1C ．x 216－y 248＝1或x 29－y 227＝1D ．以上都不对2．焦点在x 轴上的双曲线，它的两条渐近线的夹角为π3，焦距为12，求此双曲线的方程及离心率．利用性质求双曲线方程时，常用直接法或待定系数法，策略仍是先定位、再定量．在双曲线性质中，只有焦点、顶点能确定焦点位置，其他性质如渐近线等均不能，求解时注意分类讨论，或选择恰当的方程形式，如方程的一般式．三、与双曲线的离心率有关的问题已知双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，求双曲线的离心率．思路分析：要求双曲线的离心率需找出a 与c 的关系，而本题已知渐近线方程，需确定双曲线的焦点位置，因而需要分类讨论．1．(2012福建高考，文5)已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )．A ．31414B ．324C ．32D ．432．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且||PF 1＝4||PF 2，则此双曲线的离心率e 的最大值为( )A ．43B ．53C ．2D ．73求双曲线离心率的方法有：(1)求a ，c 的值，由公式e ＝ca求得；(2)建立关于a ，b ，c 的方程，据b 2＝c 2－a 2替换b ，构造ca ＝e ，解方程得e ；(3)根据渐近线方程，可求出b a 或a b 的值(分类讨论焦点在哪个坐标轴上)，再根据ba ＝c 2－a 2a ＝e 2－1解方程求得．答案：活动与探究1：解：将方程化为标准形式：x 249－y 2＝1，所以：实半轴长a ＝49＝23，虚轴长2b ＝2，于是有c ＝a 2＋b 2＝133，所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎫±133，0，离心率e ＝c a ＝132，渐近线方程为y＝±b a x ，即y ＝±32x .迁移与应用：1．D 解析：双曲线y 2－x 23＝1的焦点为(0，±2)，e ＝2，故选D. 2．C 解析：由已知得到b ＝1，c ＝3，a ＝c 2－b 2＝2，因为双曲线的焦点在x 轴上，故渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x .活动与探究2：解：(1)当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由离心率e ＝53，得c a ＝53，由焦点在圆x 2＋y 2＝100上，知c ＝10， ∴a ＝6.又∵b 2＝c 2－a 2＝64，∴所求双曲线方程为x 236－y 264＝1.(2)当焦点在y 轴上时，设双曲线方程为y 2a 2－x2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝53，a 2＋b 2＝100，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝64，b 2＝36，∴所求双曲线方程为y 264－x 236＝1.综上，所求双曲线的标准方程为x 236－y 264＝1或y 264－x 236＝1.迁移与应用：1．C 解析：当顶点为(±4,0)时，a ＝4，c ＝8，b ＝43，双曲线方程为x 216－y 248＝1；当顶点为(0，±3)时，a ＝3，c ＝6，b ＝33，双曲线方程为y 29－x227＝1.2．解：由已知可设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，∴两条渐近线方程为y ＝±ba。
北师版高中同步学考数学选修1-1精品课件 第二章 3.2 双曲线的简单性质
22 5 2 22
x1+x2= x2=- 2 , 2 =- 2.
12
1- 12
1-
22
289
消去 x2,得- 2 = 60 .
1-
17
由 a>0,解得 a= .
线
a2
y2
− b 2 =1(a>0,b>0)
自主预习
首页
y2
a2
探究学习
当堂检测
x2
− b 2 =1(a>0,b>0)
y≤-a 或 y≥a
对称轴:坐标轴;对称中心:原点
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
实轴:线段 A1A2,长:2a;虚轴:线段 B1B2,长:2b;实半轴长:a,
分析分析双曲线的几何性质→求a,b,c→确定(讨论)焦点位置→
求双曲线的标准方程
-12-
3.2 双曲线的简单性质
探究一
探究二
自主预习
首页
探究三
探究四
探究学习
思维辨析
解(1)依题意可知,双曲线的焦点在 y 轴上,且 c=13,又 =
a=5,b=
当堂检测
13
,所以
5
2
2
2
- =12,故其标准方程为
所以 c=2 6.
所以双曲线的离心率为 e= =
2 6
=2.
6
(3)设双曲线的焦距为 2c,
由题意可知,c=3,a=1,
所以 b=
2 -2 =2
2,所以双曲线的渐近线方程为
y=±x=±2
2x.
-7-
3.2 双曲线的简单性质
高中数学北师大版选修2-1 3.3.2双曲线的简单性质 课件(35张)
2 2
������2 42
−
������2 32
=1,由此可知 ,实
半轴长 a=4,虚半轴长 b=3,则 c= ������2 + ������ 2 =5. 所以焦点坐标为(0,-5),(0,5);离心率
5 = ; 4 4 y=± x. 3
顶点坐标为(0,-4),(0,4);渐近线方程为
=
=
������ 2 -1 ������
=
������ 2 ������ -1 ,所以 越大,e ������
也越大,从而离心率可以用
来表示双曲线开口的程度.
-6-
【做一做 2】
������2 已知双曲线 4
������2 + =1 的离心率 e<2,则 k 的取值 ������
范围是( ) A.k< 0 或 k> 3B.-3<k<0 C.-12<k<0 D.-8<k<3 解析 :由题设知 k<0 且焦点在 x 轴上 ,则 a =4,b =-k,故 1< 解得 -12<k<0. 答案 :C
因式分解即得渐近线方程,这样就避免出错了.
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②双曲线与它的渐近线无限接近,但永不相交. ③若已知渐近线方程为mx±ny=0,求双曲线的方程.双曲线的焦
点可能在x轴上,也可能在y轴上,可用下面的方法来解决. 方法1:分两种情况设出方程进行讨论. 方法2:依据渐近线方程,设出双曲线方程为m2x2-n2y2=λ(λ≠0),求出 λ即可.
������2 ������2 ������ ������2 ������2 (2)①双曲线 2 − 2=1 的渐近线为 y=± x,双曲线 2 − 2 =1 的渐 ������ ������ ������ ������ ������ ������ 近线为 y=± x,两者容易记混,可将双曲线方程中的“1”换成 “0”,然后 ������
北师大版数学高二学案 2.3.2双曲线的简单性质
3.2双曲线的简单性质学习目标 1.了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等(重点).2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题(重、难点).3.能区别椭圆与双曲线的性质(重点).知识点一双曲线的简单性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0) 图形性质范围x≥a或x≤－a y≥a或y≤－a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a) 实轴和虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴；线段B1B2叫作双曲线的虚轴渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)(1)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A.2B.2 2C.4D.4 2解析双曲线的标准方程为x24－y28＝1，所以a2＝4，所以2a＝4.答案 C(2)已知双曲线的焦点为(－4，0)，(4，0)，离心率为2，则双曲线的标准方程为________.解析 因为e ＝ca ＝2，c ＝4，所以a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝12，且焦点在x 轴上，故标准方程为x 24－y 212＝1. 答案 x 24－y 212＝1知识点二 双曲线的渐近线和离心率(1)根据双曲线的渐近线方程求出双曲线方程，简单且实用的方法是如果两条渐近线的方程为x a ±y b ＝0，那么双曲线的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x a ＋y b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a －y b ＝m (m ≠0). (2)共渐近线y ＝±b a x 的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，若λ>0，则双曲线的焦点在x 轴上；λ＜0时，焦点在y 轴上. 【预习评价】(1)椭圆与双曲线的离心率都是e ，其范围一样吗？ (2)若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？提示 (1)不一样.椭圆的离心率0<e <1，而双曲线的离心率e >1.(2)当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线，如具有相同的渐近线y ＝±b a x 的双曲线可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0，λ∈R )，当λ>0时，焦点在x 轴上，当λ<0时，焦点在y 轴上.题型一 已知双曲线的标准方程求其简单性质【例1】 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.解 将9y 2－4x 2＝－36化为标准方程x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13.因此顶点为A 1(－3，0)，A 2(3，0)， 焦点为F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133， 渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x .规律方法 讨论双曲线的简单性质，先要将双曲线方程化为标准形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质.【训练1】 求双曲线x 2－3y 2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率.解 将方程x 2－3y 2＋12＝0化为标准方程y 24－x212＝1，∴a 2＝4，b 2＝12，∴a ＝2，b ＝23， ∴c ＝a 2＋b 2＝16＝4.∴双曲线的实轴长2a ＝4，虚轴长2b ＝4 3.焦点坐标为F 1(0，－4)，F 2(0，4)，顶点坐标为A 1(0，－2)，A 2(0，2)，渐近线方程为y ＝±33x ，离心率e ＝2.题型二 根据双曲线的简单性质求标准方程 【例2】 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0，13)，且离心率为135； (2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3).解 (1)依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13，又c a ＝135，∴a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12，故其标准方程为y 225－x 2144＝1.(2)方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12.① ∵A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9b 2＝1.② 联立①②，无解.若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12.③ ∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b 2＝1.④ 联立③④，解得a 2＝8，b 2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.方法二 由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)， ∵A (2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8.∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.规律方法 由双曲线的简单性质求双曲线的标准方程常用待定系数法，当焦点位置明确时直接设出双曲线的标准方程即可，当焦点位置不明确时，应注意分类讨论，也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求出来.当双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x 时，可以将方程设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0). 【训练2】 根据条件，求双曲线的标准方程.(1)与双曲线x29－y216＝1有共同渐近线，且过点(－3，23)；(2)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2).解(1)设所求双曲线方程为x29－y216＝λ(λ≠0)，由题意可知（－3）29－（23）216＝λ，解得λ＝14.∴所求双曲线的标准方程为x294－y24＝1.(2)设所求双曲线方程为x216－k－y24＋k＝1(16－k>0，4＋k>0)，∵双曲线过点(32，2)，∴（32）216－k－44＋k＝1，解得k＝4或k＝－14(舍去).∴所求双曲线的标准方程为x212－y28＝1.【探究1】直线l在双曲线x23－y22＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线l 的方程.解设直线l的方程为y＝2x＋m，由⎩⎨⎧y＝2x＋m，x23－y22＝1，得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.(*)设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－65m ，x 1x 2＝310(m 2＋2). 又y 1＝2x 1＋m ，y 2＝2x 2＋m ， ∴y 1－y 2＝2(x 1－x 2)，∴|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝5(x 1－x 2)2 ＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝5[3625m 2－4×310(m 2＋2)]. ∵|AB |＝4，∴365m 2－6(m 2＋2)＝16. ∴3m 2＝70，m ＝±2103.由(*)式得Δ＝24m 2－240，把m ＝±2103代入上式， 得Δ>0，∴m 的值为±2103. ∴所求直线l 的方程为y ＝2x ±2103.【探究2】 设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A.B .(1)求实数a 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，若PA →＝512PB →，求a 的值. 解 (1)将y ＝－x ＋1代入双曲线方程x 2a 2－y 2＝1(a >0)， 得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，Δ＝4a 4＋8a 2（1－a 2）>0，∴0<a <2且a ≠1.故a 的取值范围是(0，1)∪(1，2). (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 依题意得P (0，1)，因为PA →＝512PB →，所以(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1). 由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2是方程(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0的两根，且1－a 2≠0， 所以x 1＋x 2＝1712x 2＝－2a 21－a 2，x 1x 2＝512x 22＝－2a 21－a 2. 消去x 2得－2a 21－a 2＝28960. 由a >0，解得a ＝1713.【探究3】 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为233，且过点P (6，1).(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A ，B ，求k 的取值范围. 解 (1)由e ＝233可得c 2a 2＝43，所以a 2＝3b 2，故双曲线方程可化为x 23b 2－y 2b 2＝1, 将点P (6，1)代入双曲线C 的方程，可解得b 2＝1.所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)联立直线与双曲线方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－3y 2－3＝0，⇒(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝72k 2－4（1－3k 2）×（－9）＞0，1－3k 2≠0，解得－1＜k ＜1且k ≠±33，所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.规律方法 直线与双曲线位置关系的处理方法把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为一元二次方程，在二次项系数不为零的情况下考察方程的判别式. (1)Δ＞0时，直线与双曲线有两个不同的公共点. (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点. (3)Δ＜0时，直线与双曲线没有公共点.当二次项系数为0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点.特别提醒 利用判别式来判断直线与双曲线的交点个数问题的前提是通过消元化为一元二次方程.课堂达标1.双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( ) A.2 3B.2C. 3D.1解析 ∵双曲线x 24－y 212＝1的一个焦点为F (4，0)，其中一条渐近线方程为y ＝3x ，∴点F 到3x －y ＝0的距离为432＝2 3. 答案 A2.双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( ) A.－14B.－4C.4D.14解析由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，则双曲线方程可化为y2－x2－1m＝1，则a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2，∴－1m＝b2＝4，∴m＝－1 4.答案 A3.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为________.解析双曲线C的渐近线方程为x2a2－y2b2＝0，点P(2，1)在渐近线上，∴4a2－1b2＝0，即a2＝4b2，又a2＋b2＝c2＝25，解得b2＝5，a2＝20.答案x220－y25＝14.已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________.解析设双曲线的焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，虚轴两个端点为B1(0，－b)，B2(0，b)，因为c>b，所以只有∠B1F1B2＝60°，∴tan 30°＝bc，∴c＝3b，又a2＝c2－b2＝2b2，∴e＝ca ＝3b2b＝62.答案6 25.双曲线的中心在原点，实轴在x轴上，与圆x2＋y2＝5交于点P(2，－1)，如果圆在点P的切线平行于双曲线的左顶点与虚轴的一个端点的连线，求双曲线的方程.解 因为双曲线的中心在原点，实轴在x 轴上， 所以双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0). 因为点P (2，－1)在双曲线上，所以4a 2－1b 2＝1 ①.又因为圆x 2＋y 2＝5在点P 处的切线平行于双曲线左顶点(－a ，0)与虚轴的一个端点(0，b )的连线，而圆的切线斜率k 切与k OP 的乘积为－1， 所以k 切＝2，即ba ＝2，所以b ＝2a ②. 解①②得a 2＝154，b 2＝15.所以双曲线方程为4x 215－y 215＝1.课堂小结1.渐近线是双曲线特有的性质.两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程.2.准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形.。
北师大版高中数学选修2-1教案：3.3 双曲线的简单性质
3.3 双曲线的简单性质1．结合双曲线的图形掌握双曲线的简单几何性质．(重点)2．感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，体会数形结合思想．(难点) 知识点一双曲线的简单性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形几何范围对称性顶点实虚轴离心率考点一双曲线的简单性质的应用例1(1)(广东高考)若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等(2)已知双曲线C ：x 24－y 2＝1，P 为双曲线上任意一点，设点A 的坐标为(3,0)，求|PA |的最小值为________．(3)双曲线4x 2－y 2＝4的顶点坐标为________，离心率为________，渐近线方程为________．【名师指津】1．由双曲线方程探究简单性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，这是依据方程求参数，a ，b ，c 值的关键．2．写顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程时，需先由方程确定焦点所在的坐标轴，否则易出错，需注意双曲线方程与渐近线方程的对应关系． 考点二 利用双曲线的性质求双曲线的标准方程 例2求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)顶点在x 轴上，焦距为10，离心率是54；(2)焦点在y 轴上，一条渐近线为y ＝34x ，实轴长为12；(3)离心率e ＝2，且过点(－5,3)．【名师指津】1．求双曲线方程，关键是求a ，b 的值，在解题过程中应熟悉a ，b ，c ，e 等元素的几何意义及它们之间的联系，并注意方程思想的应用．2．若已知双曲线的渐近线方程ax ±by ＝0，可设双曲线方程为a 2x 2－b 2y 2＝λ.练习1．将本例(2)中“焦点在y 轴上”去掉，其他不变．考点三双曲线的离心率例3 (1)(全国卷Ⅰ)已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2B ．62 C.52D ．1 (2)(重庆高考)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，则该双曲线的离心率为( )A. 2 B ．15 C ．4 D ．17【名师指津】1．解决本题的关键是探寻a 与c 的关系．2．求双曲线的离心率的常见方法：一是依据条件求出a ，c ，再计算e ＝ca；二是依据条件提供的信息建立关于参数a ，b ，c 的等式，进而转化为关于离心率e 的方程，再解出e 的值．练习2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为( )A.53 B ．43 C.54 D ．32 例4求适合下列条件的双曲线标准方程．(1)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x .(2)经过点M (－3,23)，且与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线．【名师指津】求解双曲线标准方程的难点是设双曲线方程，常用的技巧如下：①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，若λ＞0，则表示焦点在x 轴上的双曲线，若λ＜0，则表示焦点在y 轴上的双曲线． ②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0， b ＞0)有相等离心率的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ＞0)或y 2a 2－x 2b 2＝λ(λ＞0)． ③与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有相同焦点的双曲线方程可设为x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(－a2＜λ＜b 2)．④已知渐近线方程y ＝±b a x ，双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)，通过求λ确定双曲线方程，而无需考虑其实、虚轴的位置．练习3．双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则离心率为( )A.54 B ．52 C.53或54 D ．52或153 思考问题1 何为双曲线的“虚轴”？ 问题2 如何确定双曲线的形状？问题3 如何用几何图形解释c 2＝a 2＋b 2？a ，b ，c 在双曲线中分别表示哪些线段的长？ 问题4 双曲线的渐近线具有什么特点？问题5 双曲线的渐近线与双曲线的标准方程有什么关系？ 课堂练习1．双曲线y 24－x 29＝1的顶点坐标为( )A ．(0,2)(0，－2)B ．(3,0)(－3,0)C ．(0,2)(0，－2)(3,0)(－3,0)D ．(0,2)(3,0)2．如图，双曲线C ：x 29－y 210＝1的左焦点为F 1，双曲线上的点P 1与P 2关于y 轴对称，则|P 2F 1|－|P 1F 1|的值是( ) A ．3 B ．6 C ．4 D ．83．(全国卷)已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )A.14 B ．13 C.24 D ．234．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为________。
2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第二章 3-2 双曲线的简单性质 精品
3.2 双曲线的简单性质学习目标 1.了解双曲线的简单性质(对称性、范围、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中 a ，b ，c ，e 间的关系.4.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题．知识点一 双曲线的简单性质思考 类比椭圆的简单性质，结合图像，你能得到双曲线 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的哪些性质？ 梳理知识点二 双曲线的离心率思考1 如何求双曲线的渐近线方程？思考2椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图像的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？梳理双曲线的焦距与实轴长的比ca，叫作双曲线的，其取值范围是________．e越大，双曲线的张口________．知识点三双曲线的相关概念1．双曲线的对称中心叫作双曲线的中心．2．实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x.类型一由双曲线方程研究其性质例1求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．反思与感悟由双曲线的方程研究其性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类问题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．(3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的简单性质．跟踪训练1求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．类型二由双曲线的简单性质求标准方程例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(3)求与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程．反思与感悟 (1)求双曲线的标准方程的步骤 ①确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴； ②设双曲线的标准方程；③根据已知条件或简单性质列方程，求待定系数； ④求出a ，b ，写出方程．(2)①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2<λ<a 2)；②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；③渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)． 跟踪训练2 求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(2)双曲线过点(3,92)，离心率e ＝103； (3)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)．类型三 与双曲线有关的离心率问题命题角度1 求双曲线离心率的值例3 设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94 D ．3 引申探究例3条件“|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ”改为“若PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°”，结果如何？反思与感悟 求双曲线离心率的常见方法 (1)依据条件求出a ，c ，再计算e ＝ca.(2)依据条件建立参数a ，b ，c 的关系式，一种方法是消去b 转化为离心率e 的方程求解，另一种方法是消去c 转化成含b a 的方程，求出ba后，利用e ＝1＋(ba)2求解．跟踪训练3 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c .求双曲线的离心率．命题角度2 求双曲线离心率的取值范围例4 设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A ，B ，求双曲线C 的离心率的取值范围．反思与感悟 求离心率的取值范围技巧 (1)根据条件建立a ，b ，c 的不等式．(2)通过解不等式得c a 或ba的取值范围，求得离心率的取值范围．跟踪训练4 已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的左，右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．(2＋1，＋∞) C ．(1，2＋1)D ．(1，3)1．双曲线x 215－y 2＝1与椭圆x 225＋y 29＝1的( )A ．焦点相同B ．顶点相同C ．实轴与长轴相同D ．短轴与虚轴相同2．设双曲线x 2a ＋y 29＝1的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．－4B ．－3C ．2D ．13．设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若F 1，F 2，P (0,2b )是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( ) A.32B ．2C.52D ．34．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则其标准方程为( ) A.x 29－y 29＝1 B.y 29－x 29＝1 C.y 218－x 218＝1 D.x 218－y 218＝1 5．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________．1．渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右边的常数“1”换为“0”，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．答案精析问题导学 知识点一思考 范围、对称性、顶点、离心率、渐近线．梳理 x ≥a 或x ≤－a y ≥a 或y ≤－a 坐标轴 原点 坐标轴 原点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 知识点二思考1 将方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右边的“1”换成“0”，即由x 2a 2－y 2b 2＝0得x a ±yb ＝0，如图，作直线x a ±y b ＝0，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的各支向外延伸时，与两直线逐渐接近，把这两条直线叫作双曲线的渐近线．思考2 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的各支向外延伸逐渐接近渐近线，所以双曲线的“张口”大小取决于b a 的值，设e ＝c a ，则ba ＝c 2－a 2a＝e 2－1.当e 的值逐渐增大时，ba 的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大．梳理 离心率 (1，＋∞) 越大 题型探究例1 解 将9y 2－4x 2＝－36变形为 x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1， 所以a ＝3，b ＝2，c ＝13， 因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)； 焦点坐标为(－13，0)，(13，0)； 实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4； 离心率e ＝c a ＝133；渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x .跟踪训练1 解 把方程9y 2－16x 2＝144化为标准方程y 242－x 232＝1.由此可知，实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3；c ＝a 2＋b 2＝42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)； 离心率e ＝c a ＝54；渐近线方程为y ＝±43x .例2 解 (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知2b ＝12，c a ＝54，且c 2＝a 2＋b 2， ∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)．当λ>0时，a 2＝4λ， ∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94；当λ<0时，a 2＝－9λ， ∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为x 29－y 2814＝1或y 29－x 24＝1.(3)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝λ(λ≠0)．将点(2，－2)代入双曲线方程， 得λ＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.跟踪训练2 解 (1)依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13， 又c a ＝135，∴a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12， 故所求双曲线的标准方程为 y 225－x 2144＝1. (2)由e 2＝109，得c 2a 2＝109，设a 2＝9k (k >0)，则c 2＝10k ，b 2＝c 2－a 2＝k .∴设所求双曲线方程为x 29k －y 2k ＝1①或y 29k －x 2k ＝1.②将(3,92)代入①，得k ＝－161，与k >0矛盾，无解； 将(3,92)代入②，得k ＝9. 故所求双曲线方程为y 281－x 29＝1.(3)方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12.① ∵A (2，－3)在双曲线上， ∴4a 2－9b 2＝1.② 联立①②，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12.③ ∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b 2＝1.④联立③④，解得a 2＝8，b 2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.方法二 由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)．∵A (2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.例3 B [考虑双曲线的对称性，不妨设P 在右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 而|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，两式等号左右两边平方后相减， 得|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 24.又已知|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，∴94ab ＝9b 2－4a 24，得b a ＝43(负值舍去)． ∴该双曲线的离心率e ＝c a＝ 1＋(b a)2＝1＋(43)2＝53.]引申探究 解 作出满足题意的几何图形(如图)，利用PF 1⊥PF 2及∠PF 1F 2＝30°，求出a ，c 的关系式． 设点P 在双曲线右支上． ∵PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|＝2c ， 且∠PF 1F 2＝30°， ∴|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c . 又点P 在双曲线的右支上， ∴|PF 1|－|PF 2|＝(3－1)c ＝2a ， ∴e ＝c a ＝23－1＝3＋1.跟踪训练3 解 依题意，直线l ：bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到l 的距离为34c ， 得ab a 2＋b 2＝34c ， 即ab ＝34c 2，∴16a 2b 2＝3(a 2＋b 2)2， 即3b 4－10a 2b 2＋3a 4＝0， ∴3⎝⎛⎭⎫b 2a 22－10×b2a 2＋3＝0， 解得b 2a 2＝13或b 2a 2＝3.又∵0<a <b ，∴b 2a 2＝3.∴e ＝1＋b 2a2＝2. 例4 解 由C 与l 相交于两个不同点，知方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两组不同的实根，消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.①所以⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，解得0<a <2且a ≠1.又双曲线的离心率e ＝1＋a 2a＝ 1a 2＋1， 所以e >62且e ≠ 2. 即离心率e 的取值范围为 (62，2)∪(2，＋∞)． 跟踪训练4 B [由题设条件可知△ABF 2为等腰三角形， 又直线AB 与x 轴垂直，所以|AF 2|＝|BF 2|，故∠AF 2B 为钝角．所以有b 2a>2c ，即2ac <c 2－a 2， 解得e ∈(1＋2，＋∞)．故选B.]当堂训练1．A 2.A 3.B 4.D 5.y ＝±22x。
高中数学北师大版选修2-1第三章《3.2双曲线的简单性质》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案
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【名师授课教案】
1教学目标
双曲线的范围、对称性(对称轴、对称中心)、顶点(截距)、实轴、虚轴的概念及双曲线的渐近线与离心率.
2学情分析
通过对椭圆的几何性质和双曲线及其标准方程的学习,学生初步掌握了圆锥曲线的学习方法,可以对比学习、自主学习,本节课,可以让学生主动参与探究学习
3重点难点
教学重点:双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法.
教学难点:双曲线的渐近线
4教学过程
4.1第一学时
新设计
Ⅰ.课题导入
[师]前面我们学习了椭圆的简单性质:范围、对称性、顶点、离心率,请同学们回忆一下,对于椭圆 (a>b>0)其几何性质的具体内容及其研究方法.
再请同学们回忆一下双曲线的标准方程
Ⅱ.讲授新课
[师]哪位同学对照椭圆的简单几何性质的顺序,来谈一下双曲线 (a>0,b>0)的几何性质,并
谈谈这个性质的讨论方法.
[生甲]范围,|x|≥a,
即x≥a,x≤-a
讨论方法是由标准方程可知与一个非负数的差等于1,所以≥1,由此推得x的范围.y除受到式子本身的制约外,没有任何限制,说明双曲线位于x≥a与x≤-a的区域内.
[师]好,请另一位同学接着说.。
北师大版选修2-1高中数学3.3.2双曲线的简单性质word导学案
课题 双曲线的简单性质学习目标 ：1.把握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.能区别椭圆与双曲线的性质．4.利用双曲线的方程研究其图象和几何性质，在自主探讨合作交流中通过类比，分析双曲线的几何性质．学习重点：把握双曲线的简单几何性质学习难点：能区别椭圆与双曲线的性质学习方式：以讲学稿为依托的探讨式教学方式。
学习进程一、课前预习指导： 1、双曲线的性质：类比椭圆的几何性质，结合图象，你能取得双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的哪些几何性质？问题探讨一 双曲线的几何性质例1 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的极点坐标、核心坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．学后检测1求双曲线25y 2－4x 2＋100＝0的半实轴长，半虚轴长，核心坐标，极点坐标，离心率，渐近线方程．例2、 火力发电厂的冷却塔的外形是由双曲线绕其虚轴所在直线旋转所取得的曲面。
已知塔的总高度为150m ，塔顶的直径为70m ，塔的最小直径为67m ，喉部标高，求双曲线的标准方程。
学后检测2 求知足以下条件的双曲线方程：(1)以2x ±3y ＝0为渐近线，且通过点(1,2)；(2)离心率为54，半虚轴长为2；（3)与椭圆x 2＋5y 2＝5共核心且一条渐近线方程为y －3x ＝0.三、当堂检测1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是 ( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 22．双曲线3x 2－y 2＝3的渐近线方程是 ( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±13xC ．y ＝±3xD ．y ＝±33x3．双曲线x 24－y 212＝1的核心到渐近线的距离为 ( )A ．2 3B ．2 D ．14．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右极点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点别离为B ，C .假设AB →＝12BC →，那么双曲线的离心率是 ( )5．已知双曲线x 22－y 2b 2＝1 (b >0)的左，右核心别离为F 1，F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，那么PF 1→·PF 2→等于 ( ) A ．－12 B ．－2 C ．0 D ．4四、课堂小结五、课后作业六．板书设计七．教（学）后反思。
北师大版高中数学(选修2-1)3.2《双曲线的简单性质》word教案
§3.2双曲线的简单性质设计人：赵军伟 审定：数学备课组【学习目标】1.了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线的方程；（2）通过方程，研究曲线的性质．2.理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；3.掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念．【学习重点】理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念【学习难点】掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题【复习旧知识】1.把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于＿＿＿（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola ）．其中这两个定点叫做双曲线的＿＿＿，两定点间的距离叫做双曲线的＿＿＿．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P ={}122M MF MF a -=2. 写出焦点在x 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿,3.写出焦点在Y 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
【学习过程】一、通过图像研究双曲线的简单性质： ①范围：由双曲线的标准方程得，222210y x b a=-≥，进一步得：x a ≤-，或x a ≥．这说明双曲线在不等式x a ≤-，或x a ≥所表示的区域；②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；④渐近线：直线b y x a =±叫做双曲线22221x y a b-=的渐近线； ⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比ac e =叫做双曲线的离心率（1e >） 【应用举例】例3 求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．扩展：求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()3A -点的双曲线的标准方及离心率．例 4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它的最小半径为12m ，上口半径为13m ，下口半径为25m ，高为55m ．试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到1m ）． 解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，算出,,a b c 的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于,,a b c 的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．例5 如图，设(),M x y 与定点()5,0F 的距离和它到直线l ：165x =的距离的比是常数54，求点M 的轨迹方程．分析：若设点(),M x y ，则MF =，到直线l ：165x =的距离165d x =-，则容易得点M 的轨迹方程．【巩固练习】【学习反思】【作业布置】见教材第83页习题。
高中数学第2章圆锥曲线与方程33.2双曲线的简单性质学案北师大版选修1_1
3．2 双曲线的简单性质学习目标：1.掌握双曲线的简单性质．(重点)2.感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，体会数形结合思想．(难点)双曲线的简单性质(2)若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？[提示] (1)不一样．椭圆的离心率0<e <1，而双曲线的离心率e >1.(2)当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线，如具有相同的渐近线y ＝±b a x 的双曲线可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0，λ∈R )，当λ>0时，焦点在x 轴上，当λ<0时，焦点在y 轴上．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±abx .( )(2)双曲线y 24－x 29＝1的实轴长为6.( ) (3)离心率越大，双曲线的开口就越大．( )(4)等轴双曲线的离心率为 2.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．若双曲线x 23＋y 2k＝1的离心率为3，则实数k 的值为( )A ．－16B.16 C ．－6D ．6C [由题意可知k <0，a ＝3，b ＝－k ，c ＝a 2＋b 2＝3－k ， 所以e ＝c a＝3－k3＝3，得k ＝－6.] 3．已知双曲线x 2－y 2＝2，过定点P (2,0)作直线l 与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线l 的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [P (2,0)在双曲线的内部，故过点P (2,0)与双曲线有且只有一个交点的直线为过P 与双曲线渐近线平行的直线．]4．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________．[解析] 由双曲线方程x 27－y 23＝1易知，a ＝7，b ＝3，所以c ＝a 2＋b 2＝10.则焦距2c ＝210. [答案] 210双曲线的简单性质【例1】 求双曲线9y 2－16x 2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．[解] 把方程9y 2－16x 2＝144化为标准方程y 242－x 232＝1.由此可知，实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3；c ＝a 2＋b 2＝42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；离心率e ＝c a ＝54；渐近线方程为y ＝±43x .由双曲线的标准方程，求双曲线的有关性质的步骤是：先将双曲线方程化为标准形式x 2a 2－y 2b 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫或y 2a 2－x 2b 2＝1，再确定a ，b 的值(注意它们的分母分别为a 2，b 2，而不是a ，b )，进而求出c ，再对照双曲线的几何性质得到相应的答案.1．(1)双曲线x 24－y 2＝1的离心率为________；(2)双曲线x 2－3y 2＋12＝0的渐近线方程为________； (3)双曲线4y 2－9x 2＝36的顶点坐标为________．[解析] (1)由双曲线的方程，得a ＝2，b ＝1，∴c ＝22＋12＝ 5. 故双曲线的离心率e ＝c a ＝52； (2)双曲线化为标准方程为y 24－x 212＝1，∴a ＝2，b ＝23，焦点在y 轴上，故其渐近线方程为y ＝±a b x ＝±33x ； (3)双曲线化为标准方程为y 29－x 24＝1，∴a ＝3，焦点在y 轴上，故其顶点为(0，－3)，(0,3)．[答案] (1)52 (2)y ＝±33x (3)(0，－3)，(0,3)利用双曲线的性质求双曲线方程【例2】 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)．思路探究：由双曲线的几何性质，列出关于a ，b ，c 的方程，求出a ，b ，c 的值．[解] (1)依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13，又c a ＝135，∴a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12，故其标准方程为y 252－x 2122＝1.(2)法一：(待定系数法)∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12.①∵A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9b2＝1.②由①②联立，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12.③∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b2＝1.④由③④联立，解得a 2＝8，b 2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.法二：(双曲线系法)由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)，∵A (2，－3)在双曲线上，∴2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.由双曲线的简单性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法.当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求得.若已知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，还可以将方程设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)，避免讨论焦点的位置.2．(1)已知双曲线的一条渐近线方程是x －2y ＝0，且双曲线过点P (4,3)，求双曲线的标准方程；(2)双曲线的离心率等于2，且与椭圆x 225＋y 29＝1有相同的焦点，求此双曲线的标准方程．[解] (1)法一：∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0，当x ＝4时，y ＝2＜y p ＝3.∴双曲线的焦点在y 轴上．从而有a b ＝12，∴b ＝2a .设双曲线方程为y 2a 2－x 24a2＝1，由于点P (4,3)在此双曲线上，∴9a 2－164a2＝1，解得a 2＝5. ∴双曲线方程为y 25－x 220＝1.法二：∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0， 即x 2－y ＝0，∴双曲线的渐近线方程为x 24－y 2＝0. 设双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，∵双曲线过点P (4,3)，∴424－32＝λ，即λ＝－5.∴所求双曲线方程为x 24－y 2＝－5，即y 25－x 220＝1.(2)∵椭圆x 225＋y 29＝1的焦点坐标为(－4,0)和(4,0)，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，∵c ＝4，又双曲线的离心率等于2，即ca＝2，∴a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝12.故所求双曲线方程为x 24－y 212＝1.求双曲线的离心率[探究问题]1．若双曲线焦点在x 轴上，且渐近线方程为y ＝±32x ，请求出双曲线的离心率．[提示] 双曲线焦点在x 轴上，则b a ＝32，∴e ＝b 2a 2＋1＝132. 2．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1，F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，能否求出双曲线离心率的取值范围？[提示] 由双曲线的定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a .∵|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|(当P 为双曲线右顶点时取等号)， ∴6a ≥2c .∴c a≤3.又e >1，∴1<e ≤3.【例3】 设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43 B.53 C.94D ．3 思路探究：根据双曲线的定义，求出|PF 1||PF 2|的值． 由|PF 1||PF 2|＝94ab ，建立a 、b 、c 三者之间的等量关系求解．[解析] 考虑双曲线的对称性，不妨设P 在右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 而|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，两式等号左右两边平方后相减， 得|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a24.又已知|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，∴94ab ＝9b 2－4a 24，得b a ＝43(负值舍去)． ∴该双曲线的离心率e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝53. [答案] B1．求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a ，c ，再计算e ＝c a；二是依据条件提供的信息建立参数a 、b 、c 的等式进而转化为离心率e 的方程，再解关于e 的方程即可．2．求离心率的范围时，常结合已知条件构建关于a ，b ，c 的不等关系，再转化为含e 的不等关系求解．1．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( ) A.x 225－y 29＝1 B.x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1 C.x 2100－y 236＝1 D.x 2100－y 236＝1或y 2100－x 236＝1 B [由题意：a ＝5，b ＝3，且焦点不确定，应选B.] 2．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±23xB ．y ＝±49xC ．y ＝±32xD ．y ＝±94xC [由题意，焦点在x 轴上，且a ＝2，b ＝3，故渐近线方程为y ＝±32x .]3．已知双曲线x 2－y 23＝1，那么它的焦点到渐近线的距离为________．[解析] c 2＝1＋3＝4，∴c ＝2.焦点坐标为(±2,0)，又渐近线方程为y ＝±3x ，∴焦点到渐近线的距离为d ＝|23|3＋1＝ 3.[答案] 34．已知双曲线C 经过点(1,1)，它的一条渐近线方程为y ＝3x ，则双曲线C 的标准方程是________．[解析] 设双曲线标准方程为3x 2－y 2＝λ(λ≠0)， 把(1,1)代入得λ＝3×12－12＝2，所以双曲线方程为3x 2－y 2＝2，即x 223－y 22＝1.[答案]x 223－y 22＝1 5．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，求双曲线C 的离心率．[解] 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，如图所示，由于在双曲线中c >b ，故在Rt△OF 1B 2中，只能是∠OF 1B 2＝30°，所以b c ＝tan 30°，c ＝3b ，所以a ＝2b ，离心率e ＝c a＝32＝62.。
高中数学 第3章 圆锥曲线与方程 3 3.2 双曲线的简单性质学案 北师大版选修2-1-北师大版高二
3.2 双曲线的简单性质学习目标：1.结合双曲线的图形掌握双曲线的简单几何性质．(重点) 2.感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，体会数形结合思想．(难点)双曲线的简单性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形范围 x ≥a 或x ≤－ay ≥a 或y ≤－a对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点坐标 A 1(－a ，0)，A 2(a ，0) A 1(0，－a )，A 2(0，a )实轴和 虚轴 线段A 1A 2叫做双曲线的实轴； 线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴渐近线y ＝±b a xy ＝±a b x标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞) a ，b ，c 的关系 c 2＝a 2＋b 2(c ＞a ＞0，c ＞b ＞0)[提示] 因为e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a 2，故当b a 的值越大，渐近线y ＝bax 的斜率越大，双曲线的开口越大，e 也越大，所以e 反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．1.判断正误(1)双曲线是轴对称图形．( )(2)双曲线的离心率越大，它的开口越小． ( ) (3)双曲线x 24－y 29＝1的虚轴长为4.( )[答案] (1)√ (2)× (3)×2．双曲线2x 2－y 2＝－8的实轴长是( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2D ．4B [双曲线标准方程为y 28－x 24＝1，故实轴长为2a ＝4 2.]3．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±23xB ．y ＝±49xC ．y ＝±32xD ．y ＝±94xC [焦点在x 轴上，a ＝2，b ＝3，渐近线方程为：y ＝±b a x ，即y ＝±32x .]4．双曲线x 2－y 2＝3的离心率为________． 2 [x 2－y 2＝3可化为x 23－y 23＝1，∴a ＝b ＝3，c 2＝a 2＋b 2＝6， ∴e ＝c a＝63＝ 2.]已知双曲线的标准方程求其简单性质【例1】 (1)若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线225－29－k ＝1与曲线225－k －29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等(2)双曲线4x 2－y 2＝4的顶点坐标为________，离心率为________，渐近线方程为________．(1)A (2)(－1，0)，(1，0)5 y ＝±2x [(1)∵0＜k ＜9，∴x 225－y 29－k＝1的实轴长为10，虚轴长为29－k ，焦距为234－k ，离心率34－k5. x 225－k －y 29＝1的实轴长为225－k ，虚轴长为6，焦距为234－k ，离心率34－k25－k .∴焦距相等．(2)将4x 2－y 2＝4变形为x 2－y 24＝1，∴a ＝1，b ＝2，c ＝5，∴顶点坐标为(－1，0)，(1，0)，e ＝c a＝5， 渐近线方程为y ＝±b ax ＝±2x .]1．由双曲线的方程研究性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a ，b 的值． (3)由c 2＝a 2＋b 2求出c 的值，从而写出双曲线的性质．2．把双曲线标准方程等号右边的1换成0，化简即可得到双曲线的渐近线方程．1．求双曲线nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．[解] 把方程nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)化为标准方程为x 2m －y 2n＝1(m >0，n >0)，由此可知，实半轴长a ＝m ，虚半轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ，焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)，离心率e ＝c a＝m ＋nm＝1＋n m，顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)， 所以渐近线方程为y ＝±n mx ，即y ＝±mn m x .利用双曲线的性质求双曲线的标准方程【例2】 (1)已知双曲线的焦点在y 轴上，实轴长与虚轴长之比为2︰3，且经过点P (6，2)，求双曲线方程；(2)已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为53，且经过点M (－3，23)，求双曲线方程；(3)若双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且两顶点间的距离是6，求双曲线方程．[解] (1)设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知a b ＝23.又∵双曲线过点P (6，2)，∴4a 2－6b 2＝1，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝234a 2－6b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝43b 2＝3. 故所求双曲线方程为34y 2－13x 2＝1.(2)设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．∵e ＝53，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝259，∴b a ＝43.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝439a 2－12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝94b 2＝4. ∴所求的双曲线方程为x 294－y 24＝1.(3)设双曲线方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)，即x 2λ4－y 2λ9＝1(λ≠0)，由题意得a ＝3.当λ>0时，λ4＝9，λ＝36，双曲线方程为x 29－y 24＝1；当λ<0时，－λ9＝9，λ＝－81，双曲线方程为y 29－4x281＝1.故所求双曲线方程为x 29－y 24＝1或y 29－4x 281＝1.(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．(2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧①焦点在x 轴上的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．②焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可设为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．③与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2<λ<a 2)．④与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．⑤渐近线为y ＝kx 的双曲线方程可设为k 2x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ⑥渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)．2．(1)求与双曲线y 24－x 23＝1有共同的渐近线，且经过点M (3，－2)的双曲线的标准方程．(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝233，过点A (0，－b )和B (a ，0)的直线与原点的距离为32，求此双曲线的标准方程． [解] (1)设所求双曲线的方程为y 24－x 23＝λ(λ≠0)．∵点M (3，－2)在双曲线上，∴44－93＝λ，即λ＝－2.∴双曲线的标准方程为x 26－y 28＝1.(2)∵e ＝233，∴c a ＝233，∴a 2＋b 2a 2＝43，∴a 2＝3b 2.①又∵直线AB 的方程为bx －ay －ab ＝0， ∴d ＝ab a 2＋b2＝32，即4a 2b 2＝3(a 2＋b 2)． ② 解①②组成的方程组，得a 2＝3，b 2＝1. ∴双曲线的标准方程为x 23－y 2＝1.与离心率、渐近线有关的性质问题[探究问题]1．若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？[提示] 当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线，如具有相同的渐近线y ＝±b a x 的双曲线可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0，λ∈R )，当λ>0时，焦点在x 轴上，当λ<0时，焦点在y 轴上．2．已知双曲线的渐近线为y ＝2x ，如何求出该双曲线的离心率？[提示] 由双曲线的渐近线为y ＝2x 可知，该双曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，故离心率为5或52. 【例3】 (1) 双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则离心率为( )A.54 B.52 C.53或54D.52或153(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率的范围是________．[思路探究] (1)分焦点在x 轴上或在y 轴上分别求出离心率；对于问题(2)可以通过图形借助直线与双曲线的关系，因为过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则必有b a≥tan 60°.(1)C (2)[2，＋∞) [(1)当焦点在x 轴上时b a ＝34，∴e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝54， 当焦点在y 轴上时，b a ＝43，∴e ＝ca＝1＋b 2a 2＝53，故选C. (2)因为双曲线渐近线的斜率为k ＝ba，直线的斜率为k 1＝tan 60°＝3，故有ba≥3，所以e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2≥1＋3＝2，所以所求离心率的取值范围是e ≥2.]1.(变条件)本例(1)的条件换成：已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一条渐近线与x 轴的夹角为α，且π4<α<π3，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．(1，2)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(2，22)B [∵双曲线的焦点在x 轴上，故其渐近线方程为y ＝b a x ，则tan α＝b a .∵π4<α<π3，∴1<tan α<3，即1<b a <3，∴1<b 2a 2＝c 2－a 2a 2<3，求得2<ca<2.故选B.]2.(变条件)本例(2)的条件换成：已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________．(1，2) [如图，要使△ABE 为锐角三角形，只需∠AEB 为锐角，由双曲线对称性知△ABE 为等腰三角形，从而只需满足∠AEF ＜45°.又当x ＝－c 时，y ＝b 2a，∴tan ∠AEF ＝|AF ||EF |＝b2a （a ＋c ）＜1，∴e 2－e －2＜0，又e ＞1，∴1＜e ＜2.](1)求圆锥曲线的离心率的关键是探寻a 与c 的关系，因此由题目条件找到a ，b ，c 三者中任意两个的等量关系，解方程，求得离心率的值即可．(2)求双曲线离心率的取值范围，关键是根据题目条件得到不等关系，在建立不等关系时，经常用到的结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c －a .1．双曲线y 24－x 29＝1的顶点坐标为( )A ．(0，2)(0，－2)B ．(3，0)(－3，0)C ．(0，2)(0，－2)(3，0)(－3，0)D ．(0，2)(3，0)A [由双曲线的标准方程知焦点在y 轴上，则顶点在y 轴上，且a 2＝4，则a ＝2，从而顶点坐标为(0，2)，(0，－2)．]2．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( ) A ．－14 B ．－4 C ．4 D.14A [双曲线方程化为标准形式：y 2－x 2－1m＝1，则有a 2＝1，b 2＝－1m ，由题设条件知，2＝－1m ，∴m ＝－14.] 3．设△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝120°，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为________．1＋32 [由题意2c ＝|BC |，所以|AC |＝2×2c ×sin 60°＝23c ，由双曲线的定义，有2a ＝|AC |－|BC |＝23c －2c ⇒a ＝(3－1)c ，∴e ＝c a＝13－1＝1＋32.] 4．(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．25．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0，13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A(2，－3)．5．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0，13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)．[解] (1)由题意，知双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13，因为c a ＝135，所以a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12.故所求双曲线的标准方程为y 225－x 2144＝1. (2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12. ① 因为点A (2，－3)在双曲线上，所以4a2－9b2＝1.②联立①②，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12. ③ 因为点A (2，－3)在双曲线上，所以9a2－4b2＝1. ④联立③④，解得a 2＝8，b 2＝32. 故所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.法二：由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线的方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)．因为点A (2，－3)在双曲线上， 所以2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8.故所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.。
高中数学 2.3.2 双曲线的简单性质教案 北师大选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程2.3.2 双曲线的简单性质一、复习引入：1．范围、对称性由标准方程12222=-by a x 可得22a x ≥，当a x ≥时，y 才有实数值；对于y 的任何值，x都有实数值这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 2．顶点顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长讲述：结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程12222=-by a x 中，令y=0得a x ±=，故它与x 轴有两个交点()0,),0,(21a A a A -，且x 轴为双曲线12222=-bya x 的对称轴，所以()0,),0,(21a A a A -与其对称轴的交点，称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫做双曲线12222=-by a x 的实轴长，它的长是2a.在方程12222=-by a x 中令x=0得22b y -=，这个方程没有实数根，说明双曲线和Y 轴没有交点。
但Y 轴上的两个特殊点()b B b B -,0),,0(21，这两个点在双曲线中也有非常重要的作用 把线段21B B 叫做双曲线的虚轴，它的长是2b 要特别注意不要把虚轴与椭圆的短轴混淆 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异 3．渐近线过双曲线12222=-by a x 的两顶点21,A A ，作y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作x 轴的平行线b y ±=，四条直线围 成一个矩形 矩形的两条对角线所在 直线方程是x a b y ±=（0=±bya x ）， 这两条直线就是双曲线的渐近线 分析：要证明直线x ab y ±=（0=±bya x ） 是双曲线12222=-by a x 的渐近线，即要证明随着X 的增大，直线和曲线越来越靠拢 也即要证曲线上的点到直线的距离｜MQ ｜越来越短，因此把问题转化为计算｜MQ ｜ 但因｜MQ ｜不好直接求得，因此又把问题 转化为求｜MN ｜ 最后强调，对圆锥曲线 而言，渐近线是双曲线具有的性质22||||a x a b x a b MN MQ --=< ＝)(22a x x ab-- 22ax x ab -+=（||MQ 0−−→−∞→x ） 4．等轴双曲线a=b 即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线结合图形说明：a=b 时，双曲线方程变成222a y x =-(或)2b ，它的实轴和都等于2a(2b)，这时直线围成正方形，渐近线方程为x y ±= 它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角5．共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为x a b y ±=)0(>±=k x kakb，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222b y a x6．双曲线的草图利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线 三、讲解范例：例1 求双曲线1422=-y x 的顶点坐标、焦点坐标，实半轴长、虚半轴长和渐近线方程，并作出草图分析：只要紧扣有关概念和方法，就易解答解：把方程化为标准方程1212222=-y x由此可知，实半轴长a ＝1，虚半轴长b ＝2． 顶点坐标是（－1，0），（1，0）5212222=+=+=b a c 焦点的坐标是(－5，0)，(5，0)．渐近线方程为021=±yx ，即x y 2±= 例2 求与双曲线191622=-y x 共渐近线且过)3,33(-A 的双曲线的方程 分析：因所求的双曲线与已知双曲线共渐近线，故可先设出双曲线系，再把已知点代入，求得K 的值即可解：设与1342222=-y x 共渐近线且过)3,33(-A 的双曲线的方程为λ=-222234y x则 λ=--22223)3(4)33( ，从而有1611=λ 所求双曲线的方程为199161122=-y x 四、课堂练习：1．下列方程中，以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是12)(12)(1164)(1416)(22222222=-=-=-=-y x D y x C y x B y x A答案：A2 .过点(3,0)的直线l 与双曲线4x 2-9y 2=36只有一个公共点,则直线l 共有 (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条 答案：C3 .若方程ak 4y a k 3x 22-++=1表示双曲线，其中a 为负常数，则k 的取值范围是( )(A)(3a ,-4a ) (B)(4a ,-3a ) (C)(-3a ,4a ) (D)(-∞,4a )∪(-3a,+∞) 答案：B4 .中心在原点，一个焦点为(3，0)，一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程是(A)138********x y -= (B)13361381122x y -=(C)536554122x y -= (D)554536122x y -=答案：A5 .与双曲线x y 22916-=λ有共同的渐近线，且一顶点为(0，9)的双曲线的方程是（ ） (A)x y 22144811-= (B)--=x y 22144811 (C)x y 221691-= (D)-+=x y 22274811(/) 答案：D6 .一双曲线焦点的坐标、离心率分别为(±5，0)、32，则它的共轭双曲线的焦点坐标、离心率分别是 （ ） (A)(0，±5)，35 (B)(0，±532)， (C)(0，±532)， (D)(0，±535)，答案：A7 .双曲线2kx 2-ky 2=1的一焦点是F(0，4)，则k 等于 ( ) (A)-3/32 (B)3/32 (C)-3/16 (D)3/16 答案：A五、小结 ：双曲线的范围、对称性、中心、顶点、实轴和虚轴、实轴长、虚轴长、渐近线方程、等轴双曲线；双曲线草图的画法；双曲线12222=-by a x 的渐近线是x a b y ±=，但反过来此渐近线对应的双曲线则是)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222b y a x六、课后作业： 七、板书设计（略） 八、课后记：。
数学北师大版选修1-1导学案-2.3.2双曲线的简单性质(2)
§3.3.2双曲线的简单性质（第二课时） 【学习目标】1．掌握双曲线的离心率求法；(重点) 2．掌握双曲线的离心率范围的求法；(难点)一、知识记忆与理解【自主预习】1.复习双曲线的性质，完成资料书36页表格2.求椭圆离心率的常用方法是什么？有哪些类型？3.双曲线的离心率范围是什么？【预习检测】1.双曲线19422=-y x 的离心率是 ；2.等轴双曲线的离心率为 。
二、思维探究与创新 【问题探究】探究一、求双曲线的离心率大小 若双曲线焦点在x 轴上，且一条渐近线方程为2y-3x=0，请求出双曲线的离心率．变式训练1设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0＜a ＜b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率.求双曲线离心率的常见方法： 1.依据条件求出a ，c ，再计算e ＝ca ；2.依据条件提供的信息建立参数a 、b 、c 的等式进而转化为离心率e 的方程，再解关于e 的方程即可．探究二、求双曲线离心率的范围双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1，F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，能否求出双曲线离心率的取值范围？整理 反思变式训练2（1）双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝4|PF2|，能否求出双曲线离心率的取值范围？【总结归纳】求离心率范围问题，注意构造不等关系，如利用三角形两边之和大于第三边，基本不等式等构造a,c不等式。
【当堂检测】1.中心在原点，焦点在x轴上，一条渐近线经过点（4，-2），则双曲线的离心率为_______．2．设双曲线C的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1,0)，则C的离心率为________．3.与椭圆x24＋y2＝1共焦点且过点Q(2,1)的双曲线的离心率是________.【拓展延伸】双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且︒=∠=•301221FMFMF，，求出双曲线离心率.整理反思。
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2.3.2双曲线的简单性质导学案
学习目标:
1.了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线的方程；（2）通过方程，研究曲线的性质．
2.理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；
3.掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念． 重点、难点：理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；
掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题
自主学习
复习旧知
1.把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于＿＿＿（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola ）．其中这两个定点叫做双曲线的＿＿＿，两定点间的距离叫做双曲线的＿＿＿．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P ={}
122M MF MF a -=
2. 写出焦点在x 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿,
3.写出焦点在Y 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
合作探究
通过图像研究双曲线的简单性质：
①范围：由双曲线的标准方程得，22
2210y x b a
=-≥，进一步得：x a ≤-，或x a ≥．这说明双曲线在不等式x a ≤-，或x a ≥所表示的区域；
②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；
③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴
叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴； ④渐近线：直线b y x a =±叫做双曲线22221x y a b -=的渐近线； ⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比a c e =
叫做双曲线的离心率（1e >） 求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方
程．
3.求与双曲线22
1169x y -=共渐近线，且经过()
23,3A -点的双曲线的标准方及离心率．
练习反馈
求下列双曲线的实轴和虚轴的长，焦距和离心率：
（1）9
x 2 — y 2=81； （2）252y - 9
2x =1。