随机信号分析基础第一章习题

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随机信号分析与处理习题解答罗鹏飞.pdf

故有
P{X = m} = Cnm p m (1 − p)n−m ， m = 0,1, 2,....n
n
∑ 所以 X = Xi 服从参数为 n，p 的二项分布。 i =1
且有 E( Xi ) = 1⋅ P{Xi = 1}+ 0 ⋅ P{Xi = 0} = p ，
E
(
X
2 i
)
= 12
⋅
P{ X i
= 1}+
P{X = m} = Cnm p m (1 − p)n−m ， m = 0,1, 2,....n ， 0 < p < 1
求 X 的均值和方差。解法一：直接按照定义计算
n
n
∑ ∑ E( X ) = mP{X = m} = mCnm pm (1− p)n−m
m=0
m=0
∑n
=m
n!
pm (1− p)n−m
第 1 章随机变量基础
1.1 设有两个随机变量 X 和 Y，证明
fY|X ( y | x) =
f (x, y) f X (x)
，
f X |Y
(x
|
y)
=
f (x, y) fY (y)
y x+Δx
∫ ∫ f (x, y)dxdy
提示：首先证明 F ( y | x < X ≤ x + Δx) = −∞ x
02
⋅
P{ X i
=
0}
=
p
，
D(Xi )
=
E
(
X
2 i
)
−
E2(Xi)
=
p
−
p2
=
p(1 −
p)
n

《随机信号分析》复习课(第一章-第四章)

F (x, y) P{X x,Y y}
y
(x, y)
x
0
1.4 多维随机变量及分布
f (x, y) 2F (x, y) xy
f (x, y) 0
xy
F(x, y)
f (x, y)dxdy
f (x, y)dxdy 1
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y)
f (x, y)dx
J
dx dy
对于任意单调函数 g(x) ：fY ( y) f X (x) J xg1( y)
如果 g(x) 不是单调函数：
fY ( y) f X (x1) J1 f X (xn ) J n
其中 x1 h1 ( y) … xn hn ( y) , Jk dxk / dy
1.6 随机变量的函数
《随机信号分析》复习课（第一章-第四章）
重点内容
绪论随机变量基础重点：随机变量的函数
第二章随机过程的基本概念重点: 平稳随机过程的概念，随机过程的功率谱密度，高斯过程
第三章随机过程的线性变换重点：随机过程线性变换的冲激响应法和频谱法，白噪声通过线性系统，随机过程线性变换后的概率分布
x2 f (x)dx
x1
1.3 随机变量的分布函数与概率密度
f (x)
1
2
exp
(x )2 2 2
X ~ N(, 2)
x
FX (x)
1 2
exp
(
x ) 22
2
dx
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-4 -3 -2 -1

随机信号习题及答案

Y = 3 X + 1 的分布函数。
3.
⎧0 ⎪ 已知随机变量 X 的分布函数为： FX ( x) = ⎨kx 2 ⎪1 ⎩
x<0 0 ≤ x < 1 ，求：①系数 k；②X 落在区间 x >1
0 < x < +∞,0 < y < +∞ 其它
（0.3，0.7）内的概率；③随机变量 X 的概率密度函数。
4.
⎧e − ( x + y ) 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为： f ( x, y ) = ⎨ ⎩0
求：①
分布函数 FXY ( x, y ) ；②（X，Y）落在如图所示的三角形区域内的概率。
y x+y=1
0
x
5. （续上题）求③边缘分布函数 FX ( x) 和 FY ( y ) ；④求边缘概率 f X ( x) 和 fY ( y ) 。 6. （续上题） ⑤ 求条件分布函数 FX ( x y ) 和 FY ( y x) ； ⑥ 求条件概率密度 f X ( x
103
9 若两个随机过程 X (t ) = A(t )cos t 和 Y (t ) = B(t )sin t 都是非平稳过程，其中 A(t ) 和 B (t ) 为相互独立，且各自平稳的随机过程，它们的均值为 0 ，自相关函数 R A (τ ) = RB (τ ) = R (τ ) 。试证这两个过程之和
和 Y 的相关性及独立性。
11. 已知随机变量 X 的均值 m X = 3 ，方差 σ 2 X = 2 ，且另一随机变量 Y = −6 X + 22 。讨论 X 和 Y 的相关性和正交性。 12. 设随机变量 Y 和 X 之间为线性关系 Y = aX + b ，a、b 为常数，且 a ≠ 0 。已知随机变量 X 为正态分布，即：

(完整word版)随机信号分析习题.(DOC)

随机信号分析习题一1. 设函数⎩⎨⎧≤>-=-0 ,0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数.并求下列概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。

2. 设),(Y X 的联合密度函数为(), 0, 0(,)0 , otherx y XY e x y f x y -+⎧≥≥=⎨⎩, 求{}10,10<<<<Y X P 。

3. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)52(21exp 1),(22y xy x y x f XY π 求:（1）边沿密度)(x f X ,)(y f Y（2)条件概率密度|(|)Y X f y x ，|(|)X Y f x y4. 设离散型随机变量X 的可能取值为{}2,1,0,1-，取每个值的概率都为4/1，又设随机变量3()Y g X X X ==-。

(1）求Y 的可能取值（2）确定Y 的分布. （3）求][Y E 。

5. 设两个离散随机变量X ，Y 的联合概率密度为:)()(31)1()3(31)1()2(31),(A y A x y x y x y x f XY --+--+--=δδδδδδ试求：（1)X 与Y 不相关时的所有A 值。

（2）X 与Y 统计独立时所有A 值。

6. 二维随机变量（X ，Y )满足:ϕϕsin cos ==Y Xϕ为在[0，2π]上均匀分布的随机变量，讨论X ,Y 的独立性与相关性。

7. 已知随机变量X 的概率密度为)(x f ,求2bX Y =的概率密度)(y f .8. 两个随机变量1X ，2X ,已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度()Y f y\10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数222W X Y Z X⎧=+⎨=⎩ 设X ，Y 是相互独立的高斯变量。

随机信号分析答案CH1习题答案

ρ XY =
σ X σY
C XY
→ C XY = ρ XY ⋅ σ X σ Y = 0.4 × 2 × 1 = 0.8
∴ 方差D [V ] = 4.8 D [W ] = 17.8
2 2 2 ⎤ E⎡ ⎣ X ⎦ = D [ X ] + mX = 4 + 1 = 5 2 2 2 ⎤ = D [Y ] + mY E⎡ Y = 1 + 2 =5 ⎣ ⎦

CVW = RVW − mV ⋅ mW = 22.2 − 3 × 7 = 1.2
ρVW =
σV σW
CVW
=
1.2 4.8 × 17.8
≈ 0.13
1.32 已知对随机变量 X 与 Y ，有 E [ X ] = 1 ， E [Y ] = 3 ，
D [ X ] = 4 ， D [Y ] = 16 ， ρ XY = 0.5 ，又设 U = 3 X + Y ，
= FX ( 0.7 ) − FX ( 0.3) = 0.7 2 − 0.32 = 0.4
k =1
（2） P {0.3 < X < 0.7} = P {0.3 < X ≤ 0.7} − P { X = 0.7}
0 ≤ x <1 else
（3） f X (x) =
dFX (x) ⎧2x =⎨ dx ⎩0
1 2 3 1 2 3
jv3X3 jvX1 jv2 X2 ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ ⎤ X1, X2 , X3独立 E ⎡ e E e E e ⋅ ⋅ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= φ1(v)φ2 (2v)φ3 (3v)
jv( 2 X + X +4 X +10) ⎡ ⎤ φ ( v ) E e = （4） X ⎣ ⎦

随机信号分析课后习题答案

1第一次作业：练习一之1、2、3题1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。

求随机变量的数学期望和方差。

解：875.087813812411210)(][41==⨯+⨯+⨯+⨯===∑=ii ix X P x X E81)873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224122⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=-=∑=i i i P X E x X D109.16471==1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+<=21201)](2πΑsin[0.500)(x x x x x F 求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(<<x P 。

解：⎪⎩⎪⎨⎧<≤-π==其他201)](2π[cos 2)()(x x A dx x dF x f由 1)(=⎰∞∞-dx x f得 2A 021)](2πAsin[1)]d (2π[cos 2=-=-π⎰∞∞-x x x A21A =35.042)]15.0(2[sin 21)]11(2[sin 21)5.0(F )1(F )15.0(==-π--π=-=<<x P 1.3 试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。

（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-00e1)(2x x x F x2（2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1110Α00)(2x x xx x F （3）0)]()([)(>--=a a x u x u ax x F （4）0)()()(>---=a a x u ax a x u a x x F解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-00e1)(2x x x F x当0≥x 时，对于12x x ≥，有)()(12x F x F ≥，)(x F 是单调非减函数；1)(0≤≤x F 成立； )()(x F x F =+也成立。

随机信号分析基础作业题

随机信号分析基础作业题第⼀章1、有朋⾃远⽅来，她乘⽕车、轮船、汽车或飞机的概率分别是0.3，0.2，0.1和0.4。

如果她乘⽕车、轮船或者汽车来，迟到的概率分别是0.25，0.4和0.1，但她乘飞机来则不会迟到。

如果她迟到了，问她最可能搭乘的是哪种交通⼯具？解：()0.3P A =()0.2P B =()0.1P C =()0.4P D =E －迟到，由已知可得(|)0.25(|)0.4(|)0.1(|)0P E A P E B P E C P E D ====全概率公式： ()()()()(P E P E AP E B P E C P E D=+++ 贝叶斯公式：()(|)()0.075(|)0.455()()0.165(|)()0.08(|)0.485()0.165(|)()0.01(|)0.06()0.165(|)()(|)0()P EA P E A P A P A E P E P E P E B P B P B E P E P E C P C P C E P E P E D P D P D E P E ?====?===?===?==综上：坐轮船3、设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度函数为2222,0()0,0X x x X x e x f x x σσ-??>=??式中，常数0X σ>，求期望()E X 和⽅差()D X 。

考察：已知()x f x ，如何求()E X 和()D X ？222222()()()[()]()()()()()()()x x E X x f x dxD XE X m X m f x dxD XE X E X E X x f x dx∞-∞∞-∞∞-∞=?=-=-=-?=6、已知随机变量X 与Y ，有1,3,()4,()16,0XYEX EY D X D Y ρ=====，令3,2,U X Y V X Y =+=-试求EU 、EV 、()D U 、()D V 和(,)Cov U V 。

随机信号分析习题.doc

随机信号分析习题一,试证明F(x)是某个随机变的分布函数。

并求卜列概率:< 1), P(1 < ^ < 2) o2. 设的联合密度w 数为求 p{o<x<i ，o<y<i}、3. 设二维随机变g(x ，y)的联合密度函数为fxY^ y) = —exp --(A ：2+2xy + 5y 2) 71 2求：(l)边沿密度八0), f Y (y)(2)条件概率密度人|x (y|x)，A,r (x|y)4. 设离散型随机变的可能取值为1，0，1，，取每个值的概率都为1/4,又设随机变(1) 求r 的可能取值 (2) 确定Y 的分布。

(3)E[Y] o5. 设两个离散随机变量y 的联合概率密度为：fxY J )=2)^(y-l)+|^(x-3)5()’-l) + |<y (x-A)6(y-A)试求：(1) X 与y 不相关吋的所有A 值。

(2)x 与y 统计独立时所有A 值。

6. 二维随机变量(x, y)满足：X =cos (p Y = sin (p识为在[(),上均匀分布的随机变量，讨论X, r 的独立性与相关性。

7. 已知随机变fix 的概率密度为/(X)，求y=/?X 2的概率密度/(y)。

fxY (^y) =，x>0, y>0 ,other8.两个随机变量12，己知其联合概率密度为/(久七)，求1 + 的概率密度？9.设X足零均值，单位方差的高斯随机变量，：v = 如图，求y二以X)的概率密度人(夕)10.设随机变sw和z是w两个随机变s x和r的函数fw = x2 +r2 [z = x2设x，y是相互独立的高斯变景。

求随机变景w和z的联合概率密度函数。

11.设随# L变量w和z是另两个随# L变量x和r的函数J W = X + Y^z = 2(x+ r)己知，求联合概率密度函数人“耿幻。

12.设随机变量X为均匀分布，其概率密度厶=0, 其它(1)求X的特征函数，外(幼。

《随机信号基础》练习题

《随机信号分析》练习题一、概念题1．叙述随机试验的三个条件。

2．写出事件A 的概率P(A)所满足的三个条件。

3．何谓古典概型？其概率是如何计算的？ 4．两个事件独立的充要条件。

5．两个随机变量独立的充要条件。

6．两个随机过程的独立是如何定义的？7．随机变量X 服从正态分布，写出其概率密度函数表达式，并说明其中各个参数的意义。

8．简述一维随机变量分布函数F （x ）的性质。

9．已知连续型随机变量X 的分布特性，分别用分布函数)(x F X 和概率密度函数)(x f X 表示概率}{21x X x P ≤<。

10．随机变量X 的特征函数)(μX C 是如何定义的？写出由)(μX C 计算k阶矩)(k X E 的公式。

11．设X 1,X 2,…,Xn 为相互独立的随机变量，其特征函数分别为C 1(μ),C 2(μ),…,Cn(μ)，设∑==n i i X Y 1，则C Y (μ)=？12．对于一般的复随机变量，其数学期望、方差、协方差各是实数还是复数？13．写出随机过程X(t)的n 维分布函数定义式。

14．简述随机过程宽平稳性与严平稳性的区别。

15．平稳过程与各态历经过程有何关系？16．设平稳随机过程X(t)的自相关函数为R X (τ)，X(t)依均方意义连续的条件是？17．已知平稳随机过程X(t)、Y(t)的相关时间分别为X τ和Y τ，若X τ>Y τ，说明X(t) 与Y(t)的起伏程度那个较大？18．两个随机过程广义联合平稳的条件是什么？19．平稳随机过程)(t X 的功率谱密度)(ωX G 的物理意义是什么？)(ωX G 与物理谱密度有何关系？20．白噪声的功率谱密度和自相关函数有何特点？ 21．简述维纳-辛钦定理并写出其表达式。

22．何为线性系统？23．写出希尔伯特变换器的频率响应、幅频响应和相频响应表达式。

24．写出窄带过程的准正弦表达式和莱斯表达式。

《随机信号基础》练习题

《随机信号分析》练习题一、概念题1．叙述随机试验的三个条件。

2．写出事件A 的概率P(A)所满足的三个条件。

3．何谓古典概型？其概率是如何计算的？ 4．两个事件独立的充要条件。

5．两个随机变量独立的充要条件。

6．两个随机过程的独立是如何定义的？7．随机变量X 服从正态分布，写出其概率密度函数表达式，并说明其中各个参数的意义。

8．简述一维随机变量分布函数F （x ）的性质。

9．已知连续型随机变量X 的分布特性，分别用分布函数)(x F X 和概率密度函数)(x f X 表示概率}{21x X x P ≤<。

10．随机变量X 的特征函数)(μX C 是如何定义的？写出由)(μX C 计算k阶矩)(k X E 的公式。

14．简述随机过程宽平稳性与严平稳性的区别。

22．何为线性系统？23．写出希尔伯特变换器的频率响应、幅频响应和相频响应表达式。

24．写出窄带过程的准正弦表达式和莱斯表达式。

随机信号分析基础chapter①王永德答案

2
0
pR (r , )d
0
r

r
2
e

r2 2 2
p ( ) pR (r , )dr
r2 2 2
2
2
e
1 dr 2
表述问题：
P( R, ) R 2
2
2
不完整解：
e
R2 2 2
P( R)
R

e

R2 2
2
pR ( r )
解方法二: 可采用(2)的方法,先求特征函数,再求概率密度,由于计算复杂这里不累述.
1.10 解：设 Z1 Y ; Z2 XY
则反函数为： Y Z1; X
则雅可比式为：
Z2
Y
Y Z 2 1 0 1 1 X 0 Y Y Z 2
Y Z 1 J X Z 1
n 1 n 1 D( X ) D( xi ) 2 D( xi ) n i 1 n i 1 1 n 1 n 2 2 [ D( xi )] 2 i n i 1 n i 1
(2) 解法一：根据题意：令 i 0, i2 2 . 由于独立同分布的高斯变量的线性组合仍为高斯变量，所以 X 为高斯变量。
所以它的特征函数为 C xi (u ) e 由性质可知：
Cxi (u) e
n
2u 2 2 2n
根据两两相互独立的随机变量之和的特征函数等于各个随机变量的特征函数之积这一性质可得：
1.8
CX (u) Cxi (u) e
i 1 n n
2u 2 2n
这样就可通过傅立叶反变换求它的密度函数

随机信号分析(第3版)第一章习题答案

解：（1）用 Bi 表示第 i 批的所有零件组成的事件，用 D 表示所有次品零件组成的事件。
P ( B1 ) = P ( B2 ) = P ( B3 ) = P ( B4 ) =
100 = 0.05 2000 100 P ( D B3 ) = = 0.1 1000
1 4
P ( D B1 ) =
200 = 0.4 500 100 P ( D B4 ) = = 0.1 1000
22. 23. 24. 已知随机变量 X 服从 [0, a] 上的均匀分布。随机变量 Y 服从 [ X , a] 上的均匀分布，试求（1）（2）
E (Y X ), (0 ≤ X ≤ a ) ； EY a+X 2
⎞ a+a/2 3 = a ⎟= 2 4 ⎠
解：（1）对 x ∈ [0, a ] 有， E (Y X ) =
1 −x f XY ( x, y ) = e 2π
2
+ y2 2
, ( x, y ) ∈ R 2 1 2 =−1， 1 2 − 2 , (u, v ) ∈ R 2
2
u+v 1 ⎧ x= ⎪ ⎪ 2 ，J = 2 由反函数 ⎨ 1 ⎪y = u −v ⎪ ⎩ 2 2
1 −u fUV ( u , v ) = e 4π 1 −u （2）由于, e 4π
2 2
（2） f ( x ) = 0.3δ ( x − 1) + 0.7δ ( x + 1)
E ( X ) = φ ′(0) / j = 1× 0.3 + ( −1) × 0.7 = −0.4 E ( X 2 ) = −φ ′′(0) = 12 × 0.3 + ( −1) × 0.7 = 1 Var ( X ) = E ( X 2 ) − E 2 ( X ) = 1 − 0.16 = 0.84

随机信号分析第一章习题讲解

1-9 已知随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1X x F x kxx x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。

解：第①问利用()X F x 右连续的性质 k ＝1第②问 {}{}{}()()0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P X F =<<=<≤-=-第③问201()()0X X xx d F x f x elsedx≤<⎧==⎨⎩1-10已知随机变量X 的概率密度为()()xX f x kex -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求：①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数解：第①问 ()112f xd x k ∞-∞==⎰第②问 {}()()()211221x x P x X x F x F xfx d x<≤=-=⎰ 随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。

{}{}()()1010101112P X P X f x dxe -<<=<≤==-⎰第③问()102102xx e x f x e x -⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()00()110022111010222xx xxxx xxF x f x dx e dx x e x e dx edxx e x -∞-∞---∞=⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪+>->⎪⎪⎩⎩⎰⎰⎰⎰1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。

设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？,(01)p q λ→∞→→∞→−−−−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→n=1n ,p 0,np=n 成立，0不成立-分布二项分布泊松分布高斯分布汽车站出事故的次数不小于2的概率()()P(2)101k P k P k ≥=-=-=答案 0.1P(2)1 1.1k e -≥=-100.1n p ≥≤实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布()np!keP X k k λλλ-=＝＝1-12 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为(34)0,0(,)0x y XYkex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩,,其它求：①系数k ？②(,)X Y 的分布函数？③{01,02}P X X <≤<≤？第③问方法一：联合分布函数(,)XY F x y 性质：若任意四个实数1212,,,a a b b ，满足1212,a a b b ≤≤，则121222111221{,}(,)(,)(,)(,)XY XY XY XY P a X a b Y b F a b F a b F a b F a b <≤<≤=+--{01,02}(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)XY XY XY XY P X Y F F F F ⇒<≤<≤=+--方法二：利用(){(,)},X YDP x y D f u v dudv∈∈⎰⎰)(210{01,02},XY P X Y f x y dxdy <≤<≤=⎰⎰1-13 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为101,(,)0x y x f x y ⎧<<<=⎨⎩,,其它①求条件概率密度(|)X f x y 和(|)Y f y x ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。

随机信号分析与应用第一章答案

随机信号分析与应⽤第⼀章答案随即信号分析与应⽤习题答案马⽂平李冰冰⽥红⼼朱晓明第⼀章1.1(1)答：(2)答：T 连续⽽E 离散，从⽽此过程为离散型随即过程。

(3)答：由于样本函数未来得值不能由过去的情况准确的预测，从⽽此过程为不确定随机过程。

1.2答：已知A~N(0,1),B~N(0,1)且A 、B 相互独⽴。

故2222121212121(,)()*())exp()2222AB A B x x x x f x x f x f x π+==--=- 1112()Bt ()Bt X t A X t A =+??=+? ? [X(1t ),X(2t )]是（A ，B ）的线性变换∴[X(1t ),X(2t )]服从⼆维正太分布11X 21(X)exp()22T X K X f K π-=-,其中K = 11122122K K K K ??⽽ 222(){[()()]}1x t E X t E x t δ=-=+1t 1t K K ?=+??=+??且1221121K K t t ==+ 最后将k 代⼊1121()exp()22T x X K X f x K π-=-即可得到答案。

1.4(1)答：该过程式确定性随机过程(2)答：X(t)的分布函数为0 x<10.6 1 x<2F ()0.9 2 x<31 3 xX t ??≤?=?≤??≤?∴X(t)的⼀维概率密度函数为X ()0.6(1)0.3f t t δδδ=-+（x-2）+0.1(x-3)1.6答：22212122211222222221212121222E[X(t)] = E[A +B ]()()47R (,)[()()][(A +B )(A +B )][],16.1B B B X t t tE A t E B t t t t E X t X t E t t t t E A t t ABt t ABt t B t t A B A =+=+===+++= 2互不相关E()=D(A)+[E(A)]E()=D()+[E()2222X 1212121212121122121222121224()51.1282851(,)[(()())()()] (,)()() 0.12(,)0.12X x x X x x X t X R t t t t t t t t t t K t t E X t m t X t m t R t t m t m t t t t t K t t t t δ=∴+++=--=-=+==+2]（，）=161.7答：''2'22()[()][()][]2[()][()][()]3dX t dE X t E X t E t212()()[()][cos3] cos31()[()][()]1[()]1cos3sin33()(,)[()()][]cos3cos3xtytxtXY tm t E X t E V t tm t E Y t E X d tE m dtR t t E X t X t E V t tλλλλλλ==========的均值：的相关函数：1212121212120012001212121212cos3cos3 (,)[()()]12cos3cos32sin3sin39()(,)(,)(Yt tt tY Y Yt tR t t E Y t Y tE X U X V dudv t tu vdudvt tt tt tY tK t t R t t m t======-的协⽅差：2121212121212Y2)()2sin3sin3sin3sin399sin3sin39()sin3()(,)9YYm tt t t tt t t tt tt tY ttt K t ttδ=-===的⽅差:1.9 答：12121211111122[()][()]0(,)(,)()()[()] [()()][()]cos [()]sin 0(,)[()()]{[()cos ()sin ][()cos (Z Z E A t E B t t t t t R m t E Z t E X t Y t E A t t E B t t R t t E Z t Z t E A t t B t t A t t B t τ======+=+===++A B 由题知：R R 2212121212121212121212121212)sin ]}[()()cos cos ()()cos sin ()()sin cos ()()sin sin ]()()[()()][()][()]0[()()][()][()]0(,),Z (0)()Z(t)=()()A B Z Z t t t t R t t t t R t t R R t t t t R R X t Y t τττττ+=-==<∞∴+2故与⽆关，只与有关同时E[(t)]=是宽平稳随机过程1.10答：0020000[()][sin()]sin()() sin()2exp[()]exp[()]21exp()[exp()exp(22E X t E a w t a w t fd a w t d j w t j w t d j a jw t jw j+∞Φ-∞+∞-∞+∞-∞=+Φ=+-=++--+==---??00)] [()]()t d w t E X t X t +∞-∞==∴? 是关于t 的函数是⾮平稳的随机过程1.111.11答：12122X X X X X X 2X ()36exp cos 2036 ()()()cos 20()0()36exp 36()()3666[()](0)R t R t R t R t X t R t X t R E X t R ττττ=+=+===+=∞=??==±==±=12212X 2X X X X X （-20）+3636 是的周期分量的⾃相关函数此分量均值m （-20）是的⾮周期分量的⾃相关函数此分量均值m m m m +m 2X Xt R δ==-=-=2X m 1.12答：2222220000X 000E(A) = 0, E(A ) = D[A ] = E(B) = 0, E(B ) = D[B ] = ()E(A)E(B)=0E[X(t)]= E(A cos t + Bsin t)= E[A]cos t + E[B]sin t = 0()R (,)[X(t)X(t+)]E{(A cos t + Bsin t)[A cos (t + ) + Bs E AB W W W W t t E W W W δδτττ=+==常数022000000002000020X 2in (t + )]}= A cos t cos (t + ) + ABcos t sin (t + ) + ABsin t cos (t + ) + B sin t sin (t + )= [cos t cos (t + ) + sin t sin (t + )]= cos R ()(0)X(t)X W W W W W W W W W W W W W W R τττττδττδττδ==<∞2同时E[X (t)]=故是宽平稳随机过330033332222000000333300E[X (t)]= E[(A cos t + Bsin t)]= E[A cos t + B sin t +3A cos t sin t + 3AB cos t sin t ]=E(A )cos t + E(B )cos t X(t)t X(t)W W W W W W W W W W ∴程判断严平稳过程可由X(t)的三阶矩函数来判断在⼀般情况下，的三阶矩与有关不是严平稳随机过程1.13答：2222220X X(t)Y(t)E(A) = 0, E(A ) = D[A ] = 5E(B) = 0, E(B ) = D[B ] = 5()E(A)E(B)=0E[X(t)]= E(A cos t - Bsin t) = E[A]cos t - E[B]sin t = 0()R (,)[X(t)X(t+)]E{(A cos t - Bsin t)[A co E AB W t t E δδττ===+==(1)证明、宽平稳随机过程常数2222X s (t + ) - Bsin (t + )]}= A cos t cos (t + ) - ABcos t sin (t + ) - ABsin t cos (t + ) + B sin t sin (t + ) = E[cos t cos (t + ) + B sin t sin (t + )]= 5cos R () (0)5X(t)Y(t)X A R ττττττττττ==<∞2同时E[X (t)]=故是宽平稳随机过程同理是宽平稳随机过XY 121211222212121212121221X(t)Y(t)R (,)E[X()Y()]= E[(A cos - Bsin )(Bcos + A sin )]= E[A cos sin + ABcos cos - ABsin sin - B sin cos ]= 5 (cos sin - sin cos )= 5sin(t - t )= 5sin()=t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t τ=程(2)证明、联合平稳XY XY XY R ()X(t)Y(t)R ()()sin()X Y X Y m m r ττττδδ∴-====、是联合平稳(3)互相关系数1.15答：X(t)E(A) = E(B) = 0()E(A)E(B)=0E[X(t)] = E(Asin t+ Bcos t) = E[A]sin t + E[B]cos t = 0()A X(t)X(t)1lim X(t)dt21lim (Asin t + Bcos t)dtT T TTT E AB TT -→∞-→∞=??====??==∴??(1)证明是均值遍历常数是均值遍历的X 2222X(t)R (,)[X(t)X(t+)]E{(Asin t + Bcos t)[Asin (t + ) + Bcos(t + )]}= E[A sin t sin (t + ) + ABcos t sin (t + ) + ABsin t cos(t + ) + B cos t cos(t + )]= E[A ]sin t sin (t + ) +E[B ]cos t cos(t t E τττττττττ+==(1)证明是⽅差⽆遍历性X 222X 2X 22222222222t + )R ()[()][()][()] R (0)E[A ]sin t +E[B ]cos tA X (t)1lim (Asin t + Bcos t)dt 21lim (A sin t + 2ABsin t cos t +B cos t)dt 21lim (2TTT T TT T E X t E X t E X t T T A T T ττδ-→∞-→∞→∞==-===??===+??⼜22222X)1()2A X (t)()B T A B X t δ=+??≠∴的⽅差⽆遍历性1.16 答：(E1.19答：*00*00000000000102()20,Z()exp (),()exp[()][()Z()][exp(())exp ()]exp()[()Z()][exp ()exp ()][exp (22)][cos(22f t j w t Z t j w t E Z t t E j w t j w t w jw E Z t t E j w t j w t w E j w t w E w t w φπφπ其它00)sin(22)]0j w t w φτφ+++=1.20 答：11*1111[()][exp()]()exp()(,)[()Z()][exp()exp(()][]exp ()exp()ni i i ni i i Z nni i j j i j nni j j i j i j E z t E A jw t E A jw t R t t E Z t t E A jw t A jw t E A A j w w t jw ττττ========+=+=-+=-∑∑∑∑∑∑要使Z(t 2121 (,)()E Z(t)() ()[]0()[]exp()(0)[]Z Z j i j i i i j nZ i i i n Z i i R t t R t t w w i j w w i j E A A A R E A jw R E A ττττ==+=≠≠==??===∑∑Z )为复平稳过程则与⽆关，[]=m 与⽆关即当时且，不相关时有界此时能使Z(t)为复平稳过程1.24 答：11122122230.70.3 0.40.6(2)0.70.30.70.3 0.40.60.40.60.610.39 0.520.48(3)0.610.390.70. 0.520.48P P P P P P P P P ?? ? ?????= ? ?== ? ?= ? ?== ? ?本题构成⼀个两状态的马⽒链，其⼀步转移概率矩阵为 = 411221230.5830.4170.40.60.5560.444(4)0.5830.4170.70.3 0.5560.4140.40.60.57490.4251 0.56680.4332P (3)0.583 P P (4)0.4332 P (2)0.39= ? ?===从⽽1.25答：1/21/41/2三状1.26 答：00000001010111111121(1)(2)(3)2236233911111111(1)(2)(3)22242228f f f f f f ==?==??===?==??=1.271/21/32/31/31/61/2(1)111111236236111111(2)33333311111132632615138363636141414 =36363614139363636(3)???? ??? ??? ???= ??? ??? ??? ???????? ?(2)、此链接共有3个状态，且此三个状态均为遍历态，此马尔科夫链是不可约的遍历链。

随机信号分析与处理习题解答_罗鹏飞

故有
P{X = m} = Cnm p m (1 − p)n−m ， m = 0,1, 2,....n
n
∑ 所以 X = Xi 服从参数为 n，p 的二项分布。 i =1
且有 E( Xi ) = 1⋅ P{Xi = 1}+ 0 ⋅ P{Xi = 0} = p ，
E
(
X
2 i
)
= 12
⋅
P{ X i
= 1}+
函数 g(x) 的图像如下
解法一：根据概率分布函数的定义计算。
当 y ≤ 0 时， FY ( y) = P{Y ≤ y} = P{X < x0} + P{X > x1} = P{X < x0}+1− P{X < x1} = F (x0 ) +1− F (x1)
当 y ≤ A 时， FY ( y) = P{Y ≤ y} = P{x0 < X < x1} = FX (x1) − FX (x0 )
所以 Y 的概率分布函数为
FY ( y) = [1− FX (x1) + FX (x0 )]U ( y) + [FX (x1) − FX (x0 )]U ( y − A)
解法二：从概率密度 fY ( y) 入手求概率分布函数 FY ( y) 。由图可知 g(x) 的取值只可能为 0 或 A，求Y 的概率分布函数，也就是对 g(x) 取 0 或 A
<
X
≤
x2 )
=
P{Y ≤ y, x1 < X ≤ x2} P{x1 < X ≤ x2}
=
y x2 f (x, y)dxdy
−∞ x1
FX (x2 ) − FX (x1 )

随机信号李晓峰版第一章习题答案

ve e φ-=+；（3）()4/(4)v jv φ=；（4）()(sin 5)/(5)v v v φ=；解：（1）1()i k jvxiivpe φ==∑ ()()1 k i i i f x p x x δ==-∑ 2424()0.20.30.20.20.1j v j v j v j v v e e e e φ--=++++ ()()()()()() 0.20.320.240.220.14f x x x x x x δδδδδ=+-+-++++ ()()()(0)/20.340.220.240.10.6E X j φ'==?+?+-?+-?= ()()()()22 2 2 2 2 (0) 20.340.220.240.1 6.8 EX j φ''=-=?+?+-?+-?= ()()()22 6.80.36 6.44Var X E X E X =-=-= （2）() 11 ()0.30.7jv jv v e e φ??-=+ ()()()0.310.71f x x x δδ=-++ ()()(0)/10.310.70.4E X j φ'==?+-?=()()()
25. 设太空梭飞行中，宇宙粒子进入其仪器舱的数目N 服从（参数为λ）泊松分布。进舱后每个粒子造成损坏的概率为p ，彼此独立。求：造成损坏的粒子平均数目。解：每个粒子是否造成损坏用i X 表示 1,1,2,,0i X i N ?==? ? 造成损坏没有造成损害 , 造成损坏的粒子数 1 N i i Y X ==∑ ，于是 () 1 1 (|)(|) |n iin i i E Y N n E X N n E X N n =======∑∑ 可合理地认为N 和i X 是独立的，于是 ()1 (|)n i i E Y N n E X np ====∑ ()()()()(|)E Y E E Y N E Np pE N p λ==== 27．若随机变量X 的概率特性如下，求其相应的特征函数：（1）X 为常数c ，即{}1P X c ==；（2）参数为2的泊松分布；（3）（－1，1）伯努利分布： ()0.4(1)0.6(1)f x x x δδ=-++ （4）指数分布： 30 3(), x x e f x -≥?=??其他解：（1）()jvX jvc jvc X v E e E e e φ????===???? ，如果c=0，则()1X v φ=。（2）

随机信号分析课后习题答案

第一次作业：练习一之1、2、3题1.1离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。

求随机变量的数学期望和方差。

解：⎪⎩⎪⎨⎧<≤-π==其他201)](2π[cos 2)()(x x A dx x dF x f由 1)(=⎰∞∞-dx x f得 2A 021)](2πAsin[1)]d (2π[cos 2=-=-π⎰∞∞-x x x A21A =35.042)]15.0(2[sin 21)]11(2[sin 21)5.0(F )1(F )15.0(==-π--π=-=<<x P 1.3试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。

（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e1)(2x x x F x （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1110Α00)(2x x xx x F（3）0)]()([)(>--=a a x u x u ax x F （4）0)()()(>---=a a x u ax a x u a x x F解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-00e1)(2x x x F x当0≥x 时，对于12x x ≥，有)()(12x F x F ≥，)(x F 是单调非减函数；1)(0≤≤x F 成立； )()(x F x F =+也成立。

随机信号处理习题2017

6
3π π n ) 7 8
13 πn) 3
j( n π )
m
x(m)
2π π n ) 9 7

② y (n) [ x(n)]2 ③ y (n) x(n) sin(
④ y(n) = 3 × x(-n) ⑤ y ( n) n 2 x ( n)
⑥ y ( n) 1
x(m)
k
( 2kπ)

② X ( e j )
1 e j ( N 1) 1 e j
③ X (e j ) 1 2
cosl
l 0
N
④ X (e j )
jae j , | a | 1 (1 ae j ) 2
13. 设 x ( n ) 的离散时间傅立叶变换为 X (e j ) ，定义
15．求双边序列 x ( n) = a|n| 的 z 变换，其收敛域是多少？ 16. 连续时间信号 x (t ) 是频率为 250Hz，450Hz，1.0kHz，2.75kHz 和 4.05kHz 的正弦信号的线性组合，以 1.5kHz 抽样频率对进行抽样，抽样所得序列通过一个截止频率为 750Hz 的理想低通滤
a a2 2 exp{ 2 } f ( a ) 2 0
a0 a0
是在 [0,
2π] 中均匀分布的随机变量，且与 A 统计独立，为常量，请问 x(t ) 是否为平
稳随机过程。
8.
设 x(n) 为一平稳随机过程，若对应于某一个 N ， x(n) 的自相关函数 Rx (m) 满足
3.
有随机变量 X 1 和 X 2 ,已知其联合概率密度为 f ( x1 , x2 ) ，求 Y X 1 X 2 , Z X 1 / X 2 的概率密度。设随机变量 X 1 、 X 2 、 X 3 相互独立，都服从均值为 0，方差为 1 的标准正态分布，定义如下 3 个新的随机变量，证明这三个随机变量相互独立，都服从均值为 0，方差为 1 的标准正态分布。

北邮随机信号分析与处理第1章习题解答

X1 X X 2 XN
记
Y1 Y Y 2 YN
线性变换 Y LX
L 为 N N 矩阵
15
1.12
假定 L 为满秩，得 x L-1y 由多维随机变量的函数的求解表达式
f Y (y ) f X (L-1y ) J f X (L-1y )
1
条件均值为
f XY ( x, y ) 2(ax by) fY | X ( y | x ) (0 x, y 1) f X ( x) 2ax b 将 X 1/ 2 代入，得 a 2by fY | X ( y | x 1/ 2) (0 y 1) ab
E (Y | X 1/ 2)
因此的概率分布函数可写为其中为常数假定随机变量的概率分布函数已知其中为常数假定随机变量的概率分布函数已知设随机变量的联合概率密度为根据条件概率密度可得到条件均值为10已知随机变量由条件均值得到边缘均值为的边缘概率密度为因此11由条件均值得到边缘均值的详细推导过程
ftp服务器地址
ftp://10.108.142.57
n odd
3
1.3 (2/2)
fY ( y )
n

f X ( xn )
dxn dy d (arcsin y n ) d ( arcsin y n ) f X ( arcsin y n ) dy dy n odd
n even

f X (arcsin y n )

n even

f X (arcsin y n )
1 1 y2
f X ( arcsin y n )

随机信号分析基础第一章习题

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