2021年考研数学习题集7套试题及答案解析
21考研数学试题及答案
21考研数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x，求f'(x)的值。
A. 3x^2 - 3B. 3x^2 + 3C. -3x^2 + 3D. -3x^2 - 3答案：A2. 已知等差数列{a_n}的首项为1，公差为2，求第10项的值。
A. 19B. 20C. 21D. 22答案：A3. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx的值。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：B4. 设矩阵A=\[\begin{matrix}1 & 2\\3 & 4\end{matrix}\]，求矩阵A的行列式值。
A. -2B. 2C. -5D. 5答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 设函数g(x)=x^2-6x+8，求g(3)的值。
答案：-16. 已知向量a=\[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\]，b=\[\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\]，求向量a和b的数量积。
答案：-47. 计算极限lim(x→0) (sin x)/x的值。
答案：18. 设函数h(x)=e^x-1，求h'(x)的值。
答案：e^x三、解答题（每题10分，共60分）9. 求函数f(x)=ln(x)的不定积分。
答案：∫f(x)dx = xln(x) - x + C10. 已知函数f(x)=x^2+2x+1，求f(x)在x=1处的导数值。
答案：f'(1) = 411. 解方程组：\[\begin{cases}x+y=1\\2x-y=0\end{cases}\]答案：\[\begin{cases}x=1/3\\y=2/3\end{cases}\]12. 求由曲线y=x^2与直线y=2x-1所围成的平面图形的面积。
答案：S = ∫(1到2) (2x-1-x^2) dx = (x^2 - 1/3x^3)|_1^2 = 5/313. 求矩阵B=\[\begin{matrix}2 & -1\\1 & 0\end{matrix}\]的逆矩阵。
2021考研数学真题及答案解析(数一)
2021考研数学真题及答案解析数学（一）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.）（1）函数1,0()1,0x e x f x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩，在x =0处（A ）连续且取极大值. （B ）连续且取极小值. （C ）可导且导数为0. （D ）可导且导数不为0.【答案】D .【解析】因为001lim ()lim 1(0)x x x e f x f x→→-===，故()f x 在x =0处连续;因为200011()(0)11lim lim lim 002x x x x x e f x f e x x x x x →→→-----===--，故1(0)2f '=，正确答案为D . （2）设函数(,)f x y 可微，且2(1,)(1)x f x e x x +=+，22(,)2ln f x x x x =，则(1,1)df = （A ）dx+dy . （B ）dx -dy . （C ） dy . （D ）-dy ，【答案】C .【解析】两边同时关于x 求导得212(1,)(1,)(1)2(1)x x x f x e e f x e x x x ''+++=+++ ① 2212(,)2(,)4ln 2f x x xf x x x x x ''+=+ ②分别将01,01x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩带入①②式有 1212(1,1)(1,1)1,(1,1)2(1,1)2f f f f ''''+=+=联立可得1(1,1)0f '=，2(1,1)1f '=，12(1,1)(1,1)(1,1)df f dx f dy dy ''=+=，故正确答案为C .（3）设函数()2sin 1xf x x =+在0x =处的3次泰勒多项式为23ax bx cx ++，则 （A ）71,0,6a b c ===- （B ）71,0,6a b c ===（C ）71,1,6a b c =-=-=- （D ）71,1,6a b c =-=-=【答案】A .【解析】根据麦克劳林公式有3323332sin 7()()1()()166x x f x x o x x o x x x o x x ⎡⎤⎡⎤==-+⋅-+=-+⎢⎥⎣⎦+⎣⎦故71,0,6a b c ===-，本题选A .（4）设函数()f x 在区间[]0,1上连续，则()10f x dx =⎰（A ）1211lim 22nn k k f n n ∞→=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑. （B ）1211lim 2nn k k f n n ∞→=-⎛⎫⎪⎝⎭∑. （C ） 2111lim 2nn k k f n n∞→=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑. （D ）21lim 22n n k k f n n∞→=⎛⎫⋅⎪⎝⎭∑. 【答案】B .【解析】由定积分的定义知，将(0,1)分成n 份，取中间点的函数值，则()11211lim 2nn k f k f n x dx n ∞→=-⎛⎫ ⎝=⎪⎭⎰∑，即选B . （5）二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数与负惯性指数依次为 （A ）2，0. （B ）1，1. （C ）2，1. （D ）1，2.【答案】B .【解析】22221231223312122313(,,)()()()2222f x x x x x x x x x x x x x x x x =+++--=+++ 所以011121110A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故特征多项式为 11||121(1)(3)11E A λλλλλλ---=---=+---令上式等于零，故特征值为-1，3，0，故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1.故应选B .（6）已知1231130,2,1112ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，记11221331122,,k l l βαβαββαββ==-=--，若123,,βββ两两正交，则12,l l 依次为（A ）51,22（B ）51,22-（C ）51,22-（D ）51,22--【答案】A .【解析】利用斯密特正交化方法知()()21221110,2,0αββαβββ⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 313233121122()()(),,),,(αβαββαββββββ=--， 故3132121122,,51,()()()2)2(,,l l αβαβββββ====，故选A . （7）设A ，B 为n 阶实矩阵，下列不成立的是 （A ）2()T A O r r A O A A ⎛⎫=⎪⎝⎭ （B ）2()T AAB r r A O A ⎛⎫=⎪⎝⎭ （C ）2()T A BA r r A OAA ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）2()TA O r r A BAA ⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】C .【解析】（A ）()()2()TTAO r r A r A A r A OA A ⎛⎫=+=⎪⎝⎭.故A 正确. （B ）AB 的列向量可由A 的列线性表示，故()()2()0T T T A AB AO r r r A r A r A OA A ⎛⎫⎛⎫==+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （C ）BA 的列向量不一定能由A 的列线性表示. 举例1201=,0010A B ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1200001200500000T ABA r OAA ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，=32()=2TA BA r r A O AA ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭.（D ）BA 的行向量可由A 的行线性表示，()()2()0T T T AO AO r r r A r A r A BAA A ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 本题正确选项 （C ）.（8）设A ，B 为随机事件，且0()1P B <<，下列命题中不成立的是（A ）若(|)()P A B P A =，则(|)()P A B P A = （B ）若(|)()P A B P A >，则(|)()P A B P A > （C ）若(|)(|)P A B P A B >，则(|)()P A B P A > （D ）若(|)(|)P A A B P A A B >，则()()P A P B > 【答案】D . 【解析】(())()(|)()()()()P A A B P A P A A B P A B P A P B P AB ==+- (())()()()(|)()()()()()P A A B P AB P B P AB P A AB P A B P A B P A P B P AB -===+-因为(|)(|)P A A B P A A B >，固有()()()P A P B P AB >-，故正确答案为D . （9）设1122(,),(,),,(,)n n X Y X Y X Y 为来自总体221212(,;,;)N μμσσρ的简单随机样本，令121111,,ˆ,n ni i i i X X Y Y X Y n n θμμθ===-===-∑∑则 （A ）ˆθ是θ的无偏估计2212ˆ()D nσσθ+=，（B ）ˆθ不是θ的无偏估计2212ˆ()D nσσθ+=（C ）ˆθ是θ的无偏估计，2212122()ˆD n σσρσσθ+-=（D ）ˆθ不是θ的无偏估计，2212122()ˆD nσσρσσθ+-=【答案】C .【解析】因为X ，Y 是二维正态分布，所以X 与Y 也服从二维正态分布， 则X Y -也服从二维正态分布，即12()()()()ˆE E X Y E X E Y θμμθ=-=-=-=2212122()()()()co ˆv(,)D D X Y D X D Y X Y nσσρσσθ+-=-=+-=，故正确答案为C .（10）设1216,,X X X ⋯是来自总体(,4)N μ的简单随机样本，考虑假设检验问题：01:10,:10.Φ()H H x μμ≤>表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为{11}W X =≥，其中161116i i X X ==∑，则11.5μ=时，该检验犯第二类错误的概率为（A ）1Φ(0.5)- （B ）1Φ(1)- （C ）1Φ(1.5)- （D ）1Φ(2)-【答案】B .【解析】所求概率为1{11}(11.5,)4P X X N <~，11.51111.5{11}1Φ(1)1122X P X P ⎧⎫⎪⎪--<=≤=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭故本题选 B .二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.） （11）0222dxx x +∞=++⎰_______________. 【答案】4π 【解析】00022arctan(1)|22(1)1244dx dx x x x x ∞πππ+∞++∞==+=-=++++⎰⎰ （12）设函数()y y x =由参数方程2214(1)tt x e t y t e t=⎧++=-+⎪⎨⎪⎩确定，则202|t d y dx ==__________. 【答案】23.【解析】由4221t t dy te tdx e +=+，得223(442)(21)(42)2(21)t t t t t t d y e te e te t e dx e +++-+=+，将t =0带入得2022|3t d y dx ==. （13）欧拉方程240x y xy y '''+-=满足条件(1)1,(1)2y y '==得解为y=____________. 【答案】2x【解析】令tx e =，则222,dy d y dy xy x y dt dx dx ==-'''，原方程化为2240d yy dx-=，特征方程为240λ-=，特征根为122,2λλ==-，通解为22221212t t y C e C e C x C x --=+=+，将初始条件(1)1,(1)2y y '==带入得121,0C C ==， 故满足初始条件的解为2y x =.（14）设∑为空间区域22{(,,)|44,02}x y z x y z +≤≤≤表面的外侧，则曲面积分22x dydz y dzdx zdxdy ∑++=⎰⎰_____________. 【答案】4π.【解析】由高斯公式得22x dydz y dzdx zdxdy∑++⎰⎰()202214Dx y dV dz dxdy πΩ=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰.（15）设ij A a =为3阶矩阵，ij A 为代数余子式，若A 的每行元素之和均2，且3A =，112131A A A ++=____________.【答案】32.【解析1】（伴随矩阵）111121,,2,1111A A αλαλα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则A *的特征值为Aλ，对应的特征向量为11,1A A αααλ*⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭而112131122232132333A A A A A A A A A A *⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，11213112223213233311||1111A A A A A A A A A A A λ*++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即11213132A A A ++= 【解析2】（行列式展开性质）由于A 的每行元素之和均2，考虑把第二列，第三列都加到第一列，提出第一列公因式可得121312132223222311121332333233212=21=2()321a a a a A a a a a A A A a a a a =++=故11213132A A A ++=.（16）甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球.令X ，Y 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X 与Y 的相关系数_____________. 【答案】15.【解答】联合分布率(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)0101(,),311311111055102222X Y X Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪~~~ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()111ov ,,,?2044C X Y DX DY === 即15XY ρ=. 三、解答题（本题共6小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （17）（本题满分10分）求极限20011lim 1sin x t x x e dt e x →⎛⎫+ ⎪- ⎪- ⎪⎝⎭⎰. 【答案】12.【解析1】2200001sin +sin 11lim lim 1sin (1)sin x x t t x x x x x e dt x x e dt e e x e x →→⎛⎫+-+ ⎪-= ⎪-- ⎪⎝⎭⎰⎰ 又因为2223301(1())()3xxt e dt t o t dt x x o x =++=++⎰⎰，故原式3333222111(())(1())()3!3!2limx x x o x x x o x x x o x x→-++++--+= 22201()12lim 2x x o x x →+==【解析2】2200000sin 11lim lim lim 1sin 1sin (1)1x x t t x x x x x x x e dt e dt e x x e x e e →→→⎛⎫+ ⎪-=+ ⎪--- ⎪⎝+⎭-⎰⎰ 220000lim lim 1li sin 1cos sin m 211lim 22x x x x x x x xx x e x e x e e e x x→→→→-+-=--+=+=+= （18）（本题满分12分） 设11()(1,2,)(1)nxn n u x ex n n n -+=+=⋯+，求级数1()n n u x ∞=∑的收敛域及和函数. 【答案】()(1)ln(1),(0,1)1,11xxe x x x x e e x S e x --+--+⎧⎪⎪=⎨∈-=-⎪⎪⎩【解析】设11(),nx n S x e ∞-==∑1211()(1)n i S x x n n ∞+==+∑11(),nx n S x e ∞-==∑收敛域01xe-<<，即0x >1211()(1)n i S x x n n ∞+==+∑，收敛域11x -≤≤. 故1()n n u x ∞=∑的收敛域为(0,1].11(),1x nxxn e S x ee ∞---===-∑ 11121111()ln(1)[ln(1)](1)1n n n i n n x x S x x x x x x n n n n ∞∞∞+++=====-=------++∑∑∑(1)ln(1),(0,1)x x x x =--+∈又221(1)lim ()1x S S x -→==故1()n n u x ∞=∑的和函数为()(1)ln(1),(0,1)1,11xxe x x x x e e x S e x --+--+⎧⎪⎪=⎨∈-=-⎪⎪⎩（19）（本题满分12分）已知曲线222642:30x y z x y z C +-=++=⎧⎨⎩，求C 上的点到xoy 坐标面距离的最大值.【答案】66【解析】设拉格朗日函数222(,,,,)(26)(4230)L x y z z x y z x y z λμλμ=++--+++-2224042020264230xy z L x u L y u L z u x y z x y z λλλ'=+='=+='=-+⎧⎪⎪⎪⎨=+-=++=⎪⎪⎪⎩ 由0x y L L ''==解得==0λμ或4x y =，当==0λμ时0z =舍去；当4x y =时解得：(4,1,12)，(8,2,66)-- C 上的点(8,2,66)--到xoy 面距离最大为66. （20）（本题满分12分）设2D R ⊂是有界单连通闭区域，22()(4)DI D x y dxdy =--⎰⎰取得最大值的积分区域记为1D（1）求()1I D 的值. （2）计算222214422()(4)4xy xy D xe y dx ye x dyx y ∂++++-+⎰，其中1D ∂是1D 的正向边界.【答案】π-.【解析】（1）由二重积分的几何意义知：22()(4)DI D x y d σ=--⎰⎰，当且仅当224x y --在D 上大于0时，()I D 达到最大，故221:4D x y +≤且222100()(4)8I D d r rdr πθπ=-=⎰⎰. （2）设2222:4D x y r +=（r 很小）取2D 的方向为顺时针方向， （本题也可以设222:14D x y +=将计算将更简洁）设22224422224,44x y x y xe y ye x P Q x y x y +++-==++，得P Qy x∂∂=∂∂222214422()(4)4xy xy D xe y dx ye x dyx y ∂++++-+⎰2222222212244442222()(4)()(4)44xy xy xy xy D D D xe y dx ye x dyxe y dx ye x dyx y x y ∂∂∂+++++++-++-=-++⎰⎰22222211142r DD D e xdx ydy ydx xdy d r r r ∂∂σπ=-+--=-=-⎰⎰⎰⎰（21）（本题满分12分）已知111111a A a a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭（1）求正交矩阵P ，使得T P AP 为对角矩阵； （2）求正定矩阵C ，使得2(3)C a E A =+-【答案】（1）0P ⎛ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；（2）51135113315133C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭ 【解析】（1）由211||11(1)(2)011aE A a a a aλλλλλλ---=--=-+--=- 得1232,1a a λλλ=+==- 当12a λ=+时211101((2))121011112000a E A r -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的特征向量为1111α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，当231a λλ==-所111111((1))111000111000a E A r ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的特征向量为23111,102αα-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令312123(,,)0P αααααα⎛ ==⎝，则2Λ11Ta P AP a a +⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭， （2）()21(3)(3)44T T P C P P a E A P a E ⎛⎫ ⎪=+-=+-Λ= ⎪ ⎪⎝⎭144122T T TP CPP CP P CP ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⇒=⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故511333115123332115333T C P P ⎛⎫- ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭. （22）（本题满分12分）在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X ，较长的一段长度记为Y ，令Y Z X=（1）求X 的概率密度；（2）求Z 的概率密度.（3）求Y E X⎛⎫= ⎪⎝⎭. 【答案】（1）1,010x ⎨<⎧<⎩,其他；（2）22,1(1)()(())0Z Z z z f z F z ⎧≥⎪+==⎪⎩'⎨,其他.（3）12ln2-+. 【解析】（1）设()F x 为X 的分布函数，T 为区间(0,2)上的随机取点T 服从(0,2)上的均匀分布，1,02()20,T t f t ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他,012,T T X T <≤⎧=⎨-⎩其他当0x ≤时，(){}0X F x p X x =≤=当01x <<时，(){}{}{2}X F x p X x p T x p T x =≤=<+-< 202112222xx x x dt dt x -=+=+=⎰⎰当1x ≥时，(){}1X F x p X x =≤=则有0,0(),011,1X x F x x x x ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩， 故X 的概率密度1,01()0,X x f x <<⎧=⎨⎩其他（2）由2Y X =-，即2X Z X-=，先求Z 的分布函数： 22(){}1Z X F z P Z z P z P z X X -⎧⎫⎧⎫=≤=≤=-≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭当1z <时，()0Z F z =；当1z ≥时，210222()1111111z Z F z P z P X dx X z z +⎧⎫⎧⎫=-≤=-≤=-=-⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭⎰ 22,1(1)()(())0Z Z z z f z F z ⎧≥⎪+==⎪⎩'⎨,其他解2：公式法，由2Y x =-，即2XZ X -=，即21X Z =+，22x Z x '=- 222,122(1)()()1(1)0Z X z z f z f z z ⎧≥⎪+=⋅-=⎨++⎪⎩,其他（3）10112ln 222X XxE E dx Y X x ⎛⎫⎛⎫==⋅=-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎰.。
2021年考研数学二真题及答案解析
本题考是线性有关性鉴定问题,可以用定义解.
若1,2,…,s线性有关,则存在不全为0数c1,c2,…,cs使得
c11+c22+…+css=0,
用A左乘等式两边,得
c1A1+c2A2+…+csAs=0,
于是A1,A2,…,As线性有关.
如果用秩来解,则更加简朴明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:
（A） （B）
（C） （D） 【 】
（8）设 是奇函数，除 外到处持续， 是其第一类间断点，则 是
（A）持续奇函数.（B）持续偶函数
（C）在 间断奇函数（D）在 间断偶函数.【 】
（9）设函数 可微， ，则 等于
（A） .（B）
（C） （D） 【 】
（10）函数 满足一种微分方程是
（A） （B）
（C） （D）
B+1=A①
C+B+ =0②
③
式②-③得
代入①得
代入②得
（16）求
解：原式=
（17）设区域
计算二重积分
解：用极坐标系
（18）设数列 满足 ，
证明：（1） 存在，并求极限
（2）计算
证：（1）
单调减少有下界
根据准则1， 存在
在 两边取极限得
因此
（2）原式
离散散不能直接用洛必达法则
先考虑
用洛必达法则
（19）证明：当时 ，
0 0 0 0 0
得同解方程组
x1=2-2x3+4x4，
x2=-3+x3-5x4，
求出一种特解(2,-3,0,0)T和AX=0基本解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1)T.得到方程组通解：(2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T，c1,c2任意.
21考研数学试题及答案
21考研数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列哪个选项不是实数集R的子集？A. 整数集ZB. 有理数集QC. 复数集CD. 无理数集2. 若函数f(x)=2x^3-3x^2+5在x=1处取得极值，则该极值是：A. 极大值B. 极小值C. 既不是极大值也不是极小值D. 无法确定3. 以下哪个命题是假命题？A. 空集是任何集合的子集B. 空集是任何非空集合的真子集C. 任何集合都是它自己的子集D. 任何集合都是它自己的真子集4. 已知函数f(x)=x^2+2x-3，求f(-1)的值：A. 0B. -2C. 4D. 65. 若方程x^2+4x+4=0有实数解，则实数解的个数是：A. 0B. 1C. 2D. 无穷多6. 以下哪个选项是函数f(x)=|x|的图像？A. V形B. N形C. W形D. M形7. 已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an，求a5的值：A. 32B. 64C. 128D. 2568. 以下哪个选项是二项式定理(a+b)^n的展开式中的通项公式？A. T_(r+1) = C_n^r * a^(r+1) * b^(n-r-1)B. T_(r+1) = C_n^r * a^r * b^(n-r)C. T_(r+1) = C_n^r * a^(n-r) * b^rD. T_(r+1) = C_n^r * a^(n-r-1) * b^(r+1)9. 已知矩阵A=\[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\]，求矩阵A的行列式det(A)：A. 1B. 2C. 3D. 710. 以下哪个选项是微分方程y''-y'-6y=0的特征方程？A. r^2 - r - 6 = 0B. r^2 + r - 6 = 0C. r^2 - r + 6 = 0D. r^2 + r + 6 = 0二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)的导数表达式为______。
2021年考研数学一真题及答案解析
2021 年全国硕士研究生入学统一考试数学〔一〕试题一、选择题：18小题，每题4分，共32分。
以下每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上。
(1)设函数()f x 在(),-∞+∞内持续，其中二阶导数()''f x 的图形如以下图，那么曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】〔C 〕【解析】拐点出此刻二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，而且在这点的左右双侧二阶导函数异号。
因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.应选〔C 〕. (2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，那么 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】〔A 〕【分析】此题考察二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——解来确信微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比拟等式两边的系数可得待估系数值，另一种是依照二阶线性微分方程解的性质和构造来求解，也确实是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，因此2,1为特点方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变成32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.应选〔A 〕(3) 假设级数1∞=∑nn a条件收敛，那么=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】〔B 〕【分析】此题考察幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。
2021考研数学一真题及答案解析
2021年全国硕士研究生入学统－考试数学－试题解析一、选择题：1-10小题，每小题5分，共50分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．处AU － YA 在AυAU ＃＝ X X －－x e －Ih fttBT』t，一、、IF／x r’’飞、f’J 数的CA）连续且取极大值.CB）连续且取极小值.cc ）口J导且导数为0.CD）口j导且导数不为0.【答案】CD)e' -1 . x M析】根据题设，由手limf(x)= l i m 一一＝li m 一＝l=f (O ），故f(x）在x=O 处连续。
Y →O x →O x r →Ox又因e x 一l .f '(O ) ＝〕（x )-f (0) = li m 二二＝l i m 亡；二三＝1,-u x →O x 故f(x）在x=O 处口J导，且导数不为0，即选项（D）为D 确j在项。
(2）设函数f(x,y）叫做，且f(x +l,e')= x (x+ 1)2 ,f(x,x 2)= 2x 2 l n x ，则df(l,I)= C (A) dx +dy.(8))dy.CD)-dy.【答案】cc)【解析】根据题设，对厅理f(x+l,e')= x(x+ 1)2两边关于变量x 求导，可得J;'(x + I ,e ＇）十元υ＋l,e')·e'=(x+l)(3x+l ). ① 对力程f(x ,x 2)= 2x 2l n x 两边关手变量x 求导，口J得兀飞x ,x 1）＋元’（x ,x 2)· 2x = 4x In x + 2x .②若将x=O 代入①式，将x=I 代入②式，则口j得r (l ,l )+ J ;(t 归兀飞1,1) + 2万（1,1)= 2。
2021年考研《数学》试题及答案(卷五).docx
2021年考研《数学》试题及答案(卷五)一、选择题x_设yi=EereF = 2e”+eF = ef是某二阶常系数非齐次线性微分方程的解，则该方程的通解是()。
A C1e^+C2e-x+2c^+e-I+e IB C(e2 +C2e x+2e1+e-xXC. C|e x+C2e'x+3e2D G j+CzeFe，参考答案：A二、填空题设A=a(ij)为3阶矩阵，A(ij)为代数余子式，若A的每行元素之和均为2 且|A|=3,则All+A21+A31=。
3参考答案：2三、解答题1. 设f(x)是周期为2的周期函数，且在一个周期内的表达式为rx( 1+x) ,-1<XC0,/(x)= <I*(l-X),0<%Wl.将f(x)展开成傅里叶级数，并求级数y (-1广Al (21)3 的和。
参考答案：因为f(-x)=-x(l-x)=-f(x),所以f(x)在-1 98%> 由狄利克雷收敛定理，f(x)的傅里叶展开式为8 * 1f(x)=— y —― sin(2n -l)<TTx,-oo <x<+oo. x -— …i (21)令2 ,得y (-1广二/ £ (2n-l)3~32' 2.设函数f(x)= In cos(%-1) --- ,x#1, I-sin —~x 2 1, =1'问f(x)在X=1处是否连续? 若不连续，修改f(x)在x=l 处的定义，使之连续。
参考答案: , ~ In cos(%~ 1) lim /(%)= lim ----------------------- x―1 x —I 1—sin2 .. x-1=hm ------------------ = lim 7T7TI 竹一 . TT —cos —x -- sin —%2 24 2-sin( %-1) .. cos(x-l) tan(x-l) hm --------------------- = hm ------------------- I 】 TT TT *-*■ TT TT COS —cos —x 2 2 2 21 4 , TT即故f (x )在x=i 处不连续。
21考研数学三真题详解
21考研数学三真题详解考研数学三，作为考研数学中的一大难点，对很多考生来说都是一个绕不过去的槛。
在这里，我们将为大家详细解析21考研数学三的真题，帮助大家更好地理解和掌握考点。
下面，我们将按照题目的顺序进行逐一解析。
1. 题目一：题目描述：设A与B是n阶矩阵，且满足AB-A=2B。
若C=BA，则下列结论正确的是？解析：首先，我们可以将原方程转化为AB-A-2B=0，进一步整理得到AB-2B-A=0。
然后，我们对C进行展开，得到C=BA。
由此，我们可以推出C-2B-A=0。
综上所述，选项C正确。
2. 题目二：题目描述：设函数f(x)在区间[a,b]上可导，且满足f(a)=f(b)=0，请证明在区间(a,b)内存在ξ，使得f'(\(\xi\))=\(\frac{f(\(\xi\))}{\(\xi\)}\)。
解析：根据题目条件，我们可以利用罗尔定理进行证明。
由于f(x)在区间[a,b]上连续，在区间闭区间[a,b]上可导，且满足f(a)=f(b)=0，所以存在a<ξ<b，使得f'(ξ)=0。
然后，我们需要利用中值定理来进一步证明。
根据中值定理，存在η∈(a,ξ)，使得\(\frac{f(\(\xi\))}{\(\xi\)-a}\)=f'(η)。
将上述结果代入，我们可以得到f'(η)=\(\frac{f(\(\xi\))}{\(\xi\)-a}\)。
因此，在区间(a,b)内存在ξ，使得f'(\(\xi\))=\(\frac{f(\(\xi\))}{\(\xi\)}\)。
通过以上的解析，我们可以看出，21考研数学三的真题内容相对较为复杂，需要考生具备扎实的数学基础和一定的解题技巧。
希望大家能够通过这次详解更好地理解和掌握这道题目，并在考试中取得好成绩。
祝各位考生顺利通过考研数学三！。
2021年考研数学二真题及答案解析
将0单位化,得0=( , , )T.
对1,2作施密特正交化,1=(0,- , )T,2=(- , , )T.
作Q=(0,1,2),则Q是正交矩阵,并且
3 0 0
QTAQ=Q-1AQ= 0 0 0 .
0 0 0
(13)设1,2,…,s所有是n维向量，A是mn矩阵，则（ ）成立.
(A) 若1,2,…,s线性有关,则A1,A2,…,As线性有关.
(B) 若1,2,…,s线性有关,则A1,A2,…,As线性无关.
(C) 若1,2,…,s线性无关,则A1,A2,…,As线性有关.
(D) 若1,2,…,s线性无关,则A1,A2,…,As线性无关.
数学（二）考研真题及解答
一、填空题
（1）曲线 水平渐近线方程为.
（2）设函数 在 处持续，则 .
（3）广义积分 .
（4）微分方程 通解是.
（5）设函数 由方程 拟定，则 =.
（6）设矩阵 ， 为2阶单位矩阵，矩阵 满足 ，则 =
.
二、选取题
（7）设函数 具有二阶导数，且 ， 为自变量 在 处增量， 和 分别为 在点 处相应增量和微分，若 ，则
真题答案解析
一、填空题
（1）曲线 水平渐近线方程为
（2）设函数 在x=0处持续，则a=
（3）广义积分
（4）微分方程 通解是
（5）设函数 拟定，则
当x=0时，y=1，
又把方程每一项对x求导，
二、选取题
（7）设函数 具有二阶导数，且 为自变量x在点x0处增量， ，则[A]
（A） （B）
（C） （D）
由 严格单调增长
B+1=A①
2021年考研《数学》试题及答案(卷一)
2021年考研《数学》试题及答案（卷一）[ABCD参考答案：A[单选题]设随机变量，则方程有实根的概率为()。
ABCD0参考答案：C[单选题]ABCD参考答案：D[问答题]设，则参考答案：因为P(A-B)=P(A)-P(AB)，所以P(A+B)=P(A-B)+P(B)=0.8。
[问答题]二元函数f(x，y)=在(0，0)点是否可微?________。
(填是或否)参考答案：否[问答题]设随机变量X，Y相互独立，D(X)=4D(Y)，令U=3X+2Y，V=3X-2Y，则=_____。
参考答案：[单选题]函数y=x+ex的反函数的二阶导数=()。
ABCD[问答题]设随机变量X服从参数为2的泊松分布，令Y=4X-3，则E(Y)=_____。
D(Y)=_____。
参考答案：因为X~P(2)，所以E(X)=D(X)=2，于是E(Y)=4E(X)-3=5，D(Y)=16D(X)=32[问答题]参考解析：[问答题]参考答案：[问答题]一工人同时独立制造3个零件，第k个零件不合格的概率为;，以随机变量X表示3个零件中不合格的零件个数，则P(X=2)=______。
参考答案：令Ak={第k个零件不合格}(k=1，2，3)，则[问答题]参考答案：[问答题]设y=y(x)满足y’=x+y，且满足y(0)=1，讨论级数的敛散性。
参考答案：[单选题]设，则A与B()。
A合同且相似B合同但不相似C不合同但相似D不合同且不相似参考答案：A[单选题]设f(x)的导函数为，则f(x)的一个原函数是()。
A1+arctan xB1-arctan xC1+ln(1+x2)D1-ln(1+x2)参考答案：C[单选题]设总体X服从N(μ，σ2)，与分别是取自总体X的样本容量为10和15的两个样本均值，记P1=。
AP1<p2< p="">BP1=P2CP1>P2DP1=1，P2=σ参考答案：C[问答题]设f(x)是连续函数，且，则f(7)=______。
21考研数学真题及答案解析
21考研数学真题及答案解析在考研数学这一大部分难点中，真题的重要性不言而喻。
考生通过分析历年真题，能够对出题规律、题型特点有更深入的了解，提升解题技巧和答题速度。
本文将就21考研数学真题进行分析，帮助考生更好地备考。
首先，我们来看一道三角函数的真题题目。
考生在复习三角函数时，可以通过解析真题来加深对不同类型题目的把握。
以下是一道典型的三角函数题目：已知三角函数sinx的基本解为[0, 2π)，则方程sin5x + sin3x = 0在[0, 2π)内的解的个数为多少？解析：首先我们需要将sin5x + sin3x = 0整理为一个三角函数的复合角。
由于sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ，我们可以将sin5x + sin3x改写为2sin4xcosx。
这样我们就得到一个等价方程2sin4xcosx = 0。
由于sin4x与cosx不能同时为0，所以方程的解要么是sin4x = 0，要么是cosx = 0。
当sin4x = 0时，4x = nπ，其中n为整数。
根据给定的范围[0, 2π)，我们只需考虑当n = 0, 1, 2时的解。
当n = 0时，x = 0；当n = 1时，x = π/4；当n = 2时，x = π/2。
所以sin4x = 0在[0, 2π)内有3个解。
当cosx = 0时，x = π/2。
所以cosx = 0在[0, 2π)内有1个解。
综上所述，方程sin5x + sin3x = 0在[0, 2π)内的解的个数为3 + 1 = 4。
接下来我们来看一道概率论的真题题目。
概率论作为考研数学中的重要知识点，经常在考试中出现。
以下是一道概率论的典型题目：设A，B是两个独立事件，已知P(A) = 0.3, P(B) = 0.4，则P(A∪B)的取值范围是多少？解析：根据概率的基本性质，我们知道P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
21年考研真题及答案解析
21年考研真题及答案解析一、数学考研数学一直是学生们备战的重点科目之一，了解21年的考研数学真题及答案解析是非常重要的。
在21年的考研数学试题中，代数、函数、微积分和概率论等领域依然是考察的重点。
其中，代数题目难度适中，主要涉及线性代数的基本知识和运算技巧。
函数题目考察了函数的性质和变换，要求考生能够准确把握题目的要求，并进行恰当的分析和求解。
微积分题目主要涉及极值、一元函数的积分和多元函数的偏导数等内容，难度适中。
概率论题目主要考察了随机变量和概率分布，对于掌握概率论基础知识的考生来说，相对较容易。
在解答这些数学题目时，考生需要注重思路和方法的合理性。
解题过程中，要善于运用相关定理和概念，合理选择数学方法，并灵活运用数学工具，以求得高效解题的效果。
此外，对于复杂题目，考生还需注意简化题目、化简式子以及成立方程组等解题技巧。
二、英语英语作为考研的一门科目，对于很多学生来说也是备考的难点之一。
了解21年考研英语真题及答案解析，对于提高备考效果是非常有帮助的。
在21年的考研英语试题中，阅读理解、完形填空、翻译和写作等部分都是考察的重点。
阅读理解题目主要涉及社会科学、自然科学和人文科学等领域的文章，要求考生理解文章主旨和细节，并能准确把握文章的逻辑结构和作者观点。
完形填空题目考察了考生的词汇、语法和阅读能力，要求考生根据上下文的语义关系选择正确的答案。
翻译题目主要涉及中译英和英译中，要求考生准确表达文意，维持语义连贯和语法正确。
写作部分要求考生写一篇短文或作文，考察考生的写作能力和语言表达能力。
对于英语的备考，考生可以通过多读多练来提高自己的阅读理解和语言表达能力。
在做阅读理解题目时，要注重理解原文并切勿过度推理，通过练习题的方式提高自己的解题速度和准确性。
在写作方面，可以通过多写作、背诵优秀范文以及模仿实践等方式提高自己的写作水平和语言表达能力。
总之，备考考研不仅需要有一定的学习方法和技巧，还需要有坚持和毅力。
2021研究生入学考试考研数学试题+解析(数学三)
2
a
e1 e
.
π
(4 分)
2 x2 x 1 y 2
0,
f
x
y
(
,
)
x
3
1
x
（18）令
得驻点 (1, 0) 和 ( , 0) ．
2
f ( x, y ) y 0,
y
2
x
(4 分)
2 x 2 2 x 3 3 y 2
f
x
y
(
,
（13）
π
4
（15） 5
（16）
1
5
三、解答题
（17） lim [a arctan
x 0
1
1
π
(1 x) x ] a e ;
x
2
(3 分)
1
1
π
lim[
a arctan (1 x) x ] a e1 ;
x 0
2
x
则其左极限等于右极限:
(3 分)
π
π
a e - a e1 ,解得
S x
.
x 1
1,
(4 分)
（21） A E b 1 3 ,
<5>
因为矩阵仅有两个不同的特征值，故 b 1 或 b 3 .
当 b 1 时， 1 2 =1 ， 3 3 ，
因为 A 相似与对角矩阵，故 r A E 1 a 1 ，
1 0 0 1 2 3
2021考研数学一考试历年真题及答案详解
2021考研数学一考试历年真题及答案详解一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。
每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上）1.函数，在x＝0处（）。
A．连续且取极大值B．连续且取极小值C．可导且导数为0D．可导且导数不为0【答案】D【考点】连续和可导的定义；【解析】因为故f（x）在x＝0处连续。
因为即f′（0）＝1/2，故选D项。
2.设函数f（x，y）可微，且f（x＋1，ex）＝x（x＋1）2，f（x，x2）＝2x2lnx，则df（1，1）＝（）。
A．dx＋dyB．dx－dyC．dyD．－dy【答案】C【考点】多元函数可微；【解析】记∂f/∂x＝f1′，记∂f/∂y＝f2′，则题给两式对x求导得将分别代入（1）（2）式有联立可得f1′（1，1）＝0，f2′（1，1）＝1，df（1，1）＝f1′（1，1）dx＋f2′（1，1）dy＝dy，故选C项。
3.设函数在x＝0处的3次泰勒多项式为ax＋bx2＋cx3，则（）。
A．a＝1，b＝0，c＝－7/6B．a＝1，b＝0，c＝7/6C．a＝－1，b＝－1，c＝－7/6D．a＝－1，b＝－1，c＝7/6【答案】A【考点】麦克劳林公式；【解析】根据麦克劳林公式有与题给多项式相比较，得a＝1，b＝0，c＝－7/6，故选A项。
4.设函数f（x）在区间[0，1]上连续，则（）。
A．B．C．D．【答案】B【考点】定积分的定义；【解析】由定积分的定义知，将（0，1）分成n份，取中间点的函数值，则故选B项。
5.二次型f（x1，x2，x3）＝（x1＋x2）2＋（x2＋x3）2－（x3－x1）2的正惯性指数和负惯性指数依次为（）。
A．2，0B．1，1C．2，1D．1，2【答案】B【考点】二次型的特征值；【解析】f（x1，x2，x3）＝（x1＋x2）2＋（x2＋x3）2－（x3－x1）2＝2x22＋2x1x2＋2x2x3＋2x3x1所以，故特征多项式为令上式等于0，得特征值为－1，3，0，故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1，选B项。
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i 1 i 是特征根，故特解的形式为 y* xex (a cos x bsin x) 。
A.必要条件但非充分条件 C.必要条件
B.充分条件但非必要条件 D.既非必要也非充分条件
2
选择题：1～10 小题，每小题 10 分，共 100 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要
求的.
题号：1.【答案】B。
解析：分段函数在分段点处的导数一定要用定义求解。因此，由左、右导数的定义，
一、单选题（1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要 求的）
1.设
f
(x)
2 3
x3,
x 1 ，则 f (x) 在 x 1 处的（
）
x2 , x 1
A.左、右导数都存在 C.左导数不存在，但右导数存在
B.左导数存在，但右导数不存在 D.左、右导数都不存在
解析：（1）因为原方程阶数为 2 ，通解中应包含两个任意的常数；（2）特解中不含有任意的常数；（3）Cx x3
6
是微分方程的解，故选项（A），（B），（D）都不对，应选（C）。 题号：9.【答案】D。
解析：特征方程为 r2 2r 2 0 即 (r 1)2 1 ，解得特征根为 r1,2 1 i ，而 f (x) ex sin x ，
4.已知级数 (1)n n
n1
n
tan
1 n
绝对收敛，级数
(1)n n3
n1
条件收敛，则（
）
A. 0 1 2
B.1 5 2
C.1 3
D. 5 3 2
1
5.设 D 是第二象限的一个有界闭区域，且 0 y 1 ，记 I1 yx3d ，I2 y2 x3d ，I3 y 2 x3d
x0
x
3. 已 知 向 量 AB 的 始 点 A(4, 0,5) ， AB 2 14 ， AB 的 方 向 余 弦 为
cos 3 , cos 1 , cos 2 ，则 B 的坐标为（ ）
14
14
14
A. (10, 2,1)
B. (10, 2,1)
C. (10, 2,1)
D. (10, 2, 1)
解析： f (0) lim f (x) lim f (x) x lim f (x) lim x 0 ，故选（A）。
x0
x0 x
x x0
x0
题号：3.【答案】C。
解 析 ： 设 B(x, y, z) ， 则 cos x 4 , cos y , cos z 5
2 14
2 14
2 14
D
D
D
的大小顺序是（ ）
A. I1 I2 I3
B. I2 I1 I3
1
C. I3 I1 I2
D. I3 I2 I1
6.计算三重积分 z2dxdydz （
4
A.
15
4
B.
45
），其中 {(x, y, z) x2 y2 z2 1} 。
2
C.
D.
3
3
7. 设 曲 线 积 分 [ f (x) e x]sin ydx f (x) cos ydy 与 路 径 无 关 ， 其 中 f (x) 具 有 一 阶 连 续 导 数 ， 且 L
2.设函数 f (x) 在 x 0 处连续，下列命题正确的是（ ）
A.若 lim f (x) 存在，则 f (0) 0 x0 x
B.若 lim f (x) 存在，则 f (0) 1 x0 x
C.若 lim f (x) 存在，则 f (0) 0 x0 x
D.若 lim f (x) f (x) 存在，则 f (0) 0
，由于
cos 3 , cos 1 , cos 2 ，所以 x 4 6, y 2, z 5 4 ，即 x 10, y 2, z 1 。
14
14
14
题号：4.【答案】D。
解析：设 un (1)n n
n
tan
1 n
，则当 n 时， un
1
同阶于
3
n2
，则
n1
un
1
与
n n1
D.不是解
9.微分方程 y 2y 2y ex sin x 的特解形sin x)
B. ex (a cos x bxsin x)
C. xex (a cos x bxsin x)
D. ex (ax cos x bxsin x)
10. zx (x0, y0 ) 0 和 zy (x0, y0 ) 0 是函数 z z(x, y) 在点 (x0, y0) 处取得极值的（ ）
题号：6.【答案】A。
1
解 析 ： 由 轮 换 对 称 性 可 知 ， z2dxdydz x2dxdydz y2dxdydz ， 所 以 ，
z2dxdydz 1 (x2 y2 z2 )dxdydz 1 2 d d 1r4 sindr 4 。
3
30
0
0
15
题号：7.【答案】B。
f (0) 0 ，则 f (x) 等于（ ）
A. 1 (ex ex ) 2
C. 1 (ex ex ) 1 2
B. 1 (ex ex ) 2
D.1 1 (ex ex ) 2
8.函数
y
Cx
x3 6
（其中 C
是任意的常数）对微分方程
d2y dx2
x 而言（
）
A.是通解
B.是特解
C.是解，但既非通解也非特解
解 析 ： P [ f (x) ex ]sin y,Q f (x) cos y ， 积 分 与 路 径 无 关 ， 则 P Q ， 即
y x
[ f (x) ex ]cos y f (x) cos y ，又由 f (0) 0 解得 f (x) 1 (ex ex ) 。 2
题号：8.【答案】C。
f(1)
lim
x1
f (x) f (1) lim
x 1
x1
2 3
x3
2 3
lim
2
(x
2
x
1)
2
x 1 3 x1
，
f(1)
lim
x1
f (x) f (1) lim
x 1
x1
x2 2 3 ，该极限不存在，
x 1
故 f x 在 x 1 处左导数存在，右导数不存在。故应选（B）。
题号：2.【答案】A。
3 2
的敛散性相同，
故
3 2
1，而
5 2
。而由
n1
(1)n n3
条件收敛可知， 0
3
1 ，即得
2
3
，若使两个结论都
成立，只有 5 3 ，故应选（D）。 2
题号：5.【答案】C。
1
解析：当 0 y 1 ， (x, y) D 时， y 2 x3 yx3 y2x3 ，故 I3 I1 I2 。