圆与解直角三角形.doc
2013春“1+1”专题六：几何2(圆、解直角三角形、折叠、图形的视图)
几何2（圆、解直角三角形、折叠、图形的视图）一、选择题（本题有10小题，每题4分，共40分）每小题给出4个答案，其中只有一个是正确的．请把正确答案的字母代号填相应的括号内．．．．．．．． 1. 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是( )Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．452．一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间t （秒）间的关系式为210S t t =+，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为( )Ａ．24米Ｂ．12米Ｃ．123米Ｄ．6米3. 如图，O 的弦A BC D ，相交于E ，已知60ECB = ∠，65AED = ∠，那么ADE ∠ ( )的度数是A ．40B ．15C ．55D ．654．如图，AB 和CD 都是O 的直径，50AOC =∠，则C ∠的度数是( ) Ａ．20Ｂ．25Ｃ．30Ｄ．505．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为（ ）A ．600B ．750C ．900D ．956如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置，若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于（ ）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°α图 1DAO EBCOB DC A图37．一电线杆AB 的高为10米，•当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC 约为（3取1.732，结果保留3个有效数字）（ ）A ．5.00米B ．8.66米C ．17.3米D ．5.77米8．某几何体的三视图如图所示，那么该几何体是（ ）A ．棱柱B ．圆柱C ．圆锥D ．长方体9．下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（）10．如图，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D AC 上一点，若1tan 5DBA ∠=，则AD 的长为( ) A ．2 B ．2 C ．1 D ．22二、填空题（本题有8小题，每题3分，共24分）11．若等腰梯形两底之差等于一腰的长，那么这个梯形一个内角的度数是50°ABC第12题图5题图6题图12．有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人． 小敏想知道校园内一棵大树的高（如图），他测得CB =10米， ∠ACB=50°，请你帮他算出树高AB 约为 米．13．在半径为10cm 的O 中，圆心O 到弦AB 的距离为6cm ，则弦AB 的长是 cm ． 14．如图，圆锥的底面半径为3cm ，母线长为5cm ，则它的侧面积为 2cm ．15．亲爱的同学们，在我们的生活中处处有数学的身影.请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论：“三角形的三个内角和等于_______°.”16．用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ＡＢＣＤＥ，其中∠ＢＡＣ＝ 度.17．小林同学在一个正方体盒子的每个面都写有一个字，•分别是：我、喜、欢、数、学、课，其平面展开图如图所示，那么在该正方体盒子中，和“我”相对的面所写的字是“_______”．18．夜间小明在路灯下由甲处走到乙处，•他在地面上的影子第14题图图（1）CDEBA图 （2）三、解答题（本大题有4题，共36分）19．(9分)计算：22sin30cos60tan 60tan30cos 45+-⋅+︒． 解：原式＝20．(9分)如图，网格中每个小正方形的边长均为1．在AB 的左侧，分别以ABC △的三边为直径作三个半圆围成图中的阴影部分． （1）图中ABC △是什么特殊三角形? （2）求图中阴影部分的面积；21．(9分)由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图如图所示．ABC（1）请你画出这个几何体的一种左视图；（2）若组成这个几何体的小正方体的块数为n，请你写出n的所有可能值．22. (9分)电脑CPU芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄型圆片，叫“晶圆片”。
解直角三角形 知识讲解
解直角三角形 知识讲解【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则有： ①三边之间的关系：a 2+b 2=c 2(勾股定理). ②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. ③边角之间的关系：sin ,cos ,tan ,cot a bab A A A Ac c b a ==== sin ,cos ,tan ,cot b aba B B B B c c a b==== ④，h 为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). (3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 要点二、解直角三角形的常见类型及解法由由，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算；2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别地：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图；2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解；3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】类型一、解直角三角形1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．(1)∠B=60°，a ＝4； (2)a ＝1，b = 【答案与解析】(1)∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°．由tan bB a =知， 由cos =a B c 知，48cos cos 60a c B ===°．(2)由tan bB a==B ＝60°，∴ ∠A ＝90°-60°＝30°．∵ 222a b c +=，∴ 2c =．【总结升华】解直角三角形的两种类型是：(1)已知两边；(2)已知一锐角和一边．解题关键是正确选择边角关系．常用口诀：有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦(斜边)用切(正切)． (1)首先用两锐角互余求锐角∠A ，再利用∠B 的正切、余弦求b 、c 的值；(2)首先用正切求出∠B 的值，再求∠A 的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c 的值． 举一反三：【变式】（1）已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，b=2 ，求∠A 、∠B 和c ；（2）已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA=23, c=6 ，求a 和b.【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°； （2）a=4；b=2．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，b ＝20，解这个直角三角形．【答案与解析】由∠C ＝90°知，∠A+∠B ＝90°，而∠B ＝30°， ∴ ∠A ＝90°-30°＝60°．又 sin 30b c =°，∴ 1202c=． ∴ c ＝40．由勾股定理知222a cb =-．∴ 2224020a =-，a =．【总结升华】解这个直角三角形就是根据已知∠C ＝90°，∠B ＝30°，b ＝20，求∠A 、a 、c 的过程． 类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3．如图所示，BC 是半圆⊙O 的直径，D 是的中点，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，(1)求证：△ABE ∽△DBC ； (2)已知BC ＝52，CDsin ∠AEB 的值； (3)在(2)的条件下，求弦AB 的长．【答案与解析】(1)∵，∴ ∠1＝∠2，又BC 是⊙O 的直径，∴ ∠BAC ＝∠BDC ＝90°． ∴ △ABE ∽△DBC ．(2)由△ABE ∽△DBC ，∴ ∠AEB ＝∠DCB ． 在Rt △BDC 中，BC ＝52，CD＝ ∴ BD= ∴ sin ∠AEB ＝sin ∠DCB＝552BD BC ==． (3)在Rt △BDC 中，BD1＝∠2＝∠3，∠ADE ＝∠BDA ，∴ △AED ∽△BAD ． ∴AD DEDB AD=，∴ 2AD DE DB =． 又∵2CD AD ==，∴ CD 2＝(BO －BE)·BD ，∴BE =在Rt △ABE 中，AB ＝BE ．sin ∠AEB32=．【总结升华】本题综合了三角函数、相似三角形、勾股定理、圆等方面知识，尤其涉及三角函数问题，都是通过找出或构造盲角三角形来解决问题． (1)根据圆周角定理易证△ABE ∽△DBC ．(2)利用(1)的结论，将∠AEB 转化为Rt △BCD 中的DCB ∠．(3)在Rt △ABE 中求AB ．举一反三：【变式】如图，在△ABC 中，AC=12cm ，AB=16cm ，sinA=13． （1）求AB 边上的高CD ；（2）求△ABC 的面积S ；（3）求tanB ．【答案】（1）CD=4cm ；（2）S=32 cm 2；（3）类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用4．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD 的坡度为i =i ＝铅直高度DE 与水平宽度CE 的比)，CD 的长为10 m ，天桥另一斜面AB 的坡角∠ABC ＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB 的坡度； (2)求DE 的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF ，试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到.0.01 m)． 【答案与解析】(1)在Rt △AGB 中，∠ABG ＝45°，AG ＝BG ． ∴ AB 的坡度1AGi BG'==．(2)在Rt △DEC 中，∵ tan 3DE C EC ∠==，∴ ∠C ＝30°． 又∵ CD ＝10 m ．∴ 15m 2DE CD ==． (3)由(1)知AG ＝BG ＝5 m ，在Rt △AFG 中，∠AFG ＝30°，tan AG AFG FG ∠=55FB =+，解得5 3.66(m)FB ==．答：改建后需占路面的宽度FB 的长约为3.66 m ． 【总结升华】（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值．5．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．(结果精确到0.11.73)．【答案与解析】过点C 作CE ⊥AB 于E ．∵ ∠D ＝90°－60°＝30°，∠ACD ＝90°－30°＝60°，∴ ∠CAD ＝180°－30°－60°＝90°．∵ CD ＝10，∴ AC ＝12CD ＝5． 在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin ∠ACE ＝5×sin 30°＝52，CE ＝AC ·cos ∠ACE ＝5×cos 30 在Rt △BCE 中，∵ ∠BCE ＝45°，∴ 551)22AB AE BE =+=+=≈6.8(米)． ∴ 雕塑AB 的高度约为6.8米．【总结升华】此题将实际问题抽象成数学问题是解题关键，从实际操作（用三角形板测得仰角、俯角）过程中，提供作辅助线的方法，同时对仰角、俯角等概念不能模糊．。
18、解直角三角形及其应用PPT课件
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已知条件 已知两直角边(a，b) 已知斜边和一条直角边(c，a)
图形
解法 c＝ a2＋b2，由 tanA＝ab求∠A，∠ B＝90°－∠A b＝ c2－a2，由 sinA＝ac求∠A，∠ B＝90°－∠A
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(2)∵∠ABE＝90°，AB＝6，sinA＝45＝BAEE， ∴设 BE＝4x，则 AE＝5x，得 AB＝3x， ∴3x＝6，得 x＝2，∴BE＝8，AE＝10， ∴tanE＝ABBE＝68＝CDDE＝D4E， 解得，DE＝136， ∴AD＝AE－DE＝10－136＝134，即 AD 的长是134.
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►知识点二 解直角三角形
1．解直角三角形的定义及依据 (1)定义：在直角三角形中，除直角外，由已知元素求未知元素的过程就是解直 角三角形； (2)依据：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c， 则①边角关系：sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab；②三边之间的关系：a2＋b2＝c2；③锐 角之间的关系：∠A＋∠B＝∠C； 1 (3)面积公式：S△ABC＝12ab＝①__2_c_h_____.(h 为斜边 c 上的高)
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【思路点拨】 本题考查解直角三角形．(1)要求BC的长，只要求出BE和CE的 长即可，由题意可以得到BE和CE的长，本题得以解决；(2)要求AD的长，只要求出 AE和DE的长即可，根据题意可以得到AE、DE的长，本题得以解决．
中考热点：（一）构造三角形外接圆解四类难题；（二）圆+三角函数综合题型
中考热点：构造三角形外接圆解四类难题一、问题导读在解证几何题时，四点共圆已经被一些学生所了解或重视，然而作三角形的外接圆还没有被学生重视，使对许多几何题的证明难于入手．下面介绍作三角形外接圆这个辅助圆的思路和方法，以期待对你的学习有所帮助。
二、典例精析类型1 作三角形外接圆，求含有乘积式问题例1．已知AD是△ABC的角平分线，求证：ABAC＝AD+BDCD．【分析】作辅助圆，根据同弧所对的圆周角相等和角平分线证明相似得出比例式，再证△BAD∽△ECD，根据相似三角形的性质得出ADED＝BDDC，即可得出答案．【解答】证明：作△ABC的外接圆O，延长AD交⊙O于E，连接CE，∵AE平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAC，∵∠B＝∠E，∴△ABD∽△AEC，∴AB/AE=AD/AC，∴ABAC＝ADAE＝AD（AD+DE）＝AD2+ADED，∵∠B＝∠E，∠BAD＝∠DCE，∴△BAD∽△ECD，∴AD/CD=BD/ED，∴ADED＝BDDC，∴ABAC＝ADAE＝AD+BDDC．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理的应用，解此题的关键是推出△ABD∽△AEC 和△BAD∽△ECD，主要考查学生的推理能力．例2．如图，ABCD是圆内接四边形，AB、DC的延长线交于E，AD、BC的延长线交于F，EP、FQ切圆于P、Q两点，求证：EP+FQ＝EF．【分析】作辅助圆，构建四点共圆的四边形，利用切割线定理列式：EP2＝ECED，FQ2＝FCFB，得出结论．【解答】证明：作△BCE的外接圆，交EF于G，连接CG，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠FDC＝∠ABC，∵B、C、G、E四点共圆，∴∠ABC＝∠CGE，∴∠FDC＝∠ABC＝∠CGE，∴F、D、C、G四点共圆，由切割线定理得：EP＝ECED，FQ＝FCFB，EF＝（EG+GF）EF＝EGEF+GFEF＝ECED+FCFB，∴EP+FQ＝EF．【点评】本题考查了切割线定理和圆内接四边形的性质，本题运用了圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）；反之也成立；在证明线段的平方和时，一方面考虑利用勾股定理来求，另一方面考虑利用切割线定理列式得出．类型2 作三角形外接圆，利用圆中的角证明线段的和差倍半问题例3．四边形ABCD内接于圆，另一圆的圆心在边AB上且与其余三边相切，求证：AD+BC＝AB．【分析】先画图，设AB上的圆心为P，由等腰三角形的性质得，∠CMB＝∠PDC，则M，P，C，D四点共圆，从而得出∠AMD＝∠ADM，最后证得AD+BC＝AB．【解答】证明：设AB上的圆心为P，在AB上取一点M，使MB＝BC，连接MC，MD，PD，PC 等腰△CMB中，∠CMB＝∠MCB，∴∠CMB＝1/2（∠MCB+∠CMB）＝1/2（180°﹣∠B），＝1/2∠ADC （圆内接四边形ABCD的对角相加为180°），＝∠PDC （设圆P切AD于E，切DC于F，有PE＝PF，Rt△PDE和Rt△PDF中，一对儿直角边相等，且斜边是公共的，∴两Rt△全等，可得PD平分∠CDA），∴M，P，C，D四点共圆，∴∠AMD＝∠DCP＝1/2∠DCB （同理，可证PC平分∠DCB），＝1/2（180°﹣∠A）（ABCD的另一对儿对角和为180°，＝1/2（∠ADM+∠AMD），∴∠AMD＝∠ADM∴AD＝AM，∴AD+BC＝AM+MB＝AB．例4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是底边BC上一点，E是线段AD上一点且∠BED＝2∠CED＝∠A．求证：BD＝2CD．【分析】首先作DO∥AB交AC于O，得出O为△EDC的外心，进而得出△ACE∽△ADF，即有AD/AC=AF/AE，即可得出△ADO∽△BAE，即可得出BD＝2CD．【解答】证明：作DO∥AB交AC于O．则由AB＝AC易知OD＝OC，且∠DOC＝∠BAC＝2∠CED，所以O为△EDC的外心，取F为△EDC的外接圆与AC的交点，连接DF，则OF＝OC＝OD，∠ACE＝∠ADF．所以△ACE∽△ADF，即有AD/AC=AF/AE．再由DO∥AB，∠ADO＝∠BAE，∠AOD＝180﹣∠DOC＝180°﹣∠A＝180°﹣∠BED＝∠AEB，所以△ADO∽△BAE，即得OD/AE=AD/AB=AF/AE.故AF＝OD＝OC＝1/2CF，从而AO＝2OC．由DO∥AB，得：BD＝2CD．类型3 作三角形的外接圆，利用圆中的角判断三角形的形状例5.已知：AD是△ABC的中线，若∠ABC+∠CAD＝90．试判断△ABC的形状．分析：作△ABC的外接圆．使分散的∠ABC．∠CAD集中在一起，从而知道中线AD在外接圆的直径上．根据圆中弦的定理，可判断△ABC的形状．解：作△ABC的外接圆．延长AD交外接圆于E．连结BE．∵∠EBC＝∠CAD，又∠ABC＋∠CAD＝90°，∴∠ABC＋∠EBC＝90°，即∠ABE＝90°．AE是△ABC的外接圆的直径．又AD是BC边上的中线．(1)当BC不是外接圆的直径时，即BC为弦，则 AD⊥BC，AD是BC边的中垂线．△ABC为等腰三角形．(2)当BC是外接圆的直径时，∠CAB＝90°，△ABC为直角三角形．例6. 设P、Q为线段BC 上两定点，且BP＝CQ．A为BC外一动点．当点A运动到使∠BAP＝∠CAQ时，△ABC是什么三角形？分析：作△ABC的外接圆，能把角等转化为弦等，构造全等三角形．证明：作△ABC的外接圆，延长AP、AQ分别交外接圆于E、F．连结BE、CF．∵∠BAP＝∠CAQ，即∠BAE＝∠CAF，∴BE=FC, 弧BE=弧CF,∴弧BF=弧CE, ∴∠EBP＝∠FCQ，又BP＝CQ，∴△BEP≌△CFQ．∠E＝∠F，在△ABE和△ACF中,∠E＝∠F，∠BAE＝∠CAF，BE＝CF．∴△ABE≌△ACF,AB＝AC, ∴△ABC是等腰三角形．类型4 作三角形的外接圆，解几何综合题例7.已知：A、B、C三点不在同一直线上．（1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，i）如图①，当∠A＝45°，R＝1时，求∠BOC的度数和BC的长；ii）如图②，当∠A为锐角时，求证：sinA＝BC/2R；（2）若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与A不重合）滑动，如图③，当∠MAN＝60°，BC＝2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为P，试探索在整个滑动过程中，P、A两点间的距离是否保持不变？请说明理由．【分析】（1）i）根据圆周角定理得出∠BOC＝2∠A＝90°，再利用勾股定理得出BC的长；ii）作直径CE，则∠E＝∠A，CE＝2R，利用sinA＝sinE＝BC/2R，得出即可；（2）首先证明点A、B、P、C都在⊙K上，再利用sin60°＝BC/AP，得出AP＝2/ sin60°＝4√3/3（定值）．【解答】（1）i）∵A、B、C均在⊙O上，∴∠BOC＝2∠A＝2×45°＝90°，∵OB＝OC＝1，∴BC＝√2，注：也可延长BO或过O点作BC的垂线构造直角三角形求得BC．ii）证法一：如图②，连接EB，作直径CE，则∠E＝∠A，CE＝2R，∴∠EBC＝90°∴sinA＝sinE＝BC/2R，证法二：如图③．连接OB、OC，作OH⊥BC于点H，则∠A＝1/2∠BOC＝∠BOH，BH＝1/2BC∴sinA＝sin∠BOH＝BH/OB=1/2BC/R=BC/2R，（2）如图④，连接AP，取AP的中点K，连接BK、CK，在Rt△APC中，CK＝1/2AP＝AK＝PK，同理得：BK＝AK＝PK，∴CK＝BK＝AK＝PK，∴点A、B、P、C都在⊙K上，∴由（1）ii）可知sin60°＝BC/AP∴AP＝2/ sin60°＝4√3/3（定值），故在整个滑动过程中，P、A两点间的距离不变．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及解直角三角形和四点共圆等知识，根据已知得出点A、B、P、C 都在⊙K上以及sin60°＝BC/AP是解题关键．中考热点：圆+三角函数综合题型一、问题导读“圆”这一部分知识，多年来都是中考的重点，锐角三角函数大家也不算陌生，那么当圆遇上三角函数又会出现什么呢？下面就和大家分享一下圆偶遇三角函数之后所发生的一个小片段吧！当然如果想了解具体发生了什么，首先得记住他们的暗号喔，通过下面问题的探讨，不难发现它们携手并进暗号呢。
(word完整版)初中数学圆知识点总结,推荐文档
A图5圆的总结一 集合：圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合二 轨迹：1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆；2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线三 位置关系：1点与圆的位置关系:点在圆内 d<r 点C 在圆内 点在圆上 d=r 点B 在圆上 点在此圆外 d>r 点A 在圆外2 直线与圆的位置关系:直线与圆相离 d>r 无交点 直线与圆相切 d=r 有一个交点 直线与圆相交 d<r 3 圆与圆的位置关系:外离（图1） 无交点外切（图2） 相交（图3） 内切（图4） 内含（图5） 无交点DBB ABA四 垂径定理:垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④⑤ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙O 中，∵AB ∥CD五 圆心角定理六 圆周角定理圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半即：∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角∴∠C=∠D推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴AB 是直径推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形»»BC BD =»»AC AD =P即：在△ABC 中，∵OC=OA=OB∴△ABC 是直角三角形或∠C=90° 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
考点20 与圆有关的位置关系及计算(精讲)(解析版)
考点20.与圆有关的位置关系及计算（精讲）【命题趋势】与圆相关的位置关系也是各地中考数学中的必考考点之一，主要内容包括点、直线与圆的位置关系、切线的性质和判定、三角形的内切圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大。
关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分。
【知识清单】1：点、直线与圆的位置关系类（☆☆）1）点和圆的位置关系：已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：图1图2(1)d<r⇔点在⊙O内，如图1；(2)d=r⇔点在⊙O上，如图2；(3)d>r⇔点在⊙O外，如图3．解题技巧：掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系。
2）直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下：图1图2图3(1)d>r⇔相离，如图1；(2)d=r⇔相切，如图2；(3)d<r⇔相交，如图3。
2：切线的性质与判定（☆☆☆）1）切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点；（2）切线到圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于经过切点的半径。
解题技巧：利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题。
2）切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）；（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（数量关系法）；（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（判定定理法）。
切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径。
3）切线长定理定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
初中数学知识点《图形与证明》《解直角三角形》课后训练【46】(含答案考点及解析)(word文档物超所值)
初中数学知识点《图形与证明》《解直角三角形》课后训练【46】(含答案考点及解析)班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________1.我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线。
如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，点D的坐标为（0，-3）AB为半圆直径，半圆圆心M（1，0），半径为2，则经过点D的“蛋圆”的切线的解析式为__________________。
【答案】y=-2x-3【考点】初中数学知识点》图形与证明》圆【解析】试题分析：解:求切线解析式需要先求出二次函数解析式，因为切线过点D，所以切线解析式与二次函数解析式组成方程组，因只有一个交点，所以判别式为零。
∵M(1,0)半径=2，∴A(-1,0),B(3,0)，又D(0,-3),设二次函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，将点A,B,C代入得；-3a=-3,∴a=1，∴y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.∵切线与蛋圆只有一个交点，且经过点D,设切线解析式为y=kx+b,∵过点D,∴b=-3,x2-2x-3="kx-3" ,即-（2+k）2=0,∵只有一个交点，∴判别式△=0，解得k=-2,∴y=-2x-3.考点：二次函数的定义及性质，一次函数的定义，一元二次方程的判别式求根的方法。
点评：熟知以上几个性质，定义及方法。
在解题时找到两个函数的共同点，及都过一点，要注意的是，一元二次方程有一解时，判别式△=0.从而求之，本题属于偏难题型，属于中档题。
2.如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，AC于D，若△DBC的周长为35 cm，则BC的长为（）A．5cm B．10cmC．15cm D．17.5cm【答案】C【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形【解析】根据线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，BD=AD，而△DBC的周长=B D+CD+BC=35，则AC+BC=35,而AC=20，则BC=15cm，故选C3.若⊙O1，⊙O2的半径是r1="2," r2=4，圆心距d=5，则这两个圆的位置关系是【】A．内切B．相交C．外切D．外离【答案】B。
28.2.1 解直角三角形 课件 2024-2025学年数学九年级下册人教版
知1－讲
图示
感悟新知
知1－练
例 1 根据下列所给条件解直角三角形，不能求解的是( )
①已知一直角边及其对角；②已知两锐角；③已知两
直角边；④已知斜边和一锐角；⑤已知一直角边和
斜边.
A. ②③
B. ②④
C. 只有②
D. ②④⑤
感悟新知
知1－练
解题秘方：紧扣解直角三角形中“知二求三”的特征进行 解答. 解：①③④⑤能够求解，②不能求解. 答案：C
知2－练
解：在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，AC＝2 3，BC＝6， ∴AB＝ AC2＋BC2＝4 3， tan B＝ABCC＝263＝ 33， ∴∠B＝30°.∴∠A＝90°－30°＝60°.
感悟新知
例 3 根据下列条件，解直角三角形：
知2－练
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90 °，∠A，∠B，∠C所对的边
对乘正切.
“有斜求对乘正弦”的意思是：在一个直角三角形中，
对一个锐角而言，如果已知斜边长，要求该锐角的对边长，
那么就用斜边长乘该锐角的正弦值，其他的意思可类推.
感悟新知
例 2 根据下列条件，解直角三角形：
知2－练
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边
分别为a，b，c，a＝20，c＝20 2；
续表 图形
Rt△ABC
知2－讲
已知条件
解法
一 边 和 一
一直 角边 和一 锐角
一锐角与邻边 (如∠A，b)
一锐角与对边 (如∠A，a)
∠ B ＝ 90° － ∠ A ； a ＝
b·tan A；c＝cosb A
∠ B ＝ 90° － ∠ A ； b ＝
数学人教版九年级下册解直角三角形及其应用——方位角
解直角三角形及其应用——方位角和坡度问题在前面我们学习了直角三角形及其应用关于仰角和俯角的问题，我们在解决这类实际问题的时候，首先是要画出平面图形，然后转化为解直角三角形。
那我们今天继续进行解直角三角形及其应用的学习。
现在请看问题1：问题1：一艘轮船在大海上航行，当航行到A处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°，那么同时从B处观测到轮船在什么方向？若轮船从A处继续往正西方向航行到C处，此时，C 处位于小岛B 的南偏西40°方向，你能确定C的位置吗？试画图说明．1当航行到A处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°。
由这句话知谁是坐标原点？怎样建立直角坐标系？生：A是坐标原点。
上北下南左西又东。
2那么同时从B处观测到轮船在什么方向？由这句话你想到什么呢？谁是坐标原点？B还需满足什么条件？在同一图形中怎样建立直角坐标系？生：需另建立直角坐标系。
以B是坐标原点。
在A的北偏西35°3若轮船从A处继续往正西方向航行到C处，此时，C 处位于小岛 B 的南偏西40°方向，师：由这句话知轮船现在的航行路线？你能确定C的方向吗？你能确定C的具体位置吗？你是怎样想到的？生：往正西方向航行。
B是坐标原点。
正西方向与小岛B的南偏西40方向的交点，就是C点的位置。
我们经过这几个步骤，就把图形画出来了，也把这个问题解决了。
我们回过头来看看，从这个问题中我们学到了什么？生：将实际问题抽象为数学问题：画出平面图形，转化为解直角三角形的问题。
师：解决这个问题的关键就是能画出平面图形。
平面图形一经画出，所有问题就迎刃而解了。
如何画出这样的平面图形呢？生：1 找准坐标原点。
2 能准确地确定问题中提出的各个方位。
刚才同学们总结得很好，这就是今天我们要研究的第一个问题：解直角三角形的应用——方位角的问题。
出示课题。
刚才同学们都表现得非常不错，那我们再来继续下一个问题，看能不能解决呢？问题2 一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的 B 处，这时， B 处距离灯塔P 有多远（结果取整数）？（1）根据题意，你能画出示意图吗？画出图形后，你想到什么呢？（用哪个知识点解决这个问题呢？）生：可以用解直角三角形的知识解决问题（2）结合题目的条件，你能确定图中哪些线段和角？求什么？怎样求？师：在图上标出已知条件，需要求的量.怎样求？抽学生回答解题思路生：AP=80n mile; ∠APC=90-65=25; ∠A=65 ; ∠B=34;AB⊥PC。
专题06 与圆有关的问题(解析版)
专题06 与圆有关的问题【提要】与圆有关的知识包括圆的半径处处相等，垂径定理，点、直线、圆分别与圆的位置关系，等等．需要注意的是两圆相切包括内切和外切两种情况．【范例】【例1】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BA＝5，点P是AC上的动点(P不与A、C重合)，设PC＝x，点P到AB的距离为y.(1)求y与x的函数关系式；(2)试讨论以P为圆心，半径为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围．【解】(1)过P作PQ⊥AB于Q，则PQ＝y则Rt△AQP∽Rt△ACB，∴PQ∶BC＝AP∶AB即y3＝4－x5∴y＝－35x＋125(0＜x＜4)(2)当x<y时，x<－35x＋125，∴x<32∴当0＜x＜32时，圆P与AB所在直线相离；当x＝32时，圆P与AB所在直线相切；当32＜x ＜4时，圆P 与AB 所在直线相交．【例2】 如图，已知△ABC 内接于圆O ，如果AB ＝AC ，圆O 的直径为26，且tan ∠ABC ＝23.求BC的长．【解】 联结OA 、OB ，OA 交BC 于点D ，则OA ＝OB ＝13. ∵AB ＝AC ，∴AB ＝AC ， ∴OA ⊥BC ，BD ＝DC .在△ABD 中，∠ADB ＝90°，tan ∠ABC ＝AD BD ＝23，设AD ＝2k ，BD ＝3k ，则OD ＝13－2k在△BOD 中，∠BDO ＝90°，BD 2＋OD 2＝OB 2， ∴(3k )2＋(13－2k )2＝132， 13k 2－52k ＝0，k 1＝0(舍去)，k 2＝4， ∴BD ＝3k ＝12， BC ＝24.【例3】 如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上的一点，PC 与⊙O 分别相交于点E 和点C ，过点C 作CD ⊥AB ，交⊙O 于点D ，联结PD .(1)求证：PC ＝PD ；(2)如果PE 的长等于⊙O 的半径OC ，求证：∠AOC ＝3∠APC . 【证明】 (1)设P A 与DC 交点为H ，由PH ⊥CD ，PH 经过圆心，所以CH ＝HD ，从而△PCH ≌△PDH ，故PC ＝PD .(2)联结OE ，因为PE ＝OE ，所以∠APC ＝∠EOP ，又因为OE ＝OC ，所以∠OCE ＝∠OEC ，而且∠OEC ＝∠OPE ＋∠POE ＝2∠OPE ，所以∠AOC ＝∠APC ＋∠OCP ＝2∠APC ＋∠APC ＝3∠APC . 【例4】 如图：A 是⊙O 1、⊙O 2的一个交点，点B 是O 1O 2的中点，过点A 的直线垂直于AB 交⊙O 1、⊙O 2于点M 、N ，O 2H ⊥AB 于点H .(1)求证：AM ＝AN ；(2)设⊙O 1、⊙O 2的半径分别为R 、r ，BH ＝x ，BA ＝y 且R 2－r 2＝4，求y 与x 之间的函数关系式(不必求自变量x 的范围)．(1)【证明】 作O 1P ⊥MN ，O 2Q ⊥MN 垂足分别为P 、Q ，在梯形O 1O 2QP 中，AB 是中位线，所以P A ＝QA ，又由垂径定理，P A ＝PM ，QA ＝QN ，所以AM ＝AN .(2)【解】 设O 1P ＝m ，O 2Q ＝n ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2ym －n ＝2x ，得m 2－n 2＝4xy ；另一方面设P A ＝PM ＝QA ＝QN ＝t ，则⎩⎪⎨⎪⎧R 2－m 2＝t 2r 2－n 2＝t 2，得R2－r 2＝m 2－n 2，所以4xy ＝4，即y ＝1x . 【例5】 已知：如图，在平面直角坐标系中，点B 在x 轴上，以3为半径的⊙B 与y 轴相切，直线l 过点A (－2，0)，且和⊙B 相切，与y 轴相交于点C .(1)求直线l 的解析式；(2)若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)经过点O 和B ，顶点在⊙B 上，求抛物线的解析式； (3)若点H 在直线l 上，且以A 为圆心，AH 为半径的圆与⊙B 相切，求点H 的坐标．【解】 (1)过点B 作BD 垂直于l 交于点D ， ∵⊙B 与l 相切，∴BD ＝3 在Rt △ADB 中，AB ＝5， AD ＝（5）2－（3）2＝4 在Rt △ACO 中，tan ∠ACO ＝AO CO ＝AD DB ＝43， ∵AO ＝2，∴CO ＝1.5设l ：y ＝kx ＋1.5，A (－2，0)代入得k ＝34，∴y ＝34x ＋1.5(2)过OB 的中点F 作EF 垂直于x 轴交⊙B 于点E ，联结BE .∵在Rt △EFB 中，BE ＝3，BF ＝1.5， EF ＝（3）2－（1.5）2＝323， 又∵a >0 ∴E (32，－323)将O (0，0)、B (3，0)、E (32，－323)代入y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0) 得y ＝233x 2－23x(3)当两圆外切时，AH ＝2，H (－25，65)当两圆内切时，AH ＝8，H (225，245)【训练】1．（2019•上海）已知A e 与B e 外切，C e 与A e 、B e 都内切，且5AB =，6AC =，7BC =，那么C e 的半径长是( ) A ．11B ．10C ．9D ．8【分析】如图，设A e ，B e ，C e 的半径为x ，y ，z ．构建方程组即可解决问题． 【解答】解：如图，设A e ，B e ，C e 的半径为x ，y ，z ．由题意：567x y z x z y +=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得329x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故选：C ．2．（2018•上海）如图，已知30POQ ∠=︒，点A 、B 在射线OQ 上（点A 在点O 、B 之间），半径长为2的A e 与直线OP 相切，半径长为3的B e 与A e 相交，那么OB 的取值范围是( )A ．59OB <<B ．49OB <<C ．37OB <<D ．27OB <<【分析】作半径AD ，根据直角三角形30度角的性质得：4OA =，再确认B e 与A e 相切时，OB 的长，可得结论．【解答】解：设A e 与直线OP 相切时切点为D ，连接AD ， AD OP ∴⊥，30O ∠=︒Q ，2AD =， 4OA ∴=，当B e 与A e 相内切时，设切点为C ，如图1， 3BC =Q ，4325OB OA AB ∴=+=+-=；当A e 与B e 相外切时，设切点为E ，如图2， 4239OB OA AB ∴=+=++=，∴半径长为3的B e 与A e 相交，那么OB 的取值范围是：59OB <<，故选：A ．3．（2020•金山区一模）已知在矩形ABCD 中，5AB =，对角线13AC =．C e 的半径长为12，下列说法正确的是( )A ．C e 与直线AB 相交 B ．C e 与直线AD 相切 C ．点A 在C e 上D ．点D 在C e 内【分析】根据点和圆的位置关系及直线和圆的位置关系判断即可． 【解答】解：Q 在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，13AC =，5AB =，12BC ∴==，C Q e 的半径长为12， C ∴e 与直线AB 相切，故A 选项不正确， 512CD AB ==<Q ， C ∴e 与直线AD 相交，故B 选项不正确， 1312AC =>Q ，∴点A 在C e 外，故C 选项不正确， 512CD =<Q ，∴点D 在C e 内，故D 选项正确， 故选：D ．4．（2020•奉贤区一模）在ABC ∆中，9AB =，212BC AC ==，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且//DE BC ，2AD BD =，以AD 为半径的D e 和以CE 为半径的E e 的位置关系是( )A ．外离B ．外切C ．相交D ．内含【分析】分别计算D e 和以CE 为半径的E e 的半径，并计算DE 的长，根据外切的定义可解答． 【解答】解：如图，//DE BC Q ，∴DE ADBC AB=， 12BC =Q ，2AD BD =，∴2123DE =，8DE =，D Q e 的半径为6AD =，E e 的半径2CE =， 628AD CE DE ∴+=+==，∴以AD 为半径的D e 和以CE 为半径的E e 的位置关系是外切，故选：B ．5．（2019•青浦区二模）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，2AD =，4AB =，6BC =，点O 是边BC 上一点，以O 为圆心，OC 为半径的O e ，与边AD 只有一个公共点，则OC 的取值范围是( )A ．1343OC <…B ．1343OC剟 C ．1443OC <…D ．1443OC剟 【分析】作DE BC ⊥于E ，当O e 与边AD 相切时，圆心O 与E 重合，即4OC =；当OA OC =时，O e 与AD 交于点A ，设OA OC x ==，则6OB x =-，在Rt ABO ∆中，由勾股定理得出方程，解方程得出133OC =；即可得出结论．【解答】解：作DE BC ⊥于E ，如图所示： 则4DE AB ==，2BE AD ==， 4CE DE ∴==，当O e 与边AD 相切时，切点为D ，圆心O 与E 重合，即4OC =； 当OA OC =时，O e 与AD 交于点A ， 设OA OC x ==，则6OB x =-，在Rt ABO ∆中，由勾股定理得：2224(6)x x +-=， 解得：133x =； ∴以O 为圆心，OC 为半径的O e ，与边AD 只有一个公共点，则OC 的取值范围是1343x剟； 故选：B ．6．（2019•虹口区二模）如图，在ABC ∆中，AB AC =，4BC =，tan 2B =，以AB 的中点D 为圆心，r 为半径作D e ，如果点B 在D e 内，点C 在D e 外，那么r 可以取( )A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】先求出DB 和DC 的长，根据点B 在D e 内，点C 在D e 外，确定r 的取值范围，从而确定r 可以取的值．【解答】解：如图，过点A 作AF BC ⊥于点F ，连接CD 交AF 于点G ， AB AC =Q ，4BC =， 2BF CF ∴==， tan 2B =Q ，∴2AFBF=，即4AF =，AB ∴==，D Q 为AB 的中点，BD ∴=，G 是ABC ∆的重心，1433GF AF ∴==，CG ∴= 32CD CG ∴=，Q 点B 在D e 内，点C 在D e 外，∴r <故选：B ．7．（2020•金山区一模）已知相交两圆的半径长分别为8与15，圆心距为17，则这两圆的公共弦长为．【分析】根据相交两圆的性质，两圆的公共弦垂直于两圆心连接的直线上，又知两圆的半径，进而可以在直角三角形中解得公共弦长．【解答】解：在以两圆的一个交点和两圆圆心为顶点的三角形中，其三边分别为8，15，17，由于22217158=+，∴这个三角形是以17为斜边的直角三角形，斜边上的高8151201717⨯==，故公共弦长12024021717=⨯=，故答案为240 17．8．（2020•崇明区一模）两圆的半径之比为3:1，当它们外切时，圆心距为4，那么当它们内切时，圆心距为．【分析】只需根据两圆的半径比以及两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，列方程求得两圆的半径；再根据两圆内切时，圆心距等于两圆半径之差求解．【解答】解：设大圆的半径为R，小圆的半径为r，则有:1:3r R=；又4R r+=，解，得3R=，1r=，∴当它们内切时，圆心距312=-=．故答案为：2．9．（2020•闵行区一模）已知在Rt ABC∆中，90C∠=︒，3AC=，4BC=，Ce与斜边AB相切，那么Ce的半径为．【分析】r的长即为斜边AB上的高，由勾股定理易求得AB的长，根据直角三角形面积的不同表示方法，即可求出r的值．【解答】解：Rt ABC∆中，90C∠=︒，3AC=，4BC=；由勾股定理，得：2223425AB=+=，5AB∴=；又ABQ是Ce的切线，CD AB ∴⊥， CD r ∴=；1122ABC S AC BC AB r ∆==Q g g ， 125r ∴=， 故答案为：125．10．（2020•嘉定区一模）如图，O e 的半径长为5cm ，ABC ∆内接于O e ，圆心O 在ABC ∆的内部．如果AB AC =，8BC cm =，那么ABC ∆的面积为 2cm ．【分析】作AD BC ⊥于D ，根据等腰三角形的性质得142BD CD BC ===，即AD 垂直平分BC ，根据垂径定理得到圆心O 在AD 上；连接OB ，在Rt OBC ∆中利用勾股定理计算出3OD =，然后根据三角形面积公式进行计算．【解答】解：作AD BC ⊥于D ， AB AC =Q ，142BD CD BC ∴===， AD ∴垂直平分BC ，∴圆心O 在AD 上，连接OB ，在Rt OBC ∆中，4BD =Q ，5OB =，3OD ∴===，如图，538AD OA OD =+=+=，此时188322ABC S ∆=⨯⨯=；故答案为：32．11．（2020•闵行区一模）半径分别为3cm 的1O e 与2O e 相交于A 、B 两点，如果公共弦AB =，那么圆心距12O O 的长为 cm ．【分析】利用连心线垂直平分公共弦的性质，构造直角三角形利用勾股定理及有关性质解题． 【解答】解：如图，1O Q e 与2O e 相交于A 、B 两点， 12O O AB ∴⊥，且AD BD =；又AB =QAD ∴=∴在Rt △1AO D 中，根据勾股定理知11O D =厘米；在Rt △2AO D 中，根据勾股定理知23O D =厘米， 12124O O O D O D ∴=+=厘米；同理知，当小圆圆心在大圆内时，解得123O O =厘米1-厘米2=厘米． 故答案是：4或2；12．（2020•奉贤区一模）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的面积，如图，O e 是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径OA 的长为1，如果用它的面积来近似估计O e 的面积，那么O e 的面积约是 ．【分析】设AB 为正十二边形的边，连接OB ，过A 作AD OB ⊥于D ，由正十二边形的性质得出30AOB ∠=︒，由直角三角形的性质得出1122AD OA ==，求出AOB ∆的面积1124OB AD =⨯=，即可得出答案．【解答】解：设AB 为正十二边形的边，连接OB ，过A 作AD OB ⊥于D ，如图所示： 3603012AOB ︒∴∠==︒， AD OB ⊥Q ， 1122AD OA ∴==，AOB ∴∆的面积111112224OB AD =⨯=⨯⨯=∴正十二边形的面积11234=⨯=， O ∴e 的面积≈正十二边形的面积3=，故答案为：3．13．（2019•青浦区二模）如图，在O e 中，OA 、OB 为半径，连接AB ，已知6AB =，120AOB ∠=︒，那么圆心O 到AB 的距离为 ．【分析】过O 作OC AB ⊥交AB 于C 点，由垂径定理可知，OC 垂直平分AB ，再解直角三角形即可求解． 【解答】解：过O 作OC AB ⊥交AB 于C 点，如右图所示： 由垂径定理可知，OC 垂直平分AB ，则132AC AB ==， OA OB =Q ，120AOB ∠=︒，30OAB ∴∠=︒，tan tan30OCOAB AC∴∠=︒=，tan303OC AC ∴=︒==g O 到AB14．（2019•静安区二模）已知在ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC BC ==，如果以点C 为圆心的圆与斜边AB 有且只有一个交点，那么C e 的半径是 ．【分析】根据等腰直角三角形的性质和直线与圆的位置关系解答即可．【解答】解：Q 在ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC BC ==， Q 以点C 为圆心的圆与斜边AB 有且只有一个交点，CD AB ∴⊥，1122CD AB ∴==⨯，即C e15．（2019•嘉定区二模）在Rt ACB ∆中，90C ∠=︒，3AC =，BC =A 为圆心作圆A ，要使B 、C 两点中的一点在圆A 外，另一点在圆A 内，那么圆A 的半径长r 的取值范围是 ．【分析】熟记“设点到圆心的距离为d ，则当d r =时，点在圆上；当d r >时，点在圆外；当d r <时，点在圆内”即可求解，【解答】解：Rt ACB ∆Q 中，90C ∠=︒，3AC =，BC = 6AB ∴=，如果以点A 为圆心作圆，使点C 在圆A 内，则3r >， 点B 在圆A 外，则6r <，因而圆A 半径r 的取值范围为36r <<． 故答案为36r <<；16．（2019•长宁区二模）在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，6AB =，8BC =．分别以点A 、C 为圆心画圆，如果点B 在A e 上，C e 与A e 相交，且点A 在C e 外，那么C e 的半径长r 的取值范围是 ． 【分析】根据勾股定理求出斜边AC ，根据点和圆的位置关系求出A e 的半径，再求出C e 的半径即可． 【解答】解：在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，6AB =，8BC =，由勾股定理得：226810AC =+=，Q 点B 在A e 上，A ∴e 的半径是6，设A e 交AC 于D ，则6AD =，1064CD =-=， Q 点A 在C e 外，C ∴e 的半径小于10，即r 的取值范围是410r <<， 故答案为：410r <<．17．（2019•闵行区二模）如图，已知在O e 中，半径OC 垂直于弦AB ，垂足为点D ．如果4CD =，16AB =，那么OC = ．【分析】根据垂径定理可得182AD AB ==，90ADO ∠=︒，设CO x =，则AO x =，4DO x =-，再利用勾股定理列出方程，解出x 的值即可． 【解答】解：Q 半径OC 垂直于弦AB ， 182AD AB ∴==，90ADO ∠=︒， 设CO x =，则AO x =，4DO x =-，2228(4)x x =+-， 解得：10x =， 10CO ∴=，故答案为：10．18．如图，在矩形ABCD 中，过点A 的圆O 交边AB 于点E ，交边AD 于点F ，已知5AD =，2AE =，4AF =．如果以点D 为圆心，r 为半径的圆D 与圆O 有两个公共点，那么r 的取值范围是 ．【分析】连接EF ，知EF 是O e 的直径，取EF 的中点O ，连接OD ，作OG AF ⊥，知点G 是AF 的中点，据此可得122GF AF ==，112OG AE ==，继而求得OF ==OD =，最后根据两圆的位置关系可得答案． 【解答】解：如图，连接EF ，Q 四边形ABCD 是矩形，90BAC ∴∠=︒，则EF 是O e 的直径，取EF 的中点O ，连接OD ，作OG AF ⊥， 则点G 是AF 的中点， 122GF AF ∴==， OG ∴是AEF ∆的中位数，112OG AE ∴==，OF ∴=OD ， Q 圆D 与圆O 有两个公共点，∴r <<r <19．（2019•徐汇区二模）如图，把半径为2的O e 沿弦AB 折叠，¶AB 经过圆心O ，则阴影部分的面积为 （结果保留)π．【分析】过O 作OD AB ⊥于D ，交劣弧AB 于E ，根据勾股定理求出AD ，根据垂径定理求出AB ，分别求出扇形AOB 和三角形AOB 的面积，即可得出答案．【解答】解：过O 作OD AB ⊥于D ，交劣弧AB 于E ，如图：Q 把半径为2的O e 沿弦AB 折叠，¶AB 经过圆心O ，1OD DE ∴==，2OA =， Q 在Rt ODA ∆中，1sin 2OD A OA ==， 30A ∴∠=︒，60AOE ∴∠=︒，同理60BOE ∠=︒， 6060120AOB ∴∠=︒+︒=︒，在Rt ODA ∆中，由勾股定理得：AD = OD AB ⊥Q ，OD 过O ，2AB AD ∴==，∴阴影部分的面积2120214136023AOBAOB S S S ππ∆⨯=-=-⨯=-扇形故答案为：43π． 20．（2018•上海）已知O e 的直径2AB =，弦AC 与弦BD 交于点E ．且OD AC ⊥，垂足为点F ．（1）如图1，如果AC BD =，求弦AC 的长；（2）如图2，如果E 为弦BD 的中点，求ABD ∠的余切值；（3）联结BC 、CD 、DA ，如果BC 是O e 的内接正n 边形的一边，CD 是O e 的内接正(4)n +边形的一边，求ACD ∆的面积．【分析】（1）由AC BD =知¶¶¶¶AD CD CD BC +=+，得¶¶AD BC =，根据OD AC ⊥知¶¶AD CD =，从而得¶¶¶AD CDBC ==，即可知60AOD DOC BOC ∠=∠=∠=︒，利用sin AF AO AOF =∠可得答案； （2）连接BC ，设OF t =，证OF 为ABC ∆中位线及DEF BEC ∆≅∆得2BC DF t ==，由1DF t =-可得13t =，即可知23BC DF ==，继而求得143EF AC ==，由余切函数定义可得答案；（3）先求出BC 、CD 、AD 所对圆心角度数，从而求得BC AD =OF =公式计算可得．【解答】解：（1）OD AC ⊥Q ， ∴¶¶AD CD=，90AFO ∠=︒， 又AC BD =Q ，∴¶¶AC BD =，即¶¶¶¶AD CD CD BC +=+， ∴¶¶AD BC=， ∴¶¶¶AD CDBC ==， 60AOD DOC BOC ∴∠=∠=∠=︒，2AB =Q ，1AO BO ∴==，sin 1AF AO AOF ∴=∠==，则2AC AF==；（2）如图1，连接BC，ABQ为直径，OD AC⊥，90AFO C∴∠=∠=︒，//OD BC∴，D EBC∴∠=∠，DE BE=Q、DEF BEC∠=∠，()DEF BEC ASA∴∆≅∆，BC DF∴=、EC EF=，又AO OB=Q，OF∴是ABC∆的中位线，设OF t=，则2BC DF t==，1DF DO OF t=-=-Q，12t t∴-=，解得：13t=，则23DF BC==、3AC=，1124EF FC AC∴==，OB OD=Q，ABD D∴∠=∠，则2cot cotDFABD DEF∠=∠==；（3）如图2，BC Q 是O e 的内接正n 边形的一边，CD 是O e 的内接正(4)n +边形的一边， 360BOC n ∴∠=、3604AOD COD n ∠=∠=+， 则36036021804n n +⨯=+， 解得：4n =，90BOC ∴∠=︒、45AOD COD ∠=∠=︒，BC AC ∴==90AFO ∠=︒Q ，cos OF AO AOF ∴=∠=，则1DF OD OF =-=111(12222ACD S AC DF ∆∴==-=g ． 21．（2020•闵行区一模）如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2AD =，4BC =，tan 3B =．以AB 为直径作O e ，交边DC 于E 、F 两点．（1）求证：DE CF =； （2）求：直径AB 的长．【分析】（1）直接利用垂径定理结合平行线分线段成比例定理得出DH HC =，进而得出答案； （2）过点A 作AG BC ⊥，垂足为点G ，再利用已知结合勾股定理得出答案． 【解答】（1）证明：过点O 作OH DC ⊥，垂足为H ． //AD BC Q ，90ADC ∠=︒，OH DC ⊥，90BCN OHC ADC ∴∠=∠=∠=︒． ////AD OH BC ∴．又OA OB =Q ． DH HC ∴=．OH DC ⊥Q ，OH 过圆心，EH HF ∴=，DH EH HC HF ∴-=-．即：DE CF =．（2）解：过点A 作AG BC ⊥，垂足为点G ，90AGB ∠=︒， 90AGB BCN ∠=∠=︒Q ， //AG DC ∴． //AD BC Q ， AD CG ∴=．2AD =Q ，4BC =，2BG BC CG ∴=-=．在Rt AGB ∆中，tan 3B =Q ， tan 236AG BG B ∴==⨯=g ．在Rt AGB ∆中，222AB AG BG =+AB ∴=22．（2020•嘉定区一模）如图，在O e 中，AB 、CD 是两条弦，O e 的半径长为rcm ，弧AB 的长度为1l cm ，弧CD 的长度为2l cm （温馨提醒：弧的度数相等，弧的长度相等，弧相等，有联系也有区别）．当12l l =时，求证：AB CD =．【分析】根据弧长公式求得AOB COD ∠=∠，然后利用ASA 证得AOB COD ∆≅∆，即可证得结论． 【解答】解：设AOB m ∠=︒，COD n ∠=︒， 由题意，得1180mr l π=，2180nr l π=， QBG FH DG CH =，∴180180mr nr ππ=， m n ∴=，即AOB COD ∠=∠，OA Q 、OB 、OC 、OD 都是O e 的半径，OA OB OC OD ∴===，OA OC =Q ，AOB COD ∠=∠，OB OD =，()AOB COD SAS ∴∆≅∆ AB CD ∴=．23．（2019•杨浦区三模）ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3tan 4B =，5AB =，点O 为边AB 上一动点，以O 为圆心，OB 为半径的圆交射线BC 于点E ，以A 为圆心，OB 为半径的圆交射线AC 于点G ．（1）如图1，当点E 、G 分别在边BC 、AC 上，且CE CG =时，请判断圆A 与圆O 的位置关系，并证明你的结论；（2）当圆O 与圆A 存在公共弦MN 时（如图2)，设OB x =，MN y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）设圆A 与边AB 的交点为F ，联结OE 、EF ，当OEF ∆为以OE 为腰的等腰三角形时，求圆O 的半径长．【分析】（1）由三角函数得出3AC =，4BC =，作OP BE ⊥于P ，则PB PE =，//OP AC ，得出OB PBAB BC=，设PB PE x ==，则42CG CE x ==-，得出54OB x =，21AG AC CG x =-=-，得出方程，得出43x =，53OB ==，求出2OA AB OB OB =-=，即可得出结论；（2）连接OM ，由相交两圆的性质得出OA 与MN 垂直平分，90ODM ∠=︒，1122DM MN y ==，1(5)2AD OD x ==-，由勾股定理得出方程，整理即可；（3）分三种情况：①当圆O 与圆A 外切，OE OF =时，圆O 与圆A 外切，圆O 的半径长53OB =； ②当OE FE =时，圆O 与圆A 相交，作EH OF ⊥于H ，则52OF OH OB ==-，证明BEH BAC ∆∆∽，得出158EH =，在Rt OEH ∆中，由勾股定理得出方程，解方程即可； ③当O 与A 重合时，OE OF =，5OE AB ==；即可得出结论． 【解答】解：（1）圆A 与圆O 外切，理由如下： 90ACB ∠=︒Q ，3tan 4B =，5AB =，3AC ∴=，4BC =， 作OP BE ⊥于P ，如图1所示： 则PB PE =，//OP AC ，∴OB PBAB BC=， 设PB PE x ==，则42CG CE x ==-， 5544x OB x ⨯∴==，21AG AC CG x =-=-， AG OB =Q ， 5214x x ∴-=， 解得：43x =， 53OB ∴==， 5105233OA AB OB OB ∴=-=-==，∴圆A 与圆O 外切；（2）连接OM ，如图2所示： Q 圆O 与圆A 存在公共弦MN ，OA ∴与MN 垂直平分， 90ODM ∴∠=︒，1122DM MN y ==，1(5)2AD OD x ==-， 由勾股定理得：222DM OM OD =-，即22215()()22x y x -=-，整理得：2231025y x x =+-， 525(5)3y x ∴<<；（3）分三种情况：①当圆O 与圆A 外切，OE OF =时，圆O 与圆A 外切，圆O 的半径长53OB =； ②当OE FE =时，圆O 与圆A 相交，如图3所示： 作EH OF ⊥于H ，则52OF OH OB ==-， B B ∠=∠Q ，90EHB C ∠=︒=∠，BEH BAC ∴∆∆∽，∴EH BFAC BC=， 5315248EH ⨯∴==， 在Rt OEH ∆中，由勾股定理得：2222155()()82OB OE OB +-==，解得：12564OB =； ③当O 与A 重合时，OE OF =，F 与B 重合，5OE AB ==；综上所述，当OEF ∆为以OE 为腰的等腰三角形时，圆O 的半径长为53或12564或5．24．（2019•青浦区二模）已知：在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，1AC=，D是AB的中点，以CD为直径的Qe 分别交BC、BA于点F、E，点E位于点D下方，连接EF交CD于点G．（1）如图1，如果2BC=，求DE的长；（2）如图2，设BC x=，GDyGQ=，求y关于x的函数关系式及其定义域；（3）如图3，连接CE，如果CG CE=，求BC的长．【分析】（1）如图1中，连接CE．在Rt CDE∆中，求出CD，CE即可解决问题．（2）如图2中，连接CE，设AC交Qe于K，连接FK，DF，DK．想办法用x表示CD，DE，证明//FK AB，推出DG DEGQ FQ=，延长构建关系式即可解决问题．根据点E位于点D下方，确定x的取值范围即可．（3）如图3中，连接FK．证明ED EC=，由此构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，连接CE．在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒Q ，1AC =，2BC =，AB ∴=， CD Q 是Q e 的直径， 90CED ∴∠=︒， CE AB ∴⊥，BD AD =Q ，12CD AB ∴==Q1122AB CE BC AC =g g g g ，CE ∴=，在Rt CDE ∆中，DE =（2）如图2中，连接CE ，设AC 交Q e 于K ，连接FK ，DF ，DK ．90FCK ∠=︒Q ，FK ∴是Q e 的直径，∴直线FK 经过点Q ，CD Q 是Q e 的直径， 90CFD CKD ∴∠=∠=︒， DF BC ∴⊥，DK AC ⊥，DC DB DA ==Q ， BF CF ∴=，CK AK =， //FK AB ∴，∴DG DEGQ FQ=， BC x =Q ，1AC =，AB ∴=DC DB DA ∴===ACE ABC ∆∆Q ∽，∴可得AE =DE AD AE ∴=-=∴2DE DECD FQ=，∴2y =， 2222(1)1x y x x -∴=>+．（3）如图3中，连接FK ．CE CG =Q ， CEG CGE ∴∠=∠，FKC CEG ∠=∠Q ， //FK AB Q ， FKC A ∴∠=∠， DC DA =Q ，A DCA ∴∠=∠，A DCA CEG CGE ∴∠=∠=∠=∠， CDA ECG ∴∠=∠， EC DE ∴=，由（2=-， 整理得：2210x x --=，1x ∴=+1，1BC ∴=．25．（2019•浦东新区二模）已知AB 是圆O 的一条弦，P 是圆O 上一点，过点O 作MN AP ⊥，垂足为点M ，并交射线AB 于点N ，圆O 的半径为5，8AB =． （1）当P 是优弧¶AB 的中点时（如图），求弦AP 的长； （2）当点N 与点B 重合时，试判断：以圆O 为圆心，32为半径的圆与直线AP 的位置关系，并说明理由； （3）当BNO BON ∠=∠，且圆N 与圆O 相切时，求圆N 半径的长．【分析】（1）连接PO 并延长交弦AB 于点H ，由垂径定理得出PH AB ⊥，AH BH =，由勾股定理得出3OH ==，在APH ∆中，90AHP ∠=︒，8PH OP OH =+=，由勾股定理求出AP 即可； （2）作OG AB ⊥于G ，先证明OBG ABM ∆∆∽，得出BM BG AB OB =，求出325BM =，得出75OM =，由7352<，即可的距离；（3）分情况讨论：①当圆N 与圆O 相外切时，作OD AB ⊥于D ，由勾股定理求出3OD ==，证出5BN OB ==，得出DN 的长，再由勾股定理求出ON ，然后由相切两圆的性质即可得出圆N 的半径； 当圆N 与圆O 相内切时，由相切两圆的性质即可得出结果．②当点N 在线段AB 上时，此时点P 在弦AB 的下方，点N 在圆O 内部，只存在圆N 与圆O 相内切，作OE AB ⊥于E ，则4AE BE ==，证出5BN OB ==，1EN BN BE ===，由勾股定理求出3OE ==，在Rt OEN ∆中，再由勾股定理得：ON == 【解答】解：（1）连接PO 并延长交弦AB 于点H ，如图1所示： P Q 是优弧¶AB 的中点，PH 经过圆心O ， PH AB ∴⊥，AH BH =，在AOH ∆中，90AHO ∠=︒，142AH AB ==，5AO =，3OH ∴=，在APH ∆中，90AHP ∠=︒，538PH OP OH =+=+=，AP ∴= （2）当点N 与点B 重合时，以点O 为圆心，32为半径的圆与直线AP 相交；理由如下： 作OG AB ⊥于G ，如图2所示： OBG ABM ∠=∠Q ，OGB AMB ∠=∠， OBG ABM ∴∆∆∽，∴BM BG AB OB =，即485BM =，解得：325BM =， 327555OM ∴=-=， Q7352<， ∴当点N 与点B 重合时，以点O 为圆心，32为半径的圆与直线AP 相交； （3）①当点N 在线段AB 延长线上时，当圆N 与圆O 相外切时，作OD AB ⊥于D ，如图3所示： 5OA OB ==Q ， 142AD DB AB ∴===，3OD ∴===， BNO BON ∠=∠Q ， 5BN OB ∴==， 9DN DB BN ∴=+=，在Rt ODN ∆中，由勾股定理得：ON == Q 圆N 与圆O 相切，∴圆N 半径55ON =-=；当圆N 与圆O 相内切时，圆N 半径55ON =+=；②当点N 在线段AB 上时，此时点P 在弦AB 的下方，点N 在圆O 内部，只存在圆N 与圆O 相内切，如图4所示：作OE AB ⊥于E ，则4AE BE ==，3OE =， BNO BON ∠=∠Q ， 5BN OB ∴==，1EN BN BE ∴===，在Rt OEN ∆中，由勾股定理得：ON =∴圆N 半径55ON =-=综上所述，当BNO BON ∠=∠，且圆N 与圆O 相切时，圆N 半径的长为5或5或5。
直线与圆的RT三角形
直线与圆的位置关系知识储备：弦切角定理，切割线定理，三角形相似证明方法，解RT 三角形。
基本模型储备：切线长定理，三角形内切圆及外接圆做法和性质三角形内切圆： 三角形外接圆直Rt △ABC 中,r=(a+b-c)/2ABCsin =2R例：在锐角△ABC 中，∠A=50O,若点O 为外心，则∠BOC=_____;若点I 为内心，则 ∠BIC=______；若点H 为垂心，则∠BHC=________. 弦切角定理切割线定理切线长定理：ABCO E Dbca弦切角定理：例 如图，AD 是ΔABC 中∠BAC 的平分线，经过点A 的⊙O 与BC 切于点D ，与AB ，AC 分别相交于E ，F. 求证：EF ∥BC. 证明：连DF ，AD 是∠BAC 的平切割线定理：例 1已知PT 切⊙O 于T ，PBA 为割线，交OC 于D ，CT 为直径，若OC=BD=4cm ，AD=3cm ，求PB 长。
如图，AB 切⊙O 于B ，OB 交割线ACD 于E ，AC=CE=3，OE=25，求AB 长。
如图，已知ABC ∆中︒=∠90ACB ，以C 为圆心，作圆与AB 相切于点D ，且AD=9，BD=16（1）求⊙C 的半径（2）求F ∠tan 的值思考：两圆交于A 、B ，AC 、AD 切两圆于A ，交两圆于C 、D ，连CB ，延长交AD 于E ，圆于F ，若BC=9，AE=6，DE=2，求AC 长。
A .. O O'B D FE1C掌握方法：1换角：角圆外角换到圆内（切线，内接四边形）2证明切线：（圆的第一问）3切割线定理与三角形相似证明（换边）及求值（切割线，弦切角，切线长定理）4解RT三角形求值：边，三角函数，比值（切线；垂径定理）5直线与圆置关系：多解【圆的切线的证法】1 证直线与圆心和交点的连线垂直（换角垂直，平行）例（平行相切）1 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的角平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AD，交AB于点E．以AE为直径作⊙O．（1）求证：BC是⊙O的切线；2 已知：如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点P，且P为BC中点，PD⊥AC 于点D．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：AB=AC；换角垂直：例如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，若PA⊥AB，PO过AC的中点M．（Ⅰ）求证：PC是⊙O的切线；如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=1/2 ∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；练习：1如图，AB是半圆O的直径，C为半圆上一点，N是线段CB延长线上一点，过N 作AB的垂线交AB于M，交AC的延长线于E，F是EN的中点．（1）求证：CF是半圆的切线；（2）若BC=BN=4，CF=5，求半⊙O的直径．2如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，CA=4，∠ABC的角平分线BD交AC于点D，点E是线段AB上的一点，以BE为直径的圆O过点D．（1）求证：AC是圆O的切线；（2）求AE的长．2证明圆心到直线距离等于半径（极少用到）图，已知直角梯形ABCD，∠B=90°，AD∥BC，并且AD+BC=CD，O为AB的中点.（1）求证：以AB为直径的⊙O与斜腰CD相切；（2）若OC=8cm，OD=6cm，求CD的长.【圆中的解直角三角形】条件中给出：角度；边的值；边的比值；三角函数值。
解直角三角形知识点及典型例题
板块一 解直角三角形一、解直角三角形的概念根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形.二、直角三角形的边角关系如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳：cba CBA⑴ 三边之间的关系：222a b c += (勾股定理)； ⑵ 锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒； ⑶ 边角之间的关系：sin a A c =，cos b A c =，tan a A b =，cot b A a=. 三、 解直角三角形的四种基本类型⑴ 已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a )，由sin aA c=求出A ∠，则90B A ∠=︒-∠，b =； ⑵ 已知斜边和一锐角(如斜边c ，锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，sin a c A =，cos b c A =；⑶ 已知一直角边和一锐角(如a 和锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，cot b a A =，sin ac A=；⑷ 已知两直角边(如a 和b )，求出c =tan aA b=，得90B A ∠=︒-∠.具体解题时要善于选用公式及其变式，如sin a A c =可写成sin a c A =，sin ac A =等.四、解直角三角形的方法解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据． 直角三角形两锐角间的三角函数关系（五）解直角三角形的技巧及注意点在Rt ABC ∆中，90A B ∠+∠=︒，故s in c o s (90)c o s A A B =︒-=，cos sin A B =，tan cot A B =，cot tan A B =.利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题．（六）如何解直角三角形的非基本类型的题型对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化解直角三角形为四种基本类型求解；（1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；（2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是： ①作垂线构成直角三角形；②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等.【例1】 在三角形ABC 中，903010C A AB ∠=︒∠=︒=，，，则AC 的长度为（ ）A． B． C． D．【例2】 已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，根据下列条件解直角三角形：60A ∠=︒，4b =；【例3】 已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，根据下列条件解直角三角形：60A ∠=︒，6a b +=；【例4】 已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，根据下列条件解直角三角形：45A ∠=︒，12S ∆=.【例5】 如图，在Rt ABC ∆中，已知1CD AB BC ⊥=，，如果40BCD ∠=︒，求AC 的长度D C BA【例6】 如图，在Rt ABC ∆中，已知1CD AB BC ⊥=，，如果1tan 3BCD ∠=，求CD 的长度D C BA【例7】 如图所示，在ABC ∆中，90C ∠=︒，D 是AC 边上的一点，且53AD DB CD ===，，求t a n CBD ∠和sin A 的值．DCB A【例8】 如图，在凯里市某广场上空飘着一只汽球P ，A B ，是地面上相距90米的两点，它们分别在汽球的正西和正东，测得仰角45PAB ∠=︒，仰角30PBA ∠=︒，求汽球P 的高度（精确到0.1米，3=1.732）PACPBA【例9】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若sin tan A B =，求cos A 的值.【例10】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若cos cot A B =，求sin A 的值.【例11】 在三角形ABC 中，90C ∠=︒，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，的对边，已知603B a b ∠=︒+=+，求a b ，【例12】 如图，在ABC ∆中，已知20AB AC BC ===，ABC ∆中各内角的度数 DCBA【例13】 如图，已知：ABC ∆是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，过BC 的中点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，连接CE ，求sin ACE ∠的值.FED CBA【例14】 如图所示，天空中有一静止的广告气球C ，从地面A 点测得C 的仰角为45°，从地面B 点测得C 的仰角为60°．已知20AB =米，点C 和直线AB 在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度CD （结果保留根号）．DCBA【例16】 已知：如图，ABC ∆中，45B AB ∠=︒=，，D 是BC 上一点，53AD CD ==，，求ADC ∠的度数及AC 的长．C BA板块二 解直角三角形应用（七）直角三角形中其他重要概念⑴ 仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．⑵ 坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为hi l=，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan hi lα==．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵． ⑶ 方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度.如图⑶．图(3)图(2)图(1)俯角仰角视线视线水平线铅垂线2. 解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：⑴ 分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；⑵ 找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；⑶ 根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；⑷ 按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位.（一）、仰角俯角【例17】 如图，一艘核潜艇在海面下500米A 点处测得俯角为30︒正前方的海底有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行4000米后再次在B 点处测得俯角为60︒正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C 点处距离海面的深度？（精确到米）海面60°30°D CBA【例18】 亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M ，颖颖的头顶B 及亮亮的眼睛A 恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C ，D ．然后测出两人之间的距离 1.25m CD =，颖颖与楼之间的距离30m DN =（C D N 、、在一条直线上），颖颖的身高 1.6m BD =，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离0.8m AC =．你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？M【例19】 某旅游区有一个景观奇异的望天洞，D 点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭A 处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道AB 返回山脚下的B 处．在同一平面内，若测得斜坡BD 的长为100米，坡角10DBC ∠=︒，在B 处测得A 的仰角40ABC ∠=︒，在D 处测得A 的仰角85ADF ∠=︒，过D 点作地面BE 的垂线，垂足为C ． ⑴ 求ADB ∠的度数； ⑵ 求索道AB 的长．（结果保留根号）【例20】 如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角23AEF ∠=︒，量得树干倾斜角38BAC ∠=︒，大树被折断部分和坡面所成的角604m ADC AD ∠=︒=，． ⑴求CAE ∠的度数；⑵求这棵大树折断前的高度．1.4 1.72.4==）．A CDE FBGACDEFB【例21】 一次数学活动中，小迪利用自己制作的测角器测量小山的高度CD ．已知她的眼睛与地面的距离为1.6米，小迪在B 处测量时，测角器中的60AOP ∠=°(量角器零度线AC 和铅垂线OP 的夹角，如图)；然后她向小山走50米到达点F 处(点B F D ，，在同一直线上)，这时测角器中的45EO P ''∠=°，那么小山的高度CD 约为( ) Ａ．68米 Ｂ．70米 Ｃ．121米 Ｄ．123米( 1.732≈ 1.414≈供计算时选用)DPGCO A【例22】 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高20cm ，深为30cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，斜坡的坡角BCA ∠为12︒，设台阶的起点为A ，斜坡的起点为C ，求AC 的长度（精确到1cm ）DC BA【例23】 课外实践活动中，数学老师带领学生测量学校旗杆的高度. 如图，在A 处用测角仪(离地高度1.5米)测得旗杆顶端的仰角为15︒，朝旗杆方向前进23米到B 处，再次测得旗杆顶端的仰角为30︒，求旗杆EG 的高度.C60°38°BDE23°AF【例24】 在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A 处观测到河对岸水边有一点 C ，测得C 在A 北偏西31︒的方向上，沿河岸向北前行20米到达B 处，测得C 在B 北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．(参考数值：3tan315︒≈，1sin312︒≈)【例25】 如图，湖心岛上有一凉亭，现欲利用湖岸边的开阔平整地带，测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB (见示意图)，可供使用的工具有测倾器、皮尺．A⑴ 请你根据现有条件，设计一个测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB 的方案，画出测量方案的平面示意图，并将测量的数据标注在图形上(所测的距离用m ，n …表示，角用α，β…表示，测倾器高度忽略不计)；⑵ 根据你所测量的数据，计算凉亭到湖面的高度AB (用字母表示)．【例26】 如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD ，甲乙两人分别在相距8米的A 、B 两处测得D 点和C 点的仰角分别为45︒和60︒，且A 、B 、E三点在一条直线上，若15BE =米，求这块广告牌的高度．(取1.73≈，计算结果保留整数)EDC BA60︒45︒【例27】 由山脚下的一点A 测得山顶D 的仰角是45︒，从A 沿倾斜角为30︒的山坡前进1500米到B ，再次测得山顶D 的仰角为60︒，求山高CD .DCBA【例28】 如图，在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为45︒，沿着坡度为30︒的斜坡前进400米到D 处(即30,400DCB CD ∠=︒=米)，测得A 的仰角为60︒，求山的高度AB .【例29】 如图所示，某学校拟建两幢平行的教学楼，现设计两楼相距30米，从A 点看C 点，仰角为5︒；从A点看D 点，俯角为30，解决下列问题：⑴ 求两幢楼分别高多少米？(结果精确到1米)⑵ 若冬日上午9:00太阳光的入射角最低为30(光线与水平线的夹角)，问一号楼的光照是否会有影响？请说明理由，若有，则两楼间距离应至少相距多少米时才会消除这种影响？(结果精确到1米)(参考数据：tan50.0875≈ tan300.5774≈ cos30 1.732≈)DCDCB A【例30】 若每层楼高2.2米，问在例题的第⑵问中，在一号楼中至少住在第几层光照就不会受到二号楼的影响？F 30︒ED CBA【例31】 某住宅小区有一郑南朝向的居民楼，如图，该楼底层是高为6m 的超市，超市以上是居民住房，在该楼前方15m 处准备盖一幢高20m 的新楼，已知当地冬季正午的阳光与水平线夹角为32︒ ⑴超市以上居民住房采光是否受到影响？为什么？⑵若要使居民住房采光不受影响，两楼至少应相距多少米？（精确到0.1m ）新楼居民楼新楼32°BADCBA【例32】 如图，“五一”期间在某商贸大厦上从点A 到点B 悬挂了一条宣传条幅，小明和小雯的家正好住在商贸大厦对面的家属楼上．小明在四楼D 点测得条幅端点A 的仰角为30︒，测得条幅端点B 的俯角为45︒；小雯在三楼C 点测得条幅端点A 的仰角为45︒，测得条幅端点B 的俯角为30︒．若设楼层高度CD 为3米，请你根据小明和小雯测得的数据求出条幅AB 的长．(结果精确到个位，参考数据1.732)【例33】 如图，某高层楼房与上海东方明珠电视塔隔江想望，甲、乙两学生分别在这楼房的A B ，两层，甲在A 层测得电视塔塔顶D 的仰角为α，塔底C 的俯角为β，乙在B 层测得塔顶D 的仰角为θ，由于塔底的视线被挡住，乙无法测得塔底的俯角，已知A B ，之间的高度差为a ，求电视塔高CD （用含a αβθ，，，的代数式表示）（二）、坡度角【例34】 为了加固一段河堤，需要运来砂石和土将堤面加宽1m ，使坡度由原来的1:2变成1:3，如图所示，已知原来背水坡长12BC m ，堤长100m ，那么需要运来砂石和土多少立方米?(参考数据3≈1.7，5≈2.7)CFEDBA【例35】 燕尾槽的横断面是等腰梯形，下图是个燕尾槽的横断面，其中燕尾角B 为55°，外口宽AD 为180 mm ，燕尾槽的深度为70 mm ，求它的里口宽BC （精确到1 mm ）F EDCBA【例36】 创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O 的半径OC 所在的直线为对称轴的轴对称图形，A 是OD 与圆O 的交点．⑴请你帮助小王在下图中把图形补画完整；⑵由于图纸中圆O的半径r的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1:0.75i=是坡面CE的坡度），求r的值．【例37】一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形. 现需将其整修并进行美化，方案如下：①将背水坡AB的坡度由1:0.75改为；②用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花.⑴求整修后背水坡面的面积；⑵如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？DCBA【例38】城市规划期间，欲拆除一电线杆AB，如图所示，已知距电线杆AB水平距离14m的D处有一大坝，背水坡CD的坡度为2，坝高CF为2m，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30︒，D、E之间是宽为2m的人行道，试问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B为圆心.以AB的长为半径的圆形区域为危险区域)．FE人行道DCB A【例39】 如图，甲、乙两建筑物的水平距离为30m ，从乙的顶部A 测得甲的顶部C 的仰角为60︒，测得甲的底部D 的俯角为30︒，求两建筑物的高.B【例40】 在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度．如图1，虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板的夹角为倾角θ，一般情况下，倾角θ愈小，楼梯的安全程度愈高．如图2，设计者为提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角由1θ减至2θ，这样楼梯占用地板的长度由1d 增加到2d ，已知11440d m θ=∠=︒，，236θ∠=︒，求楼梯占用地板的长度增加了多少？（精确到0.01 m ． 参考数据：tan36°=0.7256， tan40°=0.8391．）θ地板地板【例41】 武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44︒减至32︒，已知原台阶AB 的长为5米(BC 所在地面为水平面)． ⑴ 改善后的台阶会加长多少？(精确到0.01米)⑵ 改善后的台阶多占多长一段地面？(精确到0.01米)44︒32︒CBA【例42】 我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示．BC AD ∥，斜坡40AB =米，坡角60BAD ∠=︒，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过45时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿BC 削进到E 处，问BE 至少是多少米（结果保留根号）？ABD CEF G ECDBA（三）、方位角【例43】 如图，AC 是某市环城路的一段，AE BF CD ，，都是南北方向的街道，其与环城路AC 的交叉路口分别是A B C ，，．经测量花卉世界D 位于点A 的北偏东45°方向、点B 的北偏东30°方向上， 2AB km =，15DAC ∠=︒． （1）求B D ，之间的距离； （2）求C D ，之间的距离．中山路文化路和平路环城路环城路和平路文化路中山路BCD45°30°15°15°30°45°ODC BABCA44︒【例44】 如图所示，某轮船以30海里／时的速度航行，在A 点处测得海面上的哨所P 在南偏东60︒，向北航行40分钟后到达B 点，测得哨所P 在南偏东30︒，轮船改变为北偏东60︒的航向再航行2小时到达C 点，若在PC 上存在一点M ，点M 在点B 的南偏东60︒处，且在点M 的周围有方圆15海里的暗礁区，问轮船从B 点到C 点的航行中有无触礁的危险?是否需要改变航向?EDB A【例45】 为缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库，设计师提供了车库入口设计示意图，按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你计算图中CE 的长（精确到0.1m ）【例46】 如图所示，某船以每小时36海里的速度向正东航行，在A 点测得某岛C 在北偏东60°方向上，航行半小时后到B 点，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁． （1）试说明B 点是否在暗礁区域外．（2）若继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．东【例47】 如图，公路MN 和公路PQ 在P 处交会，且30QPN ∠=︒，点A 处有一所学校，160m AP =，假设拖拉机行使时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么当拖拉机在公路MN 上沿PN 的方向以10m/s 的速度行使时，⑴ 学校是否会受到噪音的影响？为什么？⑵若学校会受到噪音的影响，受影响的时间是多少？【例48】 随着科学技术的发展，机器人已经能按照设计的指令完成各种动作，在坐标平面上，根据指令[s ，]α(0a ≥，0360α︒≤<︒)机器人能完成下列动作：先原地顺时针旋转角度α，再朝其面对的方向沿直线行走距离s.⑴填空：如图，若机器人在直角坐标系的原点，且面对y轴的正方向，现要使其移动到点(2A，2)，则给机器人发出的指令应是_________⑵机器人在完成上述指令后，发现(6P，0)处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动，已知小球的滚动速度与机器人行走的速度相同，若忽略机器原地旋转时间，请你给机器人发一个指令，使它能最快截住小球.(如图，点C为机器人最快截住小球的位置)(角度精确到度；参考数据：sin490.75︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈，tan390.80︒≈)NyxPOANyxPO CBA【例49】第⑵问中，将“小球的滚动速度与机器人行走的速度相同”改为“小球速度为机器人的2”，则要在最短时间内截住小球应下的指令为.【例50】如图，在某海域内有三个港口A、D、C．港口C在港口A北偏东60︒方向上，港口D在港口A北偏西60︒方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东30︒的方向驶离A港口3小时后到达B点位置处，此时发现船舱漏水，海水以每5分钟4吨的速度渗入船内．当船舱渗入的海水总量超过75吨时，船将沉入海中．同时在B处测得港口C在B处的南偏东75︒方向上．若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在B处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？并指出此时船的航行方向．【例51】渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60︒方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时到B处.在B处看见灯塔M在北偏东15︒方向，求此时灯塔M与渔船的距离.北东北15︒60︒MBA北东北60︒15︒NM BA【例52】 如图，某剧组在东海拍摄广告风光片，拍摄基地位于A 处，在其正南方向15海里处一小岛B ，在B的正东方向20海里处有一小岛C ，小岛D 位于AC 上，且距小岛A 有10海里. ⑴ 求A ∠的度数(精确到1︒)和点D 到BC 的距离；⑵ 摄制组甲从A 处乘甲船出发，沿A B C →→的方向匀速航行，摄制组乙从D 处乘乙船出发，沿南偏西方向匀速直线航行，已知甲船的速度是乙船速度的2倍，若两船同时出发并且在B 、C 间的F 处相遇，问相遇时乙船航行了多少海里？(结果精确到0.1海里)北C B北EC B【例53】 海面上B 处有一货轮正在向正南方向航行，其航行路线是当它到达正南方C 时，在驶向正西方的目的地A 处，且200CA CB ==海里，在AB 中点O 处有一客轮，其速度为货轮的一半，现在客轮要截住货轮取一件货物，于是选择某一航向行驶去截住货轮，那么当客轮截住客轮时至少航行了多少海里，它所选择了怎样的方向角？(路程保留整数海里，角度精确到度)【例54】 为保卫祖国的海疆，我人民解放军海军在海岸线上相距20n mile 的A B ，两地设立观测站，按国际惯例，海岸线以外12n mile 范围内均为我国领海，外国船只除特许外，不得私自进入我国领海，某日，观测员发现一外国船只行驶至P 处，在A 观测站测得P 在北偏东27︒，同时在B 观测站测得P 在北偏西56︒，问此时是否需要向此未经特许的船只发出警告，命令其退出我国领海？（参考数据：932sin63tan632sin34tan341053︒≈︒≈︒≈︒≈，，，）56°27°PBA【例55】 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220km 的B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km ，风力就减弱一级，该台风中心现在以15km/h 的速度沿北偏东30︒方向往C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到四级，则称受台风影响. ⑴ 该城市是否会受这次台风影响？请说明理由.⑵ 若受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间会有多长？ ⑶ 该城市受台风影响的最大风力是几级？（四）其它【例56】 公园里有一块形如四边形ABCD 的草地，测得10BC CD ==米，120B C ∠=∠=︒，45A ∠=︒．请你求出这块草地的面积．DCBA【例57】 如图，不透明圆锥体DEC 放在水平面上，在A 处灯光照射下形成影子，设BP 过底面圆的直径，已知圆锥体的高为，底面半径为2m ，4BE m =⑴求B ∠的度数；⑵若2ACP B ∠=∠，求光源A 距水平面的高度PEDCBA【例58】 小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15︒的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全.他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75︒，如果拖把的总长为1.80m ，则小明拓宽了行路通道_________m ．(结果保留三个有效数字，参考数据：sin150.26︒≈，cos150.97︒≈)【例59】 如图１，一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，梯子与地面的倾斜角α为60︒．⑴ 求AO 与BO 的长；⑵ 若梯子顶端A 沿NO 下滑，同时底端B 沿OM 向右滑行.① 如图2，设A 点下滑到C 点，B 点向右滑行到D 点，并且:2:3AC BD =，试计算梯子顶端A 沿NO 下滑多少米；② 如图３，当A 点下滑到'A 点，B 点向右滑行到'B 点时，梯子AB 的中点P 也随之运动到'P 点．若'15POP ∠=︒，试求'AA 的长．图1图2图3【例60】 如图1、图2，是一款家用的垃圾桶，踏板AB （与地面平行）或绕定点P （固定在垃圾桶底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持''AP A P BP B P ==，）．通过向下踩踏点A 到'A （与地面接触点）使点B 上升到点'B ，与此同时传动杆BH 运动到''B H 的位置，点H 绕固定点D 旋转（DH 为旋转半径）至点'H ，从而使桶盖打开一个张角'HDH ∠．如图3，桶盖打开后，传动杆''H B 所在的直线分别与水平直线AB DH 、垂直，垂足为点M C 、，设''H C B M =．测得6cm 12cm '8cm AP PB DH ===，，．要使桶盖张开的角度'HDH ∠不小于60︒，那么踏板AB 离地面的高度至少等于多少cm ？（结果保留两位有效数字）图3图2B【例61】 如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AB的垂直平分线MN 交AC 于点D ，连结BD ，若3cos 5BDC ∠=， 求tan A 的值．（图1）NM DCA【例62】 如图所示，已知在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3sin 5B =，D 是BC 上一点，DE AB ⊥，垂足为E ，CD DE =，9AC CD +=.求：⑴ BC 的长；⑵ CE 的长.EDCBA【例63】 如图，某居民小区内A B ，两楼之间的距离30MN =米，两楼的高都是20米，A 楼在B 楼正南，B楼窗户朝南．B 楼内一楼住户的窗台离小区地面的距离2DN =米，窗户高 1.8CD =米．当正午时刻太阳光线与地面成30角时，A 楼的影子是否影响B 楼的一楼住户采光？若影响，挡住该住户窗户多高？若不影响，请说明理由．(1.4141.732=2.236=)【例64】 如图，水坝的横截面为梯形ABCD ，坝顶宽6m AD =，坡面CD =，AB 的坡度为，135ADC ∠=︒，求水坝的横截面积．DBA【例65】 水坝的横截面是等腰梯形ABCD ，坝顶宽6AD m =，坝高4m ，斜坡AB 的坡度为1:2，现要将水坝加高2m ，要求坝顶宽度不变，背水坡AB 改为EG 后，坡度改为1:2.5，如图，按这样的要求，加固一条长为50m 的水坝，需要多少土方？Q HR G FEDCB A【例66】 如图所示，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼，甲船以每小时的速度沿北偏西60︒方向前进，乙船以每小时15km 的速度沿东北方向前进，甲船航行2h 到达C 处，发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速(匀速)沿北偏东75︒的方向追赶，结果两船在B 处相遇. ⑴ 甲船从C 处追上乙船用了多长时间？ ⑵ 甲船追赶乙船的速度是多少？北【例67】 如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD ，建筑物周围没有开阔平整地带，建筑物顶端宽度AD 、高度DC 都可以直接测得，从A D C ，，三点都可看到塔顶H⑴试根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG 的方案，具体要求如下：①可供使用的测量工具有皮尺、测角器；②测量数据尽可能少；③在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A D ，间距离，用m 表示，D C ，间距离，用n 表示；如果测角，用αβγ，，表示）⑵根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG （用字母表示，测角器高度忽略不计）DBA【例68】 如图，某电信部门计划架设一条连结B C ，两地的电缆，测量人员在山脚A 地测得B C ，两地在同一方向，且两地的仰角分别为3045︒︒，，在B 地测得C 地的仰角为60︒，已知C 地比A 地高200米，且由于电缆的重力导致下坠，实际长度是两地距离的1.2倍，求电缆的长（精确到0.1米）。
中考数学点对点-涉及圆的证明与计算问题(解析版)
专题27 涉及圆的证明与计算问题专题知识点概述圆的证明与计算是中考必考点，也是中考的难点之一。
纵观全国各地中考数学试卷，能够看出，圆的证明与计算这个专题内容有三种题型：选择题、填空题和解答题。
一、与圆有关的概念1．圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
2．圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。
圆心角的度数等于它所对弧的度数。
3.圆周角：顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。
4. 外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。
外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心是三角形三条边垂直平分线的交点。
外心到三角形三个顶点的距离相等。
5．若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。
6.和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
内心是三角形三个角的角平分线的交点。
内心到三角形三边的距离相等。
二、与圆有关的规律1.圆的性质：（1）圆具有旋转不变性；（2）圆具有轴对称性；（3）圆具有中心对称性。
2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
3．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。
5.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．6．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．7．圆内接四边形的特征①圆内接四边形的对角互补；②圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。
(名师整理)最新数学中考专题复习《圆与直角三角形 》考点精讲精练课件
课后精练
解：(1)证明：如图，连接 OE，∵EG 是⊙O 的切 线，∴OE⊥EG.∵BF⊥GE，∴OE∥AB.∴∠A＝∠ OEC.∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠C.∴∠A＝∠C.∵∠ ABG＝∠A＋∠C，∴∠ABG＝2∠C.
课堂精讲
【解】(1)证明：∵ED⊥AD，∴∠EDA＝90°. ∴AE 是⊙O 的直径，AE 的中点是圆心 O. 如图，连接 OD，则 OA＝OD， ∴∠1＝∠ODA. ∵AD 平分∠BAC，∴∠2＝∠1＝∠ODA. ∴OD∥AC. ∴∠BDO＝∠ACB＝90°. ∴BC 是⊙O 的切线．
课堂精讲
(2)先根据勾股定理求出 OE，OD，AD 的长，证明 Rt△AOD∽Rt △ACB，得出比例线段即可求出 AC 的长．
课堂精讲
【解】(1)证明：如图，连接 OC， ∵CE 与⊙O 相切，点 C 是⊙O 的半径， ∴OC⊥CE. ∴∠OCA＋∠ACE＝90°. ∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA. ∴∠ACE＋∠A＝90°. ∵OD⊥AB，∴∠ODA＋∠A＝90°. ∵∠ODA＝∠CDE，∴∠CDE＋∠A＝90°. ∴∠CDE＝∠ACE.∴EC＝ED.
图1
图2
备用图
课后精练
解：(1)∵OD⊥AC，
∴
，∠AFO＝90°.
又∵AC＝BD，∴
，
即
.
∴
.∴
.
∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°.
∵AB＝2，∴AO＝BO＝1.
∴AF＝AO·sin∠AOF＝1×23＝ 23.则 AC＝2AF＝ 3.
课后精练
(2)如图，连接 BC，∵AB 为直径，OD⊥AC，∴∠AFO ＝∠ C＝90°.∴ OD∥BC.∴ ∠ D＝ ∠EBC.∵ DE＝ BE， ∠ DEF ＝ ∠BEC，∴△DEF≌△BEC(ASA)．∴BC＝DF，EC＝EF.又 ∵AO＝OB，∴OF 是△ABC 的中位线．设 OF＝t，则 BC＝
中考数学解直角三角形
中考数学解直角三角形一、定义：在一个直角三角形中，斜边上的高分两个直角三角形，其中一个与原三角形相似，另一个与原三角形轴对称。
二、解直角三角形的步骤：1、判断三角形的形状：在一个三角形中，最大的角是90°，所以只要有一个角是90°的三角形就是直角三角形。
2、已知直角边a和斜边c，求另一条直角边b：公式： a2 + b2 = c2或 b = √c2 – a2 (在实数范围内进行运算)。
3、已知直角三角形的一个锐角α和斜边c，求另一直角边b：公式： sinα = a / c或 a = c × sinα，求b： tanα = a / b 或 b = a / tanα。
4、判断一个三角形是否是直角三角形的方法：①有一个角是90°的三角形是直角三角形；②两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形；③一边的中线等于这条中线的二分之一的三角形是直角三角形。
解直角三角形中考题在平面几何中，解直角三角形是中考必考知识点之一，也是初中数学的重点内容之一。
下面从以下几个方面来探讨解直角三角形在中考中的常见题型和解法。
一、锐角三角函数锐角三角函数是解直角三角形的基础知识，主要考查学生对三角函数的掌握程度。
一般题型为：已知一个锐角，求其它锐角的三角函数值。
例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA=____，cosA=____，tanA=____。
解析：根据勾股定理可求得AB=5，再根据锐角三角函数的定义可求得答案。
二、解直角三角形解直角三角形是解直角三角形中最重要的题型，主要考查学生对勾股定理、锐角三角函数的掌握以及应用能力。
一般题型为：已知一直角三角形中的两个边长或一个边长和另一个角的三角函数值，求未知边的长度。
例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，sinA=0.6，求AC的长。
解析：根据已知条件可求得∠B的三角函数值，再利用勾股定理可求得AC的长。
圆和解直角三角形习题
初三数学总复习---圆和解直角三角形练习题 审核人：张新颖一、锐角三角函数1．（2011山东烟台，9,4分）如果△ABC 中，sin A =cos B ，则下列最确切的结论是A. △ABC 是直角三角形 B. △ABC 是等腰三角形 C. △ABC 是等腰直角三角形 D. △ABC 是锐角三角形2．（2011安徽芜湖，8，4分）如图，直径为10的⊙A 经过点C (0,5)和点O (0,0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为.A ．12 B ． 34C ．D ．453．（2011浙江温州，5，4分）在△ABC 中，∠C =90°，AB ＝13，BC ＝5，则sin A 的值是 A ．513B ．1213C ．512D ．1354．（2010黑龙江哈尔滨）在7,35,90,==∠=∠∆AB B C ABC Rt中，则BC 的长为A ．35sin 7B ．35cos 7C ．35cos 7D ．35tan 75．（2010 黄冈）在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，则tan B ＝ A ．43 B ．34 C ．35 D ．456．（2010湖南怀化）在Rt △ABC 中，∠C=90°，sin A =54，则cos B 的值等于 A ．53 B. 54 C. 43 D. 557．（2010 湖北孝感）如图，△ABC 的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则A ∠tan 的值是A ．56B ． 65C ． 3102 D ．101038114cos 45( 3.14)tan 603-⎛⎫--++ ⎪⎝⎭π9．计算：100012cos30( 3.14)2sin 602-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭π10．（2010 福建三明）如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC ⊥AB ，AD =CD ，54cos =∠DCA ，BC =10，则AB 的值是 A ．9 B ．8 C ．6 D ．3 11．（2010四川眉山）如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =30°，∠C =60°，AD =4，AB=，则下底BC 的长为 __________．60°30°D CBA12．（2011广东东莞，19，7分）如图，直角梯形纸片ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，∠C =30°．折叠纸片使BC 经过点D ．点C 落在点E 处，BF 是折痕，且BF = CF =8． （l ）求∠BDF 的度数； （2）求AB 的长．αDCA二、解直角三角形1．如图，在Rt ABC △中，90ACB CD AB =⊥，∠于点D．已知AC =2BC =，那么sin ACD ∠= AB ．23CD2．在正方形网格中，若α∠的位置如图所示，则cos α的值为Ａ．12Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．23．（2011浙江义乌，15，4分）左下图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图．其中AB 、CD 分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC =135°，BC 的长约是25m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是 m ．4．（2011江苏南通，17，3分）如右上图，测量河宽AB （假设河的两岸平行），在C 点测得∠ACB ＝30°，D 点测得∠ADB ＝60°，又CD ＝60m ，则河宽AB 为 m （结果保留根号）.6．如图，四边形ABCD 中，∠BAD =90°，∠ADC =135°， AB =38，BC =76，∠BAC =60°，求CD 的长.ABDD CBA 7．如图，四边形ABCD 中，∠A =∠C =90°，∠D =120°，BC =2，AD =1，求：四边形ABCD 的周长.8．（2011四川南充市，19，8分）如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，⊿BCE 沿BE 折叠为⊿BFE ,点F 落在AD 上. (1)求证：⊿ABE ∽⊿DFE ; (2)若sin ∠DFE =31,求tan ∠EBC 的值. FED CBA9．（2011江苏宿迁,23,10分）如图，为了测量某建筑物CD 的高度，先在地面上用测角仪自A 处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m ，此时自B 处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m ，请你计算出该建筑物的高度．1.732，结果精确到1m ）（第9题）EDCBA三、圆的基本性质1．如图，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC AB⊥于点D，交⊙O于点C，且1CD=，则弦AB的长是 .2．如图，AB为直径，∠BAC=20，D为上的任意一点，则∠ADC＝度.3．如图，AB为O的直径，弦CD AB⊥，E为BC上一点，28CEA∠=，则ABD∠= .4．如图，在⊙O中，∠ACB=∠D=60°，AC=3，则△ABC的周长为________．第 1题图第2题图第3题图第4题图5．如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，D为AC的中点，DE⊥AB于E交AC于F，若AF=2，则DF的长为．6．O的半径为1，AB是O的一条弦，且AB=则弦AB所对圆周角为______. 7．已知O中弦AB，AC=BAC∠=度.8．如图，已知ACB∠是O的圆周角，50ACB∠=，则AOB∠=A．40B．50C．80D．1009．如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD等于A．100°B．110°C．120°D．130°第第8题图第9题图第10题图10．中，C、D三等分AB，AD、BC相交于点E，若CE=2，AE=4，则CD= A．3 C．D．411． 如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点H ，若∠D =30°，CH =1cm ，则AB = cm ．12． （2010四川乐山）如图，一圆弧过方格的格点A 、B 、C ，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A 的坐标为（－2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是A. （－1，2）B. （1，－1）C. （－1，1）D. （2，1）13．（2010江西省南昌）如图,⊙O 中，AB 、AC 是弦，O 在∠ABO的内部，α=∠ABO ，β=∠ACO ，θ=∠BOC ，则下列关系中，正确的是A.βαθ+=B. βαθ22+= C ．︒=++180θβα D. ︒=++360θβα 14．（2010广西柳州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC =2cm ，F 是弦BC 的中点，∠ABC =60°．若动点E 以2cm/s 的速度从A 点 出发沿着A →B →A 方向运动，设运动时间为t (s )(0≤t ＜3)， 连结EF ，当t 值为________s 时，△BEF 是直角三角形．15．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC 、OD 分别交AB 于点E 、F ，•且AE =BF ，请你指出AC 与BD 的数量关系，并给予证明．FE OAC BA CBC D四、圆中的计算----计算弧长、扇形面积、圆锥(柱)的侧面积和全面积.1．（2011四川重庆，14，4分）在半径为 4π 的圆中，45°的圆心角所对的弧长等于 ．2．（2011广东广州市，10，3分）如图，AB 切⊙O 于点B ，OA =23，AB =3，弦BC ∥OA ，则劣弧 ⌒BC的弧长为A ．33π B ．32πC ．πD ．32πF ED CB A3．（2011山东滨州，11，3分）如图.在△ABC 中,∠B =90°, ∠A =30°，AC =4cm ，将△ABC 绕顶点C 顺时针方向旋转至△A′B′C ′的位置，且A 、C 、B′三点在同一条直线上,则点A 所经过的最短路线的长为A. B. 8cm C.163cm π D. 83cm π4．（2011江苏盐城，17，3分）如图，已知正方形ABCD 的边长为12cm ，E 为CD 边上一点，DE =5cm ．以点A 为中心，将△ADE 按顺时针方向旋转得△ABF ，则点E 所经过的路径长为 cm ．5． (20011江苏镇江,13,2分)已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20πcm,则此扇形的半径是______cm 面积是_____cm 2.(结果保留π) 6．已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于lA ．11πB ．10πC ．9πD ．8π7．如图，圆锥的底面半径为6cm ，高为8cm ，那么这个圆锥的侧面积是_________2cm ． 8．（2011山东泰安，14 ，3分）一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是 A.5π B. 4π C.3π D.2π9．（2011江苏无锡，4，3分）已知圆柱的底面半径为2cm ，高为5cm ，则圆柱的侧面积是 A ．20 cm 2 B ．20π cm 2 C ．10π cm 2 D ．5π cm 2B′A′CBA（第3题图）86（第7题）10．（ 2011重庆江津， 19，4分）如图,点A 、B 、C 在直径为32的⊙O 上,∠BAC =45º,则图中阴影的面积等于______________,(结果中保留π).11．（2011山东济宁，9，3分）如图，如果从半径为9cm 的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为 A ．6cmB． C ．8cmD．12．（2011山东烟台，12,4分）如图，六边形ABCDEF 是正六边形，曲线FK 1K 2K 3K 4K 5K 6K 7……叫做“正六边形的渐开线”，其中1FK ，12K K ，23K K ，34K K ，45K K ，56K K ，……的圆心依次按点A ，B ，C ，D ，E ，F 循环，其弧长分别记为l 1，l 2，l 3，l 4，l 5，l 6，…….当AB ＝1时，l 2 011等于 A.20112π B.20113π C.20114π D.20116π13．（2011甘肃兰州，18，4分）已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m ，半圆的直径为4m ，则圆心O 所经过的路线长是 m.（结果用π表示）（第11题）剪去第10题图l（第12题图）7五、三种位置关系 （一）直线与圆的位置关系1．已知∠ABC =60°，点O 在∠ABC 的平分线上，OB =5cm ，以O 为圆心3cm 为半径作圆，则⊙O 与BC 的位置关系是________． 2．已知O 的直径AB 与弦AC 的夹角为35°，过C 点 的切线PC 与AB 的延长线交于点P ，则P ∠等于 Ａ．15 Ｂ．20Ｃ．25Ｄ．303．如图，直线PAPB ，是⊙O 的两条切线，A B ，分别为切点，120APB =︒∠，10OP =厘米，则弦AB 的长为A．厘米B ．5厘米C．D厘米 4．如图，⊙I 是ABC △的内切圆，D ，E ，F 为三个切点，若52DEF =∠，则A ∠的度数为 Ａ．76 Ｂ．68Ｃ．52 Ｄ．385．已知圆O 的半径为1，点P 到圆心O 的距离为2，过点P 引圆O 的切线，那么切线长是__________． 6．（2011浙江省嘉兴，22，12分）如图，△ABC 中，以BC 为直径的圆交AB 于点D ，∠ACD =∠ABC ．（1）求证：CA 是圆的切线；（2）若点E 是BC 上一点，已知BE =6，tan ∠ABC =32，tan ∠AEC =35，求圆的直径．（第6题）第4题图AP（第2题）7．（2011广东株洲，22，8分）如图，AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，AC 交⊙O 于点E ，D 为AC 上一点，∠AOD =∠C ． （1）求证：OD ⊥AC ； （2）若AE =8，3tan 4A ，求OD 的长．8．（2011湖南永州，23，10分）如图，AB 是半圆O 的直径，点C 是⊙O 上一点（不与A ，B 重合），连接AC ，BC ，过点O 作OD ∥AC 交BC 于点D ，在OD 的延长线上取一点E ，连接EB ，使∠OEB =∠ABC ．⑴求证：BE 是⊙O 的切线； ⑵若OA =10，BC =16，求BE 的长．9．（2011贵州安顺，26，12分）已知：如图，在△ABC 中，BC =AC ，以BC 为直径的⊙O 与边AB 相交于点D ，DE ⊥AC ，垂足为点E ． ⑴求证：点D 是AB 的中点；⑵判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；⑶若⊙O 的直径为18，cosB =31，求DE 的长．EB（第8题图）第9题图（二）圆与圆的位置关系1．（2011浙江省舟山，5，3分）两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示的几何体，则该几何体的左视图是 （A ）两个外离的圆 （B ）两个外切的圆 （C ）两个相交的圆 （D ）两个内切的圆2．已知两圆的半径分别为3和4，圆心距为8，那么这两个圆的位置关系是 Ａ．内切Ｂ．相交Ｃ．外离Ｄ．外切3．（2011江苏扬州，4,3分）已知相交两圆的半径分别在4和7，则它们的圆心距可能是 A.2 B. 3 C. 6 D. 114．（2011广东茂名，7，3分）如图，⊙1o 、⊙2o 相内切于点A ，其半径分别是8和4，将⊙2o 沿直线1o 2o 平移至两圆相外切时，则点2o 移动的长度是 A ．4 B ．8 C ．16 D ．8 或165．（2011湖北襄阳，9，3分）在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，若⊙A ，⊙B 的半径分别为1cm ，4cm ，则⊙A ，⊙B 的位置关系是 A .外切B .内切C .相交D .外离6．（2011广东肇庆，14，3分）已知两圆的半径分别为1和3，若两圆相切，则两圆的圆心距为 ．7．（2011四川广安，14，3分）已知⊙O 1与⊙O 2的半径1r 、2r 分别是方程2680x x -+=的两实根，若⊙O 1与⊙O 2的圆心距d =5．则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是___ _ 8. （2011江苏南通，18，3分）已知：如图，三个半圆以此相外切，它们的圆心都在x 轴的正半轴上并与直线yx 相切，设半圆C 1、半圆C 2、半圆C 3的半径分别是r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝主视方向（第1题）（三）正多边形和圆1．（2011广东中山，5,3分）正八边形的每个内角为A ．120°B ．135°C ．140°D ．144°2．（2011广东肇庆，9，3分）已知正六边形的边心距为3，则它的周长是A ．6B ．12C ．36D ．3123．一元钱硬币的直径约为24mm ，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过 A ．12 mm B ．123mm C ．6mm D ．63mm4．（2010 山东济南） 如图，正六边形螺帽的边长是2cm ，这个扳手的开口a 的值应是（ ）A ．32 cmB ．3cmC ．332 cm D ．1cm 5． （2010湖南长沙）如图，在⊙O 中，OA ＝AB ,OC ⊥AB ,则下列结论错误的是A ．弦AB 的长等于圆内接正六边形的边长； B ．弦AC 的长等于圆内接正十二边形的边长； C ．AC ⌒＝BC ⌒； D ．30BAC ∠=︒（四）求阴影面积1．如图，在△OAB 中，OA =OB =2, ∠OAE =30°,⊙O 切AB 于E ，且分别交OA 、OB 于C 、D ,面积是____________．2．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CA=CB=2，分别以A 、B 、C 为圆心，以１为半径画圆，则图中阴影部分的面积是____________．3．如图，四边形ABCD 是一个矩形，⊙C 的半径是2cm ，CF=4cm ，EF=2cm,CE ⊥EF 于E,则图中阴影部分的面积为____________六、圆与直角三角形的综合1．（2011江西，21，8分）如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）.⑴求∠BAC的度数；⑵求△ABC面积的最大值.2．（2010浙江金华）如图，AB是⊙O的直径，C 是的中点，CE⊥AB于 E，BD交CE 于点F．（1）求证：CF﹦BF；（2）若CD ﹦6，AC ﹦8，求⊙O的半径和CE的长.3．如图，以正方形ABCD的边AB为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，CG切半圆于E，交AD于F，交BA的延长线于G，GA＝8. （1）求∠G的余弦值；（2）求AE的长.B4．已知30MAN ∠=°，O 为边AN 上一点，以O 为圆心，2为半径作O ，交AN 于D E ，两点，设AD x =．（1）如图（1），当x 取何值时，O 与AM 相切. （2）如图（2），当x 取何值时，O 与AM 相交于B C ，两点，且90BOC ∠=°.5．如图，△ABC 内接于⊙O ，AD ⊥BC ，OE ⊥BC ， OE ＝12BC ．（1）求∠BAC 的度数．（2）将△ACD 沿AC 折叠为△ACF ，将△ABD 沿AB 折叠为△ABG ，延长FC 和GB 相交于点H ．求证：四边形AFHG 是正方形．（3）若BD ＝6，CD ＝4，求AD 的长．2011.5怀柔3．已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别为5cm 、8cm ，且它们的圆心距为8cm ，则⊙O 1与⊙O2(1) ADMENO(2)B CB的位置关系为A ．外离B ．相交C ．相切D ．内含 2011.5怀柔7．如图是一个圆锥形冰淇淋，已知它的母线长是5cm ，高是4cm ， 则这个圆锥形冰淇淋的底面面积是 A ．210cm π B ．29cm π C ．220cm π D ．2cm π大兴2011.511．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 、E 都是⊙O 上的点， 则∠ACE ＋∠BDE ＝ ．海淀2011.511. 如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点H ，若∠D =30°， CH =1cm ，则AB = cm ．昌平2011．47.如图，已知，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上， ∠ABC =50°，则∠D 为A ．50°B ．45°C ．40°D ． 30°朝阳2011.57．一元钱硬币的直径约为24mm ，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过 A ．12 mm B ．123mm C ．6mm D ．63mm朝阳2011.511．如图，△ABC 内接于⊙O ，AC 是⊙O 的直径，∠ACB =40°， 点D 是弧BAC 上一点，则∠D 的度数是______．大兴2011.57．如图3，四边形OABC 为菱形，点A 、B 在以点O 为圆心的弧DE 上，若OA=3，∠1=∠2,则扇形ODE 的面积为A.3π2 B. 2π C.5π2D. 3π 东城2011.5 CD(第11题图)DB OEDCBA O图1图26．已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于A ．11πB ．10πC ．9πD ．8π房山2011.54．如图，AB 为圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ， 联结OC ，若OC=5，AE=2，则CD 等于A ．3B ．4C ．6D ．8门头沟2011.56．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，交⊙O 于点D ．若∠CDB =30°，⊙O CD 的长是A ．32B ．3C ．D ．9 密云2011.56．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，若∠ABC ＝70°， 则∠AOC 的度数等于A ．140°B ．130°C ．120°D ．110°丰台2011.511．如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，且CD ＝l ，则弦AB 的长是 ．门头沟2011.520．已知Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，连结BD ．（1）如图1，若BD ∶CD ＝3∶4，AD ＝3，求⊙O 的直径 AB 的长；（2）如图2，若E 是BC 的中点，连结ED ，请你判断直线ED 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论．密云2011.5 O E DC BABA20. 如图，AB 是O 的直径，30BAC ∠=︒，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N,交BC 的延长线于点E,直线CF 交EN 于点F,且.ECF E ∠=∠（1）证明CF 是O 的切线(2) 设⊙O 的半径为1．且AC=CE,求MO 的长.海淀2011.520. 如图，AB 为⊙O 的直径，AB =4，点C 在⊙O 上， CF ⊥OC ，且CF =BF . （1）证明BF 是⊙O 的切线;（2）设AC 与BF 的延长线交于点M ，若MC =6，求∠MCF 的大小.昌平2011．420．如图所示，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥弦BC 于点F ，且交⊙O 于点E ，若∠AEC =∠ODB ．（1）判断直线BD 和⊙O 的位置关系，并给出证明；（2）当AB =10，BC =8时，求BD 的长．朝阳2011.5 A FC OBMA E CB D OF21．已知：如图，⊙O 的半径OC 垂直弦AB 于点H ，连接BC ，过点A 作弦AE ∥BC ，过点C 作CD ∥BA 交EA 延长线于点D ，延长CO 交AE 于点F ． （1）求证：CD 为⊙O 的切线；（2）若BC ＝5，AB ＝8，求OF 的长．东城2011.520. 已知：AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于M 交⊙O 于点D ，CB ⊥AB 交AD 的延长线于C ． （1）求证：AD ＝DC ； （2）过D 作⊙O 的切线交BC 于E ，若DE ＝2，CE=1，求⊙O 的半径．房山2011.5A20．（本小题满分5分）已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交BC 、AC 于点D 、E ， 联结EB 交OD 于点F ．（1）求证：OD ⊥BE ；（2）若AB=5，求AE 的长．丰台2011.520．在Rt △AFD 中，∠F =90°，点B 、C 分别在AD 、FD 上，以AB 为直径的半圆O 过点C ，联结AC ，将△AFC 沿AC 翻折得△AEC ，且点E 恰好落在直径AB 上.（1）判断：直线FC 与半圆O 的位置关系是_______________；并证明你的结论. （2）若OB =BD =2,求CE 的长．2011.5怀柔19. （本题满分5分）如图，已知AB 为⊙O 的直径,DC 切⊙O 于点C ,过D 点作 DE ⊥AB ,垂足为E ,DE 交AC 于点F . 求证：△DFC 是等腰三角形. 证明：西城2011.521．如图，D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点 B 在⊙O 上，且AB ＝AD ＝AO ． （1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ， △BEF 的面积为8，且cos ∠BF A ＝32， 求△ACF 的面积．。
圆与相似三角形、解直角三角形及二次函数的综合(共14张PPT)
4．(2015· 资阳)如图，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，
且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连结DE.
(1)求证：DE是⊙O的切线； (2)连结AE，若∠C＝45°，求sin∠CAE的值．
解：(1)连结 OD，BD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∵AB 是直径， ∴∠ADB＝90°，∴∠CDB＝90°.∵E 为 BC 的中点，∴DE＝BE，∴ ∠EDB＝∠EBD，∴∠ODB＋∠EDB＝∠OBD＋∠EBD，即∠EDO＝ ∠EBO.∵BC 是以 AB 为直径的⊙O 的切线，∴AB⊥BC，∴∠EBO＝ 90°，∴∠ODE＝90°，∴DE 是⊙O 的切线 (2)过点 E 作 EF⊥CD 于点 F，设 EF＝x，∵∠C＝45°，∴△CEF，△ABC 都是等腰直角三 角形， ∴CF＝EF＝x， ∴BE＝CE＝ 2x， ∴AB＝BC＝2 2x.在 Rt△ABE EF 10 中，AE＝ AB ＋BE ＝ 10x，∴sin∠CAE＝ ＝ AE 10
7．如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， 经过A，B，C三点的圆的圆心M(1，m)恰好在此抛物线的对称轴上， ⊙M的半径为.设⊙M与y轴交于点D，抛物线的顶点为E. (1)求m的值及抛物线的解析式； (2)设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin(α－β)的值； (3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P，A，C为顶点的三角形与 △BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不 存在，请说明理由．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边 交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E. (1)求证：点E是边BC的中点； (2)求证：BC2＝BD· BA； (3)当以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是 等腰直角三角形．
圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)
圆与相似三角形、解直角三角形及二次函数的综合类型一：圆与相似三角形的综合1．如图，BC是⊙A的直径，△DBE的各个顶点均在⊙A上，BF⊥DE于点F.求证：BD·BE＝BC·BF.2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E.(1)求证：点E是边BC的中点；(2)求证：BC2＝BD·BA；(3)当以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．解：(1)连结OD，∵DE为切线，∴∠EDC＋∠ODC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ECD＋∠OCD＝90°.又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠EDC＝∠ECD，∴ED＝EC.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BDE＋∠EDC＝90°，∠B＋∠ECD＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴ED＝EB，∴EB＝EC，即点E为边BC的中点(2)∵AC为直径，∴∠ADC＝∠ACB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴ABBC＝BCBD，∴BC2＝BD•BA(3)当四边形ODEC为正方形时，∠OCD＝45°.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°－∠OCD＝90°－45°＝45°，∴Rt△ABC为等腰直角三角形类型二：圆与解直角三角形的综合3．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，交AC的延长线于点F.(1)求证：直线EF是⊙O的切线；(2)已知CF＝5，cosA＝25，求BE的长．解：(1)连结OD.∵CD＝DB，CO＝OA，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AB，AB＝2OD.∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，即OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线(2)∵OD∥AB，∴∠COD＝∠A，∴cos∠COD＝cosA＝25.在Rt△DOF中，∵∠ODF＝90°，∴cos∠FOD＝ODOF＝25.设⊙O的半径为r，则rr＋5＝25，解得r＝103，∴AB＝2OD＝AC ＝203.在Rt△AEF中，∵∠AEF＝90°，∴cosA＝AEAF＝AE5＋203＝25，∴AE＝143，∴BE ＝AB－AE＝203－143＝24．(2015·资阳)如图，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连结DE.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)连结AE，若∠C＝45°，求sin∠CAE的值．解：(1)连结OD，BD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB ＝90°.∵E为BC的中点，∴DE＝BE，∴∠EDB＝∠EBD，∴∠ODB＋∠EDB＝∠OBD＋∠EBD，即∠EDO＝∠EBO.∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠EBO＝90°，∴∠ODE ＝90°，∴DE是⊙O的切线(2)过点E作EF⊥CD于点F，设EF＝x，∵∠C＝45°，∴△CEF，△ABC都是等腰直角三角形，∴CF＝EF＝x，∴BE＝CE＝2x，∴AB＝BC＝22x.在Rt△ABE中，AE＝AB2＋BE2＝10x，∴sin∠CAE＝EFAE＝10105．如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于点E，过点O作FG⊥AB，交AC于点F，交AB于点H，交⊙O于点G.(1)求证：OF·DE＝OE·2OH；(2)若⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，求阴影部分的面积．(结果保留根号)解：(1)∵BD是直径，∴∠DAB＝90°.∵FG⊥AB，∴DA∥FO，∴△FOE∽△ADE，∴FOAD＝OEDE，即OF•DE＝OE•AD.∵O是BD的中点，DA∥OH，∴AD＝2OH，∴OF•DE＝OE•2OH (2)∵⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，∴OE＝4，ED＝8，OF＝6，∴OH＝6.在Rt△OBH中，OB＝2OH，∴∠OBH＝30°，∴∠BOH＝60°，∴BH＝BO•sin60°＝12×32＝63，∴S阴影＝S扇形GOB－S△OHB＝60×π×122360－12×6×63＝24π－183类型三：圆与二次函数的综合6．如图，在平面直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(1，0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C(0，2)，过点C作圆的切线交x轴于点D.(1)求过A，B，C三点的抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．解：(1)y＝－12x2－32x＋2(2)以AB为直径的圆的圆心坐标为O′(－32，0)，∴O′C＝52，O′O＝32.∵CD为圆O′的切线，∴O′C⊥CD，∴∠O′CO＋∠DCO＝90°.又∵∠CO′O＋∠O′CO＝90°，∴∠CO′O＝∠DCO，∴△O′CO∽△CDO，∴O′OOC＝OCOD，∴322＝2OD，∴OD＝83，∴点D的坐标为(83，0) (3)存在．抛物线的对称轴为直线x＝－32，设满足条件的圆的半径为|r|，则点E的坐标为(－32＋r，r)或F(－32－r，r)，而点E在抛物线y＝－12x2－32x＋2上，∴r＝－12(－32＋|r|)2－32(－32＋|r|)＋2，∴r1＝－1＋292，r2＝－1－292(舍去)．故存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为－1＋2927．如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过A，B，C 三点的圆的圆心M(1，m)恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为.设⊙M与y轴交于点D，抛物线的顶点为E.(1)求m的值及抛物线的解析式；(2)设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin(α－β)的值；(3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意，可知C(0，－3)，－b2a＝1，∴抛物线的解析式为y＝ax2－2ax－3(a＞0)．过点M作MN⊥y轴于点N，连结CM，则MN＝1，CM＝5，∴CN＝2，于是m＝－1.同理，可求得B(3，0)，∴a×32－2a×3－3＝0，解得a＝1.∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3 (2)由(1)得，A(－1，0)，E(1，－4)，D(0，1)，∴△BCE为直角三角形，BC＝32，CE＝2，∴OBOD＝31＝3，BCCE＝322＝3，∴OBOD＝BCCE，即OBBC＝ODCE，∴Rt△BOD∽Rt △BCE，得∠CBE＝∠OBD＝β，因此sin(α－β)＝sin(∠DBC－∠OBD)＝sin∠OBC＝COBC＝22(3)显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点O(0，0)．过点A作AP2⊥AC交y轴的正半轴于点P2，由Rt△CAP2∽Rt△BCE，得P2(0，13)．过点C作CP3⊥AC交x轴的正半轴于点P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3(9，0)．故在坐标轴上存在三个点P1(0，0)，P2(0，13)，P3(9，0)，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似。
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A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A,在近岸取点B, C, D,使 得AB1BC, CD1BC,点E 在BC 上，并且点A, E, D 在同一条直线上.若测得BE=20m, CE=10m,
CD=20m,则河的宽度AB 等于(
A. 60m
B. 40m 已知,如图，E ( - 4, 2) , F ( - 1, EFO 缩小，点E 的对应点的坐标() A. ( - 2, 1) B. (2, - 1)
C.
2, - 1)
) C. 30m D. 20m ・1)以0为位似中心，按比例尺1： 2把左 或(-2, 1) D. ( - 2, 1)或(2, - 1)
6.如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1,点A 、B 、。
都在格点上，则ZAOB 的正弦值是()
A. 3^/10
C.
D
・ V10
10
7.如图，CD 是。
0的直径，弦AB1CD 于E, 是()
(7)
连接BC 、BD,下列结论中不一定正确的
(8)
与解直角三角形
—.选择题(共12小题)
1. 如果两个相似多边形面积的比为1： 5,贝U 它们的相似比为()
A. 1： 25
B. 1： 5
C. 1： 2.5
D. 1：双
2. 如图，圆内接四边形ABCD 的BA, CD 的延长线交于P, AC, BD 交于E,则图中相似 三
角形有()
A. 2对
B. 3对
C. 4对
D. 5对
(2)
(3) (4) (5)
3. 如图，巳知Z\ABC 和Z\ADE 均为等边三角形，D 在BC ±, DE 与AC 相交于点F, AB=9,
BD=3,则CF 等于() B.
1
A. AE=BE
B.
AD=B
D
C. OE=DE
D. ZDBC=90°
8.如图,。
0的直径AB=2,弦AC=1,
A. 30°
B. 45°
9.如图，四边形ABCD内接于。
0,
则ZB的正切值是（）
A. 1
点D在。
上,
C. 60°
AB0
则ZD的度数是（）
D. 75°
CM 切。
于点C, ZBCM=60°,
10.如图如O是RtAABC的内切圆，
为（）
A. 25°
B. 30°
D, E, F分别为切点, ZACB=90\则ZEDF的度数
C. 45°
11.如图,半径为2cm,圆心角为90。
的扇形OAB中,
则图中阴影部分的面积为（）
A. .71 _ 2
B.,丸八2
C. lcm2
（—-1） cm （―+1） cm
2 2
D. 60°
分别以OA、OB为直径作半圆,
D.
兀2
—cm
2
12.正六边形的边心距为化，则该正六边形的边长是（）
A. B. 2 C. 3 D. 2
二.填空题（共5小题）
13.如图，AD是ZXABC的高，AE是△ABC的外接|员|。
0的直径，且AB=4戒,AC=5,
AD=4,
（23）
14.直角坐标系中，点A, B的坐标分别为（6, 0） , （4, - 6） , AA Z B' OAAB。
是以原点0为位似中心的位似图形，且△△' B，。
与△ABO的位似比为1： 2,则B'的坐标为-
B. V3
则。
0的直径AE二
15.在左ABC 中，如果/A、/B 满足|tanA- 1|+ （cosB - 2）2=o,那么NC=
16.如图，在△ABC 中，ZA=30°, ZB=45°, AC=2V1,则AB 的长为.
17.直角三角形的两边长分别为16和12,则此三角形的外接圆半径是.
三.解答题（共4小题）
18.如图，在ZXABC中，ZBAC的角平分线AD交BC于E,交Z\ABC的外接圆。
0于D. (1)求证：△ABEs/^ADC；
（2）请连接BD, OB, OC, 0D,旦0D交BC于点F,若点F恰好是0D的中点.求证:
四边形OBDC是菱形.
19.理规定，在羲皇大道秦州至麦积段上行驶的车辆，限速60 T•米/时.己知测速站点M距羲皇大道I （直线）的距离MN为30米（如图所示）.现有一辆汽车由秦州向麦积方向匀速行驶,测得此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，ZAMN=60°, ZBMN=45°.（1）计算AB的长度.
（2）通过计算判断此车是否超速.
20.〃马航事件〃的发生引起了我国政府的高度重视，迅速派出了舰船和飞机到相关海域进行搜寻.如图，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机观测得在点A俯角为30。
方向的F 点处有疑似飞机残骸的物体（该物体视为静止）.为了便于观察，飞机继续向前飞行了800米到达B点，此时测得点F在点B俯角为45。
的方向上，请你计算当飞机飞临F点的正上方点C时（点A、B、C在同一直线上），竖直高度CF约为多少米？
（结果保留整数，参考数值：双刁.7）
21 .如图，AB是。
的直径，点F, C是。
上两点，旦AF=FC=CB,连接AC, AF,过
点C作CD±AF交AF延氏线于点D,垂足为D.
（1）求证：CD是。
的切线；
（2）若C0=2^3,求。
0的半径.。