椭圆中以原点为顶点的三角形面积
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题目一：y kx m =+与椭圆221a b +=交于A ，B 两点，则
22222222
OA OB
OAB b ab
k k k a b m S a ∆⋅=-⇔+=⇔=
提示：记忆方式利用直线与椭圆相切的公式特点记忆。
222222
y kx m
b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，
22222222()2()0
b k a x kma x a m b +++-=，
22
2
2
2
2
4()0a b k a b m ∆=+->，2112222kma x x k a b -+=+，22211222
()
a m
b x x k a b
-⋅=+， 222
12121222212()()OA OB
y y b b b k k kx m kx m x x a x x a a
⋅=-⇔⋅=-⇔+⋅+=-
2222222
222
121222222222
()2()()0()0b b a m b kma k x x km x x m k km m a a k a b k a b
--++++=⇒+++=++， 化简得：2222
2k a b m +=。
122OAB
ab S AB d ∆=⋅===。 题目二：y kx m =+与椭圆22
221x y a b
+=交于A ，B 两点，则
2
OAB ab S ∆≤
，当且仅当2222
2k a b m +=时等号成立。
简证：222222121222OAB
S AB d k a b k a b ∆=⋅=⋅++ 222222221()22
ab k a b m m ab
k a b +-+≤⋅=
+，
m =，即2
2
2
2
2k a b m +=时均值不等式中的等号成立。 解法2：设(cos ,sin ),(cos ,sin )A a b B a b ααββ，则12211
2
OAB S x y x y ∆=
- 1cos sin sin cos sin()222
ab ab ab ab αβαβαβ=
-=-≤。 注意：椭圆参数方程中参数的几何意义不是极角。
题目三：y kx m =+与椭圆221a b
+=交于A ，B 两点，则
222222
2222(1)2OAB k a b a b ab OA OB m d S a b a b ∆+⊥⇔=⇔=⇔≤≤++ 222222
y kx m
b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，
22222222()2()0
b k a x kma x a m b +++-=，
22
2
2
2
2
4()0a b k a b m ∆=+->，2112222kma x x k a b -+=+，22211222()
a m
b x x k a b -⋅=+，
1212()()OA OB kx m kx m x x ⊥⇔+⋅+=-
2222
2
2
2
21212222222
()2(1)()0(1)0a m b kma k x x km x x m k km m k a b k a b
--++++=⇒+++=++， 化简得：2222
22
(1)k a b m a b
+=+。 22222222442244444222
2
2
222222222244422222
4()(1)()4()4(1)()()2a b k a b m k k a b a b k a b a b k a b AB k k a b k a b a b k a b a b k a b +-+++++=+⋅=⋅=⋅
++++++222222
22222
22444422222
22
2422
2()4()4(1)(1)22a b k a b a b a b a b b k a b a b k a b a b k a a b k
--=+⋅=+
⋅≤+++++++， 当且仅当b k a =时均值不等式中的等号成立。当b k a
=时222
22
4a b AB a b ≥+
11222OAB ab S AB d ∆=
⋅≤=
。当且仅当b k a =时面积取得最大值。
2222
2
OAB a b ab
S a b ∆≤≤+，当0k =或k 不存在时，面积取最小值。 解法2：极坐标法：22
221x y a b
+=的极坐标方程为22222cos sin 1a b ααρ+=， 2
2
222
cos sin 1A
a b ααρ+=，22
2222222cos()sin()sin cos 122B a b a b ππ
ααααρ+++=+=， 两边相加得：22
22
22222211111121OAB A B OAB
a b S a b OA OB S a b OA OB ρρ∆∆+=+=+≥=⇒≥⋅+，