2010年考研数学二试题及答案
2010考研数学二真题及答案
(Ⅱ) 求方程组 Ax=b 的通解.
(23)设正交矩阵使得 为对角矩阵，若Q的第1
例为
一、填空题
参考解答
(长度单位为m，质量单位为 kg，油的密度为常数 ρkg/m3)
(19)设函数u=(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式
，确定a，b的值，使等式在变换
(20)计算二重积分
(21)设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且 。证明：存在
f'(ξ)+f'(η)=ξ2+η2
(22)设
则当 l=12cm，w=5cm 时，它的对角线增加的速率为．
(6)设 A，B 为 3 阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A-1+B|=2，则|A+B-1|=．
二、选择题(本题共 8 小题，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后括号内．)
(7)函数 的无穷间断点数为
(A) 仅与 m 值有关． (B) 仅与 n 值有关．
(C) 与 m，n 值都有关． (D) 与 m，n 值都无关．
(11) 设函数z=z(x，y)由方程 确定，其中F为可微函数，且
(A) x (B) z． (C) -x． (D)-z． (12)
三、解答题(本题共 9 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
2010考研数学二真题及答案
一、填空题(本题共 6 小题，请将答案写在题中横线上．)
(1)三阶常系数线性齐次微分方程 的通解为 y=．
(2)曲线 的渐近线方程为．
(3)函数 y=ln(1-2x)在 x=0 处的 n 阶导数 ．
数学二2010年考研真题及答案解析
0
2
16.
解：(1)当0 t 1, ln(1 t) t, ln t [ln(1 t)]n t n ln t ,
(1)
5， 2
(1)
6，已知
d2y dx 2
3 4(1 t)
, 求函数
(t)。
18.一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆。现
3
b
将贮油罐平放，当油罐中油面高度为 2 时，计算油的质量。
kg / m3
（长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为
）
19.
设函数u f (x, y)具有二阶连续偏导数，且满足等式4 2u 12 2u 5 2u 0. x2 xy y2
12. 2(e 1)
13.3cm/s 14. 3
三解答题
15.
解：f (x)的定义域(,),由于f (x) x2 x2 et2 dt x2 tet2 dt,
1
1
f (x) 2x x2 et2 dt,所以驻点为x 0,1. 1
列表讨论如下：
x
(,1) -1
C与 m, n 取值都有关 D与 m, n 取值都无关
5.设函数
z
z(
x,
y)
由方程
F
(
y x
,
z x
)
0
确定,其中
F
为可微函数,且
F2
0,
则
x z y z =
x y
Ax
Bz
C x
n n
6.(4) lim
n
=
x i1 j1 (n i)(n2 j2 )
2010年考研数学二真题及答案
2010年考研数学二真题及答案一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) ．曲线33cos sin x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩上对应于点6t π=点处的法线方程是＿＿＿＿＿＿. (2) ．设1tan1sinxy ex=⋅,则y '=＿＿＿＿＿＿.(3) ．1=⎰＿＿＿＿＿＿.(4) ．下列两个积分的大小关系是：312x e dx ---⎰＿＿＿＿＿＿ 312x e dx --⎰.(5) ．设函数1, ||1()0, ||1x f x x ≤⎧=⎨>⎩,则函数[()]f f x =＿＿＿＿＿＿.二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) ．已知2lim 01x x ax b x →∞⎛⎫--= ⎪+⎝⎭,其中,a b是常数,则( )(A) ．1,1a b == (B) ．1,1a b =-= (C) ．1,1a b ==- (D) ．1,1a b =-=- (2) ．设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续,则()d f x dx ⎡⎤⎣⎦⎰等于( )(A) ．()f x (B) ．()f x dx (C) ．()f x C + (D) ．()f x dx '(3) ．已知函数()f x 具有任意阶导数,且2()[()]f x f x '=,则当n 为大于2的正整数时,()f x的n 阶导数()()n f x 是 ( ) (A) ．1![()]n n f x + (B) ．1[()]n n f x + (C) ．2[()]n f x (D) ．2![()]n n f x (4) ．设()f x 是连续函数,且()()xe xF x f t dt -=⎰,则()F x '等于( )(A) ．()()x x e f e f x ---- (B) ．()()x x e f e f x ---+ (C) ．()()x x e f e f x --- (D) ．()()x x e f e f x --+(5) ．设(), 0()(0), 0f x x F x x f x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,其中()f x 在0x =处可导,(0)0,(0)0f f '≠=,则0x =是()F x 的 ( ) (A) ．连续点 (B) ．第一类间断点(C) ．第二类间断点 (D) ．连续点或间断点不能由此确定三、(每小题5分,满分25分.) (1) ．已知lim()9xx x a x a→∞+=-,求常数a . (2) ．求由方程2()ln()y x x y x y -=--所确定的函数()y y x =的微分dy . (3) ．求曲线21(0)1y x x =>+的拐点. (4) ．计算2ln (1)xdx x -⎰.(5) ．求微分方程ln (ln )0x xdy y x dx +-=满足条件1x e y ==的特解. 四、(本题满分9分)在椭圆22221x y a b+=的第一象限部分上求一点P ,使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形面积为最小(其中0,0a b >>).五、(本题满分9分)证明：当0x >,有不等式1arctan 2x x π+>. 六、(本题满分9分)设1ln ()1xt f x dt t =+⎰,其中0x >,求1()()f x f x+.七、(本题满分9分)过点(1,0)P 作抛物线y =,该切线与上述抛物线及x 轴围成一平面图形,求此平面图形绕x 轴旋转一周所围成旋转体的体积.八、(本题满分9分)求微分方程44ax y y y e '''++=之通解,其中a 为实数.答案一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】：18y x -= (2)【答案】：11tan tan 22211111secsin cos x x e e x x x x x ⎛⎫--⎛⎫⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (3)【答案】：415(4)【答案】：> (5)【答案】：1二、选择题(每小题3分,满分15分.) (1)【答案】：C (2)【答案】：B (3)【答案】：A (4)【答案】：A (5)【答案】：B三、(每小题5分,满分25分.)(1)此题考查重要极限：1lim(1).xx e x→∞+=(1)lim()lim (1)xx x x x ax a x a x a x →∞→∞++=--()(1)lim (1)xa a x x a aa x a x⋅→∞⋅--+=-29a a a e e e -===, 得2ln 9a =ln 3a ⇒=. 或由 2222lim()lim 1x a xa a x ax a x x x a a e x a x a -⋅⋅-→∞→∞+⎛⎫=+= ⎪--⎝⎭,同理可得ln 3a =. (2)方程两边求微分,得2dy dx -ln()()()ln()x y d x y x y d x y =-⋅-+-⋅-()ln()()dx dydx dy x y x y x y-=--+--, 整理得 2ln()3ln()x y dy dx x y +-=+-.(3)对分式求导数,有公式2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以2222322(31),(1)(1)x x y y x x --'''==++, 令0y ''=得x =,y ''在此变号,即是x <时,0;y ''<x >时,0;y ''>故拐点为3)4. 本题利用第一个判别定理就足够判定所求点是否是拐点了. (4)由22(1)1(1)(1)(1)dx d x d x x x --==---有 2ln 1ln ()(1)1x dx xd x x=--⎰⎰ln 11()11x dx x x x -+--⎰分部法ln ln |1|1x xx C x=+-+-, C 为任意常数. 注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验. (5)所给方程为一阶线性非齐次方程,其标准形式为11ln y y x x x'+=. 由于 ln |ln |dxx xe x ⎰=,两边乘以ln x 得ln (ln )x y x x'=. 积分得 ln ln xy x dx C x =+⎰, 通解为 ln 2ln x Cy x=+. 代入初始条件1x e y ==可得12C =,所求特解为ln 122ln x y x =+.四、(本题满分9分)对椭圆方程进行微分,有220xdx ydy a b +=22dy b xdx a y⇒=-.过曲线上已知点00(,)x y 的切线方程为00()y y k x x -=-,当0()y x '存在时,0()k y x '=.所以点(,)x y 处的切线方程为22()b xY y X x a y-=--,化简得到221xX yY a b +=.分别令0X =与0Y =,得切线在,x y 上的截距分别为22,a b x y；又由椭圆的面积计算公式ab π,其中,a b 为半长轴和半短轴,故所求面积为2211,(0,)24a b S ab x a x y π=⋅-∈.,a b 为常数,欲使得S 的最小,则应使得xy 最大；从而问题化为求u xy =(y 由椭圆方程所确定)当(0,)x a ∈时的最大值点.令,0u xy u xy y ''==+=,得y y x '=,再对22221x y a b+=两边求导得220x y y a b '+=,联合可得x =(唯一驻点),即在此点u xy =取得最大,S 取得最小值. 由于0lim ()lim ()x a x S x S x +→-→==+∞,所以()S x 在(0,)a 上存在最小值,x =必为最小点,所求P点为.五、(本题满分9分)证明不等式的一般方法是将表达式移到不等号的一边,令其为()f x ,另一边剩下0,再在给定区间内讨论()f x 的单调性即可证明原不等式.令1()arctan 2f x x x π=+-,则2211()0 (0)1f x x x x'=-<>+.因此,()f x 在 (0,)+∞上单调减；又有lim arctan 2x x π→+∞=,所以11lim ()lim ()lim 022x x x f x x x ππ→+∞→+∞→+∞=+-==, 故0x <<+∞时,()lim ()0x f x f x →+∞>=,所以原不等式得证.六、(本题满分9分)方法1：111ln ()1xtf dt xt =+⎰,由换元积分1t u =,21dt du u -=,1:1t x →⇒:1u x →； 所以 11111ln ln ()1(1)t uxx t uf dt du xtu u ===++⎰⎰.由区间相同的积分式的可加性,有1()()f x f x+=2111ln ln ln 1ln 1(1)2xx x t t t dt dt dt x t t t t +==++⎰⎰⎰.方法2：令1()()()F x f x f x=+,则21lnln 1ln ().111x xx F x x x x x-'=+⋅=++由牛顿-莱布尼兹公式,有1ln ()(1)xx F x F dx x -=⎰21ln 2x =, 而11ln (1)0x F dx x ==⎰,故211()()()ln 2F x f x f x x =+=. 七、(本题满分9分)先求得切线方程：对抛物线方程求导数,得y '=,过曲线上已知点00(,)x y 的切线方程为00()y y k x x -=-,当0'()y x 存在时,0'()k y x =所以点0(x 处的切线方程为0)y x x =-,此切线过点(1,0)P ,所以把点(1,0)P 代入切线方程得03x =,再03x =代入抛物线方程得01y =,1(3).2y '==由此,与抛物线相切于(3,1)斜率为12的切线方程为21x y -=.旋转体是由曲线(),y f x =直线21x y -=与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的,求旋转体体积V ：方法1：曲线表成y 是x 的函数,V 是两个旋转体的体积之差,套用已有公式得3322121(1)4V x dx dx ππ=--⎰⎰333212111(1)(2)4326x x x πππ=⋅---=.方法2：曲线表成x 是y 的函数,并作水平分割,相应于[],y y dy +小横条的体积微元,如上图所示,22(2)(21),dV y y y dy π⎡⎤=+-+⎣⎦于是,旋转体体积 1322(2)V y y y dy π=-+⎰432112120432y y y π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭6π=.八、(本题满分9分)所给方程为常系数二阶线性非齐次方程,特征方程2440r r ++=的根为122r r ==-,原方程右端axx ee α=中的a α=.当2a α=≠-时,可设非齐次方程的特解axY Ae =,代入方程可得21(2)A a =+, 当2a α==-时,可设非齐次方程的特解2axY x Ae =,代入方程可得12A =, 所以通解为 2122() (2)(2)axxe y c c x ea a -=++≠-+, 22212() (2)2x xx e y c c x ea --=++=-.。
2010考研数学二真题及答案解析
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.) (1) 函数()f x =( )(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. (2) 设12,y y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解,若常数λμ，使12y y λμ+是该方程的解,12y y λμ-是该方程对应的齐次方程的解,则( )(A) 11,22λμ==. (B) 11,22λμ=-=-. (C) 21,33λμ==. (D) 22,33λμ==.(3) 曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切,则a = ( )(A) 4e. (B) 3e. (C) 2e. (D) e. (4) 设,m n 是正整数,则反常积分⎰的收敛性 ( )(A) 仅与m 的取值有关. (B) 仅与n 的取值有关.(C) 与,m n 取值都有关. (D) 与,m n 取值都无关. (5)设函数(,)z z x y =,由方程(,)0y zF x x=确定,其中F 为可微函数,且20F '≠,则z zxy x y∂∂+=∂∂( ) (A) x . (B) z . (C) x -. (D) z -.(6) ()()2211limn nn i j nn i n j →∞===++∑∑ ( ) (A)()()120111xdx dy x y ++⎰⎰. (B) ()()100111x dx dy x y ++⎰⎰. (C)()()11111dx dy x y ++⎰⎰. (D) ()1120111dx dy x y ++⎰⎰. (7) 设向量组12I:,,,r ααα 可由向量组12II:,,,s βββ 线性表示,下列命题正确的是( )(A) 若向量组I 线性无关,则r s ≤. (B) 若向量组I 线性相关,则r s >.(C) 若向量组II 线性无关,则r s ≤. (D) 若向量组II 线性相关,则r s >. (8) 设A 为4阶实对称矩阵,且2A A O +=,若A 的秩为3,则A 相似于 ( )(A) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B) 1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (C) 1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (D) 1110-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 二、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.) (9) 3阶常系数线性齐次微分方程220y y y y ''''''-+-=的通解为y = .(10) 曲线3221x y x =+的渐近线方程为 .(11) 函数()ln 120y x x =-=在处的n 阶导数()()0n y= .(12) 当0θπ≤≤时,对数螺线r e θ=的弧长为 .(13) 已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加,宽w 以3cm/s 的速率增加.则当cm 12l = ,cm 5w =时,它的对角线增加的速率为 .(14)设,A B 为3阶矩阵,且132,2A B A B -==+=，,则1A B -+= . 三、解答题(15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分11分)求函数2221()()x t f x x t e d -=-⎰的单调区间与极值.(16)(本题满分10分)( I ) 比较()1ln ln 1nt t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与10ln nt t dt ⎰()1,2,n = 的大小,说明理由；( II ) 记()1ln ln 1nn u t t dt =+⎡⎤⎣⎦⎰()1,2,n = ,求极限lim n n u →∞. (17)(本题满分10分)设函数()y f x =由参数方程22,(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定,其中()t ψ具有2阶导数,且5(1)(1) 6.2ψψ'==，已知223,4(1)d y dx t =+求函数()t ψ.(18)(本题满分10分)一个高为l 的柱体形贮油罐,底面是长轴为2a ,短轴为2b 的椭圆.现将贮油罐平放,当油罐中油面高度为32b 时(如图),计算油的质量.(长度单位为m,质量单位为kg,油的密度为常数ρkg/m 3)(19) (本题满分11分)设函数(,)u f x y =具有二阶连续偏导数,且满足等式2222241250u u ux x y y ∂∂∂++=∂∂∂∂,确定a ,b 的值,使等式在变换,x ay x by ξη=+=+下化简为20uξη∂=∂∂.(20)(本题满分10分) 计算二重积分2 sin DI r θ=⎰⎰,其中(),|0s e c ,04D rr πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭. (21) (本题满分10分)设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续,在开区间()0,1内可导,且(0)0f =,1(1)3f =,证明：存在1(0,)2ξ∈,1(,1)2η∈,使得22()()=.f f ξηξη''++(22)(本题满分11分)设110111a A b λλλ ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= - 0= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 1 ⎝⎭⎝⎭，,已知线性方程组Ax b =存在两个不同的解．( I ) 求λ,a ;( II ) 求方程组Ax b =的通解. (23)(本题满分11 分)设0141340A a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,正交矩阵Q 使得TQ A Q 为对角矩阵,若Q 的第1列为2,1)T ,求,a Q .2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案一、选择题(1)【答案】 (B).【解析】因为()f x =0,1x =±,又因为0lim ()lim x x x f x →→→=,其中00lim 1,lim 1x x +-→→===-,所以0x =为跳跃间断点.显然1lim ()2x f x →==,所以1x =为连续点.而1lim ()limx x f x →-→-==∞,所以1x =-为无穷间断点,故答案选择B.(2)【答案】 (A)．【解析】因12y y λμ-是()0y P x y '+=的解,故()()()12120y y P x y y λμλμ'-+-=,所以()1122()0y P x y y p x y λμ⎡⎤⎡⎤''+-+=⎣⎦⎣⎦,而由已知 ()()()()1122,y P x y q x y P x y q x ''+=+=,所以()()0q x λμ-=, ① 又由于一阶次微分方程()()y p x y q x '+=是非齐的,由此可知()0q x ≠,所以0λμ-=．由于12y y λμ+是非齐次微分方程()()y P x y q x '+=的解,所以()()()()1212y y P x y y q x λμλμ'+++=,整理得 ()()()1122y P x y y P x y q x λμ⎡⎤⎡⎤''+++=⎣⎦⎣⎦,即 ()()()q x q x λμ+=,由()0q x ≠可知1λμ+=, ②由①②求解得12λμ==,故应选(A)． (3)【答案】 (C).【解析】因为曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切,所以在切点处两个曲线的斜率相同,所以2a x x =,即(0)x x =>.又因为两个曲线在切点的坐标是相同的,所以在2y x =上,当x =2a y =；在ln y a x =上,x =, ln 22a a y a ==.所以ln 222a a a= .从而解得2a e =.故答案选择(C). (4)【答案】 (D).【解析】0x =与1x =都是瑕点.应分成dx dx =+⎰,用比较判别法的极限形式,对于,由于1210[ln (1lim 11mnx n mx xx+→--=.显然,当1201n m<-<,则该反常积分收敛. 当120n m -≤,1210[ln (1)]lim mx nx x+→-存在,此时实际上不是反常积分,故收敛.故不论,m n 是什么正整数,总收敛.对于,取01δ<<,不论,m n 是什么正整数,1211211[ln (1)]lim lim ln (1)(1)01(1)mnmx x x xx x x δδ--→→-=--=-,所以收敛,故选(D).(5) 【答案】 (B).【解析】122212122221x z y z y zF F F F F yF zF zx x x x x F F xF F x⎛⎫⎛⎫''''-+-⋅+⋅ ⎪ ⎪'''+∂⎝⎭⎝⎭=-=-==∂''''⋅, 112211y z F F F z x y F F F x'⋅''∂=-=-=-∂'''⋅, 1212222yF zF yF F z z z x y z x y F F F ''''+⋅∂∂+=-==∂∂'''． (6) 【答案】 (D). 【解析】()()222211111()nnnn i j i j n nn i n j n i n j =====++++∑∑∑∑22111()()n n j i n n j n i ===++∑∑ 12220211111lim lim ,11()nn n n j j n dy j n jn y n→∞→∞====+++∑∑⎰ 1011111lim lim ,11()nn n n i i n dx i n i n x n→∞→∞====+++∑∑⎰()()2222111111lim lim()()n nn nn n i j j i n n j n i n i n j →∞→∞=====++++∑∑∑∑ 221(lim )nn j n n j→∞==+∑1(lim )nn i nn i →∞=+∑ 1120011()()11dx dy x y =++⎰⎰()()11200111dx dy x y =++⎰⎰. (7) 【答案】 (A)．【解析】由于向量组I 能由向量组II 线性表示,所以(I)(II)r r ≤,即11(,,)(,,)r s r r s ααββ≤≤若向量组I 线性无关,则1(,,)r r r αα= ,所以11(,,)(,,)r s r r r s ααββ=≤≤ ,即r s ≤,选(A).(8) 【答案】 (D).【解析】：设λ为A 的特征值,由于2A A O +=,所以20λλ+=,即(1)0λλ+=,这样A 的特征值只能为-1或0. 由于A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即A Λ ,()()3r A r =Λ=,因此,1110-⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭,即1110A -⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭. 二、填空题(9)【答案】2123cos sin x y C e C x C x =++.【解析】该常系数线性齐次微分方程的特征方程为 32220λλλ-+-=,因式分解得()()()()2222210λλλλλ-+-=-+=,解得特征根为2,i λλ==±,所以通解为 2123cos sin x y C e C x C x =++. (10) 【答案】2y x =.【解析】因为3221lim 2x x x x→∞+=,所以函数存在斜渐近线,又因为 333222222lim 2lim 011x x x x x xx x x →∞→∞---==++,所以斜渐近线方程为2y x =. (11)【答案】()21!nn -⋅-.【解析】由高阶导数公式可知()ln (1)n x +1(1)!(1)(1)n nn x --=-+, 所以 ()()()1(1)!(1)!ln12(1)22(12)(12)n n n n n nn n x x x ----=-⋅-=---, 即()(1)!(0)22(1)!(120)n nn nn yn -=-=---⋅. (12))1e π-.【解析】因为 0θπ≤≤,所以对数螺线r e θ=的极坐标弧长公式为πθ⎰=0e d πθθ⎰)1e π-.(13)【答案】3cm/s .【解析】设(),()l x t w y t ==,由题意知,在0t t =时刻00()12,()5x t y t ==,且0()2,x t '=0()3y t '=,设该对角线长为()S t ,则 ()S t =,所以()S t '=所以0()3S t '===.(14)【答案】3.【解析】由于1111()()A A B B E AB B B A ----+=+=+,所以11111()A B A A B B A A B B -----+=+=+因为2B =,所以1112BB--==,因此 11113232A B A A B B ---+=+=⨯⨯=. 三、解答题(15)【解析】因为22222222111()()x x x t t t f x x t e dt xe dt te dt ---=-=-⎰⎰⎰,所以2224423311()2222x x t x x t f x x e dt x ex ex e dt----'=+-=⎰⎰,令()0f x '=,则0,1x x ==±.又22421()24x t x f x e dt x e --''=+⎰,则21(0)20t f e dt -''=<⎰,所以2211111(0)(0)(1)22t t f t e dt e e ---=-=-=-⎰是极大值.而1(1)40f e -''±=>,所以(1)0f ±=为极小值.又因为当1x ≥时,()0f x '>；01x ≤<时,()0f x '<；10x -≤<时,()0f x '>；1x <-时,()0f x '<,所以()f x 的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞- ,()f x 的单调递增区间为(1,0)(1,)-+∞ .(16) 【解析】 (I)当01x <<时0ln(1)x x <+<,故[]ln(1)nnt t +<,所以[]ln ln(1)ln nn t t t t +<,则[]11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt +<⎰⎰()1,2,n = .(II)()111101ln ln ln 1n n n t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰ ()211n =+,故由()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰,根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+,所以lim 0n n u →∞=.(17)【解析】根据题意得(),22dy t dy dt dxdx t dtψ'==+()()()()()()222222222232241t d t t t t t d y dt dx dx t t dtψψψ'⎛⎫ ⎪'''+-+⎝⎭+===++ 即()()()()222261t t t t ψψ'''+-=+,整理有()()()()2131t t t t ψψ'''+-=+,解()()()()()31151,162t t t t ψψψψ'⎧''-=+⎪⎪+⎨⎪'==⎪⎩,令()y t ψ'=,即()1311y y t t '-=++. 所以()()()11113113dt dt t t y e t e dt C t t C -++⎛⎫⎰⎰=++=++ ⎪⎝⎭⎰,1t >-.因为()()116y ψ'==,所以0C =,故()31y t t =+,即()()31t t t ψ'=+,故()()2313312t t t dt t t C ψ=+=++⎰． 又由()512ψ=,所以10C =,故()233,(1)2t t t t ψ=+>-.(18)【解析】油罐放平,截面如图建立坐标系之后,边界椭圆的方程为：22221x y a b+= 阴影部分的面积2222bbba S xdyb --==⎰⎰ 令sin ,y b t y b ==-时;22b t y π=-=时6t π=. 266221122cos 2(cos 2)(223S ab tdt ab t dt ab πππππ--==+=⎰⎰所以油的质量2(3m abl πρ=.(19)【解析】由复合函数链式法则得u u u u ux x y x ξηξξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂∂∂, u u u u ua b y y y ξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂, 22222222u u u u u u u x x x x x xξηηηξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 222222,u u uξηξη∂∂∂=++∂∂∂∂ 2222222u u u u u u u x y y y y y yξηηηξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 22222(),u u ua b a b ξηξη∂∂∂=+++∂∂∂∂ 22222222()()u u u u u u ua b a a b b a a y y ξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 22222222,u u u a b ab ξηξη∂∂∂=++∂∂∂∂ 故222224125u u ux x y y∂∂∂++∂∂∂∂[]2222222(5124)(5124)12()1080,u u u a a b b a b ab ξηξη∂∂∂=+++++++++=∂∂∂∂所以 22512405124012()1080a a b b a b ab ⎧++=⎪++=⎨⎪+++≠ ⎩,则25a =-或2-,25b =-或2-.又因为当(,)a b 为22(2,2),(,)55----时方程(3)不满足,所以当(,)a b 为2(,2)5-- ,2(2,)5--满足题意.(20)【解析】2sin DI rθ=⎰⎰sin Dr rdrdθ=⎰⎰D=⎰⎰100xdx =⎰⎰()312201113x dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰ ()311220011133dx x dx =--⎰⎰20113cos 43316d πθθπ=-=-⎰.(21)【解析】令()()313F x f x x =-,对于()F x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上利用拉格朗日中值定理,得存在10,,2ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()()11022F F F ξ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭．对于()F x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上利用拉格朗日中值定理,得存在1,1,2η⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()()11122F F F η⎛⎫'-= ⎪⎝⎭,两式相加得 ()()22f f ξηξη''+=+.所以存在110,,,122ξη⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,使()()22f f ξηξη''+=+. (22) 【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法1：( I )已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,对增广矩阵进行初等行变换,得111110101010111111a A a λλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111010101010110011a a λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭当1λ=时,11111111000100010000000A a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,此时,()()r A r A ≠,故Ax b =无解(舍去)．当1λ=-时,111102010002A a -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+⎝⎭,由于()()3r A r A =<,所以2a =-,故1λ=- ,2a =-. 方法2：已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,因此0A =,即211010(1)(1)011A λλλλλ=-=-+=,知1λ=或-1.当1λ=时,()1()2r A r A =≠=,此时,Ax b =无解,因此1λ=-.由()()r A r A =,得2a =-.( II ) 对增广矩阵做初等行变换31012111211121020102010102111100000000A ⎛⎫- ⎪----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=-→-→-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可知原方程组等价为1323212x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,写成向量的形式,即123332110210x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.因此Ax b =的通解为32110210x k ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.(23)【解析】由于0141340A a a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,存在正交矩阵Q ,使得TQ AQ 为对角阵,且Q 的第一T,故A对应于1λ的特征向量为12,1)Tξ=.根据特征值和特征向量的定义,有1Aλ=,即10141113224011aaλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由此可得11,2aλ=-=.故014131410A-⎛⎫⎪=--⎪⎪-⎝⎭.由14131(4)(2)(5)041E Aλλλλλλλ--=-=+--=-,可得A的特征值为1232,4,5λλλ==-=.由2()0E A xλ-=,即1234141710414xxx--⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,可解得对应于24λ=-的线性无关的特征向量为2(1,0,1)Tξ=-.由3()0E A xλ-=,即1235141210415xxx-⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,可解得对应于35λ=的特征向量为3(1,1,1)Tξ=-.由于A为实对称矩阵,123,,ξξξ为对应于不同特征值的特征向量,所以123,,ξξξ相互正交,只需单位化：312123123,1,0,1),1,1)T T Tξξξηηηξξξ====-==-,取()123,,0Qηηη⎫⎪⎪==⎪⎪⎭,则245TQ AQ⎛⎫⎪=Λ=-⎪⎪⎝⎭.。
2010年考研数学真题及答案
考研数学二真题（2010年）一填空题(8×4=32分)2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1~8小题，每小题8分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
（1）函数3()sin x x f x nx-=与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则（）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）无穷多个（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则（） （A ）11,6a b ==-（B ）11,6a b == （C ）11,6a b =-=-（D ）11,6a b =-= （3）设函数(,)z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点（0，0）（） （A ）不是(,)f x y 的连续点 （B ）不是(,)f x y 的极值点 （C ）是(,)f x y 的极大值点（D ）是(,)f x y 的极小值点（4）设函数(,)f x y 连续，则222411(,)(,)yxydx f x y dy dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰=（）（A ）2411(,)ydx f x y dy -⎰⎰（B ）241(,)xxdx f x y dy -⎰⎰（C ）2411(,)ydx f x y dx -⎰⎰（D ）221(,)ydx f x y dx ⎰⎰（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点（1，1）的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间（1，2）内（） （A ）有极值点，无零点 （B ）无极值点，有零点（C ）有极值点，有零点（D ）无极值点，无零点（6）设函数()y f x =在区间[-1,3]上的图形为则函数0()()xF x f t dt =⎰为（）（7）设Ａ、B 均为2阶矩阵，,A B **分别为A 、B 的伴随矩阵。
2010【考研数二】真题及解析
2010年全国硕士研究生入学统一考试一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.)函数f (X )=X 2-x /1 +丄 的无穷间断点的个数为() 2 X 2 -1 V x 2y' + p (x )y = q (x )的两个特解，若常数几，卩使+ 4y 2是该方程的解，几y 1 -A y 2是该方程对应的齐次方程的解 ，则()2 y = X 与曲线y = a In x(a 工0)相切,则a =()x ——+ y ——=(r Jr e x cyn n⑹惨三严¥(n +i X n 2 + j 2 )(1)(A) 0.(B) 1.(C) 2.(D) 3.设y i , y 2是一阶线性非齐次微分方程 (A)(C)2、2 Uh =— ,4 _12一3(B) (D)1 22 3.、 1 u人=一一，卩=一 2' 2 U人=—屮曲线 (A) 4e.(B)3e.(C) 2e.(D)e.设m,n 是正整数，则反常积分 0ln(i x h 的收敛性()(A)仅与m 的取值有关. (C)与m,n 取值都有关. (B) (D)仅与n 的取值有关. 与m,n 取值都无关.设函数Z = z(x y),由方程 F (—，—)=0确定,其中F为可微函数，且F ； H 0 ,则(A) x .(B)(C)(D)-z.1 x(A)4dxl(1+x X 1 + y 2 dy. (B)c ----------- dy. 0(1+x )(1 + y )1 1(C)少乔右汽(D)1 1dxf ------- --- dy. '0(1 + x )(1 + y 2 )⑺设向量组1:%02川2r 可由向量组II :际P2」ll ,P s 线性表示,下列命题正确的是() (A)若向量组I 线性无关，则r <s .(B)若向量组I 线性相关，则r > S .(C)若向量组II 线性无关，则r < S .(D)阶常系数线性齐次微分方程 y"'-2y ” + y ‘-2y = 0的通解为y =函数y =1 n (1 -2x )在X = 0处的n 阶导数y (n*0 )=已知一个长方形的长 I 以2 cm/s 的速率增加，宽w 以3 cm/s 的速率增加.则当 l =12cm ,w =5cm 时，它的对角线增加的速率为(14)设 A,B 为 3 阶矩阵，且 A =3, B =2, Ad + B =2,则 A + B ，三、解答题(15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸.指定位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分11分)X 22求函数f(X)= T (X 2-t)e d 的单调区间与极值. (16)(本题满分10分)1n1比较 J 0|ln t |[ln (1+t )] dt 与 /0t n|l ntidt (n =1,2,IH )的大小，说明理由;1L「n=Iln t Iln (1 +t )] dt (n =1,2,川),求极限 lim U n .L 」 n —(17)(本题满分10分)X = 2t +t 2(8)设A 为4阶实对称矩阵,且宀 A=O ,若A 的秩为3,则A相似于()(A)(C)二、填空题指定位置上•)若向量组II 线性相关,则r >s .(9) 3 (10)曲线y = 4^的渐近线方程为x 2中1(11)(12) 当0 <£ <兀时，对数螺线r =e 日的弧长为(13) (II )记 U n设函数y=f(x)由参数方程«(t>T)所确定，其中屮(t)具有2阶导数，且l y T t)设函数f(x)在闭区间0,1】上连续，在开区间(0,1)内可导，且f (0) = 0 , 忙,证明：存在 y (0,-)^^(1-,1),使得 f ® + f (H )=E 2+n 2. 11分)(22) (本题满分 (f-设A 」0I u(I )求 A , a; (II ) 求方程组 (23) (本题满分11-1-11^(1, 2，T)求 a,Q .b = 11 (1丿,已知线性方程组 Ax = b 存在两个不同的解.Ax = b 的通解.,正交矩阵Q 使得Q TAQ 为对角矩阵，若Q 的第1列为2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案5 d 2y 屮(1) = 5，屮・(1) = 6.已知^4 2 dx(18) (本题满分10分)一个高为I 的柱体形贮油罐3油罐中油面高度为 -b 时(如图)，计算油的质量.(长度单位为 m,质量单位为 常数 P kg/m 3)(19) (本题满分11分)宀2设函数u = f(x, y)具有二阶连续偏导数 ，且满足等式4££ + 12三丄excx^y小2匸=x +ay,n =x+by 下化简为 左u=0.I = JJ r 2 sin &J 1 -r 2cos2 日 drd^D(21)(本题满分10分)3 =一 ,求函数屮(t).4(1+t) ,底面是长轴为2a ,短轴为2b 的椭圆.现将贮油罐平放，当kg,油的密度为定a , b 的值,使等式在变换 (20)(本题满分 10分)一、选择题 (1)【答案】(B).【解析】因为f(X)= V^J i +A 有间断点X = 0, ±1,又因为X —1 V Xxm f (x )巴(x ?斜任?也x F?,其中 凹£』=1，凹-=x j i +4r = -1,所以X = 0为跳跃间断点.iZ Q显然lim f(X)= -s i N =,所以X =i 为连续点.f (x) = lim —x(x —1—』1 =比,所以x = -1为无穷间断点，故答案选择f qx + iXx-DV x 2B. ⑵【答案】几y i — 4丫2是y ' + P(x )y = 0的解,故()必一卩丫2) +P (x 善几旳一U y ? )=0,所以而由已知 y,+ P (x )% =q (x ), $2’+ P (x )y 2 =q (x ),所以" — 4)q (x )=0,又由于一阶次微分方程y '+p (x )尸q x 是非齐的，由此可知q (x )H 0,所以由于A y i +旳2是非齐次微分方程 y' + P (X )y = q (x )的解，所以(几y i + A y2 ) +P (x X 几y i + A y 2 ) = q (x ),(几 + 卩)q (x ) = q (x ),由 q (x )H 0可知几 + 4 =1,⑶【答案】(C).【解析】因为曲线y = x 与曲线y = aln x(a 工0)相切，所以在切点处两个曲线的斜率相同而 x im i 【解析】因 A y i +P (x )y i-P y 2 + P(x)y 2 =0,整理得书 + P (x )yi ]*yz' + P (x )y2]=q (x ),由①②求解得A =卩 1二,故应选(A).,f y y UrF /丄XF2(-召yF ；+zF2'F 2xF 2所以2x=a ,即x =l a(x>0).又因为两个曲线在切点的坐标是相同的，所以在y = x 2上,x V 2当 x =J 2时 y =2 ；在 y=alnx 上，x =J |时，y =alnJ I ^"!1n^.a a a所以一=—In —.从而解得a = 2e .故答案选择(C).2 2 2⑷【答案】(D).【解析】X = 0与X = 1都是瑕点.应分成近B dx 二*忙E x +作九,」0仮'0如 •旁 阪1[ln 2(1-x)]m1 m /ln 2{1 _x\用比较判别法的极限形式,对于12显然，当0< — -一 <1,则该反常积分收敛n m1 …ndx ,由于 lim --- x-1=1.1当 1二◎lim+[ln2(1—x)]mn m J 0 十1 xn存在，此时訓n /x )'0唳dx 实际上不是反常积分,故收故不论 m,n 是什么正整数「却 n 2(1 - 7阪X )dx 总收敛.对于 / 如n 2(1-X )dx ,取0v6v 1,不论m,n 是什么正整数，1xnlim ---- x —1(1-X *丄= lim ln 2(1-x)m(1-x)5=0—所以；~x )dx 收敛，故选(D).⑸ 【答案】(B).巴骑壬^^戶啤三百）11 11 , 1 +x⑺ 【答案】（A ）.【解析】由于向量组I 能由向量组II 线性表示，所以r （l ） < r （II ）,即r （%,川耳）"（氏川丨，P s ）兰S若向量组I 线性无关，则r （%川,％） =「，所以r =r （%，川,％）"沖1,川，氏）“，即r <s ,选（A ）.（8）【答案】（D ）.【解析】：设几为A 的特征值，由于A 2+ A =0,所以几2+几=0,即（几+1）几=0,这样A 的 特征值只能为-1或0.由于A 为实对称矩阵，故A 可相似对角化，即A L A ，⑹ 【答案】 (D).【解析】zCZ F yF1x F Z F2'F2'+ ?yF1PcyyF ；F 2'F 2'F 2'j ^n +i X -2 + j 2)7 n +i=(2 -^)d £ y n + j 7 n +i= lim -Zn 71 +(丄)2nWy 2dy，'01+x1 ——dx, n呢三叶」宀2严翌2；?n 1) +i二、填空题2x(9)【答案】y =C 1e + C 2COSX +C 3Sinx .(11)【答案】-2n(n-1).r(A) =r(A) =3,因此，A =【解析】该常系数线性齐次微分方程的特征方程为几3 —2几2+几一2 = 0 ,因式分解得解得特征根为 2 2Z (几一2)+(几一2) = (A -2X A +1)=0,几=2, A = ±i,所以通解为y = Ge*+ C 2 cosx +C 3 si nx .(10)【答案】y =2x •【解析】因为 2x 3lim=2,所以函数存在斜渐近线,又因为X Y xlim 竺-2x=lim 2x ^2x ^2xT^x 2十 1 y ：=0 ,所以斜渐近线方程为 y = 2x .【解析】由高阶导数公式可知 In 5)(1 +x) =(-1)2 (n -1)! (1 + x)n所以 ln (n)(1 -2x ) = (—1)n -4(1-2x)n3-2)n_2n 害 (1—2X)即 y (n)(0) = -2n(n -1)! (1—2n= -2n(n -1)!.(12)【答案】【解析】因为 0 < 0 <兀，所以对数螺线r = R 的极坐标弧长公式为(13)【答案】 e%日= 72(/-1).3 cm/s .【解析】设I = x(t),w = y(t),由题意知,在 t =t 0 时刻 x(t 0)=12, y(t 0)=5,且 x'(t 0)= 2, 丫化)=3,设该对角线长为S(t),则S(t)= J x 2(t) + y 2(t),所以111(14)【答案】3.【解析】由于 A(A 」+B)B-1=(E +AB)B 4=B 」+A,所以三、解答题X =0, X = ±1.上1 上f(0)珥(0—t)e 」dte 」是极大值.而f 7±1) =4e'》0,所以f(±1)=0为极小值.又因为当 x>1 时，f'(x)>0 ； 0<xv1 时，f'(x)v0 ； —1<xc0 时，f'(x)>0 ；X V —1时，f'(x)c0,所以f (x)的单调递减区间为(亠，-1)U(0,1), f(x)的单调递增区间为(―1,0)U(1,址).(16)【解析】(I)当 0vxc1 时 0cln(1+x)vx ,故〔In(1 + 0『<£,所以lnt | Sn(1+t)]n <|lnt|t n ,Jj in t |〔In(1 +t)Tdt V Jo|ln t|t ndt (n =1,2,川).11 11 r 1(II) Jj l n t|t ndt=-Ll ntt ndt=-—J J n td(t n) = __ ,故由所以s (t)= x(t)x'(t) + y(t)y 〔t)Jx 2(t) + y 2(t)S ，(to)= X(t 0)x(t 0)+ y(t 0)y'(t 0) 1j2+53_ 3.Jx 2(t 0)+y 2(t 0)J 122 +52因为B =2,所以B~*A +B 」1 1=A(A +B)BA+B~*=A A 」+BB 」1=3x 2x — =3.2 (15)【解析】因为 x2 上f(X)= [ (X -t)e dt =x 2x 2X 2.2x 2+1 e 」dt - ( te 」dt ,所以 f (x) =2x (2e'dt+2x 3e* -2x 3e*x 2= 2xt e'dt ,令 f'(x)=0,则又 f "(X)=2 1 e^'lt +4x 2e 」 4,则 f "(0) =2[<0,所以n +1(n +1)2 2即屮"(t )(2t +2) —弹’(t )=6(t +1 ),整理有屮"(t 壯+1 )—屮’(t )=3(t +1 ),解""占网+1)令y=口)，即八+汁3心). 屮(1) = |,『(1) = 6EQ dt f_r-L dt)所以 y =e Z I j 3(1+t )e Z dt +C = (1+t X 3t +C ), t >-1.因为 y (1)=屮’(1)= 6 ,V3所以 C =0,故 y =3t(t +1 ),即屮 ‘(t )=3t (t +1 ),3故屮(t )=J 3t (t +1 d l^-t ^t ^C 1 • 53 又由屮(1 )=-,所以 G=0,故屮(t )=：t 2 +t 3,(t A —1).(18)【解析】油罐放平 b令 y =bsint, y = -b 时t =; y =-时t 2 2——11 2 S = 2ab J}cos 2tdt = 2ab J?(— +一 cos2t)dt =(一 兀""2 ~2 2 2 32 占 所以油的质量m -f 2兀+®)abl P .3 4根据夹逼定理得0 < lim u nn _^ (17)【解析】 根据题意得10 C Un < )0 In tt ndt =2，(n +1)dy dx < lim ——1_2 y (n +1) =0,所以 lim u n =0. 5dy卫=—dx — 2t +2 ' dt屮’(t ) d 2y dx 2「屮屮八dt dx dt屮"(t X 2t +2 )—刖’(t )2(2t +2 ) 2t +23 -4(1+t )2,截面如图建立坐标系之后 ,边界椭圆的方程为:阴影部分的面积2 2 2.2—1abSP 2xdy 寻+爲4(19)【解析】由复合函数链式法则得C U C U cE + C U 丹 总U + C U <5x 戌次 c y c x c 巴別Sa 2+12a+4=0*5b 2+12b+4=012(a + b) + 10ab +8^02 2 2 2则a=——或—2, b =-—或-2.又因为当(a,b)为(―2, —2),(——,——)时方程⑶不满足，5 5 5 52 2所以当(a,b)为(-一，—2) , (-2,-—)满足题意.5 5(20)【解析】l =JJr 2sin 0j 1-r 2cos2&drd8D=JJ r sin H J l T 2 (cos 2 日-sin 2日)叩drd 甘D+ ------- = 色£+4c 2u cX 2/ … c、cU cUc 2Uc 2Uc 2U+ -----cX 誤決c xC U cxdycU + cU ' c 2u兰+色+旦 c y 贰和-2弓+(a +b)C 2U空亠i acy*宀22 ^2 2/C U ,. C U 、，— C U , c U 刃厂 a(a ir b 离)+b(a —+a-2Q2C U C U M 2 +b 2— +2ab —, 戌2 刃2洪即L 2- 2K, c U —c OJ故 4一 +12 ------ -2cy= (5a 2+12a +4) " u 肚2+ (5 b 2 -2r 2+12b +4)+ 12(a +b) +10ab +8】£；^ = 0,1 11 1 1___ _ _____ _____ J— --- —1 Z'J ' / D \J- 1；JC= 1 I ■ 1所以-JJ y J 1 - x 2 + y 2 dxdyD1 号 C C 1 3=—-[2cos40d0 = — 一一兀.3 '03 16对于F (X )在〔0,11上利用拉格朗日中值定理，得存L 2」+ y 2 dy在E 亡I0,1｝使得「2丿陀〕严。
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案答案速查： 一、选择题三、解答题（15）()f x 的单调递减区间为(,1)[0,1)-∞-U ；()f x 的单调递增区间为[1,0)[1,)-+∞U .()f x 的极小值为0；极大值为11(1)2e --.（16）(I)略；(II)0 （17）()233(1)2t t t t ψ=+>- （18）23ablπρ⎛⎝⎭（19）(,)a b 为22(,2),(2,)55---- （20）13316π- （21）略（22）(I) 1λ=-，2a =-； (II) 32110210x k ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，k 为任意常数（23）1a =-；0Q ⎫⎪⎪=⎪⎪⎭一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1) 函数()f x = ( ) (A) 0. (B)1. (C) 2. (D)3.【答案 B【考点】函数间断点的类型 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：函数的间断点分为第一类间断点和第二类间断点。
第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。
第二类间断点为无穷间断点。
在本题中，()f x = 0,1x =±0lim ()lim x x x f x →→→==，0lim 1,lim 1x x +-→→===- 所以0x =为第一类间断点1lim ()2x f x →==，但函数()f x 在1x =处没有定义，所以1x =可去间断点。
1lim ()limx x f x →-→-==∞，所以1x =-为无穷间断点.所以选择B.(2) 设12,y y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解，若常数λμ，使12y y λμ+是该方程的解，12y y λμ-是该方程对应的齐次方程的解，则 ( ) (A)11,22λμ==. (B) 11,22λμ=-=-.(C) 21,33λμ==. (D) 22,33λμ==.【答案】A【考点】线性微分方程解的性质及结构 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：线性微分方程的解的性质即叠加原理，线性微分方程通解的结构为齐次方程的通解加上特解。
2010年考研数学二真题及答案解析
.
(11) 函数 y ln 1 2x在x 0 处的 n 阶导数 yn 0 =
.
(12) 当 0 时,对数螺线 r e 的弧长为
.
(13)
已知一个长方形的长 l 以 2 cm/s 的速率增加,宽 w 以 3 cm/s 的速率增加.则当
l 12cm , w 5cm 时,它的对角线增加的速率为
y
(t)
(t
1) 所确定,其中 (t) 具有
2
阶导数,且
数学（二）试题 第 2 页 （共 13 页）
(1) 5 ， (1) 6. 已知 d 2 y 3 , 求函数 (t) .
2
dx2 4(1 t)
(18)(本题满分 10 分)
一个高为 l 的柱体形贮油罐,底面是长轴为 2a ,短轴为 2b 的椭圆.现将贮油罐平放,当 油罐中油面高度为 3 b 时(如图),计算油的质量.(长度单位为 m,质量单位为 kg,油的密度为
(C) 2.
(D) 3.
(2) 设 y1, y2 是一阶线性非齐次微分方程 y p x y q x 的两个特解,若常数 ， 使
y1 y2 是该方程的解, y1 y2 是该方程对应的齐次方程的解,则( )
(A) 1 , 1 . 22
(C) 2 , 1 . 33
(B) 1 , 1 .
.
(14)设 A, B 为 3 阶矩阵,且 A 3，B 2, A1 B 2 ,则 A B1 =
.
三、解答题(15~23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.)
(15) (本题满分 11 分)
求函数 f (x) x2 (x2 t)et2 d 的单调区间与极值. 1
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案一、选择题(1)【答案】 (B).【解析】因为()f x =0,1x =±,又因为0lim ()lim x x x f x →→→==其中00lim 1,lim 1x x +-→→==-,所以0x =为跳跃间断点.显然1lim ()2x f x →==,所以1x =为连续点.而1lim ()limx x f x →-→-==∞,所以1x =-为无穷间断点,故答案选择B.(2)【答案】 (A)．【解析】因12y y λμ-是()0y P x y '+=的解,故()()()12120y y P x y y λμλμ'-+-=,所以()1122()0y P x y y p x y λμ⎡⎤⎡⎤''+-+=⎣⎦⎣⎦,而由已知 ()()()()1122,y P x y q x y P x y q x ''+=+=,所以()()0q x λμ-=, ① 又由于一阶次微分方程()()y p x y q x '+=是非齐的,由此可知()0q x ≠,所以0λμ-=． 由于12y y λμ+是非齐次微分方程()()y P x y q x '+=的解,所以()()()()1212y y P x y y q x λμλμ'+++=,整理得 ()()()1122y P x y y P x y q x λμ⎡⎤⎡⎤''+++=⎣⎦⎣⎦,即 ()()()q x q x λμ+=,由()0q x ≠可知1λμ+=, ② 由①②求解得12λμ==,故应选(A)． (3)【答案】 (C).【解析】因为曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切,所以在切点处两个曲线的斜率相同,所以2ax x =,即(0)x x =>.又因为两个曲线在切点的坐标是相同的,所以在2y x =上,当x =时2ay =；在ln y a x =上,x =, ln 22a a y a ==. 所以ln 222a a a= .从而解得2a e =.故答案选择(C). (4)【答案】 (D).【解析】0x =与1x =都是瑕点.应分成dx =+⎰,用比较判别法的极限形式,对于,由于121012[ln (1)]lim 11mnx n mx xx+→--=.显然,当1201n m<-<,则该反常积分收敛. 当120n m -≤,1210[ln (1)]lim mx nx x+→-存在,此时实际上不是反常积分,故收敛. 故不论,m n 是什么正整数,总收敛.对于,取01δ<<,不论,m n 是什么正整数,1211211[ln (1)]lim lim ln (1)(1)01(1)mnmx x x xx x x δ--→→-=--=-,所以收敛,故选(D).(5) 【答案】 (B).【解析】122212122221x z y z y z F F F F F yF zF z x x x x x F F xF F x⎛⎫⎛⎫''''-+-⋅+⋅ ⎪ ⎪'''+∂⎝⎭⎝⎭=-=-==∂''''⋅, 112211y z F F F z x y F F F x'⋅''∂=-=-=-∂'''⋅, 1212222yF zF yF F z z z x y z x y F F F ''''+⋅∂∂+=-==∂∂'''． (6) 【答案】 (D). 【解析】()()222211111()nnnn i j i j n nn i n j n i n j =====++++∑∑∑∑22111()()n n j i n n j n i ===++∑∑ 12220211111lim lim ,11()nn n n j j n dy j n jn y n→∞→∞====+++∑∑⎰ 1011111lim lim ,11()nn n n i i n dx i n i n x n→∞→∞====+++∑∑⎰()()2222111111lim lim()()n nn nn n i j j i n n j n i n i n j →∞→∞=====++++∑∑∑∑ 221(lim )nn j n n j→∞==+∑1(lim )nn i nn i →∞=+∑ 1120011()()11dx dy x y =++⎰⎰()11200111dx dy x y =++⎰⎰. (7) 【答案】 (A)．【解析】由于向量组I 能由向量组II 线性表示,所以(I)(II)r r ≤,即11(,,)(,,)r s r r s ααββ≤≤ 若向量组I 线性无关,则1(,,)r r r αα=,所以11(,,)(,,)r s r r r s ααββ=≤≤,即r s ≤,选(A).(8) 【答案】 (D).【解析】：设λ为A 的特征值,由于2A A O +=,所以20λλ+=,即(1)0λλ+=,这样A 的特征值只能为-1或0. 由于A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即AΛ, ()()3r A r =Λ=,因此,1110-⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭,即1110A -⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭. 二、填空题(9)【答案】2123cos sin x y C e C x C x =++.【解析】该常系数线性齐次微分方程的特征方程为 32220λλλ-+-=,因式分解得()()()()2222210λλλλλ-+-=-+=,解得特征根为2,i λλ==±,所以通解为 2123cos sin x y C e C x C x =++. (10) 【答案】2y x =.【解析】因为3221lim 2x x x x→∞+=,所以函数存在斜渐近线,又因为 333222222lim 2lim 011x x x x x xx x x →∞→∞---==++,所以斜渐近线方程为2y x =. (11)【答案】()21!n n -⋅-.【解析】由高阶导数公式可知()ln (1)n x +1(1)!(1)(1)n nn x --=-+, 所以 ()()()1(1)!(1)!ln 12(1)22(12)(12)n n n n n nn n x x x ----=-⋅-=---, 即()(1)!(0)22(1)!(120)n nn nn y n -=-=---⋅. (12))1e π-.【解析】因为 0θπ≤≤,所以对数螺线r e θ=的极坐标弧长公式为πθ⎰=0e d πθθ⋅⎰)1e π-.(13)【答案】3cm/s .【解析】设(),()l x t w y t ==,由题意知,在0t t =时刻00()12,()5x t y t ==,且0()2,x t '= 0()3y t '=,设该对角线长为()S t ,则()S t =所以()S t '=所以0()3S t '''==.(14)【答案】3.【解析】由于1111()()A A B B E AB B B A ----+=+=+,所以11111()A B A A B B A A B B -----+=+=+因为2B =,所以1112B B--==,因此 11113232A B A A B B ---+=+=⨯⨯=. 三、解答题(15)【解析】因为22222222111()()x x x t t t f x x t e dt xe dt te dt ---=-=-⎰⎰⎰,所以2224423311()2222x x t x x t f x x e dt x ex ex e dt ----'=+-=⎰⎰,令()0f x '=,则0,1x x ==±.又22421()24x t x f x e dt x e--''=+⎰,则21(0)20t f e dt -''=<⎰,所以2211111(0)(0)(1)22t t f t e dt e e ---=-=-=-⎰是极大值.而1(1)40f e -''±=>,所以(1)0f ±=为极小值.又因为当1x ≥时,()0f x '>；01x ≤<时,()0f x '<；10x -≤<时,()0f x '>；1x <-时,()0f x '<,所以()f x 的单调递减区间为(,1)(0,-∞-,()f x 的单调递增区间为(1,0)(1,-+∞.(16) 【解析】 (I)当01x <<时0ln(1)x x <+<,故[]ln(1)nn t t +<,所以[]ln ln(1)ln nn t t t t +<,则 []11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt +<⎰⎰()1,2,n =.(II)()111101ln ln ln 1n n n t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰ ()211n =+,故由 ()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰,根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+,所以lim 0n n u →∞=.(17)【解析】根据题意得(),22dy t dy dt dxdx t dtψ'==+()()()()()()222222222232241t d t t t t t d y dt dx dx t t dtψψψ'⎛⎫ ⎪'''+-+⎝⎭+===++ 即()()()()222261t t t t ψψ'''+-=+,整理有()()()()2131t t t t ψψ'''+-=+,解()()()()()31151,162t t t t ψψψψ'⎧''-=+⎪⎪+⎨⎪'==⎪⎩,令()y t ψ'=,即()1311y y t t '-=++. 所以()()()11113113dt dt t t y e t e dt C t t C -++⎛⎫⎰⎰=++=++ ⎪⎝⎭⎰,1t >-.因为()()116y ψ'==,所以0C =,故()31y t t =+,即()()31t t t ψ'=+,故()()2313312t t t dt t t C ψ=+=++⎰．又由()512ψ=,所以10C =,故()233,(1)2t t t t ψ=+>-.(18)【解析】油罐放平,截面如图建立坐标系之后,边界椭圆的方程为：22221x y a b+= 阴影部分的面积2222bb ba S xdy b--==⎰⎰ 令sin ,y b t y b ==-时;22b t y π=-=时6t π=.266221122cos 2(cos 2)(2234S ab tdt ab t dt ab πππππ--==+=+⎰⎰所以油的质量2(3m abl πρ=.(19)【解析】由复合函数链式法则得u u u u ux x y x ξηξξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂∂∂, u u u u ua b y y y ξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂, 22222222u u u u u u u x x x x x xξηηηξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 222222,u u uξηξη∂∂∂=++∂∂∂∂ 2222222u u u u u u u x y y y y y yξηηηξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 22222(),u u ua b a b ξηξη∂∂∂=+++∂∂∂∂22222222()()u u u u u u ua b a a b b a a y y ξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 22222222,u u u a b ab ξηξη∂∂∂=++∂∂∂∂ 故222224125u u ux x y y∂∂∂++∂∂∂∂[]2222222(5124)(5124)12()1080,u u u a a b b a b ab ξηξη∂∂∂=+++++++++=∂∂∂∂所以 22512405124012()1080a a b b a b ab ⎧++= ⎪++=⎨⎪+++≠ ⎩,则25a =-或2-,25b =-或2-.又因为当(,)a b 为22(2,2),(,)55----时方程(3)不满足,所以当(,)a b 为2(,2)5-- ,2(2,)5--满足题意.(20)【解析】2sin DI r θ=⎰⎰sin Dr rdrd θ=⎰⎰D=⎰⎰100xdx =⎰⎰()312201113x dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰ ()311220011133dx x dx =--⎰⎰20113cos 43316d πθθπ=-=-⎰.(21)【解析】令()()313F x f x x =-,对于()F x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上利用拉格朗日中值定理,得存在10,,2ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()()11022F F F ξ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭．对于()F x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上利用拉格朗日中值定理,得存在1,1,2η⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()()11122F F F η⎛⎫'-= ⎪⎝⎭,两式相加得 ()()22f f ξηξη''+=+.所以存在110,,,122ξη⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,使()()22f f ξηξη''+=+.(22) 【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法1：( I )已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,对增广矩阵进行初等行变换,得111110101010111111a A a λλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22111111010101010110011a a λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭ 当1λ=时,11111111000100010000000A a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,此时,()()r A r A ≠,故Ax b =无解(舍去)．当1λ=-时,111102010002A a -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+⎝⎭,由于()()3r A r A =<,所以2a =-,故1λ=- ,2a =-. 方法2：已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,因此0A =,即211010(1)(1)011A λλλλλ=-=-+=,知1λ=或-1.当1λ=时,()1()2r A r A =≠=,此时,Ax b =无解,因此1λ=-.由()()r A r A =,得2a =-. ( II ) 对增广矩阵做初等行变换31012111211121020102010102111100000000A ⎛⎫- ⎪----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可知原方程组等价为1323212x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,写成向量的形式,即123332110210x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.因此Ax b =的通解为32110210x k ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.(23)【解析】由于0141340A aa-⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭,存在正交矩阵Q,使得TQ AQ为对角阵,且Q的第一列为2,1)T,故A对应于1λ的特征向量为12,1)Tξ=.根据特征值和特征向量的定义,有1Aλ=,即10141113224011aaλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由此可得11,2aλ=-=.故014131410A-⎛⎫⎪=--⎪⎪-⎝⎭.由14131(4)(2)(5)041E Aλλλλλλλ--=-=+--=-,可得A的特征值为1232,4,5λλλ==-=.由2()0E A xλ-=,即1234141710414xxx--⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,可解得对应于24λ=-的线性无关的特征向量为2(1,0,1)Tξ=-.由3()0E A xλ-=,即1235141210415xxx-⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,可解得对应于35λ=的特征向量为3(1,1,1)Tξ=-.由于A为实对称矩阵,123,,ξξξ为对应于不同特征值的特征向量,所以123,,ξξξ相互正交,只需单位化：312123123,1,0,1),1,1)T T Tξξξηηηξξξ====-==-,乐考无忧，为您的考研之路保驾护航！ ;免费考研辅导视频取()123,,0Q ηηη⎫⎪⎪==⎪⎪⎭,则245T Q AQ ⎛⎫ ⎪=Λ=- ⎪ ⎪⎝⎭.。
2010考研数学二真题及答案解析
(20)(本题满分 10 分)
∫∫ 计 算 二 重 积 = 分 I r2 sinθ 1− r2 cos 2θ drdθ D
=D
( r ,θ
)
|
0
≤
r
≤
secθ , 0
≤θ
≤
π 4
.
,其中
(21) (本题满分 10 分)
设函数 f (x) 在闭区间 [0,1] 上连续,在开区间 (0,1) 内可导,且 f (0) = 0 , f (1) = 1 ,证
= n2 + j2 )( i 1
1) n+i
∑ ∑ = = lni→m∞ jn1= n2 +n j2 lni= →m∞ 1n jn1 1+ (1 j )2
n
∫1 1
0 1+ y2 dy,
∑ ∑ ∫ = lim n n li= m 1 n 1
= n→∞ i 1= n + i n→∞ n i 1 1 + ( i )
.
(12) 当 0 ≤ θ ≤ π 时,对数螺线 r = eθ 的弧长为
.
(13) 已知一个长方形的长 l 以 2 cm/s 的速率增加,宽 w 以 3 cm/s 的速率增加.则当
l = 12cm , w = 5cm 时,它的对角线增加的速率为
.
(14)设 A, B 为 3 阶矩阵,且 A= 3，B= 2, A−1 + B= 2 ,则 A + B−1 =
x ∂z + y ∂z = yF1′ + zF2′ − yF1′ = F2′ ⋅ z = z ．
∂x ∂y
F2′
F2′ F2′
∑ ∑ ( ) ∑ ∑ ∑ ∑ ( ) n n
2010年考研真题数学二试题及参考答案
2010年考研真题：数学二试题及参考答案2010年考研数学二试题及参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.选出下列不等式的解集： (A) x^2 - 3x + 2 > 0 (B) x^2 - 3x + 2 ≥ 0(C) x^2 - 3x + 2 < 0 (D) x^2 - 3x + 2 ≤ 0 正确答案：(A)2.设函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1, 则 f(x) 的单调增区间为： (A) (-∞, 1) (B) (1, +∞) (C) (-∞, 1]∪[2, +∞) (D) (1, 2) 正确答案：(C) 3.若 a, b, c 均为正整数，且 a + b + c = 11，则 a, b, c 的取值个数为： (A) 45 (B) 55 (C) 66 (D) 77 正确答案：(B)4.已知函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1，则 f(x) 有重根的条件是： (A)f(1) = 0 (B) f'(1) = 0 (C) f''(1) = 0 (D) f'''(1) = 0 正确答案：(C) 5.设 a, b, c 均为正整数，且 a + b + c = 12，则 a, b, c 的不等式约束条件个数为： (A) 55 (B) 66 (C) 77 (D) 78 正确答案：(D)6.设函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1, 则 f(x) 的极值点个数为： (A) 0(B) 1 (C) 2 (D) 3 正确答案：(A)7.设函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1, 则 f(x) 在(0, +∞) 上的最大值为： (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 正确答案：(D)8.设函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1, 则 f(x) 在 (-∞, 0) 上的最小值为： (A) -2 (B) -3 (C) -4 (D) -5 正确答案：(A)9.设函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1, 则 f(x) 的单调减区间为： (A) (0,1) (B) (1, +∞) (C) (-∞, 1]∪[2, +∞) (D) (1, 2) 正确答案：(B) 10.设函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1, 则 f(x) 在(0, +∞) 上的最小值为： (A) -2 (B) -3 (C) -4 (D) -5 正确答案：(C)11.设函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1, 则 f(x) 的零点个数为： (A) 0 (B)1 (C)2 (D)3 正确答案：(C)12.设函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1, 则 f(x) 在 (-∞, 0) 上的最大值为： (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 正确答案：(B)二、解答题（本大题共7小题，每小题10分，共70分）13.已知函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1，求 f(x) 的极值点。
2010考研数学二答案真题解析
1= 2 ⋅ 2 + 5⋅3 122 + 52
3.
(14)【答案】3.
【解析】由于 A( A−1 + B)B−1 = (E + AB)B−1 = B−1 + A ,所以
A + B−1= A( A−1 + B)B−1= A A−1 + B B−1
因为 B = 2 ,所以 B= −1
B=−1
1
,因此
2
A + B−1 = A A−1 + B B−1 = 3× 2 × 1 = 3 . 2
梦想不会辜负每一个努力的人
2010 年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题参考答案
一、选择题 (1)【答案】 (B).
【解析】因= 为 f (x)
x2 − x x2 −1
1+
1 x2
有间断点 x=
0, ±1 ,又因为
lim f (=x) lim x(x −1) 1+ =1 lim x 1+ 1 ,
x→0
所以 2x = a= ,即 x a (x > 0) .又因为两个曲线在切点的坐标是相同的,所以在 y = x2 上,
x
2
当 x = a 时 y = a ；在 y = a ln x 上, x = a = 时, y a= ln a a ln a .
2
2
2
222
所= 以 a a ln a .从而解得 a = 2e .故答案选择(C). 222
F2′
⋅
1 x
F2′
xF2′
∂z
= − Fy′
F1′ = −
⋅
1 x
= − F1′
2010年考研数学(二)真题及参考答案
2010考研数学二真题及答案一选择题1.的无穷间断点的个数为函数222111)(xx x x x f +--= A0 B1 C2 D32.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的两个特解，若常数μλ,使21y y μλ+是该方程的解，21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解，则A 21,21==μλB 21,21-=-=μλC 31,32==μλD 32,32==μλ3.=≠==a a x a y x y 相切，则与曲线曲线)0(ln 2 A4e B3e C2e De4.设,m n 为正整数,则反常积分210ln (1)mnx dx x-⎰的收敛性A 仅与m 取值有关B 仅与n 取值有关C 与,m n 取值都有关D 与,m n 取值都无关5.设函数(,)z z x y =由方程(,)0y zF x x=确定,其中F 为可微函数,且20,F '≠则z z xy x y∂∂+∂∂= A xB zC x -D z -6.(4)2211lim ()()nnx i j nn i n j →∞==++∑∑= A1201(1)(1)xdx dy x y ++⎰⎰B 1001(1)(1)x dx dy x y ++⎰⎰ C1101(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰D112001(1)(1)dx dyx y ++⎰⎰7.设向量组线性表示，，，：，可由向量组s I βββααα⋯⋯21r 21II ,,:，下列命题正确的是：A 若向量组I 线性无关，则s r ≤B 若向量组I 线性相关，则r>sC 若向量组II 线性无关，则s r ≤D 若向量组II 线性相关，则r>s 8.设A 为4阶对称矩阵,且20,+=A A 若A 的秩为3,则A 相似于A 1110⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭C 1110⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ D 1110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ 二填空题9.3阶常系数线性齐次微分方程022=-'+''-'''y y y y 的通解y=__________10.曲线1223+=x x y 的渐近线方程为_______________11.函数__________)0(0)21ln()(==-=n y n x x y 阶导数处的在 12.___________0的弧长为时，对数螺线当θπθe r =≤≤13.已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加，宽w 以3cm/s 的速率增加，则当l=12cm,w=5cm 时，它的对角线增加的速率为___________ 14.设A ，B 为3阶矩阵，且__________,2,2,311=+=+==--B A B A B A 则 三解答题15.的单调区间与极值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案一、选择题(1)【答案】 (B).【解析】因为()f x =0,1x =±,又因为0lim ()lim x x x f x →→→==其中00lim 1,lim 1x x +-→→===-,所以0x =为跳跃间断点.显然1lim ()x f x →==所以1x =为连续点.而1lim ()limx x f x →-→-==∞,所以1x =-为无穷间断点,故答案选择B.(2)【答案】 (A)．【解析】因12y y λμ-是()0y P x y '+=的解,故()()()12120y y P x y y λμλμ'-+-=,所以()1122()0y P x y y p x y λμ⎡⎤⎡⎤''+-+=⎣⎦⎣⎦,而由已知 ()()()()1122,y P x y q x y P x y q x ''+=+=,所以()()0q x λμ-=, ① 又由于一阶次微分方程()()y p x y q x '+=是非齐的,由此可知()0q x ≠,所以0λμ-=． 由于12y y λμ+是非齐次微分方程()()y P x y q x '+=的解,所以()()()()1212y y P x y y q x λμλμ'+++=,整理得 ()()()1122y P x y y P x y q x λμ⎡⎤⎡⎤''+++=⎣⎦⎣⎦,即 ()()()q x q x λμ+=,由()0q x ≠可知1λμ+=, ② 由①②求解得12λμ==,故应选(A)． (3)【答案】 (C).【解析】因为曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切,所以在切点处两个曲线的斜率相同,所以2ax x=,即(0)x x =>.又因为两个曲线在切点的坐标是相同的,所以在2y x =上,当x =时2ay =；在ln y a x =上,x =, lnln 22a ay a ==. 所以ln 222a a a= .从而解得2a e =.故答案选择(C). (4)【答案】 (D).【解析】0x =与1x =都是瑕点.应分成dx =+⎰,用比较判别法的极限形式,对于,由于121012[ln (1)]lim 11mnx n mx xx+→--=.显然,当1201n m<-<,则该反常积分收敛. 当120n m -≤,1210[ln (1)]lim mx nx x+→-存在,此时实际上不是反常积分,故收敛. 故不论,m n 是什么正整数,总收敛.对于,取01δ<<,不论,m n 是什么正整数,1211211[ln (1)]lim lim ln (1)(1)01(1)mnmx x x xx x x δδ--→→-=--=-,所以收敛,故选(D).(5) 【答案】 (B).【解析】122212122221x z y z y zF F F F F yF zF zx x x x x F F xF F x⎛⎫⎛⎫''''-+-⋅+⋅ ⎪ ⎪'''+∂⎝⎭⎝⎭=-=-==∂''''⋅,112211y z F F F z x y F F F x'⋅''∂=-=-=-∂'''⋅, 1212222yF zF yF F z z z x y z x y F F F ''''+⋅∂∂+=-==∂∂'''． (6) 【答案】 (D). 【解析】()()222211111()nnnn i j i j n nn i n j n i n j =====++++∑∑∑∑22111()()n n j i n n j n i ===++∑∑ 12220211111lim lim ,11()nn n n j j n dy j n j n y n →∞→∞====+++∑∑⎰ 1011111lim lim ,11()nn n n i i n dx i n i n x n→∞→∞====+++∑∑⎰()()2222111111lim lim()()n nn nn n i j j i n n j n i n i n j →∞→∞=====++++∑∑∑∑ 221(lim )nn j n n j →∞==+∑1(lim )nn i nn i→∞=+∑ 1120011()()11dx dy x y =++⎰⎰()()11200111dx dy x y =++⎰⎰. (7) 【答案】 (A)．【解析】由于向量组I 能由向量组II 线性表示,所以(I)(II)r r ≤,即11(,,)(,,)r s r r s ααββ≤≤L L若向量组I 线性无关,则1(,,)r r r αα=L ,所以11(,,)(,,)r s r r r s ααββ=≤≤L L ,即r s ≤,选(A). (8) 【答案】 (D).【解析】：设λ为A 的特征值,由于2A A O +=,所以20λλ+=,即(1)0λλ+=,这样A 的特征值只能为-1或0. 由于A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即A Λ:, ()()3r A r =Λ=,因此,1110-⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭,即1110A -⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭:. 二、填空题(9)【答案】2123cos sin x y C e C x C x =++.【解析】该常系数线性齐次微分方程的特征方程为 32220λλλ-+-=,因式分解得()()()()2222210λλλλλ-+-=-+=,解得特征根为2,i λλ==±,所以通解为 2123cos sin x y C e C x C x =++. (10) 【答案】2y x =.【解析】因为3221lim 2x x x x→∞+=,所以函数存在斜渐近线,又因为 333222222lim 2lim 011x x x x x xx x x →∞→∞---==++,所以斜渐近线方程为2y x =. (11)【答案】()21!n n -⋅-.【解析】由高阶导数公式可知()ln (1)n x +1(1)!(1)(1)n nn x --=-+,所以 ()()()1(1)!(1)!ln 12(1)22(12)(12)n n n n n n n n x x x ----=-⋅-=---, 即()(1)!(0)22(1)!(120)n nn nn y n -=-=---⋅. (12))1e π-.【解析】因为 0θπ≤≤,所以对数螺线r e θ=的极坐标弧长公式为πθ⎰=0e d πθθ⎰)1e π-.(13)【答案】3cm/s .【解析】设(),()l x t w y t ==,由题意知,在0t t =时刻00()12,()5x t y t ==,且0()2,x t '= 0()3y t '=,设该对角线长为()S t ,则 ()S t =,所以()S t '=所以0()3S t '===.(14)【答案】3.【解析】由于1111()()A A B B E AB B B A ----+=+=+,所以11111()A B A A B B A A B B -----+=+=+因为2B =,所以1112B B--==,因此 11113232A B A A B B ---+=+=⨯⨯=. 三、解答题(15)【解析】因为22222222111()()x x x t t t f x x t e dt xe dt te dt ---=-=-⎰⎰⎰,所以2224423311()2222x x t x x t f x x e dt x ex ex e dt ----'=+-=⎰⎰,令()0f x '=,则0,1x x ==±.又22421()24x t x f x e dt x e --''=+⎰,则21(0)20t f e dt -''=<⎰,所以2211111(0)(0)(1)22t t f t e dt e e ---=-=-=-⎰是极大值.而1(1)40f e -''±=>,所以(1)0f ±=为极小值.又因为当1x ≥时,()0f x '>；01x ≤<时,()0f x '<；10x -≤<时,()0f x '>；1x <-时,()0f x '<,所以()f x 的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞-U ,()f x 的单调递增区间为(1,0)(1,)-+∞U .(16) 【解析】 (I)当01x <<时0ln(1)x x <+<,故[]ln(1)nn t t +<,所以[]ln ln(1)ln nn t t t t +<,则 []11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt +<⎰⎰()1,2,n =L .(II)()111101ln ln ln 1n n n t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰ ()211n =+,故由()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰,根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+,所以lim 0n n u →∞=.(17)【解析】根据题意得(),22dy t dy dt dxdx t dtψ'==+()()()()()()222222222232241t d t t t t t d y dt dx dxt t dtψψψ'⎛⎫ ⎪'''+-+⎝⎭+===++ 即()()()()222261t t t t ψψ'''+-=+,整理有()()()()2131t t t t ψψ'''+-=+,解()()()()()31151,162t t t t ψψψψ'⎧''-=+⎪⎪+⎨⎪'==⎪⎩,令()y t ψ'=,即()1311y y t t '-=++. 所以()()()11113113dt dt t ty e t e dt C t t C -++⎛⎫⎰⎰=++=++ ⎪⎝⎭⎰,1t >-.因为()()116y ψ'==,所以0C =,故()31y t t =+,即()()31t t t ψ'=+,故()()2313312t t t dt t t C ψ=+=++⎰．又由()512ψ=,所以10C =,故()233,(1)2t t t t ψ=+>-.(18)【解析】油罐放平,截面如图建立坐标系之后,边界椭圆的方程为：22221x y a b+= 阴影部分的面积222222bbbba S xdyb y dy b --==-⎰⎰ 令sin ,y b t y b ==-时;22b t y π=-=时6t π=.2662211232cos 2(cos 2)()223S ab tdt ab t dt ab πππππ--==+=+⎰⎰所以油的质量23()3m abl πρ=+.(19)【解析】由复合函数链式法则得u u u u u x x y x ξηξξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂∂∂, u u u u u a b y y y ξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂, 22222222u u u u u u u x x x x x xξηηηξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 222222,u u uξηξη∂∂∂=++∂∂∂∂ 2222222u u u u u u u x y y y y y yξηηηξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 22222(),u u ua b a b ξηξη∂∂∂=+++∂∂∂∂ 22222222()()u u u u u u ua b a a b b a a y y ξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 22222222,u u u a b ab ξηξη∂∂∂=++∂∂∂∂ 故222224125u u ux x y y∂∂∂++∂∂∂∂ []2222222(5124)(5124)12()1080,u u u a a b b a b ab ξηξη∂∂∂=+++++++++=∂∂∂∂所以 22512405124012()1080a a b b a b ab ⎧++=⎪++=⎨⎪+++≠ ⎩,则25a =-或2-,25b =-或2-.又因为当(,)a b 为22(2,2),(,)55----时方程(3)不满足,所以当(,)a b 为2(,2)5-- ,2(2,)5--满足题意.(20)【解析】22sin 1cos 2DI r r drd θθθ=-⎰⎰()222sin 1cos sin Dr r rdrd θθθθ=--⋅⎰⎰D=⎰⎰10xdx =⎰⎰()312201113x dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰ ()311220011133dx x dx =--⎰⎰20113cos 43316d πθθπ=-=-⎰.(21)【解析】令()()313F x f x x =-,对于()F x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上利用拉格朗日中值定理,得存在10,,2ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()()11022F F F ξ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭．对于()F x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上利用拉格朗日中值定理,得存在1,1,2η⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()()11122F F F η⎛⎫'-= ⎪⎝⎭,两式相加得 ()()22f f ξηξη''+=+.所以存在110,,,122ξη⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,使()()22f f ξηξη''+=+.(22) 【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法1：( I )已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,对增广矩阵进行初等行变换,得111110101010111111a A a λλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111010101010110011a a λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭当1λ=时,11111111000100010000000A a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,此时,()()r A r A ≠,故Ax b =无解(舍去)．当1λ=-时,111102010002A a -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+⎝⎭,由于()()3r A r A =<,所以2a =-,故1λ=- ,2a =-. 方法2：已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,因此0A =,即211010(1)(1)011A λλλλλ=-=-+=,知1λ=或-1.当1λ=时,()1()2r A r A =≠=,此时,Ax b =无解,因此1λ=-.由()()r A r A =,得2a =-. ( II ) 对增广矩阵做初等行变换31012111211121020102010102111100000000A ⎛⎫- ⎪----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=-→-→-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可知原方程组等价为1323212x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,写成向量的形式,即123332110210x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.因此Ax b =的通解为32110210x k ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.(23)【解析】由于0141340A a a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,存在正交矩阵Q ,使得T Q AQ 为对角阵,且Q的第一列为2,1)T ,故A 对应于1λ的特征向量为12,1)T ξ=.根据特征值和特征向量的定义,有1A λ=,即 10141113224011a a λ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由此可得11,2a λ=-=.故014131410A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭. 由14131(4)(2)(5)041E A λλλλλλλ--=-=+--=-,可得A 的特征值为1232,4,5λλλ==-=.由2()0E A x λ-=,即1234141710414x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,可解得对应于24λ=-的线性无关的特征向量为2(1,0,1)T ξ=-.由3()0E A x λ-=,即1235141210415x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,可解得对应于35λ=的特征向量为3(1,1,1)T ξ=-.由于A 为实对称矩阵,123,,ξξξ为对应于不同特征值的特征向量,所以123,,ξξξ相互正交,只需单位化：3121231232,1),1,0,1),1,1)T T T ξξξηηηξξξ====-==-, 取()123,,0Q ηηη⎫⎪⎪==⎪⎪⎭,则245T Q AQ ⎛⎫ ⎪=Λ=- ⎪ ⎪⎝⎭.。