2010年考研数学二试题及答案

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案
一、选择题
(1)【答案】 (B).
【解析】因为()f x =0,1x =±,又因为
0lim ()lim x x x f x →→→==
其中0
0lim 1,lim 1x x +-
→→===-,所以0x =为跳跃间断点.
显然1
lim ()x f x →=
=所以1x =为连续点.
而1
lim ()lim
x x f x →-→-==∞,所以1x =-为无穷间断点,故答案选择B.
(2)【答案】 (A)．
【解析】因12y y λμ-是()0y P x y '+=的解,故()()()12120y y P x y y λμλμ'-+-=,所以
()1122()0y P x y y p x y λμ⎡⎤⎡⎤''+-+=⎣
⎦
⎣
⎦
,
而由已知 ()()()()1122,y P x y q x y P x y q x ''+=+=,所以
()()0q x λμ-=, ① 又由于一阶次微分方程()()y p x y q x '+=是非齐的,由此可知()0q x ≠,所以0λμ-=． 由于12y y λμ+是非齐次微分方程()()y P x y q x '+=的解,所以
()()()()1212y y P x y y q x λμλμ'+++=,
整理得 ()()()1122y P x y y P x y q x λμ⎡⎤⎡⎤''+++=⎣⎦⎣⎦
,
即 ()()()q x q x λμ+=,由()0q x ≠可知1λμ+=, ② 由①②求解得1
2
λμ==,故应选(A)． (3)【答案】 (C).
【解析】因为曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切,所以在切点处两个曲线的斜率相同,所以
2a
x x
=
,
即(0)x x =>.又因为两个曲线在切点的坐标是相同的,所以在2y x =上,
当x =时2
a
y =
；在ln y a x =上
,x =
, ln
ln 22
a a
y a ==. 所以
ln 222
a a a
= .从而解得2a e =.故答案选择(C). (4)【答案】 (D).
【解析】0x =与1x =都是瑕点.应分成
dx =+⎰
,
用比较判别法的极限形式,对于
,由于12
10
12[ln (1)]
lim 11m
n
x n m
x x
x
+
→--=.
显然,当12
01n m
<
-<,则该反常积分收敛. 当120n m -≤,12
1
0[ln (1)]lim m
x n
x x
+
→-存在,
此时实际上不是反常积分,故收敛. 故不论,m n 是什么正整数
,总收敛.对于
,取01δ<<,
不论,m n 是什么正整数,
12
112
1
1
[ln (1)]
lim lim ln (1)(1)01(1)m
n
m
x x x x
x x x δ
δ
-
-
→→-=--=-,
所以收敛,故选(D).
(5) 【答案】 (B).
【解析】122212122221x z y z y z
F F F F F yF zF z
x x x x x F F xF F x
⎛⎫⎛⎫
''''-+-⋅+⋅ ⎪ ⎪'''+∂⎝⎭⎝⎭=-
=-==∂'
'''⋅,
11221
1y z F F F z x y F F F x
'⋅
'
'∂=-=-=-∂'''⋅, 1212222yF zF yF F z z z x y z x y F F F ''''+⋅∂∂+=-==∂∂'''
． (6) 【答案】 (D). 【解析】()()2222
1111
1()n
n
n
n i j i j n n
n i n j n i n j =====++++∑
∑∑∑22111()()n n j i n n j n i ===++∑∑ 12220211
111
lim lim ,11()
n
n n n j j n dy j n j n y n →∞→∞====+++∑∑⎰ 1011
11
1lim lim ,11()
n
n n n i i n dx i n i n x n
→∞→∞====+++∑∑⎰
()()2222111111
lim lim()()n n
n n
n n i j j i n n j n i n i n j →∞→∞
=====++++∑∑∑∑ 221(lim )n
n j n n j →∞==+∑1(lim )n
n i n
n i
→∞
=+∑ 1
120011()()11dx dy x y =++⎰
⎰()()11200111dx dy x y =++⎰⎰. (7) 【答案】 (A)．
【解析】由于向量组I 能由向量组II 线性表示,所以(I)(II)r r ≤,即
11(,,)(,,)r s r r s ααββ≤≤L L
若向量组I 线性无关,则1(,,)r r r αα=L ,所以11(,,)(,,)r s r r r s ααββ=≤≤L L ,即r s ≤,选(A). (8) 【答案】 (D).
【解析】：设λ为A 的特征值,由于2A A O +=,所以20λλ+=,即(1)0λλ+=,这样A 的特征值只能为-1或0. 由于A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即A Λ:, ()()3r A r =Λ=,因此,
1110-⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭,即1110A -⎛⎫ ⎪
- ⎪Λ= ⎪- ⎪
⎝
⎭:. 二、填空题
(9)【答案】2123cos sin x y C e C x C x =++.
【解析】该常系数线性齐次微分方程的特征方程为 32220λλλ-+-=,因式分解得
()()()()2222210λλλλλ-+-=-+=,
解得特征根为2,i λλ==±,所以通解为 2123cos sin x y C e C x C x =++. (10) 【答案】2y x =.
【解析】因为3221lim 2x x x x
→∞+=,所以函数存在斜渐近线,又因为 333222222lim 2lim 011
x x x x x x
x x x →∞→∞---==++,所以斜渐近线方程为2y x =. (11)【答案】()21!n n -⋅-.
【解析】由高阶导数公式可知()ln (1)n x +1
(1)!
(1)(1)n n
n x --=-+,
所以 ()()()1
(1)!(1)!ln 12(1)22(12)(12)
n n n n n n n n x x x ----=-⋅-=---, 即()(1)!
(0)22(1)!(120)
n n
n n
n y n -=-=---⋅. (12)
)1e π-.
【解析】因为 0θπ≤≤,所以对数螺线r e θ=的极坐标弧长公式为
π
θ⎰=0
e d π
θ
θ⎰
)1e π-.
(13)【答案】3cm/s .
【解析】设(),()l x t w y t ==,由题意知,在0t t =时刻00()12,()5x t y t ==,且0()2,x t '= 0()3y t '=,设该对角线长为()
S t ,则 ()S t =,所以
()S t '=
所以
0()3S t '==
=.
(14)【答案】3.
【解析】由于1111()()A A B B E AB B B A ----+=+=+,所以
11111()A B A A B B A A B B -----+=+=+
因为2B =,所以1
11
2
B B
--==
,因此 1111
3232
A B A A B B ---+=+=⨯⨯
=. 三、解答题
(15)【解析】因为2
2
2
2
2
2
2
2
111
()()x x x t t t f x x t e dt x
e dt te dt ---=-=-⎰⎰
⎰,
所以2
2
24
4
2
3311
()2222x x t x x t f x x e dt x e
x e
x e dt ----'=+-=⎰⎰,令()0f x '=,则0,1x x ==±.
又2
2
4
21
()24x t x f x e dt x e --''=+⎰,则2
1
(0)20t f e dt -''=<⎰,所以
2
21
11
11
(0)(0)(1)22t t f t e dt e e ---=-=-=-⎰
是极大值.
而1(1)40f e -''±=>,所以(1)0f ±=为极小值.
又因为当1x ≥时,()0f x '>；01x ≤<时,()0f x '<；10x -≤<时,()0f x '>；1x <-时,
()0f x '<,所以()f x 的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞-U ,()f x 的单调递增区间为(1,0)(1,)-+∞U .
(16) 【解析】 (I)当01x <<时0ln(1)x x <+<,故[]ln(1)n
n t t +<,所以
[]ln ln(1)ln n
n t t t t +<,
则 []1
1
ln ln(1)ln n
n t t dt t t dt +<⎰⎰()1,2,n =L .
(II)()11
11
01ln ln ln 1n n n t t dt t t dt td t n +=-⋅=-
+⎰⎰⎰ ()
211n =+,故由
()
1
2
1
0ln 1n n u t t dt n <<=
+⎰,
根据夹逼定理得()
2
1
0lim lim
01n n n u n →∞
→∞
≤≤=+,所以lim 0n n u →∞
=.
(17)【解析】根据题意得
(),22dy t dy dt dx
dx t dt
ψ'==+()()()()()()22
2222222232241t d t t t t t d y dt dx dx
t t dt
ψψψ'⎛⎫ ⎪'''+-+⎝⎭+=
==++ 即()()()()2
22261t t t t ψψ'''+-=+,整理有()()()()2
131t t t t ψψ'''+-=+,解
()()()()()31151,16
2
t t t t ψψψψ'⎧''-=+⎪⎪+⎨
⎪'==⎪⎩,令()y t ψ'=,即()1311y y t t '-=++. 所以()()()11
113113dt dt t t
y e t e dt C t t C -++⎛⎫⎰⎰=++=++ ⎪⎝⎭
⎰,1t >-.因为()()116y ψ'==,所以0C =,
故()31y t t =+,即()()31t t t ψ'=+,
故()()2313
312
t t t dt t t C ψ=+=++⎰．
又由()512ψ=,所以10C =,故()233
,(1)2
t t t t ψ=+>-.
(18)【解析】油罐放平,截面如图建立坐标系之后,边界椭圆的方程为：
22
221x y a b
+= 阴影部分的面积
2222
22b
b
b
b
a S xdy
b y dy b --==-⎰
⎰ 令sin ,y b t y b ==-时;22b t y π=-=时6
t π
=.
2
6
622
1123
2cos 2(cos 2)()223S ab tdt ab t dt ab ππ
πππ--==+=+⎰⎰
所以油的质量23
()3m abl πρ=+
.
(19)【解析】由复合函数链式法则得
u u u u u x x y x ξηξξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂∂∂, u u u u u a b y y y ξηξηξη
∂∂∂∂∂∂∂=⋅+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂, 222222
22u u u u u u u x x x x x x
ξηηη
ξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 222222,u u u
ξηξη
∂∂∂=++∂∂∂∂ 2222222u u u u u u u x y y y y y y
ξηηη
ξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅
+⋅+⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 22222()
,u u u
a b a b ξηξη
∂∂∂=+++∂∂∂∂ 22222222()()u u u u u u u
a b a a b b a a y y ξηξξηηξη
⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 22
22
2222,u u u a b ab ξηξη
∂∂∂=++∂∂∂∂ 故22222412
5u u u
x x y y
∂∂∂++∂∂∂∂ []2222
2
22(5124)(5124)12()1080,u u u a a b b a b ab ξηξη
∂∂∂=+++++++++=∂∂∂∂
所以 22
512405124012()1080a a b b a b ab ⎧++=
⎪++=⎨⎪+++≠ ⎩
,
则25a =-或2-,25b =-或2-.又因为当(,)a b 为22
(2,2),(,)55----时方程(3)不满足,所以当
(,)a b 为2(,2)5-- ,2
(2,)5--满足题意.
(20)【解析】22sin 1cos 2D
I r r drd θθθ=-⎰⎰
()222sin 1cos sin D
r r rdrd θθθθ=--⋅⎰⎰
D
=⎰⎰
10
x
dx =⎰⎰
()3
1
2201113x dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦
⎰ ()
3
1
1
2
200
11133dx x dx =--⎰⎰20113
cos 43316
d πθθπ=-=-⎰.
(21)【解析】令()()313F x f x x =-,对于()F x 在10,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上利用拉格朗日中值定理,得存在
10,,2
ξ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
使得
()()11022F F F ξ⎛⎫
'-= ⎪⎝⎭
．
对于()F x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上利用拉格朗日中值定理,得存在1,1,2η⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
使得
()()11
122
F F F η⎛⎫'-= ⎪⎝⎭,
两式相加得 ()()22f f ξηξη''+=+.
所以存在110,,,122ξη⎛⎫⎛⎫
∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,使()()22f f ξηξη''+=+.
(22) 【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可
以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.
方法1：( I )已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,对增广矩阵进行初等行变换,得
111110101010111111a A a λ
λλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
221
11111
0101010
10110
011a a λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝
⎭⎝⎭
当1λ=时,11111111000100010000000A a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,此时,()()r A r A ≠,故Ax b =无解(舍去)．
当1λ=-时,1111020
10002A a -⎛⎫ ⎪
→- ⎪ ⎪+⎝⎭
,由于()()3r A r A =<,所以2a =-,故1λ=- ,2a =-. 方法2：已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,因此0A =,即
211
010(1)(1)01
1
A λ
λλλλ
=-=-+=,
知1λ=或-1.
当1λ=时,()1()2r A r A =≠=,此时,Ax b =无解,因此1λ=-.由()()r A r A =,得2a =-. ( II ) 对增广矩阵做初等行变换
31012111211121020102010102111100000000A ⎛
⎫- ⎪----⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪
⎪=-→-→-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭
可知原方程组等价为13232
12x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,写成向量的形式,即123332110210x x x x ⎛⎫
⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪
⎝⎭.
因此Ax b =的通解为32110210x k ⎛⎫
⎪⎛⎫ ⎪
⎪
⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪
⎝⎭
,其中k 为任意常数.
(23)【解析】由于0141340A a a -⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭
,存在正交矩阵Q ,使得T Q AQ 为对角阵,且Q
的第一列为
2,1)T ,故A 对应于1λ
的特征向量为12,1)T ξ=.
根据特征值和特征向量的定义,
有1A λ=,即 10141113224011a a λ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由此可得11,2a λ=-=.故014131410A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭
. 由14
13
1(4)(2)(5)041
E A λλλλλλλ
--=-=+--=-,
可得A 的特征值为1232,4,5λλλ==-=.
由2()0E A x λ-=,即1234141710414x x x --⎛⎫
⎛⎫ ⎪
⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,可解得对应于24λ=-的线性无关的特征向量
为2(1,0,1)T ξ=-.
由3()0E A x λ-=,即1235141210415x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
,可解得对应于35λ=的特征向量为
3(1,1,1)T ξ=-.
由于A 为实对称矩阵,123,,ξξξ为对应于不同特征值的特征向量,所以123,,ξξξ相互正交,只需单位化：
3121231232,1),1,0,1),1,1)T T T ξξξηηηξξξ=
===-==-, 取(
)123,,0Q ηηη⎫⎪
⎪
==⎪⎪⎭
,则245T Q AQ ⎛⎫ ⎪=Λ=- ⎪ ⎪⎝
⎭
.。