三角函数的定义与三角变换

三角函数的定义与三角变换

知识要点及典型例题分析：

一、三角函数的定义

1．角的概念

（1）角的定义及正角、负角与零角

（2）象限角与轴上角的表示

（3）终边相同的角

（4）角度制

（5）弧度制

2．任意角的三角函数定义

任意角的6个三角函数定义的本质是给角这个几何量以代数表达；借助直角坐标系这个工具，把角放进直角坐标系中完成的。由任意角的三角函数定义直接可以得到：

（1）三角函数的定义域

（2）三角函数值在四个象限中的符号

（3）同角三角函数的关系

（4）单位圆中的三角函数线：要充分利用三角函数线在记忆三角函数性质与公式以及解决三角函数问题中的作用。

3．诱导公式

总共9组共36个公式，记忆口决为“奇变偶不变，符号看象限”，并弄清口决中的字词含义，并根据结构总结使用功能。

“奇变”是指所涉及的轴上角为的奇数倍时（包括4组：±α，±α）函数名称变为原来函数的余函数；“偶不变”是指所涉及的轴上角为的偶数倍时（包括5组：2kπ+α, π±α, 2π-α, -α）, 函数名称不变，其主要功能在于：求任意角的三角函数值，化简及某些证明问题。

>二、典型例题分析：

例1．（1）已知- <α<β<, 求α+β与α-β的范围。

（2）已知α的终边在第二象限，确定π-α所在象限。

解：（1）∵ - <α<β<，∴-π<α+β<π，-π<α-β<0。

（2）有两种思路：

思路一：先把α的终边关于x轴对称放到-α的终边（在第三象限），再将-α的终边按逆时针方向旋转π放到π-α的终边即-α的终边的反向延长线，此时π-α的终边也在第二象限。

思路二：是先把α的终边（第二象限）按顺时针方向旋转π，得到α+(-π)（第四象限），再将它关于x轴对称得到-(α-π)=π-α的终边，此时也在第一象限。

例2．若A={x|x= , k∈Z}, B={x|x= +, k∈Z}, 则A_____B。

解：由B中的x= + = ，可视为的奇数倍所构成的集合。

而A中的x= 是的所有整数倍，因此A B。

例3．设0<θ<2π, 5θ与角θ终边相同，求θ。

解：由已知5θ=2kπ+θ，k∈Z，有θ=，

∵ 0<θ<2π，∴k=1时，θ= ；k=2时，θ=π；k=3时，θ=。

例4．若=cotθ-cscθ，求θ取值范围。

解：先看一看右边=cotθ-cscθ=- = ，这样就决定了左边的变形方向。

= = ，

∵= = ，

∴，

由

由①易得无解

而由②得：,

所以θ∈(2kπ-π，2kπ)，k∈z，

又要使原式子有意义，

∴满足条件的θ的范围是(2kπ-π，2kπ)，k∈z。

例5．已知sin(π-α)-cos(π+α)= , <α<π。

求：（1）sinα-cosα的值；（2）sin3(+α)+cos3( +α)的值。解：（1）由已知，得sinα+cosα=,平方得：1+2sinαcosα= , ∴ 2sinαcosα=-,

∵<α<π,

∴ sinα-cosα== = 。

（2）sin3(+α)+cos3( +α)=cos3α-sin3α

=(cosα-sinα)(cos2α+sinαcosα+sin2α)

=-(1- )

=-。

例6．已知sin(α-π)=2cos(α-2π)，求下列三角函数的值：

（1）（2）1+cos2α- sin2α。

解：由已知：-sinα=2cosα，有 tanα=-2, 则

（1）原式= = =-。

（2）1+cos2α-sin2α

= =

= =。

评述：对于形如为关于sinα与cosα的一次分式齐次式，处理的方法，就是将分子与分母同除以cosα，即可化为只含tanα的式子。而对于1+cos2α-sin2α属于关于sinα与cosα的二次齐次式，即sin2α+2cos2α-5sinαcosα。此时若能将分母的“1”

用sin2α+cos2α表示的话，这样就构成了关于sinα与cosα的二次分式齐次式，分子分母同除以cos2α即可化为只含有tanα的分式形式

例7．求函数y=+log sinx(2sinx-1)的定义域。

解：使函数有意义的不等式为：

将上面的每个不等式的范围在数轴上表示出来，然后，取公共部分，由于x∈[-5,5]，故下面的不等式的范围只取落入[-5，5]之内的值，即

∴因此函数的定义域为：[-5,- )∪(- ,- )∪( )∪()。

例8．求证：=。

证法一（左边化弦后再证等价命题）

左边= =

要证=

只需证：(1+sinα+cosα)cosα=(1-sinα+cosα)(1+sinα) 左边=cosα+sinαcosα+cos2α

右边=1-sin2α+cosα+cosαsinα=cos2α+cosα+sinαcosα

∵左边=右边，∴原等式成立。

（或证等价命题：- =0）

证法二（利用化“1”的技巧）

左边=

=

=secα+tanα

==右边。

证法三（利用同角关系及比例的性质）

由公式 sec2α-tan2α=1(secα-tanα)(secα+tanα)=1

= 。

由等比定理有：=secα+tanα= 。

证法四（利用三角函数定义证）

secα= , tanα= , sinα= , cosα=。

然后代入所证等式的两边，再证是等价命题。

其证明过程同学自己尝试一下。

评述：证明三角恒等式的实质，就是逐步消除等号两边结构差异的过程，而“消除差异”的理论依据除了必要三角公式以外，还需要有

下列等式的性质：

(1)若A=B，B=C则A=C（传递性）

(2)A=B A-B=0

(3)A=B =1 (B≠0)

(4)= AD=BC (BD≠0)

(5)比例：一些性质，如等比定理：

若= =……= ，则= = =……= 。

测试

选择题

1．如果θ是第二象限角，则所在的象限是（）

A、第一象限

B、第一或第三象限

C、第二象限

D、第二或第四象限