三角函数的定义与三角变换

三角函数的定义与三角变换知识要点及典型例题分析：一、三角函数的定义1．角的概念（1）角的定义及正角、负角与零角（2）象限角与轴上角的表示（3）终边相同的角（4）角度制（5）弧度制2．任意角的三角函数定义任意角的6个三角函数定义的本质是给角这个几何量以代数表达；借助直角坐标系这个工具，把角放进直角坐标系中完成的。

由任意角的三角函数定义直接可以得到：（1）三角函数的定义域（2）三角函数值在四个象限中的符号（3）同角三角函数的关系（4）单位圆中的三角函数线：要充分利用三角函数线在记忆三角函数性质与公式以及解决三角函数问题中的作用。

3．诱导公式总共9组共36个公式，记忆口决为“奇变偶不变，符号看象限”，并弄清口决中的字词含义，并根据结构总结使用功能。

“奇变”是指所涉及的轴上角为的奇数倍时（包括4组：±α，±α）函数名称变为原来函数的余函数；“偶不变”是指所涉及的轴上角为的偶数倍时（包括5组：2kπ+α, π±α, 2π-α, -α）, 函数名称不变，其主要功能在于：求任意角的三角函数值，化简及某些证明问题。

>二、典型例题分析：例1．（1）已知- <α<β<, 求α+β与α-β的范围。

（2）已知α的终边在第二象限，确定π-α所在象限。

解：（1）∵ - <α<β<，∴-π<α+β<π，-π<α-β<0。

（2）有两种思路：思路一：先把α的终边关于x轴对称放到-α的终边（在第三象限），再将-α的终边按逆时针方向旋转π放到π-α的终边即-α的终边的反向延长线，此时π-α的终边也在第二象限。

思路二：是先把α的终边（第二象限）按顺时针方向旋转π，得到α+(-π)（第四象限），再将它关于x轴对称得到-(α-π)=π-α的终边，此时也在第一象限。

例2．若A={x|x= , k∈Z}, B={x|x= +, k∈Z}, 则A_____B。

解：由B中的x= + = ，可视为的奇数倍所构成的集合。

而A中的x= 是的所有整数倍，因此A B。

例3．设0<θ<2π, 5θ与角θ终边相同，求θ。

解：由已知5θ=2kπ+θ，k∈Z，有θ=，∵ 0<θ<2π，∴k=1时，θ= ；k=2时，θ=π；k=3时，θ=。

例4．若=cotθ-cscθ，求θ取值范围。

解：先看一看右边=cotθ-cscθ=- = ，这样就决定了左边的变形方向。

= = ，∵= = ，∴，由由①易得无解而由②得：,所以θ∈(2kπ-π，2kπ)，k∈z，又要使原式子有意义，∴满足条件的θ的范围是(2kπ-π，2kπ)，k∈z。

例5．已知sin(π-α)-cos(π+α)= , <α<π。

求：（1）sinα-cosα的值；（2）sin3(+α)+cos3( +α)的值。

解：（1）由已知，得sinα+cosα=,平方得：1+2sinαcosα= , ∴ 2sinαcosα=-,∵<α<π,∴ sinα-cosα== = 。

（2）sin3(+α)+cos3( +α)=cos3α-sin3α=(cosα-sinα)(cos2α+sinαcosα+sin2α)=-(1- )=-。

例6．已知sin(α-π)=2cos(α-2π)，求下列三角函数的值：（1）（2）1+cos2α- sin2α。

解：由已知：-sinα=2cosα，有 tanα=-2, 则（1）原式= = =-。

（2）1+cos2α-sin2α= == =。

评述：对于形如为关于sinα与cosα的一次分式齐次式，处理的方法，就是将分子与分母同除以cosα，即可化为只含tanα的式子。

而对于1+cos2α-sin2α属于关于sinα与cosα的二次齐次式，即sin2α+2cos2α-5sinαcosα。

此时若能将分母的“1”用sin2α+cos2α表示的话，这样就构成了关于sinα与cosα的二次分式齐次式，分子分母同除以cos2α即可化为只含有tanα的分式形式例7．求函数y=+log sinx(2sinx-1)的定义域。

解：使函数有意义的不等式为：将上面的每个不等式的范围在数轴上表示出来，然后，取公共部分，由于x∈[-5,5]，故下面的不等式的范围只取落入[-5，5]之内的值，即∴因此函数的定义域为：[-5,- )∪(- ,- )∪( )∪()。

例8．求证：=。

证法一（左边化弦后再证等价命题）左边= =要证=只需证：(1+sinα+cosα)cosα=(1-sinα+cosα)(1+sinα) 左边=cosα+sinαcosα+cos2α右边=1-sin2α+cosα+cosαsinα=cos2α+cosα+sinαcosα∵左边=右边，∴原等式成立。

（或证等价命题：- =0）证法二（利用化“1”的技巧）左边===secα+tanα==右边。

证法三（利用同角关系及比例的性质）由公式 sec2α-tan2α=1(secα-tanα)(secα+tanα)=1= 。

由等比定理有：=secα+tanα= 。

证法四（利用三角函数定义证）secα= , tanα= , sinα= , cosα=。

然后代入所证等式的两边，再证是等价命题。

其证明过程同学自己尝试一下。

评述：证明三角恒等式的实质，就是逐步消除等号两边结构差异的过程，而“消除差异”的理论依据除了必要三角公式以外，还需要有下列等式的性质：(1)若A=B，B=C则A=C（传递性）(2)A=B A-B=0(3)A=B =1 (B≠0)(4)= AD=BC (BD≠0)(5)比例：一些性质，如等比定理：若= =……= ，则= = =……= 。

测试选择题1．如果θ是第二象限角，则所在的象限是（）A、第一象限B、第一或第三象限C、第二象限D、第二或第四象限2．在下列表示中正确的是（）A、终边在y轴上的角的集合是{α|α=2kπ+，k∈Z}B、终边在y=x的直线上的角的集合是{α|α=kπ+，k∈Z}C、与(- )的终边相同的角的集合是{α|α=kπ-，k∈Z}D、终边在y=-x的直线上的角的集合是{α|α=2kπ-，k∈Z}3．若π<θ<π，则等于（）A、sin(θ-π)B、-sinθC、cos(π-θ)D、-cscθ4．函数y=2sin()在[π，2π]上的最小值是（）A、2B、1C、-1D、-25．已知函数y=cos(sinx)，下列结论中正确的是（）A、它的定义域是[-1，1]B、它是奇函数C、它的值域是[0，1]D、它是周期为π的函数6．设0<X<</X<，下列关系中正确的是（）A、sin(sinx)<SINX<SIN(TANX)< SPAN="">B、sin(sinx)<SIN(TANX)<SINX< SPAN=""> </SIN(TANX)<SINX<></SINX<SIN(TANX)<>C、sin(tanx)<SINX<SIN(SINX)< SPAN="">D、sinx<SIN(TANX)<SIN(SINX)?< SPAN="">7．若sin = ，cos =-，则θ∈[0，2π]，终边在（）</SIN(TANX)<SIN(SINX)?<></SINX<SIN(SINX)<> A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限8．如果一弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是（）A、sinB、C、D、2sin9．化简三角函数式tan( π+π) (k∈Z)，结果是（）A、tanB、cotC、cotD、-tan10．设α∈(0，)，，的大小是（）A、A>BB、A≥BC、A<B< SPAN="">D、A≤B </B<>答案与解析答案：1、B 2、B 3、D 4、C 5、D 6、A 7、D 8、C 9、B 10、C正、余弦函数的有界性在解题中的作用正、余弦函数存在着有界性，即，，在一些数学问题中灵活地加以运用，沟通三角函数与数值间的关系，能大大简化解题过程。

例1．若实数满足，求的值。

解：原方程可化为，因为，所以，所以，所以所以。

例2．在中，，试判定三角形的形状。

解：因为，，又，所以，而，，于是，所以，，故为等腰直角三角形。

例3．已知函数，，求证：对于任意，有。

例4．证明：。

例5．设为无理数，求证：函数不可能是周期函数。

高考精题1．在(0,2π)内，使sinx>cosx成立的x取值范围为（）。

A、B、C、D、2．的值为（）。

A、B、C、D、3．已知点P(sinα-cosα,tanα)在第一象限，则在[0，2π]内α的取值范围是（）。

A、B、C、D、4．sin600°的值是（）。

A、B、C、D、。