含参不等式解法举例

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含参不等式专题(淮阳中学)

编写:孙宜俊

当在一个不等式中含有了字母,则称这一不等式为含参数的不等式,那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解,首先是对不等式的类型(即是那一种不等式)的影响,其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题,同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解,而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容,也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。下面举例说明,以供同学们学习。

解含参的一元二次方程的解法,在具体问题里面,按分类的需要有讨论如下四种情况:

(1) 二次项的系数;(2)判别式;(3)不等号方向(4)根的大小。

一、含参数的一元二次不等式的解法:

1.二次项系数为常数(能分解因式先分解因式,不能得先考虑0≥∆) 例1、解关于x 的不等式0)1(2>++-a x a x 。

解:0)1)((2>--x a x

1,0)1)((==⇒=--x a x x a x 令 为方程的两个根

(因为a 与1的大小关系不知,所以要分类讨论)

(1)当1

(2)当1>a 时,不等式的解集为}1|{<>x a x x 或

(3)当1=a 时,不等式的解集为}1|{≠x x

综上所述:

(1)当1

(2)当1>a 时,不等式的解集为}1|{<>x a x x 或

(3)当1=a 时,不等式的解集为}1|{≠x x

变题1、解不等式0)1(2>++-a x a x ;

2、解不等式0)(322>++-a x a a x 。

小结:讨论两个根的大小关系,尤其是变题2中2个根都有参数的要加强讨

论。

例2、解关于x 的不等式022≤-+k kx x

分析 此不等式为含参数k 的不等式,当k 值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同,故应先从讨论判别式入手.

解 )8(82+=+=∆k k k k

(1) 当02,08,02=-+>-<>∆k kx x k k 方程时或既有两个不相等的实根。 所以不等式的解集是022≤-+k kx x :

⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++-≤≤+--4)8(4)8(k k k x k k k x (2) 当02,0802=-+=-==∆k kx x k k 方程时或即有两个相等的实根, 所以不等式⎭

⎬⎫⎩⎨⎧-≤-+4022k k kx x 的解集是,即{}}0{2,; (3) 当02,08,02=-+<<-<∆k kx x k 方程时即无实根

所以不等式的022≤-+k kx x 解集为∅。

说明:一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数有着密切的联系,要

注意数形结合研究问题。

小结:讨论∆,即讨论方程根的情况。

2.二次项系数含参数(先对二次项系数讨论,分大于、等于或小于0,然后能分解因式先分解因式,不能得先考虑0≥∆)

例3、解关于x 的不等式:.01)1(2<++-x a ax

解:若0=a ,原不等式.101>⇔<+-⇔x x

若0

x x a x 10)1)(1(<⇔>--⇔或.1>x 若0>a ,原不等式.0)1)(1(<--⇔x a

x )(* 其解的情况应由a

1与1的大小关系决定,故 (1)当1=a 时,式)(*的解集为φ;

(2)当1>a 时,式)(*11<<⇔x a

; (3)当10<

x 11<<⇔.

综上所述,当0<

x a x x 或}; 当0=a 时,解集为{1>x x };

当10<

x x 11<<}; 当1=a 时,解集为φ;当1>a 时,解集为{11<

}. 例4、解关于x 的不等式:.012<-+ax ax

解:.012<-+ax ax )(*

(1)0=a 时,.01)(R x ∈⇔<-⇔*

(2)0≠a 时,则0042>⇔≥+=∆a a a 或4-≤a , 此时两根为a a a a x 2421++-=,a

a a a x 2422+--=. ①当0>a 时,0>∆,⇔*∴)(<<+--x a

a a a 242a a a a 242++-; ②当04<<-a 时,0<∆,R x ∈⇔*∴)(;

③当4-=a 时,0=∆,2

1)(-≠∈⇔*∴x R x 且; ④当4-∆,⇔*∴)(或a a a a x 242++->a

a a a x 242+--<. 综上,可知当0>a 时,解集为(a a a a 242+--,a

a a a 242++-); 当04≤<-a 时,解集为R ;

当4-=a 时,解集为(21,-∞-)⋃(+∞-,2

1); 当4-

a a a ). 例5、解关于的x 不等式2(1)410()m x x m R +-+≤∈

分析:当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式;当m+1≠1时,还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论,并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论:⑴当m<-1时,⊿=4(3-m )>0,图象开口向下,与x 轴有两个不同交点,不

等式的解集取两边。⑵当-10, 图象开口向上,与x 轴有两个不同交点,不等式的解集取中间。⑶当m=3时,⊿=4(3-m )=0,图象开口向上,与x 轴只有一个公共点,不等式的解为方程24410x x -+=的根。⑷当m>3时,⊿=4(3-m )<0,图象开口向上全部在x 轴的上方,不等式的解集为∅。 解:11,|;4m x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭

当时原不等式的解集为 ⎭

⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤≤+--<<-⎭

⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤+--≥-<∆=+-+-≠132132|,31132132|1);

34014)1(12m m x m m x m m m x m m x x m m x x m m 原不等式的解集为时当或时,原不等式的解集为则当-(=的判别式时,当 当m=3时,原不等式的解集为⎭

⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ; 当m>3时, 原不等式的解集为∅。

小结:⑴解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解,若不易分解,也可对判别式分类讨论。⑵利用函数图象必须明确:①图象开口方向,②判别式确定解的存在范围,③两根大小。⑶二次项的取值(如取0、取正值、取负值)对不等式实际解的影响。

牛刀小试:解关于x 的不等式)0(,04)1(22>>++-a x a ax

思路点拨:先将左边分解因式,找出两根,然后就两根的大小关系写出解集。具体解答请同学们自己完成。

二、含参数的分式不等式的解法:

例1:解关于x 的不等式02

12>---x x ax 分析:解此分式不等式先要等价转化为整式不等式,再对ax -1中的a 进行分类讨论求解,还需用到序轴标根法。

解:原不等式等价于0)1)(2)(1(>+--x x ax

当a =0时,原不等式等价于0)1)(2(<+-x x

解得21<<-x ,此时原不等式得解集为{x|21<<-x };

当a >0时, 原不等式等价于0)1)(2)(1(>+--x x a

x , 则:当,2

1时=a 原不等式的解集为{}21|≠->x x x 且; 当0<,21时

⎬⎫⎩⎨⎧<<->211|x a x x 或;

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