高考数学一轮复习课件二项式定理
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第十章 §10.2 二项式定理
(2)已知x－
a
5
x
的展开式中
x5
的系数为
A，x2
的系数为
B，若
A＋B＝11，
则 a＝__±_1___.
x－
a
5
x
的展开式的通项为
Tk＋1＝Ck5x5－k－
axk＝
(
a)k
C5k
5
x
3 2
k
.
由 5－32k＝5，得 k＝0， 由 5－32k＝2，得 k＝2， 所以 A＝C05×(－a)0＝1，B＝C25×(－a)2＝10a2，
则由1＋10a2＝11，解得a＝±1.
命题点2 形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式 例 2 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)1－yx(x＋y)8 的展开式中 x2y6 的系数为 __－__2_8__(用数字作答).
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义
第十章
§10.2 二项式定理
课标要求
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理 解决与二项展开式有关的简单问题.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
课时精练
第一部分
落实主干知识
知识梳理
1.二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝ C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn (n∈N*)
微拓展
③有 1 个因式出一个 2x，2 个因式各出一个－3x2，剩余 2 个因式各出 一个 1，这样的方式有 C15C24种，对应的项为 C15×2x×C24×(－3x2)2； 所以含 x5 的项的系数为 C55×25＋C35×23×C12×(－3)＋C15×2×C42× (－3)2＝92.
高考数学-14-3二项式定理课件-人教版
• (2)解法一：展开式中x10的系数满足1＝a10C100 ∴a10＝1 • 展开式中x9的系数满足0＝a9C90＋a10C101，∴a9＝－10.故 选D.
• 解法二：x2＋x10＝[(x＋1)－1]2＋[(x＋1)－1]10展开式中a9 ＝C101(－1)1＝－10.故应选D. • (3)令x＝1，得a0＝1；令x＝2，得a0＋a1＋a2＋…＋a2n＝5n ；
• (3)C211＋C212＋C213＋…＋C2110＝________.
• [解析] (1)(x2－2x－3)10＝[(x－1)2－4]10展开式中(x－1)2 的系数a2＝C101(－4)9，∴a2＝－10·49 • 令x＝2，得a0＋a1＋a2＋…＋a20＝310 • 令x＝0，得a0－a1＋a2－a3＋…－a19＋a20＝310 • ∴a1＋a3＋a5＋…＋a19＝0，a0＋a2＋a4＋…＋a20＝310 (2)解法一：原式＝x－11－{1[－－[－x－x1－]1]5} ＝x－1＋x x－16 ∴展开式中 x2 的系数为 C63(－1)3＝－20.
• 求证：3n＞(n＋2)·2n－1(n∈N*，n＞2)． • [证明] 利用二项式定理3n＝(2＋1)n展开证明． • 因为n∈N*，且n＞2，所以3n＝(2＋1)n展开后至少有4项， (2＋1)n＝2n＋Cn1·2n－1＋…＋Cnn－1·2＋1≥2n＋n·2n－1＋2n＋1 ＞2n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n－1. • 故3n＞(n＋2)·2n－1.
• 1．二项式定理
• (a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b＋Cn2an－2b2＋…＋Cnran－rbr＋ …＋Cnnbn.(n∈N＋) • 通项公式：Tr＋1＝Cnran－rbr，(r＝0,1,2，…，n)． • 2．二项式系数 • (1)定义：Cn0，Cn1，Cn2，…Cnk，…Cnn 叫 做 二 项 式 系 数 ．
2025届高中数学一轮复习课件《二项式定理》ppt
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第6页
二 二项式系数的性质 1．对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数__相__等_____．
2．增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间的一项_________取得最大值；当 n 是奇数时，
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第8页
1．判断下列结论是否正确． (1)Crnan－rbr 是(a＋b)n 的展开式中的第 r 项．( ) (2)通项公式 Tr＋1＝Crnan－rbr 中的 a 和 b 不能互换．( √ ) (3)(a＋b)n 的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的 二项式系数不同．(√ ) (4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则 a7＋a6＋…＋a1 的值为 128.( )
或者其他量.
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对点练 1(1)在2x－mx 6 的展开式中，若常数项为－20，则实数 m 的值为(
)
A．12
B．－12
C．－2
D．2
(2)(2024·湖北部分重点中学第二次联考)用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中
个位小于百位且百位小于万位的五位数有 n 个，则(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)n
(3)(3
3－2)7 的展开式的通项
Tk＋1＝Ck7·(3
7－k
3)7－k·(－2)k＝Ck7·3 3
·(－2)k(k＝0,1,2,3,4,5,6,7)，
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要使第 k＋1 项为有理数，则7－3 k∈Z，则 k 可取 有理项的求法．
人教版高三数学一轮复习精品课件2：10.3 二项式定理
【跟踪训练 1】(2014·广东深圳一模)(x－21x)4 的展开式中
常数项为( )
1 A.2
B．－12
C.23
D．－32
解析：(x－21x)4 的展开式的通项为 Tr＋1＝(－12)rCr4x4－2r，
令 4－2r＝0 得 r＝2，
所以展开式的常数项为(－12)2C24＝23.
【跟踪训练 2】(2014·新课标Ⅰ)(x－y)(x＋y)8 的展开式中
由二项定理的通项公式可知 Tr＋1＝Crn(2 x)6－r(－ 1x)r＝26－r(－1)rCr6x3－r， 当 r＝3 时，展开式的常数项为 23(－1)3C36＝－160.
【题后总结】本题主要考查二项式定理的应用，二项式 展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
【学以致用】若(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋
(1)求第四项二项式系数及含有 x3 的项的系数； (2)求 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7 的值．
【解答过程】(1)因为由展开式的通项公式可得 T4＝C37(2x)4·13＝560x4，即第四项二项式系数 C37＝35； T5＝C47(2x)3·14＝280x3，含有 x3 的项的系数为 280. (2)当 x＝1，则 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝37， 当 x＝0，有 a0＝1， 于是 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝37－1.
a5x5，则 a3＝
.
解析：二项式展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr5·(2x)r，故 x3 的系数为 a3＝C35·23＝80.
则 a1－2a2＋3a3－4a4＝
.
解析：对二项式的展开式求导得到 8(1＋2x)3＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3， 令 x＝－1，得到－8＝a1－2a2＋3a3－4a4， 故答案为－8.
高考数学一轮复习---二项式定理知识点与题型复习
二项式定理知识点与题型复习一、基础知识1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C0n，C1n，…，C n n.2.二项式系数的性质注：(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.如(a＋bx)n的二项展开式中，第k＋1项的二项式系数是C k n，而该项的系数是C k n a n－k b k.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.二、考点解析考点一二项展开式中特定项或系数问题考法(一)求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例1、(1)522⎪⎭⎫⎝⎛+xx的展开式中x4的系数为()A.10B.20C.40D.80(2)若(2x－a)5的二项展开式中x3的系数为720，则a＝________.(3)已知5⎪⎭⎫⎝⎛+xax的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r＋1＝C r n a n－r b r，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；第三步，把r代入通项公式中，即可求出T r＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出T r＋1或者其他量.考法(二)求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例2、(1)(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是()A.－4B.－3C.3D.4(2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.考法(三)求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例3、(1)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60(2)将344⎪⎭⎫⎝⎛-+xx展开后，常数项是________.[解题技法]求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，把三项的和a＋b＋c看成是(a＋b)与c两项的和；第二步，根据二项式定理写出[(a ＋b )＋c ]n 的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a ＋b )n －r 的展开式中的哪些项和c r 相乘得到的； 第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 跟踪训练1.在(1－x 3)(2＋x )6的展开式中，x 5的系数是________.(用数字作答)3.5212⎪⎭⎫⎝⎛++x x (x ＞0)的展开式中的常数项为________.考点二 二项式系数的性质及各项系数和[典例精析](1)若531⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( ) A.63x B.4x C.4x 6x D.4x或4x 6x(2)若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n的值为________.(3)若(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.[解题技法] 1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x ，y 的一切值都成立.因此，可将x ，y 设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x ，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如： (1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可. (2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可. 2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中 (1)各项系数之和为f (1).(2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.跟踪训练1.已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝()A.1B.243C.121D.1222.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________.3.已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为____.考点三二项展开式的应用例、设a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，则a＝()A.0B.1C.11D.12[解题技法]利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：①余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；②二项式定理的逆用.跟踪训练]1.使得多项式81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1能被5整除的最小自然数x为()A.1B.2C.3D.4课后作业1.3422⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为( ) A.－32 B.32 C.6 D.－6 2.设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( )A.－6160B.－122121C.－34D.－901213.若二项式72⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( )A.560B.－560C.280D.－2804.已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A.29 B.210 C.211 D.2125.二项式9221⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( )A.－671B.671C.672D.673 6.在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( )A.－5B.－15C.－25D.257.若(x 2－a )101⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12C.1D.2 8.若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( ) A.1或3 B.－3 C.1 D.1或－3 9.(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)10.9⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________.11.511⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x 展开式中的常数项为________.12.已知nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+41的展开式中，前三项的系数成等差数列. (1)求n ；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项.。
2025年高考数学一轮复习课件第九章概率与统计-9.4二项式定理
10 的展开式中，求：
（1）二项式系数的和；
（2）各项系数的和；
（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
（4）奇数项系数和与偶数项系数和；
（5）的奇次项系数和与的偶次项系数和.
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解：设 2 − 3
10
= 0 10 + 1 9 + 2 8 2 + ⋯ + 10 10 ∗ .
数和等于偶数项的二项式系数和，即C0 + C2 + C4 + ⋯ = C1 + C3 + C5 + ⋯ = 2−1 .
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常用结论
杨辉三角
杨辉三角是二项式系数组成的三角形数表（如下），是我国数学史上一个伟大成
就，教材设专题“探究”，这里列出一些最基本的结论.
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（1）最外层全是1，第二层（含1）是自然数列1,2,3,4，⋯ ,第三层（含1，3）是
2
>
+1
时，C 随
2
+1
2
的增加而减少.如果二项式的幂指数是偶数，那么其展开式中间一项，即______的
+1
+1+1
二项式系数最大；如果是奇数，那么其展开式中间两项_____与_______的二项式系
2
2
数相等且最大.
2
（3）各二项式系数的和：C0 + C1 + C2 + ⋯ + C =____，且奇数项的二项式系
( ×)
（2）二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.
( ×)
（3） + 的展开式中某一项的二项式系数与，无关.
二项式定理课件-2025届高三数学一轮复习
解析 表示5个因式 的乘积，在这5个因式中，有2个因式选,其余的3个因式中有一个选,剩下的2个因式选,即可得到含的项，故含 的项的系数是 .
4.（改编）若 的展开式的第6项为常数，则展开式中所有有理项的个数为___.
3
解析 根据题意，可得 的展开式的通项公式为 ， 由第6项为常数项，得当时，，解得 . 因此，若为有理项，则，且，1,2,3, ,10，分析可得当,5,8时， ，则展开式中所有有理项的个数为3.
基础课55 二项式定理
基础知识·诊断
考点聚焦·突破
考点考向
课标要求
真题印证考频热度核心素养来自二项式定理掌握
2023年北京卷 2023年天津卷 2022年新高考Ⅰ卷
★★★
逻辑推理数学运算
二项式系数的性质
理解
2022年浙江卷
★★☆
逻辑推理数学运算
命题分析预测
从近几年高考的情况来看，选择题、填空题都出现过，属于基础题，命题热点是以展开式通项公式为载体求相关项的系数.预计2025年高考命题情况变化不大，应重视基础，夯实一轮复习
能
解析 ,上式中的每一项都可以被整除，故能被 整除.
题组3 走向高考
5.（2023 · 天津卷）在的展开式中， 项的系数为____.
60
解析 展开式的通项公式为 ，令可得，，则项的系数为 .
考点聚焦·突破
考点一 二项展开式的特定项或特定系数［自主练透］
1.（2023 · 北京卷）在的展开式中， 的系数为( ) .
二项式系数的最值问题
典例2 （2024 · 济南模拟）若二项式 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中 的指数为整数的项的个数为( ) .
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2021年高考数学(理)一轮复习讲义 第10章 第3讲 二项式定理
第3讲二项式定理一、知识梳理1．二项式定理(1)定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)．(2)通项：第k＋1项为T k＋1＝C k n a n－k b k．(3)二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：C k n(k＝0，1，2，…，n)．2．二项式系数的性质常用结论1．两个常用公式(1)C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.(2)C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.2．二项展开式的三个重要特征(1)字母a的指数按降幂排列由n到0.(2)字母b的指数按升幂排列由0到n.(3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n.3．三个易错点(1)二项式定理中，通项公式T k ＋1＝C k n a n －k b k是展开式的第k ＋1项，不是第k 项． (2)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在T k ＋1＝C k n a n －k b k 中，C k n 是该项的二项式系数，该项的系数还与a ，b 有关．(3)二项式系数的最值与指数n 的奇偶性有关．当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．二、习题改编1．(选修2-3P31例2(1)改编)(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数为________．解析：T k ＋1＝C k 5(2x )k ＝C k 52k x k ，当k ＝2时，x 2的系数为C 25·22＝40.答案：402．(选修2-3P31例2(2)改编)若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．解析：二项式系数之和2n＝64，所以n ＝6，T k ＋1＝C k 6·x6－k ·⎝⎛⎭⎫1x k＝C k 6x 6－2k ，当6－2k ＝0，即当k ＝3时为常数项，T 4＝C 36＝20.答案：203．(选修2-3P41B 组T5改编)若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为________．解析：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，两式相加得a 0＋a 2＋a 4＝8.答案：8一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a ＋b )n 的展开式中的第r 项是C r n an －r b r.( ) (2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)在(a ＋b )n 的展开式中，每一项的二项式系数与a ，b 无关．( )(4)通项T r ＋1＝C r n an －r b r 中的a 和b 不能互换．( ) (5)(a ＋b )n 展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×二、易错纠偏 常见误区|Ｋ(1)混淆“二项式系数”与“系数”致误；(2)配凑不当致误．1．在二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x n，的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为________．解析：由题意得2n ＝32，所以n ＝5.令x ＝1，得各项系数的和为(1－2)5＝－1. 答案：－12．已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝________．解析：因为(1＋x )10＝[2－(1－x )]10，所以其展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r 210－r ·C r 10(1－x )r，令r ＝8，得a 8＝4C 810＝180.答案：1803．(x ＋1)5(x －2)的展开式中x 2的系数为________．解析：(x ＋1)5(x －2)＝x (x ＋1)5－2(x ＋1)5展开式中含有x 2的项为－20x 2＋5x 2＝－15x 2.故x 2的系数为－15.答案：－15求二项展开式的特定项或系数(师生共研)(1)在⎝⎛⎭⎫x －12x 5的展开式中，x 2的系数为________．(2)在二项式⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5的展开式中，若常数项为－10，则a ＝________．【解析】 (1)⎝⎛⎭⎫x －12x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5x 5－r ⎝⎛⎭⎫－12x r＝⎝⎛⎭⎫－12rC r 5x 5－3r 2，令5－32r ＝2，得r ＝2，所以x 2的系数为C 25⎝⎛⎭⎫－122＝52.(2)⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r ×⎝⎛⎭⎫1x r＝C r 5a 5－r x 10－5r 2，令10－5r 2＝0，得r ＝4，所以C 45a5－4＝－10，解得a ＝－2. 【答案】 (1)52(2)－2求二项展开式中的特定项的系数问题的步骤(1)利用通项将T k ＋1项写出并化简．(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k .(3)代回通项得所求．1.⎝⎛⎭⎫x 2－12x 6的展开式中，常数项是( ) A ．－54B ．54C ．－1516D ．1516解析：选D.T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r⎝⎛⎭⎫－12x r ＝⎝⎛⎭⎫－12rC r 6x12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4，所以常数项为⎝⎛⎭⎫－124C 46＝1516. 2.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x 10的展开式中所有的有理项为________． 解析：二项展开式的通项为T k ＋1＝C k 10⎝⎛⎭⎫－12kx10－2k3，由题意10－2k3∈Z ，且0≤k ≤10，k∈N .令10－2k 3＝r (r ∈Z )，则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ，因为k ∈N ，所以r 应为偶数．所以r可取2，0，－2，即k 可取2，5，8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为454x 2，－638，45256x －2.答案：454x 2，－638，45256x －2二项式系数与各项系数和问题(师生共研)(1)在⎝⎛⎭⎫x ＋3x n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64∶1，则x 3的系数为( )A ．15B ．45C ．135D ．405(2)若(1－x )9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 9|＝( ) A ．1 B ．513 C ．512D ．511【解析】 (1)由题意知4n 2n ＝64，得n ＝6，展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫3x r ＝3r C r 6x 6－3r 2，令6－3r2＝3，得r ＝2，则x 3的系数为32C 26＝135.故选C. (2)令x ＝0，得a 0＝1，令x ＝－1，得|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 9|＝[1－(－1)]9－1＝29－1＝511.【答案】 (1)C (2)D“赋值法”普遍应用于恒等式，是一种处理与二项式相关问题的比较常用的方法．对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可．1.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( )A ．63x B ．4x C ．4x 6xD ．4x或4x 6x 解析：选A.令x ＝1，可得⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中各项系数之和为2n ，即8<2n<32，解得n ＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C 24(x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＝63x . 2．若(1＋x )(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 9x 9，x ∈R ，则a 1·2＋a 2·22＋…＋a 9·29的值为( ) A ．29 B ．29－1 C ．39D ．39－1解析：选D.(1＋x )(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，令x ＝0，得a 0＝1；令x ＝2，得a 0＋a 1·2＋a 2·22＋…＋a 9·29＝39，所以a 1·2＋a 2·22＋…＋a 9·29＝39－1.故选D.多项式的展开式问题(多维探究) 角度一 几个多项式的和的展开式问题在(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )11的展开式中，x 2项的系数是( )A ．55B ．66C ．165D ．220【解析】 展开式中x 2项的系数是C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 211＝C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 211＝C 34＋C 24＋…＋C 211＝…＝C 312，所以x 2项的系数是C 312＝220.故选D. 【答案】 D几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法：先分别求出每一个多项式中的特定项，再合并．通常要用到方程或不等式的知识求解．角度二 几个多项式的积的展开式问题(1)(2019·高考全国卷Ⅲ)(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( )A ．12B ．16C ．20D ．24(2)(2020·南昌模拟)已知(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，则正实数a ＝________．【解析】 (1)展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成，则x 3的系数为C 34＋2C 14＝4＋8＝12.(2)(ax ＋1)6的展开式中x 2项的系数为C 46a 2，x 项的系数为C 56a ，由(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，可得－C 46a 2＋C 56a ＝0，因为a 为正实数，所以15a ＝6，所以a ＝25. 【答案】 (1)A (2)25求解形如(a ＋b )m (c ＋d )n 的展开式问题的思路(1)若m ，n 中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a ＋b )2·(c ＋d )n ＝(a 2＋2ab ＋b 2)(c ＋d )n ，然后分别求解．(2)观察(a ＋b )(c ＋d )是否可以合并，如(1＋x )5·(1－x )7＝[(1＋x )(1－x )]5(1－x )2＝(1－x 2)5(1－x )2.(3)分别得到(a ＋b )m ，(c ＋d )n 的通项，综合考虑．角度三 三项展开式的定项问题(1)(x 2－x ＋1)10的展开式中x 3项的系数为( )A ．－210B ．210C ．30D ．－30(2)(x 2＋x ＋y )5的展开式中x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60【解析】 (1)(x 2－x ＋1)10＝[x 2－(x －1)]10＝C 010(x 2)10－C 110(x 2)9(x －1)＋…－C 910x 2(x －1)9＋C 1010(x －1)10，所以含x 3项的系数为：－C 910C 89＋C 1010(－C 710)＝－210.(2)(x 2＋x ＋y )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r ·y r ，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，又(x 2＋x )3的展开式的通项为T k ＋1＝C k 3(x 2)3－k ·x k ＝C k 3x 6－k ，令6－k ＝5，则k ＝1，所以(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为C 25C 13＝30，故选C.【答案】 (1)A (2)C三项展开式中的特定项(系数)问题的处理方法(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解．(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式定理展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形．1．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n (n ∈N *)，若a 0＋a 1＋…＋a n ＝62，则log n 25等于________．解析：令x ＝1可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋22＋23＋ (2)＝2（2n －1）2－1＝2n ＋1－2＝62，解得n ＝5，所以log n 25＝2.答案：22．在⎝⎛⎭⎫x －1x (2x －1)6的展开式中，x 3的系数是_________________________________． (用数字作答)解析：由题意得，⎝⎛⎭⎫x －1x (2x －1)6的展开式中含x 3的项为x C 46(2x )2(－1)4＋⎝⎛⎭⎫－1x C 26(2x )4(－1)2＝－180x 3，所以展开式中x 3的系数为－180.答案：－1803．在⎝⎛⎭⎫2＋x －x 2 0182 01712的展开式中，x 5项的系数为________． 解析：T r ＋1＝C r 12(2＋x )12－r ·⎝⎛⎭⎫－x 2 0182 017r，要出现x 5项，则r ＝0，T 1＝(2＋x )12，所以x 5项的系数为22C 1012＝4C 1012＝264.答案：264[基础题组练]1.⎝⎛⎭⎫2x 2－x 43的展开式中的常数项为( ) A ．－3 2 B ．3 2 C ．6D ．－6解析：选D.通项T r ＋1＝C r 3⎝⎛⎭⎫2x 23－r(－x 4)r ＝C r 3(2)3－r ·(－1)r x －6＋6r ，当－6＋6r ＝0，即r ＝1时为常数项，T 2＝－6，故选D.2．(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中x 4的系数为( ) A ．50 B ．55 C ．45D ．60解析：选B.(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中x 4的系数是C 45＋C 46＋C 47＝55.故选B. 3．(2020·四川成都实验外国语学校二诊)已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋33x n的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C.二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33x n 的各项系数的和为(1＋3)n ＝4n，二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33x n的各项二项式系数的和为2n，因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，所以4n 2n ＝2n＝64，n ＝6.故选C.4．在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( ) A ．－5 B ．－15 C ．－25D ．25解析：选B.因为(1－x )5＝(－x )5＋5x 4＋C 35(－x )3＋…，所以在(1－x )5·(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为5－2C 35＝－15.故选B.5．1＋(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式的各项系数之和为( ) A ．2n －1 B ．2n －1 C ．2n ＋1－1D ．2n解析：选C.令x ＝1，得1＋2＋22＋…＋2n ＝1×（2n ＋1－1）2－1＝2n ＋1－1.6．(2020·湖南岳阳二模)将多项式a 6x 6＋a 5x 5＋…＋a 1x ＋a 0分解因式得(x －2)(x ＋2)5，则a 5＝( )A ．8B ．10C ．12D ．1解析：选A.(x －2)(x ＋2)5＝(x 2－4)·(x ＋2)4，所以(x ＋2)4的展开式中x 3的系数为C 14·21＝8，所以a 5＝8.故选A.7．(x 2＋2)⎝⎛⎭⎫1x －15展开式中的常数项是( )A ．12B ．－12C ．8D ．－8解析：选B.⎝⎛⎭⎫1x －15展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫1x 5－r(－1)r ＝(－1)r C r 5xr －5，当r －5＝－2或r －5＝0，即r ＝3或r ＝5时，展开式的常数项是(－1)3C 35＋2(－1)5C 55＝－12.故选B.8.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋15展开式中的常数项为( ) A ．1 B ．21 C ．31D ．51解析：选D.因为⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋15＝⎣⎡⎦⎤（x ＋1）＋1x 5＝C 05(x ＋1)5＋C 15(x ＋1)4·1x＋C 25(x ＋1)3·⎝⎛⎭⎫1x 2＋C 35(x ＋1)2·⎝⎛⎭⎫1x 3＋C 45(x ＋1)1·⎝⎛⎭⎫1x 4＋C 55⎝⎛⎭⎫1x 5. 所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋15展开式中的常数项为C 05·C 55·15＋C 15·C 34·13＋C 25·C 13·12＝51.故选D. 9．已知(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝( )A ．1B ．243C ．121D ．122解析：选B.令x ＝1，得a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝1，① 令x ＝－1，得－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝－243，② ①＋②，得2(a 4＋a 2＋a 0)＝－242， 即a 4＋a 2＋a 0＝－121.①－②，得2(a 5＋a 3＋a 1)＝244， 即a 5＋a 3＋a 1＝122.所以|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝122＋121＝243.故选B. 10．(2020·海口调研)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( ) A.13 B ．12C ．1D ．2解析：选D.由题意得⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式是T k ＋1＝C k 10·x 10－k ·⎝⎛⎭⎫1x k＝C k 10x 10－2k ，⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中含x 4(当k ＝3时)，x 6(当k ＝2时)项的系数分别为C 310，C 210，因此由题意得C 310－a C 210＝120－45a ＝30，由此解得a ＝2，故选D.11．若(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n 等于( ) A ．2nB ．3n －12C ．2n ＋1D ．3n ＋12解析：选D.设f (x )＝(1＋x ＋x 2)n ， 则f (1)＝3n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n ，① f (－1)＝1＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2n ，②由①＋②得2(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝f (1)＋f (－1)， 所以a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝f （1）＋f （－1）2＝3n ＋12.12．已知(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2的值为( )A ．39B ．310C ．311D ．312解析：选D.对(x ＋2)9＝ a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9两边同时求导，得9(x ＋2)8＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋8a 8x 7＋9a 9x 8，令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9＝310，令x ＝－1，得a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9＝32.所以(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2＝(a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9)(a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9)＝312，故选D.13．(x y －y x )4的展开式中，x 3y 3项的系数为________．解析：二项展开式的通项是T k ＋1＝C k 4(x y )4－k ·(－y x )k ＝(－1)k C k 4x 4－k 2y 2＋k 2，令4－k 2＝2＋k 2＝3，解得k ＝2，故展开式中x 3y 3的系数为(－1)2C 24＝6. 答案：614.⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25(x >0)的展开式中的常数项为________． 解析：⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25(x >0)可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 10，因而T r ＋1＝C r 10⎝⎛⎭⎫1210－r (x )10－2r ，令10－2r ＝0，则r ＝5，故展开式中的常数项为C 510·⎝⎛⎭⎫125＝6322. 答案：6322 15．已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x n的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则n ＝________，展开式中的第五项为________． 解析：二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x n的展开式中，前三项的二项式系数之和为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝1＋n ＋n （n －1）2＝37，则n ＝8，故展开式中的第五项为C 48·124·x ＝358x . 答案：8 358x 16．设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝________．解析：(x ＋y )2m 展开式中二项式系数的最大值为C m 2m ，所以a ＝C m 2m .同理，b ＝C m ＋12m ＋1. 因为13a ＝7b ，所以13·C m 2m ＝7·C m ＋12m ＋1.所以13·（2m ）！m ！m ！＝7·（2m ＋1）！（m ＋1）！m ！. 所以m ＝6.答案：6[综合题组练]1．已知C 0n －4C 1n ＋42C 2n －43C 3n ＋…＋(－1)n 4n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n 的值等于( )A ．64B ．32C ．63D ．31解析：选C.因为C 0n －4C 1n ＋42C 2n －43C 3n ＋…＋(－1)n 4n C n n＝729，所以(1－4)n ＝36，所以n ＝6，因此C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n －1＝26－1＝63，故选C.2．设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 018＋a 能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．12解析：选D.512 018＋a ＝(52－1)2 018＋a ＝C 02 018522 018－C 12 018522 017＋…＋C 2 0172 018×52×(－1)2 017＋C 2 0182 018×(－1)2 018＋a .因为52能被13整除，所以只需C 2 0182 018×(－1)2 018＋a 能被13整除，即a ＋1能被13整除，所以a ＝12.3．已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N *)是一个单调递增数列，则k 的最大值是________．解析：由二项式定理知，a n ＝C n －110(n ＝1，2，3，…，11)．又(x ＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，所以a 6＝C 510，则k 的最大值为6.答案：64．设a ＝⎠⎛012x d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6的展开式中的常数项为________． 解析：a ＝⎠⎛012x d x ＝x 2⎪⎪⎪10＝1，则二项式⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6＝⎝⎛⎭⎫x 2－1x 6，其展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r＝(－1)r C r 6x 12－3r ， 令12－3r ＝0，解得r ＝4.所以常数项为(－1)4C 46＝15.答案：155．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.解：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.①令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.②(1)因为a 0＝C 07＝1，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094. (3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093. (4)因为(1－2x )7的展开式中a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零， 所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.6．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x n的展开式中，前三项的系数成等差数列．(1)求n ；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项．解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C 0n ，12C 1n ，14C 2n ， 由已知得2×12C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ， 解得n ＝8(n ＝1舍去)．(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x 8的展开式的通项T r ＋1＝C r 8(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫124x r ＝2－r C r 8x 4－3r 4 (r ＝0，1，…，8)，要求有理项，则4－3r4必为整数，即r＝0，4，8，共3项，这3项分别是T1＝x4，T5＝358x，T9＝1256x2.(3)设第r＋1项的系数为a r＋1最大，则a r＋1＝2－r C r8，则a r＋1a r＝2－r C r82－（r－1）C r－18＝9－r2r≥1，a r＋1 a r＋2＝2－r C r82－（r＋1）C r＋18＝2（r＋1）8－r≥1，解得2≤r≤3.当r＝2时，a3＝2－2C28＝7，当r＝3时，a4＝2－3C38＝7，因此，第3项和第4项的系数最大，故系数最大的项为T3＝7x52，T4＝7x74.。
高三数学 第一轮复习 第十一章《排列、组合和二项式定理》课件11-3
• 【答案】 45
(2)(2010·全国卷Ⅱ)若(x－ax)9 的展开式中 x3 的系数是 －84，则 α＝________.
• 法三：(基本原理法)将(1＋x＋x2)8写成八个因式乘积的形 式(1＋x＋x2)8＝(1＋x＋x2)·(1＋x＋x2)·(1＋x＋ x2)·…·(1＋x＋x2)(共8个)．
• 这八个因式中乘积展开式中形式x5的来源有三：①有两个 括号各出一个x2，其余六个括号中恰有一个括号出一个x， 这种方式共有C82C61种；②有一个括号出一个x2，其余七 个括号中恰有三个括号各出一个x，共有C81C73种；③没 有一个括号出一个x2，恰有五个括号各出一个x，共有C85 种．
【答案】 －5
• (4)求(1＋x＋x2)8展开式中x5的系数． • 【解析】 法一：(通项公式法)(1＋x＋x2)8＝[1＋(x＋
x2)]8展开后的通式公式是Tr＋1＝C8r(x＋x2)r，则x5的系数 由(x＋x2)r决定，而(x＋x2)r的展开通项公式是T′k＋1＝Crkxr －kx2k＝Crkxr＋k，所以(1＋x＋x2)8展开式的通项公式是 C8rCrkxr＋k，其中0≤k≤r≤8，r＋k＝5，r、k∈N.
答案
7n－1 6
5．(2010·江西卷，理)(2－ x)8 展开式中不含 x4 项
的系数的和为( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
• 答案 B
• 解析 由通项公式可得展开式中含x4项为T8＋1＝C88x4＝x4， 故含x4项的系数为1，令x＝1，得展开式的系数和S＝1， 故展开式中不含x4项的系数的和为1－1＝0.
二项式定理课件-2025届高三数学一轮复习
B.−
)
C.−
√
D.−
解析：因为只有第5项的二项式系数最大，
所以 = , −
的展开式的通项为+
= −
− ，
= ,1,2,
⋯ ，8，所以展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶
数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的
D.50
] 求解.
思路二：利用因式分解把 + − 转化为二项式
思路三：
+
)
−
求解.
− 表示5个因式 + − 的乘积，利用组合知识求解.
解析：方法一： + −
=[ − +
] ,
通项为+ = − −
逐项减1直到零；字母 按升幂排列，从第一项开始，次数由零逐项加1直
到 .
2.二项式系数的性质
若二项展开式的通项为+ = ⋅
( = , , , ⋯ , ), ≠ ,则
有以下常见结论：
（1） = ⇔ + 是常数项；
（2） 是非负整数 ⇔ + 是整式项；
的展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，所
以 = ，解得 = .
−
展开式的通项为
−
+ =
−
=
⋅ −
⋅ − ⋅ − ，
2023版高考数学一轮总复习10-2二项式定理课件
解析 (1)n=6时,(1+2x)6的展开式中有7项,中间一项的二项式系数最大,此
项为C36 (2x)3=160x3.又Tr+1=C6r (2x)r=2rC6r xr,设第k+1项的系数最大,则
CC66kk
2k 2k
Ck 1 6
Ck 1 6
2k 2k
1, 1 ,
解得
11 3
≤k≤
14 3
,∴k=4,即第5项系数最大,第5项为
C64
(2x)4
=240x4.
所以二项式系数最大的项是第4项,为160x3,系数最大的项是第5项,为240x
4.
(2)令x=0,得a0=1,记f(x)=(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n≥6,n为偶数), 则f(1)=3n=a0+a1+a2+…+an, f(-1)=(-1)n=a0-a1+a2-a3+…-an-1+an,
所以a0+a2+a4+…+an= f (1) f (1) = 3n (1)n = 3n 1 ,
2
2
2
所以a2+a4+…+an=
3n
2
1
-1=
3n
2
1
.
专题十 计数原理
10.2 二项式定理
1.二项式定理
考点 二项式定理
1)公式(a+b)n=
C0n
an+
C1n
an-1b1+…+
Ckn
an-kbk+…+
C
n n
2025高考数学一轮复习-10.3-二项式定理【课件】
a3＝C23(－1)2＋C34＝7；a4＝C33(－1)3＋C44＝0，
所以a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10.
大值 当 n 为奇数时，中间的两项
与 相等且取得最大值
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n 展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝__2_n___. (2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 C0n＋C2n＋C4n ＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝____2_n_－_1 ___.
当n＝4k－1时，展开式中存在x的一次项，D正确，C错误.
4.
x＋y2 x
(x＋y)5
的展开式中
x3y3
的系数为(
C
)
A.5
B.10
C.15
D.20
解析 法一 ∵x＋yx2(x＋y)5＝x＋yx2(x5＋5x4y＋10x3y2＋10x2y3＋5xy4＋y5)，
∴x3y3的系数为10＋5＝15.
法二 当 x＋yx2中取 x 时，x3y3 的系数为 C35， 当 x＋yx2中取yx2时，x3y3 的系数为 C15， ∴x3y3 的系数为 C35＋C15＝10＋5＝15.
(a＋b)n 的展开式形式上的特点 (1)项数为 n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n. (3)字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升 幂排列，从第一项起，次数由零逐项增 1 直到 n. (4)二项式系数从 C0n，C1n，一直到 Cnn－1，Cnn.
(旧教材适用)2023高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及分布列第3讲二项式定理课件
A．－10
B．－5
C．5
D．10
答案 B
解析 (x＋y)5 的展开式的通项为 Tr＋1＝C5rx5－ryr，令 5－r＝1，得 r＝4， 令 5－r＝2，得 r＝3，∴(x－y)(x＋y)5 的展开式中 x2y4 的系数为 C45×1＋(－ 1)×C35＝－5.故选 B.
4．设(5x－ x)n 的展开式的各项系数之和为 M，二项式系数之和为 N，
M－N＝240，则展开式中 x3 的系数为( )
A．500
B．－500
C．150
D．－150
答案 C
解析 由题意可得 N＝2n，令 x＝1，则 M＝(5－1)n＝4n＝(2n)2.∴(2n)2－ 2n＝240，2n＝16(负值舍去)，n＝4.展开式中第 r＋1 项为 Tr＋1＝Cr4(5x)4－r(－
6．在(1－3
x)7＋
x＋ ax6的展开式中，若 x2 的系数为 19，则 a＝
____2____．
解析
(1－3
x)7＋
x＋ ax6的展开式中 x2 的系数为 C67(－1)6＋C16a1＝C67
＋aC16，则 aC16＋C67＝19，解得 a＝2.
2
PART TWO
核心考向突破
考向一 求展开式中的特定项或特定项系数
2．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则 a0＋a2＋a4 的值为( )
A．9
B．8
C．7
D．6
答案 B
解析 令 x＝1，则 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令 x＝－1，则 a0－a1＋a2 －a3＋a4＝16，两式相加，得 a0＋a2＋a4＝8.
3．(x－y)(x＋y)5 的展开式中 x2y4 的系数为( )
高考数学一轮复习第10章第3讲二项式定理课件理
题型 二 二项式系数的性质或各项系数的和 1．(1－3x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝ ________. 答案 －33
答案
解析 令 x＝1 得(－2)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－32. 令 x＝0 得，1＝a0； 所以 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－33.
(3)设第 r＋1 项的系数为 ar＋1 最大，则 ar＋1＝2－rCr8，
则ar＋1＝ ar
2－2r－－1rCCr8r8－1＝92－r r≥1，
aarr＋ ＋12＝2－2r＋－1rCCr8r8＋1＝28r－＋r1≥1，
答案
解得 2≤r≤3. 当 r＝2 时，a3＝2－2C28＝7，当 r＝3 时，a4＝2－3C38＝7， 因此，第 3 项和第 4 项的系数最大， 故系数最大的项为
(2)
x＋ 1 4
8
的展开式的通项
Tr＋1＝Cr8(
1 x)8－r· 4
4－34r
r＝2－rCr8x
(r
2 x
2 x
＝0,1，…，8)，
答案
要求有理项，则 4－34r必为整数，即 r＝0,4,8，共 3 项，这 3 项分别是 T1
＝x4，T5＝385x，T9＝2516x2.
解析
2．(2018·九江模拟)已知
x＋
1 4
n
的展开式中，前三项的系数成等差
2 x
数列．
(1)求 n；
(2)求展开式中的有理项；
(3)求展开式中系数最的系数分别为 C0n，12C1n，14C2n，
由已知得 2×12C1n＝C0n＋14C2n，解得 n＝8(n＝1 舍去)．
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的两项的二项式系数相等,即 17
Cnr
C nr n
.
10
(2)二项式系数的大小规律.
如果二项式的幂指数是偶数，中间一项
即 18 Tn 1 的二项式系数最大;如果二项式的幂
指数是2奇数;中间两项即 T 19 n1 与 20 Tn11 的二
项式系数相等且最大.
2
2
(3)二项式系数的和
21 Cn0 Cn1 Cn2 Cnn 2n .
得
B
A．1 x4
B.2 x4
C．x4
D．3 x4
解析 逆用二项式定理可得P 1 1 x4 2 x4 ，
故选B.
3
2. 对任意x R，恒有x3 a0 a1 x 2 a2 x 22 a3 x 23 ，
则a2的值为
B
A．3
B.6
C．9
D．12
解析 由于x3 2 x 23 ，a2为其展开式中含 x 22 项的系数，又T3 C32 232 x 22 ，
二项式展开式的第r+1项是
Tr+1= 13 Cnr an-rbr .
9
4.二项式系数与展开式的系数
第r+1项的二项式系数即 14
C
r n
,而展开
式的第r+1项系数是该项的 15 常数部分 (含
项的性质符号)，是两个不同的概念.
5.二项式系数的性质
(1)二项式系数的结构规律和等量关系.
在二项展开式中,与首末两端 16 “等距离 ”
易错点 展开式中第r 1项的系数与第r 1项的
二项式系数概念混淆．
5
4. 已知(x)n的展开式的二项式系数和为256，则展开
式中含x4的项是第 ___3______ 项．
解析 由已知256 2n，求得n 8.从而由
Tr 1
C8r
gx8r
g1 x
)r
C8r gx82r .令8 2r
4，
当n为偶数时, Cn0＋Cn2 + Cn4 +…+ Cnn = 22
Cn1
Cn3
Cn5
C n1 n
2n1
.
当n为奇数时, Cn0 + Cn2 + Cn4+…+
= C n1 23 n
Cn1 Cn3 Cn5 Cnn 2n1
.
11
题型一 二项式的通项公式及应用
例1 已知( x 1 )n的展开式的第五项和第三项
8
(2)各项的次数和都等于二项式的幂指 数⑥ n ,即a与b的指数和为n.
(3)字母a按⑦ 降幂排列，从第一项开始，
次数由⑧ 逐n项减1直到⑨ ,字零母b按⑩
排列升,幂从第一项起,次数由
1逐1 项零增1直
到
12 . n
(4)二项式的系数依次为Cn0,Cn1,…,Cnn1,Cnn. 3.二项式的展开式的通项
得r 2，故含x4的项为第3项．
易错点 于通项公式中项数与组合数Crn中r的关系记忆错误，
而误认为“Crn ?对应第r项．
6
5. 设多项式 x2 1 2x 14 a0 a1x a2 x2 a6 x6，
则a0 ____1____，a1 a2 a6 _1_6__1___ .
解得n 5 (舍去)或n 6，a2 270 9，所以a 3.
3
30
16
题型二 可化为二项式问题及解法
例2 1 (2010g辽宁卷) 1 x x2 (x 1)6的展开式 x 中的常数项为___________.
3x2 的二项式系数比为14∶3，则：
1 展开式中二项式系数最大的项为 __________ ； 2 展开式中的常数项为 __________ ； 3展开式中有 __________ 项有理项．
12
解析
依题设，Cn4 14， Cn2 3
即 nn 1n 2n 3 2 1 14，
43 21
故a2 C32 232 6，故选B.
易错点 误将x3转化为2 x 23 而计算错误．
4
3. 二项式a 2bn 的展开式中第二项的系数为8，
则它的第三项的二项式系数为
D
A．24
B．18
C．16
?D．6
解析 通项Tr1 Cnr anr 2b r Cnr 2r anrbr，可知
8 C1n 21，解得n 4，故第三项的二项式系数为 C62 6，故选D.
解析 (赋值法)令x 0得a0 1.令x 1得
a0 a1 a2 a6 12 1 (2 1 1)4
= 2 34 162， 故a1 a2 a6 161.
7
1.二项式定理 (a+b)n=① Cn0 an+ Cn1an-1b1+ Cn2 an-2b2+….
+ Cnran-rbr+…+ Cnnbn(n∈N*) . 这个公式所表示的定理叫做② 二项式定理 , 右边的多项式叫做(a+b)n的③ 展开式 .特别 地,(1±x)n=④ 1± Cnx1 + Cnx2 2±…+(±1)n Cxnn . 2.展开式的特点 (1)共有⑤ n+1 项.
(
1 3x2
)
r
(1)r 3
C1r0
5 5r
x2
.
令5 5r 0，得r 2. 2
13
故展开式中的常数项为T3
(
1)2 3
C120
5，故填5.
3
由
2
Tr 1
(1)r 3
C1r0
5- 5 r
x2
.
由5 5r Z，则r 0, 2, 4, 6,8,10. 2
因此可知展开式中的有理项共有6项，故填6.
1
1.掌握二项式定理及其通项公式， 并会利用二项式定理及其通项公式解决 有关多项式化简和展开式的项或项的系 数相关的问题.
2.掌握二项式系数的相关性质，会 求展开式的系数和，能利用二项式定理 进行近似计算、证明整除问题，证明不 等式等综合问题.
2
1.化简P 1 41 x 61 x2 41 x3 1 x4
nn 1 3
化简得n 2n 3 8 7，因此n 2 8，故n 10.
1 (
x
1 3x2
)10的展开式中二项式系数最大的项是第6项，
且T6 C150 (
x )105 ( 1 )5 28 x 15，故填 28 x 2
2
由Tr 1
10r
C1r0 x 2
评析 涉及二项式展开式的系数、次数、项的性质
(常数项、有理项等)，则应用?通项公式”．
14
1
素材1 设a＞0，若(1 ax 2 )n 展开式中含x2的项的系数
等于含x的项的系数的9倍，且展开式中含x的项的系数 为135，求a的值．
解析
15
所以 n 2n 3 2 ，化简得3n2 23n 30 0. nn 1 5