曲线与方程知识点及题型归纳总结 (2)

曲线与方程知识点及题型归纳总结知识点精讲一、曲线的方程和方程的曲线在直角坐标系中，如果是某曲线C （看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程(),0f x y =的实数解建立了如下的关系：（1） 曲线上的点的坐标都是这个方程的解（完备性）（2） 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（纯粹性）那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫方程的曲线。

事实上，曲线可以看作一个点集C ，以一个二元方程的解作为坐标的点也组成一个点集F ，上诉定义中C F ⇔⊆⎧⇔=⎨⇔⊆⎩条件(1)C F 条件(2)F C二、直接法求动点的轨迹方程利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：（1） 建系-----建立适当的坐标系（2） 设点-----设轨迹上的任一点(),P x y（3） 列式-----列出有限制关系的几何等式（4） 代换-----将轨迹所满足的条件用含,x y 的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为,x y 的方程式化简 （5） 证明（一般省略）-----证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外补充检验）。

简记为：建设现代化，补充说明。

注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线。

题型归纳及思路提示题型1 求动点的轨迹方程 思路提示：动点的运动轨迹所给出的条件千差万别，因此求轨迹的方法也多种多样，但应理解，所求动点的轨迹方程其实质即为其上动点的横纵坐标,x y 所满足的等量关系式，通常的方法有直译法，定义法，相关点法（代入法），参数法。

一、直译法如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么只需把这些关系“翻译”成含,x y 的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直译法。

例10.30 在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点()1,1A -关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-，求动点P 的轨迹方程。

分析 设点(),P x y ，将题设中直线AP 与BP 斜率之积等于13-翻译成含,x y 的等式。

解析：因为点B 与点()1,1A -关于原点O 对称，所以点B 的坐标为()1,1-，设点(),P x y ，由题意得111113y y x x -+=-+-g ，化简得()22341x y x +=≠± ，故动点P 的轨迹方程为()22341x y x +=≠± 变式1 已知动圆过定点()4,0A ，且在y 轴上截得的弦的长为8，求动圆圆心的轨迹C 的方程变式 2 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,1,A B -点在直线3y =-上，M 点满足,MB OA MA AB MB BA =u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rP g g ，M 点的轨迹为曲线C ，求C 的方程。

变式 3 （2012江西理20（1））已知三点()()()0,02,12,1O A B -，曲线C 上任意一点(),M x y 满足()2MA MB OM OA OB +=++u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u rg ，求曲线C 的方程。

二、定义法若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则 可根据定义直接求出方程中的待定系数，故称待定系数法。

例10.31 ()2,0M -和()2,0N 是平面上的两点，动点P 满足6PM PN += ，求点P 的轨迹方程. 分析 动点P 满足64PM PN +=>，则动点P 满足椭圆定义解析 因为64PM PN MN +=>=，所以由椭圆定义，动点P 的轨迹是以()2,0M -和()2,0N 为焦点，长轴长为6的椭圆，设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>> ，则有26,3a a == ，半焦距2c = ，所以b ==，所以所求动点的轨迹方程为22195x y += 评注：椭圆的定义：在平面内到两定点12,F F 的距离和等于定长（大于12F F ）的点的轨迹是椭圆。

对于圆，曲线，双曲线的定义也应熟记。

变式1 设圆C 与两圆((22224,4,x y x y +=-+= 重点 一个内切，另一个外切，求C 的圆心轨迹L 的方程。

变式2 已知动圆P 与定圆()22:21C x y ++=外切，又与定直线:1l x = 相切，那么动圆圆心P 的轨迹方程是变式3 已知平面内一动点P 到点()1,0F 的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1，求动点P 的轨迹C的方程。

例10.32 如图10-15所示，12,F F 为椭圆22143x y +=的左，右焦点，A 为椭圆上任因点，过焦点2F 向12F AF ∠ 的外角平分线作垂线，垂足为D ，并延长2F D 交1F A 于点B ，则点D 的轨迹方程是 ，点B 的轨迹方程是分析 由AD 平分2BAF ∠ ，得2AD F B ⊥，易得到22,,AF AB DF DB OD ==P 1BF 故1122OD BF a === 解析 因为22,BAD F AD AD BF ∠=∠⊥ ,所以2ADF V ≌ADB V 故22,BD F D BA F A == ,又O 为12F F 中点,所以112OD BF P ,()12122OD AF AF =+= ,则点D 的轨迹为以O 为圆心,2为半径的圆,故点D 的轨迹为224(y 0)x y +=≠ ,同理,点B 的轨迹是以()11,0F - 为圆心,4为半径的圆,故点B 的轨迹方程为()22116(y 0)x y ++=≠评注: 在应用角平分线性质的同时,要会很好的结合已知曲线的定义,这里用到了圆的定义以及椭圆的定义. 变式1 已知12,F F 是双曲线的左，右焦点，Q 是双曲线上任一点（不是顶点），从焦点1F 引12FQF ∠的平分线的垂线，垂足为P ，则动点的轨迹方程所在的曲线是（ ） A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线变式2 已知点P 为双曲线又支上异于顶点的任一点，连接12,PF PF ，作12PF F V 的内切圆，其圆心为O '，则动圆圆心O '的轨迹所在的曲线是（ ）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线变式3 如图10-16所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BCC B 内一动点，若P 到直线BC 与到直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线 三、相关点法（代入法）有些问题中，所求轨迹上点(),M x y 的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点(),M x y '''相关联的，这时要通过建立这两点之间关系，并用,x y 表示,y x ''，再,y x ''将代入已知曲线方程，即得,x y 关系式。

例10.33已知A为椭圆2212516x y+=上的点，点B坐标为()2,1，有2AP PB=uu u r u u u r求点P的轨迹方程。

分析本题已知A（相关点）在椭圆上，点B坐标已知，只需用点P的坐标表示点A的坐标，然后代入椭圆方程便可解出。

解析设()()00,,,A x y P x y，()()00,,2,1AP x x y y PB x y=--=--u u u r u u u r因为2AP PB=u u u r u u u r，故()()2221x x xy y y-=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩即03432x xy y=-⎧⎨=-⎩代入2212516x y+=得()()22313212516x y--+=，因此点P的轨迹方程为2242331251699x y⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=评注关键在于用点P的坐标表示点A的坐标，然后根据点A所满足的方程就可求得动点P的轨迹方程。

变式1 如图10--17所示，设P是圆2225x y+=上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上一点，且45MD PD=，当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程.变式2 如图10--18所示，已知,M N是椭圆22142x y+=上两动点，且直线OM与ON的斜率之积为12-（其中O为坐标原点），若点P满足2OP OM ON=+u u u r u u u u r u u u r，问：是否存在两个定点12,F F，使得12PF PF+为定植？若存在，求12,F F的坐标：若不存在，说明理由。

变式3 如图10—19所示，抛物线()2212:4,:20C x y C x py p==->，点()00,M x y在抛物线2C上，过M作1C的切线，切线为,A B（M为原点O时，,A B重合于O），当012x=时，切线MA的斜率为12-。

（1）求P 的值（2）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程。

四、参数法有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现（或经分析可发现）该动点常常受到另一个变量（角度，斜率，比值，解距或时间等）的制约，即动点坐标(),x y 中的,x y 分别随另一变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法（或设参消参法），如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参数即可，在选择参数时，选用的参变量可以具有某种物理或几何性质，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率及点的横纵坐标等，也可以没有具体的意义，还要特别注意选定的参变量的取值范围对动点坐标取值范围的影响。

例10.34设椭圆方程为2214y x +=，过点()1,0M 的直线l 交椭圆于点,A B ，点O 是坐标原点，点P 满足()12OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，求动点P 的轨迹方程。

分析 动点P 因,A B 而动，点,A B 因直线l 而动，直线l 过定点()1,0M ，故因其斜率（倾斜角）而动，故引如参数------斜率"k" 解析 设()()()1122,,,A x y B x y P x y因为()12OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，所以111222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ （1） 当直线l 斜率存在时，设斜率为k则:1l y kx =+ ，由22114y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()22114kx x ++= 即()224230k x kx ++-=则有12122223,44k x x x x k k +=-=-++ ，故12224x x k k +=-+ ，122241244y y k k k k +-⎛⎫=+= ⎪++⎝⎭g 得出22444k x k y k ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩即4x k y =- ，所以4xk y=-，解出2444y x y =⎛⎫-+ ⎪⎝⎭化简得2240(0y 1)y y x -+=<≤整理得22121(0y 1)11416y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=<≤ ③ (2)当直线的斜率不存在时，:0l x =()()220000,2,0,22214x x x A B y y y x =⎧==⎧⎧⎪⇒⇒-⎨⎨⎨=-=+=⎩⎩⎪⎩或 ()0,0P ，将()0,0P 代入③等式成立 综上（1）（2）得，点P 的轨迹方程为22121(0y 1)11416y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=<≤ 评注 动点P 的坐标随着变量斜率的变化而变化，故利用设参消参的方法求出轨迹方程，千万要注意，当动直线斜率可变化时，一定要讨论斜率的存在与否，历年高考在该处屡考不鲜。