高考数学 对数与对数函数
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第八节 对数与对数函数
[知识能否忆起]
1．对数的概念 (1)对数的定义：
如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．当a ＝10时叫常用对数．记作x ＝lg_N ，当a ＝e 时叫自然对数，记作x ＝ln_N .
(2)对数的常用关系式(a ，b ，c ，d 均大于0且不等于1)： ①log a 1＝0. ②log a a ＝1.
③对数恒等式：a log a N ＝N . ④换底公式：log a b ＝log c b
log c a
.
推广log a b ＝1
log b a ，log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .
(3)对数的运算法则：
如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； ②log a M
N ＝log a M －log a N ；
③log a M n ＝n log a M (n ∈R)； ④log am M n ＝n
m log a M .
2．对数函数的概念
(1)把y ＝log a x (a >0，a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． (2)函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)是指数函数y ＝a x 的反函数，函数y ＝a x 与y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象关于y ＝x 对称．
3．对数函数的图象与性质
图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
过点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0
当x >1时，y >0当0 当x >1时，y <0当0 时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 [小题能否全取] 1．(教材习题改编)设A ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，B ＝⎩ ⎨⎧⎭ ⎬⎫ y |y ＝⎝⎛⎭ ⎫12x ，0 2，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(0,2) 解析：选C ∵A ＝{y |y >0}，B ＝⎩ ⎨⎧⎭ ⎬⎫y |12 ∴A ∩B ＝⎩ ⎨⎧⎭ ⎬⎫ y |12 2．函数y ＝log a (3x －2)(a >0，a ≠1)的图象经过定点A ，则A 点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，2 3 B.⎝⎛⎭⎫ 23，0 C ．(1,0) D ．(0,1) 解析：选C 当x ＝1时y ＝0. 3．函数y ＝lg |x |( ) A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 解析：选B y ＝lg |x |是偶函数，由图象知在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． 4．(2012·江苏高考)函数f (x )＝ 1－2log 6x 的定义域为________． 解析：由1－2log 6x ≥0，解得log 6x ≤1 2⇒0＜x ≤6，故所求定义域为(0， 6 ]． 答案：(0， 6 ] 5．(2012·北京高考)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________. 解析：由f (ab )＝1得ab ＝10，于是f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝2(lg a ＋lg b )＝2lg(ab )＝2lg 10＝2. 答案：2 1.在运用性质log a M n ＝n log a M 时，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M n ＝n log a |M |(n ∈N *，且n 为偶数)． 2．对数值取正、负值的规律： 当a >1且b >1，或00； 当a >1且01时，log a b <0. 3．对数函数的定义域及单调性： 在对数式中，真数必须大于0，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为{x |x >0}．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按01进行分类讨论． 对数式的化简与求值 典题导入 [例1] 求解下列各题． (1)12lg 3249－4 3lg 8＋lg 245＝________； (2)若2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1 b ＝2，则m ＝________. [自主解答] (1)12lg 3249－4 3lg 8＋lg 245 ＝12×(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋1 2(lg 5＋2lg 7) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋1 2 lg 5＋lg 7 ＝12lg 2＋12lg 5＝12lg(2×5)＝12 . (2)由2a ＝5b ＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1 b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10. ∵1a ＋1 b ＝2， ∴log m 10＝2，即m 2＝10. 解得m ＝10(∵m >0)． [答案] (1)1 2 (2)10 由题悟法 对数式的化简与求值的常用思路 (1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并． (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算． 以题试法 1．化简：(1)lg 3 7＋lg 70－lg 3－lg 23－lg 9＋1； (2)⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫lg 4－lg 60lg 3＋lg 53－45×2－11. 解：(1)原式＝lg 3 7 ×703－ lg 23－2lg 3＋1 ＝lg 10－ (lg 3－1)2 ＝1－|lg 3－1|＝lg 3. (2)原式＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫lg 4－(lg 4＋lg 15)lg 153－210×2－11 ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－lg 15lg 153－2－1 ＝－32.