线性代数3.3矩阵秩
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A 0）
（2） r(AT)r(A)。
（3）设A为 mn矩阵，则 r( A) ≤ minm, n。
（4）r(A B )m inr(A ),r(B )，若 A 可逆时，r(AB)r(B)
若 B 可逆时，r(AB)r(A) 。
（5）如果 AmnBnp O，则 r(A B )r(A ) r(B )。
（6）r ( A ) + r ( B ) ≤ n。
（2）若 A 为 mn 矩阵，则 r(A)m in{m ,n}。 （3）对于 n 阶矩阵 A ，若 A 0 ，则 r(A) n ；若
A 0 ，则 r(A) n 。因此，可逆矩阵又称满秩矩阵，
不可逆矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵。
（4）由于行列式与其转置行列式相等，因此 A T 的子式与
A 的子式对应相等，从而 r(AT)r(A)
变为 B T ，由上面证明知 r(AT)r(BT)。而 r(A)r(AT) ，r(B)r(BT)，因此 r(A)r(B)。
总之，若 A 经有限次初等变换Βιβλιοθήκη Baidu为 B （即
A : B），则 r(A)r(B)。
【注】求矩阵 A 秩的方法：A r 行阶梯形，
行阶梯形中非零行的行数，即是它的秩。
1
例5 求矩阵 A 2
定理1 若 A ~ B，则 r(A)r(B)。即，矩阵的
初等变换不改变矩阵的秩。
证明 先证明：若 A 经一次行初等变换化为 B ，则
r(A)r(B) 。为此
设 r(A) r ，且 A 的某个 r 阶子式 D 0 。
当
A
ri r j
~
B
或
A
ri
~
B
时，在 B
中总能找到与
r D 相对应的 阶子式 D 1 ，由于D1 D 或 D1 D
或 D1 D，因此 D1 0 ，从而 r(B) r 。
r j ri
当 A ~ B 时，分三种情形讨论：
（1）D 中不含第 i 行；
（2）D 中同时含第 i 行和第 j 行；
（3）D 中含第 i 行但不含第 j 行。
对于（1）（2）两种情形，显然 B 中与 D
r 对应的 阶子式 D1 D0，从而 r(B) r ；
以上证明了若 A 经一次初等行变换变为 B ， 则 r(A)r(B)。由于 B 亦可经一次初等行变换 变为 A ，故也有 r(B)r(A) 。因此 r(A)r(B)。
经一次初等行变换矩阵的秩不变，因而经有限 次初等行变换矩阵的秩也不变。总之，矩阵的初等 行变换不改变矩阵的秩。
若 A 经初等列变换变为 B ，A T 经初等行变换
对情形（3），由
LLL LLL LLL
D1rj ri ri rj DD2
LLL LLL LLL
若 D 2 0 ，则因 D 2 中不含第 i 行知 A 中
r 有不含第 i 行的 阶非零子式，从而根据情形
（1）知 r(B) r ；若 D 2 0 ，则 D1 D0 。 也有 r(B) r 。
C
k n
个。
r 定义2 设在矩阵 A 中有一个不等于0的 阶子式
D ，且所有 r 1 阶子式（如果存在的话）全等于0，
r 那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 称为矩
阵 A 的秩，记作 r ( A ) 。并规定零矩阵的秩等于0。
由行列式的按行（列）展开性质可知，在 A
中当所有 r 1 阶子式全等于0，所有高于 r 1
3.3 矩阵的秩
一 矩阵秩的概念
二 求矩阵秩的方法
一、矩阵秩的概念
定义1 在 mn 阶矩阵 A 中，任取 k 行与 k 列
（km,kn），位于这些行列交叉处的 k 2 个元，不
改变它们在 A 中所处的位置次序而得的 k 阶行列式，
称为矩阵 A 的 k 阶子式。
mn 阶矩阵 A
的k
阶子式共有
C
k m
（5）该定义揭示了矩阵秩的本质。
例4 求矩阵 A 和矩阵 B 的秩，其中
2 1 0 3 2
1 A2
4
2 3 7
135,B000
3 0 0
1 2
5
0 4 3
00
0
解 在 A 中，容易看出一个二阶子式 1 2 0 ，而 A
23 的三阶子式只有一个 A ，经计算可知 A 0 ，因此
r(A) 2。
r 阶的子式也全为0，因此把 阶非零子式称为最高
阶非零子式，并由此可知矩阵 A 的最高阶非零子式
可能不止一个。而 A 的秩 r ( A ) 就是 A 的非零子
式的最高阶数。
【注】
r （1）若矩阵 A 中有一个 阶非零子式，则 r( A) r
；若 A 中所有 r 阶子式全为0，则 r( A) r 。
2 5
2 3
1 2
的秩。
3 7 1 5
解
因为
1 A 2
2 5
2 3
1
2
2 r1r2 3 r1r3
1 0
2 1
2 7
1 0
3 7 1 5
0 1 7 2
1 2 2 1
1 r2r 3 0 1
7
0 所以，秩(A) 3。
0 0 0 2
【注】 矩阵的秩有如下性质：
（1）设A为n阶方阵，则A可逆当且仅当 r ( A ) n（即
B 是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，即知 B
的所有四阶子式全为0；而以3个非零行的非零元为对角 元的三阶行列式
2 1 3 0 3 2 00 4
是一个上三角形行列式，它显然不等于0，因此 r(B) 3
二、求矩阵秩的方法
从上可知，对于一般的矩阵，当行数与列数较高 时，按定义求秩是很麻烦的。然而对于行阶梯形矩阵， 它的秩就等于非零行的行数，一看便知毋须计算。因 此，自然想到用初等变换把矩阵化为阶梯形，但矩阵 经初等变换后它的秩是否保持不变呢？下面的定理对 此作出肯定的回答。
（2） r(AT)r(A)。
（3）设A为 mn矩阵，则 r( A) ≤ minm, n。
（4）r(A B )m inr(A ),r(B )，若 A 可逆时，r(AB)r(B)
若 B 可逆时，r(AB)r(A) 。
（5）如果 AmnBnp O，则 r(A B )r(A ) r(B )。
（6）r ( A ) + r ( B ) ≤ n。
（2）若 A 为 mn 矩阵，则 r(A)m in{m ,n}。 （3）对于 n 阶矩阵 A ，若 A 0 ，则 r(A) n ；若
A 0 ，则 r(A) n 。因此，可逆矩阵又称满秩矩阵，
不可逆矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵。
（4）由于行列式与其转置行列式相等，因此 A T 的子式与
A 的子式对应相等，从而 r(AT)r(A)
变为 B T ，由上面证明知 r(AT)r(BT)。而 r(A)r(AT) ，r(B)r(BT)，因此 r(A)r(B)。
总之，若 A 经有限次初等变换Βιβλιοθήκη Baidu为 B （即
A : B），则 r(A)r(B)。
【注】求矩阵 A 秩的方法：A r 行阶梯形，
行阶梯形中非零行的行数，即是它的秩。
1
例5 求矩阵 A 2
定理1 若 A ~ B，则 r(A)r(B)。即，矩阵的
初等变换不改变矩阵的秩。
证明 先证明：若 A 经一次行初等变换化为 B ，则
r(A)r(B) 。为此
设 r(A) r ，且 A 的某个 r 阶子式 D 0 。
当
A
ri r j
~
B
或
A
ri
~
B
时，在 B
中总能找到与
r D 相对应的 阶子式 D 1 ，由于D1 D 或 D1 D
或 D1 D，因此 D1 0 ，从而 r(B) r 。
r j ri
当 A ~ B 时，分三种情形讨论：
（1）D 中不含第 i 行；
（2）D 中同时含第 i 行和第 j 行；
（3）D 中含第 i 行但不含第 j 行。
对于（1）（2）两种情形，显然 B 中与 D
r 对应的 阶子式 D1 D0，从而 r(B) r ；
以上证明了若 A 经一次初等行变换变为 B ， 则 r(A)r(B)。由于 B 亦可经一次初等行变换 变为 A ，故也有 r(B)r(A) 。因此 r(A)r(B)。
经一次初等行变换矩阵的秩不变，因而经有限 次初等行变换矩阵的秩也不变。总之，矩阵的初等 行变换不改变矩阵的秩。
若 A 经初等列变换变为 B ，A T 经初等行变换
对情形（3），由
LLL LLL LLL
D1rj ri ri rj DD2
LLL LLL LLL
若 D 2 0 ，则因 D 2 中不含第 i 行知 A 中
r 有不含第 i 行的 阶非零子式，从而根据情形
（1）知 r(B) r ；若 D 2 0 ，则 D1 D0 。 也有 r(B) r 。
C
k n
个。
r 定义2 设在矩阵 A 中有一个不等于0的 阶子式
D ，且所有 r 1 阶子式（如果存在的话）全等于0，
r 那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 称为矩
阵 A 的秩，记作 r ( A ) 。并规定零矩阵的秩等于0。
由行列式的按行（列）展开性质可知，在 A
中当所有 r 1 阶子式全等于0，所有高于 r 1
3.3 矩阵的秩
一 矩阵秩的概念
二 求矩阵秩的方法
一、矩阵秩的概念
定义1 在 mn 阶矩阵 A 中，任取 k 行与 k 列
（km,kn），位于这些行列交叉处的 k 2 个元，不
改变它们在 A 中所处的位置次序而得的 k 阶行列式，
称为矩阵 A 的 k 阶子式。
mn 阶矩阵 A
的k
阶子式共有
C
k m
（5）该定义揭示了矩阵秩的本质。
例4 求矩阵 A 和矩阵 B 的秩，其中
2 1 0 3 2
1 A2
4
2 3 7
135,B000
3 0 0
1 2
5
0 4 3
00
0
解 在 A 中，容易看出一个二阶子式 1 2 0 ，而 A
23 的三阶子式只有一个 A ，经计算可知 A 0 ，因此
r(A) 2。
r 阶的子式也全为0，因此把 阶非零子式称为最高
阶非零子式，并由此可知矩阵 A 的最高阶非零子式
可能不止一个。而 A 的秩 r ( A ) 就是 A 的非零子
式的最高阶数。
【注】
r （1）若矩阵 A 中有一个 阶非零子式，则 r( A) r
；若 A 中所有 r 阶子式全为0，则 r( A) r 。
2 5
2 3
1 2
的秩。
3 7 1 5
解
因为
1 A 2
2 5
2 3
1
2
2 r1r2 3 r1r3
1 0
2 1
2 7
1 0
3 7 1 5
0 1 7 2
1 2 2 1
1 r2r 3 0 1
7
0 所以，秩(A) 3。
0 0 0 2
【注】 矩阵的秩有如下性质：
（1）设A为n阶方阵，则A可逆当且仅当 r ( A ) n（即
B 是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，即知 B
的所有四阶子式全为0；而以3个非零行的非零元为对角 元的三阶行列式
2 1 3 0 3 2 00 4
是一个上三角形行列式，它显然不等于0，因此 r(B) 3
二、求矩阵秩的方法
从上可知，对于一般的矩阵，当行数与列数较高 时，按定义求秩是很麻烦的。然而对于行阶梯形矩阵， 它的秩就等于非零行的行数，一看便知毋须计算。因 此，自然想到用初等变换把矩阵化为阶梯形，但矩阵 经初等变换后它的秩是否保持不变呢？下面的定理对 此作出肯定的回答。