线性代数3.3矩阵秩
线性代数第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩
第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩何建军§3 • 1 概念与性质3.1.1向量的概念和运算1、n维向量：n个数构成的一个有序数组（a i，a2,…，a n），称为一个n维向量，记为〉=佝，a2 ,…，a n ），并称为n维行向量，a i称为〉的第i个分量，〉的转置T T（a1,a2, a n）称为n维向量。
2、相等：若a =@182,…,a n），p =（D,b2,…,b n），当且仅当a i =b i（i =1,2,…，n）时，：，：。
3、加法：」-a b!,a2 b2^ ,a n b n4、数乘：k ka1,ka2,…,ka n ，（k 为常数）5、內积:匕0 】=aQ +a?b2 + …+a“b n3.1.2向量组的线性相关性1、线性组合：给定向量组A : 对于任何一组实数匕出,…，k m，向量k V1 k^ 2肚m称为向量组A的一个线性组合，匕*?,…，k m称为这个线性组合的组合系数2、线性表示：给定向量组A : 〉1「2,i「m和向量：，如果存在一组数n n « n'1, '2, ，‘ m ,使得■- = ‘1〉1 ‘2〉2 •…-'rn'm则向量-能有向量组A线性表示，向量-是向量组A的线性组合。
3、线性相关：给定向量组A : ‘1厂2,厂m,如果存在一组不全为零的数k1 , k2 , , k m，使得kr 1 k2〉2 k m〉m=o则称向量组A是线性相关的。
4、线性无关：向量组A ：r,〉2,…，〉m,不线性相关，称向量组A线性无关，即不存在不全为零的数k1,k2, , k m使得1• k2「2•■ k m m=0成立，即只有当k1二Q二=k m=0时，才有k^ 1 k2「2 ' k^' m=0成立。
（如果存在一组数k-k2，,k m 使得k V 1 k^ ■k m「m=0，则必有k1= k2 = = k m=0，称向量组A 线性无关）注：含有零向量的向量组一定线性相关。
线性代数 第三章 矩阵 第五节
定义
矩阵A中不等于零的子式的最高阶数
称为矩阵 A 的秩。记为 R（A） 也就是说：
R（A）= r A中存在非零的r 阶子式，且所
有的r+1 阶子式全为零。
3
例如对 A 1
1 3
1 2
A 0, 3 1
1 0 R( A) 2
3
4 2 3
矩阵 的秩与向量 组的秩的关系
若R(A)=r,不妨设Ａ的左上角r阶子式不为０，则它的 r个列向量组线性无关，添加n-r个分量后得到Ａ的
前r个n维列向量也线性无关，可以证明这r个向量是Ａ的 列向量组的最大无关组，因此A的列向量组的秩为r,
与Ａ的秩相等．同理可说明Ａ的行向量组的秩也为r.
注意：
（1）若矩阵 A 中没有不等于零的子式，则 R(A) 0 （2）秩为r 的矩阵可能有等于零的r及r-1 阶子式。
(3) 若A中有一个r阶子式不为0，则R（A） r；
（4）若A中所有r阶子式都为0，则R（A）<r
(5) R( AT ) R( A)由于行列式行列互换后其值不变 Nhomakorabea而矩阵 AT
的每一个子式都是A的某个子式的转置，因此A的
非零子式的最高阶数与 AT 的非零子式的最高阶
数相同，即矩阵的转置不改变矩阵的秩。
C
k n
个。
例如
1 2 3 5
在矩阵 A= 0 4 1 2
1 3 2 1
中可选出C43 4个三阶子式， 1 2 5
选1，2，3行和1，2，4列的子式 0 4 2 131
在A中可选出
C32
C
2 4
18
个二阶子式，
比如1，3行2，4列位于这些行列交叉点上的元素构
25
线性代数矩阵的秩
0 1
1 3
52;
(2)A
2 3
3 2
0 5
7 8
5
0
3 4 1 2 7
1 0 3 2 0
3.6 矩阵的秩
3.6.2 矩阵秩的求法 4. 初等变换法求矩阵的秩
解
3
(1)A
2
1
1 3
1
2 0
1
1 1
3
0 2
5
3 4 1 2 7
1
r1 r3
2
3
1 3
1
1 0
2
3 1
1
5 2
0
3 4 1 2 7
证明略
注：由该定理可知, 要求矩阵的秩, 只要 把矩阵用初等变换变成行阶梯形矩阵,则行阶 梯形矩阵中非零行的行数既是该矩阵的秩.
3.6 矩阵的秩
3.6.2 矩阵秩的求法 4. 初等变换法求矩阵的秩
例3.6.2 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶
非零子式.
3 1 2 1 0
2
1
83
7
(1)A
2 1
3 1
3.6.1 矩阵秩的概念 1. 矩阵的k阶子式
定义3.6.1 在矩阵A (a ) 中任取k行k列 ij mn
(1 k min{m,n}),位于这k行k列交叉处的k2个 元素, 按照它们在矩阵A中的相对位置不变所 构成的k阶行列式, 称为矩阵A的k阶子式.
说明：m n矩阵A的k阶子式共有CkmCkn个.
3.6 矩阵的秩
3.6.2 矩阵秩的求法 4. 初等变换法求矩阵的秩
解
r2 2r1 r3 3r1
r4 3r1
1
0
0
1 1 1 2 4 1
秩知识点总结
秩知识点总结本文将就秩知识点进行总结，从不同角度来解释秩的概念、性质、应用及其相关定理。
秩是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵的研究中有着重要的作用。
秩的概念和性质是线性代数的基础知识，对于理解线性代数的其他内容具有重要意义。
一、秩的定义1.1 矩阵的行秩和列秩在矩阵的行空间中，秩的定义是行空间的维数。
同样，在矩阵的列空间中，秩的定义是列空间的维数。
行秩和列秩都是矩阵的秩。
矩阵的秩是行秩和列秩中的较小者。
1.2 符号表示矩阵A的秩记作r(A)。
在文中，通常会简单地称呼为矩阵A的秩。
1.3 矩阵A的秩等于行秩和列秩行空间和列空间是等价的。
因此，矩阵A的行秩和列秩是相等的，即秩。
这个定理是线性代数中的重要定理。
二、秩的性质2.1 零矩阵的秩为0对于任意大小的零矩阵，其秩都是0。
这是秩的一个重要性质。
2.2 矩阵的秩不会超过其行数和列数中的较小者对于一个m×n的矩阵A，其秩r(A)不会大于m和n中的较小者。
2.3 等价矩阵的秩相等对于等价矩阵A和B，它们的秩是相等的。
2.4 矩阵的秩与矩阵的变换无关对于一个矩阵A，将其进行线性变换后得到的新矩阵B，矩阵A和B的秩是相等的。
秩只与原矩阵A有关，与其变换无关。
2.5 矩阵的秩与初等行变换有关通过初等行变换，矩阵的行秩是它所对应的行阶梯形矩阵的行秩。
这个性质对于计算矩阵的秩非常重要。
三、秩的应用3.1 矩阵的秩与方程组的解的个数有关当矩阵A的秩与矩阵的增广形式的秩相等时，方程组有唯一解；当矩阵A的秩小于矩阵的增广形式的秩时，方程组有无穷解；当矩阵A的秩小于矩阵的增广形式的秩时，方程组无解。
3.2 矩阵的秩与矩阵的逆的存在性有关当矩阵A是一个n×n的方阵，并且其秩等于n时，矩阵A存在逆矩阵。
3.3 矩阵的秩与矩阵的特征值有关关于特征值和特征向量的理论可以用秩来进一步分析特征值和特征向量的性质。
3.4 矩阵的秩与矩阵的奇异性有关当矩阵A的秩小于n时，矩阵A被称为奇异矩阵。
线性代数-矩阵的秩
设A
=
2 −2 3
−4 4 −6
8 −2 0
−036 , b
=
2 43
求矩阵A及矩阵B = ( A b)的秩. 解 分析：设 B 的行阶梯形矩阵为 B~ = ( A~,b~),
则 A~ 就是 A 的行阶梯形矩阵， 故从 B~ = ( A~,b~) 中可同时看出 R( A) 及 R(B).
1 − 2 2 − 1 1
故 R(AT A) = R(A).
又由于 B 也可经一次初等变换变为 A, 故也有 R(B) ≤ R( A).
因此 R( A) = R(B).
经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经 有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．
设A经初等列变换变为 B,也有R( A) = R(B).
设 A 经初等列变换变为 B, 则 AT 经初等行变换变为 BT , R( AT ) = R(BT ),
6 11
则这个子式便是A 的一个最高阶非零子式.
设 n 阶可逆矩阵 A， A ≠ 0, ∴ A 的最高阶非零子式为 A, R( A) = n, 故 A 的标准形为单位阵 E, A ~ E.
可逆矩阵的秩等于阶数 ，故称可逆矩阵 为满秩矩阵. 奇异矩阵为降秩矩阵 .
1 − 2 2 − 1 1
例5
− 2 0 1 5
解
13 02 −2 0
1 0
3 = 2 ≠ 0, 2
计算A的3阶子式，
−2
1 3 2 1 −2 2
− 1 = 0, 0 2 3 = 0, 0 − 1 3 = 0,
1
−2 0 5 −2 1 5
3 −2 2
2 − 1 3 = 0, ∴ R(A) = 2.
015
1 3 − 2 2 另解 对矩阵 A = 0 2 − 1 3 做初等变换，
线性代数课件第三章矩阵的秩课件
VS
矩阵的秩可以用于判断两个矩阵是否相似。如果两个矩阵相似，则它们的秩相同。
特征值和特征向量
矩阵的秩还可以用于确定矩阵的特征值和特征向量的个数。对于给定的矩阵，其秩等于其非零特征值的个数。
矩阵相似
矩阵的秩可以用于矩阵分解，如奇异值分解（SVD）和QR分解等。这些分解方法将一个复杂的矩阵分解为几个简单的、易于处理的矩阵，有助于简化计算和解决问题。
1 2 3 | 0 0 -3
7 8 9 | 0 0 0`
```
由于非零行的行数为2，所以矩阵B的秩为2。
题目3
求矩阵C=[1 -2 3; -4 5 -6; 7 -8 9]的秩。
解答
首先，将矩阵C进行初等行变换，得到行阶梯矩阵
```
继续进行初等行变换，得到
1 -2 3 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0
矩阵秩的应用
03
线性方程组的解
矩阵的秩可以用来判断线性方程组是否有解，以及解的个数。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组有唯一解；否则，方程组无解或有无数多个解。
最小二乘法
矩阵的秩还可以用于最小二乘法，通过最小化误差平方和来求解线性方程组。最小二乘法的解就是使残差矩阵的秩等于其行数或列数的最小二乘解。
第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩
第3章 矩阵的初等变换与矩阵的秩３．１ 矩阵的初等变换矩阵的初等行（列）变换：（１） 交换第i 行（列）和第j 行（列）；（２） 用一个非零常数乘矩阵某一行（列）的每个元素；（３） 把矩阵某一行（列）的元素的k 倍加到另一行（列）．对矩阵施行初等变换时，由于矩阵中的元素已经改变，变换后的矩阵和变换前的矩阵已经不相等，所以在表达上不能用等号，而要用箭号＂→＂．例1 求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=042111210A 的逆矩阵．３．２ 初等矩阵单位矩阵作一次初等变换得到的矩阵叫初等矩阵．概括起来，初等矩阵有３类，分别是（１）交换第行和第i j 行（交换第列和第i j 列）⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1101111011).(%"""###%###"""%j i E（２）用常数λ乘第行（i λ乘第i 列）⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1111))((%%λλi E （３）第i 行的k 倍加到第j 行（第j 列的k 倍加到第列） i⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1111))((%"%#%k k ij E显然，初等矩阵都可逆，其逆矩阵仍是初等矩阵，且有),(),(1j i E j i E =−；⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−λλ1))((1i E i E ； ))(())((1k ij E k ij E −=−．初等矩阵与初等变换有着密切的关系：左乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩阵相应类型一样的初等行变换．例如要将矩阵的第１行和第３行交换，则左乘一个初等矩阵A )3,1(E ：⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛001010100⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ＝⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛131211232221333231a a a a a a a a a ． 右乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩阵相应类型一样的初等列变换．例2 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=231322122111333231232221a a a a a a a a a a a a B ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=1000100111E ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=0010101002E ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=1000010103E ．则以下选项中正确的是B A E E E A =321)(；B E E AE B =321)(；B A E E EC =123)(；B E E AE D =123)(．例３ 设是３阶可逆矩阵，将的第１行和第３行对换后得到的矩阵记作．A AB （１） 证明可逆；B （２） 求． 1−AB例4 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=011431321A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=000110101B ，是否存在可逆矩阵P ，使得B PA =？若存在，求P ；若不存在，说明理由．例5 设是3阶方阵，将的第1列与第2列交换得，再把的第2列加到第3列得C ，A AB B 则满足C AQ =的可逆矩阵Q 为(A) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛101001010 (B) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛100101010 (C) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛110001010 (D) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛100001110３．３ 矩阵的等价与等价标准形 若矩阵B 可以由矩阵经过一系列初等变换得到，则称矩阵和等价．A AB 矩阵的等价是同型矩阵之间的一种关系，它具有如下性质：（１） 反身性：任何矩阵和自己等价；（２） 对称性：若矩阵和矩阵等价，则矩阵和A B B矩阵也等价；A （３） 传递性：若矩阵和矩阵等价，矩阵和矩阵C 等价，则矩阵和矩阵C 等价．A B B A 形如⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E 的矩阵称为矩阵的等价标准形． 任意矩阵A 都与一个等价标准形⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E 等价．其中r E 是r 阶单位矩阵．这个r 是一个不变量，它就是矩阵的秩．任何矩阵总存在一系列的初等矩阵s P P P ,,,21"，和初等矩阵t Q Q Q ,,,21"使得11P P P s s "−A t Q Q Q "21＝⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E ． 令P ＝，Q ＝11P P P s s "−t Q Q Q "21，于是对任意的矩阵，总存在m 阶可逆矩阵n m ×A P 和n 阶可逆矩阵Q ，使得PAQ ＝⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E ．例6 设阶矩阵与等价，则必有n A B (A) 当)0(≠=a a A 时，a B =．(B) 当)0(≠=a a A 时，a B −=． (C) 当0≠A 时，0=B ． (D) 当0=A 时，0=B ．３．4 矩阵的秩在矩阵中，任取n m ×A k 行k 列，位于这k 行k 列交叉处的2k 个元素按其原来的次序组成一个k 阶行列式，称为矩阵的一个A k 阶子式．若矩阵中有一个A r 阶子式不为零，而所有1+r 阶子式全为零，则称矩阵的秩为A r ．矩阵的秩记作．A )(A r 零矩阵的秩规定为零．显然有 ⇔≥r A r )(A 中有一个r 阶子式不为零；中所有A r A r ⇔≤)(1+r 阶子式全为零．若n 阶方阵，有A n A r =)(，则称是满秩方阵． A 对于n 阶方阵， A 0)(≠⇔=A n A r ．矩阵的初等变换不改变矩阵的秩．例7 求矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=45532511014132232211A 的秩． 例8 求阶矩阵n ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=a b b b a b b b a A """""""的秩， 2≥n ．例9 设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=71534321101111a b A ，已知3)(=A r ， 求．b a , 常用的矩阵的秩的性质： （１）；)()(T A r A r =（２）)()()(B r A r B A r +≤+；（３）))(),(min()(B r A r AB r ≤，（４）)()(00B r A r B A r +=⎟⎠⎞⎜⎝⎛； （５）)()(0B r A r B C A r +≥⎟⎠⎞⎜⎝⎛；（６）若0=AB ，则n B r A r ≤+)()(，其中n 为矩阵的列数．A （７）若可逆，则A )()(B r AB r =（８）若列满秩，则A )()(B r AB r =（９）若行满秩，则B )()(A r AB r =例10 设B A ,都是阶方阵，满足n E AB A =−22，求=+−)(A BA AB r ？例１1 设是矩阵，A 34× ,301020201,2)(⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−==B A r 求．)(AB r 例１2 已知⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=62321321t A ，是３阶非零B 矩阵，且满足0=AB ，则4)(=t A 时，的秩必为１；B 4)(=t B 时，的秩必为２；B 4)(≠tC 时，的秩必为１；B 4)(≠t D 时，的秩必为２．B 例13 设B A ,都是阶非零矩阵，且满足n 0=AB ， 则A 和的秩B)(A必有一个等于零； )(B都小于n ； )(C一个小于n ，一个等于； n )(D 都等于n ．例14 设是矩阵，B 是A n m ×m n ×矩阵，若 m n < 证明：0=AB ．例15 设是２阶方阵，已知A 05=A ，证明． 02=A３． 5 伴随矩阵设 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A """""""212222111211， 记的代数余子式为，令ij a ij A ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nn n nn n A A A A A A A A A A """""""212221212111* 为矩阵的伴随矩阵．因此，若A ()ij a A =，则 ()T ij A A =*．伴随矩阵的基本关系式：E A A A AA ==**． *11A A A =−，或 1*−=A A A ． 1*−=n A A ．⎪⎩⎪⎨⎧−<−===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r例16 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=122212221A ，求的伴随矩阵． A *A 例17 设⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=1111,23212121A A , ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−12100A A B 则 *B =？ 例18 设是３阶矩阵，A 21=A ，求*12)3(A A −−． 例19 设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=8030010100100001*A ，且E XA AXA 311+=−−，求X ．。
线性代数课件第三章矩阵的秩
线性方程组的解 与矩阵的秩的关 系
利用矩阵的秩判 断线性方程组是 否有解
利用矩阵的秩求 解线性方程组的 步骤和方法
矩阵的秩在判断向量组线性相关性的应用
矩阵的秩与向量组 线性相关性的定义
矩阵的秩在判断向 量组线性相关性中 的应用
矩阵的秩与向量组 线性相关性的关系
矩阵的秩在解决实 际问题中的应用
矩阵的秩在求向量空间维数中的应用
汇报人：PPT
PPT,a click to unlimited possibilities汇报人Leabharlann PPT目录矩阵秩的定义
矩阵的秩的概念
矩阵秩的几何意义
矩阵秩的计算方法
矩阵秩的性质和定理
矩阵的秩的计算方法
定义：矩阵的秩是其行向量或列向量的最大线性无关组的个数
计算方法：通过初等行变换或初等列变换将矩阵化为阶梯形矩阵，然后数非零行数或非零列 数
利用初等列变换求矩阵的秩的证明
初等列变换的定义和性质
阶梯形矩阵的秩的计算方法
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利用初等列变换将矩阵化为阶梯形 矩阵
证明利用初等列变换求矩阵的秩的 正确性
零矩阵的秩
零矩阵的定义：所 有元素都为0的矩 阵
零矩阵的秩为0
零矩阵与任何矩阵 相乘都等于0
零矩阵在数学中的 意义和作用
性质：矩阵的秩与行数和列数有关，且不超过行数和列数中的最小值
应用：矩阵的秩在解线性方程组、判断向量组的线性相关性等方面有重要应用
矩阵的秩的性质
矩阵的秩等于其行秩或列秩
矩阵的秩是其所有子矩阵的 秩的最大值
矩阵的秩是唯一的
矩阵的秩等于其转置矩阵的 秩
矩阵的秩在解线性方程组中的应用
《线性代数》第三章矩阵的初等变换与线性方程组精选习题及解答
例 3.10
求齐次线性方程组
⎧ ⎪ ⎨
x1 x1
− −
x2 x2
− +
x3 x3
+ x4 = 0 − 3x4 = 0
的通解.
⎪⎩x1 − x2 − 2x3 + 3x4 = 0
解 系数矩阵经过初等变换得
⎡1 −1 −1 1 ⎤
⎡1 −1 0 −1⎤
A = ⎢⎢1 −1 1 −3⎥⎥ ⎯r⎯→ ⎢⎢0 0 1 −2⎥⎥
阶梯形的非零行数判断矩阵的秩.
2
⎛1 3 1 4⎞
解
A
⎯r⎯→
⎜ ⎜
0
6
−4
4
⎟ ⎟
，故
R(
A)
=
2
.
⎜⎝ 0 0 0 0⎟⎠
⎡1 1 2 2 3 ⎤
例 3.2
设A=
⎢⎢0 ⎢2
1 3
1 a+2
−1 3
−1 a+6
⎥ ⎥ ⎥
，则
A
的秩
R(
A)
=
(
).
⎢⎣4 0 4 a + 7 a +11⎥⎦
(A) 必为 2
6
⎡ 1 1 0 −2 1 −1⎤
⎡1 0 0 2 −1 −1⎤
( A | b) = ⎢⎢−2 −1
1
−4 2
1
⎥ ⎥
⎯r⎯→
⎢⎢0
1
0
−4
2
0
⎥ ⎥
⎢⎣−1 1 −1 −2 1 2 ⎥⎦
⎢⎣0 0 1 −4 2 −1⎥⎦
R( A) = R( A | b) = 3 < 5 ，所以方程组有无穷多解，令 x4 = c1, x5 = c2 ，得
矩阵论基础3.3矩阵的秩
矩阵论基础3.3矩阵的秩1. 矩阵的秩定义4 在m´n矩阵A中, 任取k⾏与k列(k£m, k£n), 位于这些⾏列交叉处的k2个元素, 不改变它们在A中所处的位置次序⽽得的k阶⾏列式, 称为矩阵A的k阶⼦式.m´n矩阵A的k阶⼦式有个。
当A的所有元素都是零时，A的任何⼦式都必然是零；当A中有⼀个元素不为零时，A中⾄少有⼀个⼀阶⼦式⾮零，再看A的所有⼆阶⼦式，如果有⾮零的⼦式，再看A的所有3阶⼦式，这样下去，如果A⾄少有⼀个⾮零的r阶⼦式，⽽A的所有r+1阶⼦式都是零，也就是A的最⾼阶⾮零⼦式的阶数为r，r揭⽰了矩阵A的内在特性。
定义5 在m´n矩阵A 中，若⾮零⼦式的最⾼阶数为r，数r称为矩阵A的秩数, 记作R(A)=r 。
如，A中有⾮零的2阶⼦式，但它所有的3阶⼦式全为零，故R(A)=2。
由秩数的定义可得下⾯结论：（1）若A是零矩阵，则R（A）=0（2）若A是m´n阶⾮零矩阵，则1≤R（A）≤min(m，n)。
注意：矩阵A的秩数不可能⼤于其⾏数或列数。
特别地，R（A）=m，称A为⾏满秩矩阵；R（A）=n，称A为列满秩矩阵；当A是n阶⽅阵，⼜R（A）=n，称A为满秩矩阵。
可见，单位矩阵是满秩矩阵。
（3）对于⾏阶梯矩阵，其⾮零⾏的⾏数就是该矩阵的秩数。
如，R(A)=2R(B)=3定理4 若矩阵A和B等价，则R(A)= R(B)由定理4，我们得到如下求矩阵秩数的⽅法：先利⽤初等⾏变换将矩阵A化为⾏阶梯矩阵B，再根据B的秩数等于其⾮零⾏的⾏数，即求得R（B），⼜因为A～B，所以R（A）=R（B）。
例5解：对矩阵A实施初等⾏变换B是⾏阶梯矩阵，其⾮零⾏数为2，所以R（B）=2。
再由定理4得，R（A）=R（B）=2例6 证明：A为任意矩阵，⽤可逆矩阵P左乘A，则R（PA）=R（A）。
证明：因为P是可逆矩阵，根据定理3知，P恒为若⼲个初等矩阵之积。
线性代数-矩阵的秩
ri krj
r1 ri , r2 rj , r1 kr2 , r1 ri , r2 rj
第 1 步： A 经过一次初等行变换变为 B，则R(A)≤R(B) ．
证明（续）：分两种情形讨论： (1) D 中不包含 r1 中的元素
这时 D 也是 B 的 r 阶非零子式，故 R(B) ≥ r ． (2) D 中包含 r1 中的元素
1 2 3
A
2
3
5
4 7 1
2 1 0 3 2
B
0
3
1 2
5
0 0 0 4 3
0
0
0
0
0
12
解：在 A 中，2 阶子式
0．
23
A 的 3 阶子式只有一个，即|A|，而且|A| = 0，因此 R(A) = 2 ．
例：求矩阵 A 和 B 的秩，其中
解：因为
R(A)
=
n，
所以
A
的行最简形矩阵为
En O
，
mn
设
m
阶可逆矩阵
P
，满足
PA
En O
mn
．
于是
PC
PAB
En O
B
B
O
因为 R(C)
= R(PC)，而 R(B)
B
R
O
，故R(B)
= R(C) ．
矩阵的秩
一、矩阵的秩的概念
定义：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤n)， 位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A中所处 的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式．
线性代数矩阵的秩
几个简单结论 (1) 若 矩 阵 A 中 有 某 个 s 阶 子 式 不 为 0 则 R(A)s 若A中所有t 阶子式全为0 则R(A)t (2)若A为mn矩阵 则0R(A)min{m n} (3)R(AT)R(A) (4)对于n阶矩阵A 当|A|0时 R(A)n 当 |A|0时 R(A)n 可逆矩阵又称为满秩矩阵 不可逆矩阵(奇 异矩阵)又称为降秩矩阵
则
R( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3
也就式说矩阵A的秩和它行向量组和列向量组 的秩是相等的。 那么这到底是巧合还是必然呢？下面我们就来 研究这个问题
二、矩阵与向量组秩的关系
定理1 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于
它的行向量组的秩.
定理1说明求向量组的秩可以转化为求矩阵的 秩
例1 求矩阵
1 0 A 0 0 1 1 2 1 4 0 0 5 0 0 0 3
的秩
解
显然A的四阶子式 A 0
1 1 1
而A的一个三阶子式 D 0 2 4 10 0 因此R(A)＝3
0 0 5
注意A是一个行阶梯矩阵，而它的秩恰好是非 零行的行数。
E 0
0 0
但是在第一章中我们不能确定E的阶数， 而学习完矩阵的秩的有关知识以后我们知道E 的阶就是矩阵A的秩 由此我们也知道对于一个可逆矩阵它的等价标 准形就是与它同阶的单位矩阵。
说明
（1）初等变换不改变矩阵的秩
（2）用初等行（列）变换把矩阵化成行（列） 阶梯时，非零行（列）的个数就是矩阵的秩 （3）把矩阵A化成行（列）阶梯矩阵B，则B的 列（行）向量组中任意最大无关组所对应的A的 列（行）向量组构成A的一个最大无关组。
三、矩阵秩的求法
1、用定义
线性代数中的秩与矩阵变换解读
线性代数中的秩与矩阵变换解读在线性代数中，秩是一个非常重要的概念。
它可以帮助我们理解矩阵的性质和变换的本质。
本文将探讨线性代数中的秩与矩阵变换的关系，并解读其背后的数学原理和几何意义。
一、秩的定义与性质在线性代数中，矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行（或列）向量的最大个数。
我们用r(A)表示矩阵A的秩。
秩的定义可以通过高斯消元法得到，即将矩阵A进行初等行变换，化为行阶梯形矩阵，秩就是矩阵中非零行的个数。
秩具有以下性质：1. 对于任意矩阵A，秩满足0 ≤ r(A) ≤ min(m, n)，其中m和n分别是矩阵A的行数和列数。
2. 对于任意矩阵A，其秩与其转置矩阵的秩相等，即r(A) = r(A^T)。
3. 对于任意矩阵A和B，r(AB) ≤ min(r(A), r(B))。
当r(A) = r(B) = n时，r(AB) = r(A) = r(B) = n。
二、秩与矩阵变换的关系矩阵变换是线性代数中的一个重要概念，它描述了一个向量空间中的向量在某种变换下的映射关系。
而秩则是描述矩阵的性质的一个指标。
秩与矩阵变换之间有着密切的联系。
1. 矩阵变换的线性性质矩阵变换必须满足线性性质，即对于任意向量x和y以及标量c，有T(x + y) = T(x) + T(y)和T(cx) = cT(x)。
线性性质保证了矩阵变换的可加性和标量倍乘性。
2. 矩阵变换的表示对于一个线性变换T，我们可以用一个矩阵A来表示它。
具体而言，对于任意向量x，有T(x) = Ax。
其中，A是一个m×n的矩阵，m是变换后向量的维度，n是变换前向量的维度。
3. 矩阵变换与秩的关系矩阵变换与秩的关系可以通过矩阵的列空间和零空间来解释。
对于一个m×n的矩阵A，其列空间是所有由A的列向量线性组合而成的向量的集合，记作Col(A)；其零空间是所有满足Ax = 0的向量x的集合，记作Nul(A)。
根据秩的定义，我们可以得到以下结论：- 矩阵A的列空间的维度等于A的秩，即dim(Col(A)) = r(A)。
线性代数§3.3矩阵的秩
当 A B时, 分三种情况讨论: (1) Dr中不含第 i 行; (2) Dr中同时含第 i 行和第 j 行; (3) Dr中含第 i 行但不含第 j 行.
对(1),(2)两种情形, 显然B中与Dr对应的子式Dr有 Dr = Dr 0, 从而, R(B) r . 对情形(3),
设A为n阶可逆方阵. 因为| A | 0, 所以, A的最高阶非零子式为| A |, 则R(A)=n.
故, 可逆方阵A的标准形为单位阵E, 即A E. 即可逆矩阵的秩等于阶数. 故又称可逆(非奇异)矩 阵为满秩矩阵, 奇异矩阵又称为降秩矩阵. 1 2 2 1 1 2 4 8 0 2 , b , 例5:设 A 2 4 2 3 3 3 6 0 6 4 求矩阵A和矩阵B=(A | b)的秩. 分析: 设矩阵B的行阶梯形矩阵为B=(A| b), 则A就是A的行阶梯形矩阵. 因此可以从B=(A| b)中同时考察出R(A)及R(B).
二、矩阵秩的求法
因为任何矩阵Amn, 总可以经过有限次初等行变 换把它们变为行阶梯形矩阵. 问题: 经过变换矩阵的秩改变吗? 定理1: 若A B, 则 R(A) = R(B). 证: 先证明: 若A经过一次初等行变换变为B, 则R(A)=R(B). 设R(A)=r, 且A的某个r 阶子式Dr 0. ri r j ri k 当 A B 或 A B 时, 则在B中总能找到与Dr 相对应的子式Dr . 由于 Dr = Dr , 或 Dr = –Dr , 或 Dr = kDr . 因此Dr 0, 从而R(B) r .
三、小结
1. 矩阵秩的概念 2. 求矩阵秩的方法 (1) 利用定义 寻找矩阵中非零子式的最高阶数; (2) 初等变换法
矩阵秩的定义与求法
矩阵秩的定义与求法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊矩阵秩的定义与求法。
矩阵秩啊，就像是一个团队里核心成员的数量。
你想想看，一个团队里真正能挑大梁的有多少人，这是不是很关键呀？矩阵秩差不多就是这么个意思。
那怎么去理解矩阵秩的定义呢？简单来说，就是矩阵中线性无关的行向量或列向量的最大数目。
这就好比是一堆积木，有的积木能自己稳稳地立着，有的则需要依靠其他积木，那些能自己立住的积木就像是线性无关的向量呀。
那怎么求矩阵秩呢？这可有不少方法呢！比如说，咱可以通过对矩阵进行初等变换，把它变成一个阶梯形矩阵，然后数一下非零行的数目，这不就知道秩是多少啦！这就好像给矩阵来个大变身，让它露出真面目。
再比如说，还可以通过行列式的值来判断。
如果一个子矩阵的行列式不为零，那这个子矩阵对应的行向量或列向量就是线性无关的呀，这不就能找到秩了嘛。
哎呀，是不是觉得有点绕？但咱仔细想想，其实也不难嘛！就像咱平时做事，找到关键的点，问题不就迎刃而解啦？矩阵秩也是一样，找到了合适的方法，就能轻松搞定它。
你看啊，在很多数学问题里，矩阵秩都起着至关重要的作用呢。
要是咱不知道怎么求，那不是两眼一抹黑啦？就像你要去一个地方，不知道路怎么走，那多着急呀！
所以呀，咱可得好好把矩阵秩的定义和求法弄明白咯。
多做几道题，多实践实践，慢慢地就会发现其中的奥妙啦。
别嫌麻烦，别嫌难，等你掌握了，那感觉可棒啦！就像攻克了一座大山，特别有成就感。
反正啊，我觉得矩阵秩这玩意儿真的很有意思，也很有用。
咱可不能小瞧了它，得认真对待，好好钻研。
相信我，等你真正搞懂了，你会发现数学的世界更加精彩啦！这就是我对矩阵秩的看法，你们觉得呢？。
3-3 矩阵的秩和解的存在性定理 线性代数电子课件
对情形 (3)，
Dr ri kjrri krj Dr kD ˆr,
2020年7月2日3时48分
若D ˆr 0, 因 D ˆr中不 i行 含A 知 中 第有i不 行r含 的 阶第 非零 , 子式
注：利 用 定 义 求 A 秩 时 ， 从 高 阶 向 低 阶 逐 个 子 式 进 行 检 验 ;
如 果 k1阶 子 式 均 为 0， 而 某 个 k阶 子 式 不 等 于 0,则 R （ A ） rk.很 麻 烦 ！
2020年7月2日3时48分
例3 ：求矩阵的秩
解：
1 2 3 4 5
B
0
0
2
3
解一 ：x1 x2 (1 t)x3 t （3）有无穷多解，求通解.
1t 1 1 0 r1 r3
B
1
1
1t 1
1 1t
3 t
r2 r1
r3 (1t)r1 r3 r2
(1)t0且 t3时 ,R (A )R (B)3, 方程组有唯一解
(2)t 0时, R (A 3成2 求4462解3 8022A x0361614320 b rrrr,3r44rr33则 426 326315rr出rr232r231r1现0=R 4 1(矛A ,盾b )方3 程,R ，(A 无) 解2.
无解 出现0=1矛盾方程 R(A)R(A,b)
2020年7月2日3时48分
(3)t 3时, R(A)R(B)2,方程组有无穷多解
2020年7月2日3时48分
例6 讨论当t 为何值时，
（1x1 t)(x11tx)x2 2xx3 30,3,（ （12） ）有 无唯 解一 ；解；
【经典线代课件】线性代数课件第三章矩阵的秩-003
则 A 的行阶梯形矩阵只含r 个非零行，
从而知其有 n r 个自由未知量 .
任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０， 即可得方程组的一个非零解 .
定理2 n 元非齐次线性方程组 Amn x b 有解 的充分必要条件是系数矩阵 A 的秩等于增广矩 阵 B A, b 的秩.
x2 , x3为任意实数.
2 当 1时,
1 1 B ~ 0 1 1 0 0 2
这时又分两种情形：
1) 2时, R A R B 3, 方程组有唯一解:
2 1 2
1 1 1 x1 , x2 , x3 . 2 2 2
三、矩阵秩的性质
1.0 R Amn minm, n
2. R AT R A
3.若A B,有R A R B
4. 若P,Q可逆，有R PAQ R A
5. max R A , R B R A, B R A R B
证 必要性. 设方程组 Ax 0 有非零解，
定理1 n 元齐次线性方程组 Amn x 0 有非零解
设RA n, 则在 A中应有一个 n阶非零子式 Dn ,从而 D n 所对应的 n 个方零解相矛盾，
R( A) n 不能成立． 即 RA n.
3.矩阵秩的性质
思考题
设 A 为任一实矩阵 , R( A A)与R( A)是否相等?
T
思考题解答
答 相等.
因为对于任一实向量 x 0, 当Ax 0时,
必有AT Ax 0, 反之当AT Ax 0时, 有x T AT Ax 0
即
Ax Ax 0 Ax 0;
高考数学中的线性代数中的矩阵秩
高考数学中的线性代数中的矩阵秩矩阵是数学中非常重要的一个概念，它是线性代数中的基础。
在高等数学中，矩阵是一个重要的工具，广泛应用于科学和工程领域。
高考数学中的线性代数中的矩阵秩也是其中非常重要的一部分。
一、什么是矩阵秩矩阵秩是矩阵的一个重要特征，它是线性代数中的一个基本概念。
矩阵秩是指矩阵中最大的线性无关的行或列的数目。
矩阵中的行和列可以看作是向量，矩阵秩就是这些向量中线性无关的最大数量。
在高考数学中，矩阵秩是一个常常出现的考察点。
矩阵秩是一道非常简单却非常基础的题目，但正是这样的题目需要我们在考场上能够熟练掌握。
二、矩阵秩的意义矩阵秩的意义在科学和工程领域是非常重要的。
矩阵秩可以用于解决许多实际问题，例如电路分析、线性规划、最小二乘法以及图像处理等。
在电路分析中，矩阵秩可以用于解决电路中的节点分析问题。
在线性规划中，矩阵秩可以用于求解问题的最优解。
在最小二乘法中，矩阵秩可以用于求解线性回归问题。
在图像处理中，矩阵秩可以用于提取图像的特征。
在工程领域中，矩阵秩也有着广泛的应用。
例如在控制系统中，矩阵秩可以用于解决反馈和控制问题；在机器学习中，矩阵秩可以用于构建分类器和聚类器等。
三、矩阵秩的求法矩阵秩的求法是线性代数中的一个重要问题。
矩阵秩可以通过不同的方法进行求解，其中最常用的方法是高斯消元法和矩阵的行列式法。
在高考数学中，我们经常使用矩阵的行列式法来求解矩阵的秩。
矩阵的秩等于矩阵中不为零的子矩阵的阶数最大值。
例如，一个3 x 3的矩阵A的秩可以通过以下步骤进行求解：1. 构造该矩阵的所有2 x 2子矩阵。
2. 计算每个2 x 2子矩阵的行列式的值。
3. 如果所有2 x 2子矩阵的行列式的值都不为零，则该矩阵的秩为3；否则，该矩阵的秩为2或1。
四、矩阵秩的应用矩阵秩在实际问题中有着广泛的应用，它可以用于解决许多问题。
例如，在图像处理中，可以利用矩阵秩来提取图像的特征，例如对比度、饱和度以及颜色等。
线性代数-矩阵的秩-PPT-期末复习资料
、 可逆， 若 P、Q 可逆，则 R( PAQ ) = R( A);
max{ R( A), R( B )} ≤ R( A, B ) ≤ R( A) + R( B ),
特别地， 为列向量时， 特别地，当b为列向量时，有 为列向+ 1; 即，分块矩阵的秩不小于每一个子块的秩，不 分块矩阵的秩不小于每一个子块的秩， 超过所有子块的秩之和. 超过所有子块的秩之和
例如
a11 a12 a13 a14 A = a21 a22 a23 a24 a a32 a33 a34 31 得到4个子块 个子块： 得到 个子块： a11 a12
A11 = a 21
a13 a14 , , A12 = a a21 a24 23
矩阵的秩的原理
；
阵
知道矩阵的标准形与秩的联系； 知道矩阵的标准形与秩的联系；
的 秩
知道矩阵的秩的基本性质. 知道矩阵的秩的基本性质
1
一、k 阶子式
定义1 在 m × n 矩阵 A 中任取 k 行 k 列（ k ≤ m , k ≤ n），位于这些行列交叉 处的个 k 2 元素 , 不改 ），位于这些行列交叉 阶行列式， 变它们在 A 中所处的位置次序而得 的 k阶行列式， 称为矩阵 A 的 k 阶子式 . 例如
5 3 2 3 − 2 6 A0 = 2 0 5 1 6 − 1
r
1 6 − 1 0 − 4 1 0 0 4 0 0 0
因此 R( A0 ) = 3, 在 A0中,找一个 阶非零子式是比较 找一个3阶非零子式是比较 找一个 容易的，另外注意到， 的子式， 容易的，另外注意到， 0 的子式都是 A 的子式，所 A 以易求得的一个最高阶非零子式
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或 D1 D，因此 D1 0 ，从而 r(B) r 。
r j ri
当 A ~ B 时，分三种情形讨论：
（1）D 中不含第 i 行；
（2）D 中同时含第 i 行和第 j 行；
（3）D 中含第 i 行但不含第 j 行。
对于（1）（2）两种情形，显然 B 中与 D
r 对应的 阶子式 D1 D0，从而 r(B) r ；
2 5
2 3
1 2
的秩。
3 7 1 5
解
因为
1 A 2
2 5
2 3
1
2
2 r1r2 3 r1r3
1 0
2 1
2 7
1 0
3 7 1 5
0 1 7 2
1 2 2 1
1 r2r 3 0 1
7
0 所以，秩(A) 3。
0 0 0 2
【注】 矩阵的秩有如下性质：
（1）设A为n阶方阵，则A可逆当且仅当 r ( A ) n（即
对情形（3），由
LLL LLL LLL
D1rj ri ri rj DD2
LLL LLL LLL
若 D 2 0 ，则因 D 2 中不含第 i 行知 A 中
r 有不含第 i 行的 阶非零子式，从而根据情形
（1）知 r(B) r ；若 D 2 0 ，则 D1 D0 。 也有 r(B) r 。
A 0）
（2） r(AT)r(A)。
（3）设A为 mn矩阵，则 r( A) ≤ minm, n。
（4）r(A B )m inr(A ),r(B )，若 A 可逆时，r(AB)r(B)
若 B 可逆时，r(AB)r(A) 。
（5）如果 AmnBnp O，则 r(A B )r(A ) r(B )。
（6）r ( A ) + r ( B ) ≤ n。
B 是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，即知 B
的所有四阶子式全为0；而以3个非零行的非零元为对角 元的三阶行列式
2 1 3 0 3 2 00 4
是一个上三角形行列式，它显然不等于0，因此 r(B) 3
二、求矩阵秩的方法
从上可知，对于一般的矩阵，当行数与列数较高 时，按定义求秩是很麻烦的。然而对于行阶梯形矩阵， 它的秩就等于非零行的行数，一看便知毋须计算。因 此，自然想到用初等变换把矩阵化为阶梯形，但矩阵 经初等变换后它的秩是否保持不变呢？下面的定理对 此作出肯定的回答。
变为 B T ，由上面证明知 r(AT)r(BT)。而 r(A)r(AT) ，r(B)r(BT)，因此 r(A)r(B)。
总之，若 A 经有限次初等变换变为 B （即
A : B），则 r(A)r(B)。
【注】求矩阵 A 秩的方法：A r 行阶梯形，
行阶梯形中非零行的行数，即是它的秩。
1
例5 求矩阵 A 2
r 阶的子式也全为0，因此把 阶非零子式称为最高
阶非零子式，并由此可知矩阵 A 的最高阶非零子式
可能不止一个。而 A 的秩 r ( A ) 就是 A 的非零子
式的最高阶数。
【注】
r （1）若矩阵 A 中有一个 阶非零子式，则 r( A) r
；若 A 中所有 r 阶子式全为0，则 r( A) r 。
（5）该定义揭示了矩阵秩的本质。
例4 求矩阵 A 和矩阵 B 的秩，其中
2 1 0 3 2
1 A2
4
2 3 7
135,B000
3 0 0
1 2
5
0 4 3
00
0
解 在 A 中，容易看出一个二阶子式 1 2 0 ，而 A
23 的三阶子式只有一个 A ，经计算可知 A 0 ，因此
r(A) 2。
3.3 矩阵的秩
一 矩阵秩的概念
二 求矩阵秩的方法
一、矩阵秩的概念
定义1 在 mn 阶矩阵 A 中，任取 k 行与 k 列
（km,kn），位于这些行列交叉处的 k 2 个元，不
改变它们在 A 中所处的位置次序而得的 k 阶行列式，
称为矩阵 A 的 k 阶子式。
mn 阶矩阵 A
的k
阶子式共有
C
k m
C
k n
个。
r 定义2 设在矩阵 A 中有一个不等于0的 阶子式
D ，且所有 r 1 阶子式（如果存在的话）全等于0，
r 那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 称为矩
阵 A 的秩，记作 r ( A ) 。并规定零矩阵的秩等于0。
由行列式的按行（列）展开性质可知，在 A
中当所有 r 1 阶子式全等于0，所有高于 r 1
以上证明了若 A 经一次初等行变换变为 B ， 则 r(A)r(B)。由于 B 亦可经一次初等行变换 变为 A ，故也有 r(B)r(A) 。因此 r(A)r(B)。
经一次初等行变换矩阵的秩不变，因而经有限 次初等行变换矩阵的秩也不变。总之，矩阵的初等 行变换不改变矩阵的秩。
若 A 经初等列变换变为 B ，A T 经初等行变换
定理1 若 A ~ B，则 r(A)r(B)。即，矩阵的
初等变换不改变矩阵的秩。
证明 先证明：若 A 经一次行初等变换化为 B ，则
r(A)r(B) 。为此
设 r(A) r ，且 A 的某个 r 阶子式 D 0 。
当
A
ri r j
~
B
或
A
ri
~
B
时，在 B
中总能找到与
r D 相对应的 阶子式 D 1 ，由于D1 D 或 D1 D
（2）若 A 为 mn 矩阵，则 r(A)m in{m ,n}。 （3）对于 n 阶矩阵 A ，若 A 0 ，则 r(A) n ；若
A 0 ，则 r(A) n 。因此，可逆矩阵又称满秩矩阵，
不可逆矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵。
（4）由于行列式与其转置行列式相等，因此 A T 的子式与
A 的子式对应相等，从而 r(AT)r(A)