函数图象变换及应用抽象函数汇总

函数图象变换及应用

一个函数到另一个函数的变换，（两个函数的对称关系）

1． 平移：

(1)y = f (x + m) (m>0)：把函数y =f (x)的图象向左平移m 的单位（如m<0则向右平

移-m 个单位）。

(2)y = f (x) + m (m>0)：把函数y =f (x)的图象向上平移m 的单位（如m<0则向下平

移-m 个单位）。

2． 对称：

✧ 关于直线对称

(Ⅰ) (1)函数y = f (-x)与y = f (x)的图象关于y 轴对称。

(2)函数y = -f (x)与y = f (x)的图象关于x 轴对称。

(3)函数y = f (2a -x)与y = f (x)的图象关于直线x = a 对称。

(4)函数y = 2b -f (x)与y = f (x)的图象关于直线y = b 对称。

(Ⅱ)(7)函数y = f (|x|)的图象则是将y = f (x)的y 轴右侧的图象保留，并将y =f (x)

右侧的图象沿y 轴翻折至左侧。（实际上y = f (|x|)是偶函数）

(8)函数y = |f (x)|的图象则是将y = f (x)在x 轴上侧的图象保留，并将y = f (x)

在x 轴下侧的图象沿x 轴翻折至上侧。

一般地：函数y = f (a+mx)与y = f (b -mx)的图象关于直线m

2a b x -=

对称。

思考：函数y = f (4+2x)与y = f (2+2x)的图象关系?

✧ 关于点对称

(1) 函数y = - f (-x)与y = f (x)的图象关于原点对称。

(2) 函数y = 2b -f (2a -x)与y = f (x)的图象关于点(a,b)对称。

3． 伸缩

(1) 函数y = f (mx) (m>0)的图象可将y = f (x)图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的m

1倍得到。（如果00)的图象可将y = f (x)图象上各点的横坐标不变，纵坐标缩小到原来的

m 1倍得到。（如果0

二． 函数图象的对称性（有关函数图象本身的对称性）

(1) 如函数y = f (x)对定义域中的任意x 的值，都满足f (x) = f (2a -x) （或者

f(a -x)=f(a+x)等），则函数y = f (x)的图象关于直线x = a 对称。

(2) 如函数y = f (x)对定义域中的任意x 的值，都满足f (x) = 2b -f (2a -x)（或

者f(a -x) = 2b -f(a+x)等），则函数y = f (x)的图象关于点(a,b)对称。

一般地：如函数y = f (x)对定义域中的任意x 的值，都满足 f (a+mx) = f (b -mx)， 则函数

y = f (x)的图象关于直线2

b a x +=

对称。

思考：如函数y = f (x)对定义域中的任意x 的值，都满足 f (4+2x) = f (2+2x)，则函数y = f (x)

具有何种性质。

考点一、基本作图及变换

1. y ＝x 2－2|x|－1 y =1−x 1+x 1(lg lg )2

y x x =+

2.说明由函数2x y =的图像经过怎样的图像变换得到函数32

1x y --=+的图像.

3. 说明由函数2x y =的图像经过怎样的图像变换得到函数 y =2|−x−3| 的图像

4. 说明由函数2x

y =的图像经过怎样的图像变换得到函数 y =2|−x|−3 的图像

5. 函数|a x 2|log )x (f 3+=的图象的对称轴方程为x = 2，则常数a = 。

考点二、图像信息题 6函数的图像大致为（ ）x x

x x e e y e e

--+=-

7. 函f (x )＝

ln 1－x 1＋x 的图象只可能是__________．

考点三：根据图像对称性求函数解析式（相关点法）：

8 .已知函数)(x f 的图像与函数21)(++=x

x x h 的图像关于点)1,0(A 对称。 （1）求)(x f 的解析式；（2）若x

a x f x g +=)()(，且)(x g 在区间]2,0(上为减函数，求实数a 的取值范围。

9．已知函数f (x )＝－a a x

＋a

(a >0且a ≠1)． (1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－12)对称； (2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值．

1

x y

1O A x y O 11B x y O 1

1 C x

y 1 1 D O

考点四，综合（单调性 对称性（包含了奇偶性） 周期性 结合图像）

10．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈(－1,1]时，

f (x )＝|x |，则y ＝f (x )与y ＝lo

g 7x 的交点的个数为__________．

11.已知定义在R 上的奇函数f(x),满足f(x -4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数，则 （ ）

A.f(-25)＜f(11)＜f(80)

B.f(80)＜f(11)＜f(-25)

C.f(11)＜f(80)＜f(-25)

D.f(-25)＜f(80)＜f(11)

12.已知函数f(x)(x ∈R)满足：f(x+1)=f(x)+f(x+2),且 f(1)=1,f(2)=2 010.则

f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 009)=______.

13．设 f (x)为偶函数，对于任意,4)1(f ),x 2(f 2)x 2(f R x =---=+∈+已知都有那么

f(-3)= 。

14．设函数f (x)与函数g (x)的图象关于直线x =3对称，则g (x)的表达式为---（ ）

)

x 6(f )x (g )D ( )x 3(f )x (g )C ()x 3(f )x (g )B ( )x 2

3(f )x (g )A (-=--=-=-=

15．函数f (a -x)与f (b+x)的图象关于直线l 对称，则直线l 的方程为-------------（ ）

b a x )D ( b a x )C ( 2

b a x )B ( 2b a x )A (+=-=+=-=

16.若函数f(x)满足f(1+x)=f(2-x)， 则f （x ）的对称轴为