函数图象变换及应用抽象函数汇总
函数图像变换(整理)
函数的图象变换函数图象的基本变换：(1)平移；(2)对称；(3)伸缩。
由函数y = f (x)可得到如下函数的图象1． 平移：(1)y = f (x + m) (m>0)：把函数y =f (x)的图象向左平移m 的单位（如m<0则向右平移-m 个单位）。
(2)y = f (x) + m (m>0)：把函数y =f (x)的图象向上平移m 的单位（如m<0则向下平移-m 个单位）。
2． 对称：✧ 关于直线对称(Ⅰ) (1)函数y = f (-x)与y = f (x)的图象关于y 轴对称。
(2)函数y = -f (x)与y = f (x)的图象关于x 轴对称。
(3)函数y = f (2a -x)与y = f (x)的图象关于直线x = a 对称。
(4)函数y = 2b -f (x)与y = f (x)的图象关于直线y = b 对称。
(5)函数)x (f y 1-=与y = f (x)的图象关于直线y = x 对称。
(6)函数)x (f y 1--=-与y = f (x)的图象关于直线y = -x 对称。
(Ⅱ)(7)函数y = f (|x|)的图象则是将y = f (x)的y 轴右侧的图象保留，并将y =f (x)右侧的图象沿y 轴翻折至左侧。
（留正去负，正左翻（关于y 轴对称））；(8)函数y = |f (x)|的图象则是将y = f (x)在x 轴上侧的图象保留，并将y = f (x)在x 轴下侧的图象沿x 轴翻折至上侧。
(留正去负，负上翻；)一般地：函数y = f (a+mx)与y = f (b -mx)的图象关于直线m2a b x -=对称。
✧ 关于点对称(1) 函数y = - f (-x)与y = f (x)的图象关于原点对称。
(2) 函数y = 2b -f (2a -x)与y = f (x)的图象关于点(a,b)对称。
3． 伸缩(1) 函数y = f (mx) (m>0)的图象可将y = f (x)图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的m 1倍得到。
函数的图像及其变换(完整版)
函数的图像及其变换(完整版)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN函数的图像及变换一、函数图像的变换对称变换(||)翻折翻折变换|()|翻折左右平移平移变换上下平移横坐标不变，纵坐标伸缩伸缩变换纵坐标不变，横坐标伸缩y f x y f x ⎧⎪⎧=⎪⎨⎪=⎩⎪⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩关于x 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于y 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于原点对称：(,)(,)x y x y →-- 关于y x =对称：(,)(,)x y y x →关于y x =-对称：(,)(,)x y y x →-- 关于直线x a =对称：(,)(2,)x y a x y →-（轴对称） 关于y x b =+对称：(,)(,)x y y b x b →-+ 关于y x b =-+对称：(,)(,)x y b y x b →--+ 关于点(,)P a b 对称：(,)(2,2)x y a x b y →--（点对称）例1：已知2()2f x x x =-，且()g x 与()f x 关于点(1,2)对称，求()g x 的解析式.（相关点法）例2：已知函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，且当(0,)x ∈+∞时，有1()f x x=，则当 (,2)x ∈-∞-时，()f x 的解析式是（ ）.A. 1x -B. 12x +C.12x -+D. 12x- 例3：下列函数中，同时满足两个条件“①x R ∀∈，()()01212f x f x ππ++-=；②当6π-<x 3π<时，'()0f x >”的一个函数是（ ）A.()sin(2)6f x x π=+B. ()cos(2)3f x x π=+C. ()sin(2)6f x x π=-D. ()cos(2)6f x x π=-①关于形如()y f x =的图像画法：当0x ≥时，()y f x =；当0x ≤时，()y f x =-()y f x =为偶函数，关于y 轴对称，即把0x ≥时()y f x =的图像画出，然后0x ≤时的图像与 0x ≥的图像关于y 轴对称即可得到所求图像.②关于形如()y f x =的图像画法当()0f x ≥时，()y f x =；当()0f x ≤时，()y f x =-先画出()y f x =的全部图像，然后把()y f x =的图像x 轴下方全部关于x 轴翻折上去，原x 轴上方的图像保持不变，x 轴下方的图像去掉不要即可得到所求图像.例3：画出下列函数的图像.（1）12log y x = （2）228y x x =--例4:设函数2()45f x x x =--.（1）在区间[2,6]-上，画出函数()f x 的图像；（2）设集合{}()5A x f x =≥，(,2][0,4][6,)B =-∞-+∞.试判断集合A B 、之间的关系，并给出证明；（3）当2k >时，求证：在区间[1,5]-上，3y kx k =+的图像位于函数()f x 图像的上方.①左右平移把函数()y f x =的全部图像沿x 轴方向向左（0a >）或向右（0a <）平移a 个单位即可得到函数()y f x a =+的图像②上下平移把函数()y f x =的全部图像沿y 轴方向向上（0a >）或向下（0a <）平移a 个单位即可得到函数()y f x a =+的图像例4：将函数lg(32)1y x =-+按向量(2,3)a =-平移后得到新的图象解析式为 例5:把一个函数的图象按向量(,2)8a π=-平移后得到的图象的解析式为sin(2)24y x π=+-，则原来函数的解析式 .Ⅰ.将函数()y f x =的全部图像中的每一点横坐标不变，纵坐标伸长(1)a >或缩短(01)a <<为原来的a 倍得到函数()(0)y af x a =>的图像.Ⅱ. 将函数()y f x =的全部图像中的每一点纵坐标不变，横坐标伸长(1)a >或缩短(01)a <<为原来的1a倍得到函数()(0)y f ax a =>的图像. 例6：已知函数21()2lg(2)-=++x f x x ，把函数()y f x =的图像关于y 轴对称，然后向右平移1个单位，最后纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得到()g x 的图像，求()g x 的解析式.例7：已知函数2()log (1)f x x =+，将()y f x =的图像向左平移1个单位，再将图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x =的图像. （1）求()y g x =的解析式和定义域；（2）求函数()(1)()F x f x g x =--的最大值.【练习】1.为了得到函数321x y -=-的图像，只需要把函数2x y =的图像上所有的点（ ）.A.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 2.下面四个图形中，与函数22log (1)yx x =+≥的图像关于y x =对称的是（ ）.3.若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=，且[1,1]x ∈-时，()f x x=，则函数()y f x =的图像与函数4log y x =的图像的交点的个数为（ ）.A.3B.4C.6D.84.将函数by a x a=++的图像向右平移2个单位长度后又向下平移2个单位，所得到的函数图像与原图像如果关于直线y x =对称，那么（ ）.A. 1,0a b =-≠B. 1,a b R =-∈C.1,0a b =≠D. 0,a b R =∈ 5.已知21()f x x x =+，且()g x 与()f x 关于点(1,0)-对称，求()g x 的解析式.6.画出下列函数的图像.（1）ln y x = （2）26y x x =--7. 函数()2xf x =和3()g x x =的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且12x x <.（1）请指出示意图中曲线12,C C 分别对应于哪一个函数；（2）若12[,1],[,1]x a a x b b ∈+∈+，且{},1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12a b ∈，指出,a b 的值，并说明理由；（3）结合函数图像的示意图，判断(6),(6),(2010),(2010)f g f g 的大小关系.8.已知函数()f x 和()g x 的图像关于原点对称，且2()2f x x x =+. （1）求函数()g x 的解析式； （2）解不等式()()1g x f x x ≥--；（3）若()()()1h x g x f x λ=-+在[1,1]-上是增函数，求实数λ的取值范围.6. 已知函数()y f x =，把函数()y f x =的图像向左平移1个单位，然后横坐标保持不变，纵坐标变为原来的3倍再向下平移3个单位得到()g x 的图像，求()g x 的解析式.补充：请把相应的幂函数图象代号填入表格.①32x y =；②2-=x y；③21xy =；④1-=x y ；⑤31x y =；⑥23x y =；⑦34x y =； ⑧21-=x y ；⑨35x y =.函数代号 ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩图象代号HI常规函数图像有：指数函数：逆时针旋转，底数越来越大 .对数函数：逆时针旋转,底数越来越小幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。
高考数学中的函数图像变换及其应用
高考数学中的函数图像变换及其应用高考数学作为广大学生面临的一大挑战，其中数学分值占比不容忽视，其中函数图像变换的相关知识成为了考生备考重点之一。
本文将介绍这些知识，并探讨其相关应用。
一、函数图像的平移平移是函数图像变换中最基本的一种，它是通过改变函数图像与坐标轴的相对位置来实现的。
其中，平移的方向与距离是决定平移效果的两个重要因素。
对于一般的函数y=f(x)，将它的图像向右平移a个单位长度的方法如下：设新函数为y=f(x-a)，则各个点的实际位置为（x+a，y），根据平移的原理，需要将这些点在坐标系中向左平移a个单位长度即可实现。
类似地，将函数图像向左平移a个单位长度的方法就是y=f(x+a)，而将其上移或下移b个单位长度的方法分别为y=f(x)+b 和y=f(x)-b。
函数图像的平移主要应用于研究函数图像的周期性，以及改变其输出值区间、控制其渐进线等方面。
二、函数图像的伸缩伸缩也是函数图像变换中常用的一种方法，它是通过改变函数图像沿x、y轴的长度比例来实现的。
对于一般的函数y=f(x)，将其图像沿x轴方向压缩k倍的方法如下：设新函数为y=f(kx)，则每个点的实际位置为（x/k，y），因此只需将这些点在坐标系中沿x轴方向伸缩k倍即可。
类似地，函数图像沿y轴方向压缩k倍的方法为y=kf(x)，而沿x、y轴方向伸缩k倍的方法分别为y=f(x/k)和y=kf(kx)。
函数图像的伸缩主要应用于研究函数图像的单调性、极值、导数等性质，以及折线图、曲线图的绘制等方面。
三、函数图像的旋转旋转是函数图像变换中相对复杂的一种，它是通过改变函数图像与坐标轴的相对位置和形状来实现的。
对于一般的函数y=f(x)，将其图像沿原点逆时针旋转α角的方法如下：设新函数为y=f(xcosα+ysinα)，则原函数中每个点的坐标（x，y）将变为（xcosα+ysinα，-xsinα+ycosα），按照旋转的原理，需要将这些点在坐标系中沿逆时针方向旋转α角度即可实现。
函数图象变换
y
y = 2|x-1|
把 y = 2|x| 图象向右平移1个单位 得到函数 y = 2|x-1| 的图象. 由图象知函数的对称轴为 x=1 ，
0
x
函数的单调增区间为 [1 ，+∞)， 单调减区间为 (-∞，1].
函数图象的四大变换之
对称变换
1 例6设f(x)= (x>0)，求函数y=-f(x)、y=f(-x)、y=x
∴ y = 2|x| 图象关于y轴对称.
y = 2|x|
0
x
例5.
先作出函数 y = 2|x| 的图象， 解： 2 x ••• x 0) x ( 2 •• x 0) ( | x| y 2 x 1 x 2 ( x 0) ( ) ( x 0) 2 又 y = 2|x| 是偶函数，
f(-x)的解析式及其定义域并分别作出它们的图象。
y
y=f(x) y=f(-x)
y
y=f(x)
y
y=f(x)
o
1
x
o
1
x
o
y=-f(-x)
1
x
y=-f(x)
对 称 变 换
图象关于 x轴对称
图象关于
图象关于
原点对称
y轴对称
例7.指数函数 y = 2x 的图象与函数 y = 2-x ，y=-2x ，y = -2-x 的图象的关系：
x 3
(3，4) 3 图象恒过定点 _________.
3 图象是由 y a 3
沿 x 轴向右平移 3 个单位，再
沿 y 轴向上平移 3 个单位所得 .
又 y a 图象过定点 0 ， ， （ 1 ）
函数的图像及其变换归纳总结
函数的图像及其变换归纳总结一、课标要求：函数是现代数学中最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题汇总发挥重要作用。
函数是贯穿高中数学课程的主线。
1．函数概念与性质本单元的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系；能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。
（1）函数概念①在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念（参见案例2），体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。
了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域。
②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用。
③通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。
（2）函数性质①借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义。
②结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义。
③结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义。
2．幂函数、指数函数、对数函数幂函数、指数函数与对数函数是最基本的、应用最广泛的函数，是进一步研究数学的基础。
本单元的学习，可以帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究这些函数的性质；理解这些函数中所蕴含的运算规律；运用这些函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在解决实际问题中的作用。
内容包括：幂函数、指数函数、对数函数。
（1）幂函数（2）指数函数（3)对数函数二、知识梳理1.图像的变换（1）两个函数图象间的变换及函数关系：【会根据变换写解析式】平移变换：（2）翻折变换：（3）伸缩变换：（4）(对称变换)两个函数图象间的对称性及函数关系：【会根据对称性写解析式】2.函数图像的应用（1）.利用函数图像确定函数解析式利用函数图像确定函数解析式时,要注意综合应用奇偶性、单调性等相关性质，同时结合自变量与函数值的对应关系.（2）利用函数图像研究两函数图像交点的个数利用函数图像研究两函数图像交点的个数时,常将两函数图像在同一坐标系内作出,利用数形结合求解参数的取值范围.（3）利用函数图像研究不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时,常将不等式问题转化为两函数图像的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.（4）利用函数图像研究方程根的个数【会读图】读出定义域，值域，最值，极值，零点，解集，单调性，奇偶性（对称性），周期性，有界性，渐近线．【会作图】熟练掌握一些基本函数图象．作图时，抓住关键点（端点、最值点、极值点、零点、与y轴的交点、对称中心等），关键线（对称轴、渐近线），利用好函数性质（奇偶性、单调性、周期性等）．三、查缺补漏1.识图，辩图（1）从函数的定义域,判断图像左右的位置；（2）从函数的值域,判断图像的上下位置；（3）从函数的单调性,判断图像的变化趋势；（4）从函数的奇偶性,判断图像的对称性；（5）从函数的周期性,判断图像的循环往复.2.图像的变换3.图像的应用四、常用二级结论：1.函数图像对称性2. 二次函数3.经典不等式．三年真题：。
艺术生高考数学专题讲义考点10函数的图象及其变换
艺术生高考数学专题讲义考点10函数的图象及其变换1.函数的图象函数的图象是函数y=f(x)的平面图形表示，通常用笛卡尔坐标系上的点(x,f(x))表示。
函数的图象可以帮助我们直观地了解函数的性质。
2.常见函数图象(1) 一次函数y=ax+b (a≠0) 的图象是一条直线，斜率为a，截距为b。
(2) 二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0) 的图象是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。
(3)幂函数y=x^a(a>0,a≠1)的图象是一条指数曲线，根据a的大小关系可以判断增减性。
(4) 对数函数y=loga(x) (a>0, a≠1) 的图象是一条反比例函数的图象。
3.函数图象的平移(1)向右平移h个单位：将x替换为x-h，则对应的函数图象向右平移h个单位。
(2)向左平移h个单位：将x替换为x+h，则对应的函数图象向左平移h个单位。
(3)向上平移k个单位：将y替换为y-k，则对应的函数图象向上平移k个单位。
(4)向下平移k个单位：将y替换为y+k，则对应的函数图象向下平移k个单位。
4.函数图象的伸缩(1) 横向伸缩：将x替换为kx (k>0)，则对应的函数图象在x轴方向上缩短为原来的1/k倍；如果k<0，则函数图象在x轴方向上翻转。
(2) 纵向伸缩：将y替换为ky (k>0)，则对应的函数图象在y轴方向上伸长为原来的k倍；如果k<0，则函数图象在y轴方向上翻转。
5.函数图象的对称(1)关于x轴对称：将y替换为-y，则对应的函数图象关于x轴对称。
(2)关于y轴对称：将x替换为-x，则对应的函数图象关于y轴对称。
(3)关于原点对称：先进行左右对称，再进行上下对称。
6.函数图象的综合变换根据需要，可以将平移、伸缩和对称等操作综合运用于函数的图象，从而得到更加复杂的函数图象。
7.相关考点(1)函数的性质与图象：通过观察函数的图象，可以判断函数的奇偶性、增减性等性质。
(2)函数的反函数：反函数的图象是原函数的图象关于直线y=x的镜像。
函数图像的应用归纳总结
函数图像的应用归纳总结在数学中，函数图像是一种重要的工具，它在各个领域具有广泛的应用。
通过观察和分析函数图像，我们可以得出许多有用的结论和推论。
本文将对函数图像的应用进行归纳总结，并探讨其在实际问题中的应用。
一、函数图像的形态通过观察函数图像的形态，我们可以了解函数的性质和变化趋势。
比如，当函数图像呈现上升趋势时，我们可以判断该函数是递增的；当函数图像呈现下降趋势时，我们可以判断该函数是递减的。
另外，函数图像的凹凸性也是我们关注的重点。
当函数图像呈现向上的凹状时，我们可以判断函数具有凹性；当函数图像呈现向下的凸状时，我们可以判断函数具有凸性。
这些凹凸性的特点对于优化问题的求解和最值点的确定具有重要的指导作用。
二、函数图像的交点和零点观察函数图像的交点和零点可以帮助我们解决方程和不等式问题。
当两个函数图像相交时，我们可以通过寻找交点的横坐标和纵坐标来求解方程。
当函数图像与x轴相交时，我们可以通过寻找零点的横坐标来求解方程或不等式。
例如，当我们需要求解方程“f(x) = g(x)”时，我们可以将两个函数图像绘制在同一坐标系上，通过观察交点的横坐标来得到方程的解。
同样地，当我们需要求解不等式“f(x) > g(x)”时，我们可以观察函数图像与x轴的交点和函数图像的上升或下降趋势，从而确定不等式的解集。
三、函数图像的极值点和最值点函数图像的极值点和最值点对于优化问题的求解非常重要。
当函数图像在某一点具有极值时，该点的横坐标和纵坐标可以帮助我们确定极值点的位置和值。
当函数图像在某一段区间上具有最值时，该区间的两个端点和函数图像的变化趋势可以帮助我们确定最值点的位置和值。
例如，当我们需要求解函数的极值问题时，我们可以通过观察函数图像的变化趋势和拐点的位置来确定极值点的值和位置。
同样地，当我们需要求解函数在一段区间上的最值问题时，我们可以观察函数图像在该区间上的变化趋势和端点的值，从而确定最值点的位置和值。
函数图像的变换技巧例题和知识点总结
函数图像的变换技巧例题和知识点总结函数图像是研究函数性质的重要工具，通过对函数图像进行变换，可以更直观地理解函数的特点和规律。
下面我们将介绍一些常见的函数图像变换技巧，并通过例题来加深理解。
一、平移变换1、水平平移对于函数\（y ＝ f(x)＼），将其图像向左平移\（h\）个单位，得到\（y ＝ f(x ＋ h)＼）；向右平移\（h\）个单位，得到\（y ＝ f(x h)＼）。
例如，函数\（y ＝ x^2\）的图像向左平移\（2\）个单位，得到\（y＝（x ＋ 2)＾2\）的图像；向右平移\（3\）个单位，得到\（y ＝（x 3)＾2\）的图像。
例题：将函数\（y ＝ 2x ＋ 1\）的图像向左平移\（3\）个单位，求平移后的函数表达式。
解：将\（x\）替换为\（x ＋ 3\），得到平移后的函数为\（y ＝ 2(x＋ 3) ＋ 1 ＝ 2x ＋ 7\）2、竖直平移函数\（y ＝ f(x)＼）的图像向上平移\（k\）个单位，得到\（y ＝ f(x) ＋ k\）；向下平移\（k\）个单位，得到\（y ＝ f(x) k\）。
例如，函数\（y ＝＼sin x\）的图像向上平移\（1\）个单位，得到\（y ＝＼sin x ＋ 1\）的图像；向下平移\（2\）个单位，得到\（y ＝＼sin x 2\）的图像。
例题：将函数\（y ＝＼log_2 x\）的图像向下平移\（2\）个单位，求平移后的函数表达式。
解：平移后的函数为\（y ＝＼log_2 x 2\）二、伸缩变换1、水平伸缩对于函数\（y ＝ f(x)＼），将其图像上所有点的横坐标伸长（或缩短）到原来的\（＼omega\）倍（＼（＼omega ＞0\）），纵坐标不变，得到\（y ＝ f(＼frac{1}｛＼omega}x)＼）。
当\（＼omega ＞ 1\）时，图像沿\（x\）轴缩短；当\（0 ＜＼omega ＜ 1\）时，图像沿\（x\）轴伸长。
例如，函数\（y ＝＼sin x\）的图像横坐标缩短到原来的\（＼frac{1}｛2}＼），得到\（y ＝＼sin 2x\）的图像；横坐标伸长到原来的\（2\）倍，得到\（y ＝＼sin ＼frac{1}｛2}x\）的图像。
函数图象的变换及简单应用
函数图象的变换及简单应用作者：南昌十中衷敬奎一、高考要求1、掌握作函数图象的两种基本方法：①描点法②图象变换法2、熟悉图象的平移变换、对称变换、伸缩变换及简单应用3、使学生达到“识图”、“作图”、“用图”的目的二、教学重点1、用描点法画图2、用函数图象变换作图三、教学难点图象的平移变换、对称变换、伸缩变换及简单应用。
四、教学方法自学辅导法结合函数图象的网络结构，引导学生补充相关内容，强化学生对函数图象变换的熟练掌握。
结合典型的例习题，教师给予及时的启发或点拨，真正使学生解题能力得到锻炼和提高五、教学过程前段时间我们学习了函数，今天我们就对函数图象这部分内容，进行归纳总结。
首先我们来研究一下用描点画图：（1）利用描点法画图的基本步骤：①确定函数的定义域②简化函数的解析式③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、最值等) ④画出函数的图象例1：已知曲线c的方程是:y2=x|x|+1，则曲线的大致图形是_____A________A BC Dx 2+1(x ≥0)解析：y 2= 所以图象为y 2+x 2=1的一部分（半圆）和y 2=x 2+1的一－x 2＋1（x ＜0) 部分（双曲线）(2)利用基本函数的图象变换常见的图象变换有以下三种：1． 平移变换1、y=f(x-a)的图象可由y=f(x)的图象沿x 轴向右( a ＞0 )或向左( a ＜0)平移|a|个单位得到2、y=f(x)+h 的图象可由y=f(x)的图象沿y 轴向上(h ＞0)或向下(h ＜0)平移|h|个单位得到3、y=f(ωx-a)的图象可由y=f(ωx)的图象沿x 轴向右(ωx ＞0 ) 或向左(ωx ＜0)平移| a|个单位得到.注意：1、可以将平移变换化简成口诀：左加右减，上加下减2、谁向谁变换是y=f(x) y=f(x-a)还是y=f(x-a) y=f(x)3、平移的单位始终跟着x2． 伸缩变换：1、 y=kf(x)(k>0)的图象可由y=f(x)的图象的横坐标不变,纵坐标变为k 倍(k>1时伸长，０<k<1时缩短而得到)2、 y=f(kx)(k>0)的图象可由y=f(x)的图象纵坐标不变,横坐标变为原来的k1倍(k>1时缩短,０<k<1时伸长而得到)3． 对称变换1、 y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y 轴对称2、 y=f(x)与y=－f(x)的图象关于x 轴对称3、 y=f(x)与y=－f(-x)的图象关于原点对称注：如果一个函数具备上述三个对称变换中的两个，就一定具备第三个.4． y=|f(x)|的图象是保留y=f(x)的图象中位于上半平面内的部分，及与x 轴的交点，将y=f(x)的图象中位于下半平面内的部分以x 轴为对称翻折到上半面中去而得到。
初中数学函数图像的变换规律与应用实例解析
初中数学函数图像的变换规律与应用实例解析函数图像的变换规律是数学中的重要概念，它描述了通过何种方式对函数的图像进行平移、伸缩和翻转等操作。
这些变换规律不仅有助于我们理解数学中的函数性质，还可以应用于解决实际问题。
本文将详细讨论数学函数图像的变换规律，并通过应用实例进行解析。
首先，我们来讨论函数图像的平移变换规律。
平移是指将函数图像沿水平或垂直方向移动一定距离。
对于一般函数y=f(x)，进行平移变换可以得到新函数y=f(x-a)+b。
其中a表示水平平移的距离，当a>0时向右平移，当a<0时向左平移；b表示垂直平移的距离，当b>0时向上平移，当b<0时向下平移。
例如，对于函数y=x^2，我们可以进行水平平移和垂直平移。
如果我们将函数向右平移2个单位，那么新函数可以表示为y=(x-2)^2。
同样地，如果我们将函数向上平移3个单位，那么新函数可以表示为y=x^2+3。
这些平移变换可以帮助我们研究函数的移动特性，并解决与平移相关的实际问题。
其次，我们探讨函数图像的伸缩变换规律。
伸缩是指通过乘以或除以一个常数来改变函数图像的高度或宽度。
对于一般函数y=f(x)，进行伸缩变换可以得到新函数y=a*f(bx)。
其中a表示垂直伸缩的倍数，当a>1时函数图像变高，当0<a<1时函数图像变矮；b表示水平伸缩的倍数，当b>1时函数图像变宽，当0<b<1时函数图像变窄。
例如，对于函数y=x^2，我们可以进行垂直伸缩和水平伸缩。
如果我们垂直伸缩这个函数的高度为原来的2倍，那么新函数可以表示为y=2x^2。
同样地，如果我们水平伸缩这个函数的宽度为原来的1/2倍，那么新函数可以表示为y=(1/2)x^2。
这些伸缩变换使我们能够研究函数图像的变化趋势，并解决与伸缩相关的实际问题。
此外，我们还需要了解函数图像的翻转变换规律。
翻转是指通过改变函数的正负号来改变图像的位置。
对于一般函数y=f(x)，进行翻转变换可以得到新函数y=-f(x)。
函数图像变换知识点总结
函数图像变换知识点总结一、基本概念1. 函数图像的平移函数图像的平移是指将原函数图像沿横轴或纵轴方向平移一定的距离。
平移的方向和距离可以是正数也可以是负数。
- 沿横轴方向平移：对于函数y=f(x)，如果在横轴方向上平移了a个单位，新函数表示为y=f(x-a)。
- 沿纵轴方向平移：对于函数y=f(x)，如果在纵轴方向上平移了b个单位，新函数表示为y=f(x)+b。
2. 函数图像的伸缩函数图像的伸缩是指将原函数图像沿横轴或纵轴方向进行拉伸或压缩。
伸缩的方向和比例可以是正数也可以是负数。
- 沿横轴方向伸缩：对于函数y=f(x)，如果在横轴方向上进行了伸缩，新函数表示为y=f(kx)。
- 沿纵轴方向伸缩：对于函数y=f(x)，如果在纵轴方向上进行了伸缩，新函数表示为y=kf(x)。
3. 函数图像的翻转函数图像的翻转是指对原函数图像进行镜像操作，可以分为关于横轴翻转和关于纵轴翻转两种情况。
- 关于横轴翻转：对于函数y=f(x)，进行横轴翻转后，新函数表示为y=-f(x)。
- 关于纵轴翻转：对于函数y=f(x)，进行纵轴翻转后，新函数表示为y=f(-x)。
二、函数图像变换的特点1. 平移：平移不改变函数的基本形状，只是改变了函数的位置；2. 伸缩：伸缩可以改变函数的斜率和幅度，但不改变函数的形状；3. 翻转：翻转改变了函数的整体形状，使得原函数变为其镜像；4. 组合变换：可以将多种变换进行组合，得到更复杂的函数图像变换。
三、函数图像变换的应用函数图像变换不仅仅是数学中的一种抽象概念，还可以应用到具体的问题中，如物理、经济等领域。
1. 物理问题：在物理学中，函数图像变换可以用来描述物体的运动、变形等。
例如，对于速度-时间图像，进行平移可表示物体的起始位置不同；进行伸缩则可以描述加速度的变化；进行翻转可以描述反向运动等情况。
2. 经济问题：在经济学中，函数图像变换可以用来描述经济模型的变化。
例如，对于需求-价格图像，进行平移可以表示需求量或价格的变化；进行伸缩可以描述需求的弹性；进行翻转可以描述替代品或补充品的关系等情况。
函数图像的三种变换
函数图像的三种变换函数在中学数学及大学数学中都是极其重要的内容，函数思想是解决函数问题的理论源泉; 函数的性质是解决函数问题的基础，而函数的图象则是函数性质的具体的直观的反应。
在高中阶段函数图象的变化方式主要有以下三种：一 、平移变换函数图象的平移变换，表现在函数图象的形状不变，只是函数图象的相对位置在变化，其平移方式可分为以下两种：1、 沿水平方向左右平行移动比如函数)(x f y =与函数)0)((>-=a a x f y ，由于两函数的对应法则相同，x a x 与-取值范围一样，函数的值域一样。
以上三条决定了函数的形状相同，只是函数的图象在水平方向的相对位置不同，如何将函数)(x f y =的图象水平移动才能得到函数)0)((>-=a a x f y 的图象呢？因为对于函数)(x f y =上的任意一点（11,y x ），在)(a x f y -=上对应的点为),(11y a x +，因此若将)(x f y =沿水平方向向右平移a 个单位即可得到)0)((>-=a a x f y 的图象。
同样，将)(x f y =沿水平方向向左平移a 个单位即可得到)0)((>+=a a x f y 的图象。
2、沿竖直方向上下平行移动比如函数)(x f y =与函数)0()(>+=b b x f y ，由于函数)(x f y =函数)0)((>=-b x f b y 中函数y 与b y -的对应法则相同，定义域和值域一样，因此两函数形状相同，如何将函数)(x f y =的图象上下移动得到函数)(x f b y =-的图象呢？因为对于函数)(x f y =上的任意一点（11,y x ），在)0)((>=-b x f b y 上对应的点为),(11b y x +，因此若将)(x f y =沿竖直方向向上平移a 个单位即可得到)0)((>=-b x f b y 的图象。
函数图象变换及应用抽象函数汇总
函数图象变换及应用一个函数到另一个函数的变换，（两个函数的对称关系）1． 平移：(1)y = f (x + m) (m>0)：把函数y =f (x)的图象向左平移m 的单位（如m<0则向右平移-m 个单位）。
(2)y = f (x) + m (m>0)：把函数y =f (x)的图象向上平移m 的单位（如m<0则向下平移-m 个单位）。
2． 对称：✧ 关于直线对称(Ⅰ) (1)函数y = f (-x)与y = f (x)的图象关于y 轴对称。
(2)函数y = -f (x)与y = f (x)的图象关于x 轴对称。
(3)函数y = f (2a -x)与y = f (x)的图象关于直线x = a 对称。
(4)函数y = 2b -f (x)与y = f (x)的图象关于直线y = b 对称。
(Ⅱ)(7)函数y = f (|x|)的图象则是将y = f (x)的y 轴右侧的图象保留，并将y =f (x)右侧的图象沿y 轴翻折至左侧。
（实际上y = f (|x|)是偶函数）(8)函数y = |f (x)|的图象则是将y = f (x)在x 轴上侧的图象保留，并将y = f (x)在x 轴下侧的图象沿x 轴翻折至上侧。
一般地：函数y = f (a+mx)与y = f (b -mx)的图象关于直线m2a b x -=对称。
思考：函数y = f (4+2x)与y = f (2+2x)的图象关系?✧ 关于点对称(1) 函数y = - f (-x)与y = f (x)的图象关于原点对称。
(2) 函数y = 2b -f (2a -x)与y = f (x)的图象关于点(a,b)对称。
3． 伸缩(1) 函数y = f (mx) (m>0)的图象可将y = f (x)图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的m1倍得到。
（如果0<m<1，实际上是将f (x)的图象伸展） (2) 函数y = mf (x) (m>0)的图象可将y = f (x)图象上各点的横坐标不变，纵坐标缩小到原来的m 1倍得到。
高考数学全部函数图像及图像变换整理，一定要弄清楚！
⾼考数学全部函数图像及图像变换整理，⼀定要弄清楚！很多同学碰到函数题都很茫然，各种函数傻傻分不清。
有的题⽬要求对函数图像进⾏各种变换，更是让同学们摸不清头脑。
匠匠今天就把⾼中数学⾥⽤到的函数都整理出来给⼤家，图⽂并茂便于记忆。
基本初等函数的图像基本的函数图像是同学们必须记清楚的，只有记清楚了基本的函数图像，才能应对各种变换要求。
跟匠匠⼀起来看看，下⾯这些基本的函数图像你都记清楚了没！1⼀次函数性质：⼀次函数图像是直线。
当k>0时，函数单调递增；当k<>2⼆次函数性质：⼆次函数图像是抛物线。
a决定函数图像的开⼝⽅向，判别式b^2-4ac决定了函数图像与x轴的交点，对称轴两边函数的单调性不同。
3反⽐例函数性质：反⽐例函数图像是双曲线。
当k>0时，图像经过⼀、三象限；当k<>4指数函数当0<><><><><>不同底的指数函数图像在同⼀个坐标系中时，⼀般可以做直线 x = 1，与各函数的交点，根据交点纵坐标的⼤⼩，即可⽐较底数的⼤⼩。
5对数函数当底数不同时，对数函数的图像是这样变换的6幂函数性质：先看第⼀象限，即x>0时，当a>1时，函数越增越快；当0<><><><>7对勾函数对于函数y=x+k/x，当k>0时，才是对勾函数，可以利⽤均值定理找到函数的最值。
函数图像的变换1平移变换（1）⽔平平移：函数 y = f（x + a）的图像可以把函数 y = f（x）的图像沿x轴⽅向向左（a＞0）或向右（a＜0）平移｜a｜个单位即可得到；（2）竖直平移：函数 y = f（x） + a 的图像可以把函数 y = f（x）的图像沿x轴⽅向向上（a＞0）或向下（a＜0）平移｜a｜个单位即可得到。
2对称变换（1）函数 y = f（-x）的图像可以将函数 y = f（x）的图像关于y轴对称即可得到；（2）函数 y = - f（x）的图像可以将函数 y = f（x）的图像关于x轴对称即可得到；（3）函数 y = - f（-x）的图像可以将函数 y = f（x）的图像关于原点对称即可得到；3翻折变换（1）函数 y =｜ f（x）｜的图像可以将函数 y = f（x）的图像的x轴下⽅部分沿x轴翻折到x轴上⽅，去掉x轴下⽅部分，并保留 y = f（x）的x轴上⽅部分即可得到；（2）函数 y = f（｜x｜）的图像可以将函数 y = f（x）的图像的右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留 y = f（x）在y轴右边部分即可得到。
函数图像的变换及应用
函数图像的变换及应用函数图像的变换指的是通过对函数图像进行一系列的操作，使得原函数图像在坐标系中发生平移、伸缩、翻折等变化，从而得到新的函数图像。
这些变换可以通过改变函数的参数或者利用一些特定的变换公式来实现。
函数图像的变换有很多种，下面列举几种常见的变换及其应用：1. 平移变换：平移变换是将函数图像在坐标系上沿着横轴或者纵轴方向进行移动。
对于函数y=f(x)，平移变换可以表示为y=f(x-a)+b，其中a表示横向平移的距离，b表示纵向平移的距离。
平移变换的应用场景有很多，例如对于温度变化的曲线图，可以通过平移变换来调整图像在时间轴上的位置，实现对曲线的观察和比较。
2. 伸缩变换：伸缩变换是改变函数图像的尺度，使得函数图像的宽度或者高度发生变化。
对于函数y=f(x)，伸缩变换可以表示为y=a*f(bx)，其中a控制纵向的伸缩比例，b控制横向的伸缩比例。
伸缩变换可以用来调整图像的大小，使得函数曲线更加清晰或者适应特定的分析需求。
3. 翻折变换：翻折变换是将函数图像沿着坐标轴进行翻转。
对于函数y=f(x)，翻折变换可以表示为y=-f(x)（沿着x轴翻折）或者y=f(-x)（沿着y轴翻折）。
翻折变换可以用来分析函数的对称性质，例如判断函数是否关于x轴或者y轴对称。
4. 拉伸变换：拉伸变换是通过改变函数图像的形状来实现对函数的变换。
拉伸变换可以是横向拉伸或者纵向拉伸。
对于函数y=f(x)，横向拉伸可以表示为y=f(cx)，纵向拉伸可以表示为y=c*f(x)，其中c是大于1的常数。
拉伸变换可以用来调整图像的形状，使得函数曲线更加符合实际情况或者更容易进行分析。
5. 压缩变换：压缩变换与拉伸变换相反，是通过改变函数图像的形状来实现对函数的变换。
压缩变换可以是横向压缩或者纵向压缩。
对于函数y=f(x)，横向压缩可以表示为y=f(x/c)，纵向压缩可以表示为y=(1/c)*f(x)，其中c是大于1的常数。
压缩变换可以用来调整图像的形状，使得函数曲线更加符合实际情况或者更容易进行分析。
函数图象的变换PPT
水平平移是指函数图像在水平方向上移动一定的距离。
详细描述
水平平移不改变函数的值，只是改变了图像的位置。对于函数y=f(x)，若图像向 右平移a个单位，则新的函数为y=f(x-a)；若图像向左平移a个单位，则新的函 数为y=f(x+a)。
垂直平移
总结词
垂直平移是指函数图像在垂直方向上移动一定的距离。
函数图象的变换
• 函数图象变换概述 • 平移变换 • 伸缩变换 • 翻折变换 • 旋转变换 • 应用实例
01
函数图象变换概述
函数图象变换的定义
01
函数图象变换是指通过平移、伸 缩、翻转等几何变换操作，改变 函数图象的位置、形状和大小。
02
这些变换操作可以通过代数表达 式或矩阵变换来实现，使得函数 图象在坐标系中按照特定的规则 进行移动、旋转和缩放。
详细描述
当函数图像在y轴方向上伸缩时，其形状和大小会发生变化，但x轴上的比例保持不变。例如，将函数y=f(x)的图 像在y轴方向上放大2倍，得到新的函数y=2f(x)。
斜向伸缩
要点一
总结词
斜向伸缩是指同时沿x轴和y轴方向对函数图像进行放大或 缩小。
要点二
详细描述
当函数图像在x轴和y轴方向上同时伸缩时，其形状和大小 会发生变化，x轴和y轴上的比例都会改变。例如，将函数 y=f(x)的图像在x轴方向上放大2倍，在y轴方向上放大3倍 ，得到新的函数y=3f(2x)。
逆时针旋转
总结词
当函数图像按照逆时针方向旋转时，其形状和大小也不会发生变化，同样只是位置发生 了移动。
详细描述
与顺时针旋转相反，当函数图像按照逆时针方向旋转一定的角度时，每个点的坐标同样 会发生变化，但方向是远离原点。同样地，这种变化也可以用三角函数的性质来描述。
函数图像的变换课件
向右平移
总结词
图像沿x轴正方向移动
数学表达式
y=f(x-a)
详细描述
对于函数y=f(x)，若图像向右平移a个单位，则新的函数 解析式为y=f(x-a)。
举例
函数y=cos(x)的图像向右平移π/2个单位后，得到新的函 数y=cos(x-π/2)，其图像与原图像相比沿x轴正方向移动 了π/2个单位。
双向伸缩
总结词
同时改变x轴和y轴的长度。
详细描述
当函数图像在x轴和y轴方向上都发生伸缩时，x轴和y轴的长度都会发生变化。这 种变换可以通过将函数中的x和y都替换为其倍数来实现，例如将f(2x)/3替换为 f(x)会使x轴压缩为原来的一半，同时y轴拉伸为原来的三倍。
04
函数图像的旋转变换
逆时针旋转
关于y轴对称
总结词
函数图像关于y轴对称时，图像在y轴两侧对称分布，x值 不变，y值相反。
详细描述
当一个函数图像关于y轴对称时，图像在y轴两侧呈现出 对称分布的特点。这意味着对于任意一个点$(x, y)$在图 像上，关于y轴对称的点$(x, -y)$也在图像上。这种对称 变换不会改变x值，只是将y值取反。例如，函数$f(x) = x^3$的图像关于y轴对称，因为$f(-y) = (-y)^3 = -y^3 = -f(y)$。
任意角度旋转
总结词
任意角度旋转是指将函数图像按照任意角度进行旋转。
详细描述
任意角度旋转函数图像是指将图像上的每个点都按照任意指定的角度进行旋转。这种旋转可以通过参数方程或极 坐标系来实现，其中参数方程为$x = x cos theta - y sin theta$，$y = x sin theta + y cos theta$，极坐标系 下的表示为$x = r cos theta$，$y = r sin theta$。
(经典整理)函数的图像变换与抽象函数问题.docx
函数的图象K 考纲要求为能利用函数的性质与图象的对称性描绘简单函数的图象K 复习要求》掌握用描点法和图象变换法描绘函数的草图，能利用函数图象解决有关问题. K 复习建议［记住基本初等函数的图象特征，能利用两数图彖研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及一些特殊函数值等，掌握函数图象的三种 基木变换：平移变换、对称变换、伸缩变换，要能运用数形结合的思想方法解 决有关问题(讨论函数的性质、确定方程解的个数、解不等式……)K 双基回顾》1、将函数y = /(x)的图象平移a 个单位，求所得的函数解析式：⑴向右平移 _______________⑶向上平移 _______________⑵向左平移 ______________ ⑷向下平移 ______________2、函数y = /(兀)的图象关于下列元素对称的图象对应函数解析式：⑴无轴 _______________ ⑵)，•轴 _____________ ⑶原点 __________________ ⑷ y = /(|x|) ____________________ ⑸ y = |/(x)| ________________________一、基础知识训练1、函数y=f(x)的图象如下，那么下列对应错误的是 ...................... ()4、函数f (x) =log2|a¥— 11的图象关于直线x=2对称，那么实数a二__________二、典型例题分析：1、函数y= f\x-a)与函数y = j\a - x)的图彖关于 .................... ( )对称(4)兀轴(B)y轴(C)直线x=a(D)直线y=a.2、方程2鼻？=0的实数解的个数为............................... ( )(A)0 (B)l (。
2 (D)33、作下列函数的图彖，并且根据图彖说出其单调区间(1) y =二一(2)y=x(*|・2) (3)j=|x-l|+|2x+3|14、讨论方程^\\-x\=kx的实数根的个数.5、方程sinx=lgx的实根个数是6、(二次函数问题)关于兀的方程:3x2—5x+a=0的一根在(一2, 0)内,另一根在(1, 3)内, 求实数a的取值范围.7、(二次函数问题)函数/(x) =X2-2X+2在区间［t, t+1］上的最小值为g(t)f求g⑴的表达式及其最值.抽象函数综合问题K 考纲要求为理解函数及其有关概念.K 复习要求力掌握函数的有关概念，会求简单函数的解析式，掌握函数解析式的一些形式变换，理解抽象函数的关系式的意义.K 复习建议》掌握一次、二次函数解析式，会用待定系数法求Z,会用适当的方法研究抽象 函数.K 双基回顾为求函数解析式的方法有：直接法、待定系数法、解方程组法、换元法、归纳猜想法……・—、知识点训练：1、 J(x+\ )=2x+1，贝lj /(x)= __________ .2、 如果函数/(兀)满足：fix+y)=f(x) Vy), /U)恒不为0,那么人0)= _________ .3、yU)=2x+3,g(x+2)g),贝I 」g (兀戶 ................................................( )(A)2x+1 (B)2x-1 (C)2x-3 (D)2x+7 4、 函数y=g(x)的图象关于直线x=—1对称，且兀丘(0, +°°)时，g(x)=—,那么兀 三(—°°, —2)吋g(x)二 __________________ .5、 如果函数.心)的定义域为甘且满足：几刊)=心)+旳)，/⑻二3,那么.AV2)= __________ . x>6 ,那么/(3)= x< 6二、典型例题分析：1 ° 11、⑴如果/(兀一一) = x 2+—,求函数几r)的表达式.X 厂1 X⑵如果广(1 +丄)=二可，求函数/U)的表达式.X 1-x"2、二次函数尸几r)满足：心)刁(2—兀)并且X>1时7(x)为增函数，如果a 次0), z?=/(log 2-^-),c= /(log 3 71),试比较a 、b 、c 的大小3^对一-切实数兀、y,关系式：J(x —y)=J(x)—(2x —y+ l)y,且/(0) = 1 ,求函数几兀)的表 达式.6、/(x+2) (A) 5 (B) (C) 3 CD) 2X4、定义在(0, +8)上的增函数f(X)满足：/(-) = /(x)-/(y)⑴求证：/ (1) =0⑵求证：f (x w) =nf (兀)(3)如果/(3) =1,解不等式：f(x)-/(—)>2 x-54、设函数/(x)的定义域为R且满足qH兀2则/(七)工/(疋)，又对任何实数兀、)，总有:J(x+y)=J(x)J(y)f证明：(iy (0) =1 ⑵/(兀)>0 恒成立.5^ 对一切非0 实数x、y 满足：fixy)=J(x) +fiy)⑴求证：久1)祕一1)=0⑵判断./U)的奇偶性(3)如果沧)在(0,+ oo)上递增，解不等式f(x) + /(x-^)<06、对任意实数兀，若y=f (x)是严2—/和这两个函数中的较小者，求函数y=f (x)的解析式.再作关于直线尸兀对称的图象，可得到函数y = log 2Cr+,)的图象2、 y =Ax+l)-l 的图象可由函数尸叭兀)的图象经过下述哪一种变换得到 ........... ()(A)向左再向上各平行移动一个单位式各样 (B)向左再向下各平行移动一个单位(C)向右再向上各平行移动一个单位 (D)向右再向下各平行移动一个单位3、 函数y=/(x)的图象与一条直线兀二a 有交点个数是 ......................... () (A)至少有一个 (B)至多有一个 (C)必有一个 (D)有一个或两个4、 在同一直角坐标系中，图象是同一条曲线的是 ............................. () (心 =/(兀)与歹=广35、方程広丫+〒=2(0vaHl)的解的个数 ....................................(A)0 个7、函数与函数兀)的定义域都为R ，这两个函数图象Z 间 ......................... ()(4)关于y 轴对称(B)关于直线对称(C)关于直线尸土对称(D)关于直线x=2a 对称 1、将〉，=2"的图象3)先向上平行移动一个单位 (C)先向左平行移动一个单位函数的图像(B) 先向右平行移动一个单位(D)先向下平行移动一个单位(O y = fM^x = f~\y)(D) y = fM^x = f(y) ) (B) 1 个(C)2 个 (D)无法确定? 08^函数y=7U)的图象关于直线A-1对称，当兀W1时,fix) =x2+l,则兀＞1时，J(x)= _______ .9、y= f(x)满足/(2-x) = /(2 + x),且f(x) =0有且只有17个根,则这些实数根的和10、定义在R上的奇函数尸几r)满足当兀＜0时，./W=x+1,解不等式：沧一1)＜0。
高中函数图像变换总结
高中函数图像变换总结高中数学是高中阶段的一门重要学科，其中函数图像变换是数学中非常基础和重要的内容之一。
函数图像变换是指通过一系列变换操作来改变函数的图像的位置、形状、方向等特征。
在高中教学中，函数图像变换是一个重要的考察内容，也是学生需要掌握的重要技能之一。
下面我们来总结一下高中函数图像变换的相关知识。
首先，高中函数图像变换主要涉及到平移、伸缩、翻转和对称等变换操作。
其中，平移是函数图像在平面上沿着 x 轴和 y 轴方向移动的变换操作。
通过平移操作，可以改变函数图像的位置。
平移操作可以用公式 y=f(x-a)+b 来表示，其中 (a, b) 为平移的向量。
当 a>0 时，函数图像向右平移，反之向左平移；当 b>0 时，函数图像向上平移，反之向下平移。
其次，伸缩是函数图像在 x 轴和 y 轴方向上进行拉伸或收缩的变换操作。
通过伸缩操作，可以改变函数图像的形状。
伸缩操作可以用公式 y=a*f(kx) 来表示，其中 a 表示纵向伸缩因子，k 表示横向伸缩因子。
当 a>1 时，函数图像纵向拉伸；当 0<a<1 时，函数图像纵向收缩；当 k>1 时，函数图像横向收缩；当0<k<1 时，函数图像横向拉伸。
再次，翻转是函数图像沿着 x 轴和 y 轴进行翻转的变换操作。
通过翻转操作，可以改变函数图像的方向。
翻转操作可以用公式 y=f(-x) 来表示。
当 x 取正值时，函数图像在 y 轴左侧；当x 取负值时，函数图像在 y 轴右侧；当 x 取正值时，函数图像在 x 轴下方；当 x 取负值时，函数图像在 x 轴上方。
最后，对称是函数图像关于某个轴或某个点对称的变换操作。
通过对称操作，可以改变函数图像的形状和位置。
常见的对称操作有关于 x 轴、y 轴和原点的对称。
关于 x 轴的对称操作可以用公式 y=-f(x) 来表示；关于 y 轴的对称操作可以用公式y=f(-x) 来表示；关于原点的对称操作可以用公式 y=-f(-x) 来表示。
图象变换及抽象函数
图象变换及抽象函数教学目标：理解图形变换的意义，能够根据条件进行图形变换；掌握赋值思想在解抽象函数题型中的应用。
知识点回顾：1.图形变换：①函数()a x f y +=的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左)0(>a 或向右)0(<a 平移a 个单位得到的。
②函数()x f y =+a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上)0(>a 或向下)0(<a 平移a 个单位得到的；③函数()ax f y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴伸缩为原来的a1得到的。
④函数()x af y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿y 轴伸缩为原来的a 倍得到的.2．抽象函数（借鉴模型函数进行类比探究）①正比例函数型：()(0)f x kx k =≠ ------()()()f x y f x f y ±=±；②幂函数型：2()f x x = ---()()()f xy f x f y =，()()()x f x f y f y =； ③指数型：()x f x a = ()()()f x y f x f y +=，()()()f x f x y f y -=； ④对数型：()log a f x x = -()()()f xy f x f y =+，()()()xf f x f y y =-；⑤三角函数型：()tan f x x =----- ()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-。
赋值思想是解抽象函数题的灵魂。
1．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T ，则=-)2(T f __2.要得到)3lg(x y -=的图像，只需作x y lg =关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到。
3.将函数a ax b y ++=的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线x y =对称,那么 a=_______.4.将函数()y f x =的图像上所有点的横坐标变为原来的13（纵坐标不变），再将此图像沿x 轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____5.如若函数(21)y f x =-是偶函数，则函数(2)y f x =的对称轴方程是_______6.已知f(x+1)的定义域是 [0，2)，则y=f(x-2)的定义域是_______________7.已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x)在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m)<f (m),求实数m 的取值范围？8.设y=f(x)的定义域为自然数集，且满足条件f(x+1)=f(x)+f(y)+xy ，f(1)=1，求f(x)的解析式？9.确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a ，b ，c ，d 对应密文a +2b ，2b +c ，2c +3d ，4d 。
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函数图象变换及应用
一个函数到另一个函数的变换，（两个函数的对称关系）
1． 平移：
(1)y = f (x + m) (m>0)：把函数y =f (x)的图象向左平移m 的单位（如m<0则向右平
移-m 个单位）。
(2)y = f (x) + m (m>0)：把函数y =f (x)的图象向上平移m 的单位（如m<0则向下平
移-m 个单位）。
2． 对称：
✧ 关于直线对称
(Ⅰ) (1)函数y = f (-x)与y = f (x)的图象关于y 轴对称。
(2)函数y = -f (x)与y = f (x)的图象关于x 轴对称。
(3)函数y = f (2a -x)与y = f (x)的图象关于直线x = a 对称。
(4)函数y = 2b -f (x)与y = f (x)的图象关于直线y = b 对称。
(Ⅱ)(7)函数y = f (|x|)的图象则是将y = f (x)的y 轴右侧的图象保留，并将y =f (x)
右侧的图象沿y 轴翻折至左侧。
（实际上y = f (|x|)是偶函数）
(8)函数y = |f (x)|的图象则是将y = f (x)在x 轴上侧的图象保留，并将y = f (x)
在x 轴下侧的图象沿x 轴翻折至上侧。
一般地：函数y = f (a+mx)与y = f (b -mx)的图象关于直线m
2a b x -=
对称。
思考：函数y = f (4+2x)与y = f (2+2x)的图象关系?
✧ 关于点对称
(1) 函数y = - f (-x)与y = f (x)的图象关于原点对称。
(2) 函数y = 2b -f (2a -x)与y = f (x)的图象关于点(a,b)对称。
3． 伸缩
(1) 函数y = f (mx) (m>0)的图象可将y = f (x)图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的m
1倍得到。
（如果0<m<1，实际上是将f (x)的图象伸展） (2) 函数y = mf (x) (m>0)的图象可将y = f (x)图象上各点的横坐标不变，纵坐标缩小到原来的
m 1倍得到。
（如果0<m<1，实际上是将f (x)的图象伸展）
二． 函数图象的对称性（有关函数图象本身的对称性）
(1) 如函数y = f (x)对定义域中的任意x 的值，都满足f (x) = f (2a -x) （或者
f(a -x)=f(a+x)等），则函数y = f (x)的图象关于直线x = a 对称。
(2) 如函数y = f (x)对定义域中的任意x 的值，都满足f (x) = 2b -f (2a -x)（或
者f(a -x) = 2b -f(a+x)等），则函数y = f (x)的图象关于点(a,b)对称。
一般地：如函数y = f (x)对定义域中的任意x 的值，都满足 f (a+mx) = f (b -mx)， 则函数
y = f (x)的图象关于直线2
b a x +=
对称。
思考：如函数y = f (x)对定义域中的任意x 的值，都满足 f (4+2x) = f (2+2x)，则函数y = f (x)
具有何种性质。
考点一、基本作图及变换
1. y ＝x 2－2|x|－1 y =1−x 1+x 1(lg lg )2
y x x =+
2.说明由函数2x y =的图像经过怎样的图像变换得到函数32
1x y --=+的图像.
3. 说明由函数2x y =的图像经过怎样的图像变换得到函数 y =2|−x−3| 的图像
4. 说明由函数2x
y =的图像经过怎样的图像变换得到函数 y =2|−x|−3 的图像
5. 函数|a x 2|log )x (f 3+=的图象的对称轴方程为x = 2，则常数a = 。
考点二、图像信息题 6函数的图像大致为（ ）x x
x x e e y e e
--+=-
7. 函f (x )＝
ln 1－x 1＋x 的图象只可能是__________．
考点三：根据图像对称性求函数解析式（相关点法）：
8 .已知函数)(x f 的图像与函数21)(++=x
x x h 的图像关于点)1,0(A 对称。
（1）求)(x f 的解析式；（2）若x
a x f x g +=)()(，且)(x g 在区间]2,0(上为减函数，求实数a 的取值范围。
9．已知函数f (x )＝－a a x
＋a
(a >0且a ≠1)． (1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－12)对称； (2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值．
1
x y
1O A x y O 11B x y O 1
1 C x
y 1 1 D O
考点四，综合（单调性 对称性（包含了奇偶性） 周期性 结合图像）
10．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈(－1,1]时，
f (x )＝|x |，则y ＝f (x )与y ＝lo
g 7x 的交点的个数为__________．
11.已知定义在R 上的奇函数f(x),满足f(x -4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数，则 （ ）
A.f(-25)＜f(11)＜f(80)
B.f(80)＜f(11)＜f(-25)
C.f(11)＜f(80)＜f(-25)
D.f(-25)＜f(80)＜f(11)
12.已知函数f(x)(x ∈R)满足：f(x+1)=f(x)+f(x+2),且 f(1)=1,f(2)=2 010.则
f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 009)=______.
13．设 f (x)为偶函数，对于任意,4)1(f ),x 2(f 2)x 2(f R x =---=+∈+已知都有那么
f(-3)= 。
14．设函数f (x)与函数g (x)的图象关于直线x =3对称，则g (x)的表达式为---（ ）
)
x 6(f )x (g )D ( )x 3(f )x (g )C ()x 3(f )x (g )B ( )x 2
3(f )x (g )A (-=--=-=-=
15．函数f (a -x)与f (b+x)的图象关于直线l 对称，则直线l 的方程为-------------（ ）
b a x )D ( b a x )C ( 2
b a x )B ( 2b a x )A (+=-=+=-=
16.若函数f(x)满足f(1+x)=f(2-x)， 则f （x ）的对称轴为
） （----的解析式是f(x)时，2,0][x ，则当x f(x)时，]3,2[恒成立，当)2
1()23(上的偶函数，且是定义在)(．设 17-∈=∈+=-
x x f x f R x f (A)f (x)= |x+4| (B)f (x)=|2-x| (C)f (x) =3-|x+1| (D)f (x)=2+|x+1
）
（- -的值为的21
)(，则使21f(x),时10当，f(x)2)f(x 上的奇函数，且满足R 是定义在f(x)．已知函数 18x x f x x -==≤≤-=+ )Z n (1n 4)D ( )Z n (1n 4)C ( )Z n (1n 2)B ( )Z n (n 2)A (∈-∈+∈-∈
19.设函数f(x)的定义域为R ，若f(x+1)与f(x -1)都是奇函数，则--------------（ ）
A.f(x)是偶函数
B.f(x)是奇函数
C.f(x)=f(x+2)
D.f(x+3)是奇函数。