(完整版)平方根立方根知识点归纳及常见题型
中考数学《平方根和立方根》知识点及练习题
平方根和立方根一.知识梳理:1.平方根定义1:一般地,如果一个数x 的平方等于a ,即x 2=a ,那么这个数x 就叫做a 的平方根(或二次方根)。
表示方法:正数a 的平方根记做“a ±”,读作“正、负根号a ”。
a 叫做被开方数。
性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
定义2:正数a 的正的平方根叫做a a ”, 性质1:正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。
性质2:算术平方根a 的双重非负性:①a ≥0 ; ②0≥a定义3:求一个数a 的平方根的运算,叫做开平方。
2.立方根定义1:一般地,如果一个数的立方等于a ,那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。
即如果x 3=a ,那么x 叫做a 3a x =。
性质1:正数有一个正的立方根;负数有一个负的立方根;零的立方根是零。
性质2:33a a -=-,三次根号内的负号可以移到根号外面。
定义2:求一个数的立方根的运算,叫做开立方3. 实数大小的比较(1)正数大于0,负数小于0,正数大于负数;两个负数比较大小,绝对值大的反而小。
(2)实数大小比较的几种常用方法①作差法:设a 、b 是实数,,0b a b a >⇔>- ,0b a b a =⇔=-b a b a <⇔<-0.②作商法:设a 、b 是两正实数,;1;1;1b a b a b a b a b a b a <⇔<=⇔=>⇔> ③平方法:设a 、b 是两负实数,则b a b a <⇔>22④近似值法:记住这些数值:236.25732.13414.12≈≈≈;;二.课后作业1.9的算术平方根是 ;4的平方根是 。
2.-8的立方根是 ;立方根是它本身的数是______3.25的算术平方根是_____,64的立方根是5.比较大小:-3.14 π-;23。
6. 22(3)0y z -+-=,则xyz 的立方根是________7.23-的相反数是 ,绝对值是 ,倒数是 。
平方根、算术平方根、立方根重点 例题讲解
For personal use only in study and research; not for commercial use6.1平方根、算术平方根、立方根例题讲解第一部分:知识点讲解1、学前准备【旧知回顾】2.平方根(1)平方根的定义:一般的,如果一个数的平方等于a ,那么这个数叫做a 的平方根,也叫做二次方根。
即若a x =2,)0(≥a ,则x 叫做a 的平方根。
即有a x ±=,(0≥a )。
(2)平方根的性质:(3)注意事项: a x ±=,a 称为被开方数,这里被开方数一定是一个非负数(0≥a )。
(4)求一个数平方根的方法:(5)开平方:求一个数平方根的运算叫做开平方。
它与平方互为逆运算。
3. 算术平方根(1)算术平方根的定义:若a x =2,)0(≥a ,则x 叫做a 的平方根。
即有a x ±=,(0≥a )。
其中a x =叫做a 的算术平方根。
(2)算术平方根的性质:(3)注意点:在以后的计算题中,像22-52)(++,其中,25分别指的是2和5的算术平方根。
4.几种重要的运算: ① b a ab ∙=()0,0>>b a , ab b a =∙()0,0>>b a② b a b a =)0,0(>≥b a , b a ba =)0,0(>≥b a ③ a a =2)()0(≥a , a a =2 , a a =2-)(★★★ 若0<+b a ,则()b a b a b a b a --=+-=+=+2)(5.立方根(1)立方根的定义:一般地,如果一个数的立方等于a ,那么这个数叫做a 的立方根,也叫做三次方根。
即若a x =3,则x 叫做a 的立方根。
即有3a x =。
(2)立方根的性质:(3)开立方求一个数的立方根的运算叫做开立方,它与立方互为逆运算。
6.几个重要公式:③ 333b a ab ∙= , 333ab b a =∙ 333b a b a = )0(≠b , 333b a b a = )0(≠b ④ a a =33)(可以为任何数)a (, a a =33 ,a a --33=)( 第二部分:例题讲解题型1:求一个数的平方根、算术平方根、立方根。
(完整版)平方根与立方根及实数知识点总结
(完整版)平方根与立方根及实数知识点总结“平方根”与“立方根”知识点小结一、知识要点 1、平方根:⑴、定义:如果x 2=a ,则x 叫做a 的平方根,记作“(a 称为被开方数)。
⑵、性质:正数的平方根有两个,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根。
⑶、算术平方根:正数a 的正的平方根叫做a 的算术平。
2、立方根:⑴、定义:如果x 3=a ,则x 叫做a 的立方根,记作(a 称为被开方数)。
⑵、性质:正数有一个正的立方根;0的立方根是0;负数有一个负的立方根。
3、开平方(开立方):求一个数的平方根(立方根)的运算叫开平方(开立方)。
二、规律总结:1、平方根是其本身的数是0;算术平方根是其本身的数是0和1;立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根,其中正的那个是算术平方根;任何一个数都有唯一一个立方根,这个立方根的符号与原数相同。
3有意义的条件是a ≥0。
4、公式:⑴)2=a (a ≥0)=(a 取任何数)。
5、非负数的重要性质:若几个非负数之和等于0,则每一个非负数都为0(此性质应用很广,务必掌握)。
例1 求下列各数的平方根和算术平方根(1)64;(2)2)3(-;(3)49151;⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值(1)81±;(2)16-;(3)259;(4)2)4(-.(5)44.1,(6)36-,(7)4925±(8)2)25(-例3、求下列各数的立方根:⑴ 343;⑵ 10227-;⑶ 0.729二、巧用被开方数的非负性求值. 大家知道,当a ≥0时,a 的平方根是±a ,即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x 的立方根.练习:已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道,当a ≥0时,a 的平方根是±a ,而.0)()(=-++a a例5、已知:一个正数的平方根是2a-1与2-a ,求a 的平方的相反数的立方根.练习:若32+a 和12-a 是数m 的平方根,求m 的值.四、巧解方程例6、解方程(1)(x+1)2=36 (2)27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例4、已知:y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时,y 也有不同的值.当y 最小时,求b a的非算术平方根.练习①已知233(2)0x y z -+-++=,求xyz 的值。
(完整版)平方根与立方根知识点小结
“平方根”与“立方根”知识点小结一、知识要点1、平方根:⑴、定义:如果x 2=a ,则x 叫做a 的平方根,记作“(a 称为被开方数)。
⑵、性质:正数的平方根有两个,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根。
⑶、算术平方根:正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根,记作”。
2、立方根:⑴、定义:如果x 3=a ,则x 叫做a 的立方根,记作”(a 称为被开方数)。
⑵、性质:正数有一个正的立方根;0的立方根是0;负数有一个负的立方根。
3、开平方(开立方):求一个数的平方根(立方根)的运算叫开平方(开立方)。
二、规律总结:1、平方根是其本身的数是0;算术平方根是其本身的数是0和1;立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根,其中正的那个是算术平方根;任何一个数都有唯一一个立方根,这个立方根的符号与原数相同。
3≥0有意义的条件是a ≥0。
4、公式:⑴)2=a (a ≥0)=(a 取任何数)。
5、非负数的重要性质:若几个非负数之和等于0,则每一个非负数都为0(此性质应用很广,务必掌握)。
例1 求下列各数的平方根和算术平方根(1);(2); (3); ⑷ 642)3(-4915121(3)-例2 求下列各式的值(1); (2); (3); (4).81±16-2592)4(-(5),(6),(7)(8)44.136-4925±2)25(-例3、求下列各数的立方根:⑴ 343; ⑵ ; ⑶ 0.72910227-二、巧用被开方数的非负性求值.大家知道,当a≥0时,a 的平方根是±,即a 是非负数.a 例4、若求y x 的立方根.,622=----y x x 练习:已知求的值.,21221+-+-=x x y y x 三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道,当a≥0时,a 的平方根是±,而a .0)()(=-++a a 例5、已知:一个正数的平方根是2a-1与2-a ,求a 的平方的相反数的立方根.练习:若和是数的平方根,求的值.32+a 12-a m m 四、巧解方程例6、解方程(1)(x+1)2=36 (2)27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道,即a=0时其值最小,换句话说的最小值是零.0≥a a 例4、已知:y=,当a 、b 取不同的值时,y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.)1(32++-b a ,求xyz 的值。
平方根算术平方根立方根重点例题讲解
6.1 平方根、算术平方根、立方根例题讲解第一部分:知识点讲解1、学前准备【旧知回顾】2. 平方根(1)平方根的定义:一般的,如果一个数的平方等于a ,那么这个数叫做a的平方根,也叫做二次方根。
即若x2a,(a 0),则x叫做a的平方根。
即有x a ,(a 0)。
(2)平方根的性质:3)注意事项:x a ,a 称为被开方数,这里被开方数一定是一个非负数(a 0 )。
4)求一个数平方根的方法:( 5)开平方: 求一个数平方根的运算叫做开平方。
它与平方互为逆运算。
3. 算术平方根( 1)算术平方根的定义: 若x 2 a ,(a 0),则x 叫做 a 的平方根。
即有 x a ,a 0)。
其中 x a 叫做 a 的算术平方根。
2)算术平方根的性质:2 5 (-2)2 ,其中 2, 5分别指的是 2 和5 的算术平方根。
4. 几种重要的运算:★★★ 若 a b 0 ,则 (a b)25. 立方根3)注意点: 在以后的计算题中,像 ① ab a ? b a0,ba ?b ab a 0,b 0②b a ab (a 0,b0)bb a(a 0,b 0)③ ( a)2 a (a 0)a 2a ,(-a )2 a(1)立方根的定义:一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a 的立方根,也叫做三次方根。
即若x3a,则x叫做a的立方根。
即有x 3a 。
2)立方根的性质:3)开立方求一个数的立方根的运算叫做开立方,它与立方互为逆运算。
6. 几个重要公式:第二部分:例题讲解题型1:求一个数的平方根、算术平方根、立方根。
1. 求平方根、算术平方根、立方根。
④ (3 a) a (a可以为任何数)(b 0)1211) 0 的平方根是 ,算术平方根是 2) 25 的平方根是,算术平方根是 3) 11 的平方根是64,算术平方根是4) ( 9)2的平方根是,算术平方根是5) 23 的平方根是,算术平方根是6)16 的平方根是 ,算术平方根是题型 2:计算类题型 2. 计算下列各式的值(6) ( 16) 的平方根是 ,算术平方根是 (8) -9 的平方根是 ,算术平方根是8 9) 的立方根是 125 。
专题03 平方根与立方根章节6种题型梳理
专题03 平方根与立方根6种题型梳理基础知识点知识点1-1 算术平方根的概念1)算术平方根概念:一个正数的平方等于a ,即x 2=a ,那么这个正数x 叫作a 的算术平方根。
其中,a 叫作被开方数,规定0的算术平方根为0。
记作√a =x 。
注:①“”表示的是算术平方根(与后面的平方根注意区分)②a ≥0,x ≥0。
负数没有算术平方根(因为x 2≥0) 2)常见算术平方根表:知识点1-2 平方根1)平方根的概念:如果一个数的平方等于a ,那么这个数叫作a 的平方根或者二次方根。
求一个数a 的平方根的运算,叫作开平方。
注:①“”表示算数平方根的意思,平方根表示为“±”②正数的平方根有两个,它们互为相反数。
且正数根即为算术平方根; ③0的平方根和算术平方根都为0;④负数没有平方根和算术平方根。
重难点题型题型1 运用平方根和算术平方根的概念解题 解题技巧:平方根与算术平方根的区别于联系:A3 B .12-是14的平方根 C .带根号的数不一定是无理数 D .a 2的算术平方根是a 【答案】D【解析】±3,故A 正确;211()24-=,则12-是14的平方根,故B 正确;2=是有理数,则带根号的数不一定是无理数,故C 正确;∵a 2的算术平方根是|a|,∴当a≥0,算术平方根为a ,当a <0时,算术平方是﹣a , 故a 2的算术平方根是a 不正确.故D 不一定正确;故选:D .2.(2019·河南洛宁初二期中)算术平方根和立方根都等于本身的数有_________.【解析】1的算术平方根是1,立方根是1,0的算术平方根和立方根都是0,所以算术平方根和立方根都等于本身的数有0和1.3.(2019·全国初二课时练习)填空:(1)1的平方根为____,立方根为_____,算术平方根为_____;(2) 27的立方根是____;(3)___;(4)____.【解析】解:(1)1的平方根为1=±1=,算术平方根为1=,故答案为:±1,1,1;(2)273=,故答案为:3;(3)8=-2=-,故答案为:2-;(44==的平方根为2=±,故答案为:±2. 4.(2019·全国初二课时练习)下列说法中,正确的个数是( )①512的立方根是8,记做8=;②49的平方根是-7;③8是16的算术平方根;④ ±2;⑤如果一个数有立方根,那么它一定有平方根. A .1B .2C .3D .4【解析】解:①512的立方根是8,记做35128=,正确;②不正确,49的平方根是±7;③不正确,16的算术平方根是4±2,正确;⑤不正确,如-8的立方根,是-2,但-8没有平方根.综上所述,正确的有①④.故选:B .A ±6B ±2C .|﹣8|的立方根是﹣2D 4【解析】解:A 6=,6的平方根是,故该选项错误;B 4=,4的平方根是±2,故该选项正确;C 、|−8|=8,8的立方根2,故该选项错误;D 4=,4的算术平方根是2,故该选项错误,故选:B .6.(2020·河南省初二期中)按如图所示的程序计算:若开始输入的值为64,输出的值是_______.【解析】82,2.题型2利用平方根和立方根解方程解题技巧:(1)先将方程化简为(x +a )2=ℎ的形式,移项将系数化为1;然后直接开方即可。
(完整版)平方根、算术平方根、立方根重点例题讲解
6.1平方根、算术平方根、立方根例题讲解第一部分:知识点讲解1、学前准备【旧知回顾】2.平方根( 1)平方根的定义:一般的,若是一个数的平方等于a ,那么这个数叫做 a 的平方根,也叫做二次方根。
即若 x2 a ,( a0) ,则x叫做a的平方根。
即有 x a ,(a0 )。
( 2)平方根的性质:( 3)注意事项:x a , a 称为被开方数,这里被开方数必然是一个非负数(a0 )。
( 4)求一个数平方根的方法:(5)开平方:求一个数平方根的运算叫做开平方。
它与平方互为逆运算。
3.算术平方根( 1)算术平方根的定义:若x2 a , (a 0) ,则x叫做a的平方根。
即有x a ,( a 0 )。
其中x a 叫做 a 的算术平方根。
( 2)算术平方根的性质:( 3)注意点:在今后的计算题中,像22, 5 分别指的是 2 和25 ( - 2),其中5的算术平方根。
4.几种重要的运算:①ab a ? b a 0, b 0, a ? b ab a 0,b0②a a0),a a0,b0) b(a 0,bb(ab b③(a )2a ( a 0) ,2,2aaa( - a)★★★ 若 a b 0,则(a b)2 a b a b a b5.立方根(1)立方根的定义:一般地,若是一个数的立方等于 a ,那么这个数叫做 a 的立方根,也叫做三次方根。
即若x3 a ,则x叫做a的立方根。
即有x 3 a。
(2)立方根的性质:(3)开立方求一个数的立方根的运算叫做开立方,它与立方互为逆运算。
6.几个重要公式:3ab 33,33b3ab③ a ?b a ?a 33a a3a(b 0),3(b 0) b33b bb④3333,33( a ) a (a可以为任何数),a a(- a)-a 第二部分:例题讲解题型 1:求一个数的平方根、算术平方根、立方根。
1.求平方根、算术平方根、立方根。
(1) 0 的平方根是,算术平方根是.(2) 25 的平方根是,算术平方根是.(3)1的平方根是,算术平方根是. 64(4)(9) 2的平方根是,算术平方根是.(5) 23 的平方根是,算术平方根是.(6)16的平方根是,算术平方根是.(6)(2,算术平方根是. 16)的平方根是(8)- 9的平方根是,算术平方根是.(9)8。
(完整版)平方根与立方根典型题
(完整版)平方根与立方根典型题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN平方根算术平方根立方根三说一、平方根、算术平方根、立方根知识点概要1. 平方根、算术平方根的概念与性质2=),那么这个数x就叫做a的平方根(或二如果一个数x的平方等于a(即x a=±,这里a是x的平方数,故a必是一个非负数即a≥0;例次方根),记作:x a如16的平方根是±4,从定义还可得出:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;负数没有平方根;0的平方根只有一个0,即为它本身。
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根,表示为()a a≥0,例如16的算术平方=,从定义中容易发现:算术平方根具有双重非负性:①a≥0;②根是164a≥0。
2. 平方根、算术平方根的区别与联系区别:①定义不同;②个数不同;③表示方法不同;④取值范围不同:平方根可以是正数、负数、零,而算术平方根只能取零及正数,即非负数。
联系:①它们之间具有包含关系;②它们赖以生存的条件相同,即均为非负数;③0的平方根以及算术平方根均为0。
3. 立方根的定义与性质3=),那么这个数x就叫做a的立方根(或三次如果一个数x的立方等于a(即x a=3。
方根),记作:x a立方根的性质:正数的立方根是正数,0的立方根是0,负数的立方根是负数。
二、解题中常见的错误剖析例1.求()-32的平方根。
2错解:()-=39()∴-32的平方根是-32是一个正数,故它的剖析:一个正数有两个平方根,它们互为相反数,而()-=39平方根应有两个即±3。
例2. 求9的算术平方根。
2=错解: 39∴9的算术平方根是3剖析:本题是没有搞清题目表达的意义,错误的认为是求9的算术平方根,因而导致误解,事实上本题9就是表示的9的算术平方根,而整个题目的意义是让求9的算术平方根的算术平方根。
93=,而3的算术平方根为3,故9的算术平方根应为3。
平方根和立方根知识点总结
平方根和立方根知识点总结一、平方根(一)平方根的定义如果一个数的平方等于 a,那么这个数叫做 a 的平方根。
即如果 x²= a,那么 x 叫做 a 的平方根。
例如,因为 3²= 9,所以 3 是 9 的平方根;又因为(-3)²= 9,所以-3 也是 9 的平方根。
(二)平方根的表示一个正数 a 的正的平方根,记作“√a”,读作“根号a”;正数 a 的负的平方根记作“√a”;正数 a 的平方根记作“±√a”,读作“正负根号a”。
0 的平方根是 0,记作“±√0 =0”。
负数在实数范围内没有平方根。
(三)平方根的性质1、一个正数有两个平方根,它们互为相反数。
例如,9 的平方根是±3,即√9 = ±3。
2、 0 的平方根是 0。
3、负数没有平方根。
(四)开平方求一个数 a 的平方根的运算,叫做开平方。
开平方与平方互为逆运算。
例如,求 16 的平方根,即求±√16,因为 4²= 16,(-4)²= 16,所以±√16 = ±4。
(五)算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根,记作“√a”。
例如,9 的算术平方根是 3,即√9 = 3。
0 的算术平方根是 0。
算术平方根具有双重非负性:(1)被开方数 a 是非负的,即a ≥ 0。
(2)算术平方根√a 本身是非负的,即√a ≥ 0。
二、立方根(一)立方根的定义如果一个数的立方等于 a,那么这个数叫做 a 的立方根。
即如果 x³= a,那么 x 叫做 a 的立方根。
例如,因为 2³= 8,所以 2 是 8 的立方根;因为(-2)³=-8,所以-2 是-8 的立方根。
(二)立方根的表示一个数 a 的立方根记作“³√a”,读作“三次根号a”。
(三)立方根的性质1、正数的立方根是正数。
2、负数的立方根是负数。
平方根和立方根知识点总结和练习
平方根和立方根知识点总结和练习Prepared on 22 November 2020【基础知识巩固】一、平方根、算数平方根和立方根1、平方根(1)平方根的定义:如果一个数x 的平方等于a ,那么这个数x 就叫做a 的平方根.即:如果a x =2,那么x 叫做a 的平方根.(2)开平方的定义:求一个数的平方根的运算,叫做开平方.开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
(3)平方与开平方互为逆运算:±3的平方等于9,9的平方根是±3(4)一个正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果;一个负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算(5)符号:正数a 的正的平方根可用a 表示,a 也是a 的算术平方根;正数a 的负的平方根可用-a 表示.(6)a x =2 <—> a x ±=a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的平方根 a 的平方根是x 2、算术平方根(1)算术平方根的定义: 一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,即a x =2,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根.a 的算术平方根记为a ,读作“根号a”,a 叫做被开方数.规定:0的算术平方根是0.也就是,在等式a x =2 (x≥0)中,规定a x =。
(2)a 的结果有两种情况:当a 是完全平方数时,a 是一个有限数;当a 不是一个完全平方数时,a 是一个无限不循环小数。
(3)当被开方数扩大时,它的算术平方根也扩大;当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
一般来说,被开放数扩大(或缩小)a 倍,算术平方根扩大(或缩小)a 倍,例如=5,=50。
(4)夹值法及估计一个(无理)数的大小(5)a x =2 (x≥0) <—> a x = a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x(6)正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。
a (a ≥0) 0≥a==a a 2 ;注意a 的双重非负性:-a (a <0) a ≥0(7)平方根和算术平方根两者既有区别又有联系:区别在于正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个;联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根,而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
(完整版)平方根立方根知识点归纳及常见题型
“平方根”与“立方根”知识点小结一、知识要点1、平方根:⑴、定义:如果x 2=a ,则x 叫做a 的平方根,记作“(a 称为被开方数)。
⑵、性质:正数的平方根有两个,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根。
⑶、算术平方根:正数a 的正的平方根叫做a ”。
2、立方根:⑴、定义:如果x 3=a ,则x 叫做a ”(a 称为被开方数)。
⑵、性质:正数有一个正的立方根;0的立方根是0;负数有一个负的立方根。
3、开平方(开立方):求一个数的平方根(立方根)的运算叫开平方(开立方)。
二、规律总结:1、平方根是其本身的数是0;算术平方根是其本身的数是0和1;立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根,其中正的那个是算术平方根;任何一个数都有唯一一个立方根,这个立方根的符号与原数相同。
30a ≥0。
4、公式:⑴2=a (a ≥0)(a 取任何数)。
5、非负数的重要性质:若几个非负数之和等于0,则每一个非负数都为0例1 求下列各数的平方根和算术平方根(1)64;(2)2)3(-; (3)49151; ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值(1)81±; (2)16-; (3)259; (4)2)4(-.(5)44.1,(6)36-,(7)4925±(8)2)25(-例3、求下列各数的立方根:⑴ 343; ⑵10227-; ⑶ 0.729二、巧用被开方数的非负性求值.当a ≥0时,a 的平方根是±a ,即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x 的立方根.练习:已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.当a ≥0时,a 的平方根是±a ,而.0)()(=-++a a例5、已知:一个正数的平方根是2a-1与2-a ,求a 的平方的相反数的立方根.练习:若32+a 和12-a 是数m 的平方根,求m 的值.四、巧解方程例6、解方程(1)(x+1)2=36 (2)27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值. 0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例4、已知:y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时,y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.23(2)0y z -++=,求xyz 的值。
(完整版)平方根与立方根典型题
平方根 算术平方根 立方根三说一、平方根、算术平方根、立方根知识点概要1. 平方根、算术平方根的概念与性质如果一个数x 的平方等于a (即x a 2=),那么这个数x 就叫做a 的平方根(或二次方根),记作:x a =±,这里a 是x 的平方数,故a 必是一个非负数即a ≥0;例如16的平方根是±4,从定义还可得出:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;负数没有平方根;0的平方根只有一个0,即为它本身。
正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根,表示为()a a ≥0,例如16的算术平方根是164=,从定义中容易发现:算术平方根具有双重非负性:①a ≥0;②a ≥0。
2. 平方根、算术平方根的区别与联系区别:①定义不同;②个数不同;③表示方法不同;④取值范围不同:平方根可以是正数、负数、零,而算术平方根只能取零及正数,即非负数。
联系:①它们之间具有包含关系;②它们赖以生存的条件相同,即均为非负数;③0的平方根以及算术平方根均为0。
3. 立方根的定义与性质如果一个数x 的立方等于a (即x a 3=),那么这个数x 就叫做a 的立方根(或三次方根),记作:x a =3。
立方根的性质:正数的立方根是正数,0的立方根是0,负数的立方根是负数。
二、解题中常见的错误剖析例1. 求()-32的平方根。
错解:()Θ-=392 ()∴-32的平方根是-3剖析:一个正数有两个平方根,它们互为相反数,而()-=392是一个正数,故它的平方根应有两个即±3。
例2. 求9的算术平方根。
错解:Θ392=∴9的算术平方根是3剖析:本题是没有搞清题目表达的意义,错误的认为是求9的算术平方根,因而导致误解,事实上本题9就是表示的9的算术平方根,而整个题目的意义是让求9的算术平方根的算术平方根。
Θ93=,而3的算术平方根为3,故9的算术平方根应为3。
仿此你能给出64的平方根的结果吗?三、典型例题的探索与解析例3. 已知:M a a b =++-82是a +8算数平方根,N b a b =--+324是b -3立方根,求M N+的平方根。
(完整版)平方根与立方根知识点小结
“平方根”与“立方根”知识点小结、知识要点1、平方根:⑴、定义:如果 x 2=a ,则x 叫做a 的平方根,记作“ X a ” (a 称为被开方数)。
⑵、性质:正数的平方根有两个,它们互为相反数; 0的平方根是0;负数没有平方根。
⑶、算术平方根:正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根,记作“ ,a ”。
2、立方根:⑴、定义:如果 x 3=a ,则x 叫做a 的立方根,记作“ 3 a ”(a 称为被开方数)。
⑵、性质:正数有一个正的立方根; 0的立方根是0;负数有一个负的立方根。
3、开平方(开立方):求一个数的平方根(立方根)的运算叫开平方(开立方)。
二、规律总结:1、 平方根是其本身的数是 0;算术平方根是其本身的数是 0和1 ;立方根是其本身的数是 0和土 1。
2、 每一个正数都有两个互为相反数的平方根,其中正的那个是算术平方根;任何一个数都有唯一一个立方根, 这个立方根的符号与原数相同。
3、本身为非负数,即a >0; .a 有意义的条件是a >0。
求下列各数的平方根和算术平方根 求下列各式的值例3、求下列各数的立方根:4、公式:⑴(掐)2=a (a > 0);⑵ 3石= 需(a 取任何数)。
5、 非负数的重要性质:若几个非负数之和等于0,则每一个非负数都为 0 (此性质应用很广,务必掌握)。
(1) 64 ; (2) ( 3)(3) 15 1 _ ; 49 1 3)2(1) 81 ; (2) 16 ; (3) (4) . ( 4)2 .(5).36 , (7) 25 ;49 (8) .(25)2⑴ 343;⑵ 227 ;⑶ 0.729二、巧用被开方数的非负性求值.大家知道,当a> 0时,a的平方根是土.a,即a是非负数.■一”x例4、若、2 x . x 2 y 6,求y的立方根.练习:已知y .. 1 2x ,2x 1 2,求x y的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值我们知道,当a> 0时,a的平方根是土.a,而(.a) ( .a) 0.例5、已知:一个正数的平方根是2a-1与2-a,求a的平方的相反数的立方根.练习:若2a 3和a 12是数m的平方根,求m的值.四、巧解方程例6、解方程(1) (x+1) 2=36 ( 2) 27(X+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道•、a 0,即a=0时其值最小,换句话说..a的最小值是零.例4、已知:y= , a 2 3(b 1),当a、b取不同的值时,y也有不同的值.当y最小时,求b a的非算术平方根.练习①已知,^3 |y 3 (z 2)20,求xyz的值。
2021年平方根和立方根知识点总结及练习
【基本知识巩固】一、平方根、算数平方根和立方根1、平方根(1)平方根定义:如果一种数x 平方等于a ,那么这个数x 就叫做a 平方根.即:如果a x =2,那么x 叫做a 平方根.(2)开平方定义:求一种数平方根运算,叫做开平方.开平方运算被开方数必要是非负数才故意义。
(3)平方与开平方互为逆运算:±3平方等于9,9平方根是±3 (4)一种正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个成果;一种负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算(5)符号:正数a 正平方根可用a 表达,a 也是a 算术平方根;正数a 负平方根可用-a 表达.(6)a x =2 <—> a x ±=a 是x 平方 x 平方是a x 是a 平方根 a 平方根是x2、算术平方根(1)算术平方根定义: 普通地,如果一种正数x 平方等于a ,即a x =2,那么这个正数x 叫做a 算术平方根.a 算术平方根记为a ,读作“根号a”,a 叫做被开方数. 规定:0算术平方根是0.也就是,在等式a x =2(x≥0)中,规定a x =。
(2)a 成果有两种状况:当a 是完全平方数时,a 是一种有限数;当a 不是一种完全平方数时,a 是一种无限不循环小数。
(3)当被开方数扩大时,它算术平方根也扩大;当被开方数缩小时与它算术平方根也缩小。
普通来说,被开放数扩大(或缩小)a 倍,算术平方根扩大(或缩小)a 倍,例如=5,=50。
(4)夹值法及预计一种(无理)数大小 (5)a x =2 (x≥0) <—> a x =a 是x 平方 x 平方是ax 是a 算术平方根 a 算术平方根是x(6)正数和零算术平方根都只有一种,零算术平方根是零。
a (a ≥0) 0≥a==a a 2 ;注意a 双重非负性:-a (a <0) a ≥0(7)平方根和算术平方根两者既有区别又有联系: 区别在于正数平方根有两个,而它算术平方根只有一种;联系在于正数正平方根就是它算术平方根,而正数负平方根是它算术平方根相反数。
(完整版)七年级数学下册平方根、立方根总结
简易平方根的运算1(1)利用平方根的乘法运算法则:若a 、b 为正数,则 a ⨯b =ab 去计算两个正平方根的乘积。
(2)利用平方根的除法运算法则:ba =b a 或a ÷b =b a ÷ (a b ,0≥>0) 去计算两个正平方根相除的商。
2例1.化简下列各数: (1)(5)2 (2)25 (3)2)5(- (4)(5-)2解:【答:(1) 5 (2) 5 (3) 5 (4)-5】 例2.化简下列各数: (1)8 (2)24 (3)75 (4)84 (5)200解:【答:(1) 22 (2) 26 (3) 53 (4) 221 (5)102】 例3.化简下列各数: (1)95 (2)32 (3)124 (4)185 (5)322 解: 【答:(1)35 (2) 36 (3) 33 (4) 610 (5) 362】 例4.求下列各式的积并化简: (1)133⨯ (2)326⨯ (3)287⨯ (4)3152⨯ 解: 【答:(1) 39 (2) 2 (3) 27 (4) 1530】例5.求下列各式的商并化简: (1)2332÷ (2)281÷ (3)3216÷ (4)5752÷ 解: 【答:(1) 32 (2) 41 (3) 26 (4) 714】3 1.化简下列各数:(1)(-3)2 (2)2)3(- (3)(3)22.化简下列各数: (1)12 (2)32 (3)54 (4)90 (5)3633.化简下列各数: (1)163 (2)59 (3)125 (4)203 (5)5334.求下列各式的积并化简: (1)205⨯ (2)1437⨯ (3)9320⨯ (4)335611⨯5.求下列各式的商并化简:(1)3127÷ (2)3151÷ (3)528÷ (4)65320÷41015 (5) 5103 4.(1)10 (2) 26 (3) 215 (4) 610 5.(1) 9 (2) 155 (3) 25 (4) 22 分 母 有 理 化如:计算:23÷时,先写成23,再把分子,分母都乘以2,化去分母中的根号,得:26222323=⋅⋅=,这样就完成了除法运算。
平方根与立方根知识点总结
平方根与立方根知识点总结一、平方根1、定义如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根。
也就是说,若 x²= a,则 x 叫做 a 的平方根。
例如,因为 3²= 9,所以 3 是 9 的平方根;又因为(-3)²= 9,所以-3 也是 9 的平方根。
2、表示方法一个正数 a 的平方根记作“±√a”,读作“正、负根号a”。
其中,“√”称为根号,a 称为被开方数。
例如,9 的平方根记作±√9 = ±3。
3、性质(1)正数有两个平方根,它们互为相反数。
比如 4 的平方根是 ±2,2 和-2 互为相反数。
(2)0 的平方根是 0。
(3)负数没有平方根。
这是因为任何数的平方都是非负数,所以负数不存在平方根。
4、开平方求一个数 a 的平方根的运算,叫做开平方。
开平方与平方互为逆运算。
例如,求 25 的平方根,就是求哪个数的平方等于 25,即±√25 = ±5。
5、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根,记作√a。
例如,9 的算术平方根是 3,即√9 = 3。
算术平方根具有以下性质:(1)算术平方根具有非负性,即√a ≥ 0(a ≥ 0)。
(2)被开方数 a 也是非负的,即a ≥ 0。
二、立方根1、定义如果一个数的立方等于 a,那么这个数叫做 a 的立方根。
即若 x³=a,则 x 叫做 a 的立方根。
例如,因为 2³= 8,所以 2 是 8 的立方根;因为(-2)³=-8,所以-2 是-8 的立方根。
2、表示方法数 a 的立方根记作“³√a”,读作“三次根号a”。
例如,8 的立方根记作³√8 = 2。
3、性质(1)正数的立方根是正数。
比如 27 的立方根是 3,因为 3³= 27。
(2)负数的立方根是负数。
例如,-27 的立方根是-3,因为(-3)³=-27。
(完整版)平方根与立方根及实数知识点总结
“平方根”与“立方根”知识点小结一、知识要点 1、平方根:⑴、定义:如果x 2=a ,则x 叫做a 的平方根,记作“(a 称为被开方数)。
⑵、性质:正数的平方根有两个,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根。
⑶、算术平方根:正数a 的正的平方根叫做a 的算术平。
2、立方根:⑴、定义:如果x 3=a ,则x 叫做a 的立方根,记作(a 称为被开方数)。
⑵、性质:正数有一个正的立方根;0的立方根是0;负数有一个负的立方根。
3、开平方(开立方):求一个数的平方根(立方根)的运算叫开平方(开立方)。
二、规律总结:1、平方根是其本身的数是0;算术平方根是其本身的数是0和1;立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根,其中正的那个是算术平方根;任何一个数都有唯一一个立方根,这个立方根的符号与原数相同。
3有意义的条件是a ≥0。
4、公式:⑴)2=a (a ≥0)=(a 取任何数)。
5、非负数的重要性质:若几个非负数之和等于0,则每一个非负数都为0(此性质应用很广,务必掌握)。
例1 求下列各数的平方根和算术平方根 (1)64;(2)2)3(-; (3)49151; ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值(1)81±; (2)16-; (3)259; (4)2)4(-.(5)44.1,(6)36-,(7)4925±(8)2)25(-例3、求下列各数的立方根:⑴ 343; ⑵ 10227-; ⑶ 0.729二、巧用被开方数的非负性求值. 大家知道,当a ≥0时,a 的平方根是±a ,即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x的立方根.练习:已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道,当a ≥0时,a 的平方根是±a ,而.0)()(=-++a a例5、已知:一个正数的平方根是2a-1与2-a ,求a 的平方的相反数的立方根.练习:若32+a 和12-a 是数m 的平方根,求m 的值.四、巧解方程例6、解方程(1)(x+1)2=36 (2)27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例4、已知:y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时,y 也有不同的值.当y 最小时,求b a的非算术平方根.练习①已知233(2)0x y z -+-++=,求xyz 的值。
(完整版)平方根和立方根专题(比较难)
平方根和立方根【知识归纳】1.平方根:(1)若x 2=a (a >0),那么a 叫做x 的 , 我们把 称为算术平方根,记为 。
规定,0的算术平方根为 。
(2)一个 的平方根有2个,它们互为 ; 只有1个平方根,它是0本身; 没有平方根。
(3)两个公式:(a )2= ( );=2a 2.立方根:1)若x 3=a (a >0),那么a 叫做x 的 ,记为 ;2)一个正数 的立方根有 个,0的个立方根为 ,负数有 个立方根。
3)立方根的性质:(1)()33a = ,(2)33a = .4).已知某数有两个平方根分别是a +3与2a -15,求这个数.5).已知:2m +2的平方根是±4,3m +n +1的平方根是±5,求m +2n 的值.6).已知a <0,b <0,求4a 2+12ab +9b 2的算术平方根.7)甲乙二人计算a +221a a +-的值,当a =3的时候,得到下面不同的答案:甲的解答:a +221a a +-=a +2)1(a -=a +1-a =1. 乙的解答:a +221a a +-=a +2)1(-a =a +a -1=2a -1=5. 哪一个解答是正确的?错误的解答错在哪里?为什么?【巩固练习】:1、16的算术平方根是_______,平方根是_______;2、若x 2=16,则5-x 的算术平方根是 ;3、3664-的平方根是 ,算术平方根是 ;4、若4a +1的平方根是±5,则a 2的算术平方根是 ;5、0)2(12=-+-b a ,则b a +的平方根为 .6.第一个正方体纸盒的棱长为6 cm ,第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127 cm 3,求第二个纸盒的棱长. 平方根立方根的综合应用1、若x 、y 为实数,且20x y y ++-=,则2010()x y的值为 2、若22-a 与|b +2|互为相反数,则(a -b )2=__________3、若2x +1+|y -1|=0,则x 2+y 2=__________4、已知x 、y 为实数,且499+---=x x y .求y x +的值5、已知,,a b c 实数在数轴上的对应点如图所示,化简22()a a b c a b c --+-+-6、已知实数,,a b c 满足2112()022a b b c c -+++-=,求()a b c +的值7、已知51024a a b -+-=+,求,a b 的值8、已知20092010a a a -+-=,求22009490a -+的值9、如果22a a b +=--,且3b a m =+,求m 的值是多少?10、已知120a ab -+-=,1111(1)(1)(2)(2)(1998)(1998)ab a b a b a b +++++++++求的值11、一个三角形的两边长为3,2,则它的第三边长可能是( )A.0.2 B.1 C. 32+ D.512、一个三角形的三边分别是,,a b c ,则2()a b c +-=______________,2()a b c --=________________13、求下列各式中的x(1)(x-2)2-4=0 (2)(x+3)3 +27=0 (3) 271253+x =0 (4) (2x-1)2=2514、已知x 是10 的整数部分,y 是10 的小数部分,求 110x y --()的平方根。
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“平方根”与“立方根”知识点小结
一、知识要点
1、平方根:
⑴、定义:如果x 2=a ,则x 叫做a 的平方根,记作“(a 称为被开方数)。
⑵、性质:正数的平方根有两个,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根。
⑶、算术平方根:正数a 的正的平方根叫做a ”。
2、立方根:
⑴、定义:如果x 3=a ,则x 叫做a ”(a 称为被开方数)。
⑵、性质:正数有一个正的立方根;0的立方根是0;负数有一个负的立方根。
3、开平方(开立方):求一个数的平方根(立方根)的运算叫开平方(开立方)。
二、规律总结:
1、平方根是其本身的数是0;算术平方根是其本身的数是0和1;立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根,其中正的那个是算术平方根;任何一个数都有唯一一个立方根,这个立方根的符号与原数相同。
30a ≥0。
4、公式:⑴2=a (a ≥0)(a 取任何数)。
5、非负数的重要性质:若几个非负数之和等于0,则每一个非负数都为0
例1 求下列各数的平方根和算术平方根
(1)64;(2)2)3(-; (3)49151
; ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值
(1)81±
; (2)16-; (3)259; (4)2)4(-.
(5)
44.1,(6)36-,(7)4925±(8)2)25(-
例3、求下列各数的立方根:
⑴ 343; ⑵
10227-; ⑶ 0.729
二、巧用被开方数的非负性求值.
当a ≥0时,a 的平方根是±
a ,即a 是非负数. 例4、若
,622=----y x x 求y x 的立方根.
练习:已知
,21221+-+-=x x y 求y x 的值.
三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.
当a ≥0时,a 的平方根是±a ,而.0)()(=-++a a
例5、已知:一个正数的平方根是2a-1与2-a ,求a 的平方的相反数的立方根.
练习:若32+a 和12-a 是数m 的平方根,求m 的值.
四、巧解方程
例6、解方程(1)(x+1)2
=36 (2)27(x+1)3=64
五、巧用算术平方根的最小值求值. 0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.
例4、已知:y=
)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时,y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.
23(2)0y z -++=,求xyz 的值。
②已知
互为相反数,求a ,b 的值。
六、实数 1、实数:有理数和无理数统称为实数.我们一般用下列两种情况将实数进行分类:
①按属性分类: ②按符号分类
2.关于有理数的运算法则:运算规律和运算性质,在进行实数运算时仍适用.在实数范围内,不仅可以进行加.减.乘.除.乘方运算,而且正数和零总可以进行开平方运算,任何一个数都可以开立方运算.
3.实数和数轴上的点的对应关系:实数和数轴上的点一一对应,即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示.反过来,数轴上的每一个点都可以表示一个实数.可以用几何作图方法,在数轴上表示某些无理数,如 、 等.
思考:(1)-a 2一定是负数吗?-a 一定是正数吗?
(2)我们都知道是一个无理数,那么-1在哪两 个整数之间? (3)15的整数部分为a,小数部分为b,则a=____, b=____
(4)实数包括____________或__________________;
(5)下列各数:335,π,0.28,04 3.14159,0.121121112L ,3-227.其中无理数有( )个
七、实数大小比较的方法
一、平方法 比较2
3和3的大小 二、求差法 比较215-和1的大小
练习:比较下列各组数的大小: ①2-和3-; ②3和23-; ③15和543; ④7-和-2.45。
八、解答题(每题4分,共8分)
2、已知实数a 、b 在数轴上表示的点如上图, 化简b a ++2)1(+-b a b 10a -1。