勾股定理思维导图+题型总结精编版
专题20 勾股定理(解析版)
1
变式：
1）a²=c²- b²
2）b²=c²- a²
适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应
用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。
勾股定理的证明：
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是：
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
【详解】如图，连接 AD，
4
∵AB=AC，∠BAC=120°，D 为 BC 的中点，
∴∠BAD=60°，AD⊥BC，
∴∠B=90°﹣60°=30°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°﹣60°=30°，
设 EA=x，
在 Rt△ADE 中，AD=2EA=2x，
在 Rt△ABD 中，AB=2AD=4x，
∴EB=AB﹣EA=4x﹣x=3x，
所以 BC＝ 102 -82 ＝6．
故选：C．
10
4．
（2019·湖北中考真题）在一次海上救援中，两艘专业救助船 A, B 同时收到某事故渔船的求救讯息，已知
此时救助船 B 在 A 的正北方向，事故渔船 P 在救助船 A 的北偏西 30°方向上，在救助船 B 的西南方向上，
且事故渔船 P 与救助船 A 相距 120 海里．
1．
（2017·河北中考模拟）如图，一只蚂蚁沿边长为 a 的正方体表面从点 A 爬到点 B，则它走过的路程最短
为（
）
A． 2 a
B．
（1+ 2 ）a
C．3a
D． 5 a
7
【答案】D
【解析】
详解：如图，则 AB=
AP 2 + PB2 = a 2 + 4a 2 = 5 a． 故选 D．
初中数学《勾股定理》单元教学设计以及思维导图
勾股定理主题单元教学设计适用年级八年级所需时间课内3课时，课外1课时主题单元学习概述《勾股定理》有着悠久的历史，在世界数学史上有着重要的地位，其证明过程中所体现出来的“形数结合”思想更具有科学创新的意义;勾股定理在解决直角三角形边长相关问题的数据计算和判断直角方面有不可替代的作用，许多与直角三角形有关的问题的解决大都离不开勾股定理.本单元的学习重点;探索发现并验证勾股定理及定理的应用。
学习难点：1．"割补法"探究直角三角形斜边为边长的正方形的面积计算。
2．通过拼图验证勾股定理。
本单元有三部分组成：探索勾股定理、能得到直角三角形吗、蚂蚁怎样走最近。
可划分为两个专题。
专题一：勾股定理及逆定理的证明；专题二：勾股定理的应用。
各专题之间是平行关系，专题一是理论，基础，专题二是实践，应用。
本单元主要的学习方式：教师指导下的学生自学即探究性学习。
学过本单元，学生能充分理解并掌握勾股定理及逆定理的证明，能进行简单的应用。
主题单元规划思维导图主题单元学习目标知识技能：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用多种方法验证勾股定理，，应用勾股定理进行简单的计算和证明。
，掌握直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理），并能进行简单应用。
过程与方法：体会数形结合的的数学思想及数学知识间的内在联系。
培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
经历探索并证明三角形（多边形）内角和定理、外角和定理的过程，体会并掌握转化等数学思想方法．情感态度与价值观：了解我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，树立民族自豪感，培养热爱祖国的精神。
对应课标了解勾股定理的数学价值及东西方数学文化；运用面积法证明勾股定理，培养创造性思维；认识勾股数及其构造方法。
体会数形结合的思想并能利用勾股定理及逆定理进行计算和解决实际问题。
主题单元问题设计1、勾股定理的起源及内容2、勾股定理及逆定理的证明3、利用定理及逆定理进行计算和证明并能解决最短路程的实际问题。
完整版)勾股定理知识点与常见题型总结
完整版)勾股定理知识点与常见题型总结勾股定理复勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，表示为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为直角三角形的两直角边，c为斜边。
勾股定理的证明常用拼图的方法。
通过割补拼接图形后，根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。
常见的证明方法有以下三种：1.通过正方形的面积证明，即4ab + (b-a)^2 = c^2，化简可证。
2.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积，即4ab + c^2 = 2ab + c^2，化简得证。
3.通过梯形的面积证明，即(a+b)×(a+b)/2 = 2ab + c^2，化简得证。
勾股定理适用于直角三角形，因此在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。
勾股定理可用于解决直角三角形中的边长计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题。
在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算。
同时，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解。
勾股定理的逆定理是：如果三角形三边长a、b、c满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
a^2+b^2=c^2$是勾股定理的基本公式。
如果三角形ABC 不是直角三角形，我们可以类比勾股定理，猜想$a+b$与$c$的关系，并对其进行证明。
勾股定理的实际应用有很多。
例如，在图中，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B 到地面的距离为7m。
现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m。
同时梯子的顶端B下降至B′。
那么BB′的长度是小于1m的（选项A）。
又如，在图中，一根24cm的筷子置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中。
设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是7cm ≤ h ≤ 16cm（选项D）。
勾股定理中四种重要的数学思想_勾股定理思维导图
勾股定理中四种重要的数学思想1 方程思想1 求距离长度问题例１有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺. 如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面. 水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？分析在Rt △ABC 中，只有BC 边的长度，利用勾股定理求一边的长度，还要知道另一边的长度. 因此可以通过设立未知量，建立方程求解.解:设水的深度为AB 为x 尺，则芦苇的长度AC(AD)为（x+1）尺. 依题意可以得到如图1所示的图形∵在Rt △ABC 中，BC=5尺，根据勾股定理可得方程（x+1）2=x2+52解得x=12 ∴x+1=13则水的深度为12尺，芦苇的长度为13尺. 图12 折纸问题例2 如图所示，把一个长方形（四个角都是直角，对边相等）折叠，恰好点D 落边BC 上，交BC 与点F. 已知AB=8cm，BC=10cm，求EC 的长.A D 分析Rt △AEF, 是Rt △AED 沿边AE 边折叠的，所以就可以通过折叠中对称的性质得到许多的等量，在矩形中的折叠可以得到许多的直角三角形. 要求EC 边长，构造直角三角形，找出EC 边所E 在的直角三角形，在根据勾股定理，找出所需的量以及各个量之间的关系. 在已知量与为质量之间建立方程关系.解由题意，得AF=AD,DE=EF.C 在Rt △ABF 中，AB=8cm，AF=AD=10cm，B∴=6(cm).图2F∵BC=10cm，∴CF=10－6=4(cm).设CE=xcm，则DE=(8－x)cm ，∴EF=DE=(8－x)cm ，在Rt △CEF 中，根据勾股定理可得方程42+x2=（8－x ）2解得x=3，故EC 的长为3cm 2 数形结合思想1 方位问题方位问题是勾股定理实际运用的重要体现. 也是数形结合的典型列子.例3台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏性. 如图所示，据气象部门观测，距沿海某城市A 的正南方向220km B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km ，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15km/h的速度沿北偏东30°方向往C 处移动，且台风中心风力不变. 若城市所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响.分析根据图形找出距离A 点最近的台风中心的位置, 求出距离就可以判断是否收到影响, 影响的风力. 根据题意可以在图形上直观得找到所受影响的范围, 构造直角三角形, 根据勾股定理就可以求出范围及影响的时间.(1)该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由；(2)若会受到台风影响，则台风影响该城市持续时间有多长. (3)该城市受到台风影响的最大风力为几级. 解（1）作AD ⊥BC 于D,AD 为城市A 距台风中心的最短距离，在Rt △ABD 中，∠B=30°，AB=220km.- 1 -∴AD=1AB=110km. 2由题意知，当点A 距离台风（12－4）×20=160（km ）时，将会受到台风的影响，故该城市会受到台风的影响.（2）由题意知，当A 点距台风中心不超过160km 时，将会受到台风的影响，则以A 点为圆心，以160km 长为半径画弧，交BC 于E 、F 两点，此时AE=AF=160km，当台风中心从E 移到F 处时，该城市都会受到台风影响，由勾股定理得==EF=2DE==h ）. （3）当台风中心位于D 时A 市受这次台风影响的风力最大，最大风力为12－110=5（级）.。
初中数学：勾股定理全章知识点总结大全及重点题型
初中数学：勾股定理全章知识点总结⼤全及重点题型基础知识点1：勾股定理 直⾓三⾓形两直⾓边a、b的平⽅和等于斜边c的平⽅。
（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直⾓三⾓形三边之间的关系，是直⾓三⾓形的重要性质之⼀，其主要应⽤：（1）已知直⾓三⾓形的两边求第三边（2）已知直⾓三⾓形的⼀边与另两边的关系，求直⾓三⾓形的另两边（3）利⽤勾股定理可以证明线段平⽅关系的问题2：勾股定理的逆定理如果三⾓形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三⾓形是直⾓三⾓形。
要点诠释：勾股定理的逆定理是判定⼀个三⾓形是否是直⾓三⾓形的⼀种重要⽅法，它通过“数转化为形”来确定三⾓形的可能形状，在运⽤这⼀定理时应注意：（1）⾸先确定最⼤边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直⾓的直⾓三⾓形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝⾓的钝⾓三⾓形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐⾓三⾓形）。
3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直⾓三⾓形的性质定理，⽽其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直⾓三⾓形有关。
4：互逆命题的概念 如果⼀个命题的题设和结论分别是另⼀个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中⼀个叫做原命题，那么另⼀个叫做它的逆命题。
5：勾股定理的证明 勾股定理的证明⽅法很多，常见的是拼图的⽅法 ⽤拼图的⽅法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，⾯积不会改变②根据同⼀种图形的⾯积不同的表⽰⽅法，列出等式，推导出勾股定理规律⽅法指导1．勾股定理的证明实际采⽤的是图形⾯积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
2．勾股定理反映的是直⾓三⾓形的三边的数量关系，可以⽤于解决求解直⾓三⾓形边边关系的题⽬。
3．勾股定理在应⽤时⼀定要注意弄清谁是斜边谁直⾓边，这是这个知识在应⽤过程中易犯的主要错误。
勾股定理知识点归纳和题型归类
勾股定理知识点归纳和题型归类勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可以表示为a²+b²=c²。
证明勾股定理的方法有很多种，其中常见的是拼图法。
拼图法的思路是通过割补拼接图形，使得面积不变，然后根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。
常用的拼图法有4S、四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积以及梯形面积等方法。
勾股定理只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。
因此，在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。
勾股定理可以应用于求解直角三角形的任意两边长，求解另一边的长度，或者求解已知一边长，推导出另外两边之间的数量关系。
此外，勾股定理还可以用于解决一些实际问题。
勾股定理的逆定理是指如果三角形三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法。
在运用逆定理时，可以用两小边的平方和a²+b²与较长边的平方c²作比较，若它们相等，则以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若a²+b²c²，则以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形。
2.定理中的$a,b,c$及$a^2+b^2=c^2$只是一种表现形式，不可认为是唯一的。
例如，若三角形三边长$a,b,c$满足$a^2+c^2=b^2$，那么以$a,b,c$为三边的三角形是直角三角形，但$b$为斜边。
3.勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：“当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。
”6.勾股数是能够构成直角三角形的三边长的三个正整数，即$a^2+b^2=c^2$中，$a,b,c$为正整数时，称$a,b,c$为一组勾股数。
记住常见的勾股数可以提高解题速度，例如$3,4,5$；$6,8,10$；$5,12,13$；$7,24,25$等。
勾股定理知识点归纳和题型归类
勾股定理知识点归纳和题型归类一．知识归纳１．勾股定理 ：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 222a ，b ，斜边为c ，那么 a b c２ .勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一： 4 SS正方形 EFGHS 正方形 ABCD ，4 1 ab (ba) 2c 2，化简可证．2DCbaAaDHacbcbEGcFcbabcac EcBaAabBbC方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S 41ab c 2 2ab c 22大正方形面积为 S ( a b)2 a 2 2ab b 2 ，所以 a 2 b 2 c 2方法三：S 梯形1 ( a b) (a b)，S 梯形 2S ADES ABE2 1 ab 1 c 2，化简得证 22 2３ .勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形， 对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征， 因而在应用勾股定理时， 必须明了所考察的对象是直角三角形４ .勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在 ABC 中， C 90 ，则 ca 2 b 2 ， b c 2 a 2 ， ac 2 b 2②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５ .勾股定理的逆定理如果三角形三边长 a ， b ， c 满足 a 2 b 2 c 2 ，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为 斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形 ”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和 a 2 b 2 与较长边的平方 c 2 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若a 2 b2 c2，时，以 a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若 a 2 b2 c2，时，以 a ，b ，c为三边的三角形是锐角三角形；②定理中 a ， b ， c 及a2 b 2 c2 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 a ， b ， c 满足 a2 c2 b2，那么以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形，但是 b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６ .勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 a 2 b 2 c2中， a ，b ，c 为正整数时，称 a ， b ， c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：丢番图发现的：式子m 2 n 2 ,2mn, m 2 n 2 (m n 的正整数）毕达哥拉斯发现的： 2n 1,2n2 2 ,2n2 2 1（ n 1的整数）n n柏拉图发现的： 2 , 2 1,n 2 1（ n 1的整数）n n７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９ .勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．题型一：直接考查勾股定理例 1.在ABC中， C 90 ．⑴已知 AC 6 ， BC 8．求 AB 的长⑵已知 AB 17， AC 15，求BC的长题型二：应用勾股定理建立方程例 2.⑴在ABC 中，ACB 90 ， AB 5 cm， BC 3 cm， CD AB 于 D ，CD＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3: 4 ，斜边长为 15 ，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30 cm ，斜边长为 13 cm ，则这个三角形的面积为例 3.如图ABC 中，C90，1 2，CD ， BD 2.5 ，求AC的长CD1A 2BE例 4.如图 Rt ABC ，C 90 AC 3,BC 4 ,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积CAB题型三：实际问题中应用勾股定理例 5.如图有两棵树，一棵高 8 cm ，另一棵高 2 cm ，两树相距 8 cm ，一 只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了m 。
勾股定理中考章节复习知识点+经典题型分析总结)
AB Ca b c弦股勾勾股定理（知识点）【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
3. 勾股数：①满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。
）②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）4.命题、定理、证明⑴ 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
⑵ 命题的分类（按正确、错误与否分） 真命题（正确的命题） 命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
⑶ 公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
⑷ 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
⑸ 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
⑹ 证明的一般步骤 ① 根据题意，画出图形。
② 根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
③ 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
5.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
2023年勾股定理知识点与常见题型总结
勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理：直角三角形两直角边旳平方和等于斜边旳平方；表达措施：假如直角三角形旳两直角边分别为，，斜边为，那么a b c 222a b c +=２.勾股定理旳证明，常见旳是拼图旳措施 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会变化②根据同一种图形旳面积不一样旳表达措施，列出等式，推导出勾股定理常见措施如下：措施一：，4EFGH S S S ∆+=正方形正方形A B C D 2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．措施二：四个直角三角形旳面积与小正方形面积旳和等于大正方形旳面积．四个直角三角形旳面积与小正方形面积旳和为 221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为因此222()2S a b a ab b =+=++222a b c +=措施三：，，化简得证1()()2S a b a b =+⋅+梯形2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形３.勾股定理旳合用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在旳数量关系，它只合用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察旳对象是直角三角形４.勾股定理旳应用：勾股定理可以协助我们处理直角三角形中旳边长旳计算或直角三角形中线段之间旳关系旳证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形旳前提条件，理解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（一般作垂线），构造直角三角形，以便对旳使用勾股定理进行求解．①已知直角三角形旳任意两边长，求第三边。
在中，，则，ABC ∆90C ∠=︒c =b =，a =②懂得直角三角形一边，可得此外两边之间旳数量关系cba HG FEDCBAbacbac cabcab a bccb aE D CBA③可运用勾股定理处理某些实际问题５.勾股定理旳逆定理 假如三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边。
(完整版)勾股定理思维导图+题型总结
(一)勾股定理1：勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c,那么a 2+b 2＝c 2我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.要点诠释：2、勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b，a ）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 3：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证cbaHG F EDCBAa bcc baED CBA bacbac cabcab 弦股勾4：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17；9,40,41等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）5、注意：（1）勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
勾股定理知识点与常见题型总结-马心茹
勾股定理复习一•知识归纳1•勾股定理内容： _________________________________________________________________________________表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a , b，斜边为c ,那么 _____________________________ 2.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于_____________ ，对于__________ 和__________________ 的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形3.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC 中，N C =90，贝H c= _____________ ，b= ____________ ，c= ________________________②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题4.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a , b , c满足____________ ，那么______________________ ，其中______ 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以a , b , c为三边的三角形是直角三角形；若a2b2::: c，时，以a , b , c为三边的三角形是钝角三角形；若a2b2c2，时，以a , b , c为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a , b , c及a2 F2二c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 a , b , c满足a c =b，那么以a , b , c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形5.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2b2= c中，a , b , c为正整数时，称a , b , c为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，____________ ; __________ ; _________ ; ________ ; _________ 等③用含字母的代数式表示n组勾股数：n2-1,2n,n2 V （n^2, n 为正整数）；2 22n 1,2n 2n,2n 2n 1 （n 为正整数）2 2 2 2m —n ,2 mn, m n （ m n, m , n 为正整数）6.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题•在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.7.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.8.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体•通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决. 常见图形：题型一：直接考查勾股定理例1 •在ABC 中，.C =90 .⑴已知AC =6 , BC =8 .求AB的长⑵已知AB=17, AC =15，求BC的长分析：直接应用勾股定理a2b^c2题型二：应用勾股定理建立方程例2 .⑴在ABC 中，.ACB=90 , AB =5 cm , BC =3 cm , CD _ AB 于D , CD = ________________⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为____________⑶已知直角三角形的周长为30 cm，斜边长为13 cm，则这个三角形的面积为______________分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积•有时可根据勾股定理列方程求解例3 •如图ABC 中，.C =90 , .1-2 , CD =1.5, BD =2.5，求AC 的长分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来例4•如图Rt ABC , . C =90 AC =3,BC =4,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理例5•如图有两棵树，一棵高8 cm，另一棵高2 cm，两树相距8 cm，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了_______________ mDC题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6•已知三角形的三边长为a，b，c，判定ABC是否为Rt.：① a =1.5，b =2，c =2.5 ② a =-，b =1，c4 3例7•三边长为a，b，c满足a 5=10, ab =18，c=8的三角形是什么形状?题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8•已知.\ABC 中，AB=13cm，BC=10cm，BC 边上的中线AD =12 cm，求证：AB=AC 证明：、选择题 八年级上册第一章勾股定理测试题1、 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是 ( ) A. 1.5, 2, 3; B. 7, 24, 25; C. 6 ,8, 10; D. 9, 12, 15.2、 适合下列条件的厶 ABC 中，是直角三角形的个数为( ) 111 ① a ,b ,c ；② a =6, / A=450;③/ A=32°, / B=580; 3 4 5 ④ a = 7,b =24,c = 25;⑤ a=2,b=2,c = 4. A. 2 个； B. 3 个； C. 4 个； D. 5 个. 3、已知直角三角形两直角边的长为 A 和B ,则该直角三角形的斜边的长度为（ A 、 A + B B 、 、2AB D 、.. A 2 B 2直角三角形的两直角边分别为A 、 6厘米B 、8厘米 5厘米、12厘米，则斜边上的高是（ ）C 80厘米D 、60厘米 13 13 5、 若等腰三角形腰长为 10cm ，底边长为16 cm,那么它的面积为 2 2 2 2 A. 48 cm B. 36 cm C. 24 cm D.12 cm 6、 如图，一棵大树在一次强台风中于离地面 5米处折断倒下，倒下部分与地面 成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ） A . 10 米 B . 15 米 C. 25 米 D . 30 米7、若一个直角三角形的一条直角边长是 7cm ，另一条直角边比斜边短 A.18 cm B.20 cm C.24 cm D.25 cm &一部电视机屏幕的长为 58厘米,宽为46厘米，则这部电视机大小规格 A.34英寸（87厘米） B. 29英寸（74厘米）C. 25英寸（64厘米） 1cm ，则斜边长为（ （实际测量误差忽略不计） 9、一块木板如图所示，已知 AB = 4, BC = 3,DC = 12, AD = 13, / B = 90 °木板的面 积为（ )A . 60 B . 30 C. 24 D . 12 D.21英寸（54厘米） 10、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多 1m ，当它把绳子 C的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 A . 8cm B. 10cm C. 12cm D . 14cm 11、已知 Rt A ABC 中，/ C = 90° ，若 a ・b=14cm , c=10cm ，贝V Rt A ABC 的面积为( ).2 A.24cm 2 B.36cm 2 C.48cm 2 D.60cm 12、 已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行， 另一轮船 以 里/时的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行， 离开港口 2小时后，则两船相距（ ） A 1 A 、25海里 B 、30海里 二、填空题 13、 在△ ABC 中，/ C = 90° 若 14、 在△ ABC 中，/ C = 90° 若 15、 如图，从电线杆离地面 3米处向地面拉一条长为部有 ____________ 米离开港口 2小时后，则两船相距（ C 、35海里 D 、40海里 a = 5, b =12,贝V c = 10, a : b = 3 : 12海东 南尸第12题图 c= _______ . 4，贝H S Rt ^ AB = ------ . 5米的拉线，这条拉线在地面的固定点距离电线杆底16、如图，沿倾斜角为 30的山坡 植树，要求相邻俩棵树的水平距离 AC 为2m ,那么相邻两棵树的斜坡距离AB 约为 ________ m 。
勾股定理知识点归纳和题型归类
勾股定理知识点归纳和题型归类
1.勾股定理是什么？
勾股定理，也称毕达哥拉斯定理，是一个数学定理，表述为：在直角三角形中，直角边的平方等于另外两边平方的和。
2.勾股定理的公式是什么？
在直角三角形中，设直角边（又称斜边）为c，其余两边分别为a和b，则有：
c²=a²+b²。
3.勾股定理有哪些应用？
勾股定理在三角函数、图形的性质、向量的计算等方面有广泛应用。
4.勾股定理的常见题型有哪些？
常见的勾股定理题型主要有以下几种：
（1）已知两边求斜边长度。
（2）已知一个角及一边求其他两边长度。
（3）已知三边长度判断是否为直角三角形。
（4）已知三角形面积和直角边长度求另一条直角边长度。
八年级下数学思维导图
八年级下数学思维导图思维导图是一种全新的思维模式,它与大脑的联系异常密切,左脑的逻辑思维能力与右脑的空间想象能力均与之有关,它与数学有诸多共通之处,它可以被引用到数学教学中。
今天店铺为大家带来了八年级下数学思维导图，一起来看看吧!八年级下数学思维导图汇总八年级下数学思维导图勾股定理知识点一.知识框架二知识概念1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2。
，那么这个三角形是直角三角形。
2.定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理。
3.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
(例：勾股定理与勾股定理逆定理)勾股定理是直角三角形具备的重要性质。
本章要求学生在理解勾股定理的前提下，学会利用这个定理解决实际问题。
可以通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受运用思维导图梳理数学知识一、树形思维导图因为在最初指导学生认识思维导图的时候，我给学生展示的就是树形图。
所以学生运用树形图对数学知识进行梳理比较熟练。
学生在生活中早已认识了树的形状，对树干、树枝、树叶及分枝的感知非常清晰，也就很容易的联想到树干、树枝与主题、分主题的逻辑关系。
所以学生运用树形图的时候比较多，也绘制的比较好。
如图1是苏科版数学八年级下册第10章分式的树形思维导图.树形图的优点是主干分支非常明确，但画起来比较麻烦。
为了更简单的运用思维导图，后来我们发动学生研究更简单的思维导图形式，大家确认就把树干简化为一个圆、椭圆或正方形等简单易画的图形，如图2：学生把树干简化成一个圆环，涂上不同颜色，画上一个指针，这是苏科版数学八年级下册第8章第二节数学实验室中的转盘模型变形图，学生的这一构想即贴近课本又有一定的创造性。
二、箭头或框架式思维导图箭头或框架样式的思维导图，老师在日常备课或给学生做知识梳理的时候会经常使用，非常简洁明了，而且容易绘制。
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(一)勾股定理1：勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c,那么a 2+b 2＝c 2我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.要点诠释：2、勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 3：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证cba HG FEDCBAa bcc baED CBAbacbac cabcab 弦股勾4：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17；9,40,41等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）5、注意：（1）勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
（2）勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。
（3）勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。
（4）推理格式： ∵ △ABC 为直角三角形 ∴ AC 2+BC 2=AB 2. （或a 2+b 2=c 2）（二）勾股定理的逆定理如果三角形的三边长分别为：a 、b 、c ，且满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC 为锐角三角形）。
b ac CBA（定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
六、随堂练习1．在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 和c ⑴若2=a ，4=b ，则c = ； 斜边上的高为 . ⑵若3=b ，4=c ，则a = . 斜边上的高为 .⑶若3=b a ，且102=c ，则a = ，_______=b .斜边上的高为 .⑷若21=c b ，且33=a ，则c = ，_______=b .斜边上的高为 . 2．正方形的边长为3，则此正方形的对角线的长为 . 3．正方形的对角线的长为4，则此正方形的边长为 .4．有一个边长为50的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，求圆的直径至少多长5．一旗杆离地面m 6处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部m 8处，求旗杆折断之前有多高？dmCABDDABC6.如图，一个m 3长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 的距离为m 5.2，如果梯子顶端A 沿墙下滑m 5.0，那么梯子底端B 也外移m 5.0吗？勾股定理典型例题及专项训练 专题一：直接考查勾股定理1．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。
2、已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
求：四边形ABCD 的面积。
3：在∆ABC 中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC 的长为多少？4：已知如图，在△ABC 中，∠C=60°，AB=34，AC=4，AD 是BC 边上的高，求BC 的长。
5、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，设AB=c ，AC=b ，BC=a ，CD=h 。
求证：（1）222111h b a=+ （2）h c b a +<+ （3）以h c h b a ++，，为三边的三角形是直角三角形练习6.如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=45º，AC 的垂直平分线分别交AB 、AC 于D 、E ，若CD=1，则ACBDDCBECBA BD 等于( )A ．1B ．C ．D ．7.已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+6，求这个三角形的面积．8.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积BAC6.如图，△ABC 中，AB=AC=20，BC=32，D 是BC 上一点，且AD⊥AC ，求BD 的长．7.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内一点，满足PA=3，PB=1，•PC=2，求∠BPC 的度数．8.已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,（1）AD 平分∠BAC,交BC 于D 点。
求CD 长 （2）BE 平分∠ABC,交AC 于E ，求CE 长AC专题二 勾股定理的证明1、如图，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ） （Ａ）4（Ｂ）6（Ｃ）16（Ｄ）552、如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形ABCD 和EF 都是正方形. 证：△ABF ≌△DAE3、图①是一个边长为()m n +的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图② 能验证的式子是（ ）A ．22()()4m n m n mn +--=B ．222()()2m n m n mn +-+= C ．222()2m n mn m n -+=+ D ．22()()m n m n m n +-=-专题三 网格中的勾股定理1、如图1，在单位正方形组成的网格图中标有AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）（A ）CD 、EF 、GH （B ）AB 、EF 、GH （C ）AB 、CD 、GH （D ）AB 、CD 、EFABCDEFGHa bcl← → → ←m n m nmn 图①图②第3题图CBA ABC2、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 33、（2010年四川省眉山市）如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形 的顶点，则∠ABC 的度数为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°4、如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个得到，可得△ABC ，则边AC 上的高为（ ）A. 223B. 5103C. 553D. 5545、如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点称为格点，请以图中的格点为顶点画一个边长为3、、的三角形．所画的三角形是直角三角形吗?说明理由．6、如图，每个小正方形的边长是1，在图中画出面积为2的三个形状不同的三角形（要求顶点在交点处，其中至少有一个钝角三角形）专题四实际应用建模测长1、如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC.2、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？3、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？专题五梯子问题ADBCACB1、如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？2、一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？3、如图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC ⊥BC ，AC=BC ，当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时，梯足B 沿CB 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是（ ）A. y x =B. y x >C. y x <D. 不能确定专题六 最短路线1、如图，学校教学楼旁有一块矩形花铺，有极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了（）步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．A 、6B 、5C 、4D 、32、如图，一圆柱体的底面周长为20㎝，高AB 为10㎝，BC 是上底面的直径。