牛顿-莱布尼茨公式

牛顿-莱布尼茨公式

牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。

若f(x)在[a,b]上可积，且F(x)是f(x)的一个在[a,b]上的原函数，则 ∫a b f(x)dx=F(b)-F(a)

这个公式叫做牛顿—莱布尼茨公式。

定积分式

如果我们把中的积分区间的上限作为一个变量x，这样我们就定义了一个新的函数： 但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了：

2 Φ性质

1、定义函数，则

与格林公式和高斯公式的联系。

证明：让函数 获得增量，则对应的函数增量

显然，

而

（ξ在x与x+Δx之间，可由积分中值定理推得）

当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x），故有

可见这也是导数的定义，所以最后得出 。

2、，F(x)是f(x)的原函数。

证明：我们已证得

，故

但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a]，故面积为0），所以F(a)=C

于是有Φ(x)+F(a)=F(x)，当x=b时，Φ(b) = F(b) - F(a),而

，所以

把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。相关人物

牛顿

牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程（积分法）。

莱布尼茨

德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。它已含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。