题库-几何探究题

几何探究题

类型一动点问题

1.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，边长AB=6，对角线AC、BD交于点O，线段AD上有一动点P，过点P作PH⊥BC于点H，交直线CD于点Q，连接OQ，设线段PD=m．

(1)求线段PH的长度；

(2)设△DPQ的面积为S，求S与m之间的关系式；

(3)在运动过程中是否存在点P，使△OPQ的面积与△CQH的面积相等，若存在，请求出满足条件m的值；若不存在，请说明理由．

第1题图

解:(1)∵四边形ABCD是菱形，

∴BC∥AD，AB=AD=CD=6，∵∠BAD=120°，

∴∠ADC=60°，

∴△ACD是等边三角形，

如解图，过点C作CG⊥AD于G，在Rt△CDG中，∠CDG=60°，CD=6，

∴DG=3，CG=33，

∵BC∥AD，PH⊥BC，CG⊥AD，

∴四边形CHPG是矩形，∴PH=CG=33，

第1题解图

(2)在Rt△PDQ中，∠PDQ=60°，DP=m

，∴PQ=3m，

∴S=S△PDQ=1

2DP·PQ=1

2

m×3m=3

2

m2，（0＜m≤6）

(3)存在，理由：

∵△DPQ的面积与△CQH的面积相等，

点Q在线段CD上，AD∥BC，

∴△CHQ∽△DPQ，

∴△DPQ的面积与△CQH的面积相等时，只有△CHQ≌△DPQ，

∴CQ=DQ=1

2

CD=3，

在Rt△PQD中，∠PDQ=60°，DQ=3，∴DP=3

2

，

即：m=3

2

时，△DPQ的面积与△CQH的面积相等．

2.已知：D，E是Rt△ABC斜边AB上点，满足∠DCE=45°．

（1）如图①，当AC=1，BC=3，且点D与A重合时，求线段BE的长；

（2）如图②，当△ABC是等腰直角三角形时，求证：AD2+BE2=DE2；

（3）如图③，当AC=3，BC=4时，设AD=x，BE=y，求y关于x的函数关系式，并求x的取值范围.

图①图②图③

第2题图

（1）解：如解图①，∵∠ACB=90°，BC3AC=1，

∴AB=2，过B作BF∥AC交CE的延长线于F，

2

∴∠F =∠ACE ，

∵∠BCA =90°，∠DCE =45°，

∴∠BCE =∠DCE ，

∴∠BCE =∠F ，

∴BF =BC =3， ∵△BEF ∽△AEC ，

∴3BE BF AE AC ==， ∴BE =3-3；

图① 图② 图③

第2题解图

(2)证明：如解图②，过点A 作AF ⊥AB ，使AF =BE ，连接DF ，CF ，

∵在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，

∴∠CAB =∠B =45°， ∴∠F AC =45°，

∴△CAF ≌△CBE （SAS ），

∴CF =CE ， ∠ACF =∠BCE ，

∵∠ACB =90°，∠DCE =45°，

∴∠ACD +∠BCE =∠ACB -∠DCE =90°-45°=45°，

∵∠ACF =∠BCE ， ∴∠ACD +∠ACF =45°，

即∠DCF =45°，

∴∠DCF =∠DCE ， 又∵CD =CD ，

4 ∴△CDF ≌△CDE （SAS ），

∴DF =DE ，

∵在Rt △ADF 中，AD 2+AF 2=DF 2，

∴AD 2+BE 2=DE 2； (3)解：如解图 ，作△BCE ≌△

FCE ，△

GCD ≌△ACD ，延长DG 交EF 于H ， ∵∠HFG =∠B ，∠HGF =∠CGD =∠A ，∠A +∠B =90°， ∴∠DHF =90°，

∵FG =CF-CG=BC-AC =1，∠B =∠F ，

∴HF =45，HG =3

5

， ∵EH 2+HD 2=ED 2，

∴(y -45)2+(x +35

)2=(5-x -y )2， ∴y =6028215x x --（0≤x ≤157）． 3. 如图①，直线AM ⊥AN ，AB 平分∠MAN ，过点B 作BC ⊥BA 交AN 于点C ；动点 E 、D 同时从A 点出发，其中动点E 以2m/s 的速度沿射线AN 方向运动，动点D 以1m/s 的速度沿射线AM 方向运动；已知AC =6cm ，设动点D ，E 的运动时间为t ．

（1）试求∠ACB 的度数；

（2）当点D 在射线AM 上运动时满足S △ADB ：S △BEC =2：3，试求点D ，E 的运动时间t 的值；

（3）动点D 在射线AM 上运动，点E 在射线AN 上运动过程中，是否存在某个时间t ，使得△ADB 与△BEC 全等？若存在，请求出时间t 的值；若不存在，请说出理由．

第3题图

解：（1）如解图①中，∵AM⊥AN，

∴∠MAN=90°，

∵AB平分∠MAN，∴∠BAC=45°，

∵CB⊥AB，

∴∠ABC=90°,∠ACB=45°；

图①图②

第3题解图

(2)如解图②中，作BH⊥AC于H，BG⊥AM于G．∵BA平分∠MAN，

∴BG=BH，

∵S△ADB：S△BEC=2:3，AD=t，AE=2t，

∴1 2•t•BG：1

2

•（6-2t）•BH=2:3，

∴t=12

7s．∴当t=12

7

s时，满足S△ADB：S△BEC=2:3．

(3)存在．∵BA=BC，∠BAD=∠BCE=45°，

∴当AD=EC时，△ADB≌△CEB，

∴t=6-2t，∴t=2s，

∴满足条件的t的值为2s．

类型二平移变换问题

1.如图，△ABC中AB=AC，点D从点B出发沿射线BA移动，同时，点E从点C出