高中数学 球的体积和表面积教案 新人教A版

高中数学人教A 版精品教案集：球的体积和表面积

教学目标

１． 知识与技能

⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分 割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。

⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。

⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。

２． 过程与方法

通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝

34πR 3和面积公式Ｓ＝４πR 2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，

体现了极限思想。

３． 情感与价值观

通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。

二. 教学重点、难点

重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。

难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。

三. 学法和教学用具

１． 学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值 的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。

２． 教学用具：投影仪

四. 教学设计

（一） 创设情景

⑴教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。

⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。

（二） 探究新知

1．球的体积：

如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。

步骤：

第一步：分割

如图：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n 等分，过这些

等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n 个“小圆片”，

“小圆片”厚度近似为

n

R ，底面是“小圆片”的底面。 如图：

得)1(])1(1[232

n i n i n R n R r V i i ⋯⋯=--=⋅⋅≈、２ ππ 第二步：求和

]6)2)(1(1[113

321n n n R v v v v ---≈++++πK ＝Ｖ半球 第三步：化为准确的和

当n →∞时， n 1→0 （同学们讨论得出）

所以 333

2)6211(R R ππ=⨯-＝Ｖ半球 得到定理：半径是Ｒ的球的体积33

4R π=球Ｖ 练习：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径(钢的密度是7.9g/cm 3)

2．球的表面积：

球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R 的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”方法推导。

半径为R 的球的表面积为 Ｓ＝４πR 2

练习：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 。 （答案50元）

（三） 典例分析

课本P 47 例4和P 29例5

（四） 巩固深化、反馈矫正

⑴正方形的内切球和外接球的体积的比为 ，表面积比为 。 （答案：1:33 ； 3 ：1） ⑵在球心同侧有相距9cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm 2和400πcm 2

，求

球的表面积。 （答案：2500πcm 2）

（五） 课堂小结

本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导，以及利用公式解决相关的球的问题，了解了推导中的“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”的解题方法。

（六） 评价设计

作业 P 30 练习1、3 ，B （1）

分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性质求球的半径