符号微积分

(2)
z
xey y2
，求
z
' x
、
z
' y
。
>> g=x*exp(y)/y^2; >> diff(g,x) ans = exp(y)/y^2 >> diff(g,y) ans = (x*exp(y))/y^2 - (2*x*exp(y))/y^3
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3. 符号函数的积分
（1）不定积分 在MATLAB中，求不定积分的函数是int()，其常用 的调用格式为： int(f,x) 即求函数f对变量x的不定积分。
河道水流量的估算问题
根据实际测量，得到河流某处宽600m，其横截面不同位置某一时刻的水深 如下表所示。
x
0
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600
h(x) 4.4 4.5 4.6
4.8
4.9
5.1
5.4
5.2
5.5
5.2
4.9
4.8
4.7
① 若此刻水流的流速为0.6m/s，试估计该河流此刻的流量。
例3 求下列不定积分。
（1） ( 3 x 2 ) 3 d x
（2）
5 xt
1 x2
dt
>> syms x t; >> f=(3-x^2)^3; >> int(f) ans = - x^7/7 + (9*x^5)/5 - 9*x^3 + 27*x >> g=5*x*t/(1+x^2); >> int(g,t) ans = (5*t^2*x)/(2*(x^2 + 1))
例1 求下列极限。
（1）
lim m x x x a
ma a
（2） l i m ( 1 1 ) n
n
n
>> syms a m x n; >> f=(x^(1/m)-a^(1/m))/(x-a); >> limit(f,x,a) ans = a^(1/m - 1)/m >> g=(1+1/n)^n; >> limit(g,n,inf) ans = exp(1)
即自然常数e。
2. 符号函数的导数
MATLAB中的求导函数为： diff(f,x,n)
即求函数f关于变量x的n阶导数。参数x的用法同求极限 函数limit，可以缺省，默认值与limit相同，n的默认值 是1。
例2 求下列函数的导数。 (1) y 1 e x ，求y'。
>> syms x y z; >> f=sqrt(1+exp(x)); >> diff(f) ans = exp(x)/(2*(exp(x) + 1)^(1/2))
xi=0:50:600; yi=[4.4,4.5,4.6,4.8,4.9,5.1,5.4,5.2,5.5,5.2,4.9,4.8,4.7];
p=polyfit(xi,yi,3); plot(xi,yi,'o',xi,polyval(p,xi)); syms y x;
y=poly2sym(p,x); s=int(y,x,0,600); v=s*0.6; eval(v)
V的值为1787.4(m3/s)。
xi=0:50:600;
yi=[4.4,4.5,4.6,4.8,4.9,5.1,5.4,5.2,5.5,5.2,4.9,4.8,4.7];
yn=-yi;
p=polyfit(xi,yn,3);
plot(xi,yn,'o',xi,polyval(p,xi));
syms y x yii;
7.2 符号微积分
符号函数的极限 符号函数的导数 符号函数的积分
专题七 MATLAB符号计算
1. 符号函数的极限
求符号函数极限的命令为limit，其调用格式为： limit(f,x,a)
即求函数f关于变量x在a点的极限。 limit函数的另一种功能是求单边极限，其调用格式为
： limit(f,x,a,'right') limit(f,x,a,'left')
y=poly2sym(p,x);
yii=diff(y,x);
x=50:60;
x=50:60; y=polyval(p,x);
k=eval(yii); k=diff (y)/1;
all(abs(k)<1/1.5) all(abs(k)<1/1.5)
结果为1。
结果同样为1。
all(i):若向量i中所有元素非 零，结果为1，否则结果为0。
（2）定积分 在MATLAB中，定积分的计算也使用int()函数，但调用格式有区别：
int(f,x,a,b) 其中，a、b分别表示定积分的下限和上限。 当函数f关于变量x在闭区间[a,b]可积时，函数返回一个定积分结果。 当a、b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。 当a、b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。
② 已知x方向[50,60]区间为坡式护岸的下部护脚部分，根据相关堤防设计 规范，抛石护岸护脚坡度应缓于1:1.5（正切值），请估计水流冲刷是否已 破坏该区域的护脚。
分析： ① 先拟合出河床曲线，然后进行定积分，计算出河流横截面， 即可估计流量。 ② 根据河床曲线，计算其导函数，并判断相应范围内导函数的 取值是否大于1:1.5。
例4 求下列定积分。 2
（1） 1 1 x d x
1
（2） 1
x
2 dx
（3）
sin x 2
4x dt
t
>> syms x t; >> int(abs(1-x),1,2) ans = 1/2 >> int(1/(1+x^2),-inf,inf) ans = pi >> int(4*x/t,t,2,sin(x)) ans = 4*x*(log(sin(x)) - log(2))