对称矩阵的性质及应用

对称矩阵的性质及应用

【摘要】本文讨论了实对称矩阵的若干性质以及它们的应用。【关键词】对称矩阵；性质；应用

1 对称矩阵的性质

定义1设a为n阶方阵，如果满足at=a，即aij=aji（i，j=1，2，…，n），那么a称为对称矩阵，简称对称阵。对称阵的特点是：它的元素以对角线为对称轴对应相等。

规定：本文中的矩阵都为实矩阵。

性质1 同阶对称矩阵的和、差、数乘运算得到的矩阵仍为对称矩阵。

性质2 设a为n阶方阵，则ata，a+at，aat为对称阵。

性质3 设a为n阶对称阵，若a可逆，则a-1，a*为对称阵。

证明：因为a为对称阵，所以at=a，又因为a可逆，所以（at）-1=a-1，（a-1）t=a-1，所以a-1为对称阵。

因为a*=aa-1，且a可逆，所以a≠0，由性质1可知a*为对称阵。性质4 实对称矩阵得特征值为实数。

性质5 设λ1，λ2是实对称矩阵a的两个特征值，p1，p2是对应的特征向量。若λ1≠λ2，则p1与p2正交[1]。

性质6 设a为n阶实对称矩阵，λ是a的特征方程的r重根，则矩阵a-λe的秩r（a-λe）=n-r，从而对应于特征值λ恰有r个线性无关的特征向量[2]。

性质7 设a为n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵p，使p-1ap=？

撰，其中？撰是以a的n个特征值为对角元素的对角矩阵。

性质 8 设a，b为对称矩阵，存在正交矩阵p使ptap=b的充分必要条件是a，b的特征值全部相同。

2 应用举例

例1 设a为n阶方阵，则a可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和。

例3 设a，b为对称矩阵，且a正定，证明ab的特征值是实数。【参考文献】

[1]同济大学数学系.工程数学线性代数[m].5版.高等教育出版社，2007.

[2]张万琴，焦方蕾，等.线性代数[m].2版.中国人民大学出版社，2007.|

[责任编辑：汤静]