数理统计例题

一、单个正态总体的均值检验 U检验法 1、方差已知 问题：总体 X~N（，2），2已知 假设 H0：=0；H1：≠0 双边检验
构造U统计量 U
X 0
n X 0 由 P u 2 确定拒绝域 U u 2 n x 0 如果统计量的观测值 U u 2 n
2
S2 X1 , X 2 , , X16 , 求 P 2 1.6664 . 2 15S (n 1) 2 2 2 ~ (15) S ~ ( n 1) 解 因为 2 2


S2 15S 2 P 2 1.6664 P 2 15 1.6664 15S 2 2 1 P 2 24.996 (15) 24.996 S2 0.05 P 2 1.6664 1 0.05 0.95
例1
设总体X , Y 相互独立 X ~ N (0,32 ) , Y ~ N (0,32 ) ,
其样本为 X1, X 2 ,
, X 9 和Y1,Y2 , ,Y9 , 试求统计量
服从什么分布？
X1 X 2 Y12 Y22
X9 Y92
解 由已知得 X1 X 2
X 9 ~ N (0,81)
则拒绝原假设；否则接受原假设

~ N (0,1)
H0为真的前提下
2、方差未知 问题：总体 X~N（，2），2未知 假设 H0：=0；H1：≠0 构造T统计量 T X 0 ~ t (n 1)
t检验 双边检验
X 0 由 P t 2 (n 1) S n 确定拒绝域 T t 2 (n 1) x 0 如果统计量的观测值 T t 2 (n 1) S n
解 由已知得 X i ~ N (0,4)
2 X12 X 2 所以 U 4 2 2 X11 X12 V 4 2 X10 2 X15
~ (10)
2
~ 2 (5)
2 U /10 X12 X10 ~ F (10,5) . 故 Y 2 2 V / 5 2 X11 X15
1
2
2r
( x 1 )( y 2 )
1 2
( y 2 )2
22
2 2 r ( x 1 ) 1 因此E (Y | x) r 2 / 1 x 2 r1是Y的最小均方误差预测，
X 75 T ~ t (n 1) S n
X 75 可得 P t 2 S n x 75 如果样本的观测值 t 2 S n
检验水平
临界值 则拒绝H0
某旅游机构根据过去资料对国内旅游者的旅游 费用进行分析,发现在10日的旅游时间中,旅游者用 的车费、住宿费、膳食费及购买纪念品等方面的费 用X是一个近似服从正态分布的随机变量，其平均 值为1010元，标准差为205元。而某研究所抽取了 样本容易为400的样本，作了同样内容的调查，得 到样本平均数为1250元。若把旅游机构的分析结果 看作是对总体参数的一种假设，这种假设能否接受？
㈣根据样本数据计算检验统计量的值
• 例如，总体标准差σ 已知时根据样本均值计算 统计量Z的公式为
Z xX
/ n
㈤将检验统计量的值与临界值比较，作出 拒绝或接受原假设的决策
• 如果检验统计量的值落入拒绝域，则拒绝原 假设，接受备择假设；如果检验统计量的值 落入接受域，则接受原假设，拒绝备择假设。
( x 1 )( y 2 )
1 2
2
2
]}.
一元线性回归的概念
E (Y | x) yf ( y | x)dy

y 2 2

1 exp{ 2 2 2 ( 1 r ) 1 r ( x 1 ) 2 ] }dy 2 2 1
[
( x 1 ) 2
例3
已知总体X 服从自由度为n 的 t 分布，求证：
X 2 ~ F (1, n) .
解 由已知得 存在U 和V 使得
U X ~ t (n) 其中 U ~ N (0,1) , V ~ 2 (n) V /n
故 U 2 ~ 2 (1) , V ~ 2 (n)
2 2
U U /1 所以 X ~ F (1, n) V /n V /n 1 V /n 还能得 2 ~ F (n,1) 2 X U /1
n ~ t (n 1) n 1
例8
设总体X , Y 相互独立 X ~ N (20,3) , Y ~ N (20,3) ,
其样本为 X1, X 2 ,
, X10 和Y1,Y2 , ,Y15 , 试求以下概率
P{| X Y | 0.3}.
1 10 3 解 由已知得 X X i ~ N (20, ) 10 i 1 10 1 15 3 Y Yi ~ N (20, ) 则 X Y ~ N (0,1/ 2) 15 i 1 15
2
例4
设总体X 服从正态分布 N (80,400) ，其样本为
X1, X 2 , , X100 , 求P{| X 80| 3}.
2 3 X 80 3 所以 P | X 80 | 3 1 P 2 2 2
3 2 2 2
X1 X 2 X 9 U ~ N (0,1) 9 Y12 Y22 Y92 V ~ 2 (9) 9 U X1 X 2 X 9 ~ t (9) 所以 V /9 Y12 Y22 Y92
例2
设总体X 服从正态分布 N (0,2 ) ，其样本为
2
2 X12 X10 X1, X 2 , , X15 , 求 Y 的分布 . 2 2 2 X11 X15
原假设和备择假设
（2）对于总体均值X是否大于某一确定值X0 的原假设可以表示为： H0：X≥X0 （如H0：X≥2000克） 其对应的备择假设则表示为： H1：X＜X0 （如H1： X ＜2000克) （3）对于总体均值X是否小于某一确定值X0 的原假设可以表示为： H0：X≤X0 （如H0：X≤ 5％） 其对应的备择假设则表示为： H1：X＞X0 （如H1：X＞5％） 注意：原假设总是有等号： 或 或。
X Y 所以 ~ N (0,1) 1/ 2
P{| X Y | 0.3} 2 2(0.3 2) 0.6774
例9 设
一个样本，求 (1) 解 由定理 2 知
是来自正态总体
的
(2)
例9 设 一个样本，求 (1)
是来自正态总体 (2)
的
查表可得
引例：已知某班《工程统计学》的期末考试成绩服从 正态分布。根据平时的学习情况及试卷的难易程度，估 估计平均成绩为75分，考试后随机抽样5位同学的试卷， 得平均成绩为72分，试问所估计的75分是否正确？
x 1010 1250 1010 z 23.4 205 / 400 205 / 400
故我们有理由怀疑 H0： μ=1010
即认为平均费用不是1010元。
原假设和备择假设 • 假设检验中，我们称作为检验对象的待检验 假设为原假设或零假设，用H0表示。原假设 的对立假设称为备择假设或备选假设，用H1 表示。 • 例如，设 X 0 为总体均值X 的某一确定值。 （1）对于总体均值是否等于某一确定值的原 假设可以表示为： H0： X X 0 （如H0： X 3190克） 其对应的备择假设则表示为： X H1： X X 0 （如H1： ≠3190克)
故
X 1010 Z 205 / 400
N (0,1)
取α=0.05,则 P(| Z | Z )
2
即
P(| Z | 1.96) 0.05
即Z落在区间(-1.96,1.96)之外的概率仅有0.05,这是 一个很小的概率，在一次试验当中几乎是不可能 发生的。现代入样本数据 x 1250 计算得
例7
设总体X 服从正态分布 N ( , ) ，其样本为
2
n 1 2 2 , Sn ( X X ) i n n 1 i 1
1 n 其中 X n X i n i 1
n 的分布 . n 1 1 2 2 解 由已知得 X n1 ~ N ( , ) , X n ~ N , , n n 1 2 所以 X n1 X n ~ N 0, n n 标准化得 X n1 X n ~ N (0,1) n 1
“全班平均成绩是75分”，这就是一个假设
根据样本均值为72分，和已有的定理结论，对EX=75 是否正确作出判断，这就是检验，对总体均值的检验。
表达：原假设：H0：EX=75；备择假设： H1：EX≠75 判断结果：接受原假设，或拒绝原假设。
引例问题
原假设 H0：EX=75；H1：EX≠75 假定原假设正确，则X~N（75，2），于是T统计量 拒绝域
析：此题目即通过样本数据信息判断称之为原假设
用H1表示与原假设对立的假设，称之为备择假设
从而此题有 H0： μ=1010 H1： μ≠1010
假设成立，则用X～N（1010，2052）从而样本均值 统计量 2052 X N (1010, ) 400
• 根据假设检验做出判断无非下述四种情况：
1、原假设真实， 并接受原假设，判断正确； 2、原假设不真实，且拒绝原假设，判断正确； 3、原假设真实， 但拒绝原假设，判断错误； 4、原假设不真实，却接受原假设，判断错误。 • 假设检验是依据样本提供的信息进行判断，有犯错 误的可能。所犯错误有两种类型： • 第一类错误是原假设H0为真时，检验结果把它当成 不真而拒绝了。犯这种错误的概率用α表示，也称作 α错误(αerror)或弃真错误。 • 第二类错误是原假设H0不为真时，检验结果把它当 成真而接受了。犯这种错误的概率用β表示，也称作 β错误(βerror)或取伪错误。