陕西省高等数学竞赛试题答案

一．选择题（8小题，每小题4分，共32分）2250141000sin d 2(1)(A )2sin lim lim lim 6(A) 解：由知，当且仅当时， 此极限为非零的有限实数，故选 .x n n n x x x t tx x nxx x n nx --→→→===⎰ (2)(B ).(C)(D)()0(A),(B)(B)()()(B).解： ，中在处不连续， 中只有符合 ，故选F x x F x f x ='= 1212(3)(B ).11()1 2.(B).. 解：由解的形式及方程的右端项，知对应齐次微分方程的 特征方程有二重根，，其通解为 又方 程有特解，于是得 ， 故选x xy xe x r r a C C x e x b c =+===+==-220(4)(C ).21()2(0)lim 2(C) 解：由的连续性得，从而 ，选xx e x f x a f x →--'===. 22221(5)(D )1(1)(1)(D) 解：对 ，其一般项满足 ，此级数绝对 收敛，故选.n n n n n n a a a n ∞=--=<∑ ()21(6)(A ).,0cos sin 1ln(cos )ln(sin )0430(A) 解：由可知 ，故， 因此 ，选 .x x x x x I I ππ∈<<<<<<<2222(7)(C ).315236302()3(1)48(C).x x y y x y -+-=---=- 解：积分得 ，即 ，故为双曲 柱面，选(8)(D ).,,解： 由隐函数求偏导数的公式 , F F F y yz x x z x F y F z Fz x y∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-=-=-∂∂∂∂∂∂∂∂∂1(D ).得，选 yz x x y z∂∂∂⋅⋅=-∂∂∂二．填空题（6小题，每小题4分，共24分）()()()()2212221112()(1)11(9)1.111(1)(1)(1) sin ln (1)sin ln (1)sin ln (1)12(1)lim lim sin ln 1x x x x f x f x xf x x x x x x x x x x x x x f x x ==→→--⎡'⎤''=-⋅+-⋅⎢⎥⎣⎦⎡'⎤''+⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-=⎢⎥⎣⎦'==+=解：解：.3323242222223322222222(10) (1) .261 ln , 36 (1)ln 66(1).解：， x y y y y yz x z y x y x x x x x x x y y z z x x y x y x y y z z x y xy y x y x y x x +∂-∂=-++=++∂∂∂∂=+-=∂∂∂∂-=++-=+∂∂ 1101(11) 6()d 2()0011120 ()d 26解：设 ，即有，两边从到积分得 ， f x x a a f x x a a a f x x =+-=+-=∴==⎰⎰..22(1)2112 0 1 lim lim 001() 解：由题设知级数的收敛半径 ，因此 ，故 n n n n n a a R a aa ++→∞→∞<<=+∞==<<..()()()()22222(13) sin d sin sin d 0d sin 0sin 解：原方程是全微分方程，可化为 ， 即 ，因此所求的通解为 ，为任意常数.注：除凑微分法外，也可用线积分、偏积分等方法求解。

xy x C x x y x x y xy x xy x C C =⋅+===.()12212222122222011480.d 0.:(2,0)(2,1)(1,1)(2,1)(2)d 8()d 8(2)d (1)d () 解：积分曲线分别关于轴、轴、直线及 为轴对称，因此 又关于与为轮换对称，故取积分路径 的第一象限中的折线LLL L x y y x y x xy s x y x y L A B C B x xy y s x y sy y x x ==-=+⋃∴-+=+=+++⎰⎰⎰⎰⎰1613=.三．解答题2222022022220022*********(15)sin cos sin cos d d 11sin cos sin cos d d 11sin cos d 1sin cos sin cos d 1令证及解： x x x xx tx t x t x x x e x x e x x I x xe e e x x e t t x te e x xx ex x e x I x e ππππππ-=----=+++====-++=+∴=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰()22022202240d 1sin cos d ......................................................................6sin sin d 3.. (44416)分xxx e x x x x x xππππππ+==-=-=⎰⎰⎰.....................................11分()()22222(16)10.0 1.220.012............................................6101解:方程两边对求导，整理得 (*) 令 得两个驻点 再在(*)式两边对求导，得 在驻点处 ，得 分 当 时，；当 时，x y y x y y x x y y y y x y y y y x x y x ''++-='==±'''''+++='''=+=-'''∴=<=-0.1(1)1,1(1)0...............................11 故 是极大值点，极大值为是极小值点，极小值为 分y x y x y '>===--=()()22222222(17):1,...........................54904()3d 2d 3d d d 2(3解:椭球积分区域与垂直于轴的平面的交集在面上的 投影为分 固定，用“先二后一”法计算三重积分，得zz tt Dz xOy y x D t z t t z t zt F t z V V z z x y π-ΩΩΩ+≤-≤≤-->=-+=-+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(235322)(3)3d 16382................................................................7556()96(1)0()01(1)5分 ，. 令 得 ，t tt t tz z t t t F t t t t F t t F πππππ-=-⋅+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭''''∴=->===⎰.01()01()0.56(0,1)(1,)(1,) (115)当 时，；当 时， 为曲线凹区间，为凸区间，是拐点分t F t t F t π''''<<>><∴+∞()4140414211()44!(18)limlim 0()(4)!(,)................4()(),(4)!()(),(41)!(42)!解：， 故级数的收敛半径，收敛域为分设 逐次求导得 , n n n n n n n n n n u x n x u x n R x s x x n x x s x s x n n +→∞→∞∞=∞∞--==-===+∞-∞+∞=-∞<<+∞'''==--∑∑∑431444(4)10(4)1234()(43)!()()..................................8(44)!(4)!()()0()cos sin 分 解方程 ，得通解将初n n n n n n x x x s x n x x sx s x n n s x s x s x C e C e C x C x∞-=∞∞-==-'''=-===--==+++∑∑∑1234123440(0)1,(0)(0)(0)011,,,,0.4211()()cos (,)........11(4)!42始条件分别代入上式，得到 关于与的方程组，求得 于是有 分nx x n s s s s C C C C C C C C x s x e e x n ∞-=''''''==========++-∞+∞∑ 223300002300230(19)(,).0()解：设弧段上的切点为 由得切线方程x y x y y y y y x x x --'+=-=--()2200213131311130000000022.2. 2.1(1,1) 2..........................................5 分别令 和，得到切线在轴和轴上的截距， 故切线与两坐标轴所围图形的面积为 而因此当时，即切点为时，取得最大值分 这时所求图形的面积最小，最小面积为 x y y x y y x x S y x x y x y S =====+===()8313084353202d 2181892526 (105)分x x x x x x --⎡⎤=-+--⎣⎦=⎰(20)(,)(,)(,)(,)(,)00.(,)0..............................3(,)0证：令，由题设知在闭区域上连续. 故在上取得最大值 和最小值 若，则为常值函数，结论显然成立.分 若，因为在的边界上，则与之一必不为零， 最大值与最小值之一必在的内部点 h x y f x y g x y h x y D h x y D M m M m h x y M m D h x y M m D P =-≥≤=≡≠=000000000000000(,)(,)(,).............................................7(,)(,)(,)(,)0()0()(取到，于是为的极大值点或极小值点.分 又 的两个偏导数存在，因此在 处， ，即有 ，也即x y x y P x y h x y h x y P x y h x y h x y h P f P g P ====grad grad grad 0)..............................................................10 分[](21)0()d d ()d d [()]d d ()()()d 1.()()()(解：由题设和高斯公式有其中为所围的有界区域,的取值与的法线方向一致 由的任意性，也即的任意性可知三重积分的被积函数恒为零，即有 Sxf y y z yf x z x z b f x y x yf y f x b f x y VS S S f x y f x f y b x Ω=+-++=±+--+Ω±Ω+=+-∈⎰⎰⎰⎰⎰,).......................5()(1)(1)2,3,,2010(2010)(1)2009()(2010)2009()20102009..................分 于是 ， f n f n f b a b n f f a b f a a b a b -∞+∞--=-=-=∴-=-=+-=-............................10分{}121111(22)(0,1)(1)(0,1)(0,1).............311,0lim ,(1)0...........................................8(1)解:由知，递归可知 分 又由知单调减且有下界，故收敛. 设则有，得分因此交错级数满足n n n n n nn n n n n x x x x x x x x x x x A A A A A x +→∞∞=∈=-∈∈=-<==-=-∑............10莱布尼兹定理条件，为收敛分{}222(23)()d 1()d d ()d 1()d 0....................3(,)()(,)1()y yLLy y Ly y f x x e x x f x e y x yf x x e x x f x e x y P x y f x x e Q x y x f x e x++-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦++--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+=--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰解：由题意及平面图形面积的曲线积分表示，可知即有 分函数和 在半平面[]222(0)(,)(,)01()()1()2()()(0)1() (4)Ly y x L P x y dx Q x y dy Q Pf x xf x e f x x e x yf x f x x x xC f x x x >+=∂∂'=-+-=+⎡⎤⎣⎦∂∂'+=->=-⎰内具有连续的偏导数，对于其内的任意正向分段 光滑闭曲线 恒有 ，故由格林定理得，即 ,整理得 解得 222222..............................................7()(0,)201()22442414()(0).. (104)f x C C C C x f x x xx C f x x x x +∞-<⎛⎫=-+≤-⋅⋅=-=- ⎪⎝⎭=-=-->分 由 在内的最大值为可知，故 因此 ， 分()f x 注：也可对原线积分用格林公式，将原式化为二重积分的关系求.。