陕西省高等数学竞赛试题答案

一．选择题（8小题，每小题4分，共32

分）

2

250

1410

00sin d 2(1)(A )2sin lim lim lim 6(A) 解：由

知，当且仅当时， 此极限为非零的有限实数，故选 .

x n n n x x x t t

x x nx

x x n nx --→→→===⎰ (2)(B ).

(C)(D)()0(A),(B)(B)()()(B).

解： ，中在处不连续， 中只有符合 ，故选F x x F x f x ='= 1212(3)(B ).

11()1 2.(B).. 解：由解的形式及方程的右端项，知对应齐次微分方程的 特征方程有二重根，，其通解为 又方 程有特解，于是得 ， 故选

x x

y xe x r r a C C x e x b c =+===+==-

22

0(4)(C ).

21()2(0)lim 2(C) 解：由的连续性得，从而 ，选x

x e x f x a f x →--'===. 222

2

1

(5)(D )

1(1)(1)(D) 解：对 ，其一般项满足 ，此级数绝对 收敛，故选.

n n n n n n a a a n ∞

=--=<∑ ()

21(6)(A ).

,0cos sin 1ln(cos )ln(sin )043

0(A) 解：由可知 ，故， 因此 ，选 .

x x x x x I I ππ∈<<<<<<<

2222(7)(C ).

315236302()3(1)48

(C).

x x y y x y -+-=---=- 解：积分得 ，即 ，故为双曲 柱面，选

(8)(D ).

,,

解： 由隐函数求偏导数的公式 , F F F y y

z x x z x F y F z F

z x y

∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-=-=-∂∂∂∂∂∂∂∂∂

1(D ).得，选 y

z x x y z

∂∂∂⋅⋅=-∂∂∂

二．填空题（6小题，每小题4分，共24分）

()

()()()

221

2221112()(1)11(9)1.

111(1)(1)(1) sin ln (1)sin ln (1)sin ln (1)1

2(1)lim lim sin ln 1x x x x f x f x x

f x x x x x x x x x x x x x f x x ==→→--⎡'⎤''=-⋅+-⋅⎢⎥

⎣

⎦⎡'⎤''+⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-=⎢⎥⎣⎦

'==+=解：解：.

3323242

22222

3

3

222

22222

(10) (1) .

261 ln , 36 (1)ln 66(1).解：， x y y y y y

z x z y x y x x x x x x x y y z z x x y x y x y y z z x y xy y x y x y x x +∂-∂=-++=++

∂∂∂∂=+-=∂∂∂∂-=++-=+∂∂ 1

1

01(11) 6

()d 2()0011120 ()d 26

解：设 ，即有，两边从到积分得 ， f x x a a f x x a a a f x x =+-=+-=∴==⎰⎰..

2

2(1)

2112 0 1 lim lim 001() 解：由题设知级数的收敛半径 ，因此 ，

故 n n n n n a a R a a

a ++→∞→∞

<<=+∞==<<.

.

()()()()22222(13) sin d sin sin d 0d sin 0sin 解：原方程是全微分方程，可化为 ， 即 ，因此所求的通解为 ，为任意常数.注：除凑微分法外，也可用线积分、偏积分等方法求解。

xy x C x x y x x y xy x xy x C C =⋅+===.

(

)

1

221222212

2222011480.

d 0.

:(2,0)(2,1)(1,1)(2,1)(2)d 8()d 8

(2)d (1)d () 解：积分曲线分别关于轴、轴、直线及 为轴对称，因此 又关于与为轮换对称，故取积分路径 的第一象限中的折线

L

L

L L x y y x y x xy s x y x y L A B C B x xy y s x y s

y y x x ==-=+⋃∴-+=+=+++⎰⎰⎰⎰⎰1613

=.

三．解答题

2222022022220

022*********(15)sin cos sin cos d d 11sin cos sin cos d d 11sin cos d 1sin cos sin cos d 1令证及解： x x x x

x t

x t x t x x x e x x e x x I x x

e e e x x e t t x t

e e x x

x e

x x e x I x e ππππππ-=----=+++====-++=+∴=++⎰

⎰⎰⎰⎰⎰()2202

220

2

240

d 1sin cos d ......................................................................6sin sin d 3.. (44416)

分

x

x

x e x x x x x x

ππππππ+==-=-=⎰⎰⎰

.....................................11分

()()

22222(16)10.0 1.

220.

012............................................6101解:方程两边对求导，整理得 (*) 令 得两个驻点 再在(*)式两边对求导，得 在驻点处 ，得 分 当 时，；当 时，x y y x y y x x y y y y x y y y y x x y x ''++-='==±'''''+++='''=+=-'''∴=<=-0.1(1)1,1(1)0...............................11 故 是极大值点，极大值为

是极小值点，极小值为 分

y x y x y '>===--=