第九章 线性系统的状态空间分析法

画出状态变量图。
r
+
-
s 6 11
s6
11 s2
y
解:
Y(s) R(s)
s 6 11
s6
11 s2
6
1
s 11
s6
11 s2
s3
11s 6 6s2 11s
6
y 6y 11y 6y 11r 6r a1 6 a2 11 a3 6 b0 b1 0 b2 11 b3 6
选取 则有
x1 y - b0r x2 x1 h1r x3 x2 h2r
三.由微分议程建立状态空间表达式.
1.作用函数不含导数项时的n纪念阶线性系 统的状态空间表达式
.
y(n) a1y (n1) an1 y an y u
选取
x1 y x 2 y x1 x n y (n1) xn1
.
则有
x Ax Bu 状态方程
y cx
输出方程
0 1 0 0
A 0 0 1 0
u
hn
hn1
xn xn1
a1
h2
h1
b0
x2 x1 x1
y
a2
an1
an
例1.设控制系统的运动方程为：
y(3) 9y(2) 8y u(2) 4u u 试写出该系统的状态空间表达式，并画出状态 变量图。
解:
a1 9 a2 8 a3 0 b0 0 b1 1 b2 4 b3 1 h1 b1 - a1b0 1 - 9 0 1 h2 (b2 - a2b0 ) - a1h1 (4 - 8 0) - 91 -5 h3 (b3 - a3b0 ) - a2h1 - a1h2 (1- 0 0) - 8 1 - 9 (-5) 38
xn xn-1 z(n1)
x1
x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xn
0
0
0
- an
1
0
0 - an-1
0
1
0 - an-2
-
0
0
1 a1
x1
x
2
xn
0 0u 1
y b0 (u - a1xn - a2xn-1 - - an-1x2 - anx1 ) b1xn bn-1x2 bnx1
x1 y
若选取
x2 x1 y
xn xn1 y (n1)
则有
xx12
x2 x3
xn an x1 an1x 2 a1xn
b0u(n) b1u(n1) bn1u bnu
选在 统 有取由 作状状包 用态态含函议变状数程量态的解的变导中原量 数任则的 项何是。一n: 个个微微xxx分1n2 分议yxx议1n程1b程h0构u1h均un成1不u的含系
x1 x 2
1
L 0
e(t)
结论 :状态变e量0 (t不) 唯C1 一 id,t状 态x2 变 0量的1选xx12 取不同,
状态空间表达式也不同。
2.作用函数含导数项时的n阶线性系统的状态空 间表达式
(1).直接法:
y (n) a1y (n1) an1y an y b 0u(n) b1u(n1) bn1u bnu
0
x2
1u
8 x3 1
y 1 2
1 7
9 14
x1 x2 x3
（3）迭代程序法 iterative program method
由传递函数化成因子连乘积形式后画出状态 变量图，再由状态变量图直接写出状态空间 表达式
基本单元为
X(s) s b U(s) s a
利 用 直 接 程 序 法 ， 将 此单 元 画 为
- a n
an1
a1
0 B 0
1
系统矩阵
输入矩阵
C [1 0 0] 输出矩阵
状态变量图
u
+
Xn
Xn-1
-a1 -a2
-an-1
X2
X1=y
-an
例1.设控制系统的运动方程为 y(2) 3 y 2 y u
试写出该系统的状态空间表达式。方框图如下：
u
+
X2
X2 X1
X1 y
-3 -2
U(s)
1 sn a1sn1 an1s an
Z(s)
Y(s)
b0sn b1sn1 bn1s bn
Z(s)
1
U(s) sn a1sn1 an1s an
(1)
Y(s) Z(s)
b0
s
n
b1sn1
bn1s bn
(2)
由以上二式得
snz(s) a1sn-1z(s) a2sn-2z(s) an-1sz(s) anz(s) u(s)
则
xx
2 3
(s) (s)
sx sx
1 2
(s) (s)
x n (s) sx n-1 (s)
z 1 0
x1
0
x
2
x
n
x1 0
x2
0
xn
an
1 0 an1
0 1 an2
0 x1 0
0
x
2
0
u
a1
x
n
1
由传递函数结合状态变量图导出空间表达式 （1）直接程序法 direct program method
X (s) 1 bs1
U(s)
U (s) 1 as1 E(s) 1 as1
E(s) U(s) - as-1E(s)
X (s) E(s) bs1E(s)
x x
b
u
y
-a
Y(s) s2 4s 4
(s 2)2
U (s) s3 9s2 8s s(s 1)(s 8)
1• s2• s2 s s1 s8
X AX Br
0
其中
A
0
-1
1 0 0 1 - 2 - 3
0 B 0
1
C 1 0 0
x1
y
CX
1
0x
2
x 3
例3.设有一RLC网络, 试写出该网络的状态
方程及输出方程。在e(t )的作用下，网络的 回路方程为：
e(t )
Ri
L
di dt
1 c
i(t )dt
R
L
e(t)
C e0 (t)
解法1:
LC d 2e0 dt 2
RC de 0 dt
e0
e
d 2e0 dt 2
R L
de 0 dt
1 LCe0
1e LC
取
x x
1 2
e0 x1
e0
则有
x1
x2
-
0 1 LC
-
1 R L
x1
x
2
0 1 LC
e
即 X AX Bu
其中
0 1
A
-
2
-
3
则 选 取 的 状 态 变 量 为:
x1 y
x2
x1
u
x3 x2 5u
即：
x1 x2 u
x2
x3
5u
x3
8
x2
9
x3
38u
x1 0
x2
0
x3 0
y 1 0
1 0 x1 1
0
1
x
2
5u
- 8 - 9 x3 38
x1
0
x
2
x 3
例2. 写出下图所示系统的状态空间表达式，
第九章 线性系统的状态空间分析法
$1 线性定常系统的状态空间描述
一.基本概念 1.状态: 系统的运动状态。 2.状态变量: 决定控制系统状态的变量。 3.状态向量: 4.状态空间:
二.状态变量的选取
设 在时 间间 隔[t0 , T]作 用到 被控 过程p 的 作用 函数 向量U为 已知,为 该被 控过 程选 取 向量X(t0 ),如 果向 量X(t)(t t0 )唯 一地 由 向量X(t0 )及U(t0 , T)所 确定 则向 量X(t)便 可 以选 作被 控过 程P的 状态 向量.它 的各 个 分 量X1(t ), X 2(t), , X n (t)便 是 状 态 向 量 。
X AX BU
x1 y b0u
y
CX
DU
x 2 x1 h1u
x1 x 2 h1u x2 x 3 h 2u
x n xn1 h n1u xn x n1 h n u
即 X AX Bu
其中
0 1 A - 2 - 3
0
B
1
y
e0
1
0xx
1 2
而 y CX
C 1 0
R(S) +
1
Y(S)
_
s(s1)(s2)
1
解: Y(s) s(s 1)(s 2)
1
R(s) 1
1
s3 3s2 2s 1
s(s 1)(s 2)
则 y(3) 3y (2) 2y y r
取 所以
x
1
x 2
y x1
y
x
3
x2
y (2)
x1 x2 x2 x3 x3 x1 2x2 3x3 r
x1 u x2 x1 x2 x3 x2 2 x2 8 x3 x1 x2 8 x3 y x3 2 x3 x1 x2 6 x3
由传递函数直接画出状态变量图，再由状态 变量图直接写出状态空间表达式
Y(s) s2 4s 4 G(s) U(s) s3 9s2 8s
Y (s) s1 4s2 4s3
U(s)
1 9s1 8s2
U(s) E(s) 1 9s1 8s2 E(s) U(s) 9s1E(s) 8s2E(s)
Y (s) (s1 4s2 4s3 )E(s)
u( s )
x3
E(s)
s 1 E ( s )
9
x2
s2 E(s)
4 x1 4
s3 E(s)
y(s)
8
x1 x2 x2 x3 x3 8 x2 9 x3 u y 4 x1 4 x2 x3
x1 0 1
x2
0
0
0 x1 0
1
h1 b1 - a1b0 0 h2 (b2 - a2b0 ) - a1h1 11 0 11 h3 (b3 - a3b0 ) - a2h1 - a1h2 -60
xx12
x2 x3
h1r h2r
x3
6
x1
11x2
6x3
h3r
因此选
x1 y
x2
x1
h1r
x3
x2
h2r
x1 0 1 0 x1 0
e(t)
1
e0(t) C
idt
1 C
x2
0
1 C
x1 x 2
e(t) 1/L
+
x1
x x 1
1/C 2
x2 e0(t)
-R/L -1/LC
解法3.选取
x
1
i
1
x2 C idt
则有
x1
R L
x1
1 L
x2
1 L
e(t)
x2
1 C
x1
x1
x2
1RL
C
1 L 0
解: 选取 x1 y
x2 x1 y
则有 x1 x 2
x2 2x1 3x2 u
x1
x2
-
0 2
-
1 x1
3
x
2
0
1
u
即 X AX Bu
其中
A
0 - 2
1
-
3
B
0
1
y
CX
1
0
x x
1 2
C 1 0
例2.设某控制系统的方框图如下,
试写出该系统的状态空间表达式。
x
x
u
y
-a
Y(s) 1 1 1 1 9 1 U(s) 2 s 7 s 1 14 s 8
x1
x1
-1/2
x1 u
u
x2 x2 u
x3 8 x3 u
y
1 2
x1
1 7
x2
9 14
x3
x2
x2
-1/7
y
-1
x3
x3
9/14
-8
x1 0
x2
0
x3 0
0 1 0
0 x1 1
z(n) a1z(n-1) an-1z anz u
(3)
y(s) b0snz(s) b1sn-1z(s) bn-1sz(s) bnz(s)
y b0z(n) b1z(n-1) bn-1z bnz
(4)
x1 z
x2 x1 z
对(3)选取
(5)
xn-1 xn-2 z(n2)
0
B
1
y
e0
1
0
x x
1 2
而 y CX
C 1 0
e(t)
1/L
x1
x1 x2
x2
e0 (t )
1/C
-R/L -1/LC
解法2.
选取 则有
x1 i
x2 idt
x1
R L
x1
1 LC
x2
1 L
e(t)
x2 x1
x1 x2
1RL
1
LC 0
x1 x 2
1
L 0
x2
0
0
1
x2
11
r
x3 6 11 6 x3 - 60
x1
y 1
0
0
x2
x3
(2) 中间变量法
.已知系统的结构图如下，试写出该图的状态空间表达式。 u(s) b0sn b1sn1 bn1s bn Y(s) sn a1sn1 an1s an
将上图作等效变换如下，引入中间变量z，则有
x1
b0 - an
- an-1
- a2
-
a1
x
2
xn
b0u bn
bn-1
x1
b1
x2
xn
在 一 般 情 况 下b0 0则 得 到
y bn
bn-1
x1
b1
x
2
xn
例4. 试求 y(3) 9y(2) 8y u(2) 4u u
的 状态方程表达式。
解:
a1 9 a2 8 a3 0
b0 0 b1 1 b2 4 b3 1
x1 0 1 0 x1 0
x2
0
0
1
x
2
0u
x3 0 8 9x3 1
x1
y 1
4
1
x2
x3
4
x3
u
x2
1
x1
y
-9
-8
四.由传递函数建立空间表达式
Z(s)
1
U(s) s n a1 s n1 an1 s an
x1(s) z(s)
x2
0u
x3 0 8 9 x3 1
x1
y 4
4
1
x2
x3
（2）并联程序法 parallel program method
由传递函数化为部分分式后画出状态变量图， 再由状态变量图写出状态空间表达式。
部分分式的基本单元为
X(s) 1 U(s) s a 利 用 直 接 程 序 法 ， 将 此单 元 画 为