第九章 线性系统的状态空间分析法
现代控制理论 第九章 现代控制理论-控制系统的数学模型
1 C
∫ i (t )dt
= u c (t )
i (t ) | t = t 0 = i (t 0 )
u c (t ) | t = t 0 = u c (t 0 )
若将 i (t ) 和 u c (t ) 视为一组信息量，则这样一 组信息量就称为状态。这组信息量中的每个变 量均是该电路的状态变量。 状态:表征系统运动的信息和行为 状态 表征系统运动的信息和行为。 表征系统运动的信息和行为 状态变量：系统的状态变量就是确定系 统状态的最小一组变量。（或完全表征 系统运动状态的最小一 组变量。）
di dt
=
R x1 L
1 L
x2+ 1 u( t )
L
x
2
1 x c 1
y = x2 = u c (t )
写成矩阵— 写成矩阵—向量的形式为：
x
1
=
R L
1 L
x1
x
2
1 c
0
x2
+
1 L u( t )
0
y=
x1
0 1
x2
为状态向量
x 1 x2 T 令x =
则：
x=
R L
1 L
1 c
1 x+ L
状态方程 输出方程
一 、状态、状态变量和状态空间
R + u(t)
输入
L
+ + y C uc(t) _ 输出 _
i(t)
_
解：以 i(t) 作为中间变量，列写该回路的微分方程
di (t ) L + Ri (t ) + u c (t ) = u (t ) dt
求解这个微分方程组， 出现两个积分常数。 它们由初始条件
《Simulink与控制系统仿真(第3版)》的课件 线性系统状态空间分析和非线性系统分析
11.2 非线性系统概述
含有非线性元件或环节的系统称为非线性系统。非线性特性包括 许多类型，典型的静态非线性特性包括死区非线性、饱和非线性、 间隙非线性和继电非线性。
采用MATLAB绘制相轨迹图
绘制相轨迹图的实质是求解微分方程的解。求解微分方程数 值解的算法有多种，MATLAB提供了求解微分方程的函数组， 常用的有ode45，它采用的计算方法是变步长的龙格-库塔4/5 阶算法。 ode45()常用的调用格式如下： [t, y]=ode45(odefun, tspan, y0) 在用户自己编写的MATLAB函数中既可以描述线性系统特性， 也可以描述非线性系统特性。
Relay：继电非线性； Saturation：饱和非线性； Saturation Dynamic：动态饱和非 线性；
Wrap To Zero：环零非线性。
11.3 相平面法
应用相平面法分析一阶尤其是二阶非线性控制系统，弄清非线性系统的稳定 性、稳定域等基本属性以及解释极限环等特殊现象，具有非常直观形象的效 果。 由于绘制二维以上的相轨迹十分困难，因此相平面法对于二阶以上的系统几 乎无能为力，这是相平面法的局限。
11.2.3 Simulink中的非线性模块
Backlash：间隙非线性； Coulomb&Viscous Friction：库仑 和黏度摩擦非线性；
Dead Zone：死区非线性； Dead Zone Dynamic：动态死区 非线性；
Hit Crossing：冲击非线性； Quantizer：量化非线性； Rate Limiter：比例限制非线性； Rate Limiter Dynamic：动态比例 限制非线性；
第9章 状态空间分析法
根据A和b的上述特征，一般只要对微分方程式或传递
函数的观察，就能直接写出矩阵A和b及对应的动态方程。
第二节 传递函数与动态方程的关系
能控标准形状态图
第二节 传递函数与动态方程的关系
例9-3 已知一系统的传递函数为
试写出能控标准形的状态空间表达式。 解：根据矩阵A和b的特征，直接写出系统能控标准形的 状态空间表达式为：
第二节 传递函数与动态方程的关系
3、对角标准型实现
当系统的传递函数只含有相异的实极点时，还可化为 对角标准型实现。 设系统的传递函数为：
令 则上式变为
第二节 传递函数与动态方程的关系
式中： 则 令
Ci lims i W s
s i
则得
i
i
i
对上式取拉氏变换
第二节 传递函数与动态方程的关系
i
或写作
第二节 传递函数与动态方程的关系
上述状态方程的状态变量描述有如下特点： （1）矩阵A对角线上的元素为传递函数的极点，其余元素
全为零，各状态变量间没有耦合，彼此是独立的。
（2）矩阵b是一列向量，其元素均为1；矩阵C为一行向量， 它的元素为W(s)极点的留数。
第二节 传递函数与动态方程的关系
其中
D为m×r型矩阵
m×r
Wij s 为第i个输出与第j个输入间的传递函数。
第二节 传递函数与动态方程的关系
求系统的传递函数。 例9-2 已知系统的动态方程式如下，
解：
-
=
-
第二节 传递函数与动态方程的关系
二、由传递函数列写动态方程 设线性定常系统微分方程的一般形式为：
y为系统的输出量，u为系统的输入量，初始条件为零， 对上式取拉氏变换，得系统的传递函数为： -
《自动控制原理》第九章 线性系统的状态空间分析与综合
第九章 线性系统的状态空间分析与综合在第一章至第七章中，我们曾详细讲解了经典线性系统理论以及用其设计控制系统的方法。
可以看到，经典线性理论的数学基础是拉普拉斯变换和z 变换，系统的基本数学模型是线性定常高阶微分方程、线性常系数差分方程、传递函数和脉冲传递函数，主要的分析和综合方法是时域法、根轨迹法和频域法，分析的主要内容是系统运动的稳定性。
经典线性系统理论对于单输入-单输出线性定常系统的分析和综合是比较有效的，但其显著的缺点是只能揭示输入-输出间的外部特性，难以揭示系统内部的结构特性，也难以有效处理多输入-多输出系统。
在50年代蓬勃兴起的航天技术的推动下，在1960年前后开始了从经典控制理论到现代控制理论的过渡，其中一个重要标志就是卡尔曼系统地将状态空间概念引入到控制理论中来。
现代控制理论正是在引入状态和状态空间概念的基础上发展起来的。
在现代控制理论的发展中，线性系统理论首先得到研究和发展，已形成较为完整成熟的理论。
现代控制理论中的许多分支，如最优控制、最优估计与滤波、系统辨识、随机控制、自适应控制等，均以线性系统理论为基础；非线性系统理论、大系统理论等，也都不同程度地受到了线性系统理论的概念、方法和结果的影响和推动。
现代控制理论中的线性系统理论运用状态空间法描述输入-状态-输出诸变量间的因果关系，不但反映了系统的输入—输出外部特性，而且揭示了系统内部的结构特性，是一种既适用于单输入--单输出系统又适用于多输入—多输出系统，既可用于线性定常系统又可用于线性时变系统的有效分析和综合方法。
在线性系统理论中，根据所采用的数学工具及系统描述方法的不同，又出现了一些平行的分支，目前主要有线性系统的状态空间法、线性系统的几何理论、线性系统的代数理论、线性系统的多变量频域方法等。
由于状态空间法是线性系统理论中最重要和影响最广的分支，加之受篇幅限制，所以本章只介绍线性系统的状态空间法。
9-1 线性系统的状态空间描述1. 系统数学描述的两种基本类型这里所谓的系统是指由一些相互制约的部分构成的整体，它可能是一个由反馈闭合的整体，也可能是某一控制装置或受控对象。
9章状态空间分析
状态空间分析法举例
例1求图示机械系统的状态空间表达式
外力 u(t)
K ---弹性系数 m
牛顿力学
阻 尼 系 数
b
y(t) u(t )
位移
m y y b ky
令
x1 y
x2 y
动态方程如下
x1 x2
k b 1 x2 y y y u (t ) m m m
k b 1 x1 x2 u (t ) m m m
y x1
状态空间表达式为：
x 1 x 2
0 1 x 0 1 b u k 1 x m m 2 m
x1 y 1 0 x2
1 0 0 a1
0 1 0 a2
0 0 1 an 1
0 0 b 0 0
c 1 0 0
例1设
...
y 5y 8y 6 y 3u
求（A，B，C，D）
.
..
(可加性), H (u1 ) H (u1 ) (齐次性),则该系统 称为线性的,否则为非线性. 定常性:1)定义: Qa -位移算子
2)一个松弛系统当且仅当对任何输入u和任意 实数 , 均有 y Hu HQau Qa Hu Qa y
u (t ) Qau(t ) u(t )
a0 a1 a2
0
y 1
0
x1 0 x 2 x3
作业
系统微分方程为
...
y 2 y 5 y 18 y 3u
..
第九章-线性系统的状态空间综合法PPT课件
③对线性定常系统，在[t0，t1]上考虑与在[0，t1-t0]上考虑是等价的，即
可控性与t0无关。
④系统可控 系统状态完全可控
若存在不可控状态（一个或多个）则系统不完全可控； ⑤终端状态x(t1)=0，即取状态空间的原点。
4
第4页/共82页
4）状态可达与系统可达
对系统： x(t) A(t)x(t) B(t)u(t) t Tt
sI A B 0 1 0 11 00
0 0 1 00 11 0 0 5 22 00
对于 1 有2 ： 0
0 1 0 0 0 1
rank 1I A
B rank 0
0
0 0
1 0 1 0 4 0 1 0 1
0 0 5 0 2 0
16
第16页/共82页
对于 1 有：5
5 1 0 0 0 1
该系统是完全可控的.
20
第20页/共82页
③设 为1 5重特征根，有如下约当型
1 1
1 1
AJ
1 1
1 55
B
BB43
B5 5p
结论：只要
B3
B
4
行线性无关,系统状态完全可控。
B5
B3
即
rankB4
行
数
系统状态完全可控。
B5
注：输入的维数p>λi所对应的约当块的块数时，系统可能可控；
当 R1 R2 ,且C1 C2 时， rankS=2=n，系统可控 当R1 R2 ,且C1 C2 时， rankS=1<n，系统不可控 由电路图可知： R1 R2时,C，1 C2 x1 x2
即不能通过u使x1,x2到达任意状态。
iL
R3 R1
第9章线性系统的状态空间分析与综合PPT课件
b 0u (n)
b 1u (n1)
*
b
n
1
u
bnu
选在取由状包态含变状量态的变原量则的: n个微 分x 2 议 x程1 构h 1成u 的系
统状态议程解中任何一个微 x 分n 议x n程 1 均h n不 1 u 含有
作用函数的导数项。
X AX BU
x1 y b 0u
y CX DU
掌握和运用可控性判据和可观性判据。
*
4
基本要求
⑤ 能将可控系统 化为可控标准形。能将不可控
系统进行可控性分解。
⑥ 熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法,
熟练掌握由观测器得到的状态估计值代替状 态值构成的状态反馈系统, 可进行闭环极点 配置和观测器极点配置。
⑦ 正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在的
条件和解法, 能通过解李雅普诺夫方程进行 稳定性分析。
*
5
状态空间方法基础
• 在经典控制理论中，用传递函数来设计和分析
单输入、单输出系统。
• 在现代控制理论中，用状态变量来描述系统。
采用矩阵表示法可以使系统的数学表达式简洁 明了，为系统的分析研究提供了有力的工具。
*
6
一、状态空间的基本概念
状态：动力学系统的状态可以定义为信息的集合。
x 2
y (2)
x 1 x 2
所以
x
2
x3
x
3
x1
2x 2
3x3
r
X AX Br
*
19
0 1 0
0
其中
A
0
0
1
B
0
- 1 - 2 - 3
1
C 1 0 0
《自动控制原理》系统数学描述的两种基本类型
线性定常系统 在线性系统的状态空间表达式中，若系数矩阵 A(t), B(t),C(t), D(t)或 G(k), H (k),C(k), D(k) 的各元素都是常数，则称该系 统为线性定常系统，否则为线性时变系统。线性定常系统状态空间 表达式的一般形式为
.
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
应注意到在向量、矩阵的乘法运算中，相乘顺序不允许任意颠倒。
状态空间分析法 在状态空间中以状态向量或状态变量描述系 统的方法称为状态空间分析法或状态变量法。
状态空间分析法的优点是便于采用向量、矩阵记号简化数学描 述，便于在数字机上求解，容易考虑初始条件，能了解系统内部状 态的变化特性，适用于描述时变、非线性、连续、离散、随机、多 变量等各类系统，便于应用现代设计方法实现最优控制、自适应控 制等。
这里所谓的系统是指由一些相互制约的部分构成的整体，它可 能是一个由反馈闭合的整体，也可能是某一控制装置或受控对象。 本章中所研究的系统均假定具有若干输入端和输出端，如图9-1所 示。图中方块以外的部分为系统环境，环境对系统的作用为系统输
T
入，系统对环境的作用为系统输出；二者分别用向量u = [u1,u2 ,...,u p ] 和y = [ y1, y2 ,..., yq ] T表示 ，它们均为系统的外部变量。描述系统内部 每个时刻所处状况的变量为系统的内部变量，以向量 x = [x1, x2 ,..., xn ] T 表示。系统的数学描述是反映系统变量间因果关系和变换关系的一 种数学模型。
状态空间分析法
第9章 线性系统的状态空间分析与综合重点与难点一、基本概念1．线性系统的状态空间描述（1）状态空间概念状态 反映系统运动状况，并可用以确定系统未来行为的信息集合。
状态变量 确定系统状态的一组独立（数目最少）变量，它对于确定系统的运动状态是必需的，也是充分的。
状态向量 以状态变量为元素构成的向量。
状态空间 以状态变量为坐标所张成的空间。
系统某时刻的状态可用状态空间上的点来表示。
状态方程 状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量之间的数学关系，一般是关于系统的一阶微分（或差分）方程组。
输出方程 输出变量与状态变量、输入变量之间的数学关系。
状态方程与输出方程合称为状态空间描述或状态空间表达式。
线性定常系统状态空间表达式一般用矩阵形式表示：⎩⎨⎧+=+=DuCx y Bu Ax x (9.1) （2）状态空间表达式的建立。
系统状态空间表达式可以由系统微分方程、结构图、传递函数等其他形式的数学模型导出。
（3）状态空间表达式的线性变换及规范化。
描述某一系统的状态变量个数（维数）是确定的，但状态变量的选择并不唯一。
某一状态向量经任意满秩线性变换后，仍可作为状态向量来描述系统。
状态变量选择不同，状态空间表达式形式也不一样。
利用线性变换的目的在于使系统矩阵A 规范化，以便于揭示系统特性，利于分析计算。
满秩线性变换不改变系统的固有特性。
根据矩阵A 的特征根及相应的独立特征向量情况，可将矩阵A 化为三种规范形式：对角形、约当形和模式矩阵。
（4）线性定常系统状态方程解。
状态转移矩阵)(t φ（即矩阵指数Ate ）及其性质：(9.8)i ． I =)0(φii ．A t t A t )()()(φφφ== iii. )()()()()(122121t t t t t t φφφφφ±=±=+iv. )()(1t t -=-φφv. )()]([kt t k φφ=vi. )( ])exp[()exp()exp(BA AB t B A Bt At =+= vii. )( )ex p()ex p(11非奇异P P At PAPt P --= 求状态转移矩阵)(t φ的常用方法：拉氏变换法 =)(t φL －1])[(1--A sI （9.2）级数展开法+++++=k k At t A k t A At I e !12122 （9.3） 齐次状态方程求解 )0()()(x t t x φ= （9.4）非齐次状态方程式（9.1）求解⎰-+=tBu t x t t x 0d )()()0()()(τττφφ （9.5） （5）传递函数矩阵及其实现传递函数矩阵)(s G ：输出向量拉氏变换式与输入向量拉氏变换式之间的传递关系D B A sI C s G +-=-1)()( (9.6)传递函数矩阵的实现：已知传递函数矩阵)(s G ，找一个系统},,,{D C B A 使式（9.6）成立，则将系统},,,{D C B A 称为)(s G 的一个实现。
线性系统的状态空间分析法
第九章线性系统的状态空间分析法一、教学目的和要求通过学习，了解系统状态空间描述常用的基本概念，掌握线性定常系统状态空间表达式的建立方法。
二、重点状态空间分析的常用概念，根据系统机理建立状态空间表达式方法。
三、教学内容：以“经典控制的不足”为切入点引进线性系统的状态空间分析与综合。
1、系统数学描述的两种基本方法一种是外部描述。
一种是内部描述。
对比举例2、系统描述中常用的基本概念输入和输出、松弛性、因果性、线性、时不变形3、系统状态空间描述常用的基本概念状态和状态变量、状态向量、状态空间、状态轨迹、状态方程、输出方程、状态空间表达式、自制系统、线性系统、线性系统的状态空间表达式、线性定常系统、线性系统的结构图、状态空间分析法。
将概念讲解、举例、对比来加深理解。
4、举例熟悉对概念理解5、根据系统机理建立状态空间表达式方法步骤：①确定输入输出向量；②根据系统机理（电学、力学等）建立系统方程；③选择状态变量，根据方程建立状态方程；④列写输出方程；⑤将状态方程、输出方程变换为向量—矩阵形式。
举例：RLC网络（单输入-单输出）；机械位移系统（双输入-三输出）第一节 线性系统的状态空间描述一、教学目的和要求掌握线性定常系统状态空间表达式的建立方法。
二、重点由传递函数建立状态空间表达式 三、教学内容：1、由系统微分方程建立状态空间表达式方法（单输入-单输出） （1）系统输入量中不含倒数项。
()(1)(2)12100...n n n n n y a y a y a y a y uβ∙----+++++=式中y ,u 分别为系统的输出、输入量；0110,,...,,n a a a β-是由系统特性确定的常数。
由于给定n 个初值1(0),(0),...(0)yn y y - 及t ≧0的u （t ）时，可唯一确定t>0时系统得的行为，可选取n 个状态变量为(1),,...,12n x y x y x y n -===，故上式可化为12231 (011210)x xx xxx nn x a x a x a x un n n y xβ∙∙∙∙∙∙∙===-=----+-=再将上式写成向量-矩阵形式，并画出状态变量图。
状态空间分析法
·258·第9章 线性系统的状态空间分析与综合例题解析例9-1 对于图9-1所示的质量－弹簧系统，当外力F （t ）作用时，系统产生运动，质量及弹簧弹性系数见图示。
如不计摩擦，试：（1）以质量m 2的位移y (t )为输出，外力F (t )为输入，列写系统的运动方程； （2）求从F (s )到y (s )的传递函数； （3）以框图表示上述系统；（4）自选一定数目的状态变量，建立上述系统的状态方程和输出方程。
图9-1 质量－弹簧系统解：（1）设质量块m 1的位移为z ，根据牛顿定律有zm y z k t F 11)()(=-- 1) 同理对质量块m 2有y m y k y z k 221)(=-- 2) 联立式1）和2）消去中间变量ｚ，得出系统微分方程： )(])[(12121121)4(21t F k y k k ym k m k k ym m =++++ 3) (2) 对式3）进行拉氏变换可得212211214211])[()()(k k s m k m k k s m m k s F s Y ++++=4)·259·(3) 对式（1）进行拉氏变换可得 121`11)()()(k s m s F s Y k s Z +=+ 5) 同样处理式2)有21221)()(k k s m k s Z s Y ++=6) 由式5)，式6)可以画出系统结构图，如图9-2所示。
图9-2 系统结构图（4）设状态变量z x xz x ===211y x xy x ===433 由式1) x m k zx 112-== 11311)(m t F x m k ++ 由式2) 12132214x m kx m k k yx ++-== 因此有)(0010001000000011221221111t F m x m k k m k m k mk x⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--= []x y 0100=·260·例9-2 在图9-3所示系统中，若选取x 1，x 2 ，x 3作为状态变量，试列写其状态空间表达式，并写成矩阵形式.图9-3解： 由结构图可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=-+=-11313221)1()(2)3()2x y sx x x s s x x x s x u （整理可得系统状态空间方程表达式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+--==132.321.23.132232x y x x x u x x x x x写成矩阵的形式[]x y u x x 001020320032100=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=例9-3 设系统微分方程为u u u y y yy 1588147++=+++ 系统初始条件为零，试：（1）采用传递函数直接分解法，建立系统的状态空间表达式，并画出状态图； （2）采用传递函数并联分解法，建立系统的状态空间表达式，并画出状态图。
线性系统的状态空间分析
线性系统的状态空间分析及单极倒立摆摘要：线性系统的状态空间分析在20世纪50年代蓬勃兴起的航天技术的推动下,现代控制理论在上世纪60年代开始形成并得到了迅速的发展。
现代控制理论的重要标志和基础就是状态空间方法。
现代控制理论用状态空间法描述输入、状态、输出等各种变量间的因果关系。
不但反映系统输入与输出的外部特性，而且揭示了系统的内部结构特性，可以研究更复杂而优良的控制方法。
现代控制理论既适用与单变量控制系统，又适用于多变量控制系统，既可以用于线性定常系统，又可用于线性时变系统，还可以用于复杂的非线性系统。
倒立摆控制系统虽然作为热门研究课题之一，但见于资料上的大多采用现代控制方法，本课题的目的就是要用经典的方法对单级倒立摆设计控制器进行探索。
本文以经典控制理论为基础，建立小车倒立摆系统的数学模型，使用PID控制法设计出确定参数(摆长和摆杆质量)下的控制器使系统稳定，并利用MATLAB软件进行仿真。
一．系统状态空间描述常用的基本概念1. 状态和状态变量系统在时间域中的行为或运动信息的集合称为状态。
确定系统状态的一组独立（数目最小）的变量称为状态变量。
只要知道某一初始时刻t0时的一组状态变量的值，并且知道从这一初始时刻起（t≥t0）的输入变量，则系统中的所有状态（或变量）在此刻及以后的数值或变化情况都能惟一确定，这就是“确定系统状态”的含义。
在输入已知时，为了确定系统未来的运动状态，一组状态变量的初值是必要而且是充分的。
或者说，状态变量是既足以完全确定系统运动状态而个数又最小的一组变量。
用n阶微分方程描述的n阶系统，状态变量的个数是n。
对于物理系统，状态变量的个数就是系统中独立储能元件的个数。
一个系统中选取哪些变量作为状态变量并不是惟一的。
状态不一定是可测量的物理量，有时也可能是只具有数学意义而没有物理意义。
对于n阶系统，找到n 个相互独立的变量就可以构成一组状态变量。
但在工程实践中应当优先选取容易测量的物理量作为状态变量，因为在系统设计中要用状态变量作反馈量。
考研必备之自动化专业 自控原理 第九章 状态空间分析法答案-计算题
9.3.5 计算和证明题9.3.5.1 已知机械系统如图9-7所示，21,m m 为质量块，1m 受外力)(t F 作用。
弹簧的弹性系数如图示，如不计摩擦，自选一定数目的状态变量，建立系统的状态空间描述。
图9-7 题9.3.5.1图提示：设中间变量质量块1m 的位移为z ，根据牛顿定律有z m y z k t F 11)()( ①同理对质量块2m 有y m y k y z k 221)( ②设状态变量z x 1 12x z x y x 3 34x y x由式① 13111112)(m t F x m k x m k z x由式② 32211214x m k k x m k y x因此有)(001000100000001143212212111114321t F m x x x x m k k m k m k m k x x x x43210100x x x x y 9.3.5.2 已知系统结构图如图9-8所示。
试写出系统的状态方程和输出方程（要求写成矢量形式）。
y 图 9-8 题9.3.5.2图提示： xy u x x 011012129.3.5.3 已知系统的微分方程，试建立其相应的状态空间描述，并画出相应的状态结构图。
（1）u u u y y y y 86375 （2）u u u y y y y 23375提示：（1） x u x x 168100573100010 y ，状态结构图略 （2） ux u x x54110057310001y ，状态结构图略。
9.3.5.4判断下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A 阵。
（1）t t t t t sin cos 0cos sin 0001)(Φ （2）tt e e t 220)1(211)(Φ 提示：（1）不是状态转移矩阵，因为I )0(Φ。
（2）是。
2010)(0t t A Φ 9.3.5.5 线性系统u x x101000 ，11)0(x ，在单位阶跃输入时系统的响应x (t)。
线性系统的状态空间分析与综合
线性系统的状态空间分析与综合第九章线性系统的状态空间分析与综合⼀、教学⽬的与要求：通过本章内容的学习，使学⽣建⽴起状态变量和状态空间的概念，掌握线性定常系统状态空间模型的建⽴⽅法，状态空间表达式的线性变换，状态完全能控或状态完全能观测的定义，及其多种判据⽅法，状态转移矩阵的求法，传递函数矩阵与状态空间表达式的关系。
⼆、授课主要内容：1．线性系统的状态空间描述2．线性系统的可控性与可观测性3．线性定常系统的状态反馈与状态观测器（详细内容见讲稿）三、重点、难点及对学⽣的要求（掌握、熟悉、了解、⾃学）1.重点掌握线性定常系统状态空间模型的建⽴⽅法与其他数学描述（微分⽅程、传递函数矩阵）之间的关系。
2.掌握采⽤状态空间表述的系统运动分析⽅法，状态转移矩阵的概念和求解。
3.掌握系统基本性质——能控性和能观测性的定义、有关判据及两种性质之间的对偶性。
4.理解状态空间表达式在线性变换下的性质，对于完全能控或能观测系统，构造能控、能观测标准形的线性变换⽅法，对于不完全能控或不完全能观测系统，基于能控性或能观测性的结构分解⽅法。
5.掌握单变量系统的状态反馈极点配置和全维状态观测器设计⽅法，理解分离定理，带状态观测器的状态反馈控制系统的设计。
重点掌握线性系统的状态空间描述和求解，线性系统的可控性与可观测性及状态反馈与状态观测器。
四、主要外语词汇线性系统 linear system状态空间 state space状态⽅程 state equation状态向量 state vector传递函数矩阵 translation function matrix状态转换矩阵 state-transition matrix可观测标准形 observational standard model可控标准形 manipulative standard model李亚普诺夫⽅程Lyaponov equation状态观测器 state observation machine对偶原理 principle of duality五、辅助教学情况（见课件）六、复习思考题1．什么是系统的状态空间模型？状态空间模型中的状态变量、输⼊变量、输出变量各指什么？2．通过机理分析法建⽴系统状态空间模型的主要步骤有哪些？3．何为多变量系统？如何⽤传递矩阵来描述多变量系统的动态特性？在多变量系统中，环节串联、并联、反馈连接时，如何求取总的传递矩阵？4．试简述数学模型各种表达式之间的对应关系。
第九章 状态空间分析方法基础.ppt
上一页 下一页
§9-1 控制系统的状态空间描述
的、液压的、热力的等等。根据其物理定律，如基尔霍夫定 律、牛顿定律、能量守恒定律、热力学定律等，即可建立系统 的状态方程；当指定系统的输出后，可写出系统的输出方程。
3)利用输出反馈和调整系统的开环增益，只能使闭环极点沿 着一定得根轨迹移动，而利用状态反馈能使闭环系统任意配置 极点。这说明，状态反馈比一般的输出反馈对系统性能的综合
上一页 下一页
§9-6 状态反馈与状态观测器
更为方便。但在实际上实现起来，状态反馈比输出反馈要来的 复杂。
4)对单输入单输出系统，在一般情况下，利用状态反馈使闭 环系统极点与又性能指标给出的希望极点相一致的方法，以达 到改善系统性能的目的，是行之有效的。但状态反馈只能改变 极点的位置，却不能改变系统极点的个数和系统零点的位置， 有时单靠状态反行综合。
上一页 返回
§9-3 线性离散系统状态空间表达式
一、线性离散系统的状态空间表达式 线性定常离散系统状态空间表达式的结构图如图9-16所
示。 二、线性定常离散系统状态方程的解
1.迭代法求解 迭代法是一种递推的数值解法，其思路是：利 用初始时刻t0=0(即k=0)时的x(0)和u(0)求x(1)；再根据求出的 x(1)和给定的u(1)求x(2)；如此逐步迭代，即可求得所需的 x(k)。此法适于在计算机上求解。
上一页 下一页
§9-1 控制系统的状态空间描述
1.系统状态空间表达式的非唯一性 2.系统特征值的不变性及系统的不变量 对线性定常系统， 系统的特征值决定了系统的基本特性。 3.化状态方程为对角线规范型 化状态方程为某种形式的规 范型，是通过非奇异变化来实现的，所以求取该非奇异变化矩 阵是解决状态方程转化为某些规范型的关键。 4.化状态方程为约当规范型 五、状态空间表达式与传递函数阵间的变换
线性系统的状态空间分析法
e(t)
1/L
x1
x1 x2
x2
e0 (t )
1/C
-R/L -1/LC
解法2.
选取 则有
x1 i
x2 idt
x 1
R L
x1
1 LC
x2
1 L
e(t)
x 2 x1
x 1
x
2
1RL
1
LC 0
b0 - an
- an-1
-a2
x1
-
a1
x
2
xn
x1
b0u bn
bn-1
b1
x2
xn
在 一 般 情 况 下b0 0则 得 到
x1
y bn
bn-1
b1
x2
xn
y cx
输出方程
0 1 0 0
A
0
0 1 0
- a n
an1
a1
0
B
0
1
系统矩阵
输入矩阵
C [1 00] 输出矩阵
状态变量图
u
+
Xn
Xn-1
-a1 -a2
-an-1
X2
X1=y
-an
例1.设控制系统的运动方程为 y(2) 3 y 2 y u
试写出该系统的状态空间表达式。方框图如下：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
e(t)
1
e0(t) C
idt
1 C
x2
0
1 C
x1 x 2
e(t) 1/L
+
x1
x x 1
1/C 2
x2 e0(t)
-R/L -1/LC
解法3.选取
x
1
i
1
x2 C idt
则有
x1
R L
x1
1 L
x2
1 L
e(t)
x2
1 C
x1
x1
x2
1RL
C
1 L 0
x1 u x2 x1 x2 x3 x2 2 x2 8 x3 x1 x2 8 x3 y x3 2 x3 x1 x2 6 x3
则 选 取 的 状 态 变 量 为:
x1 y
x2
x1
u
x3 x2 5u
即：
x1 x2 u
x2
x3
5u
x3
8
x2
9
x3
38u
x1 0
x2
0
x3 0
y 1 0
1 0 x1 1
0
1
x
2
5u
- 8 - 9 x3 38
x1
0
x
2
x 3
例2. 写出下图所示系统的状态空间表达式，
R(S) +
1
Y(S)
_
s(s1)(s2)
1
解: Y(s) s(s 1)(s 2)
1
R(s) 1
1
s3 3s2 2s 1
s(s 1)(s 2)则Biblioteka y(3) 3y (2) 2y y r
取 所以
x
1
x 2
y x1
y
x
3
x2
y (2)
x1 x2 x2 x3 x3 x1 2x2 3x3 r
x2
0u
x3 0 8 9 x3 1
x1
y 4
4
1
x2
x3
（2）并联程序法 parallel program method
由传递函数化为部分分式后画出状态变量图， 再由状态变量图写出状态空间表达式。
部分分式的基本单元为
X(s) 1 U(s) s a 利 用 直 接 程 序 法 ， 将 此单 元 画 为
由传递函数直接画出状态变量图，再由状态 变量图直接写出状态空间表达式
Y(s) s2 4s 4 G(s) U(s) s3 9s2 8s
Y (s) s1 4s2 4s3
U(s)
1 9s1 8s2
U(s) E(s) 1 9s1 8s2 E(s) U(s) 9s1E(s) 8s2E(s)
b0 0 b1 1 b2 4 b3 1
x1 0 1 0 x1 0
x2
0
0
1
x
2
0u
x3 0 8 9x3 1
x1
y 1
4
1
x2
x3
4
x3
u
x2
1
x1
y
-9
-8
四.由传递函数建立空间表达式
Z(s)
1
U(s) s n a1 s n1 an1 s an
x1(s) z(s)
第九章 线性系统的状态空间分析法
$1 线性定常系统的状态空间描述
一.基本概念 1.状态: 系统的运动状态。 2.状态变量: 决定控制系统状态的变量。 3.状态向量: 4.状态空间:
二.状态变量的选取
设 在时 间间 隔[t0 , T]作 用到 被控 过程p 的 作用 函数 向量U为 已知,为 该被 控过 程选 取 向量X(t0 ),如 果向 量X(t)(t t0 )唯 一地 由 向量X(t0 )及U(t0 , T)所 确定 则向 量X(t)便 可 以选 作被 控过 程P的 状态 向量.它 的各 个 分 量X1(t ), X 2(t), , X n (t)便 是 状 态 向 量 。
画出状态变量图。
r
+
-
s 6 11
s6
11 s2
y
解:
Y(s) R(s)
s 6 11
s6
11 s2
6
1
s 11
s6
11 s2
s3
11s 6 6s2 11s
6
y 6y 11y 6y 11r 6r a1 6 a2 11 a3 6 b0 b1 0 b2 11 b3 6
选取 则有
x1 y - b0r x2 x1 h1r x3 x2 h2r
X (s) 1 bs1
U(s)
U (s) 1 as1 E(s) 1 as1
E(s) U(s) - as-1E(s)
X (s) E(s) bs1E(s)
x x
b
u
y
-a
Y(s) s2 4s 4
(s 2)2
U (s) s3 9s2 8s s(s 1)(s 8)
1• s2• s2 s s1 s8
U(s)
1 sn a1sn1 an1s an
Z(s)
Y(s)
b0sn b1sn1 bn1s bn
Z(s)
1
U(s) sn a1sn1 an1s an
(1)
Y(s) Z(s)
b0
s
n
b1sn1
bn1s bn
(2)
由以上二式得
snz(s) a1sn-1z(s) a2sn-2z(s) an-1sz(s) anz(s) u(s)
X AX BU
x1 y b0u
y
CX
DU
x 2 x1 h1u
x1 x 2 h1u x2 x 3 h 2u
x n xn1 h n1u xn x n1 h n u
即 X AX Bu
其中
0 1 A - 2 - 3
0
B
1
y
e0
1
0xx
1 2
而 y CX
C 1 0
Y (s) (s1 4s2 4s3 )E(s)
u( s )
x3
E(s)
s 1 E ( s )
9
x2
s2 E(s)
4 x1 4
s3 E(s)
y(s)
8
x1 x2 x2 x3 x3 8 x2 9 x3 u y 4 x1 4 x2 x3
x1 0 1
x2
0
0
0 x1 0
1
解: 选取 x1 y
x2 x1 y
则有 x1 x 2
x2 2x1 3x2 u
x1
x2
-
0 2
-
1 x1
3
x
2
0
1
u
即 X AX Bu
其中
A
0 - 2
1
-
3
B
0
1
y
CX
1
0
x x
1 2
C 1 0
例2.设某控制系统的方框图如下,
试写出该系统的状态空间表达式。
三.由微分议程建立状态空间表达式.
1.作用函数不含导数项时的n纪念阶线性系 统的状态空间表达式
.
y(n) a1y (n1) an1 y an y u
选取
x1 y x 2 y x1 x n y (n1) xn1
.
则有
x Ax Bu 状态方程
y cx
输出方程
0 1 0 0
A 0 0 1 0
z(n) a1z(n-1) an-1z anz u
(3)
y(s) b0snz(s) b1sn-1z(s) bn-1sz(s) bnz(s)
y b0z(n) b1z(n-1) bn-1z bnz
(4)
x1 z
x2 x1 z
对(3)选取
(5)
xn-1 xn-2 z(n2)
0
B
1
y
e0
1
0
x x
1 2
而 y CX
C 1 0
e(t)
1/L
x1
x1 x2
x2
e0 (t )
1/C
-R/L -1/LC
解法2.
选取 则有
x1 i
x2 idt
x1
R L
x1
1 LC
x2
1 L
e(t)
x2 x1
x1 x2
1RL
1
LC 0
x1 x 2
1
L 0
X AX Br
0
其中
A
0
-1
1 0 0 1 - 2 - 3
0 B 0
1
C 1 0 0
x1
y
CX
1
0x
2
x 3
例3.设有一RLC网络, 试写出该网络的状态
方程及输出方程。在e(t )的作用下，网络的 回路方程为：
e(t )
Ri
L
di dt
1 c
i(t )dt
R
L
e(t)
C e0 (t)
h1 b1 - a1b0 0 h2 (b2 - a2b0 ) - a1h1 11 0 11 h3 (b3 - a3b0 ) - a2h1 - a1h2 -60
xx12
x2 x3
h1r h2r
x3
6
x1
11x2
6x3
h3r
因此选
x1 y
x2
x1
h1r
x3
x2
h2r
x1 0 1 0 x1 0
xn xn-1 z(n1)
x1
x2