3.10晶格的状态方程和热膨胀
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固体物理-热膨胀
0
T A , r r0
两原子间距不变，无热膨胀现象
U(r)
R
0 r
（2）非简谐效应 （保留到第三项）
1 2U 2 1 3U 3 U ( R0 ) U ( R0 ) 2 3 2 ! R R 3 ! R R
B
e u kBT d
e
u kBT
d
e
( c 2 g 3 ) kBT
d
g kBT kBT c
5/ 2
3 π 4 Biblioteka 12e
( c g ) kBT
2 3
d
πk BT c
与温度有相似的规律
V
KVm
CV ,m
（书中公式7.2-17）
γ,格临爱森常数，1~3; K,体积模量，N/m2
（4）热膨胀与其他物理性能的关系
膨胀系数越大，德拜温度越__. 膨胀系数越大，硬度越__. 碱金属与过渡族金属相比，谁的膨胀系数 更大？
下节课内容
•简要介绍热传导 •习题课
补充： 晶体的状态方程推导热膨胀
3 g 2 kBT 4c
在非简谐效应下，有热膨胀现象。
e
u kBT
d
e
( c 2 g 3 ) kBT
d
e
c 2 / kBT
e
g 3 / kBT
d
e
c
2
g 3 k BT 1 d k T B
热膨胀和其他物理性能的联系 势能曲线的不对称程度越高，热膨胀越----，而不对 称程度随偏离简谐振动程度的增加而增加。 （1） 化学键型 化学键的键强越大，膨胀系数越小。
T A , r r0
两原子间距不变，无热膨胀现象
U(r)
R
0 r
（2）非简谐效应 （保留到第三项）
1 2U 2 1 3U 3 U ( R0 ) U ( R0 ) 2 3 2 ! R R 3 ! R R
B
e u kBT d
e
u kBT
d
e
( c 2 g 3 ) kBT
d
g kBT kBT c
5/ 2
3 π 4 Biblioteka 12e
( c g ) kBT
2 3
d
πk BT c
与温度有相似的规律
V
KVm
CV ,m
（书中公式7.2-17）
γ,格临爱森常数，1~3; K,体积模量，N/m2
（4）热膨胀与其他物理性能的关系
膨胀系数越大，德拜温度越__. 膨胀系数越大，硬度越__. 碱金属与过渡族金属相比，谁的膨胀系数 更大？
下节课内容
•简要介绍热传导 •习题课
补充： 晶体的状态方程推导热膨胀
3 g 2 kBT 4c
在非简谐效应下，有热膨胀现象。
e
u kBT
d
e
( c 2 g 3 ) kBT
d
e
c 2 / kBT
e
g 3 / kBT
d
e
c
2
g 3 k BT 1 d k T B
热膨胀和其他物理性能的联系 势能曲线的不对称程度越高，热膨胀越----，而不对 称程度随偏离简谐振动程度的增加而增加。 （1） 化学键型 化学键的键强越大，膨胀系数越小。
第3章 晶格振动与晶体的热学性质
温度较低: 热运动较弱——在平衡位置附近微振动,平衡位
置是晶格格点,所以称为晶格振动； 晶格振动是原子的热运动，对晶体的热学性能 起主要贡献。
温度较高:
热运动较强——少数原子脱离格点－ 热缺陷； 热运动很强——整个晶体瓦解，溶解。
温度很高:
晶格振动的研究 —— 晶体的热学性质
固体热容量 ——是晶体热运动宏观性质的表现
系统有N个原胞
第2n+1个M原子的方程
第2n个m原子的方程 —— N个原胞，有2N个独立的方程
方程解的形式
—— 两种原子振 动的振幅A和B一 般来说是不同的
第2n+1个M原子
第2n个m原子
方程的解
—— A、B有非零的解，系数行列式为零
—— 一维复式晶格中存在两种独立的格波
—— 声学波
—— 光学波
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
平衡位置时，两个原子间的互作用势能 发生相对位移 后，相互作用势能
—— 常数
—— 平衡条件
简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项
相邻原子间的作用力
dU f d
—— 恢复力常数
原子的运动方程:
—— 只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力
1
声子:晶格振动中格波的能量量子 声子这个名词是模仿光子而来（因为电磁波也 是一种简谐振动）。声子与光子都代表简谐振 动能量的量子。所不同的是光子可存在于介质 或真空中，而声子只能存在于晶体之中，只有 当晶体中的点阵由于热激发而振动时才会有声 子，在绝对零度下，即在OK时，所有的简正模 式都没有被激发，这时晶体中没有声子，称之 为声子真空。声子与光子存在的范围不同，即 寄居区不同。
置是晶格格点,所以称为晶格振动； 晶格振动是原子的热运动，对晶体的热学性能 起主要贡献。
温度较高:
热运动较强——少数原子脱离格点－ 热缺陷； 热运动很强——整个晶体瓦解，溶解。
温度很高:
晶格振动的研究 —— 晶体的热学性质
固体热容量 ——是晶体热运动宏观性质的表现
系统有N个原胞
第2n+1个M原子的方程
第2n个m原子的方程 —— N个原胞，有2N个独立的方程
方程解的形式
—— 两种原子振 动的振幅A和B一 般来说是不同的
第2n+1个M原子
第2n个m原子
方程的解
—— A、B有非零的解，系数行列式为零
—— 一维复式晶格中存在两种独立的格波
—— 声学波
—— 光学波
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
平衡位置时，两个原子间的互作用势能 发生相对位移 后，相互作用势能
—— 常数
—— 平衡条件
简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项
相邻原子间的作用力
dU f d
—— 恢复力常数
原子的运动方程:
—— 只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力
1
声子:晶格振动中格波的能量量子 声子这个名词是模仿光子而来（因为电磁波也 是一种简谐振动）。声子与光子都代表简谐振 动能量的量子。所不同的是光子可存在于介质 或真空中，而声子只能存在于晶体之中，只有 当晶体中的点阵由于热激发而振动时才会有声 子，在绝对零度下，即在OK时，所有的简正模 式都没有被激发，这时晶体中没有声子，称之 为声子真空。声子与光子存在的范围不同，即 寄居区不同。
3.3状态方程、热膨胀、热传导
nj 1 2 j Z j exp kBT n j 0
j exp 2k BT j 1 exp k T B
j exp 2k BT 系统的总配分函数： Z Z j j j j 1 exp k T B
d ln j dU 1 Ej dV V j d ln V
其中
1 Ej j 2
d ln j d ln V
exp 1 kBT
j j
是表征频率随体积变化的量，设与j无关。
dU E 晶格状态方程： p dV V d ln —— Grü neisen const. d ln V
d j dU F p dV j dV V T j 2 exp 1 k BT dU 1 1 V dj j j dV V j 2 j j dV exp 1 k BT
u(r)
du f dr
较大
0
r0
r
du 向左运动： dr
du 向右运动： dr
较小
以双原子链为例：
双原子链的振动频率,设相邻原子间的距离为a
mM 只有β依赖于链的长度2Na（链的长度相当于三维晶格的体积V）， 所以，上式两边求对数，并对ln(2Na)求微商得到
d ln 1 d ln 1 d ln [ ] , d ln(2 Na ) 2 d ln(2 Na ) 2 d lna d 2V (r ) (a) β实际是相邻原子势能的二次微商系数 ( ) V dr 2 (a) aV β代入γ得到 2V (a)
晶格振动与晶体的热学性质
q1
2 1
2a
q2
2 2
5
2a
q2
q1
2
a
三、周期性边界条件（Born－Karman边界条件）
N+1
12
n
N N+2 N+n
N n
n
Aeit N naq Aeitnaq
eiNaq 1 ei2h 1
q 2 h
Na
h =整数
在q轴上，每一个q的取值所占的空间为 2
Na
q的分布密度：
q Na L
q0时
2
M
Mm
m
1
1
4
M
Mm m
2
sin
2
1 2
aq
M
m
1
Mm
1
4Mm
M m2
1 2
aq2
2
M
Mm
m
2Mm
M m2
1 2
aq
2
2
M m
1 2
aq
2
1 2
a
2 q q
M m
这与连续介质的弹性波 ＝vq 一致
当q0时
n n
q0
1
在长波极限下，原胞内两种原子的运动完全一致，振
M 2 m2 2Mm cosaq
i 1 aq
M
2
2m
cos
1 2
aq
e
2
m2 2Mm cosaq
M
m
Rei
1 aq
2
即：
2 2
－在Ⅰ、Ⅳ象限，属于同位相型
物理图象：原胞中的两种原子的振动位相基本相同，原胞 基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原 子基本上无相对振动。
晶格状态方程和热膨胀
由热力学知，压强P、熵S、定容比热CV和自由能F之间的关系为：
F U TS
dF PdV SdT
P F V T
S F T V
CV
T
S T
V
自由能F(T，V)是最基本的物 理量,求出F(T，V)，其他热力
学量或性质就可以由热力学关 系导出。
T=0时晶格的结合能
由晶格振动决定
相同。
表示频率为i的格波在温度T时的平均能量，而
d lni ,
d lnV
由于一般情况下， V ,
所以 0
是与晶格的非线性振动有关与i无关的常数，称为格林艾森数。
P dU 1
dV T V
i
Ei
dU dV T
E V
,
§8 晶格状态方程和热膨胀
P dU E ,
dV T V
U(R0 ) c 2 g 3
eu kBT d
e d u kBT
eu kBTd
e d
( c 2 g 3 ) kBT
g kBT 5 / 2 3 π kBT c 4
e d (c 2 g 3 ) kBT
πkBT 1 2 c
3g 4 c2
kBT
在非简谐效应下，有热膨胀现象。
K
1
dV
V dE E dV
dT dT
CV
E
dV
V0 dT
V2
V V 2 dT
上式等号右边第二项是非常小的量可略去，所以
K CV ,其中 1 dV 是膨胀系数 。
V
V0 dT
VK
CV
格律乃森定律
用简谐近似理论不能解释晶体的热膨胀现象。
§8 晶格状态方程和热膨胀
计算晶格能的公式
计算晶格能的公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：晶格能是固体材料中一种非常重要的物理量，它是描述固体内部晶格结构稳定性的一个重要参数。
在固体物理学中，晶格能通常用于描述晶体中原子或离子之间的相互作用力强度，是一个评价固体结构稳定性和形变行为的重要指标。
晶格能的计算方法有多种，其中一种常用的方法是利用电子结构理论和分子动力学模拟来计算固体的晶格能。
在电子结构理论中，晶格能可以通过计算晶体中原子或离子之间相互吸引或排斥的相互作用力来获取。
具体而言，电子结构理论将固体中的原子或离子看作是受到外部势场影响的粒子，通过计算这些粒子之间相互作用的库伦势和交换-相关能来得到晶格能。
晶格能的计算公式通常可以表示为以下形式：\[E_{\text{总}} = E_{\text{能带}} + E_{\text{核}} + E_{\text{排斥}}\]\(E_{\text{总}}\)表示晶格的总能量，\(E_{\text{能带}}\)表示晶格中电子的能带结构对晶格能的贡献，\(E_{\text{核}}\)表示核之间的库伦势能和交换-相关能对晶格能的贡献，\(E_{\text{排斥}}\)表示晶格中原子或离子之间的排斥力对晶格能的影响。
在实际计算中，通常会采用密度泛函理论（DFT）来计算固体的晶格能。
密度泛函理论是一种基于量子力学原理的电子结构计算方法，通过求解固体中电子的薛定谔方程来得到晶格的总能量。
在密度泛函理论中，采用交换-相关泛函来描述电子之间的交换和相关作用，从而得到晶体的总能量。
分子动力学模拟也是一种常用的计算晶格能的方法。
通过分子动力学模拟，可以模拟固体中原子或离子的运动行为，通过计算原子或离子之间的相互作用力和位移来得到晶格的总能量。
分子动力学模拟可以更直观地模拟固体内部的结构和性质，对于探索固体的晶格能具有重要意义。
计算晶格能是一个复杂而重要的问题，涉及到多种物理量和计算方法。
通过电子结构理论、密度泛函理论和分子动力学模拟等方法，我们可以得到固体的晶格能，从而进一步了解固体结构的稳定性和性质。
晶格振动 (5.热膨胀)
r r0
e
e
f 2 k BT
d
f 2 k BT
d
g k BT
e
e
f 2 k BT 4 f 2 k BT
d
d
• 于是得 • 其中
3 g 1 r r0 k T r0 kT 2 B 2 B 4 f 2
i B
ln i ln V • Grueneisen假定这是一个对所有的振动都相同 的与温度无关的常数(Grueneisen常数) • 于是压强为
U (V ) p V V i 1 2 i ei / kBT 1 i
• 即得Grueneisen状态方程
r0
• 简谐近似下，平均间距不随温度变化
• 如果用非简谐近似
U (r ) f g
2
3
1 d 2U f; 2 2 dr 0
U ( ) / k BT 0
1 d 3U g 3 6 dr 0
r e r e
d
U ( ) / k BT
非谐
简谐
r0
r
E (T )
非谐平均位置
热膨胀定量计算
• 考虑一维原子链。如果两个原子的间距为r， 根据玻尔兹曼统计，温度T时原子的能量分布 为
e
U ( r ) / k BT
• 那么两个原子之间的平均间距为
r
re U ( r ) / k T dr
B
e U ( r ) / k T dr
1 p 1 E B T V B T V CV cV BV B
第9讲晶格的热膨胀和热传导2
1 2
d
d ln β
ln
(
2 Na )
=
−
1 2
d ln β d ln a
(3-164)
格临爱森常数为
β
=
d 2V (r )
dr 2 a
= V(a)
2
γ
=
aV( a ) − V(a)
(3-165)
考虑到晶格势能的展开式
V (r ) = V (a + δ ) = V (a) + 1 V(a)δ 2 + 1 V(a)δ 3 + ⋅⋅⋅
∑j
n
j
+
1 2
=ω
j
j 标志各不同格波，nj 为相应的量子数。配分函数 Z 包括系统的所有量子态，因此应分别对
每个 nj ＝1, 2, …相加，从而得到
∏ ∑ ∏ Z = e−U kBT
e e =e ( ) −
1 2
=ω j
kBT
∞ −n j =ω j kBT
−U kBT
j
nj =0
j
e (−
p
=
−
∂F ∂V
T
写出晶格的状态方程，温度 T 不变
格临爱森假设
∑ p = − dU − dV
j
1 2
=
+
e=ω j
=
kBT
dωj −1 dV
上式包含了各振动频率对体积 V 的复杂的依赖关系，格临爱森针对这种情况，提出了一个
有用的近似，首先将上式写成
∑ p = − dU − dV
j
1 2
第九讲：晶格的热膨胀和热传导
如果已知晶体的自由能函数 F(T,V), V 为晶体体积，就可以根据
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
3
杜隆—珀替定律
模型处理方法：把固体中的原子看成一组互相独立 的振子来处理，应用能量均分定理。设固体中有N个 原子，则晶体平均能量为： E = 3 Nk BT 则由热学知识可得：
⎛ ∂E ⎞ ⎟ = 3 Nk B CV = ⎜ ⎜ ∂T ⎟ ⎠V ⎝
N＝6.023×1023，则摩尔比热CV＝24.9J/k•mol
即 h 只取N个不同的值。因此，由一维单原子组成的一维 晶格，q只能取N个不同的值。 格波数：一维单原子晶体，一个q只对应一个格波。q取N 个不同的值，对应N个
ω，因此，独立自由度数。
28
• 色散关系
把u n
••
= Ae
− i ( qna − ω t
miμi =
∑
3N
j =1
a ij Q
j
1 3N •2 T = ∑ Qi 2 i =1
1 3N 2 2 V = ∑ ω i Qi 2 i =1
15
由分析力学的一般办法，由动能和势能可以直接写出拉 格朗日函数
L = T −V
∂ Qi
Pi = ∂L
•
得到正则动量 : 哈密顿量可写成 :
可取之处：获得低温段CV～T3的规律。
6
绝热近似
固体是由大量原子组成的，原子又由价电子和离子组成，所 以固体实际上是由电子和离子组成的多粒子体系。由于电子之 间、电子与离子以及离子之间的相互作用，要严格求解这种复杂 的多体总量是不可能的。但注意到电子与离子的质量相差很大， 离子的运动速度比电子慢得多，可以近似地把电子的运动与离子 的运动分开来考虑，这种近似方法称为绝热近似，即：
第三章 晶格振动与晶体热学性质 lattice vibration and heat property
杜隆—珀替定律
模型处理方法：把固体中的原子看成一组互相独立 的振子来处理，应用能量均分定理。设固体中有N个 原子，则晶体平均能量为： E = 3 Nk BT 则由热学知识可得：
⎛ ∂E ⎞ ⎟ = 3 Nk B CV = ⎜ ⎜ ∂T ⎟ ⎠V ⎝
N＝6.023×1023，则摩尔比热CV＝24.9J/k•mol
即 h 只取N个不同的值。因此，由一维单原子组成的一维 晶格，q只能取N个不同的值。 格波数：一维单原子晶体，一个q只对应一个格波。q取N 个不同的值，对应N个
ω，因此，独立自由度数。
28
• 色散关系
把u n
••
= Ae
− i ( qna − ω t
miμi =
∑
3N
j =1
a ij Q
j
1 3N •2 T = ∑ Qi 2 i =1
1 3N 2 2 V = ∑ ω i Qi 2 i =1
15
由分析力学的一般办法，由动能和势能可以直接写出拉 格朗日函数
L = T −V
∂ Qi
Pi = ∂L
•
得到正则动量 : 哈密顿量可写成 :
可取之处：获得低温段CV～T3的规律。
6
绝热近似
固体是由大量原子组成的，原子又由价电子和离子组成，所 以固体实际上是由电子和离子组成的多粒子体系。由于电子之 间、电子与离子以及离子之间的相互作用，要严格求解这种复杂 的多体总量是不可能的。但注意到电子与离子的质量相差很大， 离子的运动速度比电子慢得多，可以近似地把电子的运动与离子 的运动分开来考虑，这种近似方法称为绝热近似，即：
第三章 晶格振动与晶体热学性质 lattice vibration and heat property
第三章晶格动力学和晶体的热学性质
a
q
a
固体物理学
晶格动力学和晶体的热学性质
这就避免了某一频率的格波有很多波长与之对 应的问题。
这种性质称作格波的简约性。一维单原子链的倒格矢：
2 Gn n a
1 4a
4 2 a 5
q1
2
1 2a 2 5 q2 2 2a
信息科学与工程技术学院
相当于把相邻原子间的相互作用力看作是正比于 相对位移的弹性恢复力。
d 2V 2 β称为恢复力常数 dr a
信息科学与工程技术学院
固体物理学
晶格动力学和晶体的热学性质
如只考虑最近邻原子间的相互作用，第 n 个原 子受到的力：
f n f1 f 2 n n 1 n n 1 n 1 n 1 2n
信息科学与工程技术学院
固体物理学
晶格动力学和晶体的热学性质
解:设最近邻原子间的恢复力系数为，则:
m xn x n x n1 x n x n1 i t naq
..
xn Ae
将试探解代入振动方程得色散关系:
aq 2 sin m 2
2 如： ma na l ,(m, n, l 都是整数）。 q
有：
um A exp i t maq A exp i t naq exp(i 2 l ) A exp i t naq un
1
该解表明：晶体中所有原子共 同参与的振动，以波的形式在
Ae
i t N n aq
Ae
i t naq
即： e
iNaq
3.9-晶格振动模式密度、状态方程和热膨胀
§3-9 晶格振动模式密度
为了准确地求出晶格热容以及它与温度的 变化关系, 必须用较精确的办法计算出晶 格振动的模式密度（也称频率分布函数）
原则上, 只要知道了晶格振动谱 ωj(q), 就知道了 各个振动模的频率, 也就知道了模式密度函数 g(ω)
一般来说, ω与 q 之间的关系是复杂的, 除非在一些特殊情况下, 得不到 g(ω) 的
aq
1/
2
aq n , n 取 N / 2 与 N / 2 间的整数值
N
其中只有前面的β依赖于链的长度 2Na
上式两边求对数, 并对 ln(2Na) 求微商, 得到
－ d
d ln
ln(2Na)
1 2
d
d ln
ln(2Na)
1 2
d ln
d ln a
从原子相互作用势能的展开式, 可以看到, β 实际是相邻原子势能的二次微商系数
§3-9 晶格振动模式密度 小结
模式密度的一般公式 几种特例：
g
()＝
V
(2
)3
|
dS
(q)
|
q
一维单原子链
Debye模型 平方型色散关系
g()＝2N
m2 2
1 2
g()
V
2 2c3
2
g(
)＝
V
(2
)2
1 c3/ 2
1/ 2
§3-10 晶格的状态方程和热膨胀
1. 晶格状态方程
如果已知晶体的自由能函数 F(T,V), V 为晶体的
解析表达式, 因而往往要用数值计算
铜 晶 体 的 模 式 密 度
实际的晶体的模式密度与 Debye 近似下的模式 密度，除在低频极限以外，存在一定差别 这说明为什么 Debye 热容理论只是在及低温下才 是严格正确的, 因为此时只有低频振动模有贡献
为了准确地求出晶格热容以及它与温度的 变化关系, 必须用较精确的办法计算出晶 格振动的模式密度（也称频率分布函数）
原则上, 只要知道了晶格振动谱 ωj(q), 就知道了 各个振动模的频率, 也就知道了模式密度函数 g(ω)
一般来说, ω与 q 之间的关系是复杂的, 除非在一些特殊情况下, 得不到 g(ω) 的
aq
1/
2
aq n , n 取 N / 2 与 N / 2 间的整数值
N
其中只有前面的β依赖于链的长度 2Na
上式两边求对数, 并对 ln(2Na) 求微商, 得到
－ d
d ln
ln(2Na)
1 2
d
d ln
ln(2Na)
1 2
d ln
d ln a
从原子相互作用势能的展开式, 可以看到, β 实际是相邻原子势能的二次微商系数
§3-9 晶格振动模式密度 小结
模式密度的一般公式 几种特例：
g
()＝
V
(2
)3
|
dS
(q)
|
q
一维单原子链
Debye模型 平方型色散关系
g()＝2N
m2 2
1 2
g()
V
2 2c3
2
g(
)＝
V
(2
)2
1 c3/ 2
1/ 2
§3-10 晶格的状态方程和热膨胀
1. 晶格状态方程
如果已知晶体的自由能函数 F(T,V), V 为晶体的
解析表达式, 因而往往要用数值计算
铜 晶 体 的 模 式 密 度
实际的晶体的模式密度与 Debye 近似下的模式 密度，除在低频极限以外，存在一定差别 这说明为什么 Debye 热容理论只是在及低温下才 是严格正确的, 因为此时只有低频振动模有贡献
四晶格状态方程和热膨胀
n
1
exp
kBT
1
1 3
CV
v
s
CV 是单位体积的热容， v s 是声子的平均运动速度。
1 3
CV
v
s
λ 是声子自由运动的自由程。 λ 的大小由两种过程来决定： 1）声子之间的碰撞，它是非谐效应的反映；2）晶体中杂 质、缺陷以及晶体边界对声子的散射。
1）声子的碰撞（耦合） 考虑非简谐项后一维单原子链运动方程的求解：
a(T ) a0
见 Peter Bruesch Phonons：Theory and Experiments Ⅰ P154
从势能展开项开始讨论：
u(a0
) u(a0)
常数定义为零
du dr
a0
1 2
d2u dr 2
a0
2
1
6. 没有杂质和缺陷的简谐晶体的热导是无限大的。
7. 对完美简谐晶体而言，红外吸收峰，Raman 和 Brilouin 散 射峰以及非弹性中子散射峰宽应为零。
以上结论对于实际晶体而言，没有一条是严格成立的。
原因是前几节我们在求解原子运动方程时，只考虑了 势能展开项中的二次项（简谐项），此时势能曲线是对称 的，温度提高，原子振动幅度加大，并未改变其平衡位置， 所以不会发生热膨胀。如果考虑到实际势能曲线的非对称 性所带来的非简谐项的影响，上面的与实际晶体性质不相 符的推论就都不存在了。
1 24
h0
4 , h0
0
:
代表在大振幅下振动的软化：考虑二阶项 和四阶项，有：
晶格振动 (5.热膨胀)解析
• 热膨胀系数与比热成正比 • 弹性模量和Grueneisen常数基本与温度无关 • 热膨胀系数与温度的关系与比热相似
例：一维单原子链
• 证明简谐近似下，Grueneisen常数为零，不能 说明热膨胀。
• 解：这时，体积相当于
V Na
• 而频谱
2 4 sin2 aq
M
2
• 这里
aq n
p U (V )
V V
i
1 2
i
i
ei / kBT1Fra bibliotek• 即得Grueneisen状态方程
p U (V ) E
V V
热膨胀与Grueneisen常数
• 热膨胀系数定义为
1 V
V T p
• 对各向同性的立方晶体，线膨胀系数是体膨胀 系数的1/3，即
l
1 l
l T
p
e d U ( )/ kBT
r0
e d U ( ) / kBT
• 展开
eU ( )/ kBT
f 2 g 3
e e kBT kBT
e
f 2
kBT
1
g 3
kBT
• 分母略去高次项后，可得
r r0
e
f 2 kBT
d
e d
f 2 kBT
g kBT
e d
f 2 4 kBT
撞，各个格波之间有相互作用
声子之间相互作用的图象
• 上述讨论只适用偏离平衡位置较小时的情况， 太高，晶体已被融化而不复存在
Grueneisen状态方程
• 压强、熵、比热等都可用自由能表示
• 晶格的自由能分为两部分，一部分与结构有关， 另一部分与晶格振动有关(与温度有关)，为
固体物理-第三章 晶格振动及晶体的热学性质-10(新疆大学李强老师课件)
P dU dV V
(
q, j
1 q, j 2 1 e
q , j e
q , j / kBT
q , j / kBT
)
?
) 1
nq , j 1 e
q , j / k B T
dU P dV V
P dU dV V
1 ( q, j e q, j 2
F P --- 由此可得体系的状态方程 V T
体系的内能 U U (V ) EL (T ,V )
F (T ,V ) U (V ) EL (T ,V ) TS U (V ) FL (T ,V )
晶格振动对自由能的贡献
根据统计物理 FL kBT ln Z
1 dV 1 dV V dT V0 dT
K 0V
dEL EL CV T V dT
Xinjiang University
CV --- 格临爱森定律
Solid State Physics, Dr. Q. Li
2015-4-2
§3.10 晶格的状态方程和热膨胀
1 q, j U (V ) kBT ([ ln(1 e q , j 2 k BT
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li
q , j / kBT
)]
2015-4-2
§3.10 晶格的状态方程和热膨胀
1 q, j ln(1 e 体系自由能函数 F U (V ) kBT [ q , j 2 k BT
Xinjiang University
（Z是配分函数）
(
q, j
1 q, j 2 1 e
q , j e
q , j / kBT
q , j / kBT
)
?
) 1
nq , j 1 e
q , j / k B T
dU P dV V
P dU dV V
1 ( q, j e q, j 2
F P --- 由此可得体系的状态方程 V T
体系的内能 U U (V ) EL (T ,V )
F (T ,V ) U (V ) EL (T ,V ) TS U (V ) FL (T ,V )
晶格振动对自由能的贡献
根据统计物理 FL kBT ln Z
1 dV 1 dV V dT V0 dT
K 0V
dEL EL CV T V dT
Xinjiang University
CV --- 格临爱森定律
Solid State Physics, Dr. Q. Li
2015-4-2
§3.10 晶格的状态方程和热膨胀
1 q, j U (V ) kBT ([ ln(1 e q , j 2 k BT
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li
q , j / kBT
)]
2015-4-2
§3.10 晶格的状态方程和热膨胀
1 q, j ln(1 e 体系自由能函数 F U (V ) kBT [ q , j 2 k BT
Xinjiang University
（Z是配分函数）
第五章 晶格振动和晶体热学性质(三)(课堂)
晶格平均振动能 E 格临爱森提出：它是表征 变化的量（ 格临爱森提出：它是表征ωj随V变化的量（无量纲）。 变化的量 无量纲）。 假设它近似对所有振动相同，可以得到格临爱森状态方程： 假设它近似对所有振动相同，可以得到格临爱森状态方程： 它近似对所有振动相同
dU E d ln ω P=− + γ , 其中γ = − 是格临爱森常数。 dV V d ln V
2 ω± = βH
n N N aq = π ,− < n ≤ N 2 2
V = 2 Na
ω = βH V = 2 Na
2 ±
dU E d ln ω + γ ,γ = − P=− dV V d ln V
（2）热膨胀原因分析
均为0。
d ln ω d ln β γ =− =− d ln V 2d ln a
（2）热膨胀原因分析
简谐近似 当γ=0时，不发生热膨胀现象。 时 不发生热膨胀现象。
非谐效应
实际热膨胀是由原子间非谐作用引起的。 可见，实际热膨胀是由原子间非谐作用引起的。 实际热膨胀是由原子间非谐作用引起的
设2个原子中有1个固定在 个原子中有1 原点， 原点，而另一个原子平衡 位置为a 位置为a，δ为其离开平衡 位置的距离，如图示， 位置的距离，如图示，现 将2原子的相互作用势能
② 若考虑 以上高次项，如 项，则： 以上高次项， 1 d 2 u 2 1 d 3u 3 u (r ) = u (a) + δ + 3 δ 2 2 dr ！ 3! dr a 其势能曲线如图中虚线所示，可以看到是非对称的， 其势能曲线如图中虚线所示，可以看到是非对称的， 在平衡位置左边的部分较陡，在平衡位置右边较平滑。 在平衡位置左边的部分较陡，在平衡位置右边较平滑。 因此原子振动时，随着振幅（即振动总能量）的增加， 因此原子振动时，随着振幅（即振动总能量）的增加， 原子的平均位置将向右边移动，移动轨迹如图中A 原子的平均位置将向右边移动，移动轨迹如图中A、B 曲线所示，可以想见，随着温度的升高， 曲线所示，可以想见，随着温度的升高，原子振动加 原子间距离增大，由此而产生热膨胀： 强，原子间距离增大，由此而产生热膨胀： 1 d 2u 1 d 3u 令： − =g 2 = f 2 dr a 3! dr 3 a 则：
dU E d ln ω P=− + γ , 其中γ = − 是格临爱森常数。 dV V d ln V
2 ω± = βH
n N N aq = π ,− < n ≤ N 2 2
V = 2 Na
ω = βH V = 2 Na
2 ±
dU E d ln ω + γ ,γ = − P=− dV V d ln V
（2）热膨胀原因分析
均为0。
d ln ω d ln β γ =− =− d ln V 2d ln a
（2）热膨胀原因分析
简谐近似 当γ=0时，不发生热膨胀现象。 时 不发生热膨胀现象。
非谐效应
实际热膨胀是由原子间非谐作用引起的。 可见，实际热膨胀是由原子间非谐作用引起的。 实际热膨胀是由原子间非谐作用引起的
设2个原子中有1个固定在 个原子中有1 原点， 原点，而另一个原子平衡 位置为a 位置为a，δ为其离开平衡 位置的距离，如图示， 位置的距离，如图示，现 将2原子的相互作用势能
② 若考虑 以上高次项，如 项，则： 以上高次项， 1 d 2 u 2 1 d 3u 3 u (r ) = u (a) + δ + 3 δ 2 2 dr ！ 3! dr a 其势能曲线如图中虚线所示，可以看到是非对称的， 其势能曲线如图中虚线所示，可以看到是非对称的， 在平衡位置左边的部分较陡，在平衡位置右边较平滑。 在平衡位置左边的部分较陡，在平衡位置右边较平滑。 因此原子振动时，随着振幅（即振动总能量）的增加， 因此原子振动时，随着振幅（即振动总能量）的增加， 原子的平均位置将向右边移动，移动轨迹如图中A 原子的平均位置将向右边移动，移动轨迹如图中A、B 曲线所示，可以想见，随着温度的升高， 曲线所示，可以想见，随着温度的升高，原子振动加 原子间距离增大，由此而产生热膨胀： 强，原子间距离增大，由此而产生热膨胀： 1 d 2u 1 d 3u 令： − =g 2 = f 2 dr a 3! dr 3 a 则：
晶格振动对晶体的热膨胀性质的尺寸效应
晶格振动对晶体的热膨胀性质的尺寸效应晶体是由重复排列的晶格结构组成的固体材料。
在晶格中，原子或离子以特定的方式排列，并通过相互作用力相连。
晶格振动是指晶体中原子或离子围绕其平衡位置做的微小振动。
这种振动对于晶体的物理性质具有重要影响，其中之一就是晶体的热膨胀性质。
热膨胀是指物质在温度变化下体积或尺寸的扩大或收缩现象。
晶体的热膨胀性质是晶格振动的结果。
当晶格振动引发的原子或离子的运动增加时，晶体的结构会发生变化，导致晶体的尺寸发生变化，即出现热膨胀现象。
晶格振动对晶体的热膨胀性质具有尺寸效应。
尺寸效应是指晶体因尺寸的变化而带来的热膨胀性质的不同。
晶体的尺寸可以通过改变晶体的形状或尺寸来实现。
当晶体尺寸变小到纳米或更小的尺寸时，晶体的热膨胀性质会发生显著变化。
在小尺寸的晶体中，晶格振动会受到表面、缺陷和界面等因素的影响更加显著。
这些因素会改变晶格振动的模式和频率，进而影响晶体的热膨胀性质。
研究表明，纳米尺寸的晶体相较于宏观晶体，其热膨胀性质更加复杂，呈现出尺寸效应。
尺寸效应可以通过两个方面来解释。
首先，当晶体尺寸减小到纳米量级时，晶格振动的模式受到限制，不同振动模式之间的相互作用变得更加复杂。
这导致晶体的热膨胀性质发生变化，出现非线性的尺寸效应。
其次，纳米尺寸的晶体具有较高的比表面积和较高的表面能。
晶格振动会与晶体表面相互作用，表面的固定会影响晶体的整体振动特性。
因此，纳米晶体的热膨胀性质也会受到表面效应的影响。
研究晶格振动对晶体热膨胀性质的尺寸效应对于理解纳米材料的热力学性质以及设计和开发新型纳米材料具有重要意义。
准确预测和理解纳米晶体的热膨胀行为，有助于优化纳米材料的性能和应用。
总结起来，晶格振动对晶体的热膨胀性质有着显著的尺寸效应。
纳米尺寸的晶体展现出与宏观晶体不同的热膨胀行为，这是由于晶格振动模式的限制以及表面效应的影响所导致的。
深入研究晶格振动与热膨胀性质的关系，对于理解和应用纳米材料具有重要意义。
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E Ei 为晶格振动总能量。
i
2.由状态方程讨论晶体的热膨胀
dU 对于大多数固体，体积的变化不大，因此可将 dV 在晶
体的平衡体积V0附近展开:
d 2U d U dU V V0 2 dV dV V0 dV V0
dU 0, dV V0
能量 交换
系统达到 热平衡
两个声子通过非简谐项的作用，而产生第三个声子。这可 以看成是两个声子的相互碰撞，最后产生第三个声子。
声子间的相互作用遵循能量守恒和准动量守恒
1 2 3 q1 q2 q3 G h
(1) G h
qy
q1
q3 q2
5/ 2
3 g k BT 1 k T d B
c 令x k T B
1/ 2
xe
4 x2
dx
g kBT 2 kBT c
5/ 2
0
xe
4 x2
dx
g kBT 2 kBT c
0 0
T A ,r R
0
两原子间距增大，有热膨胀现象。 2.理论计算
斜率=原子间的相互作用力F
r
由玻尔兹曼 e
u k BT
d
r0处斜率相等，所以F=0 简谐近似：
u k BT
d
2
R0 处陡，F大,排斥力 非简谐近似：r< r>R处平缓，吸引力小
1/ 2
0
e
a 2 x 2
1 π kBT 2 2 c
c a k T B
线膨胀系数
1 d 3 g kB 2 R0 dT 4 c R0
3 g 2 kBT 4c
显然，在简谐近似下，g=0，=0。 当势能只保留到3次方项时，线膨胀系数与温度无关。 若保留更高次项，则线膨胀系数与温度有关。
若只取一次方项，则
V V0 dU V V0 d 2U K V0 2 dV V0 V0 dV V
0
E dU V V0 E P K V dV T V0 V
其中K是体积弹性模量。
dp 0 )，体积随温度 热膨胀是在不施加压力的情况下( dV
0
U ( r)
R0
A
T A ,r R
r
0
两原子间距不变，无热膨胀现象
（2）非简谐效应
1 2U 2 1 3U 3 U ( R0 ) U ( R0 ) 2 3 2 ! R R 3 ! R R
d
e
( c 2 g 3 ) k BT
d
g kBT kBT c
5/ 2
3 π 4
12
e
( c g ) kBT
2
3
d
πk BT c
3 g 2 kBT 4c
在非简谐效应下，有热膨胀现象。 推导在后
0
1 2U 2 1 3U 3 U ( R0 ) U ( R0 ) 2 3 2 ! R R 3 ! R R
0 0
（1）简谐近似
1 2U 2 U ( R0 ) U ( R0 ) 2 2! R R
F P V T
F P V T
i k BT d i d U 1 e i k BT 1e dV T i 2 dV
i 1 d ln i dU i i kBT dV 2 e 1 dV T i d ln i dU Ei dV dV T i 1 dU dV T V d ln i Ei , d ln V i
k BT
1 i i F2 k BT ln 1 e i 2 kBT
1 i F U V i kBTln( 1 e i 2
k BT
)
由于非线性振动，格波频率i也是宏观量V的函数，所以
0
U f ( R R0 ) R (1)在简谐近似的情况下，晶格原子振动可描述为3N个线性
独立的谐振子的叠加，各振子间不发生作用，也不交换能量；
(2)晶体中某种声子一旦产生，其数目就一直保持不变， 既不能把能量传递给其他声子，也不能使自己处于热平衡状态。 用简谐近似理论不能解释晶体的热膨胀和热传导现象。 晶体的非简谐效应：
§3－10 晶格的状态方程和热膨胀
§ 3－11 晶格的热传导
一、晶体的热膨胀和非简谐效应
简谐近似：
1 2U 2 U U ( R0 ) U ( R0 ) 2 2! R R R R0 0 1 2U 2 U ( R0 ) ( R R ) 0 2 2! R R
位置附近展开：
1.物理图象
0
R
1 2U 2 1 3U 3 U U ( R0 ) U ( R0 ) 2 3 2! R R 3! R R R R0 0 0
1 2U 2 1 3U 3 U U ( R0 ) U ( R0 ) 2 3 2! R R 3! R R R R0 0 0
微扰项
微扰项
声子间有 相互作用
qx
0 ---正常过程(
N过程)；
qy
Gh
q1
碰撞前后系统准动量不变，对热流无影响。
(2)
G h 0 ---反常过程(
q3
q1 q 2
U过程)。
q2
qx
碰撞前后系统准动量变化，对热流有影响。
二、热膨胀
热膨胀：在不施加压力的情况下，晶体体积随温度变化 的现象称为热膨胀。
R0 假设有两个原子，一个在原点固定不动，另一个在平衡位 置R0附近作振动，离开平衡位置的位移用表示，势能在平衡
推导
e
u kBT
d
e
( c 2 g 3 ) kBT
d
e
c 2 / kBT g 3 / kBT
e
d
e
c
2
g 4 c 2 kBT e d k T B
g kBT kBT c
自由能F(T，V)是最基本的物 理量,求出F(T，V)，其他热力 学量或性质就可以由热力学关 系导出。
晶格自由能
F1=U(V)
F2
T=0时晶格的结合能 由晶格振动决定
由统计物理知道：
F2 kBT ln Z
Z是晶格振动的配分函数。
若能求出晶格振动的配分函数，即可求得热振动自由能。 频率为i的格波，配分函数为：
Zi
ni 0
e
1 ( ni ) i k BT 2
e i 1e
i 2 k BT k BT
忽略晶格之间的相互作用能，总配分函数为：
e i 2 kBT Z Zi i kBT 1 e i i
F2 kBT ln Z
三、晶体的状态方程和热膨胀
1.晶体的状态方程 由热力学知，压强P、熵S、定容比热CV和自由能F之间的 关系为：
F U TS dF PdV SdT
F P V T F S T V S CV T T V
0
1 3U g 3 3! R R
0
U ( R0 ) c 2 g 3 (c、g均为正常数。)
(1)简谐近似：
U ( R0 ) c 2
e u k T d
B
e u k B T d
g kBT kBT c
5/ 2
5/ 2
0
xe
4 x2
dx
3 π 4
e
0
x e
2 n ax 2
1 3 5 (2n 1) π dx 2 n 1 a n a
( n 2, a 1)
c 2 / k T g 3 / k T B B
( c 2 g 3 ) k T B
e
d
e
d d
π dx 2a
1/ 2
e
c
2
3 g k BT (1 )d kBT
e
c 2 k T B
2 e
0
c 2 k T B
d
1/ 2
π kBT c
的变化。上式两边对温度T求导得：
1 dV K V0 dT V dE dV E dT dT CV E dV V2 V V 2 dT
上式等号右边第二项是非常小的量可略去，所以
CV 1 dV K , 其中 是膨胀系数 V V0 dT
VK CV
格林艾森定律
C 1 dV K 。 V dT V
e
u kBT
d
e