两条直线位置关系判断方法

两条直线的位置关系判断方法

设平面上两条直线的方程分别为11112222:0,:0

l a x b y c l a x b y c ++=++= 一．行列式法

记系数行列式为1

122,a b D a b =

和相交⇔0D ≠ 1221b a b a ≠⇔

1l 和2l 平行⇔0,0x D D =≠或0,0y D D =≠

和重合⇔0===x y D D D

二．比值法

和相交()0b ,a 22≠； 和垂直⇔0b a b a 2211=+；

和平行

()0c ,b ,a 222≠；

和重合()0c ,b ,a 222≠ 三．斜率法

111222:y 0.:y 0l k x b l k x b =+==+=（条件：两直线斜率都存在，则可化成点斜式） 12l l ⇔与相交21k k ≠ ；

2121b b k k ≠=，

2121b b k k ==，；

-1.=21k k ;

特别提醒：在具体判断两条直线的位置关系时，先考虑比值法，但要注意前提条件(分母不

为零)；再考虑斜率法，但也有条件(两条直线的斜率都存在)，最后选择行列式(无条件)； 注：（1）两直线平行是它们的法向量（方向向量）平行的充分非必要条件；

（2）两直线垂直是它们的法向量（方向向量）垂直的充要条件；

（3）两条直线平行⇔它们的斜率均存在且相等或者均不存在；

（4）两条直线垂直⇔他们的斜率均存在且乘积为-1，或者一个存在另一个不存在；

1122,x c b D c b -=-1122y a c D a c -=-1l 2l 1l 2l 1l 2l ⇔2

121b b a a ≠1l 2l 1l 2l ⇔212121c c b b a a ≠=1l 2l ⇔2

12121c c b b a a ==12l l ⇔与平行12l l ⇔与重合12l l ⇔与垂直

例题分析

1.下列命题中正确的是……………………………………………………………………（ B ）

A.平行的两条直线的斜率一定相等

B.平行的两条直线倾斜角相等

C.两直线平行的充要条件是斜率相等

D.两直线平行是他们在y 轴上截距不相等的充分条件

分析：A.两条直线斜率均不存在时也是平行,此时斜率不存在；

C.”斜率相等”是”两直线平行”的既不充分也不必要条件；

D.既不充分也不必要条件，因为两条直线斜率均不存在时也是平行，此时不存在y 轴上的截距，反之显然不成立；

2、若l 1与l 2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为a 1，a 2，斜率分别为k 1，k 2，则下列命题

（1）若l 1∥l 2，则斜率k 1=k 2； （2）若斜率k 1=k 2，则l 1∥l 2；

（3）若l 1∥l 2，则倾斜角a 1=a 2；（4）若倾斜角a 1=a 2，则l 1∥l 2；

其中正确命题的个数是…………………………………………………………………（ C ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

分析：(2)(3)(4)对，此时要注意已知条件l1与l 2为两条不重合的直线

3、已知两条不重合的直线l 1，l 2的倾斜角分别为α1，α2，给出如下四个命题： ∥若sin α1=sinα2，则l 1∥l 2

∥若cos α1=cosα2，则l 1∥l 2

∥若l 1∥l 2，则tan α1•tanα2=﹣1

∥若l 1∥l 2，则sin α1sinα2+cosα1cosα2=0

其中真命题是…………………………………………………………………………（ B ）

A ．①③

B ．②④

C ．②③

D ．①②③④

分析：①sin α1=sin α2， 可知α1=α2 或α1 +α2 =π，因为倾斜角α1，α2的范围[)π0，，所以不一定推出；

②cos α1=cos α2 ,可知 α1=α2 ，因为倾斜角α1,α2的范围[)π0，，所以可以推出；

③如果成立的话，必须斜率存在，可是α1=π，α2 =

2

π，致使斜率不存在； ④若两条直线斜率都存在时，显然成立，若两条直线斜率有一个不存在时也成立，

下证，不妨设α1=π，α2 =2π，此时也成立； 4、已知直线06y )2k (x 3:l 1=++-与直线02y )3k 2(kx :l 2=+-+，记3

k 2k )2k (3D -+-=.”0D =”是”两条直线1l 与直线2l 平行”的…………………………… ( A ) A ．充分不必要条件； B ．必要不充分条件 ； C ．充要条件; D ．既不充分也不必要条件

5、若直线1:l 22+=+x ay a 与直线2:l 1+=+ax y a 不重合，则12l l ∥的充要条件( C ）

A. 1a =-；

B. 12

=a ； C. 1a =； D. 1a =或1a =-. 分析：法1：比值法，此时要保证分母不为零，故讨论

当0a =时，1:2=l x ；2:1=l y ，此时垂直，不满足条件，舍去

当1a -=时，1:0-=l x y ；2:0-=l y x ，此时重合，舍去

当10a -，≠时，12122111+⇔

=≠⇔=+a a l l a a a ∥ 法2.())1a (1a 2D );1a (2a D ,a 1D y x 2+-=+-=-=）（1a =⇔

类似也可以用斜率法，此时只需要讨论0a =和0a ≠两种情况

6、直线,01by x :l ,01y ax :l 21=-+=++则1b

a -=是21l l ⊥的………………………………（ A ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 分析：⇔⊥21l l 0

b a =+

7、“a=2”是”直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的…………………………………………（ C ）

A.充分不必要条件;

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

分析：(比值法:先观察有没有一条直线方程前面的系数是不是均为零，若有就把其作为分母) 直线ax+2y=0平行于直线x+y=1⇔ 1

0121a ≠=2a =⇔ 8.已知直线()01m 4y )m m (x )3m m 2(:l 221=---+-+与直线()R a 03y )1a (x 2:l 2∈=+--

(1)m 为___1m ≠且98m ≠-__时，21l l 与相交；

(2)m 为__6- __时，21l l 与垂直；

分析：直线方程含有参数m ，故必须保证这个方程表示的是直线（y ,x 前面的系数不全为零),故1≠m

(1)21l l 与相交⇔98

≠-m ; (2)21l l 与垂直⇔6=-m

9、已知直线()R ααsin x y :l 1∈=和直线c x 2y :l 2+=，则下列关于直线21l ,l 关系判断正确的有____.③____

①．通过平移可以重合；②不可能垂直；③可能与x 轴围成直角三角形；