一些曲面的参数方程及图形
空间解析几何-第3章-常见的曲面2
截线为双曲线
y = h
y
x
z
o
③当 时
截线为直线
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
(0 , b , 0)
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
③当 时
截线为直线
②当 时
①当 时
（1）单叶双曲面与x，y轴分别交于（±a，0，0）， （0，±b，0）而与z轴无实交点. 上述四点称为单叶双曲面的实顶点， 而与z轴的交点（0，0，±ci） 称为它的两个虚交点. （2）截距：分别用y=0,z=0和x=0,z=0， 代入得x,y轴上的截距为: ， ； 在z轴上没有截距.
*
空间解析几何
第3章 常见的曲面2
本章主要内容
柱面 2 锥面 3 旋转曲面 4 曲线与曲面的参数方程 5 椭球面 6 双曲面（单叶双曲面，双叶双曲面） 7 抛物面（椭圆抛物面，双曲抛物面） 8 二次直纹面 9 作图
五种典型的 二次曲面
§3.5 五种典型的二次曲面
x
y
z
o
2°用y = 0 截曲面
3°用x = 0 截曲面
1°用z = 0 截曲面
x
z
y
O
4.主截线
Cx＝0
Cy＝0
两条主抛物线具有相同的顶点,对称轴和开口方向
————其为点（0，0，0）
————xoz 面上的抛物线
主抛物线
———— yoz 面上的抛物线
有相同的定点（0，0，0） 相同的对称轴z轴，开口均向z轴正方向
单叶双曲面 双叶双曲面
x
y
o
z
x
y
o
z
单叶双曲面
大学数学_7_4 曲面与曲线
O
x 图7-34
y
例 6 一动点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以角速度 绕 z 轴旋转时，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方 向上升，( , v都是常数) ， 则点 M 的几何轨迹叫做螺旋线 （7-35） ，试建立其参数方程. z 解 取时间 t 为参数，设t 0 时动 点在点 A( a,0,0) 处，在 t 时刻，动点在 点 M ( x, y , z ) 处.过点 M 作 xOy 面的 ' 垂线，则垂足为 M ( x, y,0) .由于 O My AOM ' t , MM ' vt , M’ x 故 x a cos AOM ' a cos t , 图7-35 y a sin AOM ' a sin t , z MM ' vt , x a cos t , 所以螺旋线的参数方程为： y a sin t , z vt.
求曲线： 2 2 z x y 2 2 z x y 在 xOy 面上的投影方程. 例7
从曲线 的方程中消去 z，得 x2 y 2 x2 y 2 , 化简后，得 ( x 2 y 2 )( x 2 y 2 1) 0, 因为 x 2 y 2 0 ，所在曲线 关于 xOy 面的投影柱面方程为 x2 y2 1 （是圆柱面） ，在 xOy 面的投影方程为 1 2 2 x y 2 z 0 （是 xOy 面上的圆）. 解
Hale Waihona Puke y2 z2 例 2 将 yOz 面上的椭圆 2 2 1分别绕 z 轴和 y 轴 a b 旋转，求所形成的旋转曲面方程. 解 绕 z 轴旋转而形成的旋转曲面（图 7-28）方程 为 x2 y 2 z 2 z 1 ， a2 b2 b x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 a a b a 绕 y 轴旋转而形成的旋转曲面方程为 y y 2 x2 z 2 a 1， 2 2 x a b 图7-28 x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 b a b
常见空间曲面的参数方程
常见空间曲面的参数方程
空间曲面是三维空间中的曲线的推广，它可以用参数方程来描述。
常见的空间曲面包括球面、圆柱面、抛物面等，它们可以通过参数方程来表示。
首先，让我们来看看球面的参数方程。
对于半径为R的球面，其参数方程可以表示为：
x = Rcos(u)sin(v)。
y = Rsin(u)sin(v)。
z = Rcos(v)。
其中，u和v分别是球面上的参数，u的范围一般是0到2π，v的范围一般是0到π。
这个参数方程可以描述整个球面上的点。
接下来是圆柱面的参数方程。
对于以z轴为轴的圆柱面，其参数方程可以表示为：
x = Rcos(u)。
y = Rsin(u)。
z = v.
其中，u的范围一般是0到2π，v的范围可以根据具体情况来确定。
这个参数方程描述了圆柱面上的点。
最后是抛物面的参数方程。
对于抛物面，其参数方程可以表示为：
x = u.
y = v.
z = u^2 + v^2。
其中，u和v的范围可以根据具体情况确定。
这个参数方程描述了抛物面上的点。
除了这些常见的空间曲面，还有许多其他曲面，它们都可以通
过参数方程来描述。
参数方程的使用可以让我们更直观地理解曲面的性质和特点，从而更好地研究和分析空间中的曲面。
希望这些信息能够帮助到你理解常见空间曲面的参数方程。
曲面方程的概念
3 2 5 2 17 即 ( x ) ( y ) , 2 2 2 它是曲线 关于x y 坐标面的投 影柱面 － 圆柱面的方程， 在 x y 坐标面上投影曲线是圆. 32 5 2 17 ( x ) ( y ) , 2 2 2 z 0 .
x x ( t ), y y ( t ), z z(t ) .
形如上的方程组称为曲线 的参数方程， t 为参数.
例 4 设质点在圆柱面 x 2 y 2 R 2上以均匀的 角速度 绕 z 轴旋转， 同时又以均匀的线速度 v 向平行于 z 轴的方向上升. 运动开始，即 t = 0 时， 质点在 P0(R, 0, 0) 处， 求质点的运动方程. z 解 设时间 t 时，质点的位置为 P( x, y, z )，由 P 作 x y 坐标面的垂线 垂足为 Q (x, y , 0) 则从 P0 到 P 所转 过的角 = t， 上升的高度 QP = vt ， 即质点的运动方程为：
表示的曲面称为圆锥面， 点 O 称为圆锥的顶点.
(2) y z 坐标面上的抛物线 z = ay2 绕 z 轴旋转所 得的曲面方程为
z a( x y ),
2 2
z
该曲面称为旋转抛物面. 其特征是: 当 a < 0 时，旋转 抛物面的开口向下. 一般地，
方程
x y z 2 2 a b
2
2
设空间曲线 的方程为
消去 z ，得
F1 ( x , y, z ) 0, F2 ( x, y, z ) 0,
G( x , y )= 0.
可知满足曲线 的方程一定满足方程 G( x, y) = 0 ， 而 G(x , y)= 0 是母线平行于 z 轴的柱面方程， 因此，柱面 G( x , y ) = 0 就是曲线 关于 x y 坐标 面的投影柱面. 而
奇特的曲面方程
奇特的曲面方程在数学中，曲面方程是描述曲面形状的数学表达式。
曲面方程由三个参数变量和相应的参数方程组成，它描述了曲面的连续变化的三维空间几何特性。
在实际应用中，例如，计算机图形学、物理学、工程学等领域，曲面方程都扮演着非常重要的角色。
这里，我们讨论一些奇特的曲面方程，如龙线曲面方程、球面方程、抛物面方程、圆柱面方程等。
首先，龙线曲面方程是一种高阶非线性曲面方程。
它的参数方程为：u=x(y^2+z^2)v=y(z^2+x^2)w=z(x^2+y^2)其中，u、v和w分别表示三维空间中的X、Y、Z三个方向。
从这个方程中我们可以看到，它是由两个二次曲面组合而成的，其中第一个是以x轴和y轴为中心，z=1为高的柱面；第二个是以x=y=z为对称轴的平面。
这个曲面方程不仅非常奇特，而且在建筑设计、航空航天、医疗器械等领域都有广泛的应用。
其次，球面方程是一种描述球体表面形状的曲面方程。
其参数方程为：(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2其中，(x,y,z)为球面上一点的坐标，(a,b,c)为球心坐标，R为球的半径。
这个方程描述了球面上任意一点到球心的距离，都是R。
这个方程不仅具有非常优美的几何结构，而且在天文学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
再者，抛物面方程是一种描述椭球体表面形状的曲面方程。
其参数方程为：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)+(z^2/c^2)=1其中，a、b、c是椭球体的三个半轴长，描述了椭球体的形状和大小。
这个方程描述了椭球体上任意一点到椭球体中心的距离，都是常数。
这个方程不仅在地球科学、建筑设计、航空航天等领域都有着广泛的应用，而且也是人类探索宇宙的重要工具。
最后，圆柱面方程是一种描述柱体表面形状的曲面方程。
其参数方程为：x^2+y^2=r^2其中，x、y表示柱体的横截面的两个坐标，r表示圆柱的半径。
这个方程描述了圆柱面上任意一点到圆柱面中心的距离，都是r。
这个方程在工程学、建筑设计等领域都有着广泛的应用，也是人类探索宇宙的重要工具。
曲面的参数方程1
x z M
Σ
o y
2、曲面的参数方程
定义 2.2.2
如果取 u, v a u b, c v d 的一切可能取的值，
根据题意有 | MA || MB |,
x 1 y 2 z 3
2 2
2
x 2 y 1 z 4 ,
2 2 2
化简得所求方程 2 x 6 y 2 z 7 0.
例2 求两坐标面xOz和yOz所成二面角的平分面的方程。 解：因为所求平分面是与两坐标面xOz和yOz有等距离 的点的轨迹，因此M(x,y,z)在平分面上的充要条件是 |y|=|x| 即 x+y=0 与 x-y=0
已知 O(0,0,0), M (2,3,4) ，点M到O，M的距离比为1:2,
求M的轨迹方程 解
设 M ( x , y , z ) 是曲面上任一点，
| MO | 1 , 根据题意有 | MM 0 | 2 x2 y2 z2
x 2 y 3 z 4
2 2
2
当平面z c 上下移动时， 得到一系列圆
c
o
x
y
圆心在(1,2, c )，半径为 1 c
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底． 以上方法称为截痕法.
空间常见的曲面有：平面，球面，柱面，锥面， 旋转曲面，二次曲面等。 以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． （讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）
考研数学常见曲面方程
考研数学常见曲面方程考研数学中常见的曲面方程有以下几类：1. 二次曲面方程：- 平面：Ax + By + Cz + D = 0- 球面：(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r²- 椭球面：(x - a)² / a² + (y - b)² / b² + (z - c)² / c² = 1 - 马鞍面：x² / a² - y² / b² + z / c = 0- 抛物面：z = ax² + by² + c- 双曲抛物面：x² / a² - y² / b² = z / c2. 旋转曲面方程：- 圆锥面：z² = x² + y²- 双曲抛物面：x² / a² - y² / b² = z / c- 双曲双曲面：x² / a² + y² / b² - z² / c² = 13. 参数方程：- 椭圆柱面：x = a cosθ, y = b sinθ, z = ct- 双曲柱面：x = a secθ, y = b tanθ, z = ct4. 其他方程：- 圆环面：(x - a)² + y² = r²- 双曲面：x² / a² + y² / b² - z² / c² = 1- 椭圆抛物面：z = ax² + by²- 双曲抛物面：x² / a² - y² / b² = z- 零亏格曲面：x³ + y³ + z³ - 3xyz = 0这些是考研数学中常见的曲面方程，但也可能会出现其他不太常见的曲面方程题目。
空间解析几何-第3章-常见的曲面2
把方程的左边都化成两项正，一项负，则右边是1的就 表示单叶双曲面，而右边是－1的，就表示双叶双曲面.
2°绘图时要注意区分“实轴”和“虚轴”，并且保证对坐 标轴的标注要符合右手系的原则.
1、椭圆抛物面
x2 a2
, 椭圆
z h.
O
结论：单叶双曲面可看作由一
个椭圆的变动（大小位置都改
x
y
变）而产生，该椭圆在变动中，
保持所在平面与xOy 面平行，
且两对顶点分别在两定双曲线
上滑动.
用平行于坐标面的平面截割
z
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
①当 h b时
截线为双曲线
o
y
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
0，
y h.
③当 h ＝b 时
截线为直线
(0 , b , 0)
单叶双曲面： x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
用y = h 截曲面
①当 h b 时
②当 h b 时
③当 h ＝b 时
x2 Cyh： a2
x2 Czh： a2
y2 b2
h2 c2
1,
z h.
结论：双叶双曲面可看作由 一个椭圆的变动（大小位置 都改变）而产生，该椭圆在 变动中，保持所在平面与 x
xOy 面平行，且两轴的端点
分别在两定双曲线上滑动.
z
o
y
（2）用 y t截曲面
第四节曲面及其方程
1 h2 b2
— —椭圆
y h
(b h b)
YZc z h
y
-b
a XY
b
x
-c
1
. S位椭置：ax
2 2
by一22、椭球cz面22 1
3. 注意
(1)椭球面可以看成由一变形椭圆运动所产生的轨迹，这椭 圆两对顶点分别在一对有共同顶点的两个正交椭圆ΓXY、ΓYZ上 运动，且 这个动椭圆的平面总是垂直于Y轴；
4
4
S是由曲线y2 z2 1绕Y轴而成的旋转曲面。 4
z
y x
2. 在ZOX 平面内曲线Cf：(x, z) 0
y0
①绕X轴旋转
②绕Z轴旋转
f (x, y2 z2 ) 0
f ( x2 y2 , z) 0
例：作S：x2 y2 z2 1的草图。
xz
解：原式 x2 ( y2 z2 )2 1
2. 截痕(作图) S椭关于各坐标面、轴和原点对称。
S椭
YOZ
交线
YZ
： by
2 2
z2 c2
1
x 0
YZc z h y
S椭
XOY
交线
XY
： ax
2 2
y2 b2
1
z 0
-b x
a XY -c
b
一、椭球面S椭：ax
2 2
y2 b2
z2 c2
1
S椭
：y
h
交线
h： ax
2 2
z2 c2
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
思考与练习
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空间区域在坐标平面上的投影草图画法
特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面知识讲解
特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面引言空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。
但是也可以研究一些非二次特殊曲面。
本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。
主要讨论由直线产生的柱面和锥面，曲线产生的旋转曲面这三大类。
1.柱面定义1：一直线平行于一个定方向且与一条定曲线Γ相交而移动时所产生的曲面叫做柱面（图1），曲线Γ作叫做准线。
构成柱面的每一条直线叫做母线。
显然，柱面的准线不是唯一的，任何一条与柱面所有母线都相交的曲线都可以取做柱面的准线，通常取一条平面曲线作为准线。
特别地，若取准线Γ为一条直线，则柱面为一平面，可见平面是柱面的特例。
下面分几种情形讨论柱面的方程。
1.1 母线平行于坐标轴的柱面方程选取合适的坐标系，研究对象的方程可以大为化简。
设柱面的母线平行于z 轴，准线为Oxy 面上的一条曲线，其方程为：(),00f x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩图1u v又设(),,P x y z 为柱面上一动点（图2），则过点P 与z 轴平行的直线是柱面的一条母线，该母线与准线Γ的交点记为(),,0M x y ，因点M 在准线上，故其坐标应满足准线方程，这表明柱面上任一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =反过来，若一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =，过P 作z 轴的平行线交Oxy 面于点M ，则点M 的坐标(),,0x y 满足准线Γ的方程(),0,0f x y z ==，这表明点M 在准线Γ上，因此直线MP 是柱面的母线 (因为直线MP 的方向向量为{}{}0,0,||0,0,1z )，所以点P 在柱面上。
综上所述，我们有如下结论：母线平行上于z 轴，且与Oxy 面的交线为(),0,0f x y z ==的柱面方程为：(),0f x y = （1）它表示一个无限柱面。
若加上限制条件a z b ≤≤，变得它的一平截段面。
同理，母线平行于x 轴，且与Oyz 面的交线为(),0,0g y z x ==的柱面方程为(),0g y z =；母线平行于y 轴，且与Ozx 面的交线为(),0,0h x z y ==的柱面方程为(),0h x z =。
三维曲面的参数方程
三维曲面的参数方程通常使用两个独立的参数（常常记为u和v）来表示曲面上每个点的位置。
以下是一个一般形式的三维曲面参数方程：
x = x(u, v)
y = y(u, v)
z = z(u, v)
其中，x、y、z是笛卡尔坐标系中的坐标函数，它们都是参数u和v的函数。
u和v的变化范围定义了曲面的覆盖区域。
以下是一些常见的三维曲面参数方程的例子：
1. 球面：
x = r * cos(u) * sin(v)
y = r * sin(u) * sin(v)
z = r * cos(v)
其中，r是球的半径，u和v的取值范围分别是0到2π和0到π。
2. 柱面（以x轴为轴）：
x = u
y = v * cos(u)
z = v * sin(u)
其中，u和v的取值范围可以根据柱面的具体需求来设定。
3. 圆环面（平行于xoy平面）：
x = r * cos(u)
y = r * sin(u)
z = v
其中，r是内圆的半径，u和v的取值范围分别是0到2π和-h到h，h是圆环的厚度。
4. 莫比乌斯带：
x = (1 + a * cos(u / 2)) * cos(u)
y = (1 + a * cos(u / 2)) * sin(u)
z = v * sin(u / 2)
其中，a是控制扭曲程度的参数，u和v的取值范围分别是0到2π和-π到π。
这些参数方程可以根据需要进行调整和变换，以生成不同形状和特性的三维曲面。
在MATLAB等软件中，可以使用fsurf或meshgrid函数来绘制这些参数方程定义的三维曲面。
数学参数方程归纳总结
数学参数方程归纳总结数学中的参数方程是一种描述曲线和曲面的方式，它将曲线或曲面上的点的坐标表示为一个或多个参数的函数形式。
通过归纳总结不同类型的参数方程，可以更好地理解和应用数学知识。
本文将就常见的数学参数方程进行归纳总结，并对其应用进行探讨。
一、平面曲线的参数方程1. 直线的参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程可以表示为：x = x1 + aty = y1 + bt其中，x1、y1为直线上一点的坐标，a、b为直线的方向向量。
2. 圆的参数方程在平面直角坐标系中，圆的参数方程可以表示为：x = a + rcosθy = b + rsinθ其中，(a, b)为圆心的坐标，r为半径，θ为角度。
3. 椭圆的参数方程在平面直角坐标系中，椭圆的参数方程可以表示为：x = a + acosθy = b + bsinθ其中，(a, b)为椭圆的中心坐标，a、b为椭圆在x轴和y轴上的半径，θ为角度。
4. 抛物线的参数方程在平面直角坐标系中，抛物线的参数方程可以表示为：x = at^2y = 2at其中，a为抛物线的参数，t为自变量。
5. 双曲线的参数方程在平面直角坐标系中，双曲线的参数方程可以表示为：x = asecθy = btanθ其中，a、b为双曲线的参数，θ为角度。
二、空间曲面的参数方程1. 平面的参数方程在空间直角坐标系中，平面的参数方程可以表示为：x = a + su + tvy = b + mu + nvz = c + pu + qv其中，(a, b, c)为平面上一点的坐标，(s, t)、(m, n)、(p, q)为平面的方向向量。
2. 球面的参数方程在空间直角坐标系中，球面的参数方程可以表示为：x = a + rsinθcosφy = b + rsinθsinφz = c + rcosθ其中，(a, b, c)为球心的坐标，r为球的半径，θ为极角，φ为方位角。
3. 圆柱面的参数方程在空间直角坐标系中，圆柱面的参数方程可以表示为：x = a + rcosθy = b + rsinθz = cu其中，(a, b, c)为圆柱面上一点的坐标，r为圆柱面的半径，θ为角度，u为高度。
曲面的方程
由上述方程可得球面的一般式方程为：
x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0
（*）
反之，由一般式方程（*），经过配方又可得到：
(x+A/2)2+(y+B/2)2+(z+C/2)2=(A2+B2+C2-4D)/4
当 A2+B2+C2-4D >0 时, 是球面方程.
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ur
r u,v xu,ve1 y u,ve2 z u,ve3 完全决定，
r
ur
uur
ur
那么我们就把表达式 r u,v xu,ve1 y u,ve2 z u,ve3 叫做
曲面的向量式参数方程，其中 u, v 为参数.
二、曲面的参数方程
r
向径 r u,v 的坐标为xu,v, yu,v, z u,v，所以曲面的参
以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为R
的球面方程.
解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
《解析几何》
－Chapter 2
§2 曲面的方程
Contents
一、曲面的方程 二、曲面的参数方程 三、球坐标系与柱坐标系
一、曲面的方程
定义 2.2.1 如果一个方程 F x, y, z 0 或 z f x, y 与一个曲面
有着关系：
曲面及其方程 柱面、锥面、旋转曲面
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二、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线. 观察柱面的形 成过程:
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考察方程 F(x,y)=0 F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面
(不含z)
z
0 2
过原点和椭圆上任一点的直线的方向向量为 v {a cos , b sin , c }
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过原点和椭圆上任一点的直线族方程为：
x0 y0 z0 t a cos b sin c
即
x (a cos )t y (b sin )t z ct
y
x G ( y , z ) 0 准线 是 yoz 面上的曲线 z x 0 方程 H ( z , x ) 0 表示 柱面， l3 母线 平行于 y 轴; H ( z, x) 0 x 准线是 xoz 面上的曲线 y 0
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y
椭圆柱面
第六节
第七章
曲面及其方程
一、基本概念 二、柱面、锥面、旋转曲面 三、二次曲面
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结束
一、基本内容
曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程 F ( x , y , z ) 0 有下述关系：
(1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程；
(2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程 F ( x , y , z ) 0 就叫做曲面 S 的 方程，而曲面 S 就叫做方程的图形.
参数曲面的坐标曲线
参数曲面的坐标曲线
参数曲面是一种数学模型,可以用来描述一个平面上的形状。
它是由一个或多个参数方程确定的函数形式,因此可以称为参数函数。
曲面的参数方程可以写成以下形式:
x=x0+ta
y=y0+tb
z=z0+tc
其中,(x0,y0,z0)是曲面的一个坐标点,a、b、c是参数,t是参数方程的导数。
通过参数方程,我们可以得到曲面上的任意一点P(x, y,z)的坐标。
参数曲面在数学和物理学等领域具有广泛的应用。
例如,在计算机图形学中,参数曲面可以用来渲染逼真的形状。
在物理学中,参数曲面可以用来描述一些物理现象,如流体流动和弹性体形变。
参数曲面的坐标曲线可以用数学式子来表示。
例如,通过参数方程,我们可以得到曲面上的任意一点P(x,y,z)的坐标为:
x=x0+ta
y=y0+tb
z=z0+tc
参数曲面的坐标曲线可以通过参数方程来描述。
几种常见的曲面及其方程(精)
母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3. 0表示母线平行 z 轴的柱面.
又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
2. 二次曲面
三元二次方程
• 椭球面
• 抛物面:
( p, q 同号)
椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
双曲抛物面
• 双曲面: 单叶双曲面
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
1
• 椭圆锥面:
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
1. 椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(1)范围：
ay
ay
x
x2 z2 a2 (x 0, z 0) y0
作业
P32 3， 4，5，6， 7， 8， 9，10，11，12
y z l2
x z l3
x
y y
3、旋转曲面
一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴.
例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
参数方程t1t2同号
参数方程t1t2同号在数学中，参数方程是用参数来表示一个曲线的方程。
具体地说，给定两个函数$t_1(u)$和$t_2(u)$，其中$u$是参数，通过将参数代入函数中得到与参数相关的两个数值$t_1$和$t_2$，就可以得到一个点($t_1, t_2$)。
通过改变参数$u$的取值范围，可以获得整个曲线。
参数方程常用于描述平面曲线和空间曲面。
在平面几何中，通常使用参数方程来表示平面上的曲线。
参数方程的优点是可以灵活地描述各种不规则形状的曲线。
下面将介绍一些常见的参数方程及其图形：1. 直线：直线可以用参数方程表示为：$t_1(u) = u, t_2(u) = mu + b$其中$m$为直线的斜率，$b$为直线在$u=0$时的$y$轴截距。
通过改变参数$u$的取值范围，可以得到整条直线。
2. 抛物线：抛物线可以用参数方程表示为：$t_1(u) = u, t_2(u) = au^2 + bu + c$其中$a$、$b$、$c$为常数。
通过改变参数$u$的取值范围，可以得到整个抛物线。
3. 椭圆：椭圆可以用参数方程表示为：$t_1(u) = a\cos(u), t_2(u) = b\sin(u)$其中$a$和$b$为椭圆的半长轴和半短轴。
通过改变参数$u$的取值范围，可以得到整个椭圆。
4. 曲线螺旋线：曲线螺旋线可以用参数方程表示为：$t_1(u) = a\cos(u), t_2(u) = a\sin(u), t_3(u) = bu$其中$a$为螺旋线的半径，$b$为螺旋线的螺距。
通过改变参数$u$的取值范围，可以得到整个曲线螺旋线。
这些是常见的参数方程示例，通过改变参数的取值范围，可以获得不同形状的曲线。
通过参数方程，我们可以在平面或空间中灵活地描述各种曲线形状。
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双曲柱面
x y 2 1 2 a b
2
2
参数方程：
x a sec y b tan z u
XUXZ 22 July 2010
椭圆柱面
x y 2 1 2 a b
2
2
参数方程：
x a cos y b sin z t
XUXZ 22 July 2010
星形球面
XUXZ 22 July 2010
8字曲面 Eight Surface
参数方程：
x a cos u sin 2v y b sin u sin 2v z c cos v
XUXZ 22 July 2010
Dini 曲面
参数方程：
x a cos u sin v y a sin u sin v v z b(cos v ln tan ) bu 2
椭圆抛物面
z ax by
参数方程：
2
2
u cos t x a u sin t y b z u2
XUXZ 22 July 2010
双曲抛物面
x y z 2 2 a b
参数方程：
2
2
x a( 2 t ) y b( t ) 2 z 2 t
XUXZ 22 July 2010
麻花曲面 Cor cos u cos v y a sin u cos v z a sin v bu
XUXZ 22 July 2010
正弦曲面 Sine Surface
参数方程：
x a sin u y a sin v z a sin(u v )
圆锥面
z y x
2
2
2
参数方程：
x u y u sin z u cos
XUXZ 22 July 2010
圆锥面
z x y
2
2
2
参数方程：
x u sin y u z u cos
XUXZ 22 July 2010
椭圆锥面
XUXZ 22 July 2010
双曲抛物面
x y 2z 2 2 a b
参数方程：
2
2
x a(u v) y b(u v) z 2uv
XUXZ 22 July 2010
双曲抛物面
z xy
参数方程：
x v y u z uv
参数曲面
Parametric Surfaces
XUXZ 22 July 2010
展示一些曲面的参数方程及 其图形。 这里的曲面都是用数学软件 Mathematica绘制的。 用参数方程来画曲面效果比 较好，容易控制图形的范围。
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抛物面
XUXZ 22 July 2010
XUXZ 22 July 2010
球 面
XUXZ 22 July 2010
球面
x y z a
2
2
2
2
参数方程：
x a sin cos y a sin sin z a cos
XUXZ 22 July 2010
球面
XUXZ 22 July 2010
XUXZ 22 July 2010
伪球面
XUXZ 22 July 2010
星形球面
参数方程：
x a(cos u cos v) 3 y a(sin u cos v) z a(sin v)3
3
XUXZ 22 July 2010
星形球面
XUXZ 22 July 2010
XUXZ 22 July 2010
莫比乌斯带
XUXZ 22 July 2010
莫比乌斯带
4 July 2010
XUXZ 22 July 2010
螺 旋 面
XUXZ 22 July 2010
螺旋面
参数方程：
x u cos v y u sin v z v
XUXZ 22 July 2010
XUXZ 22 July 2010
单叶双曲面
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
2
参数方程：
x a{cos t[cos( ) cos ]} y b{sin t[sin( ) sin ]} z c(2t 1)
XUXZ 22 July 2010
Roman 曲面
x y y z z x r xyz
2
2
2 2
2 2
2
参数方程：
x r cos cos sin 2 y r sin cos sin z r 2 cos sin cos2
XUXZ 22 July 2010
2
Roman 曲面
XUXZ 22 July 2010
Roman 曲面
XUXZ 22 July 2010
XUXZ 22 July 2010
XUXZ 22 July 2010
XUXZ 22 July 2010
螺旋管
27 Jun 2010
参数方程：
x (1 u)(a cos v)cos b u y (1 u)(a cos v)sin b u z au (1 u)sin v
2
2
2
参数方程：
x a tan u cos v y b tan u sin v z c sec u
XUXZ 22 July 2010
双叶双曲面
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
2
参数方程：
x a sinh u cos v y b sinh u sin v z c cosh u
XUXZ 22 July 2010
双叶双曲面
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
2
参数方程：
x a u 2 1 cos 2 y b u 1sin z cu
XUXZ 22 July 2010
双叶双曲面
x y z 2 2 1 2 a b c
旋转抛物面
zx y
2
2
参数方程：
x u cos t y u sin t z u2
XUXZ 22 July 2010
旋转抛物面
yx z
2
2
参数方程：
x u cos t 2 y u z u sin t
XUXZ 22 July 2010
XUXZ 22 July 2010
椭球面
XUXZ 22 July 2010
椭球面
XUXZ 22 July 2010
圆 环 面
XUXZ 22 July 2010
圆环面
参数方程：
x ( R r cos t ) sin y ( R r cos t ) cos z r sin t
XUXZ 22 July 2010
单叶双曲面
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
2
参数方程：
x a 1 u 2 cos 2 y b 1 u sin z cu
XUXZ 22 July 2010
单叶双曲面
x y z 2 2 1 2 a b c
XUXZ 22 July 2010
抛物柱面
zy
2
参数方程：
x v y u z u2
XUXZ 22 July 2010
双曲柱面
x y 2 1 2 a b
2
2
参数方程：
x a ch y b sh z t
XUXZ 22 July 2010
2
2
2
参数方程：
x a sec u cos v y b sec u sin v z c tan u
XUXZ 22 July 2010
单叶双曲面
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
2
参数方程：
x a cosh u cos v y b cosh u sin v z c sinh u
圆柱面
x y a
2
2
2
参数方程：
x a cos y a sin z t
XUXZ 22 July 2010
圆柱面
x z a
2
2
2
参数方程：
x a cos y t z a sin
XUXZ 22 July 2010
圆柱面
球面
XUXZ 22 July 2010
球面
XUXZ 22 July 2010
球面
XUXZ 22 July 2010
球面
XUXZ 22 July 2010
椭 球 面
XUXZ 22 July 2010
椭球面
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
2
参数方程：
x a sin cos y b sin sin z c cos
螺旋面
参数方程：
x u cos v y u sin v z v / 2
XUXZ 22 July 2010
螺 旋 管