第3讲 一元二次方程的特殊根问题(学生版)
专题17.2 一元二次方程的解法(第3课时)八年级数学下册同步备课系列(沪科版)
适用的方程类型
(x+m)2＝n（n ≥ 0） x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
(x + m)（x + n）＝0
要点归纳
解法选择基本思路 1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0）， 应选用直接开平方法； 2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一 般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因 式分解法，不然选用公式法； 4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法 也较简单.
x b b2 4ac 10 10，
2a
2 4.9
49 49
x1
100 ， 49
x2
0.
x1
100 ， 49
x2 0.
10x-4.9x2 =0 ①
因式分解
x(10-4.9x) =0 ②
如果a ·b = 0， 那么 a = 0或 b = 0.
两个因式乘积为 0，说明什么？
x =0 或 10-4.9x=0
解： x2 100 x 0， 49
解： 10x-4.9x2=0.
x2
100 49
x
50 49
2
0
50 49
2
，
∵ a=4.9,b=-10,c=0.
x
50 49
2
50 49
2
，
∴ b2－4ac= (－10)2－4×4.9×0 =100.
x 50 50，
一元二次方程特殊根问题
∴k=0时，两个方程的公共根是x=1
巩固训练
1．已知m为有理数，问：k为何值时，关于 x的方程x2－4mx＋4x＋3m２－2m＋4k＝0 的根为有理数？
提示：若原方程的根为有理数， 则△＝4[m２—6m＋4（1－k）]应为某个 有理数的平方，△是一个完全平方式．
5
5 2
(2)∵k为正整数，∴0<k< 2(且k为整数)，即k=1或2，
利用求根公式，得到x＝－1± 5 2k
∵方程的根为整数，∴5－2k为完全平方数．
当k＝1时，5－2k＝3（舍去）； 当k＝2时，5－2k＝1；此时x=-1±1,x1=0,x2=-2
∴k＝2时，该方程的根都是整数.
解：设α是这两个方程的公共根，则α2+kα-1=0 α2+α+(k-2)=0
kα-α-1-(k-2)=0 ; kα-α-k+1=0 ； (α-1)(k-1)=0 ∴k=1 ;α=1
(1)k=1时,两个方程都是x2+x-1=0，不合题意舍去。
(2)α=1时,第一个方程12+k-1=0,k=0，此时x2-1=0,x1=1,x2=-1;
x1＝
32，x2＝
5．
4
（板块2）一元二次方程的整数根
解决方程ax2＋bx＋c＝0的整数根问题， 可以尝试利用“判别式的取值范围”、 “判别式是一个有理数的平方”，或者利 用“根与系数的关系”来解决问题．
例2. 当m是什么整数时，关于x的一元二次方程 x2-2mx+m2-4m-5=0 与 mx2-8x+16=0 的根都是整 数．
一元二次方程根的判别式(新授课)
公式法解一元二次方程（3）一、教材分析：首先是教材的地位与作用：公式法解一元二次方程是鲁教版八年级数学下册第七章第三节的内容，共分5个课时，本节学习第三课时。
内容是一元二次方程根的判别式的理解和应用，是在学习了配方法、公式法解一元二次方程的基础上对一元二次方程求根公式的进一步的深入研究和理解。
通过本节课的学习，使学生理解一元二次方程的根的判别式，并能用根的判别式判断方程根的情况，更有利于学生顺利的解一元二次方程，同时为以后学习不等式的解法和函数的有关内容奠定基础。
再是教学重、难点：教学重点：一元二次方程的根的判别式定理及逆定理的正确理解和应用。
教学难点：对一元二次方程的根的判别式定理及逆定理使用条件的透彻理解。
由于本节课的内容主要是使学生在以后的学习过程中能合理准确的运用根的判别式的定理及逆定理，所以，我确定一元二次方程的根的判别式定理及逆定理的正确理解和应用为教学重点，而学生能做到灵活运用根的判别式的定理及逆定理的关键就是对一元二次方程的根的判别式定理及逆定理使用条件的透彻理解，所以我确定它为教学难点。
二、教学目标：根据新课标的要求及对教材的分析，结合学生已有的知识基础，确定本节课的教学目标为：1、知识与技能方面：①感悟一元二次方程的根的判别式的产生过程。
②能运用根的判别式判别方程根的情况和进行有关的推理论证。
③会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值。
2、数学思考方面：经历一元二次方程根的判别式的探究过程，体会分类讨论和转化的思想方法，感受数学思想的严密性与方法的灵活性。
3、解决问题方面：通过对一元二次方程定理及逆定理的运用，体会数学的互逆思想，提高学生的计算能力及解决实际问题的能力。
4、情感态度方面：通过对一元二次方程根的判别式的意义及作用的探究，培养学生对科学的探索精神和严谨的治学态度。
三、学情分析及教法学法：1、学情分析：学生在上一节推导求根公式以及用公式法解一元二次方程的过程中，对b2-4ac的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究b2-4ac的作用，它是前面知识的深化和总结。
一元二次方程之特殊根问题
题型切片（两个）对应题目题型目标整数根问题例1，例2，例3，例4，练习1，练习2，练习3；公共根问题例5，例6，练习4，练习5．解决整数根问题的思路：1.先看方程二次项系数，确定二次项系数是否能为0；2.确定是一元二次方程后，看能否因式分解求出根的取值；3.不能因式分解的：⑴判别式是完全平方数；⑵b-±∆是2a的整数倍．以上两个条件需同时满足，缺一不可，如果只满足⑴，则只能保证方程有有理根．思路导航题型切片知识互联网一元二次方程的特殊根问题题型一：整数根问题【引例】 已知m 为整数，求证关于x 的一元二次方程2220x mx m +-=有根且都是整数．【解析】 法1：将原方程直接因式分解求出两根()()20x m x m -+=，即1x m =，22x m =-，故符合题意．法2：不用因式分解，利用根的判别式是完全平方数()()222242930m m m m ∆=-⨯-==≥，且29m m -±是2的倍数，故符合题意.【例1】 已知关于x 的方程2(1)(31)220k x k x k ++-+-=．⑴讨论此方程根的情况；⑵若方程有两个整数根，求正整数k 的值．【例2】 已知关于x 的一元二次方程22240x x k ++-=有两个不相等的实数根．⑴求k 的取值范围；⑵若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．【例3】 当m 为何整数时，关于x 的一元二次方程 2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数．【例4】 当整数m 取何值时，关于x 的方程()21(21)10m x m x --++=有整数根．例题精讲典题精练若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题． 两个一元二次方程只有一个公共根的解题步骤：⑴设公共根为a ，则a 同时满足这两个一元二次方程；⑵用加减法消去a 2的项，求出公共根或公共根的有关表达式；⑶把公共根代入原方程中的任何一个方程，就可以求出字母系数的值或字母系数之间的关系式．【引例】 已知两方程20x mx n ++=，20x nx m ++=有且仅有一个公共根，求m ，n 关系．【解析】 设a 为两方程公共根，则2200a ma n a na m ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①②①-②得()()0m n a n m -+-=()()10m n a --=∵有且只有一个公共根，则0m n -≠∴1,a =即1x =将1x =代入，1m n +=-且m n ≠．【例5】 已知2a >，2b >，试判断关于x 的方程2()0x a b x ab -++=与2()0x abx a b -++=有没有公共根，请说明理由．典题精练例题精讲思路导航题型二：公共根问题【例6】 已知关于x 的一元二次方程()2200ax bx c a ++=>①．⑴ 若方程①有一个正实根c ，且20ac b +<．求b 的取值范围； ⑵ 当1a =时，方程①与关于x 的方程2440x bx c ++=②有一个相同的非零实根，求2288b c b c-+的值．题型一 整数根问题 巩固练习【练习1】 已知关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的根是整数，求符合条件的a 的整数值.【练习2】 当k 为何正整数时，关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有两个非零整数根．真题赏析复习巩固【练习3】 设m 为整数，且440m <<，方程()2222341480x m x m m --+-+=有两个整数根，求m 的值及方程的根．题型二 公共根问题 巩固练习【练习4】 已知m 为非负实数，当m 取什么值时，关于x 的方程21=0x mx +-与22=0x x m ++-仅有一个相同的实根？【练习5】 设关于x 的方程24x ax +=只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根.。
义乌市二中九年级数学上册 第二章 一元二次方程 3用公式法求解一元二次方程教学案无答案北师大版
3 用公式法求解一元二次方程教学目标【知识与技能】1.理解求根公式的推导过程和判别公式.2.使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程. 【过程与方法】通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想. 【情感态度】让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感.【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用. 【教学难点】理解求根公式的推导过程及判别公式的应用. 教学过程一、情境导入,初步认识用配方法解方程： （1）x 2+3x+2=0 （2）2x 2-3x+5=0【教学说明】学生板演，复习旧知. 二、思考探究，获取新知1.探究：用配方法解方程：ax 2+bx+c=0（a ≠0）.分析：前面具体数字已做了很多，我们现在不妨把a 、b 、c 也当成具体数字，根据配方法的解题步骤推下去.解：移项，得：ax 2+bx=-c因为a ≠0，所以方程两边同除以a ，得： x 2+b a x=c a- 配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=c a -+（2b a）2即（x+2b a ）2=2244b aca- ∵a ≠0，∴4a 2>0，当 b 2-4ac ≥0时，2244b ac a -≥0∴x+2b a =即∴x 1=2b a -+x 2=2b a-【归纳总结】由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子b 2-4ac ≥0），就可求出方程的根；（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式； （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法； （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：（1）将a 、b 、c 的值代入公式时，一定要注意符号不能出错；（2）式子b2-4ac ≥0是公式的一部分.【教学说明】让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 能否用配方法求出它的解，通过解方程发现归纳一元二次方程的求根公式.2.用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？ （1）2x 2-3x=0；（2）3x 2；（3）4x 2+x+1=0.【归纳总结】（1）当Δ=b 2-4ac>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个不相等的实数根，即x 1x 2；（2）当Δ=b 2-4ac=0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等实数根即x 1=x 2=-2ba； （3）当Δ=b 2-4ac<0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）没有实数根. 【教学说明】进一步体会一元二次方程的根与b 2-4ac 的关系. 三、运用新知，深化理解1.用公式法解下列方程. （1）2x 2-x-1=0； （2）x 2+1.5=-3x ；（3）x 2；（4）4x 2-3x+2=0.分析：用公式法解一元二次方程，需先确定a、b、c的值，再算出b2-4ac的值，最后代入求根公式求解.【教学说明】（1）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根是由一元二次方程的系数a、b、c 确定的；（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入（3）由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根.2.不解方程，判定方程根的情况（1）16x2+8x=-3；（2）9x2+6x+1=0；（3）2x2-9x+8=0；（4）x2-7x-18=0.分析：不解方程，判定方程根的情况，只需根据b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可.b2-4ac的值是在一元二次方程一般形式下得出的，所以首先必须将方程化为一般形式.3.若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）.分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0.因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0，就可求出a的取值范围.解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根.∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0∴a<-2∵ax+3>0即ax>-3，∴x<-3/a，∴所求不等式的解集为x<-3/a.【教学说明】主体探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解求根公式.四、师生互动，课堂小结本节课通过配方法求解一般形式的一元二次方程的根，推出了一元二次方程的求根公式，并掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况.教材反思通过复习配方法使学生对一元二次方程的定义及解法有一个深刻的印象.然后让学生用配方法推导一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)的解，并掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，使学生的推理能力得到加强.21.3 实际问题与一元二次方程第1课时解决代数问题1．经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤．2．通过学生自主探究，会根据传播问题、百分率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤．3．通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．重点利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题．难点如果理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长(降低)过程，找到传播问题和百分率问题中的数量关系．一、引入新课1．列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？2．科学家在细胞研究过程中发现：(1)一个细胞一次可分裂成2个，经过3次分裂后共有多少个细胞？(2)一个细胞一次可分裂成x个，经过3次分裂后共有多少个细胞？(3)如是一个细胞一次可分裂成2个，分裂后原有细胞仍然存在并能再次分裂，试问经过3次分裂后共有多少个细胞？二、教学活动活动1：自学教材第19页探究1，思考教师所提问题．有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？(1)如何理解“两轮传染”？如果设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染后共有________人患流感．第二轮传染后共有________人患流感．(2)本题中有哪些数量关系？(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？解答：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有(x＋1)人患了流感，第二轮有x(1＋x)人被传染上了流感．于是可列方程：1＋x＋x(1＋x)＝121解方程得x1＝10，x2＝－12(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．变式练习：如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？活动2：自学教材第19页～第20页探究2，思考老师所提问题．两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(1)如何理解年平均下降额与年平均下降率？它们相等吗？(2)若设甲种药品年平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了________元，此时成本为________元；两年后，甲种药品下降了________元，此时成本为________元．(3)增长率(下降率)公式的归纳：设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1±x)；二月(或二年)后产量为a(1±x)2；n月(或n年)后产量为a(1±x)n；如果已知n月(n年)后总产量为M，则有下面等式：M＝a(1±x)n.(4)对甲种药品而言根据等量关系列方程为：________________.三、课堂小结与作业布置课堂小结1．列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际．2．传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立．3．若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基准数是a，增长(或降低)n次后的量是b，则有：a(1±x)n＝b(常见n＝2)．4．成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小的药品，它的下降率不一定也较小．作业布置教材第21－22页习题21.3第2－7题．22.4 图形的位似变换图形在平面直角坐标系中的位似变换一、教学目标1．巩固位似图形及其有关概念．2．会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．3．了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换．二、重点、难点1．重点：用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．2．难点：把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．3．难点的突破方法（1）相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形之间的一个基本变换，因此一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．．（2）带领学生共同探究出位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点．．为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．（3）在平面直角坐标系中，用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的关键是要确定位似图形各个顶点的坐标，而不同方法得到的图形坐标是不同的．如：已知：△ABC三个顶点坐标分别为A(1,3)，B(2,0)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，根据前面（2）总结的变化规律，点A的对应点A′的坐标为（1×2，3×2），即A′（2，6），或点A的对应点A′′的坐标为（1×(-2)，3×(-2)），即A′′（-2，-6）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．（4）本节课的最后要给学生总结（或让学生自己总结）平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而图形放大或缩小（位似变换）之后是相似的．并让学生练习在所给的图案中，找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换．三、例题的意图本节课安排了两个例题，例1是教材P63的例题，它是在引导学生寻找出位似变换中对应点的坐标的变化规律后的一个用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的题目，其目的是巩固新知识，帮助学生加深理解用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换知识，此题目应让学生用不同方法作出图形．例2是教材P64的一个问题，它是“平移、轴对称、旋转和位似”四种变换的一个综合题目，所给的图案由于观察的角度不同，答案就会不同，因此应让学生自己来回答，并在顺利完成这个题目基础上，让学生自己总结出这四种变换的异同．四、课堂引入1．如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，（1）将△ABC 向左平移三个单位得到△A 1B 1C 1，写出A 1、B 1、C 1三点的坐标；（2）写出△ABC 关于x 轴对称的△A 2B 2C 2三个顶点A 2、B 2、C 2的坐标；（3）将△ABC 绕点O 旋转180°得到△A 3B 3C 3，写出A 3、B 3、C 3三点的坐标．2．在前面几册教科书中，我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转（中心对称）等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示． 3．探究：（1）如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6,3)，B(6,0)．以原点O 为位似中心，相似比为31，把线段AB 缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？ （2）如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点O 为位似中心，相似比为2，将△ABC 放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？【归纳】 位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ． 五、例题讲解例1（教材P63的例题）分析：略（见教材P63的例题分析） 解：略（见教材P63的例题解答）问：你还可以得到其他图形吗？请你自己试一试！解法二：点A 的对应点A′′的坐标为（-6×)21(-，6×)21(-），即A′′（3，-3）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．（具体解法与作图略）例2（教材P64）在右图所示的图案中，你能找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换吗？分析：观察的角度不同，答案就不同．如：它可以看作是一排鱼顺时针旋转45°角，连续旋转八次得到的旋转图形；它还可以看作位似中心是图形的正中心，相似比是4∶3∶2∶1的位似图形，……． 解：答案不惟一，略． 六、课堂练习 1． 教材P64．1、22． △ABO 的定点坐标分别为A(-1,4)，B(3,2)，O(0,0)，试将△ABO放大为△EFO，使△EFO与△ABO的相似比为2.5∶1，求点E和点F 的坐标．3．如图，△AOB缩小后得到△COD，观察变化前后的三角形顶点，坐标发生了什么变化，并求出其相似比和面积比．七、课后练习1．教材P65．3， P66．5、82．请用平移、轴对称、旋转和位似这四种变换设计一种图案（选择的变换不限）．3．如图，将图中的△ABC以A．为位似中心，放大到 1.5倍，请画出图形，并指出三个顶点的坐标所发生的变化．教学反思。
一元二次方程求根公式
一、一周知识概述1、一元二次方程的求根公式将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为．该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.2、一元二次方程的根的判别式（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．二、重难点知识1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。
(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。
(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。
(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。
如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。
(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。
2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是三、典型例题讲解例1、解下列方程：(1)；(2)；(3).分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，解：(1)因为a=1，，c=10所以所以(2)原方程可化为因为a=1，，c=2所以所以.(3)原方程可化为因为a=1，，c=－1 所以所以；所以．总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行．例2、用适当方法解下列方程：①②③④⑤⑥⑦分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。
《因式分解法解一元二次方程》教案3
《因式分解法解一元二次方程》教案3安福县城关中学曹经富教学设计说明：通过本节课的设计，让学生体会通过因式分解法解方程的降次思想与方法，经历知识的发生、发展、形成过程，应注意从学生最近的知识点出发，激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验，体验与感知一元二次方程解法的多样性。
（1）教材分析本节课是在学生学习了一元二次方程的解法和根的判别式的基础上展开的，它在整个中学教学中有很重要的地位，通过讲解利用因式分解法降次解一元二次方程，并归纳一元二次方程的三种解法及其应用，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思路和方法，培养学生观察思考，避繁就简和一题多解的能力等都具有重要的作用。
（2）学情分析由于学生前面已经学过了有关整式方程的解法，所以重点应放在如何通过降次达到转化成一元一次方程上，因式分解就是这样一种方法，在初二时各种因式分解法已学习过，包括十字相乘法。
初三学生在思想上以逐渐成熟，对事物已具备了一定的逻缉思维能力，对方程的基本思路已经比较熟悉，所以在教学时，可让学生充分探讨、分析，帮助他们直观形象地感知。
同时学生已经具备了一定的学习能力，所以本节课中，应多为学生创造自主学习、合作学习的机会，让他们主动参与、勤于动手、从而乐于探究。
教学目标1.运用因式分解法解一元二次方程，能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。
2.体会“降次”化归的思想，体会问题解决过程中方法的多样性。
3.使学生知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度。
通过学生之间的交流、讨论，培养学生的合作精神。
教学重点、难点重点：应用分解因式法解一元二次方程。
关键是让学生感受到数学学习中的转化思想（将一元二次方程转化成一元一次方程），发展学生能够运用不同方法解决问题的能力和方法。
一元二次方程的求根公式及根的判别式
一元二次方程的求根公式及根的判别式主讲：黄冈中学高级教师余国琴一、一周知识概述1、一元二次方程的求根公式将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为．该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.2、一元二次方程的根的判别式（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．二、重难点知识1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。
(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。
(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。
(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。
如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。
(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。
2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是三、典型例题讲解例1、解下列方程：(1)；(2)；(3).分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，解：(1)因为a=1，，c=10所以所以(2)原方程可化为因为a=1，，c=2所以所以.(3)原方程可化为因为a=1，，c=－1所以所以；所以．总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行．例2、用适当方法解下列方程：①②③④⑤⑥⑦分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。
一元二次方程的基本概念与常见求解方法
一元二次方程的基本概念与常见求解方法知识点睛一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，最高次数的项系数不为 0 的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式2(0)0ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．（1）要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准：一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．一元二次方程最高次数的项系数不为0．（2）任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式2(0)0ax bx c a ++=≠． 要特别注意对于关于 x 的方程2(0)0ax bx c a ++=≠．当0a ≠时，方程是一元二次方程；当00a b =≠且时，方程是一元一次方程． （3）关于x 的一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠的项与各项的系数．ax 2 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．一元二次方程的解法（1）直接开平方法：适用于解形如 (ax +b )2 = ()00a c ≠， 的一元二次方程． （2）配方法：解形如2 )00(ax bx c a ++=≠的一元二次方程，运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：① 二次项系数化为1．② 常数项右移．③ 配方 (两边同时加上一次项系数一半的平方)．④ 化成 (x +m )2 = n 的形式．⑤ 若0n ≥，直接开平方得出方程的解。
（3）公式法：设一元二次方程为2 )00(ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：2124b ac x x ∆=-，， 是方程的两根，则：1. ∆ > 0 ⇔ 方程 2)00(ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根 x = 2. ∆ = 0 ⇔ 方程 2 )00(ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根 122b x x a==-； 3. ∆ < 0 ⇔ 方程2 )00(ax bx c a ++=≠ 没有实数根．运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：① 把方程化为一般形式．② 确定 a 、b 、c 的值．③ 计算24b ac -的值．④ 若 240b ac -≥，则代入公式求方程的根．⑤ 若240b ac -<，则方程无实数根．（4）因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．因式分解法的一般步骤：① 将方程化为一元二次方程的一般形式；② 把方程的左边分解为两个一次因式的积；③ 令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④ 解出这两个一元一次方程得到原方程的解． 一元二次方程解法的灵活运用直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．（1）直接开平方法：用于缺少一次项以及形如 ax 2 = b 或 (x +a )2 = b (0)b ≥ 或 (ax +b )2 =(cx +d )2 的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．（2）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式 ax 2 +bx +c = 0(a 、b 、c 为常数，0a ≠) 转化为它的简单形式 Ax 2 = B ，这种转化方法就是配方，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．（3）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算 24b ac -的值．（4）因式分解法：适用于右边为 0(或可化为 0)，而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．【例 1】（1） 若 x 2a +b -3x a-b +1 = 0 是关于 x 的一元二次方程，求 a 、b 的值．（2） 若 n (n ≠0) 是关于 x 的方程 x 2 +mx +2n = 0 的根，则 m +n 的值为 ( )A. 1B. 2C. -1D. -2（3） 已知 43x =，则2421x x x ++的值是 .（4） 当 111552n n x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，(.n x = （ n 为自然数）【例 2】（1） 用直接开平方法解方程：2269(5) 2x x x -+=-． （2） 用配方法解方程：22310x x ++=．（3） 用分解因式法解方程：2()2136x x -=-． （4） 用公式法解方程：161432)2(2x x x x ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭例 3】（1） 解关于 x 的方程： 21 213()()0m x m x m -+-+-=． （2） 解关于 x 的方程22656223200x xy y x y --++-=． 【例 4】（1）如果方程 22()2020x px q x qx p p q -+=-+=≠和 有公共根，则该公共根为 ．（2）若方程2222100ax ax x ax a +-=--=和有公共根，求a 的值例 5】（1） 解方程：22132(10)|2|x x ---+=．（2） 解方程：221|4|x x +-=．练习2 高次方程和无理方程知识点睛1.特殊高次方程的解法:一般的高次方程没有统一的求解方法. 对于一些特殊的高次方程, 可通过降次, 转化为一元二次方程或一元一次方程求解，转化的方法有因式分解法（因式定理）、换元法、变换主元法等.2. 特殊分式方程的解法:求解分式方程总的原则是通过去分母或换元, 使其转化为整式方程, 然后再求解. 在这个过程中离不开分式的恒等变形, 如通分、约分及降低分子的次数等等, 这就有可能使方程产生增根（或遗根）.3. 特殊无理方程的解法:解无理方程的基本思路是把根式转化为有理方程求解. 转化过程中常用的方法有: 乘方、配方、因式分解、等价变换、换元、增元、对偶、利用比例性质等. 如果变形过程是非等价变形（如方程两边平方）, 可能产生增根, 因此应注意验根.精讲精练【例 6】（1） 解方程：43225122560x x x x --++=．（2）解关于 x 的方程 ()()322212 0x t x tx t t +--+-=．（3）解方程 321010x x ++++=【例 7】（1）解方程：(8x + 7)2 (4x + 3)(x + 1)= 29 ；（2）解方程： x x x x x x +-=------2221120102910451069． （3）解方程：222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+．【例 8】（1）解方程：()()222323322x x x x x =+-++--． （2）解方程：22252x x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭． （3）方程()()3232232?47615180x x x x x x x x -+---++-+=全部实根是 ．【例 9】（12=．（2）解方程 266 0x x --+=．【例 10】（1）已知 2x =，求．（2）无理方程 221518x x -=-的解是 。
初中数学九年级《一元二次方程的根的判别式》公开课
温故而知新
一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0 , b2 4ac 0 )
的求根公式是
x b b2 4ac 2a
如何把一元二次方程 ax2bxc0a0 写
成 xh2 k 的形式？
ax2 bx c 0
x2 b x c 0 aa
如果方程有两个不相等的实数根，那么b2 4ac 0; 如果方程有两个相等的实数根，那么 b2 4ac 0; 如果方程没有实数根，那么 b2 4ac 0.
我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2 bx c 0a 0
的根的判别式，用符号“ ”来表示,
当A沿数轴移动4个单位到点B时，点B
所表示的实数是( )
A2
B -6
C -6或2 D 以上都不对
直接分类法
练习1、商场促销活动中，将标价为 200元的商品，在打8折的基础上，再 打8折销售，现该商品的售价是( ) A 160元 B 128元 C 120元 D 88元
直接计算
2
练8习2、下列与 2 是同类二次根式 的是( 10)
下面举例再回顾一下解数学选择题的几种常用方 法，供大家复习时参考，希望对同学们有所启发和帮 助。
一、直接法：
直接根据选择题的题设，通过计算、推理、判断得出正确选项
例1、抛物线y=x2-4x+5的顶点坐标是（ A、（-2，1） B、（-2，-1） C、（2，1） D、（2，-1）
）。
类比：点A为数轴上表示-2的动点，
b a c 一般步骤： 1、化为一般式，确定 、 、 的值.ห้องสมุดไป่ตู้2、计算 的值，确定 的符号. 3、判别根的情况，得出结论.
九年级数学上册 22.1一元二次方程 一元二次方程的根素材 新人教版
一元二次方程的根
能够使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解，这与一元一次方程，二元一次方程的解的意义一样.一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
检验一个未知数的值是否是一元二次方程的解的方法：将未知数的值代入方程的左，右两边，分别计算结果，再比较左右两边是否相等，如果左右两边相等，则未知数的值是原方程的解，否则就不是原方程的解.
另外，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．。
数学北师大版九年级上册《一元二次方程的根的判别式》课件公开课(3)
C.只有一个实数根
D.没有实数根
3.用公式法解方程：（1） x2 7x 18 0
x1=9,x2=-2
x2 2x 2 0
x1=-1+ 3 x2=-1- 3
六、感悟与收获：
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式 是什么？ 2、如何判断一元二次方程根的情况？ 3、用公式法解方程应注意的问题是什么？
两个不相等的实数根
两个不相等的实数根
（3）3x2+2x1=0
无实数根
两个相等的实数根
比一比谁简洁
（3）3x2+2x+1=0
解:a=3,b=2,c=1
b2-4ac =22-4×2×1 =-4<0
∴ 方程无解
x2 2 x 1 0 33
x2 2 x (1)2 1 1 0 3 3 93
七、分层作业
（1）A、B、C组学生全做： 1、课本43页随堂练习1,2题。 2、知识技能1、2题。 （2）B组学生加随堂练习3，问题解决3. （3）C组学生再加问题解决4。
七、动脑筋
关于x 的方程m2x2+(2m+1)x+1=0 有两个不相等 的实数根，则m______________ 变题1：关于x 的方程m2x2+(2m+1)x+1=0 有两 个相等的实数根，则m_____________ 变题2：关于x 的方程m2x2+(2m+1)x+1=0 没有 实数根，则m____________ 变题3：关于x 的方程m2x2+(2m+1)x+1=0 有两 实数根，则m____________
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有两个不相等的正整数根，则
若 为正整数，且关于 的方程 巩固8
有两个相异正整数根，求 的值．
已知方程
的根都是整数，求整数 的值．
与根系关系起十分重要的作用．
解整系数一元二次方程整数根问题的常用方法
1．利用判别式法
在一元二次方程有整数根的前提下，利用判别式 必须是完全平方式，且
是 的整数倍，结
合整除及其他有关知识分析求解．
2．利用根与系数的关系法
由根系关系得到用待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母得出不定方程来求解，或利用
“和与积必须是整数”，结合整除性分析求解．但后者必须进行检验．
3．直接求根法
当一元二次方程的根很容易通过分解因式求出时，我们可以直接利用整除的性质讨论当根为整数时
参数的取值范围．
典题精练
例题5
关于 的二次方程 数 的值．
的两根都是整数．求满足条件的所有整
例题6
若关于 的方程
的解都是整数，求符合条件的整数 的值．
第3讲 一元二次方程的特殊根问题
一、一元二次方程的公共根
知识导航 一元二次方程的公共根问题的一般解法
设公共根，代入原方程（两个或以上），然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．
典题精练
例题1
求 的值，使得关于 的一元二次方程
，
方程的根．
有相同的根，并求两个
例题2
已知 为方程
的根， 为方程
的根，且
，求 的值．
例题7
为什么实数时，关于 的方程
的解都是整数？
例题8
已知关于 的方程 例题9
的两根都是整数，求 的值．
设方程 解．
有整数解，试确定整数 的值，并求出这时方程所有的整数
例题10
当 为何整数时，方程 例题11
有整数解．
已知 是正整数，如果关于 的方程 方程的整数根．
的根都是整数，求 的值及
三、巩固加油站
例题3
设 ，，为
的三边，且二次三项式
与
有一次公因式，证明：
一定是直角三角形．
例题4
二次项系数不相等的两个二次方程
和
（其中 ， 为正整数）有一个公共根，求
的值．
二、一元二次方程的整数根
知识导航
判断整系数一元二次方程是否有整数根的思路
判断整系数一元二次方程
是否有整数根问题的过程中，整除的性质、求根公式、判别式
巩固1
已知 为非负实数，当 取什么值时，关于 的方程
与
相同的实根？
仅有一个
巩固2
方程
和方程
有一个根互为倒数，求 的值．
巩固3
三个二次方程
，
，
有公共根．求证：
；
巩固4
当 为何整数时，关于 的一元二次方程
与
整数．
巩固5
的根都是
已知关于 的方程 巩固6
的根都是整数，那么符合条件的整数 有
个．
已知 为整数，且关于 的方程 ．