上海市2019年1月春季高考数学试卷(解析版)
2019上海春季高考数学模拟试题及解析
2019上海春季高考数学模拟试题1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B={1，2，3，4} ．【考点】并集及其运算．【分析】根据集合的并集的定义求出A、B的并集即可．【解答】解：集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B={1，2，3，4}，故答案为：{1，2，3，4}．【点评】本题考查了集合的并集的定义以及运算，是一道基础题．2．不等式|x﹣1|＜3的解集为（﹣2，4）．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】根据绝对值的性质去掉绝对值，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵|x﹣1|＜3，∴﹣3＜x﹣1＜3，∴﹣2＜x＜4，故不等式的解集是（﹣2，4），故答案为：（﹣2，4）．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，是一道基础题．3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z=2﹣3i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵2﹣1=3+6i，∴，则，∴z=2﹣3i．故答案为：2﹣3i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．4．若，则=．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由已知利用诱导公式即可化简求值．【解答】解：∵，∴=﹣cosα=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．5．若关于x、y的方程组无解，则实数a=6．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】把方程组无解转化为两条直线无交点，然后结合两直线平行与系数的关系列式求得a值．【解答】解：若关于x、y的方程组无解，说明两直线x+2y﹣4=0与3x+ay﹣6=0无交点．则，解得：a=6．故答案为：6．【点评】本题考查根的存在性与根的个数判断，考查数学转化思想方法，是中档题．6．若等差数列{a n}的前5项的和为25，则a1+a5=10．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列前n项和公式得=25，由此能求出a1+a5．【解答】解：∵等差数列{a n}的前5项的和为25，∴=25，∴a1+a5=25×=10．。
2019届上海市1月春季高考数学试题(解析版)
2019届上海市1月春季高考数学试题一、单选题1．下列函数中，值域为的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依次判断各个函数的值域，从而得到结果.【详解】选项：值域为，错误选项：值域为，正确选项：值域为，错误选项：值域为，错误本题正确选项：【点睛】本题考查初等函数的值域问题，属于基础题.2．已知，则“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【答案】C【解析】通过函数的图象可知，函数值与自变量距对称轴距离成正比，由此可判断为充要条件.【详解】设，可知函数对称轴为由函数对称性可知，自变量离对称轴越远，函数值越大；反之亦成立由此可知：当，即时，当时，可得，即可知“”是“”的充要条件本题正确选项：【点睛】本题考查充分必要条件的判断问题，属于基础题.3．已知平面两两垂直，直线满足：，则直线不可能满足以下哪种关系（）A．两两垂直B．两两平行C．两两相交D．两两异面【答案】B【解析】通过假设，可得平行于的交线，由此可得与交线相交或异面，由此不可能存在，可得正确结果.【详解】设，且与均不重合假设：，由可得：，又，可知，又，可得：因为两两互相垂直，可知与相交，即与相交或异面若与或重合，同理可得与相交或异面可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行本题正确选项：【点睛】本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果.4．以为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，且满足，则点的轨迹是（）A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线【答案】A【解析】根据圆心和圆上点建立关于半径的方程，得到和；根据整理出，从而得到点的轨迹.【详解】因为同理：又因为，所以则，即设，则为直线本题正确选项：【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求解问题，关键在于能够将所求动点的横纵坐标建立起等量关系，从而转化为轨迹方程.二、填空题5．已知集合，，则_________________【答案】【解析】根据交集的定义，直接求解即可.【详解】，本题正确结果：【点睛】本题考查集合基本运算中的交集运算，属于基础题.6．计算________【答案】2【解析】将原式转化为，从而得到极限值为.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查极限运算，属于基础题.7．不等式的解集为______【答案】【解析】将不等式变为，解不等式得到结果.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，属于基础题.8．函数的反函数为___________【答案】【解析】求解出原函数的值域，得到反函数的定义域，再求解出反函数的解析式，得到结果.【详解】当时，，即又反函数为：，【点睛】本题考查反函数的求解，易错点为忽略反函数的定义域.9．设为虚数单位，，则的值为__________【答案】【解析】把已知等式变形得，再由，结合复数模的计算公式求解即可．【详解】由，得，即本题正确结果：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．10．已知，当方程有无穷多解时，的值为_____________.【答案】【解析】由题意可知两方程完全相同，通过系数化简得到方程组，求得最终结果. 【详解】方程有无穷多解两方程相同又本题正确结果：【点睛】本题考查根据方程根的个数求解参数问题，属于基础题.11．在的二项展开式中，常数项的值为__________【答案】15【解析】写出二项展开式通项，通过得到，从而求得常数项.【详解】二项展开式通项为：当时，常数项为：本题正确结果：【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.12．在中，，且，则____________【答案】【解析】根据正弦定理求出，再利用余弦定理求出.【详解】由正弦定理可知：，又由余弦定理可知：本题正确结果：【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题，属于基础题.13．首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有_____种（结果用数值表示）【答案】24【解析】首先安排甲，可知连续天的情况共有种，其余的人全排列，相乘得到结果. 【详解】在天里，连续天的情况，一共有种剩下的人全排列：故一共有：种【点睛】本题考查基础的排列组合问题，解题的关键在于对排列组合问题中的特殊元素，要优先考虑，然后再考虑普通元素.14．如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为_______【答案】【解析】通过函数解析式得到两点坐标，从而表示出，利用基本不等式得到最值，从而得到取最值时的条件，求解得到结果.【详解】依题意得：，则当且仅当即时取等号，故本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式的应用，关键在于能够通过坐标构造出关于的基本不等式的形式，从而利用取等条件得到结果.15．在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为____________【答案】【解析】通过坐标表示和得到；利用向量数量积运算得到所求向量夹角的余弦值为：；利用的范围得到的范围，从而得到角的范围.【详解】由题意：，设，，因为，则与结合，又与结合，消去，可得：所以本题正确结果：【点睛】本题考查向量坐标运算、向量夹角公式应用，关键在于能够通过坐标运算得到变量的取值范围，将问题转化为函数值域的求解.16．已知集合，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是____________【答案】1或【解析】根据所处的不同范围，得到和时，所处的范围；再利用集合的上下限，得到与的等量关系，从而构造出方程，求得的值.【详解】当时，当，则；当，则即当时，；当时，，即即当时，；当时，，即所以，解得当时，当，则；当，则即当时，；当时，，即即当时，；当时，，即所以，解得当时，同理可得，无解本题正确结果：或【点睛】本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的不同取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程；难点在于能够准确地对的范围进行分类，对于学生的分析和归纳能力有较高的要求，属于难题.三、解答题17．如图，在正三棱锥中，（1）若的中点为，的中点为，求与的夹角；（2）求的体积.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由中位线可知，从而所求夹角即为，根据余弦定理，可求得余弦值，从而得到的大小；（2）根据正三棱锥的性质，可求得几何体的高，再根据棱锥体积公式求得结果.【详解】（1）分别为中点，可知：与夹角即为与夹角在中，由余弦定理可得：即与的夹角为（2）作面，连接，如下图所示：三棱锥为正三棱锥为的中心且落在上【点睛】本题考查异面直线所成角、空间几何体体积的求解问题.求解异面直线所成角问题的关键在于能够通过平行关系将直线进行平移，转化为相交直线所成角的问题.18．已知数列，，前项和为.（1）若为等差数列，且，求；（2）若为等比数列，且，求公比的取值范围.【答案】（1）；（2）；【解析】（1）通过，求解出，通过求和公式得到；（2）根据可得且，从而得到不等式，解不等式得到结果.【详解】（1）由且（2）由题意可知则且或又【点睛】本题考查等差数列求和、等比数列前项和的应用问题.利用等比数列前项和的极限求解的范围的关键在于能够明确存在极限的前提，然后通过公式得到关于的不等式，求解不等式得到结果.19．已知抛物线方程为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：.（1）当时，求；（2）证明：存在常数，使得；（3）为抛物线准线上三点，且，判断与的关系.【答案】（1）；（2）2；（3）见解析【解析】（1）求解出点坐标，然后得到和，从而求得；（2）通过假设点坐标得到直线方程，与抛物线联立后得到，代入，整理得到结果；（3）由可知为中点，假设三点坐标，代入，将式子整理为和的形式，然后通过平方运算可得到，从而得到结论：.【详解】由题意可知：，准线方程为：（1）因为联立方程则（2）当时，易得设，，直线，则联立，由对称性可知亦成立综上所述，存在，使得（3）由可知为中点设，则因为又因所以【点睛】本题考查抛物线中的定值问题、直线与抛物线的综合应用.解决第三问三者之间关系的关键是能够明确问题的本题，其本质为三角形中的三边关系问题：为的中线，则由三角形两边之和大于第三边，可知；明确本质之后即明确了证明方向，对于学生的转化与化归能力要求较高.20．已知等差数列的公差，数列满足，集合.（1）若，求集合；（2）若，求使得集合恰好有两个元素；（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值.【答案】（1）；（2）或；（3）【解析】（1）根据正弦函数周期性的特点，可知数列周期为，从而得到；（2）恰好有两个元素，可知或者，求解得到的取值；（3）依次讨论的情况，当时，均可得到符合题意的集合；当时，对于，均无法得到符合题意的集合，从而通过讨论可知.【详解】（1），，，，，，由周期性可知，以为周期进行循环（2），，恰好有两个元素或即或或（3）由恰好有个元素可知：当时，，集合，符合题意；当时，，或因为为公差的等差数列，故又，故当时，如图取，，符合条件当时，，或因为为公差的等差数列，故又，故当时，如图取，，符合条件当时，，或因为为公差的等差数列，故又，故当时，如图取时，，符合条件当时，，或因为为公差的等差数列，故又，故当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，即，,不符合条件；当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，即，不是整数，故不符合条件；当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有或若，即，不是整数，若，即，不是整数，故不符合条件；综上：【点睛】本题考查三角函数、数列、函数周期性的综合应用问题.解题的难点在于能够周期，确定等量关系，从而得到的取值，再根据集合的元素个数，讨论可能的取值情况，通过特殊值确定满足条件的；对于无法取得特殊值的情况，找到不满足条件的具体原因.本题对于学生的综合应用能力要求较高，属于难题.。
2019年1月春季上海市高考数学试题卷及答案解析
2、计算 lim
n
____
3、不等式 x 1 5 的解集为______ 4、函数 f x x 2 x 0 的反函数为___________ 5、设 i 为虚数单位， 3 z i 6 5i ，则 z 的值为__________
）
A、直线
B、圆
C、椭圆
D、双曲线
三、解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17、如图，在正三棱锥 P ABC 中， PA PB PC 2, AB BC AC 3 （1）若 PB 的中点为 M ， BC 的中点为 N ，求 AC 与 MN 的夹角；
（3）若集合 S 恰好有三个元素： bn T bn ， T 是不超过 7 的正整数，求 T 的所有可能的值.
解析卷
2019 年上海市春考数学试题卷
2019.01 一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1、已知集合 A 1, 2,3, 4,5 ， B 3,5, 6 ，则 A B _________________ 答案： 3,5
11、在椭圆
12、已知集合 A t , t 1 t 4, t 9 ， 0 A ，存在正数 ，使得对任意 a A ，都有 是____________ 二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13、下列函数中，值域为 0, 的是（
A、两两垂直
16 、 以 a1 , 0 , a2 , 0 为 圆 心 的 两 圆 均 过 1, 0 ， 与 y 轴 正 半 轴 分 别 交 于 y1 , 0 , y2 , 0 ， 且 满 足
19年春考数学试题及答案
19年春考数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+3，则f(1)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，则a5的值为：A. 14B. 17C. 20D. 233. 若复数z=1+i，则|z|的值为：A. 1C. 2D. √34. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)的值为：A. 3x^2-6xB. x^2-3xC. 3x-6D. x^3-3x^25. 若直线l的方程为y=2x+1，且与x轴交于点A，求A的坐标为：A. (0,1)B. (1,0)C. (-1/2,0)D. (1/2,0)6. 已知向量a=(3,-2)，b=(2,1)，则a·b的值为：A. 4C. -2D. -47. 若函数f(x)=x^2-6x+8，求f(x)的最小值：A. -4B. 2C. 8D. 108. 已知双曲线C的方程为x^2/9-y^2/16=1，求其渐近线方程为：A. y=±4/3xB. y=±2/3xC. y=±4/3xD. y=±2/3x9. 已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=9，求圆心C的坐标为：A. (1,-2)B. (-1,2)C. (1,2)D. (-1,-2)10. 若函数f(x)=sin(x)+cos(x)，则f(π/4)的值为：A. √2B. 1C. 2D. 0二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等比数列{bn}的首项b1=1，公比q=2，则b3的值为______。
12. 若函数f(x)=x^2-4x+3，则f(-1)的值为______。
13. 已知向量a=(1,2)，b=(-3,2)，则|a+b|的值为______。
14. 若直线l的方程为x-2y+3=0，则l与y轴交于点B，求B的坐标为______。
15. 已知圆C的方程为x^2+y^2-6x+8y-24=0，求圆C的半径r为______。
2019年上海普通高等学校春季招生考试数学试卷
2019年上海普通高等学校春季招生考试数学试卷
注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！
数学试卷
一.填空题〔本大题总分值56分〕本大题共有14题，要求直接填写结果，每题答对得4分，否那么一律得零分.
二、选择题〔本大题总分值16分〕本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，考生必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得5分，否那么一律得零分.
三、解答题〔本大题总分值74分〕本大题共有5题，解答以下各题必须写出必要的步骤.
19.(此题总分值12分)此题共有两个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值6分.
20.(此题总分值14分)此题共有2个小题，第1小题总分值7分，第2小题总分值7分.
21.(此题总分值14分)此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分.
22.(此题总分值16分)此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值6分.
23.(此题总分值18分)此题共有3个小题，第1小题总分值3分，第2小题总分值6分，第3小题总分值9分.。
上海市2019年1月春季高考数学试卷(含参考答案)
2019年上海春考试卷一.填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知集合，，则_________________【答案】【解析】【分析】根据交集的定义，直接求解即可.【详解】，本题正确结果：【点睛】本题考查集合基本运算中的交集运算，属于基础题.2.计算________【答案】2【解析】【分析】将原式转化为，从而得到极限值为.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查极限运算，属于基础题.3.不等式的解集为______【答案】【解析】【分析】将不等式变为，解不等式得到结果.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，属于基础题.4.函数的反函数为___________【答案】【解析】【分析】求解出原函数的值域，得到反函数的定义域，再求解出反函数的解析式，得到结果. 【详解】当时，，即又反函数为：，【点睛】本题考查反函数的求解，易错点为忽略反函数的定义域.5.设为虚数单位，，则的值为__________【答案】【解析】【分析】把已知等式变形得，再由，结合复数模的计算公式求解即可．【详解】由，得，即本题正确结果：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．6.已知，当方程有无穷多解时，的值为_____________.【答案】【解析】【分析】由题意可知两方程完全相同，通过系数化简得到方程组，求得最终结果.【详解】方程有无穷多解两方程相同又本题正确结果：【点睛】本题考查根据方程根的个数求解参数问题，属于基础题.7.在的二项展开式中，常数项的值为__________【答案】15【解析】【分析】写出二项展开式通项，通过得到，从而求得常数项.【详解】二项展开式通项为：当时，常数项为：本题正确结果：【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.8.在中，，且，则____________【答案】【解析】【分析】根据正弦定理求出，再利用余弦定理求出.【详解】由正弦定理可知：，又由余弦定理可知：本题正确结果：【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题，属于基础题.9.首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有_____种（结果用数值表示）【答案】24【解析】【分析】首先安排甲，可知连续天的情况共有种，其余的人全排列，相乘得到结果.【详解】在天里，连续天的情况，一共有种剩下的人全排列：故一共有：种【点睛】本题考查基础的排列组合问题，解题的关键在于对排列组合问题中的特殊元素，要优先考虑，然后再考虑普通元素.10.如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为_______【答案】【解析】【分析】通过函数解析式得到两点坐标，从而表示出，利用基本不等式得到最值，从而得到取最值时的条件，求解得到结果.【详解】依题意得：，则当且仅当即时取等号，故本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式的应用，关键在于能够通过坐标构造出关于的基本不等式的形式，从而利用取等条件得到结果.11.在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为____________【答案】【解析】【分析】通过坐标表示和得到；利用向量数量积运算得到所求向量夹角的余弦值为：；利用的范围得到的范围，从而得到角的范围.【详解】由题意：，设，，因为，则与结合，又与结合，消去，可得：所以本题正确结果：【点睛】本题考查向量坐标运算、向量夹角公式应用，关键在于能够通过坐标运算得到变量的取值范围，将问题转化为函数值域的求解.12.已知集合，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是____________【答案】1或【解析】【分析】根据所处的不同范围，得到和时，所处的范围；再利用集合的上下限，得到与的等量关系，从而构造出方程，求得的值.【详解】当时，当，则；当，则即当时，；当时，，即即当时，；当时，，即所以，解得当时，当，则；当，则即当时，；当时，，即即当时，；当时，，即所以，解得当时，同理可得，无解本题正确结果：或【点睛】本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的不同取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程；难点在于能够准确地对的范围进行分类，对于学生的分析和归纳能力有较高的要求，属于难题.二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.下列函数中，值域为的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依次判断各个函数的值域，从而得到结果.【详解】选项：值域为，错误选项：值域为，正确选项：值域为，错误选项：值域为，错误本题正确选项：【点睛】本题考查初等函数的值域问题，属于基础题.14.已知，则“”是“”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】C【解析】【分析】通过函数的图象可知，函数值与自变量距对称轴距离成正比，由此可判断为充要条件.【详解】设，可知函数对称轴为由函数对称性可知，自变量离对称轴越远，函数值越大；反之亦成立由此可知：当，即时，当时，可得，即可知“”是“”的充要条件本题正确选项：【点睛】本题考查充分必要条件的判断问题，属于基础题.15.已知平面两两垂直，直线满足：，则直线不可能满足以下哪种关系（）A. 两两垂直B. 两两平行C. 两两相交D. 两两异面【答案】B【解析】【分析】通过假设，可得平行于的交线，由此可得与交线相交或异面，由此不可能存在，可得正确结果.【详解】设，且与均不重合假设：，由可得：，又，可知，又，可得：因为两两互相垂直，可知与相交，即与相交或异面若与或重合，同理可得与相交或异面可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行本题正确选项：【点睛】本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果.16.以为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，且满足，则点的轨迹是（）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线【答案】A【解析】【分析】根据圆心和圆上点建立关于半径的方程，得到和；根据整理出，从而得到点的轨迹.【详解】因为同理：又因为，所以则，即设，则为直线本题正确选项：【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求解问题，关键在于能够将所求动点的横纵坐标建立起等量关系，从而转化为轨迹方程.三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图，在正三棱锥中，（1）若的中点为，的中点为，求与的夹角；（2）求的体积.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由中位线可知，从而所求夹角即为，根据余弦定理，可求得余弦值，从而得到的大小；（2）根据正三棱锥的性质，可求得几何体的高，再根据棱锥体积公式求得结果.【详解】（1）分别为中点，可知：与夹角即为与夹角在中，由余弦定理可得：即与的夹角为（2）作面，连接，如下图所示：三棱锥为正三棱锥为的中心且落在上【点睛】本题考查异面直线所成角、空间几何体体积的求解问题.求解异面直线所成角问题的关键在于能够通过平行关系将直线进行平移，转化为相交直线所成角的问题.18.已知数列，，前项和为.（1）若为等差数列，且，求；（2）若为等比数列，且，求公比的取值范围.【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）通过，求解出，通过求和公式得到；（2）根据可得且，从而得到不等式，解不等式得到结果.【详解】（1）由且（2）由题意可知则且或又【点睛】本题考查等差数列求和、等比数列前项和的应用问题.利用等比数列前项和的极限求解的范围的关键在于能够明确存在极限的前提，然后通过公式得到关于的不等式，求解不等式得到结果.19.已知抛物线方程为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：. （1）当时，求；（2）证明：存在常数，使得；（3）为抛物线准线上三点，且，判断与的关系.【答案】（1）；（2）2；（3）见解析【解析】【分析】（1）求解出点坐标，然后得到和，从而求得；（2）通过假设点坐标得到直线方程，与抛物线联立后得到，代入，整理得到结果；（3）由可知为中点，假设三点坐标，代入，将式子整理为和的形式，然后通过平方运算可得到，从而得到结论：.【详解】由题意可知：，准线方程为：（1）因为联立方程则（2）当时，易得设，，直线，则联立，由对称性可知亦成立综上所述，存在，使得（3）由可知为中点设，则因为又因所以【点睛】本题考查抛物线中的定值问题、直线与抛物线的综合应用.解决第三问三者之间关系的关键是能够明确问题的本题，其本质为三角形中的三边关系问题：为的中线，则由三角形两边之和大于第三边，可知；明确本质之后即明确了证明方向，对于学生的转化与化归能力要求较高.20.已知等差数列的公差，数列满足，集合.（1）若，求集合；（2）若，求使得集合恰好有两个元素；（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值.【答案】（1）；（2）或；（3）【解析】【分析】（1）根据正弦函数周期性的特点，可知数列周期为，从而得到；（2）恰好有两个元素，可知或者，求解得到的取值；（3）依次讨论的情况，当时，均可得到符合题意的集合；当时，对于，均无法得到符合题意的集合，从而通过讨论可知.【详解】（1），，，，，，由周期性可知，以为周期进行循环（2），，恰好有两个元素或即或或（3）由恰好有个元素可知：当时，，集合，符合题意；当时，，或因为为公差的等差数列，故又，故当时，如图取，，符合条件当时，，或因为为公差的等差数列，故又，故当时，如图取，，符合条件当时，，或因为为公差的等差数列，故又，故当时，如图取时，，符合条件当时，，或因为为公差的等差数列，故又，故当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，即，,不符合条件；当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，即，不是整数，故不符合条件；当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有或若，即，不是整数，若，即，不是整数，故不符合条件；综上：【点睛】本题考查三角函数、数列、函数周期性的综合应用问题.解题的难点在于能够周期，确定等量关系，从而得到的取值，再根据集合的元素个数，讨论可能的取值情况，通过特殊值确定满足条件的；对于无法取得特殊值的情况，找到不满足条件的具体原因.本题对于学生的综合应用能力要求较高，属于难题.。
上海春季高考数学试卷答案真题解析.doc
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稍后公布！！考试及志愿填报2019年上海春季高考录取时间安排及候补资格确认流程填报多久出录取结果及录取查询入口（一）考试内容2019年春季考试由统一文化考试和院校自主测试两部分组成。
（二）统一文化考试1。
统一文化考试科目及计分办法统一文化考试科目为语文、数学、外语3门科目。
语文、数学每科目总分150分。
外语科目考试分为笔试（含听力）和听说测试，笔试（含听力）分值为140分，听说测试分值为10分，总分150分；外语科目的考试语种分设英语、俄语、日语、法语、德语、西班牙语6种，由报考学生任选1种。
统一文化考试成绩总分为450分。
根据本市高考改革相关规定，统一高考外语科目考试实行一年两考，考试时间分别为1月和6月。
其中，1月的外语科目考试即为2019年春季考试外语科目考试。
2。
统一文化考试时间安排2019年1月5日-7日举行全市统一文化考试，各科目考试时间为：语文1月5日9：00-11：30数学1月5日13：30-15：30外语笔试（含听力）1月6日9：00-11：00外语听说测试1月7日8：00起考试时长：语文150分钟，数学120分钟，外语笔试（含听力）120分钟、听说测试20分钟。
统一文化考试均在标准化考场进行。
3。
统一文化考试成绩公布与查询2019年1月28日，考生可登录“上海招考热线”网站（）查询统一文化考试成绩。
市教育考试院于当日公布志愿填报最低控制线。
考生如对统一文化考试成绩有疑问，可于2019年1月29日9：00- 16：00在“上海招考热线”网站申请成绩复核，1月30日12：00起可再次登录该网站查看复核结果。
（三）志愿填报1。
考生统一文化考试成绩总分达到市教育考试院公布的志愿填报最低控制线，方可填报春季考试招生志愿。
其中，应届考生7门科目（思想政治、历史、地理、物理、化学、生命科学、信息科技）的高中学业水平合格性考试成绩须全部合格。
2019年上海市春季高考数学试卷及答案
2019年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知集合{}{}1,2,3,4,5,3,5,6A B ==，则A B ⋂=________.2.计算：22231lim 41n n n n -+=-+_________. 3.不等式15x +<的解集为________.4.函数()()20f x x x =>的反函数为__________.5.设i 为虚数单位，365z i i --=+，则z 的值为______.6.已知二元线性方程组22214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩有无穷多解，则实数a =_________. 7.在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项的值为________. 8.在ABC ∆中，3,3sin 2sin AC A B ==，且1cos 4C =，则AB =______. 9.首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参与连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其余每人各参加1天，则所有不同的安排种数为__________.（结果用数值表示）10.如图，正方形OABC 的边长为()1a a >，函数23y x =的图像交AB 于点Q ，函数12y x -=的图像交BC 交于点P ，当AQ CP +最小时，a 的值为_______.11.已知P 为椭圆22142x y +=上任意一点，Q 与P 与关于x 轴对称，12F F 、为椭圆的左右焦点，若有121F P F P ⋅≤，则1F P与2F Q 的夹角范围为________.12.已知t R ∈，集合[][],14,9,0A t t t t A =+⋃++∉，若存在正数λ，对任意a A ∈，都有A a λ∈，则t 的值为______.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.下列函数中，值域为[)0,+∞的是（ ）【A 】2xy =【B 】12y x =【C 】tan y x =【D 】cos y x =14.已知,a b R ∈，则“22a b >”是“a b >”的（ ）【A 】充分非必要条件【B 】必要非充分条件【C 】充要条件【D 】既非充分又非必要条件15.已知平面αβγ、、两两垂直，直线a 、b 、c 满足：,,a b c αβγ⊆⊆⊆，则直线a 、b 、c 不可能是（ ）【A 】两两垂直【B 】两两平行【C 】两两相交【D 】两两异面16.平面直角坐标系中，两动圆12O O 、的圆心分别为()()12,0,0a a 、，且两圆均过定点()1,0，两圆与y 轴正半轴分别交于点()()120,0,y y 、，若12ln ln 0y y +=，点1211,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的轨迹为Γ，则Γ所在的曲线可能是（ ）【A 】直线【B 】圆【C 】椭圆【D 】双曲线三、解答题（本大题满分76分）17. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，正三棱锥P ABC -中，侧棱长为2，底面边长为3，M N 、分别是PB 和BC 的中点.（1）求异面直线MN 和AC 所成角的大小；（2）求三棱锥P ABC -的体积.18. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S .（1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞<，求公比q 的取值范围.19. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍，卫生总费用包括个人现金支出、社会支出、政府支出，下表为2012年~2015年我国卫生费用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比.（1）计算A B 、的数据，并指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势；（2）设1t =表示1978年，第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数() 6.44200.1136357876.60531tf t e -=+，研究函数()f t 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份.已知抛物线24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线l 上一动点，线段PF 与抛物线交于点Q ，定义()PFd P FQ=. （1）若点P 的坐标为81,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭，求()d P ；（2）求证：存在常数a ，使得()2d P PF a =+成立；（3）设123,,P P P 为抛物线准线l 上三点，且1223PP P P =，试比较()()13d P d P +与()22d P 的大小.若{}n a 是等差数列，公差(]0,d π∈，数列{}n b 满足：()*sin ,n n b a n N =∈，记{}*|,n S x x b n N ==∈.（1）设120,3a d π==，求集合S ； （2）设12a π=，试求d 的值，使得集合S 恰有两个元素；（3）若集合S 恰有三个元素，且n T n b b +=，其中T 为不超过7的正整数，求T 的所有可能值.。
2019年1月春学期上海市高考数学模拟试卷附答案解析
∴反函数为：y = x，x > 0 【点睛】本题考查反函数的求解，易错点为忽略反函数的定义域.
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2019 年 1 月春学期上海市高考数学模拟试卷附答案解析 5.设 i 为虚数单位，3z − i = 6 + 5i，则z的值为__________ 【答案】2 2 【解析】 【分析】 把已知等式变形得z，再由z = z，结合复数模的计算公式求解即可． 【详解】由 3z − i = 6 + 5i，得 3z = 6 + 6i，即z = 2 + 2i ∴z=z= 本题正确结果：2 2 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题． 2x + 2y =− 1 6.已知 ，当方程有无穷多解时，a 的值为_____________. 4x + a2 y = a 【答案】− 2 【解析】 【分析】 由题意可知两方程完全相同，通过系数化简得到方程组，求得最终结果. 【详解】方程有无穷多解 又 4x + a2 y = a 2= −1
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2019 年 1 月春学期上海市高考数学模拟试卷附答案解析 【解析卷】
2019 年 1 月春学期上海市高考模拟 数学试卷
一.填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1.已知集合 A = 1,2,3,4,5，B = 3,5,6，则 A ∩ B =_________________ 【答案】3,5 【解析】 【分析】 根据交集的定义，直接求解即可. 【详解】∵ A = 1,2,3,4,5，B = 3,5,6 ∴ A ∩ B = 3,5 本题正确结果：3,5 【点睛】本题考查集合基本运算中的交集运算，属于基础题. 2.计算 lim
a2 2 a =2
普通高等学校春季招生考试数学试卷上海卷附解答
2019年一般高等学校春天招生考试（上海卷）数学考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分．一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题．只需求直接填写结果，每题填对得4分，不然一律是零分．1．函数f(x)x21(x0)的反函数f1(x)______．2．若复数z知足方程zi i1（i是虚数单位），则z=________．3．函数ysinx1的最小正周期为________．cosx4．二项式(x1)6的睁开式中常数项的值为________．x5．若双曲线的一个极点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为________．6．圆心在直线y x上且与x轴相切于点（1，0）的圆的方程为________．7．计算：lim(n3)n=________．n n18．若向量，知足||||，则与所成角的大小为________．9．在大小同样的6个球中，2个红球，4个是白球．若从中随意选用3个，则所选的3个球中起码有1个红球的概率是________．（结果用分数表示）10．若记号“*”表示求两个实数a与b的算术均匀数的运算，即aa bb，则两边均2含有运算符号“ *”和“+”，且对于随意3个实入选a、b、c都能成立的一个等式能够是_______11．对于x的函数f(x)sin(x)有以下命题：（1）对随意的，f(x)都是非奇非偶函数；（2）不存在，使f(x)既是奇函数，又是偶函数；（3）存在，使f(x)是奇函数；（4）对随意的，f(x)都不是偶函数此中一个假命题的序号是_______由于当=_______时，该命题的结论不可立12．甲、乙两人于同一天赋别携款1万元到银行积蓄，甲存五年期按期积蓄，年利率为2.88%乙存一年期按期积蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期按期积蓄按规定每次计息时，储户须缴纳利息的20%作为利息税，若存满五年后两人同时从银行拿出存款，则甲与乙所得本息之和的差为__________元（假设利率五年内保持不变，结果精准到1分）二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，此中有且只有一个结论是正确的，一定把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选，选错或许选出的代号超出一个（无论能否都写在圆括号内），一律得零分13．若a、b为实数，则a b0是a2b2的（）（A）充足不用要条件．B）必需不充足条件．C）充要条件．D）既非充足条件也非必需条件．14．若直线x 1的倾斜角为，则（）（A）等于0（B）等于（C）等于（D）不存在42（15．如有平面A）过点B）过点C）过点D）过点P与，且且垂直于且垂直于且垂直于且垂直于l,,P,P l，则以下命题中的假命题为（）的直线平行于．l的平面垂直于．的直线在内．l的直线在内．16．若数列{a n}前8项的值各异，且a n8a n对随意的n N都成立，则以下数列中可取遍{a n}前8项值的数列为（）（A）{a2k1}（B）{a3k1}（C）{a4k1}（D）{a6k1}三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答以下各题一定写出必需的步骤．17．（此题满分12分）已知R为全集，A{x|log1(3x)51}，求AB2},B{x|2x218．（此题满分12分）已知2sin2sin2k()，试用k表示sin cos的值．1tg4219．（此题满分14分）此题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为h米，盖子边长为a米．1）求a对于h的函数分析式；2）设容器的容积为V立方米，则当h为什么值时，V最大？求出V的最大值．（求解此题时，不计容器的厚度）20．（此题满分14分）此题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分在长方体ABCD A1B1C1D1中，点E、F分别BB1、DD1上，且AE A1B，AF A1D（1）求证：A 1C 平面AEF ；（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所构成的二面角中的锐角 （或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面， 则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等试依据上述定理，在AB 4 ，AD3，AA 1 5时，求平面AEF 与平面DBBD 所11成的角的大小（用反三角函数值表示）21．（此题满分16分）此题共有2个小题，第1小题满分9分，第 2小题满分7分已知椭圆C 的方程为x2y 21，点P(a,b)的坐标知足a2b 21过点P 的直线l 与椭22圆交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 的中点，求：1）点Q 的轨迹方程；2）点Q 的轨迹与坐标轴的交点的个数．22．（此题满分18分）此题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分13分．已知{a n }是首项为 2，公比为1的等比数列， S n 为它的前n 项和．2（1）用S n 表示S n1；（2）能否存在自然数S k1cc 和k ，使得2成立．S k c数学试卷答案重点及评分标准 说明：1．本解答列出试题的一种或几种解法，假如考生的解法与所列解法不一样，可参照解答中评分标准的精神进行评分． 2．评阅试卷，应坚持每题评阅究竟，不要由于考生的解答中出现错误而中止对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步此后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后边部分的给分，这时原则上不该超事后边部分应给分数之半，假如有较严重的观点性错误，就不给分． 3．给分或扣分均以 1分为单位．答案及评分标准一、（第1至12题）每一题正确的给 4分，不然一律得零分．1．x1(x1)．2．1i ．3．2．4．20．x 2 y 215．916 ．6．(x1)2 (y1)21．7．e 2 ．8．90°．49．5．10．a(b*c) (a b)*(a c),(a*b) c (a*c)(b*c),a*(b c) (a b)*c (bc)*a (ac)*b,(a*b)c (b*a)c 等.11．（1），k(kZ)k(kZ)k(k Z)；（1），2；（4），2等（两个空格全填对时才能得分，此中 k 也能够写成任何整数）12．二、（第13至16题）每一题正确的给4分，不然一律得零分13．A14．C15．D16．B三、（第17至22题）17．解由已知log1(3x)log1422由于y log1x为减函数，所3x42由3x4 3x0解得1x3所以A{x|1x3}由51，解得2x3所以B{x|2x3} x2于是A{x|x1或x3}故AB{x|2x1或x3}18．解2sin2sin22sin cos 由于1tg所以k2sin cos因此(sin cos)212sin cos1k又4，于是sincos0 2所以sin cos1k19．解（1）设h'为正四棱锥的斜高a241h'a2,由已知21a2h2h'2,4解得a1(h0) h21（2）V1ha2h(h0)33(h21)易得V13(h1)h由于h 1h12，所以1 2hVh6等式当且仅当h1，即h1时获得h故当h 1米时，V有最大值，V的最大值为1立方米．620．证（1）由于CB平面A1B，所A1C在平面A1B上的射影为A1B由A1B AE,AE平面A1B，得A1C AE，同理可证A1C AF由于A1C AF,A1C AE所以A1C平面AEF解（2）过A作BD的垂线交CD于G，由于D1DAG，所以AG平面D1B1BD设AG与A1C所成的角为，则即为平面AEF与平面D1B1BD所成的角．由已知，计算得DG9．4如图成立直角坐标系，则得点A(0,0,0)，9,3,0),A1(0,0,5),C(4,3,0)，G(4 AG 9{4,3,5}，{,3,0},A1C4由于AG与A1C所成的角为所以AGA1C122 cos25|AG||A1C|122arccos25由定理知，平面AEF与平面CEF所成角的大小为122 arccos2521．解（1）设点A、B的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)，点Q的坐标为Q(x,y)．当x1x2时，设直线l的斜率为k，则l的方程为y k(xa)b2y22y2由已知x111,x221（1）22y k(x a)b,y k(x a)b（2）1122由（1）得(x1x2)(x1x2)1y2)(y1y2)0，（3）(y1由（2）得2y1y2k(x1x2)2ak2b，（4）1x 2y1y2y1y2由（3）、（4）及x x，y，k，22x1x2得点Q的坐标知足方程2x2y22axby0（5）当x1x2时，k不存在，此时l平行于y轴，所以AB的中点Q必定落在x轴上，即Q的坐标为（a，0）明显点Q的坐标知足方程（5）综上所述，点Q的坐标知足方程2x2y22ax by0设方程（5）所表示的曲线为L，2x2y22ax by0,则由x2y21,2得(2a 2b2)x242b20ax由于8b2a2b21，由已知a2b21，22所以当a2b21时，△=0，曲线L与椭圆C有且只有一个交点P（a，b）2当a2b21时，△＜0，曲线L与椭圆C没有交点2由于（0，0）在椭圆C内，又在曲线L上，所以曲线L在椭圆C内故点Q的轨迹方程为2x2y22ax by0（2）由2x2y22ax by0,0，0），（0，b）x0,解得曲线L与y轴交于点（2x2y22ax by0,由解得曲线L与x轴交于点（0，0），（a，0）0,当a=0，b=0，即点P（a，b）为原点时，（a，0）、（0，b）与（0，0）重点，曲线L与坐标轴只有一个交点（0，0）当a=0且0b2，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除掉原点的y轴上时，点（a，0）与（0，0）重合，曲线L与坐标轴有两个交点（0，b）与（0，0）同理，当b=0且0 a 1，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除掉原点的x轴上时，曲线L与坐标轴有两个交点（a，0）与（0，0）当0a 1且0b2(1a2)，即点P（a，b）在椭圆C内且不在座标轴上时，曲线L与坐标轴有三个交点（a，0）、（0，b）与（0，0）。
2019上海市数学春考试卷及答案解析
2019年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷2019.1一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.已知集合{}{}1,2,3,4,5,3,5,6A B ==，则A B ⋂=________. 【答案】{}3,5【考点】考察的集合内容，集合的交并补运算2.计算：22231lim 41n n n n -+=-+_________. 【答案】2【解析】2222223131lim 22231lim lim 24141411lim 1n n n n n n n n n n n n ⎛⎫-+-+ ⎪-+⎝⎭===-+⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭【考点】极限的知识点，此题属于数列的极限； 1）()()limn f n g n →∞类型，方法：分子、分母同时除以n 的最高次 2）可有理化类型；3）lim n n q →∞（q 为常数）类型，()()()011lim 1111nn q q q q q →∞⎧-<<⎪⎪==⎨⎪≤->⎪⎩不存在或3.不等式15x +<的解集为________. 【答案】()6,4- 【解析】15x +<515x ∴-<+<64x ∴-<<()6,4∴-【考点】绝对值不等式的解法1）()()f x x ϕ<的解是()()()x f x x ϕϕ-<<，()()f x x ϕ>的解是()()f x x ϕ<-或()()f x x ϕ> 2）解关于x 的不等式ax b cx d m +++>，或ax b cx d m +++<时，可以按零点b a -，dc-分段求解4.函数()()20f x x x =>的反函数为__________.【答案】())10f x x -=>【解析】由()20y x x =>，解得0y >，x =())10f x x -=>【考点】求反函数的一般步骤： （1）求原函数的值域；（2）反解，由()y f x =解出1()x fy -=；（3）写出反函数的解析式（互换,x y ），并注明反函数的定义域（即原函数的值域）。
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【详解】设
，可知函数对称轴为
由函数对称性可知，自变量离对称轴越远，函数值越大；反之亦成立
由此可知：当
，即
时，
当
时，可得
，即
可知“
”是“
”的充要条件
本题正确选项：
【点睛】本题考查充分必要条件的判断问题，属于基础题.
15.已知平面
两两垂直，直线
满足：
，则直线
不可能满足
以下哪种关系（ ）
A. 两两垂直
B. 两两平行
中点，可知：
与 夹角即为 与 夹角 在 中，由余弦定理可得：
即 与 的夹角为 （2）作 面 ，连接 ，如下图所示：
三棱锥为正三棱锥 为 的中心且落在 上
【点睛】本题考查异面直线所成角、空间几何体体积的求解问题.求解异面直线所成角问题的关
键在于能够通过平行关系将直线进行平移，转化为相交直线所成角的问题.
联立方程
则
（2）当
时，易得
设
，
，直线
联立
，
，则
由对称性可知 综上所述，存在 （3）由 设
亦成立 ，使得 可知 为 中点 ，则
因为 又因 所以 【点睛】本题考查抛物线中的定值问题、直线与抛物线的综合应用.解决第三问三者之间关系的
关键是能够明确问题的本题，其本质为三角形中的三边关系问题： 为 的中线，则由三角
取最值时的条件
，求解得到结果.
【详解】依题意得：
，
则
当且仅当
即
时取等号，故
，利用基本不等式得到最值，从而得到
本题正确结果： 【点睛】本题考查基本不等式的应用，关键在于能够通过坐标构造出关于 的基本不等式的形式， 从而利用取等条件得到结果.
11.在椭圆
上任意一点 ， 与 关于 轴对称，若有
，则 与 的夹角
或
若
，即
， 不是整数，
若
，即
， 不是整数，
故 不符合条件； 综上： 【点睛】本题考查三角函数、数列、函数周期性的综合应用问题.解题的难点在于能够周期，确 定等量关系，从而得到 的取值，再根据集合 的元素个数，讨论可能的取值情况，通过特殊值 确定满足条件的 ；对于无法取得特殊值的情况，找到不满足条件的具体原因.本题对于学生的
【解析】
【分析】
（1）根据正弦函数周期性的特点，可知数列 周期为 ，从而得到 ；（2） 恰好有两个元素，
可知
或者
，求解得到 的取值；（3）依次讨论
的情况，当
时，
均可得到符合题意的集合 ；当 时，对于
，均无法得到符合题意的集合 ，从而通
过讨论可知
.
【详解】（1） ，
，
，
，
，
，
由周期性可知， 以 为周期进行循环
范围为____________
【答案】
【解析】 【分析】 通过坐标表示和
得到
；利用向量数量积运算得到所求向量夹角的余弦值
为：
；利用 的范围得到 的范围，从而得到角的范围.
【详解】由题意：
，
设，
，因为
，则
与
结合
，又
与
结合，消去 ，可得：
所以
本题正确结果：
【点睛】本题考查向量坐标运算、向量夹角公式应用，关键在于能够通过坐标运算得到变量的 取值范围，将问题转化为函数值域的求解.
解 的范围的关键在于能够明确存在极限的前提，然后通过公式得到关于 的不等式，求解不等
式得到结果.
19.已知抛物线方程
为焦点， 为抛物线准线上一点， 为线段 与抛物线的交点，定义：
.
（1）当
时，求 ；
（2）证明：存在常数 ，使得
（3）
为抛物线准线上三点，且
； ，判断
与
的关系.
【答案】（1） ；（2）2；（3）见解析
又
本题正确结果： 【点睛】本题考查根据方程根的个数求解参数问题，属于基础题.
7.在
的二项展开式中，常数项的值为__________
【答案】15 【解析】 【分析】
写出二项展开式通项，通过
得到 ，从而求得常数项.
【详解】二项展开式通项为：
当
时，
常数项为：
本题正确结果： 【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.
可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行
本题正确选项：
【点睛】本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三
条直线与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果.
16.以
为圆心的两圆均过 ，与 轴正半轴分别交于
，且满足
，则点
的轨迹是（ ）
A. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】
于 的方程；难点在于能够准确地对 的范围进行分类，对于学生的分析和归纳能力有较高的要求，
属于难题.
二.选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）
13.下列函数中，值域为
的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
依次判断各个函数的值域，从而得到结果.
【详解】 选项： 值域为
，错误
【分析】
把已知等式变形得 ，再由
，结合复数模的计算公式求解即可．
【详解】由
，得
，即
本题正确结果： 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．
6.已知
，当方程有无穷多解时， 的值为_____________.
【答案】 【解析】 【分析】 由题意可知两方程完全相同，通过系数化简得到方程组，求得最终结果. 【详解】方程有无穷多解 两方程相同
综合应用能力要求较高，属于难题.
B. 圆
C. 椭圆
D. 双曲线
根据圆心和圆上点建立关于半径的方程，得到
和
；根据
整
理出
，从而得到点的轨迹.
【详解】因为
同理： 又因为 则
，所以 ，即
设
，则
为直线
本题正确选项：
【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求解问题，关键在于能够将所求动点的横纵坐标建立起等
量关系，从而转化为轨迹方程.
三.解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）
4.函数
的反函数为___________
【答案】
【解析】
【分析】
求解出原函数的值域，得到反函数的定义域，再求解出反函数的解析式，得到结果.
【详解】当 时， ，即
又
反函数为：
，
【点睛】本题考查反函数的求解，易错点为忽略反函数的定义域.
5.设 为虚数单位，
，则 的值为__________
【答案】
【解析】
12.已知集合
， ，存在正数 ，使得对任意 ，都有 ，则 的
值是____________ 【答案】1 或 【解析】 【分析】
根据 所处的不同范围，得到
和
时， 所处的范围；再利用集合 的上下
限，得到 与 的等量关系，从而构造出方程，求得 的值.
【详解】当 时，当
，则
；当
，则
即当 时，
；当
时， ，即
即当 所以
8.在 中，
，且
，则
【答案】 【解析】 【分析】 根据正弦定理求出 ，再利用余弦定理求出 .
【详解】由正弦定理可知：
，又
____________
由余弦定理可知：
本题正确结果： 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题，属于基础题.
9.首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派 4 人参加连续 5 天的志愿者活动，其中甲连 续参加 2 天，其他人各参加 1 天，则不同的安排方法有_____种（结果用数值表示） 【答案】24 【解析】 【分析】 首先安排甲，可知连续 天的情况共有 种，其余的人全排列，相乘得到结果. 【详解】在 天里，连续 天的情况，一共有 种
（2）
，
，
恰好有两个元素
或
即
或
或
（3）由 恰好有 个元素可知：
当 时，
，集合
，符合题意；
当 时，
， 或
因为 为公差 的等差数列，故
又 ，故 当 时，如图取 ，
，符合条件
当 时，
， 或
因为 为公差 的等差数列，故
又 ，故
当 时，如图取
，
，符合条件
当 时，
， 或
因为 为公差 的等差数列，故
又 ，故
当 时，如图取
2019 年上海春考试卷
一.填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）
1.已知集合
，
，则
_________________
【答案】
【解析】
【分析】
根据交集的定义，直接求解即可.
【详解】
，
本题正确结果： 【点睛】本题考查集合基本运算中的交集运算，属于基础题.
18.已知数列 ，
，前 项和为 .
（1）若 为等差数列，且
，求 ；
（2）若 为等比数列，且
，求公比 的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
；
【解析】 【分析】
（1）通过 ，求解出 ，通过求和公式得到 ；（2）根据
可得
且
，
从而得到不等式 【详解】（1）由
，解不等式得到结果. 且
（2）由题意可知
则
且
或
又
【点睛】本题考查等差数列求和、等比数列前 项和的应用问题.利用等比数列前 项和的极限求
剩下的 人全排列：