36、《概率论与数理统计》习题随机变量及其分布

23
11
49
49
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(X, Y)的联合分布为
Y －1
－2
－3
X
1 ab
ab 4
ab 9
2
ab 2
ab 8
ab 18
3
ab 3
ab 12
ab 27
Z = X + Y －2 －1 0 1 2
P
24 66 251 126 72
ab = 216,
1 539
P(Z 2) P( X 1,Y 3) P( X 1)P(Y 3) ab 24 9
P(Z 1) P( X 2,Y 3) P( X 1,Y 2) 66
P(Z 0) P( X 3,Y 3) P( X 2,Y 2) P( X 1,Y 1) 251
P(Z 1) P( X 2,Y 1) P( X 3,Y 2) 126 P(Z 2) P( X 3,Y 1) P( X 3)P(Y 1) ab 72
从均匀分布, 则(X, Y)关于 X 的边缘密度在 x = 2 处的值为_______.
解. D 的面积 = e2 1 dx 2 . 所以二维随机变量(X, Y)的密度为:
1x
(
x,
y
)
1 2
0
(x, y) D 其它
下面求 X 的边沿密度: 当 x < 1 或 x > e2 时
X (x) 0
－1
0
X
－1
1 12
1 12
3 12
1
2
1
0
2 12
12
3
2 12
0
2 12
则 i. Z = X + Y 的分布律 ______. ii. V = X－Y 的分布律______.
iii. U= X2 + Y－2 的分布律_______.
解.
X+Y
－3 －2 －1 －3/2 －1/2 1
3
P
1/12 1/12 3/12 2/12 1/12 2/12 2/12
6. 设 X, Y 是相互独立的两个随机变量, 它们的分布函数为 FX ( x), FY ( y) , 则 Z = max(X, Y)
的分布函数是
(A) FZ (z) = max{ FX (z), FY (z) }
(B) FZ (z) = max{ | FX (z) |,| FY (z) | }
(C) FZ (z) = FX (z)FY (z)
解.
FY ( y)
P(Y
y)
P{2 X
y}
P( X
y) 2
FX
(
y 2
)
(D)
1
arctan
y
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Y
( y)
[ FY
( y)]'
FX
( y )' 2
X
( y) 2
1 2
1 2
1 1 (
y )2
(4
2
y2)
2
(B)是答案.
9.
设随机变量(X, Y)的联合分布函数为 ( x, y)
0
0 x, y 4
其它
当 0 y 时 4
Y ( y)
( x, y)dx
4(
0
2 1) sin(x y)dx (
2
1)(cos
y
cos(
y))
4
所以
Y
(
y)
(
2
1)(cos
y
cos(
y))
4
0 y 4
0
其它
7. 设平面区域 D 由曲线 y 1 及直线y 0, x 1, x e2 围成, 二维随机变量(X, Y)在 D 上服 x
分布函数是
(A) FZ (z) = FX (z)
(B) FZ (z) = FY (z)
(C) FZ (z) = min{ FX (z), FY (z) }
(D) FZ (z) = 1－[1－ FX (z) ][1－ FY (z) ]
解. FZ (z) P(Z z) 1 P(Z z) 1 P{min( X ,Y ) z} 1 P{X z且Y z}
P
1
11
1
6 9 18 3
且 X 与 Y 相互独立, 则 = ______, = _______.
解.
Y1
2
X
1
1/6 1/9
3 1/18
2
1/3
P( X 2) 1 , P(Y 2) 1 , P(Y 3) 1 , P(Y 1) 1 1 1
3
9
18
632
P(Y 1) P(Y 2) P(Y 3) 2 1 3
1 0
0 x, y 1
.所以(A)是答案.
其它
0
5.
设函数 F ( x)
x
2
1
x0 0 x 1则 x 1
(A) F(x)是随机变量 X 的分布函数. (B) 不是分布函数.
(C) 离散型分布函数.
(D)连续型分布函数.
解. 因为不满足 F(1 + 0) = F(1), 所以 F(x)不是分布函数, (B)是答案.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(C) P{X－Y 0} = 1/2
(D) P{X－Y 1} = 1/2
解. 因为 X 和 Y 分别服从正态分布 N(0, 1)和 N(1, 1), 且 X 和 Y 相互独立, 所以
0
(A)
F
(x)
1
2
2
x 2 2 x 0, x0
0 (B) F ( x) sin x
1
x0 0 x x
0 (C) F ( x) sin x
1
x0 0 x /2, x /2
0
(D)
F(x)
x
1 3
1
x0
0x 1 2
x1 2
解. (A)不满足 F(+) = 1, 排除(A); (B)不满足单增, 排除(B); (D)不满足 F(1/2 + 0) = F(1/2), 排
2. 已知随机变量 X 只能取－1, 0, 1, 2 四个数值, 其相应的概率依次为 1 , 3 , 5 , 2 , 则 c = 2c 4c 8c 16c
______.
解. 1 1 3 5 2 32 , c 2 2c 4c 8c 16c 16c
3. 用随机变量 X 的分布函数 F(x)表示下述概率:
X－Y
－1 0 1
3/2 5/2 3 5
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P
3/12 1/12 1/12 1/12 2/12 2/12 2/12
X2 + Y－2 －15/4
P
2/12
－3 －11/4 1/12 1/12
－2 －1 5 7 1/12 3/12 2/12 2/12
二. 单项选择题
1. 如下四个函数哪个是随机变量 X 的分布函数
P(x1 < X x2) = F(x2)－F(x1)
4. 设 k 在(0, 5)上服从均匀分布, 则 4x2 4kx k 2 0 有实根的概率为_____.
解.
k
的分布密度为
f
(k)
1 5
0
0k 5 其它
P{ 4x2 4kx k 2 0 有实根} = P{16k 2 16k 32 0 }
= P{k －1 或 k 2} = 51 dk 3
25
5
5.
已知 P{X
k}
a k
, P{Y
k}
b k2
(k = 1, 2, 3), X 与 Y 独立,
则 a = ____, b = ____,
联合
概率分布_____, Z = X + Y 的概率分布为_____.
解. a a a 1, a 6 . b b b 1, b 36
z
e
x
2 0
z
x
e
y
dy
dx
2 ze 2 z
e2z
1
Z
(z)
FZ'
(z)
4 ze 2 z 0
z0
, (C)是答案.
z0
10. 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N(0, 1)和 N(1, 1), 则下列结论正确 的是
(A) P{X + Y 0} = 1/2
(B) P{X + Y 1} = 1/2
以(B)是答案. 3. X～N(1, 1), 概率密度为(x), 则
(A) p( X 0) P( X 0) 0.5
(B) (x) (x), x (,)
(C) p( X 1) P( X 1) 0.5
(D) F (x) 1 F (x), x (,)
解. 因为 E(X) = = 1, 所以 p( X 1) P( X 1) 0.5 . (C)是答案.
3
6.
已知(X,
Y)联合密度为
(
x,
y)
c 0
sin(
x
y)
0 x, y 4 , 则 c = ______, Y 的边缘
其它
概率密度Y ( y) ______.
/4 /4
解. c sin(x y)dxdy 1, c 2 1
00
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所以
(
x,
y
)
(
2 1) sin(x y)
第二章 随机变量及其分布
一. 填空题
1. 设随机变量 X～B(2, p), Y～B(3, p), 若 P(X 1) = 5 , 则 P(Y 1) = _________. 9
解. P( X 0) 1 P( X 1) 1 5 4 99
(1 p)2 4 , p 1
9
3
P(Y 1) 1 P(Y 0) 1 2 3 19 3 27
因为独立 1 [1 P( X z)][1 P(Y z)] 1 [1 FX (z)][1 FY (z)]
(D)是答案.
8.
设 X 的密度函数为 ( x) ,
而(x)
(1
1
x
2
)
,
则 Y = 2X 的概率密度是
1 (A) (1 4 y 2 )
2 (B) (4 y 2 )
1 (C) (1 y 2 )
当 1 x e2 时
X (x)
( x, y)dy
1 x 0
1 dy 2
1 2x
,
所以 X (2)
1 4
.
8.
若 X1, X2,
…, Xn是正态总体 N(, 2)的一组简单随机样本,
则X
1 n
(
X
1
X2
Xn)
服从______.
解. 独立正态分布随机变量的线性函数服从正态分布.
E 1
e( x y)
0
x 0, y
0
,
则Z
X
Y
的
其它
2
分布密度是
(A)
Z
(Z)
1 2
e( x y)
0
x 0, y 0 其它
(B)
Z
(z)
e
x y 2
0
x 0, y 0 其它
(C)
Z
(Z
)
4 ze 2 z 0
z0 z0
(D)
Z
(Z
)
1 2
ez
0
z0 z0
解. Z X Y 是一维随机变量, 密度函数是一元函数, 排除(A), (B). 2
P(X a) = ________.
P(X = a) = ________.
P(X > a) = ________.
P(x1 < X x2) = ________.
解. P(X a) = F(a) P(X = a) = P(X a)－P(X < a) = F(a)－F(a－0)
P(X > a) = 1－F(a)
1 ezdz 1 , 所以(D)不是答案. (C)是答案.
02
2
注: 排除法做单项选择题是经常使用而且很有效的方法. 该题也可直接计算 Z 的密度:
当z<0时
FZ (z) 0
当z0时
FZ (z) P(Z
z)
P( X
Y 2
z) P(X
Y
2z)
(x, y)dxdy
x y2z
=
2 0
4. X, Y 相互独立, 且都服从区间[0, 1]上的均匀分布, 则服从区间或区域上的均匀分布的随机
变量是
(A) (X, Y)
(B) X + Y
(C) X2
(D) X－Y
解.
X～
(x)
1 0
0 x 1
,
其它
Y～
(
y)
1 0
0 y 1
. 所以
其它
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(X,
Y)～ ( x,
y)
n
n i 1
X
i
1 n
n i 1
E( X i )
,
D 1 n
n i 1
X
i
1 n2
n i 1
D(X i
)
2 n
所以 X ~ N (, 2 ) n
9. 如果(X, Y)的联合分布用下列表格给出,
(X, Y)
(1, 1) (1, 2) (1, 3) (2, 1) (2, 2) (2, 3)
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除(D); (C)是答案.
2. P( X k ) ck e / k! (k 0,2,4,) 是随机变量 X 的概率分布, 则, c 一定满足
(A) > 0
(B) c > 0 (C) c > 0
(D) c > 0, 且 > 0
解. 因为 P( X k ) ck e / k! (k 0,2,4,) , 所以 c > 0. 而 k 为偶数, 所以可以为负. 所
(D) 都不是
解. FZ (z) P(Z z) P{max( X ,Y ) z} P{X z且Y z}
因为独立 P( X z)P(Y z) FX (z)FY (z) .
(C)是答案.
7. 设 X, Y 是相互独立的两个随机变量, 其分布函数分别为 FX ( x), FY ( y) , 则 Z = min(X, Y)的
P( X P( X
2,Y 2,Y
2) 3)
P( X P( X
2)P(Y 2)P(Y
2) (1 3
3) (1 3
)( 1 ) 9
)( 1 ) 18
两式相除得
1 9 1
,
解得
2 ,
1, 9
2. 9
18
10. 设(X, Y)的联合分布律为
Y －2