微积分及三角函数公式

第一部分：常用积分公式

基本积分公式：

1 kdx kx c =+⎰

2 1

1

x x dx c μμ

μ+=

++⎰ 3 ln dx

x c x

=+⎰

4 ln x

x

a a dx c a

=+⎰ 5 x x e dx e c =+⎰ 6 cos sin xdx x c =+⎰

7 sin cos xdx x c =-+⎰

8 2

21sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰

⎰ 9 221

csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰

10 2

1

arctan 1dx x c x =++⎰

11

arcsin x c =+

12 tan ln cos xdx x c =-+⎰ 13 cot ln sin xdx x c =+⎰

14 sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ 15 csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰ 16 2211arctan x

dx c a x a a =++⎰ 17 22

11ln 2x a

dx c x a a x a -=+-+⎰ 18

arcsin

x

c a

=+

19

ln x c =+

分部积分法公式

1 形如n ax x e dx ⎰，令n u x =，ax dv e dx =

2 形如sin n x xdx ⎰令n u x =，sin dv xdx =

3 形如cos n x xdx ⎰令n u x =，cos dv xdx =

4 形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，n dv x dx =

5 形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，n dv x dx =

6 形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos ax u e x x =均可。 常用凑微分公式 1. ()()()1

f ax b dx f ax b d ax b a +=++⎰⎰

2. ()()()11

f x x dx f x d x μμμμμ-=

⎰⎰

3. ()()()1ln ln ln f x dx f x d x x

⋅=⎰⎰ 4. ()()()x x x x f e e dx f e d e ⋅=⎰⎰ 5. ()()()1ln x x x x

f a a dx f a d a a

⋅=

⎰⎰ 6. ()()()sin cos sin sin f x xdx f x d x ⋅=⎰⎰ 7. ()()()cos sin cos cos f x xdx f x d x ⋅=-⎰⎰ 8. ()()()2tan sec tan tan f x xdx f x d x ⋅=⎰⎰

9. 2dx f d

=⎰ 10.21111()()()f dx f d x x

x x =-⎰

⎰ 11.()()()2cot csc cot cot f x xdx f x d x ⋅=⎰⎰

第二部分：常用微分、导数公式

（c=常数）

1、极限

（1）0sin lim 1x x

x

→= （2）()1

0lim 1x x x e →+= （3

）)1n a o >=

（4

）1n = （5）limarctan 2

x x π

→∞

=

（6）lim tan 2

x arc x π

→-∞

=-

（7）limarccot 0x x →∞

= （8）lim arccot x x π→-∞

= （9）lim 0x x e →-∞

=

（10）lim x x e →+∞

=∞ （11）0

lim 1x

x x +

→= （12）0

101101lim 0

n n n m m x m a n m

b a x a x a n m b x b x b n m

--→∞⎧=⎪⎪+++⎪

=<⎨+++⎪∞

>⎪⎪⎩L L （系数不为0的情况） （13）000()()

lim

x x x x

f x f x y x →+∆-∆=∆∆

2、常用等价无穷小关系（0x →）

3、导数的四则运算法则

4、基本导数公式

⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅

⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1

ln x x

'=

⑿()1

log ln x a x a '=

⒀(

)arcsin x '= ⒁(

)arccos x '=

⒂()21arctan 1x x '=

+ ⒃()

2

1arccot 1x x '=-+⒄()1x '=

⒅

'=5、高阶导数的运算法则 （1）()()()

()

()

()()

n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()

()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦

（3）()()

()

()n n n

u ax b a u

ax b +=+⎡⎤⎣⎦

（4）()()()

()

()()()0

n

n n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦

∑ 6、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()

()

!n n

x

n = （2）()

()

n ax b

n ax b

e

a e

++=⋅ (3)()

()

ln n x

x n a

a a =

(4)()()

sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛

⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦

⎝

⎭