《空间向量数量积的运算》的教学反思
人教A版选修2《空间向量的数量积运算》教案及教学反思
人教A版选修2《空间向量的数量积运算》教案及教学反思教学目标通过本节课的学习，学生应该掌握以下知识： - 理解空间向量的数量积运算 - 掌握空间向量的数量积运算的定义和性质 - 熟悉空间向量的数量积运算的计算方法 - 能够应用空间向量的数量积运算解决实际问题教学内容1.空间向量的数量积概念和定义2.空间向量的数量积运算的性质3.空间向量的数量积运算的计算方法4.应用空间向量的数量积运算解决实际问题教学重点•掌握空间向量的数量积运算的定义和性质•熟悉空间向量的数量积运算的计算方法教学难点•理解空间向量的数量积运算的概念•应用空间向量的数量积运算解决实际问题教学方法•讲授法•提问法•实验法教具准备•平面直角坐标系•立体直角坐标系•白板和笔教学过程导入（5分钟）教师通过提问学生上一次课所学的知识，引出本节课所要学习的内容。
讲授（40分钟）1. 空间向量的数量积概念和定义•向量的数量积又叫点积，用符号 $\\vec a \\cdot \\vec b$ 表示，它是两个向量的数量乘积与它们夹角余弦的乘积。
•数量积可以计算向量的模长，夹角余弦，方向余弦等。
•数量积也可以表示两个向量共线或者垂直的关系。
2. 空间向量的数量积运算的性质•交换律：$\\vec a \\cdot \\vec b = \\vec b \\cdot \\vec a$•结合律：$(\\lambda\\vec a) \\cdot \\vec b = \\lambda(\\vec a \\cdot \\vec b) = \\vec a \\cdot (\\lambda \\vec b)$•分配律：$\\vec a \\cdot (\\vec b + \\vec c) = \\vec a \\cdot \\vec b + \\vec a \\cdot \\vec c$•数量积为零的条件：向量相互垂直3. 空间向量的数量积运算的计算方法•模长法：$\\vec a \\cdot \\vec b = |\\vec a| |\\vec b| \\cos \\theta$，其中 $\\theta$ 为两个向量间夹角。
人教版高一数学必修第三册《向量数量积的运算律》教案及教学反思
人教版高一数学必修第三册《向量数量积的运算律》教案及教学反思一. 教学目标1.理解向量数量积的定义2.掌握向量数量积的运算法则3.能够应用向量数量积的运算法则解决实际问题二. 教学内容1.向量数量积的定义2.向量数量积的运算法则3.向量数量积的应用三. 教学过程及方法1.教学方法：讲解与实验结合2.教学过程：1. 向量数量积的定义向量数量积是指将两个向量相乘后所得到的一个数，用符号 $a \\cdot b$ 表示。
向量数量积的计算公式为 $a \\cdot b=|a| \\cdot |b| \\cdot \\cos \\theta$，其中|a|,|b|分别表示向量a,b的模，$\\theta$ 表示a与b之间夹角。
2. 向量数量积的运算法则(1) 交换律对于任意向量a,b，都有 $a \\cdot b=b \\cdot a$。
(2) 结合律对于任意向量a,b,c，都有 $(a \\cdot b) \\cdot c=a\\cdot(b \\cdot c)$。
(3) 分配律对于任意向量a,b,c，都有 $a \\cdot(b+c)=a \\cdot b+a \\cdot c$。
3. 向量数量积的应用应用向量数量积的运算法则可以解决很多实际问题，例如：例1：已知 $\\vec a =(-1,2)$， $\\vec b=(3,4)$，求 $\\vec a \\cdot \\vec b$。
解：利用向量数量积的计算公式，有$$ \\vec a \\cdot \\vec b = | \\vec a | \\cdot |\\vec b | \\cdot \\cos \\theta $$其中 $\\theta$ 为 $\\vec a$ 与 $\\vec b$ 之间的夹角。
由向量的数量积公式可得$$ \\vec a \\cdot \\vec b = (-1) \\cdot 3 + 2\\cdot 4=5 $$所以 $\\vec a \\cdot \\vec b=5$。
空间向量的数量积运算教案
空间向量的数量积运算教案一、教学目标1. 知识目标：了解空间向量的概念和数量积运算的定义；掌握空间向量数量积的计算方法；理解空间向量数量积的几何意义。
2. 能力目标：能运用数量积的性质解决实际问题；能够运用向量的数量积计算向量的长度和夹角；能够通过数量积判断向量的垂直和平行关系。
3. 情感态度目标：培养学生对数学的兴趣和热爱；培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力；培养学生学会合作、分享以及互相帮助的品质。
二、教学重难点1. 教学重点：（1）空间向量的概念和性质；（2）空间向量数量积的定义和计算；（3）向量数量积的几何意义。
2. 教学难点：（1）利用数量积计算向量的长度和夹角；（2）判断空间向量的垂直和平行关系。
三、教学过程1.导入新课通过一个实际问题引入，例如：有一个空间中的物体用向量表示力，物体受力的情况如何影响其运动？引导学生思考并激发学生学习的兴趣。
2.概念讲解介绍空间向量的概念和性质，讲解向量的数量积的定义和性质，并通过具体的例子加深学生对概念的理解。
3. 数量积的计算方法（1）介绍向量数量积的计算公式；（2）讲解向量数量积的几何意义，如何通过数量积计算向量的长度和夹角。
4.练习与实践为了帮助学生更好地掌握数量积的计算方法，老师可以设计一些简单的计算练习题，并让学生进行练习，在练习中体会数量积的计算方法和几何意义。
5. 垂直和平行关系的判断介绍如何利用数量积判断向量的垂直和平行关系，通过具体的实例让学生掌握判断方法。
6. 课堂讨论让学生结合实际问题进行讨论和分享，提高学生自主探究和解决问题的能力。
7. 拓展与应用将向量数量积与实际问题相结合，引导学生解决实际问题，拓展学生的应用能力。
8. 归纳总结总结本节课的重点内容，强调向量数量积在几何问题中的应用，并巩固学生对相关概念的理解。
9. 作业布置布置相关的作业，让学生巩固所学内容，并在课后检查学生的作业情况。
四、教学反思通过本节课的教学，学生能够掌握空间向量数量积的概念、性质和计算方法，能够运用数量积解决实际问题，提高了学生的数学运算能力和应用能力。
〖2021年整理〗《空间向量的数量积运算》优秀教案
空间向量的数量积运算陈菊仙一、教学目标 （一）核心素养通过本节课的学习，同学们能掌握空间向量数量积运算的法则及运算律，能借助图形进行空间向量的运算，并通过空间几何体加深对运算的理解．会利用数量积的性质求空间向量的夹角和模，并能熟练应用于立体几何证明与求值． （二）学习目标1．了解向量夹角的定义，掌握空间向量数量积的运算法则及运算律． 2．掌握利用数量积求空间向量夹角和模的方法．3．培养学生数形结合的思想和空间想象能力，并能解决向量的综合问题． （三）学习重点1．空间向量的数量积运算法则及运算律． 2．空间向量的模长公式和夹角公式． 3．空间向量数量积在立体几何中的应用． （四）学习难点1．利用空间向量的数量积求模与夹角．2．将立体几何问题转化为空间向量的数量积问题． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第90页至第91页，填空：已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则AOB ∠叫做向量a ，b 的夹角，记作><b a ,．如果2,π>=<b a ，那么向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．已知两个非零向量a ，b ，则><b a b a ,cos ||||叫做a ，b 的的数量积，记作a b ⋅． 零向量与任何向量数量积为0．特别地，a a ⋅=><a a a a ,cos ||||2||a =．（2）写一写：和平面向量类似，空间向量的数量积满足哪些运算律？①数乘结合律：)()(b a b a ⋅=⋅λλ， ②交换律：a b b a ⋅=⋅，③分配率：c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅)(．和平面向量类似，空间向量的数量积有哪些性质？①若e 为单位向量，则a e ⋅=><e a a ,cos ||； ②若a ，b a b ⊥⇔a b ⋅0=；③==a ||；④若a ，b 为非零向量，则>=<b a ,cos ||||a ba b ⋅； ⑤||||||b a b a ≤⋅（当且仅当a ，b 共线时等号成立）． 2．预习自测（1）已知向量a ，b 满足：3||=a ，2||=b ，a b ⋅6-=，则>=<b a ,（ ） A ．0B ．3πC ．2πD ．π【知识点】空间向量的夹角公式． 【解题过程】∵6cos ,123||||a b a b a b ⋅-<>===-⨯，∴>=<b a ,π． 【思路点拨】理解并熟记空间向量的夹角公式． 【答案】D ．（2）在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =，则1AB 与B C 1所成角的大小为（ ） A ． 60B ． 90C ． 75D ． 105【知识点】空间向量的垂直．【解题过程】设m BB =||1，则m AB 2||=，∴B C AB 11⋅)()(11CB C C BB AB +⋅+=C C BB CB AB 11⋅+⋅= 180cos 60cos 22⋅⋅+⋅⋅=m m m m 022=-=m m ， 故1AB 与B C 1所成角的大小为 90．【思路点拨】空间向量的垂直的充要条件数量积等于0． 【答案】B ．（3）在平行六面体1111D C B A ABCD -中，4=AB ，3=AD ，51=AA ， 90=∠BAD ，6011=∠=∠DAA BAA ，则=||1AC ． 【知识点】空间向量的模长．【解题过程】=21||AC 2121)(AA AD AB AC ++=112122222AA AD AA AB AD AB AA AD AB ⋅+⋅+⋅+++=21532215420534222⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++++=85=，故=||1AC 85． 【思路点拨】利用空间向量的模长公式，转化为数量积的运算． 【答案】85．（4）已知线段AB ，BD 在平面α内，AB BD ⊥，线段α⊥AC ，且a AB =，b BD =，c AC =，则C ，D 间的距离为 ． 【知识点】空间向量的模长．【解题过程】222)(||BD AB CA CD CD ++==BD AB BD CA AB CA BD AB CA ⋅+⋅+⋅+++=222222000222+++++=c b a 222c b a ++=，故C ，D 间的距离为222c b a ++．【思路点拨】利用空间向量的模长公式，转化为数量积的运算． 【答案】222c b a ++． 二课堂设计 1．知识回顾（1）空间向量线性运算法则和运算律； （2）共线向量定理的两种表达形式； （3）共面向量定理的两种表达形式． 2．问题探究探究一 由平面向量类比空间向量的数量积运算★ ●活动① 类比提炼概念前面我们说过，两个非零向量a ，b 一定是共面向量．那在平面向量中，我们是怎样定义两个向量的夹角的呢？（抢答）已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠叫做向量a ，b 的夹角，记作><b a ,．如果2,π>=<b a ，那么向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．也就是说，两个空间向量夹角的定义与平面向量一致．【设计意图】两个非零向量一定是共面，因此向量夹角的概念自然地从平面到空间，让学生体会概念的类比过程，为数量积的定义作好准备． ●活动② 巩固理解，深入探究 同样的，那数量积的定义呢？（抢答）已知两个非零向量a ，b ，则><b a b a ,cos ||||叫做a ，b 的的数量积（inner roduct ），记作a b ⋅．零向量与任何向量数量积为0．特别地，2=||||cos ,||a a a a a a a ⋅<>=． 【设计意图】通过抢答，使学生深入探究，进而得到数量积定义． ●活动③ 深入探究，发现规律和平面向量类似，空间向量的数量积满足哪些运算律？（抢答）①数乘结合律：)()(b a b a ⋅=⋅λλ， ②交换律：a b b a ⋅=⋅，③分配率：c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅)(．【设计意图】类比平面向量，得出空间向量数量积的运算律，理解更加深入． 探究二 探究空间向量数量积的性质★▲ ●活动① 类比探究，研究性质和平面向量类似，空间向量的数量积有哪些性质？（抢答）①若e 为单位向量，则=||cos ,a e a a e ⋅<>；（解释：1||=e ，转化为投影） ②若a ，b 为非零向量，则0a b a b ⊥⇔⋅=；（解释：,cos022a b ππ<>==，）③||a ==（解释：,0cos 01a b <>==，） ④若a ，b 为非零向量，则,cos b a b a >=<；（解释：定义的变形式）⑤||||||b a b a ≤⋅（当且仅当a ，b 共线时等号成立）．（解释：,[0,]cos ,[1,1]a b a b π<>∈<>∈-，）【设计意图】通过类比，得到空间向量数量积的各种性质，并给予合理解释，突破难点． ●活动② 巩固理解，深入探究以上五个性质中，大家认为最重要的有哪些，它们有什么作用？（抢答）第②条，0a b a b ⊥⇔⋅=，可用于证明空间向量垂直；第③条，||a =长公式；第④条，,cos b a b a >=<，是空间向量的夹角公式．【设计意图】让学生进行思考，在深刻理解性质的同时，指出公式的作用，为后面的计算打好基础． 探究三 探究空间向量数量积的具体应用★▲ ●活动① 归纳梳理、理解提升通过前面的学习，由于两个向量必然共面，所以空间向量数量积的运算法则和运算律和平面向量基本一致．同时，我们理解了数量积的三个重要应用是？（抢答）模长、垂直、夹角．它们都是向量a ，b 的二次运算，是非线性的．【设计意图】通过学生归纳知识点和定理，培养学生数学对比、归类、整理意识． ●活动② 互动交流、初步实践例1 设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题中：①()()0a b c c a b ⋅-⋅=；②a =||22a b b a =； ④22||4||9)23()23(b a b a b a -=-⋅+．正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 【知识点】空间向量的数量积运算法则和运算律． 【数学思想】转化思想．【解题过程】向量的数量积不满足结合律，所以①不正确；由向量的数量积的定义知，②正确；a ，b 不一定共线，向量不一定相等，所以③不正确；利用数量积的运算律，④正确． 【思路点拨】空间向量数量积运算不满足结合律． 【答案】D ．同类训练 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别为AB ，AD ，DC 的中点，则以下运算结果为2a 的是（ ）A ．CB BA ⋅2 B ．BD AD ⋅2C ．CA FG ⋅2D ．CB EF ⋅2【知识点】空间几何体中向量的数量积运算． 【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】由已知可得3,π>=<BD AD ， 所以><=⋅BD AD BD AD BD AD ,cos ||||22223cos2a a ==π． 【思路点拨】在空间几何体中先找出向量的夹角再根据定义计算． 【答案】B ．【设计意图】通过空间几何体中的向量，让学生对数量积的定义和运算更加熟练． 活动③ 巩固基础、检查反馈例2 已知空间四边形OABC 中，OB =OC ，且3π=∠=∠AOC AOB ，则><BC OA ,cos 的值为（ ） A ．0 B ．21 C ．22 D ．23 【知识点】空间向量的线性表示及夹角公式． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设a OA =，b OB =，c OC =，由已知得3,,π>=>=<<c a b a ，且||||c b =． 所以()OA BC a c b a c a b ⋅=⋅-=⋅-⋅3cos ||||3cos||||ππb a c a -=0|)||(|||21=-=b c a ， 所以0,cos =>=<BC OA BC OA ．【思路点拨】求向量夹角的重点就是求数量积和模长． 【答案】A ．同类训练 已知空间向量a ，b ，c 两两夹角为 60，其模都为1，则|2|c b a +-等于（ ） A ．5 B ．5 C ．6 D ．6 【知识点】空间向量的模长公式． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵1||||||===c b a ， 60,,,>=>=<>=<<a c c b b a ，∴21=⋅=⋅=⋅a c c b b a ，∴2|2|c b a +-a c c b b a c b a ⋅+⋅-⋅-++=4424222214214212411⨯+⨯-⨯-++=5=， ∴|2|c b a +-5=．【思路点拨】先计算b a ⋅，c b ⋅，a c ⋅，再利用模长公式展开计算． 【答案】A ．【设计意图】运用向量的夹角和模长公式，学生对数量积的运算更加熟练，基础更加牢固． ●活动④ 强化提升、灵活应用例3 已知PO ，P A 分别是平面α的垂线、斜线，AO 是P A 在平面α内的射影，α⊂l 且OA l ⊥，求证：PA l ⊥．【知识点】利用空间向量数量积解决直线垂直问题． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】取直线的方向向量a ，同时取向量PA ，OA ，∵OA l ⊥，∴0=⋅OA a ．∵α⊥PO ，且α⊂l ，∴PO l ⊥，∴0=⋅PO a ． 又∵=⋅PA a )(OA PO a +⋅0=⋅+⋅=OA a PO a ，∴PA l ⊥．【思路点拨】将向量PA 用PO ，OA 来表示，从而利用数量积解决垂直问题．这是三垂线定理的向量证法，同理也可用来证明：若PA l ⊥，则OA l ⊥． 【答案】见解题过程．同类训练 已知m ，n 是平面α内的两条相交直线，如果m l ⊥，n l ⊥，求证：α⊥l ． 【知识点】利用空间向量数量积解决线面垂直问题． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】在α内任作一直线g ，分别在l ，m ，n ，g 上取非零向量l ，m ，n ，g ． ∵m 与n 相交，∴向量m ，n 不平行，由向量共面的充要条件知， 存在唯一的有序实数对),(y x ，使n y m x g +=．∵0=⋅m l ，0=⋅n l ，∴n l y m l x g l ⋅+⋅=⋅0=，即g l ⊥． ∴l 垂直于α内的任意直线，∴α⊥l ．【思路点拨】将α内的任意直线的方向向量g 表示为m ，n 的线性组合，从而利用数量积证明0=⋅g l ，再由线面垂直的定义可证．这是线面垂直判定定理的向量证法．【答案】见解题过程．【设计意图】垂直问题的证明是常见题型，通过数量积的计算，避免了立体几何中辅助线的添加，极大地降低了难度． 3 课堂总结 知识梳理（1）已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则AOB ∠叫做向量a ，b 的夹角，记作><b a ,．如果2,π>=<b a ，那么向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥． （2）已知两个非零向量a ，b ，则><b a b a ,cos ||||叫做a ，b 的的数量积（inner roduct ），记作a b ⋅．零向量与任何向量数量积为0．特别地，a a ⋅=><a a a a ,cos ||||2||a =．空间向量的数量积满足的运算律有：①数乘结合律：)()(b a b a ⋅=⋅λλ，②交换律：a b b a ⋅=⋅，③分配率：c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅)(．（3）空间向量的数量积的性质有：①若e 为单位向量，则a e ⋅=><e a a ,cos ||；②若a ，b 为非零向量，则a b ⊥⇔a b ⋅0=；③||a ==；④若a ，b 为非零向量，则,cos b a b a >=<；⑤||||||b a b a ≤⋅（当且仅当a ，b 共线时等号成立）．重难点归纳（1）空间向量的数量积是向量的二维计算，是三个实数的乘积，不满足结合律．（2）空间向量的数量积主要解决向量的垂直，模长和夹角问题，在立体几何中应用非常广泛． （三）课后作业 基础型 自主突破1．下列命题中正确的是（ ）A ．222)(b a b a ⋅=⋅ B ．||||||b a b a ≤⋅C ．)()(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅D ．若)(c b a -⊥，则0=⋅=⋅c a b a 【知识点】向量数量积的概念和运算．【数学思想】转化思想．【解题过程】对于A 项，><=⋅b a b a b a ,cos )(222222b a ≤，故A 错误；对于C 项，数量积不满足结合律，故C 错误；对于D 项，有0)(=-⋅c b a ，所以c a b a ⋅=⋅，但不一定等于0，故D 错误．B 项是数量积的性质． 【思路点拨】深刻理解各种概念和运算． 【答案】B ．2．已知a ，b 为单位向量，其夹角为 60，则=⋅-b b a )2(（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【知识点】向量数量积的运算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵1||||==b a ，>=<b a , 60，∴=⋅-b b a )2(22b b a -⋅0||60cos ||||22=-=b b a ． 【思路点拨】熟练掌握空间向量数量积的运算法则． 【答案】B ．3．在三棱锥BCD A -中，2===AD AC AB ， 90=∠BAD ， 60=∠BAC ，则=⋅CD AB （ ） A ．2-B ．2C ．32-D ．32【知识点】空间向量数量积的运算． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】=⋅CD AB )(AC AD AB -⋅AC AB AD AB ⋅-⋅= 60cos 220⨯⨯-=2-=． 【思路点拨】在空间几何体中找到夹角再根据定义计算【答案】A ．4．在三棱锥ABC D -中，已知)()2(AC AB DA DC DB -⋅-+0=，则ABC ∆是（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【知识点】空间向量数量积的运算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵)()2(AC AB DA DC DB -⋅-+)()(AC AB DA DC DA DB -⋅-+-=0)()(22=-=-⋅+=AC AB AC AB AC AB ，∴22||||AC AB =，即AC AB =．【思路点拨】熟练掌握空间向量数量积的各种变形． 【答案】B ．5．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO +=，则AB 与AC 的夹角 为 ． 【知识点】空间向量的夹角． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵AO +=，∴点O 是BC 中点，故BC 为直径，根据圆的性质，有 90=∠BAC ，即<AB ,AC > 90=． 【思路点拨】利用几何性质，点O 是BC 中点，BAC ∠是直角所对的圆周角． 【答案】 90．6．已知a ，b ，c 中每两个向量的夹角都是3π，且4||=a ，6||=b ，2||=c ，试求出||c b a ++的值． 【知识点】向量模长公式． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵2||c b a ++a c c b b a c b a ⋅+⋅+⋅+++=222222422664264222⨯+⨯+⨯+++=100=，∴||c b a ++10=． 【思路点拨】利用模长公式进行数量积的计算．【答案】10．能力型 师生共研7．已知23||=a ，4||=b ，b a m +=，b a n λ+=，43,π>=<b a ，若n m ⊥， 则=λ ．【知识点】向量垂直与数量积的关系． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵n m ⊥，∴0=⋅n m ，即⋅+)(b a 0)(=+b a λ，则0)1(22=⋅+++b a b a λλ，即043cos234)1(4)23(22=⨯⨯⨯+++πλλ，∴064=+λ，23-=λ．【思路点拨】利用向量垂直的性质，列出方程求解．【答案】23-． 8．直三棱柱111C B A ABC -中， 90=∠BCA ，M ，N 分别是11B A ，11C A 的中点，1CC CA BC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）A ．101 B ．52 C ．1030 D ．22 【知识点】向量夹角公式求空间几何体中异面直线所成角． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设a CA =．b CB =，c CC =1，1||||||===c b a ，∴0=⋅=⋅=⋅a c c b b a ，∵BM c +=，AN c +=，∴BM ⋅AN 432=+=c ， 又∵26||=BM ，25||=AN ，∴BM <cos ⋅>AN ANBM =1030252643=⨯=． 【思路点拨】将BM 与AN 用a ．b ，c 表示，再利用向量夹角公式得到所求角的余弦值．【答案】C ．探究型 多维突破9．在正三棱柱111C B A ABC -中，若侧面对角线11BC AB ⊥，求证：11AB C A ⊥． 【知识点】在空间几何体中利用数量积解决直线垂直问题． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设a BA =，b BC =，c BB =1，m b a ==||||，n c =||， ∵11BC AB ⊥，且11BB AB AB +=c a +-=，=1BC c b +， ∴11BC AB ⋅⋅+-=)(c a )(c b +2c b a +⋅-=02122=-=m n ，∴222n m =， ∴C A AB 11⋅⋅+-=)(c a )(1BC AB A A ++⋅+-=)(c a )(b a c +--b a c a ⋅--=22021222=--=m n m ，∴11AB C A ⊥．【思路点拨】将1AB ，1BC ，C A 1用a ，b ，c 表示，再把垂直关系与数量积为零进行转化．【答案】见解题过程．10．三棱柱111 C B A ABC -中，2221===AC AB AA ， 6011=∠=∠=∠BAC AC A AB A ，在平行四边形C C BB 11内是否存在一点O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11？若存在，试确定O 点的位置；若不存在，说明理由．【知识点】利用数量积运算解决动点存在性问题． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设a AB =，b AC =，c AA =1，假设存在点O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11，不妨设BC n BB m BO +=1，则)(a b n c m BO -+=c m b n a n ++-=，而BO AB AO +=c m b n a n ++-=)1(，∴11AA AO O A -=c m b n a n )1()1(-++-=， 要使⊥O A 1平面C C BB 11，只需⊥O A 11BB ，⊥O A 1BC ，即01=⋅c O A ，0)(1=-⋅a b O A ， ∴])1()1[(c m b n a n -++-0=⋅c ，])1()1[(c m b n a n -++-0)(=-⋅a b ，解得43=m ，21=n ，BO +=O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11．【思路点拨】在平面C C BB 11内将BO 表示为BC n BB m +1，利用垂直条件列式解出m ，n 的值，从而确定点O 的位置．【答案】见解题过程．自助餐1．下列命题中，①a =||b a m b a m ⋅=⋅)()(λλ；③a c b c b a ⋅+=+⋅)()(；④a b b a 22=． 其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【知识点】向量数量积的概念和运算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】①②③正确，④不正确，因为a 与b 的方向不一定相同，故不一定相等． 【思路点拨】深刻理解各种概念和运算． 【答案】C ．2．已知向量a ，b 满足2||=a ，2||=b ，且a 与a b -2互相垂直，则>=<b a , ．【知识点】向量数量积的运算，夹角公式． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵a 与a b -2互相垂直，∴a 0)2(=-⋅a b ，即022=-⋅a b a ，∴2=⋅b a ，∴22,cos =>=<b a b a ，故 45,>=<b a ． 【思路点拨】先求出b a ⋅，再利用向量夹角公式．【答案】 45．3．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0=⋅AC AB ，0=⋅AD AC ，0=⋅AD AB ，则BCD ∆（ ）A ．是钝角三角形B ．是锐角三角形C ．是直角三角形D ．无形状不确定【知识点】数量积定义的应用． 【数学思想】转化思想【解题过程】∵BD BC ⋅)()(AB AD AB AC -⋅-=2AB AD AB AB AC AD AC +⋅-⋅-⋅=02>=AB ，∴0,cos >>=<BD BC BD BC ，故CBD ∠为锐角，同理BCD ∠与BDC ∠均为锐角．【思路点拨】锐角、钝角可由数量积的正负进行判定． 【答案】B ．4．已知a ，b 是两异面直线，A ，a B ∈，C ，b D ∈，b AC ⊥，b BD ⊥，且2=AB ，1=CD ，则直线a ，b 所成的角为（ ） A ． 30B ． 60C ． 90D ． 45【知识点】利用向量夹角公式计算异面直线所成角． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵DB CD AC AB ++=，∴CD DB CD AC CD AB ⋅++=⋅)(12==CD ，故21,cos =>=<CD AB CD AB ，即 60,>=<CD AB ． 【思路点拨】先求出CD AB ⋅，再利用向量夹角公式． 【答案】B ．5．在一个直二面角βα--l 的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于l 的线段，且4=AB ，6=AC ，8=BD ，则CD 的长为 ． 【知识点】向量模长的计算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵CD BD AB CA ++=，∴2CD 2)(BD AB CA ++=CA BD BD AB AB CA BD AB CA ⋅+⋅+⋅+++=222222116864222=++=，∴292||=CD ．【思路点拨】将CD 拆分成已知长度的向量，再使用向量模长公式． 【答案】292．6．在长方体1111D C B A ABCD -中，设11==AA AD ，2=AB ，P 是11D C 的中点，则C B 1与PA 1所成角的大小为 ． 【知识点】向量夹角公式的运用． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵P A C B 11⋅()(1AD AD AA +⋅+-=2AD =1=，由题意得211==C B PA ，则21,cos 11=>=<P A C B P A C B ，故 60,11>=<P A C B ． 【思路点拨】灵活运用向量夹角公式，关键是计算出P A C B 11⋅．【答案】 60．。
苏教版高中高二数学必修4《向量的数量积》教案及教学反思
苏教版高中高二数学必修4《向量的数量积》教案及教学反思一、教案设计1. 教学目标1.理解向量数量积的概念和特点；2.掌握向量数量积的计算方法；3.运用向量数量积解决几何问题。
2. 教学难点1.向量数量积的概念和特点的理解；2.向量数量积的计算方法的掌握；3.运用向量数量积解决几何问题的能力。
3. 教学重点1.向量数量积的概念和特点的理解；2.向量数量积的计算方法的掌握。
4. 教学方法1.探究法；2.演示法；3.练习法；4.归纳法。
5. 教学内容1.向量数量积的概念；2.向量数量积的计算方法；3.向量数量积的性质；4.向量数量积在几何问题中的应用。
6. 教学过程(1) 导入新课教师将一张图片放在黑板上，上面画有一只猎人和一只飞禽。
请学生思考以下问题：1.猎人用什么手段来抓飞禽？2.飞禽飞行时用什么力量来行进？3.猎人与飞禽之间有什么关系？经过学生讨论，引出向量的概念，并简要介绍向量的加减和数量积。
(2) 学习新课1.向量数量积的定义：$ \mathbf{a} \cdot\mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos\theta $，其中 $\\mathbf{a}$ 和 $\\mathbf{b}$ 分别为向量$\\boldsymbol{OA}$ 和 $\\boldsymbol{OB}$，$\\theta$ 为 $\\boldsymbol{OA}$ 和$\\boldsymbol{OB}$ 的夹角。
2.向量数量积的性质：交换律、分配律、数量积为0的充要条件是 $\\boldsymbol{OA}$ 与$\\boldsymbol{OB}$ 垂直。
3.向量数量积的应用。
(3) 练习1.根据上述内容，让学生完成以下例题：例题：已知向量 $\\mathbf{a} = \\boldsymbol{OA}$，$\\mathbf{b} = \\boldsymbol{OB}$，$\\mathbf{c} =\\boldsymbol{OC}$，$\\boldsymbol{OA} = 2\\boldsymbol{i} + \\boldsymbol{j}$，$\\boldsymbol{OB} = \\boldsymbol{i} + 3\\boldsymbol{j}$，$\\boldsymbol{OC} =3\\boldsymbol{i} + 4\\boldsymbol{j}$，求$\\boldsymbol{OA} \\cdot \\boldsymbol{OB}$ 和$\\boldsymbol{AB}$ 的夹角。
向量数量积问题的探究教学反思
《向量数量积问题的探究》教学反思一、 本节课教学设计亮点1. 创设开放性问题让每位学生都能动手解题，并且要求解题策略多样化，这对学生具有挑战 性和探究性，富有深层次的教育价值。
2. 课前准备充分，不仅要想学生所想，还需要对课堂中出现的“意外”有所准备，所以我还 查阅资料，归纳出了一些思想方法，以备不时之需。
3. 突出“学为中心”的教学理念，教学过程合理。
给学生一个自主探究的空间，学生自己得 出结论，在寻找结论的过程中，学生展示出各种思维，独到的见解，与众不同的方法。
这样的教学设计课堂动态生成多，学生积极性高，并且因学生精彩而课堂精彩。
4. 巩固练习设计合理具有针对性。
重在应用本节课所学的知识解决问题，并且作业编制具有 层次性，重在面向全体，差异分层。
5. 问题选取具有典型性。
多以高考、会考和模拟卷中的题目为主。
第一个题组铺垫作为归纳 常见知识和方法，第二个问题用来提升学生们的思想，能力。
二、 课堂实施中设计上的不足1. 在教学环节上，先学生自主思考，而后可以让学生以小组的形式进行交流，然后选取小组长上台展示组内总结出来的方法。
2. 对于合作分析问题2教学时，可以先将等式21a b +=r r 两边平方，得22441a b a b ++⋅=r r r r ，要得到a b ⋅r r 的最大值，只要求224a b +r r 的最小值带入即可。
这样利用基本不等式来解释学生更容易理解，并且高效。
3. 在两位学生利用几何法画圆来解释问题2时，没能在课堂中发现几何法具有不严密性。
因为不管是利用投影还是正交分解的方法，始终都具有a b r r 和的夹角和a r 的模长两个变量。
当一个变量为最大值时，另一个变量不一定为最大。
下课回到办公室后，有学生和我提起这种做法具有弊端，我才恍然大悟。
看来对于课堂突发生成的想法真的需要教师具有随机应变的能力和专业功底，这对于教师的要求必须很高。
第二节课上我做了必要的解释，并且有学生举出反例来推倒他们的结论。
空间向量的数量积运算教学反思
空间向量的数量积运算教学反思一、教学过程中的问题1. 知识的引入不够清晰：在讲解空间向量的数量积运算之前，我们应该先介绍向量的概念和基本性质，包括向量的表示方法、向量的加法和数乘等，以便学生能够更好地理解数量积运算的意义和作用。
2. 公式的逐步推导不够充分：在推导空间向量的数量积运算公式时，我们应该逐步引导学生思考和发现，而不是直接给出公式，这样有助于学生更好地理解公式的本质和推导过程。
3. 缺乏具体的例题分析：在教学过程中，我们应该注重对具体例题的分析和讲解，让学生通过解题来理解和掌握数量积运算的方法和技巧。
4. 缺乏实际应用的讨论：在教学中，我们应该引导学生思考数量积运算在实际问题中的应用，例如力的分解、工作的计算等，以增强学生对数量积运算的兴趣和理解。
二、教学反思和改进1. 引入知识的方式：在讲解空间向量的数量积运算之前，我们可以通过引入实际问题或生活中的例子来激发学生的兴趣，例如通过讨论力的作用、物体的运动等引入向量的概念和数量积运算的意义。
2. 公式的推导过程：在推导空间向量的数量积运算公式时，我们可以通过实际问题的讨论和几何图形的分析，引导学生逐步推导出公式，让学生在实践中体会公式的本质和推导过程。
3. 例题的分析和讲解：在教学过程中，我们应该选取一些具有代表性的例题，通过详细的分析和讲解，引导学生掌握数量积运算的方法和技巧。
同时，我们还可以设计一些拓展性的例题，让学生灵活运用所学知识解决问题。
4. 实际应用的讨论：在教学中，我们可以引导学生讨论数量积运算在实际问题中的应用，通过具体的例子和实际情境，让学生体会数量积运算在解决实际问题中的重要性和作用。
通过对空间向量的数量积运算教学的反思和改进，我们可以使教学内容更加清晰、生动，提高学生的学习兴趣和理解能力。
同时，我们也要不断总结和反思自己的教学经验，不断提高教学水平，为学生的学习创造更好的条件和环境。
空间向量的数量积运算教学设计 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
1.1.2 空间向量的数量积运算一、教学内容及解析（一）教学内容本节主要学习空间向量的夹角、数量积和投影向量（二）内容解析空间向量的数量积运算，是继空间向量的加减法、数乘运算之后的又一种运算，是又一个从平面到空间推广的实例.学生在学习过程中，充分体验类比、归纳的数学学习方式，深刻理解空间向量的数量积运算本质，逐步体会数量积运算在解决垂直等问题中的应用价值，为后续学习坐标表示下的向量方法解决空间角、长度、垂直等问题奠定重要基础.高中数学中的多个核心素养贯穿本节课始终，数学运算素养、逻辑推理素养尤为凸显，因此本节课的教学过程是核心素养落地生根的过程，是一次知识、方法、思想、素养的融会贯通之旅。
二、教学目标及分析（一）教学目标1、掌握空间向量夹角的概念及表示方法2、掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律3、掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题（二）目标分析1、第一节学生已经学习过空间中的任意两个向量通过平移转化为同一平面内的向量，空间向量的夹角即可转化为平面向量的夹角，以此掌握空间向量的夹角的概念及表示方法2、学生通过类比平面向量的数量积得出空间向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算律3、教师利用例题讲解如何利用向量解决立体几何中的夹角、距离等一些简单问题，学生利用变式练习进一步巩固空间向量的运用三、教学重难点1、重点：空间向量数量积的概念及运算律2、难点：用向量的方法解决立体几何问题四、教学过程问题一、如何定义空间向量的夹角及数量积？问题1、平面向量的夹角及数量积是如何定义的？师生活动：学生回顾平面向量的夹角的定义及范围，教师指导设计意图：复习旧知，引入新知问题2、空间向量和平面向量有何关系？如何定义空间向量的夹角及数量积？师生活动：教师指出上节课已经探究过空间任意两个向量通过平移都可以平移到一个平面内，转化为同一平面内的向量，因此两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义，教师提问并板书，学生回答夹角、夹角范围、数量积及相关结论设计意图：通过类比转化，得出空间向量的夹角及数量积定义，学生容易接受并掌握新知问题二、类比平面向量投影的得到过程，在空间中一个向量在另一个向量上的投影，该怎么作呢？师生活动：学生回忆平面向量中投影向量的知识，教师板书平面中向量的投影向量推导过程，帮助学生回顾旧知，为空间向量的投影做准备。
注重概念生成 提升核心素养——向量的数量积教学实录及教学反思
注重概念生成提升核心素养——向量的数量积教学实录及教学反思在教学实录中，注重概念生成是提升学生核心素养的重要方法之一。
本文将通过向量的数量积教学实录及教学反思，探讨如何在课堂中注重概念生成，从而提升学生的核心素养。
【引言】概念生成是指通过对概念的深入理解和归纳总结，使学生能够更好地掌握知识并运用到实际问题中的能力。
而向量的数量积作为数学中的重要概念，在教学中具有重要的意义。
本文将通过对向量的数量积教学实录的描述和分析，总结教学反思，探讨如何在教学中注重概念生成，提升学生核心素养。
【实录】本次向量的数量积教学旨在帮助学生深入理解向量的数量积的概念及其应用。
教师首先向学生介绍了向量的数量积的定义和性质，然后通过实际问题进行案例分析和讨论。
在教学初期，教师用图示向学生展示了向量的数量积的几何意义，并引导学生通过观察和思考，总结出向量的数量积的性质。
教师鼓励学生积极参与讨论，激发学生的思考能力和创造力。
随后，教师组织学生进行小组活动。
每个小组分配了一组向量，要求学生计算这些向量的数量积，并结合具体问题进行分析和解释。
教师及时给予指导和帮助，引导学生围绕概念生成展开讨论，深化对向量的数量积的理解。
在教学的过程中，教师注重培养学生的实际应用能力。
教师通过引导学生解决实际问题，如力的合成、几何问题等，激发学生的兴趣，培养学生将概念应用到实际问题中的能力。
同时，教师注重培养学生的逻辑思维和推理能力，通过引导学生进行问题分析和解决，培养学生的综合能力和创新精神。
【教学反思】在教学实录中，我发现注重概念生成对提升学生核心素养具有重要意义。
首先，概念生成能够帮助学生深入理解知识，掌握知识的本质和内在联系。
通过引导学生思考、讨论和总结，学生能够主动地从感性认识向理性认识转变，提高学习效果。
其次，注重概念生成能够帮助学生培养综合能力和创新精神。
在教学中，我注重培养学生的问题分析和解决能力，促使学生思考和提出新的观点。
通过引导学生运用向量的数量积解决实际问题，培养学生的实际应用能力和创新思维。
空间向量数量积运算教案
空间向量数量积运算教案一、教学目标1. 理解空间向量数量积的定义及物理意义。
2. 掌握空间向量数量积的运算律及性质。
3. 能正确运用空间向量数量积解决实际问题。
二、教学重点和难点1. 重点：空间向量数量积的运算律及性质。
2. 难点：运用空间向量数量积解决实际问题。
三、教学过程1. 导入新课：通过复习平面向量数量积的定义及性质，引出空间向量数量积的定义及性质。
2. 新课讲解：通过实例讲解空间向量数量积的运算律及性质，并给出证明过程。
3. 示范与探究：通过例题示范，让学生了解如何运用空间向量数量积解决实际问题，并引导学生探究多种解法。
4. 课堂练习：让学生自己动手完成课堂练习，巩固所学知识。
5. 归纳小结：总结本节课所学内容，强调重点和难点。
四、教学方法和手段1. 教学方法：讲解、示范、探究、练习。
2. 教学手段：PPT演示、板书、实物模型。
五、课堂练习、作业与评价方式1. 课堂练习：完成相关练习题，教师现场指导。
2. 作业：布置相关练习题，让学生在家中复习巩固所学知识。
3. 评价方式：通过作业、小测验等方式评价学生的学习情况。
六、辅助教学资源与工具1. 教学PPT：用于展示教学内容。
2. 黑板与粉笔：用于板书重要内容。
3. 实物模型：用于演示空间向量的运算过程。
4. 教学软件：用于计算和演示空间向量的运算结果。
七、结论本节课学习了空间向量数量积的定义及性质，掌握了其运算律及多种解法，能正确运用空间向量数量积解决实际问题。
在以后的学习中，需要进一步巩固和拓展所学知识，提高自己的解题能力。
八、教学反思本节课的教学内容比较抽象，需要学生具备一定的空间想象能力，因此在教学过程中需要注重培养学生的空间想象能力。
同时，还需要加强对空间向量数量积的应用的讲解，让学生更加了解其在实际问题中的应用。
在教学方法和手段上，需要进一步探索和创新，提高学生的学习积极性和参与度。
高中数学_空间向量的数量积教学设计学情分析教材分析课后反思
空间向量的数量积运算教学目标知识与技能1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法2.掌握两个空间向量的数量积的概念和性质以及计算方法和运算律。
3.掌握两个空间向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题。
过程与方法1.运用类比方法，体会向量的数量及运算由平面向空间转化的过程。
2.引导学生借助空间几何体理解空间向量的数量积运算情感态度与价值观1.培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、合作自学能力。
2.培养学生空间向量的应用意识重点难点教学重点：1.空间向量的数量积运算及其运算律，几何意义2.空间向量的数量积运算及其变形在空间几何体中的应用教学难点：用向量的方法解决立体几何中的垂直、距离、夹角等问题解决方法：1.深化理解空间向量的数量积的概念2.互助探究，增强合作意识教学过程：一、新课导入回顾平面向量的数量积运算，通过提问的方式回忆知识平面向量的数量积运算：1）两个向量的夹角的定义：如图，已知平面两个非零向量a，b，在平面任取一点O，作OA=a，OB=b，则∠AOB叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b . (1)规定：0≤,a b ≤π （2）在这样的规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且,a b =,b a（3）,a b =0时，a 与b 同向；,a b =π时，a 与b 反向（4）如果,a b =2π，则称a 与b 垂直，记为a ⊥b 2）数量积公式：a b •=a b cos ,a b三个重要性质：（1）2a =2a 即a =2a （求线段的长度）（2）a ⊥b ⇔a b •=0（垂直的判断）（3）cos ,a b =a ba b •（求角度）二、新课讲授类似地，我们可以定义空间向量的数量积运算：1） 两个空间向量的夹角的定义：如图，已知空间两个非零向量a 与b ，在空间任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b .（1）规定：0≤,a b ≤π（2）在这样的规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且,a b =,b a（3）,a b =0时，a 与b 同向；,a b =π时，a 与b 反向（4）如果,a b =2π，则称a 与b 垂直，记为a ⊥b 2）数量积公式：a b •=a b cos ,a b三个重要性质： （1）2a =2a 即a =2a （求线段的长度）（2）a ⊥b ⇔a b •=0（垂直的判断） （3）cos ,a b =a ba b •（求角度） 以上结论说明，可以从向量角度有效地分析有关垂直、长度、角度等问题3）空间向量的数量积的几何意义 数量积a b •等于a 的长度与b 在a 方向上的投影b cos ,a b 的乘积。
探究因学生主动而深刻——向量的数量积教学反思
探究因学生主动而深刻——向量的数量积教学反思向量的数量积是高中数学中一个重要的概念，它在几何和代数上都有广泛的应用。
对于学生来说，深入理解向量的数量积不仅能够帮助他们掌握数学知识，还能够培养他们的思维能力和解决问题的能力。
在本文中，我们将探究因学生主动而深刻的向量数量积教学反思。
首先，引导学生发现向量的数量积的几何意义。
向量的数量积表示了两个向量之间的关系，通过乘积的正负来表示两个向量之间的夹角，这是一个重要的几何概念。
在教学中，可以通过具体的几何实例来引导学生思考和发现这个概念。
例如，通过展示一个平面上的三角形，引导学生观察各个边的长度和夹角的大小，让他们自己尝试推断其中的规律。
通过这样的引导，学生可以更加直观地理解向量的数量积的几何意义，从而加深他们的记忆和理解。
其次，鼓励学生运用向量的数量积解决实际问题。
向量的数量积不仅在几何上有应用，还可以帮助我们解决一些实际的问题，如力的分解、投影等。
在教学中，可以设计一些与实际问题相关的练习或者小项目，让学生运用向量的数量积解决这些问题。
通过这样的实际应用，学生可以更加深入地理解向量的数量积的意义和作用，并且培养他们的问题解决能力。
另外，强调向量的数量积与其他数学概念的联系。
在学习向量的数量积的过程中，学生可能会遇到一些其他的数学概念，如向量的模、向量的投影等。
在教学中，可以适时地强调这些概念之间的联系，让学生理解它们之间的关系。
例如，可以通过比较向量的数量积和向量的模的平方之间的关系，或者通过比较向量的数量积和向量的投影之间的关系，让学生发现它们之间的规律和联系。
这样的联系让学生能够更加全面地理解向量的数量积，并且加深他们对这些数学概念的理解。
最后，通过实例展示向量的数量积的应用。
向量的数量积在物理学、工程学等领域中有广泛的应用，如力的做功、力矩等。
在教学中，可以通过一些实际的例子来展示向量的数量积的应用，让学生更加直观地理解它的作用和意义。
例如，可以通过展示一个物体在斜面上的运动，引导学生分析受力情况并运用向量的数量积计算物体所受的力和位移的乘积，从而得出做功的结果。
3.1.3空间向量的数量积运算(优秀经典公开课比赛教案)
3.1.3空间向量的数量积运算一、教材分析：“3.1空间向量及其运算”包括空间向量的定义、空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、空间向量的数量积运算、空间向量的正交分解及其坐标表示、空间向量运算的坐标表示等内容。
在学生掌握了空间向量加法运算的基础上，学习空间向量的数乘运算应无困难。
教科书在本小节首先类比平面向量的数乘运算引入空间向量的数乘运算以及数乘运算的分配律和结合律。
进而分别给出了空间向量共线和共面的定义，并进一步研究了空间向量共线和共面的问题。
二、教学目标：1、掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2、掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；3、掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题.三、教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用．四、教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：3、教具选择：六、教学方法：七、教学过程1、自主导学：2、合作探究（一）、复习引入1.复习平面向量数量积定义：2. 平面向量中有两个平面向量的数量积，与其类似，空间两个向量也有数量积.（二）、新课讲授1. 两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量a 与b ，在空间中任取一点O ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作＜a ,b ＞．说明：⑴规定：0≤＜a ，b ＞π≤． 当＜a 、b ＞＝０时，a 与b同向； 当＜a 、b ＞＝π时，a 与b 反向；当＜a 、b ＞＝2π时，称a 与b 垂直，记a ⊥b ． ⑵ 两个向量的夹角唯一确定且＜a ,b ＞＝＜b ,a＞．⑶ 注意：①在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．②＜a ,b ＞≠(a ,b )2. 两个向量的数量积：已知空间两个向量a 与b ，|a ||b |cos ＜a 、b ＞叫做向量a 、b 的数量积，记作a ·b ，即 a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞. 说明：⑴零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝０；⑵符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. 几何意义：已知向量AB ＝a 和轴l ，e 是l 上和l 同方向的单位向量．作点A 在l 上的射影A ′，点B 在l 上的射影B ′，则''A B 叫做向量AB 在轴l 上或在e 方向上的正射影，简称射影．可以证明：''A B ＝｜AB ｜cos ＜a ,e ＞＝a ·e ．说明：一个向量在轴上的投影的概念，就是a ·e 的几何意义．3. 空间数量积的性质：根据定义，空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质：⑴a ·e ＝｜a ｜·cos ＜a ,e ＞； ⑵a ⊥b ⇔a ·b ＝０⑶当a 与b 同向时，a ·b ＝｜a ｜·｜b ｜； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－｜a ｜·｜b ｜.特别地，a ·a ＝｜a ｜2或｜a ｜＝2a a a ⋅=.⑷cos ＜a ,b ＞＝a ba b ⋅⋅; ⑸｜a ·b ｜≤｜a ｜·｜b ｜.4. 空间向量数量积的运算律：与平面向量的数量积一样，空间向量的数量积有如下运算律：⑴(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb ) (数乘结合律)； ⑵ a ·b ＝b ·a (交换律)；⑶a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律)说明：⑴(a ·b )c ≠a （b ·с）；⑵有如下常用性质：a 2＝｜a ｜2，(a ＋b )2＝a 2＋２a ·b ＋b 2例题讲解：课本91页：例2、例33、巩固训练：课本92页：练习4、拓展延伸：5、师生合作总结：（1）空间向量夹角和模的概念及表示方法（2）两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；八、课外作业：课本97页：习题3.1 A组 4九、板书设计：。
教学设计1：3.1.3 空间向量的数量积运算
3.1.3空间向量的数量积运算教学目标：1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。
教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．教学过程一.复习引入平面向量的数量积及运算律.二.思考分析2008年5月12日，四川汶川发生特大地震．为了帮助地震灾区重建家园，某施工队需要移动一个大型的均匀的正三角形面的钢筋混凝土构件．已知它的质量为5 000 kg，在它的顶点处分别受大小相同的力F1，F2，F3并且每两个力之间的夹角都是60°(其中g＝10 N/kg)．问题1：向量F1和－F2夹角为多少？提示：120°.问题2：每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构件？提示：每个力大小为|F0|，合力为|F|，∴|F|2＝(F1＋F2＋F3)·(F1＋F2＋F3)＝(F1＋F2＋F3)2＝6|F0|2，∴|F|＝6|F0|，∴|F0|＝5 00066×10＝2 50063×10＝25 00063(N)．三.抽象概括1．空间向量的夹角2．空间向量的数量积定义已知两个非零向量a，b，则|a|·|b|·cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c两个向量数量积的性质(1)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0(2)若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|若反向，则a·b＝－|a|·|b|特别地：a·a＝|a|2或|a|＝a·a(3)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝a·b|a|·|b|(4)|a·b|≤|a|·|b|应用(1)可以求向量的模或夹角，进而求两点间的距离或两直线所成角(2)可证明两非零向量垂直，进而证明两直线垂直1．两个非零向量才有夹角，当两个非零向量同向共线时，夹角为0，反向共线时，夹角为π.2．两个向量的数量积是数量，它可正、可负、可为零．3．数量积a·b的几何意义是：a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．四.例题分析及练习[例1]如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积：(1) OA·OB；(2) EF·BC；(3)( OA＋OB)·(CA＋CB)．[思路点拨]根据数量积的定义进行计算，求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角，注意充分结合正四面体的特征．[精解详析](1)正四面体的棱长为1，则|OA|＝|OB|＝1.△OAB为等边三角形，∠AOB ＝60°，于是：OA·OB＝|OA||OB|cos〈OA，OB〉＝|OA||OB|cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝1 2.(2)因为E，F分别是OA，OC的中点，所以EF 平行且等于12AC ，于是E EF ·BC ＝|EF ||BC |cos 〈EF ，BC 〉 ＝12|CA |·|BC |cos 〈AC ，BC 〉 ＝12×1×1×cos 〈CA ，CB 〉 ＝12×1×1×cos 60°＝14. (3)( OA ＋OB )·(CA ＋CB )＝(OA ＋OB )·(OA －OC ＋OB －OC ) ＝(OA ＋OB )·(OA ＋OB －2OC )＝OA 2＋OA ·OB －2OA ·OC ＋OB ·OA ＋OB 2－2OB ·OC ＝1＋12－2×12＋12＋1－2×12＝1.[感悟体会] 在几何体中进行向量的数量积运算，要充分利用几何体的性质，把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算． 训练题组11.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( )A ．2BA ·ACB ．2AD ·BDC ．2FG ·CAD ．2EF ·CB解析：2BA ·AC ＝－2 AB ·AC ＝－2a 2cos 60°＝－a 2，2 AD ·BD ＝2DA ·DB ＝2a 2cos 60°＝a 2,2FG ·CA ＝AC ·CA ＝－a 2，2EF ·CB ＝BD ·CB ＝－BD ·BC ＝－12a 2.答案：B2．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点．求下列向量的数量积：(1) BC ·1ED ； (2) BF ·1AB .解：如图所示，设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ， 则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.(1) BC ·1ED ＝BC ·(1EA ＋11A D )＝b ·[12(c －a )＋b ]＝|b |2＝42＝16. (2) BF ·1AB ＝(1BA ＋1A F )·(AB ＋1AA )＝(c －a ＋12b )·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.[例2] 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．[思路点拨] 先求1BA ·AC ，再由夹角公式求cos 〈1BA ，AC 〉，并由此确定异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．[精解详析] ∵1BA ＝BA ＋1AA ＝BA ＋1BB ，AC ＝BC －BA ，且BA ·BC ＝1BB ·BA ＝1BB ·BC ＝0，∴1BA ·AC ＝－2BA ＝－1.又|AC |＝2，|1BA |＝1＋2＝3， ∴cos 〈1BA ，AC 〉＝1BA ·AC|1BA ||AC |＝－16＝－66，则异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值为66. [感悟体会] 利用数量积求异面直线所成角的余弦值的方法：训练题组23．已知a ，b 是异面直线，A ∈a ，B ∈a ，C ∈b ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：设〈AB ，CD 〉＝θ，∵AB ·CD ＝(AC ＋CD ＋DB )·CD ＝|CD |2＝1，∴cos θ＝AB ·CD |AB ||CD |＝12.又θ∈[0，π]，∴θ＝60°.答案：C4．已知空间四边形OABC 各边及对角线长相等，E ，F 分别为AB ，OC 的中点，求OE 与BF 所成角的余弦值．解：如图，设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，且|a |＝|b |＝|c |＝1，易知∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝π3，则a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.因为OE ＝12(a ＋b )，BF ＝12c －b ，|OE |＝|BF |＝32，∴OE ·BF ＝12(a ＋b )·(12c －b )＝14a ·c ＋14b ·c －12a ·b －12|b |2＝－12.∴cos 〈OE ，BF 〉＝OE ·BF |OE |·|BF |＝－23.∵异面直线所成的角为直角或锐角，∴异面直线OE 与BF 所成角的余弦值为23.[例3] 如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，从同一顶点出发的三条棱的长都等于1，且彼此的夹角都是60°，求对角线AC 1和BD 1的长．[思路点拨] 把向量AC 1和BD 1用已知向量AB ，AD ，AA 1 表示出来，再用数量积的定义运算．[精解详析] ∵AC 1＝AB ＋AD ＋AA 1，∴|AC 1|2＝AC 12＝(AB ＋AD ＋AA 1)2 ＝AB 2＋AD 2＋AA 12＋2(AB ·AD ＋AB ·AA 1＋AD ·AA 1)＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6.∴|AC 1|＝6，即对角线AC 1的长为 6. 同理，|BD 1|2＝BD 12＝(AD ＋AA 1－AB )2＝AD 2＋AA 12＋AB 2＋2(AD ·AA 1－AB ·AA 1－AD ·AB )＝1＋1＋1＋2(cos 60°－cos 60°－cos 60°)＝2.∴|1BD |＝2，即对角线BD 1的长为 2.[感悟体会] 求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用|a |2＝a ·a ，通过向量运算去求|a |，即得所求距离． 训练题组35.如图，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( ) A ．6 2B ．6C ．12D ．144解析：∵PC ＝PA ＋AB ＋BC ，∴PC 2＝PA 2＋AB 2＋BC 2＋2AB ·BC ＋2PA ·AB ＋2PA ·BC ＝36＋36＋36＋2×6×6×cos 60°＋2×6×6×cos 90°＋2×6×6×cos 90°＝144， ∴|PC |＝12. 答案：C6．在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60°角，求B ，D 间的距离．解：∵∠ACD ＝90°，∴AC ·CD ＝0，同理，AC ·BA ＝0. ∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA ，CD 〉＝60°或120°.又BD ＝BA ＋AC ＋CD ，∴BD ·BD ＝|BA |2＋|AC |2＋|CD |2＋2BA ·AC ＋2BA ·CD＋2AC ·CD ＝3＋2×1×1×cos 〈BA ，CD 〉＝⎩⎨⎧4 〈BA ，CD 〉＝60°，2〈BA ，CD 〉＝120°，∴|BD |＝2或2，即B ，D 间距离为2或 2.[例4] 已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，求证：AD ⊥BC .[思路点拨] 先将已知条件转化为AB ·CD ＝0，AC ·BD ＝0，再证明AD ·BC ＝0.[精解详析]∵AB ⊥CD ，AC ⊥BD ， ∴AB ·CD ＝0，AC ·BD ＝0. ∴AD ·BC ＝(AB ＋BD )·(AC －AB ) ＝AB ·AC ＋BD ·AC －AB 2－AB ·BD ＝AB ·AC －AB 2－AB ·BD＝AB ·(AC －AB －BD )＝AB ·DC ＝0. ∴AD ⊥BC ，从而AD ⊥BC .[感悟体会] 用向量法证明垂直的方法：把未知向量用已知向量来表示，然后通过向量运算进行计算或证明． 训练题组47．已知向量a ，b 是平面α内两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则c ·a ＝0，且c ·b ＝0是l ⊥α的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：若l ⊥平面α，则c ⊥a ，c ·a ＝0，c ⊥b ，c ·b ＝0； 反之，若a ∥b ，则c ⊥a ，c ⊥b ，并不能保证l ⊥平面α. 答案：B8．已知空间四边形OABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ，且OA ＝OB ＝OC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是MN 的中点． 求证：OG ⊥BC .证明：连接ON ，设∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝θ，又设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，则|a |＝|b |＝|c |.又OG ＝12(OM ＋ON )＝12[12OA ＋12(OB ＋OC )]＝14(a ＋b ＋c )，BC ＝c －b ，∴OG ·BC ＝14(a ＋b ＋c )·(c －b )＝14·(a ·c －a ·b ＋b ·c －b 2＋c 2－b ·c )＝14(|a |2·cos θ－|a |2·cos θ－|a |2＋|a |2)＝0. ∴OG ⊥BC ，即OG ⊥BC . 五.课堂小结与归纳1．求两向量的数量积时，关键是搞清楚两个向量的夹角．在求两个向量的夹角时，可用平移向量的方法，把一个向量平移到与另一个向量的起点相同．2．利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题．其基本思路是将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a ·a 求解即可．3．利用空间向量的数量积解决几何中的夹角垂直关系，其思路是将直线的方向向量用已知向量表示，然后进行数量积的运算． 六.当堂训练1．已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |＝2，|b |＝5，则(2a －b )·a ＝( ) A ．12 B ．8＋13 C ．4 D ．13解析：(2a －b )·a ＝2a 2－b ·a ＝2|a |2－|a ||b |cos 120°＝2×4－2×5×(－12)＝13.答案：D2．已知|a |＝1，|b |＝2，且a －b 与a 垂直，则a 与b 的夹角为( ) A ．60°B ．30°C ．135°D ．45°解析：∵a －b 与a 垂直，∴(a －b )·a ＝0，∴a ·a －a ·b ＝|a |2－|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝1－1·2·cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝22.∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝45°. 答案：D3．已知a ，b 是异面直线，a ⊥b ，e 1，e 2分别为取自直线a ，b 上的单位向量，且a ＝2e 1＋3e 2，b ＝ke 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为( ) A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：由a ⊥b ，得a ·b ＝0，∴(2e 1＋3e 2)·(ke 1－4e 2)＝0. ∵e 1·e 2＝0，∴2k －12＝0，∴k ＝6. 答案：B4．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB ·AC ＝0，AC ·AD ＝0，AB ·AD ＝0，则△BCD 是( ) A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定解析：BC ·BD ＝(AC －AB )·(AD －AB )＝AC ·AD －AC ·AB －AB ·AD ＋AB 2＝AB 2>0.同理，可证CB ·CD >0，DB ·DC >0. ∴三角形的三个内角均为锐角． 答案：B5．已知|a |＝13，|b |＝19，|a ＋b |＝24，则|a －b |＝________.解析：|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝132＋2a ·b ＋192＝242，∴2a ·b ＝46，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝530－46＝484，故|a －b |＝22. 答案：226．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，则对角线AC 1的长度等于________．解析：1AC 2＝(AB ＋AD ＋1AA )2＝AB 2＋AD 2＋1AA 2＋2AB ·AD ＋2AB ·1AA ＋2AD ·1AA ＝16＋9＋25＋2×4×3×cos 90°＋2×4×5×cos 60°＋2×3×5×cos 60° ＝50＋20＋15＝85， ∴|1AC |＝85. 答案：857.如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面边长为 2.(1)设侧棱长为1，求证：AB 1⊥BC 1； (2)设AB 1与BC 1的夹角为π3，求侧棱的长．解：(1) 1AB ＝AB ＋1BB ，1BC ＝1BB ＋BC .∵BB 1⊥平面ABC ，∴1BB ·AB ＝0，1BB ·BC ＝0.又△ABC 为正三角形， ∴〈AB ·BC 〉＝π－〈BA ·BC 〉＝π－π3＝2π3.∵1AB ·1BC ＝(AB ＋1BB )·(1BB ＋BC )＝AB ·1BB ＋AB ·BC ＋1BB 2＋1BB ·BC ＝|AB |·|BC |·cos 〈AB ，BC 〉＋1BB 2 ＝－1＋1＝0， ∴AB 1⊥BC 1.(2)结合(1)知1AB ·1BC ＝|AB |·|BC |·cos 〈AB ，BC 〉＋1BB 2＝1BB 2－1. 又|1AB |＝AB 2＋1BB 2＝2＋1BB 2＝|1BC |，∴cos 〈1AB ，1BC 〉＝1BB 2－12＋1BB 2＝12，∴|1BB |＝2，即侧棱长为2.8．在棱长为1的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E ，F 分别是D ′D ，DB 的中点，G 在棱CD 上，CG ＝14CD ，H 为C ′G 的中点．(1)求EF ，C ′G 所成角的余弦值； (2)求FH 的长．解：设AB ＝a ，AD ＝b ，AA '＝c ， 则a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，|a |2＝a 2＝1，|b |2＝b 2＝1，|c |2＝c 2＝1.(1)∵EF ＝ED ＋DF －12c ＋12(a －b )＝12(a －b －c )，'C G ＝'C C ＋CG ＝－c －14a ，∴EF ·'C G ＝12(a －b －c )·(－c －14a )＝12(－14a 2＋c 2)＝38，|EF |2＝14(a －b －c )2＝14(a 2＋b 2＋c 2)＝34，|'C G |2＝(－c －14a )2＝c 2＋116a 2＝1716，∴|EF |＝32，|'C G |＝174，cos 〈EF ，'C G 〉＝EF ·'C G |EF ||'C G |＝5117， 所以EF ，C ′G 所成角的余弦值为5117. (2)∵FH ＝FB ＋BC ＋'CC ＋'C H ＝12(a －b )＋b ＋c ＋12'C G＝12(a －b )＋b ＋c ＋12(－c －14a ) ＝38a ＋12b ＋12c ， ∴|FH ―→|2＝(38a ＋12b ＋12c )2＝964a 2＋14b 2＋14c 2＝4164， ∴FH 的长为418.。
探究因学生主动而深刻——“向量的数量积”教学反思
概 念 建 构 的全 程 ： 提 出问题 ， 明确学 习任务 ， 寻 找 研
究 策略 ， 实践研究过程 ， 反 思 研 究 成 果 … … 使 探 究 因
学 生 主动 而深 刻 ．
体 在 力 Ｆ 的 作 用 下 发 生 了 位 移 ｓ， 那 么该 力 对 此 物 体 所 做 的功 为 多 少 ？ ２ ． ２ 引导 探 究 。 建 立 概 念 图１
想 ？—— 回顾 联 系 ． （ 让 学 生 回顾 向量 的 加 、 减、 数 乘 运 算 产 生 的 过
程 ）
知 识 同化 与心 理 顺 应 可 能 有 一 定 的障 碍 和 困 难 ．
教 育 的根 本 目标 是 育 人 ． “ 从 数 学 学 科 教 学 的角
师： 这些运算均是基 于现 实背景 的． 现在， 我 们
・ ５ ・
师： 这种情形下就要硬性补充规定 了， 你 觉 得 怎
（ 生１ 把 Ｗ ＝Ｆ ｓ ｃ ｏ ｓ ０ 修 改 为 Ｗ ＝ｌ Ｆ ｌ ・ Ｉ ｓ ｌ Ｃ Ｏ Ｓ ， 众学生表示赞许）
师： 这种形式 的运算 结果有 现实 意义． 在这 里 ，
样 规 定 比较 合 适 ？ 众生 ： 让运算结果为 ０ ， 零 乘 以任 何 数 都 为 ０ 嘛． 师： 很好 ， 数 学 家 正 是 这 样 做 的． 至此 ， 我们 可 以
一
师： 现在 ， 你 能 提 出什 么 问题 ？ （ 稍等） 接 下 来 你 想研究什么呢？ 生： 乘法 ， 向 量乘 以 向量 ．
定 的认 识 ， 这 是 学 习 向量 的数 量 积 的 基 础 ． 向量 的
数 量 积 是 向量 运 算 的 重 要 内 容 ， 其 产 生 既 有 丰 富 的 现 实 背景 ， 又有 完 备 运 算 结 构 的 数 学 内部 需 要 ； 既 是
《空间向量数量积的运算》的教学反思
《空间向量数量积的运算》的教学反思《空间向量数量积的运算》教学反思湖南省地质中学蒋培南本节课我讲了选修2-1第三章《空间向量的数量积运算》这一节，这是本章第三节的内容，主要学习的是空间向量的数量积的运算及应用。
根据大纲，要求学生能熟练应用空间向量的运算解决简单的立体几何问题，这也是本节课的难点。
突破难点的方法是让学生会用已知向量表示相关向量，就是利用三角形法则或多边形法则把未知向量表示出来，进而再求两个向量的数量积、夹角、距离等。
本节课在教学设计上，首先要目标明确，从知识、能力、情感态度与价值观三方面进行整体设计，注重与学生已有知识的联系及相关学科知识的联系（物理学：功），因为本节知识是向量由二维向三维的推广，所以预习平面向量的运算起了一定的作用，使学生体会知识的形成过程和数学中的类比学习方法。
在整个教学过程中，我还是沿用知识复习、学生探究、教师例题分析、师生合作归纳小结的主线进行教学，符合学生的认知规律，也易于学生对知识的掌握，在教学方法上，我注重多媒体演示和传统板书教学有效结合，较好地辅助了教学。
同时，结合新高考的要求，我注重了数学核心素养的培养，在教学中例题分析与归纳时，我注重了数学思想方法的渗透，如本节课我就渗透了数形结合思想、类比思想等，本节课的核心理念是体现学生在学习中的主体性。
但我注重调动学生的主观能动性，最大限度的发挥学生的主体作用，在教学过程中，学生的思维活跃，积极讨论问题，自主解决相关例题。
精彩处在于学生积极参与互动，学生评判，教师引导，学生积极归纳知识点，整个课堂热烈有序，张而有驰，整体课多次出现教学高潮，博得了学生与听课专家的热烈掌声，从课后反馈来看，本堂课普片反应学懂了，掌握了知识和解决问题的能力，正在学有所用。
不足之处：在创设情境时，我用的是知识性引课，不够引人入胜，要是能想出更好的引课方式或动画设计，在一开始就抓住学生的眼球，调动起学生学习的积极性，应该效果会更好。
空间向量与空间立体几何的教学反思
空间向量与空间立体几何的教学反思空间向量与空间立体几何的教学已经完成，在这里我个人进行一下教学反思：1. 注重联系本章从数量表示和几何意义两方面，把对向量及其运算的认识从二维情形提升到三维情形。
这是“由此及彼，由浅入深” 的认识发展过程。
2 体现思想本章以立体几何问题为载体，体现向量的工具作用和向量方法的基本步骤和原理，再次渗透符号化、模型化、运算化和程序化的数学思想。
主要要思想方法是：（1）类比、猜想、归纳、推广（让学生经历由平面向空间推广的过程）；（2）能灵活选择向量法、坐标法与综合法解决立体几何问题。
3. 温故知新空间向量的基本概念及其性质是后续学习的前提，由于空间向量是平面向量的推广，空间向量及其运算所涉及的内容与平面向量及其运算类似，所以，空间向量的教学上要注重知识间的联系，温故而知新，运用类比的方法认识新问题，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。
4.强调通法（1）向量法有别于传统的纯几何方法，而是将几何元素用向量表示，进行向量运算，再回归到几何问题。
这种“三步曲”式的解决问题过程，在数学中具有一般性。
（2）三步曲：空间向量表示几何元素→利用向量运算研究几何元素间的关系→把运算结果翻译成相应的几何意义。
（3）向量运算时注意其几何意义，联系几何问题（如三垂线定理及其逆定理等）加深对有关运算的认识。
5.螺旋上升（1）必修2中，已经讨论过空间中直线、平面的平行、垂直等位置关系，当时没有对相关判定定理进行证明，只证明了相关性质定理。
（2）本章以三垂线定理、线面垂直的判定定理等为例，用向量方法对其进行证明，然后指出运用向量方法可以证明关于线面位置关系的其他判定定理，并引导学生进行尝试。
这样可以加强所学前后知识的联系，对空间位置关系提高认识水平。
三、教学建议1.用好本章引言空间向量在理论研究和解决实际问题方面有广泛应用，它成为解决立体几何中的大量问题的有力工具。
在本章我们把平面向量推广到空间向量,学习空间向量的概念、运算、坐标表示，并利用空间向量的运算解决有关立体几何问题。
空间向量的数量积运算”教学设计与反思
“空间向量的数量积运算”教学设计与反思笔者有幸参加了2015年浙江省高中数学课堂教学评比活动，并得到了与会专家和老师的一致认同，获得了课堂教学评比一等奖.以下是本节课的教学设计和课后的教学反思，以此抛砖引玉，供同行参考.一、教学内容解析向量兼具数和形的双重形态，是沟通代数和几何的桥梁.空间向量为处理立体几何问题提供了一个新的视角，是解决三维空间中图形位置关系与度量问题的有效工具.空间向量的数量积运算，是人教社A版《数学2-1》中继空间向量的加减运算、数乘运算之后的又一种运算，是平面向量运算向空间推广的一个实例.在平面向量的夹角、长度概念和数量积定义的基础上，通过类比的方式，得出空间向量数量积的相关概念、运算律，并举例说明了空间向量数量积运算在处理立体几何中垂直关系中的重要作用，充分体现了数学的应用价值.做好类比、抓住本质、学会方法、奠定基础是本节课的教学主线.通过类比发现任意两个空间向量都是共面的，抓住本质确定空间任意两个向量的数量积本质上就是平面向量的数量积；基于空间向量的数量积运算，学会用数量积解决垂直问题的方法，体会化归转化与数形结合思想另外，本节课内容为后续学习坐标表示下的向量方法解决空间角、长度、垂直等问题奠定了重要基础.二、教学目标设置教学指导意见对本节内容的要求是：理解空间向量的长度和夹角的意义；理解空间向量的数量积的意义及其运算律；能利用空间向量的运算解决直线和直线垂直、直线和平面垂直、两点间距离或线段长度等相关问题结合教学实际，制定教学目标如下：（1）通过小组合作、自主探究、交流分享，在类比中归纳得出明确的认识：空间任意两个向量都是共面的，空间任意两个向量的数量积就是平面向量的数量积；学生能进一步理解和掌握空间向量数量积的相关概念及运算.（2）经历例1、2的分析、求解过程，学生能初步体验空间向量在解决立体几何有关问题中的重要价值，能基本掌握用数量积处理空间中线线、线面垂直问题.（3）在解决具体问题的过程中，学生能强化数学应用意识，感悟数学思想（数形结合、化归转化等）的魅力.三、学生学情分析学生在经历空间向量的概念及线性运算之后，已感受空间向量与平面向量之间的内在联系，体会并运用类比的方法学习空间向量及其运算由于空间任意两个向量必共面，因此空间向量在本质上与平面向量是一致的.同时学生在平面向量的学习中，已经认识到平面向量的数量积在判定位置关系（垂直）、角与距离的计算中的应用价值，这为研究空间位置关系及相关度量提供了类比前提，即在平面向量的夹角和向量长度概念的基础上，类比引入空间向量的夹角、长度的概念和表示方法，类比平面向量的数量积的运算得到空间两个向量的数量积的概念和计算方法、运算律.空间向量的投影以及数量积的分配律，代数形式上与平面向量中完全一样，但是在几何直观上又有些许不同.这是学生在类比归纳中的一个难点，需要适时铺垫引导，逐个突破.数量积在解决立体几何中直线和平面垂直、直线和直线垂直等问题的过程中，学生对几何元素与空间向量之间的对应及如何用空间向量表示所涉及的几何元素可能困难较大，这是将立体几何问题转化为空间向量问题的关键.基于教学内容和学情分析，本节课的重点和难点确定如下：重点：通过类比归纳得出空间向量数量积的概念及运算，能利用数量积运算解决空间垂直问题.难点：理解空间向量的投影以及数量积的分配律；用空间向量表示线线、线面垂直，并深刻体会没有运算的向量只能起到路标作用，有了向量的运算力量无穷.四、教学策略分析（一）本节课的框架设计为了实现教学目标，我按照以下框架安排本节课的教学：环节1：问题引入，提出概念；环节2：自主探究，交流分享；环节3：例题赏析，感悟运算；环节4：归纳总结，作业巩固.（二）对教学方法和手段的分析本节课的教学主线是：做好类比、抓住本质、学会方法、奠定基础教学过程中，充分发挥学生的主体作用，践行学生先行，交流呈现，教师断后的教学理念，凸显以学生为主体的教，在教师引导下的学的授课模式.通过问题引入、阅读理解、表格填写、交流分享等途径，让学生动起来，让课堂活起来.在概念、运算律的建构中，始终坚持让学生主动进行类比与归纳；在例题赏析中，注重引导学生建立已知与待求间的关联.借助向量工具适时转化难点，设置问题串适时突破难点，注重渗透数形结合、化归转化的数学思想通过课堂小结与感悟，让学生能对课堂所学有持续的思考，激发学习的热情，进一步增强教师引领的辐射作用.另外，根据教学需要，对教材内容和呈现方式作了如下设计：（1）设置自主探究，交流分享环节，并以表格的形式呈现空间与平面向量数量积的对比，增强对比的效果，突出两者的共性，有利于空间向量数量积的知识构建.（2）以表格形式呈现课本第90页思考题中的3个问题，概括为可约、可除、可结合三个问题，增强学生对三种运算的直观理解.（3）以例1、例2为载体，强化学生对数量积运算价值的认识.通过课堂感悟，引导学生去体会没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷.（4）制作实用的多媒体课件，设计合理的板书，辅助课堂教学的有效开展.五、教学过程（一）问题引入，提出概念之前刚刚学习了空间向量的加减、数乘运算，通过学习发现：空间向量的加减、数乘运算与平面向量的加减、数乘运算是完全一样的.必修4中已经学习了平面向量的数量积运算，从定义、几何意义、运算律等方面认识了数量积运算，那么空间向量的数量积运算会是怎么样的呢？设计意图：通过回顾加减、数乘运算学习经验，让学生体会空间向量与平面向量的内在联系，暗示学生运用类比的方法学习空间向量的数量积运算等借此，提出空间向量的数量积的概念，为后续自主探究、交流分享环节作好铺垫.（二）自主探究，交流分享1.小组合作，自主探究分组：4人小组，确定1名组长.组长负责组织讨论、记录、汇报讨论结果.引导：呈现研究平面向量数量积运算的几个维度，暗示学生探究的方向.巡视、点拨：确认组长，对讨论过程中个别疑难处进行指导.提醒：对照表格进行填写，梳理空间向量数量积运算的相关知识.设计意图：充分发挥学生的主体作用，践行学生先行，交流呈现，教师断后的教学理念，凸显以学生为主体的教，在教师引导下的学的授课模式，让学生动起来，让课堂活起来.2.概念辨析，交流分享（1）空间向量的投影.设计意图：学生通过类比平面向量中的向量投影的概念、作法，在猜想、论证后得到空间向量的投影概念及作法.在此过程中，进一步体会空间向量和平面向量的内在联系，领悟空间任意两个向量都是共面的，空间向量的投影可以转化为平面向量的投影，同时还学会了空间向量投影的直观作法.（2）空间向量数量积运算的分配律.a（b+c）=ab+ac（b+c）在a方向上投影=b在a方向上投影+c在a方向上投影设计意图：学生在理解了空间向量的投影的概念之后，对投影的认识有进一步提升的需要.另外，从定义出发论证分配律也需要借助投影来实现.以长方体为背景的空间向量图示，能直观呈现空间位置和向量投影，达到此时无声胜有声的奇效，是本节课的一处亮点.（3）课本第90页思考题辨析.设计意图：通过回答表格的问题，学生进一步理解了空间向量数量积的概念及相关运算律，有效地完善了空间向量数量积运算的知识建构，为后续使用空间向量工具解决立体几何问题提供了运算支持.3.例题赏析，感悟运算例 1 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.设计意图：将文字叙述转译为数学语言表达是例1的难点，将几何问题转化为向量问题是又一个难点，解决问题的核心是数量积运算.因此设置如下步骤来突破难点：第一步，用数学语言表示；（已知：PO平面，l在平面内，OA是斜线PA在内的射影，且lOA.求证：lPA）第二步，构建已知与求证的关联，引导学生将问题转化为向量问题；第三步，选择合适的向量表示，利用数量积运算计算证明；第四步，根据计算结果解释几何结论（三垂线定理）；第五步，体验数量积运算的价值：数量积运算可以刻画空间线线垂直的位置关系.例2 如图，m，n是平面内的两条相交直线.如果lm，ln，求证：l设计意图：例2呈现了数量积运算刻画空间线面垂直关系的价值.证明l与内任意一条直线g是关键，运用空间向量共面定理表示g=xm+yn是本题的难点.通过与例1的对比，促使学生深刻体会数量积运算在刻画空间垂直关系中的应用价值.为此设置问题串来突破难点：问题1如何判断直线l平面？问题2如何判断lg（g为平面内任意一条直线）？问题3如何判断lg？问题4如何用m，n表示g？4.归纳总结，作业巩固（1）空间向量数量积的定义、几何意义、运算律.（2）用数量积运算来刻画空间中的垂直关系：线线垂直、线面垂直.类比与归纳右图（1）数形结合思想；（2）化归转化思想.学习感悟没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷！课后作业必做作业：书本第92页练习1，书本第99页B组第1题；选做作业：试证明三垂线定理的逆定理.六、教学反思从实际的教学反馈来看，本节课的总体架构是切实可行的，收效也非常好.本节课的亮点主要体现在以下三个方面：1.教学思路的独创性教学设计中突出了构建向量的代数系统的思路，寻求达成没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷的共识，是本节课的第一大亮点.教学设计合理地解读了人教版教材的编写意图，为空间向量章节内容的教学提供了一个很好的范式.本节课介绍了又一种新的空间向量运算（数量积运算），从定义、几何意义、运算律、应用等维度对这种运算进行研究.本节课的重心是数量积运算的认知以及价值体验的过程，而不是解题应用.2.教学定位的适切性教学重、难点的确定是否适切，直接影响教学是否有效.本节课的定位和预设，符合学生认知水平.高二学生在经历空间向量的概念及线性运算之后，已初步感受空间向量与平面向量之间的内在联系（空间任意两个向量必共面），能体会运用类比的方法学习空间向量及其运算.基于平面向量数量积的学习经验，学生已经认识到平面向量数量积在判定垂直关系中的应用价值，这为研究空间位置关系提供了类比前提，自然地确定了教学重点通过类比归纳得出空间向量数量积的概念及运算，并能利用数量积运算解决空间垂直问题.空间向量的投影以及数量积的分配律，代数形式上与平面向量中完全一样，但是在几何直观上又有些许不同.这是学生在类比归纳中的一个难点，需要适时铺垫引导，逐个突破.教学过程中，充分利用直观的几何图示，帮助学生建立对空间向量投影和分配律的几何内涵的认知，这是本节课的又一亮点.3.教学过程的探索性教学过程中，充分发挥学生的主体作用，践行学生先行，交流呈现，教师断后的教学理念，突显以学生为主体的教，在教师引导下的学的授课模式.这是本节课的第三个亮点.通过问题引入、阅读理解、表格填写、交流分享等途径，让学生动起来，让课堂活起来，使课堂教学成为在教师指导下的探索学习过程.在概念、运算律的建构中，始终坚持让学生主动进行类比与归纳，在探究中发现、理解数学概念；设置问题（串）引导学生主动发现已知与待求间的关联，体验数形结合、化归转化等数学思想.当然，本节课也存在许多不足之处，需要在后续的教学中加以改进.（1）小组合作的探究活动开放程度不够，探究发现的层次不够高，课堂生成意外不多.（2）例题赏析环节中，学生的主动参与程度不高，气氛调动和难点突破的设计还需优化.。
空间向量的数量积教学反思
《3.1.3空间向量的数量积运算》教学反思本节课在平面向量的夹角和向量长度的概念基础上，引入了空间向量的夹角和向量长度的概念和表示方法，介绍了空间两个向量数量积的概念计算方法，性质和运算律，并举例说明利用向量的数量积解决问题的基本方法。
通常，按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力，逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足，造成解题困难。
用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性，而且在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高。
本节课的课标要求是掌握空间向量夹角的概念及表示方法；掌握两个向量的数量积概念、性质和运算方法及运算规律；掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题.根据课标要求，我拟定如下学习目标1.理解向量的夹角及空间向量的数量积运算概念及性质；2.会运用公式解决立体几何中的有关问题；3.培养观察、分析、类比转化的能力；探究空间几何图形,将几何问题代数化.在教学过程中，我采用类比转化的学习方法，沿用知识复习，探究新知，例题分析的系列过程，主线实施教学，符合学生的认知规律，也利于学生对知识的掌握。
在教学方法上，我采用多媒体演示加传统板书的有效结合，较好地辅助了教学。
同时，结合新高考的要求，我注重了数学核心素养的培养，在教学中，例题分析与归纳时，我注重了数学思想方法的渗透，如本节课，我就渗透了数形结合思想，类比思想等。
本节课核心理念是提升体现学生在学习中的主体性，教师引导，学生归纳知识点。
但本节课仍有不足之处，在创设情境时，不够引人入胜，没能调动起学生学习的积极性。
其次，在课堂中没有充分发挥学生的主体性，老师由引导者又逐步变成了主导者。
没有达到最初的意图，应该适当引导调控好探究的时间，而且还出现了授课速度较快，语速较快等问题。
特别感谢各位老师对我提出的意见与建议，在今后的教学中，必将更加努力研究，积极探索，不负众望。
《数量积》教学反思
《数量积》教学反思《空间向量的数量积》教学反思荆州市北门中学黄文海开学来，学校启动了第二届高效课堂教学能手大赛，我作为高二数学组第一个出场，有压力，接到上公开课的通知以后，我和高二数学组同事一起研究了一下教学进度，确定了上公开课的内容，就是向量的数量积这一节。
向量的数量积是向量这一部分的重点内容，也是各种考试中重点考核的内容，所以这一节内容的重要性不言而喻。
我精心设计了教学内容，又结合陈主任的意见，反覆对导学案进行推敲和修改，最终确定教学内容。
首先我从向量的线性运算引入了本节课的课题，本节课主要是研究向量与向量的积的问题，也就是向量的数量积。
在课本上是通过力做功的物理模型引入数量积这一概念的，考虑到现有物理教材中学生还没学到这一章，所以我就直接从向量线性运算引入了这一概念。
在学习向量的数量积之前我们先要弄清楚两个非零向量的夹角问题，这个地方提醒学生要注意，通过平移使这两个向量共起点。
在后面的练习中我也反覆强调这一条件，因为学生往往会在这个地方犯错误。
有了这个準备知识，我们就直接给出了两个非零向量数量积的定义。
通过对这一定义的探索与研究，强调两个向量的数量积不是一个向量，而是一个数量。
接下来我们从两个具体的例子当中让学生感受一下两个向量的数量积。
既然数量积是一种新的运算，那幺它满足哪些运算律呢？由此我们给出了向量数量积的交换律和分配律，并提出问题：结合律对这一运算是否成立？让学生自己思考得出结论：结合律在向量的数量积运算中不成立！随后我们一起共同探索并得出结论，多项式的运算律在此同样成立。
通过一个具体的例子进一步熟悉巩固向量的数量积的定义和运算律。
最后我对一节课的内容进行总结，并再次强调了几个需要注意的地方。
综观这一节课，自我感觉还可以，主要有以下一些优点：声音洪亮，吐字清晰，语言流畅，能够清楚地表达教学内容，实现教学目的。
追问，点拨运用得当，增加课堂教学内容并提高了教学效率，激发了学生的学习兴趣，取得了较好的教学效果。
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《空间向量数量积的运算》教学反思
本节课我讲了选修2-1第三章《空间向量的数量积运算》这个节，这是本章第三节的内容，主要学习的是空间向量的数量积的运算及应用。
根据大纲，要求学生能熟练应用空间向量的运算解决简单的立体几何问题，这也是本节课的难点。
突破难点的方法是让学生会用已知向量表示相关向量，就是利用三角形法则或多边形法则把未知向量表示出来，进而再求两个向量的数量积、夹角、距离等。
三方面实行整体设计，注重与学生已有知识的联系及相关学科知识的联系（物理学：功），因为本节知识是向量由二维向三维的推广，所以预习平面向量的运算起了一定的作用，使学生体会知识的形成过程和数学中的类比学习方法。
在整个教学过程中，我还是沿用知识复习、学生探究、教师例题分析、师生合作归纳小结的主线实行教学，符合学生的认知规律，也易于学生对知识的掌握，在教学方法上，我注重多媒体演示和传统板书教学有效结合，较好地辅助了教学。
同时，结合新高考的要求，我注重了数学核心素养的培养，在教学中例题分析与归纳时，我注重了数学思想方法的渗透，如本节课我就渗透了数形结合思想、类比思想等，本节课的核心理念是体现学生在学习中的主体性。
但我注重调动学生的主观能动性，最大限度的发挥学生的主体作用，在教学过程中，学生的思维活跃，积极讨论问题，自主解决相关例题。
精彩处在于学生积极参与互动，学生评判，教师引导，学生积极归纳知识点，整个课堂热烈有序，张而有驰，整体课多次出现教学高潮，博得了学生与听课专家的热烈掌声，从课后反馈来看，本堂课普片反应学懂了，掌握了知识和解决问题的水平，正在学有所用。
不足之处：在创设情境时，我用的是知识性引课，不够引人入胜，要是能想出更好的引课方式或动画设计，在一开始就抓住学生的眼球，调动起学生学习的积极性，应该效果会更好。
其次，在课堂中没有充分发挥学生的主体性，老师由引导者又逐步变成了主导者。
另外，难点突破应该在两个例题上，不过前边耽误了时间，导致重点地方没有充足的时间解决，没达到最初的意图。
对问题的探究需要时间，课上让学生放开去探究，减少了课堂容量，影响到了例题的分析讲解。
应
该适当引导，调控好探究的时间，还有，在课堂上，如果时间充分，让学生自己发现、分析，总结问题的求解方法，更有助于他们掌握解决此类问题方法。
以上是我对《空间向量的运算》的教学反思，还有很多不足之处，恳请各位老师批评、指正，在今后的教学中，我会取长补短，力争做到课堂效率最大化。