(完整版)平行与垂直的知识点总结,推荐文档

立体几何知识点

一．平行关系：

1.线线平行：

方法一：用线面平行实现。如果一条直线

和一个平面平行，经过这条直线的平面和

这个平面相交，那么这条直线和交线平行

m

l

m

l

l

//

//

⇒

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

=

⋂

⊂

β

α

β

α

方法二：用面面平行实现。

两平行平面与同一个平面相交，那么两条

交线平行

m

l

m

l//

//

⇒

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

=

⋂

=

⋂

β

γ

α

γ

β

α

方法三：用线面垂直实现。

若，则。

α

α⊥

⊥m

l,m

l//

④中位线定理、平行四边形、比例线

段……，

⑤平行于同一直线的两直线平行，即若

a∥b,b∥c,则a∥c.（公理4）

2.线面平行：

方法一：用线线平行实现。

如果平面外一条直线和这个平面内的一条

直线平行，则这条直线与这个平面平行.

α

α

α//

//

l

l

m

m

l

⇒

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⊄

⊂

方法二：用面面平行实现。

两个平面平行，其中一个平面内的直线

平行于另一个平面

α

β

β

α

//

//

l

l

⇒

⎭

⎬

⎫

⊂

3．面面平行：

方法一：用线面平行实现。

如果一个平面内有两条相交直线都平行于

另一个平面，那么这两个平面平行

β

α

β

α

α

//

,

//

//

⇒

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⊂且且且

m

l

m

l

三．垂直关系：

1．两直线垂直的判定

①定义：若两直线成90°

角，则这

两直线互相垂直.

方法一：用线面垂直实现。

一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.

m

l m l ⊥⇒⎭

⎬⎫

⊂⊥αα②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c

③如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a∥α,b⊥α,则a⊥b.2. 线面垂直：

方法一：用线线垂直实现。

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.

α

α⊥⇒⎪⎪⎭

⎪

⎪⎬⎫

⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l ,方法二：用面面垂直实现。

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面

αββαβα⊥⇒⎪⎭

⎪

⎬⎫

⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,2. 面面垂直：

方法一：用线面垂直实现。

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

βαβα⊥⇒⎭

⎬⎫

⊂⊥l l 方法二：计算所成二面角为直角。二．夹角问题。(一)

异面直线所成的角：

(1) 范围：]90,0(︒︒(2)求法：方法一：定义法。

步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。

步骤2：解三角形求出角。(二)

线面角

(1)定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO 于O,连结AO ，则AO 为斜

⊥

α线PA 在面内的射影，(图中)

αPAO ∠θ为直线l 与面所成的角。

α

(2)范围： ]90,0[︒︒当时，或︒=0θα⊂l α//l 当时，︒=90θα⊥l (3)求法：方法一：定义法。

步骤1：作出线面角，并证明。步骤2：解三角形，求出线面角(三)

二面角及其平面角

(1)定义：在棱l 上取一点P ，两个半平面内分别作l 的垂线（射线）m 、n ，则射线m 和n 的夹角为二面角—l —的平θαβ面角。

(2)范围： ]180,0[︒︒(3)求法：方法一：定义法。

步骤1：作出二面角的平面角，并证明。步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。

(一)

正棱锥：底面是正多边形且顶点

在底面的射影在底面中心。

(二)

正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。(三)正多面体：

(四)

棱锥的性质：平行于底面的的截

面与底面相似，且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。(五)

体积：

=且且

V

=且且

V