3 纳什均衡应用举例
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3 6 18
（2）社会最优：指社会效用最大化，即：
y − (c1 + c2 ) Maxc1 ,c2 log c1 + log c2 + 2 log 2
y ˆ ˆ 最优解为： c 1 = c 2 = 4
y y y2 社会化个人最优效用：lo g 4 + lo g 4 = lo g 1 6
比较两种消费，前者对资源进行了过分的榨取。 比较两种消费，前者对资源进行了过分的榨取。
当a=b=0时，商店1位于0，商店2位于1 * 这就回到了第一种情况： p1* (0,1) = p2 (0,1) = c + t 当a=1-b时，两商店位于同一位置，这就走到了 * * p1 (a,1 − a) = p2 (a,1 − a ) = c 另一个极端：
3-4 更为一般的情况
产品的差别体现在多方面，如品牌、质量、包 装等。其需求函数可写为：
3-2 豪泰林价格竞争模型
伯川德（Bertrand,1883）悖论：即使只有两个 企业，在均衡情况下，价格等于边际成本，企 业的利润为零，与完全竞争市场一样。 解开这一悖论的办法之一是引如差异性。如果 不同企业的产品是有差异的，替代弹性就不会 是无限的，此时消费者对不同企业的产品有着 不同的偏好，价格不是其感兴趣的唯一变量。 豪泰林模型：产品在物质性能上是无差异的， 但在空间位置上有差异。 如图1.3-2,两商店分别在0点、1点，消费者 平均地分布在线上，并每人消费一个单位的产 品，旅行成本以单位距离成本 t 计。令 pi 为商 店的的价格，Di ( p1 , p2 ) 为需求函数。求最优价 格与均衡利润。
3 纳什均衡应用举例
我们举几个经济学上的例子来说明纳什均衡在经济学上 的应用。注意，这些例子中的战略都是连续变量。
3-1 库诺特 库诺特(Cournot)寡头竞争模型 寡头竞争模型
库诺特寡头竞争模型可以说是纳什均衡最早的版本， 它比纳什(1959)本人的定义早了l00多年。在库诺特模型 里，有两个参与人，分别称为企业1和企业2；每个企业 的战略是选择产量；支付是利润，它是两个企业产量的 函数． q ∈ [0, ∞) 我们用 i 代表第i个企业的产量，Ci (qi ) 代表成 P 本函数， = P(q1 + q2 )代表逆需求函数(P是价格；Q(P)是 原需求函数)。第i个企业的利润函数为： π i (q1 , q2 ) = qi P(q1 + q2 ) − Ci (qi ) , i=1,2
1
1
c2
2
2
y − c2 R1 (c2 ) = 得反应函数： 2
y − c1 R2 (c1 ) = 2
y c =c = 3
* 1 * 2
2、社会最优性 、
（1）上面简单模型中，第一阶段每人消费： y y 3 第二阶段每人消费： ， 6 y y y2 个人的最优效用为： log + log = log
* * 1 * 2
1 π 1 (q , q ) = π 2 (q , q ) = (a − c) 2 9
* 1 * 2 * 1 * 2
4
9
寡头竞争的总产量大于垄断产量的原因在于每 个企业在选择自己的最优产量时，只考虑对本 企业利润的影响，而忽视对另一企业的外部负 效应。这是典型的囚徒困境。 为什么在奇瑞、吉利、长城以及比亚迪等中国 自主车出现后，国外品牌的汽车价格下降很多。 如以前一辆捷达就要20多万，现在性能车型差 20 不多的长城腾翼C30，奇瑞A3等就7~9万，而 一旦中国的SUV，如长城的哈弗被市场认可后， 外国品牌的的SUV就不断降价？经常看到的本 田CR-V，要20万，自主品牌在安全性还要好 的情况下，也就14万左右。说明了有了竞争之 后，价格下降，产量上升。
3、公物悲剧（tragedy of the commons） 、公物悲剧（ ）
这是一个制度经济学问题(Hardin,1968)，它说明如果一种资 源没有排他性的所有权，就会导致对这种资源的过度使用。 考虑一个有n个农民的村庄共同拥有一片草地，每个农民可自 由决定自己养多少只羊；用 代表第g i∈ [0, ∞) 个农民饲养的数量； G =∑g 代表n个农民饲养的总数量，v—每只羊的平均价值，且 v = v(G ) 即v是G的函数。草地可养羊最大数量 当 时， Gmax v(G)>0 v(G)>0；当 ，v(G)=0；并且假定： v(G)=0 G < Gmax ∂v ∂ 2v G ≥ Gmax < 0, 2 < 0 函数曲线见右图。 ∂G ∂G 利润函数： v π i ( gi , g −i ) = gi v(G ) − gi c 最优化条件：
找纳什均衡,就是求函数极大值问题：对利 润函数求导,并令其等于零：
∂π 1 = P(q1 + q2 ) + q1 P′(q1 + q2 ) − C1′(q1 ) = 0 ∂q1
∂π 2 ′ = P (q1 + q2 ) + q2 P′(q1 + q2 ) − C2 (q2 ) = 0 ∂q2
以上两个方程都是两企业产量的函数，即反映出 两企业产量间的关系——称做反应函数。
* 2
a+b p =p = (0 < b < 2) 2−b
* 1 * 1
由此得均衡产量：
纳什均衡利润为：
(a − c + bc)2 π1 ( p , p ) = π 2 ( p , p ) = (2 − b) 2
* 1 * 2 * 1 * 2
3-5 公共问题
公共问题如牧场、海洋、大气、煤、石油等，他 们都存在两个关键特征：
p1 = p2 = c
2
π1 = π 2 = 0
2
2、假设商店位于任何位置，且旅行成本为二次式： 2 td 则价格平衡点x满足下列条件：
p1 + t ( x − a) = p2 + t (1 − x − b)
见下页——进一步拓展
3-3 进一步扩展
两商店的位置关系如图1.3-3。 需求函数分别为：
D1 ( p1 , p2 ) = x = a + p2 − p1 1− a − b + 2 2t (1 − a − b)
1、一个简单的模型 、 假如有大小为 y>0 的公共财产资源。两个局中 人，每人可提取一个非负量 c1或c2 (c1 + c2 ≤ y ) 用 于消费，假如每个人简单地平分资源并最终消 y 费 2 。进行两阶段消费，第一阶段消费的剩 余 y − (c1 + c2 ) 形成第二阶段资源的基底。 y − (c1 + c2 ) 假设第二阶段每人平分余下的资源： 2 则第一阶段局中人1消费 c1 ，效用取：log c1 如右图，局中人1的效用最优 log c y − (c1 + c2 ) 反应： Maxc log c1 + log 2 c1 同理有： log c + log y − (c1 + c2 ) Max
C2 ( q2 ) = q2 c
q2
R1 (q2 )
* q2
NE
R2 (q1 )
* q1
q1
P 需求函数取线性形式： = a − (q1 + q2 ) 最优化的一阶条件为：
∂π 2 , = a − (q1 + q2 ) − q2 − c = 0 ∂q2
∂π 1 = a − (q1 + q2 ) − q1 − c = 0 ∂q1
q1 = q1 ( p1 , p2 ) = a − p1 + bp2
q2 = q2 ( p1 , p2 ) = a − p2 + bp1
假设每个企业有不变的成本，其利润函数为： π 1 = π 1 ( p1 , p2 ) = q1 ( p1 , p2 )( p1 − c) = (a − p1 + bp2 )( p1 − c) π 2 = π 2 ( p1 , p2 ) = q2 ( p1 , p2 )( p2 − c) = (a − p2 + bp1 )( p2 − c)
1 ( p2 − c)( p1 − p2 + t ) 2t
∂π 2 = p1 + c + t − 2 p2 = 0 ∂p2
π1 = π 2 =
t 2
分析：旅行成本的上升，产品间的替代性下降，竞争减 弱，消费者对价格的敏感性下降，从而最优价格更接近 于垄断价格。另一方面，当旅行成本为零时，不同商店 的产品之间具有完全的替代性，没有任何一家可以把价 格定的高于成本，这就得到伯川德均衡结果。 事实上，均衡结果对于商店的位置是很敏感的： 1、假设两商店位于同一位置x，则得伯川德均衡：
q = R1 (q2 )
* 1 * q2 = R2 (q1 )
反应函数意味着每个企业的最优战略（产量） 是另一个企业产量的函数。
反应函数的坐标图右图 两曲线的交叉点NE就是 * 纳什均衡 q* = (q1* , q2 ) 进一步简化： 假定每个企业具有相同 的不变单位成本，即：
C1 (q1 ) = q1c
商店1 a 消费者 x 图1.3-3 商店2
b
D2 ( p1 , p2 ) = 1 − x = b +
p1 − p2 1− a − b + 2 2t (1 − a − b)
* 1
纳什均衡为：
a −b p (a, b) = c + t (1 − a − b)(1 + ) 3 b−a * p2 (a, b) = c + t (1 − a − b)(1 + ) 3
* 价格组合 ( p1* , p2 ) 是纳什均衡价格，必须满足：
由此得到两企业的最优反映函数：
1 * p = (a + bp2 + c) 2
* 1
∂π 1 = a − 2 p1 + bp2 + c = 0 ∂p1
∂π 2 = a − 2 p2 + bp1 + c = 0 ∂p2
1 * p = (a + bp1 + c) 2
* * (q1 , q2 ) 是纳什均衡产量意味着: * * * q1 ∈ arg max π 1 (q1 , q2 ) = q1 P(q1 + q2 ) − C1 (q1 ),
* * * q2 ∈ arg max π 2 (q1 , q2 ) = q2 P (q1 + q2 ) − C2 (q2 ),
商店1 0 消费者 x 图 1.3-2 商店2
1
利润函数分别为：
π 1 ( p1 , p2 ) =
∂π 1 = p2 + c + t − 2 p1 = 0 ∂p1
利润最大化条件： 故：
* * p1 = p2 = c + t
ห้องสมุดไป่ตู้
1 ( p1 − c)( p2 − p1 + t ) 2t
π 2 ( p1 , p2 ) =
反应函数为：
1 q = R1 (q2 ) = (a − q2 − c) 2
* 1
1 * q2 = R2 (q1 ) = (a − q1 − c) 2
就是说一个企业每增加一个单位的产量，另一个 企业将减少1/2单位的产量。 1 * * 故： q1 = q2 = (a − c) 3 （一）每个企业的纳什均衡利润分别为： （二）计算垄断企业的最优产量和均衡利润 x 1、利润函数： Ma Q π = Q(a − Q − c) 1 2 Q = (a − c) < q + q = (a − c) 2、最优产量： 2 3 3、垄断利润： π m = 1 (a − c)2 > 2 (a − c) 2
1、每人都可享用；限制享用是行不通的（环境）和不可 取的（公园）。 2、资源枯竭；使用越多，未来可用资源越少。如果资 源是可再生的，那就有一个“最大使用”的问题，过度 使用就会带来悲剧。
悲剧的根源：外在性
1、当前的外在作用：一个人的使用可能减少其他人使用 的利益； 2、未来的外在作用，如环境问题，公司把有害的化学物 质排放到河流中，节省了公司的处理成本，但流域的居 民要为污染的河流付出更大的成本，只是被人人分摊了
i
n i =1 i
增羊的正负两方面的效应：1、增羊价v； 2、其它羊降价 。最优解：边际收益=边际成本
g i v′ < 0
∂π i = v(G ) + gi v′(G ) − c = 0 ∂g
Gmax
上述n个条件定义了n个反应函数：
gi* = gi ( g1 ,..., gi −1 , gi +1 ,..., g n )
解：设x点的消费者在两个店消费是无差异的， D2 = 1 − x 则需求分别为： D1 = x 满足条件： p1 + tx = p2 + t (1 − x) 解上式得需求函数为：
p2 − p1 + t 2t p − p2 + t D2 ( p1 , p2 ) = 1 − x = 1 2t 2t D1 ( p1 , p2 ) = x =
（2）社会最优：指社会效用最大化，即：
y − (c1 + c2 ) Maxc1 ,c2 log c1 + log c2 + 2 log 2
y ˆ ˆ 最优解为： c 1 = c 2 = 4
y y y2 社会化个人最优效用：lo g 4 + lo g 4 = lo g 1 6
比较两种消费，前者对资源进行了过分的榨取。 比较两种消费，前者对资源进行了过分的榨取。
当a=b=0时，商店1位于0，商店2位于1 * 这就回到了第一种情况： p1* (0,1) = p2 (0,1) = c + t 当a=1-b时，两商店位于同一位置，这就走到了 * * p1 (a,1 − a) = p2 (a,1 − a ) = c 另一个极端：
3-4 更为一般的情况
产品的差别体现在多方面，如品牌、质量、包 装等。其需求函数可写为：
3-2 豪泰林价格竞争模型
伯川德（Bertrand,1883）悖论：即使只有两个 企业，在均衡情况下，价格等于边际成本，企 业的利润为零，与完全竞争市场一样。 解开这一悖论的办法之一是引如差异性。如果 不同企业的产品是有差异的，替代弹性就不会 是无限的，此时消费者对不同企业的产品有着 不同的偏好，价格不是其感兴趣的唯一变量。 豪泰林模型：产品在物质性能上是无差异的， 但在空间位置上有差异。 如图1.3-2,两商店分别在0点、1点，消费者 平均地分布在线上，并每人消费一个单位的产 品，旅行成本以单位距离成本 t 计。令 pi 为商 店的的价格，Di ( p1 , p2 ) 为需求函数。求最优价 格与均衡利润。
3 纳什均衡应用举例
我们举几个经济学上的例子来说明纳什均衡在经济学上 的应用。注意，这些例子中的战略都是连续变量。
3-1 库诺特 库诺特(Cournot)寡头竞争模型 寡头竞争模型
库诺特寡头竞争模型可以说是纳什均衡最早的版本， 它比纳什(1959)本人的定义早了l00多年。在库诺特模型 里，有两个参与人，分别称为企业1和企业2；每个企业 的战略是选择产量；支付是利润，它是两个企业产量的 函数． q ∈ [0, ∞) 我们用 i 代表第i个企业的产量，Ci (qi ) 代表成 P 本函数， = P(q1 + q2 )代表逆需求函数(P是价格；Q(P)是 原需求函数)。第i个企业的利润函数为： π i (q1 , q2 ) = qi P(q1 + q2 ) − Ci (qi ) , i=1,2
1
1
c2
2
2
y − c2 R1 (c2 ) = 得反应函数： 2
y − c1 R2 (c1 ) = 2
y c =c = 3
* 1 * 2
2、社会最优性 、
（1）上面简单模型中，第一阶段每人消费： y y 3 第二阶段每人消费： ， 6 y y y2 个人的最优效用为： log + log = log
* * 1 * 2
1 π 1 (q , q ) = π 2 (q , q ) = (a − c) 2 9
* 1 * 2 * 1 * 2
4
9
寡头竞争的总产量大于垄断产量的原因在于每 个企业在选择自己的最优产量时，只考虑对本 企业利润的影响，而忽视对另一企业的外部负 效应。这是典型的囚徒困境。 为什么在奇瑞、吉利、长城以及比亚迪等中国 自主车出现后，国外品牌的汽车价格下降很多。 如以前一辆捷达就要20多万，现在性能车型差 20 不多的长城腾翼C30，奇瑞A3等就7~9万，而 一旦中国的SUV，如长城的哈弗被市场认可后， 外国品牌的的SUV就不断降价？经常看到的本 田CR-V，要20万，自主品牌在安全性还要好 的情况下，也就14万左右。说明了有了竞争之 后，价格下降，产量上升。
3、公物悲剧（tragedy of the commons） 、公物悲剧（ ）
这是一个制度经济学问题(Hardin,1968)，它说明如果一种资 源没有排他性的所有权，就会导致对这种资源的过度使用。 考虑一个有n个农民的村庄共同拥有一片草地，每个农民可自 由决定自己养多少只羊；用 代表第g i∈ [0, ∞) 个农民饲养的数量； G =∑g 代表n个农民饲养的总数量，v—每只羊的平均价值，且 v = v(G ) 即v是G的函数。草地可养羊最大数量 当 时， Gmax v(G)>0 v(G)>0；当 ，v(G)=0；并且假定： v(G)=0 G < Gmax ∂v ∂ 2v G ≥ Gmax < 0, 2 < 0 函数曲线见右图。 ∂G ∂G 利润函数： v π i ( gi , g −i ) = gi v(G ) − gi c 最优化条件：
找纳什均衡,就是求函数极大值问题：对利 润函数求导,并令其等于零：
∂π 1 = P(q1 + q2 ) + q1 P′(q1 + q2 ) − C1′(q1 ) = 0 ∂q1
∂π 2 ′ = P (q1 + q2 ) + q2 P′(q1 + q2 ) − C2 (q2 ) = 0 ∂q2
以上两个方程都是两企业产量的函数，即反映出 两企业产量间的关系——称做反应函数。
* 2
a+b p =p = (0 < b < 2) 2−b
* 1 * 1
由此得均衡产量：
纳什均衡利润为：
(a − c + bc)2 π1 ( p , p ) = π 2 ( p , p ) = (2 − b) 2
* 1 * 2 * 1 * 2
3-5 公共问题
公共问题如牧场、海洋、大气、煤、石油等，他 们都存在两个关键特征：
p1 = p2 = c
2
π1 = π 2 = 0
2
2、假设商店位于任何位置，且旅行成本为二次式： 2 td 则价格平衡点x满足下列条件：
p1 + t ( x − a) = p2 + t (1 − x − b)
见下页——进一步拓展
3-3 进一步扩展
两商店的位置关系如图1.3-3。 需求函数分别为：
D1 ( p1 , p2 ) = x = a + p2 − p1 1− a − b + 2 2t (1 − a − b)
1、一个简单的模型 、 假如有大小为 y>0 的公共财产资源。两个局中 人，每人可提取一个非负量 c1或c2 (c1 + c2 ≤ y ) 用 于消费，假如每个人简单地平分资源并最终消 y 费 2 。进行两阶段消费，第一阶段消费的剩 余 y − (c1 + c2 ) 形成第二阶段资源的基底。 y − (c1 + c2 ) 假设第二阶段每人平分余下的资源： 2 则第一阶段局中人1消费 c1 ，效用取：log c1 如右图，局中人1的效用最优 log c y − (c1 + c2 ) 反应： Maxc log c1 + log 2 c1 同理有： log c + log y − (c1 + c2 ) Max
C2 ( q2 ) = q2 c
q2
R1 (q2 )
* q2
NE
R2 (q1 )
* q1
q1
P 需求函数取线性形式： = a − (q1 + q2 ) 最优化的一阶条件为：
∂π 2 , = a − (q1 + q2 ) − q2 − c = 0 ∂q2
∂π 1 = a − (q1 + q2 ) − q1 − c = 0 ∂q1
q1 = q1 ( p1 , p2 ) = a − p1 + bp2
q2 = q2 ( p1 , p2 ) = a − p2 + bp1
假设每个企业有不变的成本，其利润函数为： π 1 = π 1 ( p1 , p2 ) = q1 ( p1 , p2 )( p1 − c) = (a − p1 + bp2 )( p1 − c) π 2 = π 2 ( p1 , p2 ) = q2 ( p1 , p2 )( p2 − c) = (a − p2 + bp1 )( p2 − c)
1 ( p2 − c)( p1 − p2 + t ) 2t
∂π 2 = p1 + c + t − 2 p2 = 0 ∂p2
π1 = π 2 =
t 2
分析：旅行成本的上升，产品间的替代性下降，竞争减 弱，消费者对价格的敏感性下降，从而最优价格更接近 于垄断价格。另一方面，当旅行成本为零时，不同商店 的产品之间具有完全的替代性，没有任何一家可以把价 格定的高于成本，这就得到伯川德均衡结果。 事实上，均衡结果对于商店的位置是很敏感的： 1、假设两商店位于同一位置x，则得伯川德均衡：
q = R1 (q2 )
* 1 * q2 = R2 (q1 )
反应函数意味着每个企业的最优战略（产量） 是另一个企业产量的函数。
反应函数的坐标图右图 两曲线的交叉点NE就是 * 纳什均衡 q* = (q1* , q2 ) 进一步简化： 假定每个企业具有相同 的不变单位成本，即：
C1 (q1 ) = q1c
商店1 a 消费者 x 图1.3-3 商店2
b
D2 ( p1 , p2 ) = 1 − x = b +
p1 − p2 1− a − b + 2 2t (1 − a − b)
* 1
纳什均衡为：
a −b p (a, b) = c + t (1 − a − b)(1 + ) 3 b−a * p2 (a, b) = c + t (1 − a − b)(1 + ) 3
* 价格组合 ( p1* , p2 ) 是纳什均衡价格，必须满足：
由此得到两企业的最优反映函数：
1 * p = (a + bp2 + c) 2
* 1
∂π 1 = a − 2 p1 + bp2 + c = 0 ∂p1
∂π 2 = a − 2 p2 + bp1 + c = 0 ∂p2
1 * p = (a + bp1 + c) 2
* * (q1 , q2 ) 是纳什均衡产量意味着: * * * q1 ∈ arg max π 1 (q1 , q2 ) = q1 P(q1 + q2 ) − C1 (q1 ),
* * * q2 ∈ arg max π 2 (q1 , q2 ) = q2 P (q1 + q2 ) − C2 (q2 ),
商店1 0 消费者 x 图 1.3-2 商店2
1
利润函数分别为：
π 1 ( p1 , p2 ) =
∂π 1 = p2 + c + t − 2 p1 = 0 ∂p1
利润最大化条件： 故：
* * p1 = p2 = c + t
ห้องสมุดไป่ตู้
1 ( p1 − c)( p2 − p1 + t ) 2t
π 2 ( p1 , p2 ) =
反应函数为：
1 q = R1 (q2 ) = (a − q2 − c) 2
* 1
1 * q2 = R2 (q1 ) = (a − q1 − c) 2
就是说一个企业每增加一个单位的产量，另一个 企业将减少1/2单位的产量。 1 * * 故： q1 = q2 = (a − c) 3 （一）每个企业的纳什均衡利润分别为： （二）计算垄断企业的最优产量和均衡利润 x 1、利润函数： Ma Q π = Q(a − Q − c) 1 2 Q = (a − c) < q + q = (a − c) 2、最优产量： 2 3 3、垄断利润： π m = 1 (a − c)2 > 2 (a − c) 2
1、每人都可享用；限制享用是行不通的（环境）和不可 取的（公园）。 2、资源枯竭；使用越多，未来可用资源越少。如果资 源是可再生的，那就有一个“最大使用”的问题，过度 使用就会带来悲剧。
悲剧的根源：外在性
1、当前的外在作用：一个人的使用可能减少其他人使用 的利益； 2、未来的外在作用，如环境问题，公司把有害的化学物 质排放到河流中，节省了公司的处理成本，但流域的居 民要为污染的河流付出更大的成本，只是被人人分摊了
i
n i =1 i
增羊的正负两方面的效应：1、增羊价v； 2、其它羊降价 。最优解：边际收益=边际成本
g i v′ < 0
∂π i = v(G ) + gi v′(G ) − c = 0 ∂g
Gmax
上述n个条件定义了n个反应函数：
gi* = gi ( g1 ,..., gi −1 , gi +1 ,..., g n )
解：设x点的消费者在两个店消费是无差异的， D2 = 1 − x 则需求分别为： D1 = x 满足条件： p1 + tx = p2 + t (1 − x) 解上式得需求函数为：
p2 − p1 + t 2t p − p2 + t D2 ( p1 , p2 ) = 1 − x = 1 2t 2t D1 ( p1 , p2 ) = x =