二次函数的图象特点及其应用
二次函数的性质及其图像变化
二次函数的性质及其图像变化二次函数是高中数学中的重要概念之一，它具有独特的性质和图像变化。
本文将详细介绍二次函数的性质，并探讨其图像在参数变化时的变化规律。
一、二次函数的定义和一般式二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
其中，a决定了二次函数的开口方向和图像的开合程度，b决定了图像在x轴方向的平移，c则是二次函数的纵坐标偏移。
二、二次函数的性质1. 开口方向二次函数的开口方向由系数a的正负决定。
当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
2. 零点二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，即y = 0的解。
对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c，可以使用求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)求得零点。
3. 顶点二次函数的顶点是指函数图像的最高点（开口向下时）或最低点（开口向上时）。
顶点的横坐标可以通过公式x = -b / (2a)求得，纵坐标则是将横坐标代入函数中得到的值。
4. 对称轴二次函数的对称轴是指通过顶点且垂直于x轴的直线。
对称轴的方程可以通过将顶点的横坐标代入x = -b / (2a)得到。
5. 单调性二次函数的单调性是指函数图像在某个区间内的变化趋势。
当a>0时，二次函数在对称轴两侧递增；当a<0时，二次函数在对称轴两侧递减。
三、二次函数图像的变化规律在探讨二次函数图像的变化规律时，我们将分别讨论a、b、c的变化对图像的影响。
1. a的变化当a的绝对值增大时，二次函数图像的开合程度增加，即图像变得更加尖锐；当a的绝对值减小时，二次函数图像的开合程度减小，即图像变得更加平缓。
当a 的符号改变时，图像的开口方向也会改变。
2. b的变化当b增大时，二次函数图像整体向左平移；当b减小时，二次函数图像整体向右平移。
b的符号改变时，平移方向也会相应改变。
二次函数图像特点及应用
二次函数图像特点应用
二次函数应用⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
刹车距离最值问题
一、刹车距离问题
第一步：让学生观察影响汽车刹车距离的主要因素，找出这些因素是：
1.汽车行驶的速度
2.路面的摩擦系数
第二步：建立适当的函数模型
第三部：根据函数模型来解决实际生活中刹车距离问题
通过观察研究表明晴天在某段公路上行驶上，速度为V（km/h）的汽车的刹
车距离S（m）可由公式S=1
100V2确定；雨天行驶时，这一公式为S=1
50
V2．
这是两个二次函数图像，通过观察这两个二次函数图像，可以发现刹车距离都是随着行驶速度的增大而增大，同样的行驶速度，雨天的刹车距离比晴天的刹车距离要大，因此可以一次提醒广大的司机同志要想安全行车，行车速度不能太大，特别是在雨天，应该减少行车速度以避免车祸。
二、最值问题
在某一指定的高度让学生以一定的初速度向上抛出一物体，忽略空气阻力的情况下抛出时间和上升高度之间的关系。
这是一个和物理知识，因此大家很快就能找出其中的关系，从而建立了恰当的数学模型。
设在距离地面2m高的某处把一物体以初速度V
（m/s）竖直向上抛出，•在不计空气阻力的情况下，其上升高度s（m）与抛出时间t（s）满足：
S=V
0t-
1
2
gt2（其中g是常数，通常取10m/s2），
为研究问题的方便可设V0=10m/s。
度，在0到一秒内，物体上升的高度随时间t的增大而增大，而在1秒到2秒之间物体上升的高度随着t的增大而减小，到2秒的时候物体就落地了。
通过这个实例，我们不仅可以研究到二次函数的最值，还可以通过图像观察它的单调性及其图像的开口方向。
二次函数及其图象和性质
二次函数及其图象和性质（二）一、内容提要（一）二次函数的解析式：1．一般式：y=ax2+bx+c；其中a≠0, a, b, c 为常数2．顶点式：y=a(x-h)2+k；其中a≠0, a, h, k 为常数，（h,k）为顶点坐标。
3．交点式：y=a(x-x1)(x-x2)；其中a≠0, a, x1,x2为常数，x1,x2是抛物线与横轴两交点的横坐标。
注：这种形式可以作为了解内容，重点是前两种。
（二）二次函数的图象：抛物线（三）性质：1．对称轴，顶点坐标：2．开口方向：a>0, 抛物线开口向上，并向上无限延伸。
a<0, 抛物线开口向下，并向下无限延伸。
3．增减性：（Ⅰ）a>0时，当x时，y随x增大而减少当x>时，y随x增大而增大（Ⅱ）a<0时，当x时，y随x增大而增大当x>时，y随x增大而减小4．最值：（Ⅰ）a>0时，当x=时，（Ⅱ）a<0时，当x= 时，5.抛物线与y轴交点坐标：（0，C）特别地当C=0时，抛物线过原点，反之也成立。
6．抛物线与x轴的位置关系：（Ⅰ）Δ=b2-4ac<0,抛物线与x轴无交点。
（Ⅱ）Δ=b2-4ac=0,抛物线与x轴只有一个交点，交点坐标为（，0）（Ⅲ）Δ=b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点，交点坐标为（，0）二、典型例题：例1．已知+3x+6是二次函数，求m的值，并判断此抛物线开口方向，写出顶点坐标及对称轴。
解：由题意得解得 m=-1∴y=-3x2+3x+6=,开口向下，顶点坐标（），对称轴x=。
说明：在y=a(x-h)2+k中,（h,k）是抛物线的顶点坐标，所以一般求抛物线的顶点坐标时，常常利用配方法把解析式转化为上述表达形式，直接写出顶点坐标，对称轴方程，也可以用顶点坐标公式（）求得，解题时可根据系数的情况选择适当的方法。
例2．已知抛物线y=ax2+bx+c 如图所示，直线x=-1是其对称轴，(1)确定a,b,c, Δ=b2-4a c的符号，(2)求证:a-b+c>0, (3)当x取何值时，y>0, 当x取何值时y<0。
二次函数特点及应用
三、要充分利用抛物线“顶点”的作用.
1、要能准确灵活地求出“顶点” .形如y=a（x＋h）2＋K →顶点（－h,k），对于其它形式的二次函数，我们可化为顶点式而求出顶点.
列表：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
-9
描点，连线成如图13-11所示不能反映其全貌的图象。
正解：由解析式可知，图象开口向下，对称轴是x＝-1,顶点坐标是(-1，-1)
列表：
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ-4
-3
-2
-1
0
1
2
y
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-1.5
-5.5
描点连线：如图13-12
图13-11
例如，要研究抛物线L1∶y＝x2-2x+3与抛物线L2∶y＝x2的位置关系，可将y＝x2-2x+3通过配方变成顶点式y＝(x-1)2+2，求出其顶点M1(1，2)，因为L2的顶点为M2(0，0)，根据它们的顶点的位置，容易看出：由L2向右平移1个单位，再向上平移2个单位，即得L1；反之，由L1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，即得L2.
活动步骤：①举例：x²=y；x²+1=y；x²+x=y；x²+x+1=y。②画直角坐标系；列表（找出（x，y））；描点；连线。③小组一起观察图像并讨论他们的共同点。记下讨论结果。④利用统式（ax²+bx+c=y）证明讨论结果的必然性。
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
x
… -2 -1
0
1
y=2x2 …
y=2x2
…
(2)描点并连线:
2
…
…
…
【思路点拨】 首先列表求出函数图象上点的坐标,进而描点连线画出图象即可.注 意连线时一定要用平滑的实线连接.
解:(1)8 2 0 2 8 -8 -2 0 -2 -8 (2)
类型二:二次函数y=ax2图象的性质的应用
例2 已知函数y=ax2的图象过点(1, 1 ).
2
增大而减小.
(2)在其图象上有两点(x1,y1),(x2,y2),且x1>x2>0,比较y1,y2的大小.
【思路点拨】 (2)二次函数y=ax2的对称轴为y轴,由(1)知a<0,所以在其对称轴 的右侧y随x的增大而减小,又x1>x2>0,故y1<y2. 解:(2)因为x1>x2>0, 所以y1<y2.
(1)简述函数y=ax2的性质;
2
【思路点拨】 (1)把点(1, 1 )代入函数y=ax2的解析式求得a的值,即可判定函
数的性质.
2
解:由题意得 a=- 1 ,所以 y=- 1 x2.
2
2
(1)函数 y=- 1 x2,开口向下,在 y 轴左侧 y 随 x 的增大而增大,在 y 轴右侧 y 随 x 的
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
1.二次函数y=ax2的图象
二次函数y=ax2的图象是 抛物线 ,对称轴与抛物线的交点叫做 顶点 ,顶点是
(0,0) ,当a>0时,抛物线的开口 向上 ,顶点是抛物线的最 低 点;当a<0时, 抛物线的开口 向下 ,顶点是抛物线的最 高 点.对于y=ax2,|a|越 大 ,抛物 线的开口越小.
解读二次函数的图像特点
解读二次函数的图像特点二次函数是高中数学中的重要概念之一，它在数学和实际生活中都有广泛的应用。
本文将解读二次函数的图像特点，包括数轴上的开口方向、顶点坐标、对称轴以及图像的平移和缩放等内容。
一、数轴上的开口方向二次函数的图像可以分为两种开口方向：向上开口和向下开口。
当二次函数的开口方向向上时，表示二次函数的二次系数大于零；当二次函数的开口方向向下时，表示二次函数的二次系数小于零。
二次函数图像的开口方向与二次系数的正负有关，这一特点可以通过观察二次函数的表达式来判断。
二、顶点坐标二次函数的图像在数轴上表现为一个抛物线，抛物线的顶点是二次函数图像的最低点或最高点。
顶点坐标可以通过二次函数的标准式或顶点式来求解。
对于标准式y=ax^2+bx+c，顶点的横坐标为x=-\frac{b}{2a}，代入得到纵坐标。
对于顶点式y=a(x-h)^2+k，顶点的坐标为(h,k)。
顶点坐标是描述二次函数图像位置的重要指标，可以通过计算或观察图像来确定。
三、对称轴二次函数的图像是关于一条垂直于x轴的直线对称的，这条直线称为对称轴。
对称轴的方程可以通过二次函数的顶点坐标求解，其方程为x=-\frac{b}{2a}。
对称轴是二次函数图像的一条重要特点，它将二次函数图像分为左右对称的两部分。
四、图像的平移和缩放二次函数的图像可以通过平移和缩放进行变换。
平移可以改变二次函数图像在数轴上的位置，平移的方向和距离可以通过对标准式的自由项c进行调整。
缩放可以改变二次函数图像的大小，缩放系数可以通过对标准式的二次系数a进行调整。
平移和缩放可以使二次函数图像在数轴上发生水平或垂直方向的移动和变形。
综上所述，二次函数的图像特点包括数轴上的开口方向、顶点坐标、对称轴以及图像的平移和缩放等内容。
掌握这些特点可以帮助我们更好地理解和应用二次函数。
在解决二次函数相关问题时，需要注意观察二次系数的正负、求解顶点坐标、确定对称轴方程以及根据需要进行图像的平移和缩放等操作。
二次函数基本概念与图象
二次函数基本概念与图象二次函数是高中数学中重要的内容之一，它在数学建模、物理学、经济学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍二次函数的基本概念与图象及相关性质。
一、二次函数的定义二次函数是指具有形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c 为实数且a不等于零。
其中，a决定了二次函数的开口方向和形状，而b则决定了二次函数的图象在x轴方向上的位置，c为二次函数在y轴上的截距。
二、二次函数图象的性质1. 开口方向：当a大于零时，二次函数开口向上；当a小于零时，二次函数开口向下。
2. 顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。
3. 对称轴：二次函数的对称轴为x = -b/2a。
4. 零点：当二次函数存在零点时，其零点可通过求解ax^2 + bx + c = 0的解得。
三、二次函数图象的变化与平移1. a的变化：改变a的值可以使得二次函数图象的开口方向发生改变，当a的绝对值增大时，开口越窄，图象变得更陡；当a的绝对值减小时，开口越宽，图象变得更平缓。
2. b的变化：改变b的值可以使得二次函数图象在x轴方向上平移，当b为正时，图象向左平移；当b为负时，图象向右平移。
平移的距离与|b|成正比。
3. c的变化：改变c的值可以使得二次函数图象在y轴方向上平移，当c为正时，图象向上平移；当c为负时，图象向下平移。
平移的距离与|c|成正比。
四、二次函数的特殊情况1. 完全平方式：当二次函数的顶点坐标为(0, 0)时，称其为完全平方式，表示为f(x) = ax^2。
2. 平移形式：当二次函数的顶点坐标为(h, k)时，表示为f(x) = a(x-h)^2 + k。
五、二次函数的实际应用1. 物理学上，二次函数可用于描述自由落体运动、抛物线轨迹等。
2. 经济学中，二次函数可用于描述成本、收益等与产量关系的图象。
3. 数学建模中，二次函数可用于拟合实验数据、预测趋势等。
总结：二次函数作为一种重要的函数形式，具有广泛的应用和重要的数学性质。
二次函数的图像与性质
二次函数的图象与性质知识要点概述1、二次函数的定义：如果y=ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)，那么y叫x的二次函数．2、二次函数的图象：二次函数y=ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线．3、二次函数的解析式有下列三种形式：(1)一般式：y=ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：y=a(x－h)2＋k(a≠0)；)(x－x2) (a≠0)，这里x1，x2是抛物线与x轴两个交点的横坐标．(3)交点式：y=a(x－x1确定二次函数的解析式一般要三个独立条件，灵活地选用不同方法求出二次函数的解析式是解与二次函数相关问题的关键．4、抛物线y=ax2＋bx＋c中系数a、b、c的几何意义抛物线y=ax2＋bx＋c的对称轴是，顶点坐标是，其中a的符号决定抛物线的开口方向．a>0，抛物线开口向上，a<0，抛物线开口向下；a，b同号时，对称轴在y轴的左边；a，b异号时，对称轴在y轴的右边；c确定抛物线与y轴的交点（0，c）在x轴上方还是下方．5、抛物线顶点式y=a(x－h)2＋k(a≠0)的特点(1)a>0，开口向上；a<0，开口向下；(2)x=h为抛物线对称轴；(3)顶点坐标为（h，k）．依顶点式，可以很快地求出二次函数的最值．当a>0时，函数在x=h处取最小值y=k；当a<0时，函数在x=h处取最大值y=k．6、抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2的联系与区别抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2的形状相同，位置不同．前者是后者通过“平移”而得到．要想弄清抛物线的平移情况，首先将解析式化为顶点式．7、抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴的两个交点为A、B，且方程ax2＋bx＋c=0的两根为x1，x2，则有A(x1，0)，B(x2，0)．典型剖析例1、已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示．下列结论：①a＋b＋c<0；②a－b＋c>0；③abc>0；④b=2a．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1解：选A．令x=1及由图象知a＋b＋c<0，①正确；令x=－1及由图象a－b＋c>0，②正确；由对称轴知，④正确；由④知a、b同号且抛物线与y轴的交点在x轴上方，即c>0，故③正确．所以选A．例2、二次函数y=x2＋(a－b)x＋b的图象如图所示．那么化简的结果是____________．解：原式=－1．∵图象与y轴交点在x轴上方，∴b＞0．又∵图象的对称轴在y轴右边且二次项系数为1，一次项系数为a－b，例3、已知抛物线y=x2－(2m＋4)x＋m2－10与x轴交于A、B两点，C是抛物线的顶点．(1)用配方法求顶点C的坐标（用含m的代数式表示）；(2)若AB的长为，求抛物线的解析式．解：(1)∵y=x2－(2m＋4)x＋m2－10=[x－(m＋2)] 2－4m－14，∴顶点C的坐标为(m＋2，－4m－14)．(2)∵A、B是抛物线y=x2－(2m＋4)x＋m2－10与x轴的交点且|AB|=，化简整理得：16m=－48，∴m=－3．当m=－3时，抛物线y=x2＋2x－1与x轴有交点且AB=，符合题意．故所求抛物线的解析式为y=x2＋2x－1．例4、如果抛物线y=－x2＋2(m－1)x＋m＋1与x轴交于A、B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x轴的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b．(1)求m的取值范围；(2)若a︰b=3︰1，求m的值，并写出此时抛物线的解析式．解：(1)设A、B两点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)．∵A、B分处原点两侧，∴xx2<0，1即－(m＋1)<0，得m>－1．又∵△=[2(m－1)]2－4×(－1)(m＋1)=4m2－4m＋8=4(m－)2＋7>0，∴m>－1为m的取值范围．(2)∵a︰b=3︰1．设a=3k，b=k(k>0)，=3k，x2=－k．则x1例5、已知某二次函数，当x=1时有最大值－6，且其图象经过点（2，－8）．求此二次函数的解析式．解：∵二次函数当x=1时有最大值－6，∴抛物线的顶点为（1，－6），故设所求的二次函数解析式为y=a(x－1)2－6．由题意将点（2，－8）的坐标代入上式得：a(2－1)2－6=－8，∴a=－2，∴二次函数的解析式为y=－2(x－1)2－6，即y=－2x2＋4x－8．例6、二次函数y=ax2＋bx＋c的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）．(1)请判断实数a的取值范围，并说明理由；(2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C．当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值．解：（1）由图象可知：a<0，图象过点（0，1），∴c=1．图象过点（1，0），∴a＋b＋c=0，∴b=－(a＋c)=－(a＋1)．由题意知，当x=－1时，应有y>0，∴a－b＋c>0，∴a＋(a＋1)＋1>0，∴a>－1，∴实数a的取值范围是－1<a<0．(2)此时函数为y=ax2－(a＋1)x＋1,与x轴两交点A、C之间的距离为例7、根据下列条件，求抛物线的解析式．(1)经过点（0，－1），（1，），（－2，－5）；(2)经过点（－3，2），顶点是（－2，3）；(3)与x轴两交点（－1，0）和（2，0）且过点（3，－6）．分析：求解析式应用待定系数法，根据不同的条件，选用不同形式求二次函数的解析式，可使解题简捷．但应注意，最后的函数式均应化为一般形式y=ax2＋bx＋c．解：（1）设y=ax2＋bx＋c，把（0，－1），（1，），（－2，－5）代入得方程组∴解析式为y=＋x－1．（2）设y=a(x＋2)2＋3，把（－3，2）代入得2=a(－3＋2)2＋3，解得a=－1．解析式为y＝－x2－4x－1.（3）设y=a(x＋1)(x－2)，把（3，－6）代入得－6=a(3＋1)(3－2)，解得．∴解析式为y=(x＋1)(x－2)，即．。
二次函数及其图象在高考数学中的应用
二次函数及其图象在高考数学中的应用二次函数是高中数学中比较重要的一部分，也是高考数学中必考的内容。
二次函数的图象不仅是高中数学重点难点，而且具有广泛应用。
本文将以二次函数及其图象在高考数学中的应用作为主题，对二次函数的基本概念、性质及其在高考数学中的应用进行详细的探讨。
一、二次函数的基本概念和性质1. 二次函数的定义二次函数的定义是：f(x) = ax²+bx+c（a ≠0）,其中a,b,c为常数。
2. 二次函数的图象二次函数的图象为一条抛物线，其开口方向取决于常数a的正负。
当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。
3. 二次函数的对称轴二次函数的对称轴为一条垂直于x轴，通过抛物线顶点的直线。
对称轴的方程为x = -b/2a。
4. 二次函数的顶点二次函数的顶点为抛物线的最高点或最低点，它是抛物线的最值点。
当抛物线开口向上时，顶点为最小值点；当抛物线开口向下时，顶点为最大值点。
5. 二次函数的焦点和准线当a＞0时，二次函数的焦点在y轴上，焦距为1/4a；当a＜0时，二次函数的焦点在x轴上，焦距为-1/4a。
其准线为y=-1/4a。
二、二次函数在高考数学中的应用1. 二次函数的解析式及应用在高考数学中，二次函数的解析式是必须掌握的。
通过解析式，我们可以求出二次函数的顶点、对称轴、最值点等重要信息。
同时，我们还可以利用二次函数的解析式解决一些实际问题，如利用二次函数求解运动问题、利用二次函数求解面积和体积问题等等。
2. 二次函数的图象及应用二次函数的图象在高考数学中也有很多应用。
例如，在函数拐点处可以求解最值问题，在对称轴处可以求解交点问题，在焦点处可以解决轨迹问题。
此外，利用图象也可以帮助我们更加直观地理解和解决二次函数相关的问题。
3. 二次函数的相关知识及应用在高考数学中，除了掌握二次函数的基本概念和性质以外，还需要掌握一些相关的知识和技巧，如配方法、完全平方公式、二次函数的基本变形等等。
二次函数及其图象
函数的图像以y轴为对称轴。
与x轴的交点
当c=0时，函数与x轴无交点；当c>0时，函数与x轴有两 个交点；当c<0时，函数与x轴有一个交点。
CHAPTER 03
二次函数图象特征
开口方向
开口向上
当二次项系数a大于0时，函数图 像开口向上，顶点为最低点。
开口向下
当二次项系数a小于0时，函数图 像开口向下，顶点为最高点。
科技领域
图像处理
01
在计算机视觉和图像处理中，二次函数常被用于图像的缩放、
旋转和变形等操作中。
声音处理
02
在音频处理中，二次函数被用于声音的频谱分析和合成，以及
音频信号的滤波等。
航天技术
03
在航天学中，二次函数被用于描述火箭和卫星的运动轨迹，以
及太空探测器的路径规划等。
CHAPTER 06
二次函数与数学文化
CHAPTER 04
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系
01
二次函数是一元二次方程的图形 表示，一元二次方程是二次函数 的解析形式。
02
二次函数描述了一个抛物线的形 状，而一元二次方程则描述了该 抛物线与x轴的交点位置。
一元二次方程解法
公式法
使用求根公式计算一元二次方程 的解。
因式分解法
期货与期权定价
二次函数常被用于金融衍生品如 期货、期权等的定价模型中，通 过调整参数来估算未来资产价格
的不确定性。
物理领域
弹性力学
在研究材料的弹性和塑性问题时，经常使用二次函数来描述应变 和应力之间的关系。
波动方程
在物理学中，二次函数经常被用来描述波动现象，如弦的振动、电 磁波等。
二次函数知识要点
一、研究函数的图象和性质：二次函数的图象是抛物线。
（1）研究抛物线的图象特点主要包括：开口方向、顶点坐标、对称轴.（2）研究抛物线的图象性质主要包括：增减性以及最大（小) 值．1、二次函数y=ax²的图象及性质：2、二次函数y=ax²+k的图象及性质：抛物线y=ax²+k是由顶点在原点的抛物线y=ax²向上（下）平移个单位得到的.3、二次函数y=a（x-h）²的图象及性质：抛物线y=a(x—h)2是由顶点在原点的抛物线y=ax²向右(左)平移个单位得到的.4、二次函数y=a（x-h）²+k 的图象及性质：抛物线y=a(x—h)2+k是由顶点在原点的抛物线y=ax²先向上（下）平移个单位.再向右(左)平移个单位得到的.当k>0时,向平移；当k<0时,向平移.当h>0时,二次函数知识点归纳5.二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象及性质：条件图象特点性质开口对称轴顶点增减性最大(小)值a＞0a＜0二、配方法的步骤：（1）提取a（每一项除以a）；（2）在提取a后的括号内加上一次项系数绝对值一半的平方再减去它；（3）配方；（4）整理形式y=a（x-h）²+k.三、有关抛物线与坐标轴交点的问题：1.求抛物线y=ax²+bx+c与y轴的交点：把x＝0代入求y，得（0，c）；2.求抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点：把y＝0代入求x.交点个数由一元二次方程ax²+bx+c=0的根决定,而方程ax²+bx+c=0的根由△(即b²-4ac )决定.分三种情况:①当△＞0时，方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数解x1,x2，此时抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个不同的交点（x1，0）（x2，0），②当△=0时，方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数解x1=x2，此时抛物线y=ax²+bx+c与x轴只有一个交点（即顶点在x轴上）；③当△＜0时，方程ax²+bx+c=0没有实数解，此时抛物线y=ax²+bx+c与x轴无交点。
二次函数的图像性质及应用
二次函数的图像性质及应用二次函数是一种代数函数，由形如f(x) = ax^2 + bx + c 的方程定义，其中a、b、c为实数且a不等于0，x为自变量，f(x)为因变量的值。
在二次函数的图像性质及应用方面，可以从以下几个角度来进行解析。
一、图像性质1. 平移性质：二次函数的图像可以根据a、b、c的值进行平移。
当c不为0时，图像沿y轴平移c个单位；当b不为0时，图像沿x轴平移-b/2a个单位；当a 不为0时，图像的开口方向取决于a的正负性，开口向上（a>0）或者开口向下（a<0）。
2. 对称性质：二次函数的图像关于y轴对称。
这是因为二次函数的方程中只有x 的二次项没有一次项，故图像关于y轴对称。
3. 零点性质：二次函数的零点是指函数值为0的x值。
对于一般的二次函数，它将有两个零点，除非它开口向上或开口向下且顶点位于x轴上，此时则只有一个零点。
4. 首项分类：当a>0时，二次函数的图像开口向上，称为正二次函数；当a<0时，二次函数的图像开口向下，称为负二次函数。
首项a的正负性决定了二次函数的凹凸性。
二、应用1. 自然科学中的运动学问题：二次函数可以用来描述自然界中物体的运动状态。
例如，自由落体运动中物体的下落高度与时间的关系可以用二次函数来表示。
2. 经济学中的成本与收益问题：在经济学中，很多问题可以用二次函数来建模。
例如，成本与产量之间的关系、价格与需求之间的关系等。
3. 地理学中的地形分析：地理学中，二次函数可以用来描述地形的变化。
例如，山谷河流的横断面、地势的坡度等。
4. 工程学中的建模问题：在工程学中，二次函数可以应用于许多建模问题，如桥梁设计、弹道分析等。
总结起来，二次函数的图像性质包括平移性质、对称性质、零点性质和首项分类。
而其应用领域广泛，包括自然科学中的运动学问题、经济学中的成本与收益问题、地理学中的地形分析以及工程学中的建模问题等。
通过对二次函数的图像性质及应用的深入理解，可以更好地应用于实际问题的建模与求解。
二次函数的性质及其图象
象经过一、三、四象限，反比例函数 y
c x
经过二、四象限.故选择B.
经典考题
【例2】（2016年达州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴
交于点A（-1,0），与y轴的交点B在（0,-2）和（0,-1）之间（不包括这两点），
对称轴为直线x=1，下列结论：
（ D）
①abc＞0
（2）c＜0时，抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上.
（3）c=0时，抛物线过原点.
3.4.5 二次函数图象的平移
y=ax2
平移 |h|个 左 单 位 加 向右 右 (h 减 0)、 左 （h 0） y=a(x-h)2
上加下减 向上（k＞0）、下（k＜0）
平移|k|个单位
上加下减 向上（k＞0）、下（k＜0）
经典考题
得
4a 2b 4 36a 6b 0
，解得
a
1 2
；
b 3
（2）如图，过A作x轴的垂线，垂足为D（2,0）,
连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E、
F.则：S△OAD
1 2
OD
AD
1 2
2
4
4.
S△ACD
1 2
AD
CE
1 2
4x
2
2x
4.
S△BCD
1 2
BD
CF
1 2
3.4.2 二次函数的图象及性质
要点梳理
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象是抛物线.
1.当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴是直线x= b .当x= b 时， y有最小
值为4ac b2 .在对称轴左边（即x＜
重难点 二次函数图象性质及其综合应用(学生版)
重难点二次函数图象性质及其综合应用考点一：二次函数的图象与性质二次函数是中考三大函数中内容最多，考察难度最大的一个函数。
而二次函数的图象更是其庞大内容的核心，初中数学中需要我们详细的掌握抛物线的画法、特征、性质、与系数的关系、几何变换等几个方面的知识，进而在多变的题型中快速找到解决它们的方法。
题型01二次函数图象与性质易错点01：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象：形状：抛物线；对称轴：直线x=−b2a；顶点坐标：−b2a，4ac−b24a；其中抛物线的顶点坐标的纵坐标与一元二次方程解法中的公式法的表达式比较相似，需要重点加以区分；易错点02：抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大(或减小)是不对的，必须在确定a的正负后，附加一定的自变量x取值范围；解题大招：对于y=ax2+bx+c上的各个点，当a＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值，哪个点离对称轴越近，哪个点的纵坐标越小；当a ＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，函数有最大值，哪个点离对称轴越近，哪个点的纵坐标越大；【中考真题练】1(2023•台州)抛物线y =ax 2-a (a ≠0)与直线y =kx 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1+x 2<0，则直线y =ax +k 一定经过()A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限2(2023•邵阳)已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线y =ax 2+4ax +3(a 是常数，a ≠0)上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x =-2；②点(0，3)在抛物线上；③若x 1>x 2>-2，则y 1>y 2；④若y 1=y 2，则x 1+x 2=-2，其中，正确结论的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个3(2023•扬州)已知二次函数y =ax 2-2x +12(a 为常数，且a >0)，下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当x <0时，y 随x 的增大而减小；④当x >0时，y 随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是()A.①②B.②③C.②D.③④4(2023•安徽)下列函数中，y 的值随x 值的增大而减小的是()A.y =x 2+1B.y =-x 2+1C.y =2x +1D.y =-2x +15(2023•枣庄)二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x =1，下列结论：①abc <0；②方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)必有一个根大于2且小于3；③若(0，y 1)，(32，y 2)是抛物线上的两点，那么y 1<y 2；④11a +2c >0；⑤对于任意实数m ，都有m (am +b )≥a +b ，其中正确结论的个数是()A.5B.4C.3D.26(2023•呼和浩特)关于x 的二次函数y =mx 2-6mx -5(m ≠0)的结论：①对于任意实数a ，都有x 1=3+a 对应的函数值与x 2=3-a 对应的函数值相等．②若图象过点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)，点C (2，-13)，则当x 1>x 2>92时，y 1-y 2x 1-x 2<0．③若3≤x ≤6，对应的y 的整数值有4个，则-49<m ≤-13或13≤m <49．④当m >0且n ≤x ≤3时，-14≤y ≤n 2+1，则n =1．其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个7(2023•福建)已知抛物线y=ax2-2ax+b(a>0)经过A(2n+3，y1)，B(n-1，y2)两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1<y2，则n的取值范围是．8(2023•北京)在平面直角坐标系xOy中，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上任意两点，设抛物线的对称轴为x=t．(1)若对于x1=1，x2=2，有y1=y2，求t的值；(2)若对于0<x1<1，1<x2<2，都有y1<y2，求t的取值范围．【中考模拟练】9(2024•虹口区二模)已知二次函数y=-(x-4)2，如果函数值y随自变量x的增大而减小，那么x的取值范围是()A.x≥4B.x≤4C.x≥-4D.x≤-410(2024•郑州模拟)已知二次函数y=ax2+bx(a≠0)的图象如图所示，则一次函数y=ax+b(a≠0)的图象大致为()A. B.C. D.11(2024•霍邱县模拟)函数y=kx2-4x+3和y=kx-k(k是常数，且k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()A. B.C. D.12(2024•余姚市一模)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)在二次函数y =-x 2+c (c >0)的图象上，点A ，C 是该函数图象与正比例函数y =kx (k 为常数且k >0)的图象的交点．若x 1<0<x 2<x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系为()A.y 3<y 2<y 1B.y 1<y 2<y 3C.y 2<y 1<y 3D.y 1<y 3<y 213(2024•武威二模)已知二次函数y =a (x +1)(x -m )(a 为非零常数，1<m <2)，当x <-1时，y 随x 的增大而增大，则下列结论正确的是()①若x >2时，则y 随x 的增大而减小；②若图象经过点(0，1)，则-1<a <0；③若(-2023，y 1)，(2023，y 2)是函数图象上的两点，则y 1<y 2；④若图象上两点14,y 1 ，14+n ,y 2 对一切正数n ．总有y 1>y 2，则32<m <2．A.①②B.①③C.①④D.③④14(2024•福田区模拟)已知函数y =|x 2-4|的大致图象如图所示，对于方程|x 2-4|=m (m 为实数)，若该方程恰有3个不相等的实数根，则m 的值是．15(2024•合肥模拟)在平面直角坐标系中，G (x 1，y 1)为抛物线y =x 2+4x +2上一点，H (-3x 1+1，y 1)为平面上一点，且位于点G 右侧．(1)此抛物线的对称轴为直线；(2)若线段GH 与抛物线y =x 2+4x +2(-6≤x <1)有两个交点，则的x 1取值范围是1．16(2024•碑林区校级一模)如图，抛物线y =14x 2-12x -3的对称轴l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．(1)求点A 、B 的坐标；(2)C 为该抛物线上的一个动点，点D 为点C 关于直线l 的对称点(点D 在点C 的左侧)，点M 在坐标平面内，请问是否存在这样的点C ，使得四边形ACMD 是正方形？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．题型02二次函数与几何变换易错点：抛物线平移步骤：①将一般式转化为顶点式，②根据“左加右减(x )，上加下减(整体)”来转化平移所得函数解析式；解题大招：y =ax 2+bx +c 的轴对称变换规律y =ax 2+bx +c 关于x 轴对称：y =−ax 2−bx −c 关于x 轴对称：y =ax 2−bx +c关于原点对称：y =−ax 2+bx −c【中考真题练】17(2023•无锡)将二次函数y =2(x -1)2+2的图象向右平移2个单位长度，所得函数图象的顶点坐标为()A.(-1，2)B.(3，2)C.(1，3)D.(1，-1)18(2023•徐州)在平面直角坐标系中，将二次函数y =(x +1)2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为()A.y =(x +3)2+2B.y =(x -1)2+2C.y =(x -1)2+4D.y =(x +3)2+419(2023•西藏)将抛物线y =(x -1)2+5平移后，得到抛物线的解析式为y =x 2+2x +3，则平移的方向和距离是()A.向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度B.向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度C.向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度D.向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度20(2023•牡丹江)将抛物线y =(x +3)2向下平移1个单位长度，再向右平移个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．21(2023•上海)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y =34x +6与x 轴交于点A ，y 轴交于点B ，点C 在线段AB 上，以点C 为顶点的抛物线M ：y =ax 2+bx +c 经过点B ，点C 不与点B 重合．(1)求点A ，B 的坐标；(2)求b ，c 的值；(3)平移抛物线M 至N ，点C ，B 分别平移至点P ，D ，联结CD ，且CD ∥x 轴，如果点P 在x 轴上，且新抛物线过点B ，求抛物线N 的函数解析式．【中考模拟练】22(2024•津市市一模)将二次函数y =x 2-6的图象向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为()A.y =x 2-2x -5B.y =x 2+2x -9C.y =x 2-2x -8D.y =x 2+2x -523(2024•秦都区一模)已知抛物线C 1：y =x 2-3x +m ，抛物线C 2与C 1关于直线y =l 轴对称，两抛物线的顶点相距5，则m 的值为()A.-34B.234C.-34或234D.234或3424(2024•济南模拟)将抛物线y =(x +1)2的图象位于直线y =9以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线y =x +m 与此图象有四个交点，则m 的取值范围是()A.54<m <7 B.34<m <5 C.45<m <9 D.34<m <725(2024•松江区二模)平移抛物线y =x 2+2x +1，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，那么平移后的抛物线的表达式可以是2.(只需写出一个符合条件的表达式)26(2024•新北区校级模拟)如图，将抛物线y =2(x +1)2+1绕原点O 顺时针旋转45°得到新曲线，新曲线与直线y =x 交于点M ，则点M 的坐标为．27(2024•廉江市一模)已知抛物线C1：y=ax2+2ax+a-2 3．(1)写出抛物线C1的对称轴：．(2)将抛物线C1平移，使其顶点是坐标原点O，得到抛物线C2，且抛物线C2经过点A(-2，-2)和点B(点B在点A的左侧)，若△ABO的面积为4，求点B的坐标．(3)在(2)的条件下，直线l1：y=kx-2与抛物线C2交于点M，N，分别过点M，N的两条直线l2，l3交于点P，且l2，l3与y轴不平行，当直线l2，l3与抛物线C2均只有一个公共点时，请说明点P在一条定直线上．题型03二次函数图象与系数的关系解题大招01：二次函数图象与系数a、b、c的关系解题大招02：二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶①a、b、c单个字母的判断，a由开口判断，b由对称轴判断(左同右异)，c由图象与y轴交点判断;②含有a、b两个字母时，考虑对称轴;③含有a、b、c三个字母，且a和b系数是平方关系，给x取值，结合图像判断，例如∶二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，当x=1时，y=a+b+c，当x=-1时，y=a-b+c，当x=2时，y=4a+2b+c当x=-2时，y=4a-2b+c;另：含有a、b、c三个字母，a和b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶④含有b2和4ac，考虑顶点坐标，或考虑△.⑤其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。
二次函数及其图像特征
二次函数及其图像特征引言：二次函数是高中数学中的重要概念，也是数学中的一种基本函数类型。
它的图像特征丰富多样，反映了函数的性质和变化规律。
本文将从二次函数的定义、图像特征以及应用等方面进行论述，希望能够深入理解二次函数及其图像特征。
一、二次函数的定义二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
其中，a决定了二次函数的开口方向和开口程度，b决定了二次函数的对称轴位置，c决定了二次函数的纵向平移。
二、二次函数的图像特征1. 开口方向和开口程度当a > 0时，二次函数的图像开口向上；当a < 0时，二次函数的图像开口向下。
而a的绝对值越大，开口的程度越大，图像越陡峭。
2. 对称轴对称轴是指二次函数图像的中心线，对称轴的方程为x = -b/2a。
对称轴将图像分为两个对称的部分，左右两侧关于对称轴对称。
3. 顶点顶点是二次函数图像的最高点（当a > 0）或最低点（当a < 0）。
顶点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，它是二次函数的极值点。
4. 零点零点是指二次函数图像与x轴相交的点，即f(x) = 0的解。
二次函数的零点个数取决于判别式Δ = b^2 - 4ac的值，当Δ > 0时，有两个不同的实根；当Δ = 0时，有一个重根；当Δ < 0时，无实根。
5. 函数值的变化当二次函数的a > 0时，函数值随着自变量x的增大而增大，当a < 0时，函数值随着自变量x的增大而减小。
当二次函数开口向上时，函数值的最小值为顶点的纵坐标；当二次函数开口向下时，函数值的最大值为顶点的纵坐标。
三、二次函数的应用1. 物体的抛体运动二次函数可以用来描述物体的抛体运动。
通过分析二次函数的图像特征，可以得到物体的最高点、最远点、落地点等信息，从而对物体的运动轨迹进行预测和分析。
2. 经济学中的成本函数在经济学中，成本函数常常用二次函数来表示。
二次函数的概念性质和图象以及实际应用等知识点梳理归纳
一、选择题9．（2019·温州）已知二次函数y=x 2-4x+2，关于该函数在-1≤x ≤3的取值范围内，下列说法正确的是（ ）A ．有最大值-1，有最小值-2B ．有最大值0，有最小值-1C ．有最大值7，有最小值-1D ．有最大值7，有最小值-2【答案】D【解析】∵二次函数y=x 2-4x+2=(x-2)2-2，∴该函数在-1≤x ≤3的取值范围内，当x=2时，y 有最小值-2；当x=-1时，y 有最大值7．故选D.7．（2019·绍兴 ）在平面直角坐标系中，抛物线)3)(5(−+=x x y 经过变换后得到抛物线)5)(3(−+=x x y ，则这个变换可以是 ( )A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位 【答案】B【解析】y ＝（x +5）（x ﹣3）＝（x +1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．y ＝（x +3）（x ﹣5）＝（x ﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．所以将抛物线y ＝（x +5）（x ﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝（x +3）（x ﹣5），故选B ．10．（2019·嘉兴）小飞研究二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2﹣m +1（m 为常数）性质时如下结论： ①这个函数图象的顶点始终在直线y ＝﹣x +1上；②存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形； ③点A （x 1，y 1）与点B （x 2，y 2）在函数图象上，若x 1＜x 2，x 1+x 2＞2m ，则y 1＜y 2； ④当﹣1＜x ＜2时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围为m ≥2． 其中错误结论的序号是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④【答案】C【解析】二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2﹣m +1（m 为常数）, ①∵顶点坐标为（m ，﹣m +1）且当x ＝m 时，y ＝﹣m +1, ∴这个函数图象的顶点始终在直线y ＝﹣x +1上, 故结论①正确；②假设存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形, 令y ＝0，得﹣（x ﹣m ）2﹣m +1＝0，其中m ≤1， 解得：x ＝m ﹣，x ＝m +，∵顶点坐标为（m ，﹣m +1），且顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形, ∴|﹣m +1|＝|m ﹣（m ﹣）|,解得：m ＝0或1,∴存在m ＝0或1，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形, 故结论②正确； ③∵x 1+x 2＞2m, ∴,∵二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2﹣m +1（m 为常数）的对称轴为直线x ＝m, ∴点A 离对称轴的距离小于点B 离对称轴的距离, ∵x 1＜x 2，且﹣1＜0, ∴y 1＞y 2, 故结论③错误；④当﹣1＜x ＜2时，y 随x 的增大而增大，且﹣1＜0, ∴m 的取值范围为m ≥2． 故结论④正确． 故选C ．10．（2019·杭州）在平面直角坐标系中，已知a ≠b ，设函数y=（x+a ）（x+b ）的图象与x 轴有M 个交点，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x 轴有N 个交点，则（ ）A ．M=N-1或M=N+1B ．M=n-1或M=N+2C ．M=N 或M=N+1D ．M=N 或M=N-1【答案】A【解析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x 轴的交点个数，若一次函数，则与x 轴只有一个交点，据此解答．∵y=（x+a ）（x+b ）=x 2+（a+b ）x+1，∴（a+b ）2-4ab=（a-b ）2＞0，∴函数y=（x+a ）（x+b ）的图象与x 轴有2个交点，∴M=2，∵函数y=（ax+1）（bx+1）=abx 2+（a+b ）x+1，∴当ab ≠0时，（a+b ）2-4ab=（a-b ）2＞0，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x 轴有2个交点，即N=2，此时M=N ；当ab=0时，不妨令a=0，∵a ≠b ，∴b ≠0，函数y=（ax+1）（bx+1）=bx+1为一次函数，与x 轴有一个交点，即N=1，此时M=N+1；综上可知，M=N 或M=N+1．故选C ．11．（2019·烟台）已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：4x <时，0y >；④抛物线与x 轴的两个交点间的距离是4；⑤若1(,2)A x ，2(,3)B x 是抛物线上两点，则12x x <．其中正确的个数是（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【解题过程】先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线，由图象可以看出抛物线开口向上，所以结论①正确，由图象（或表格）可以看出抛物线与x 轴的两个交点分别为（0,0），（4,0），所以抛物线的对称轴为直线2x =且抛物线与x 轴的两个交点间的距离为4，所以结论②和④正确，有抛物线的图象可以看出当04x <<时，0y <，所以结论③错误，由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为2或3时，对于的点均有两个，若1(,2)A x ，2(,3)B x 是抛物线上两点，既有可能12x x <，也有可能12x x >，所以结论⑤错误．7．（2019·绍兴 ）在平面直角坐标系中，抛物线)3)(5(−+=x x y 经过变换后得到抛物线)5)(3(−+=x x y ，则这个变换可以是 ( )A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位 【答案】B【解析】y ＝（x +5）（x ﹣3）＝（x +1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．y ＝（x +3）（x ﹣5）＝（x ﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．所以将抛物线y ＝（x +5）（x ﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝（x +3）（x ﹣5），故选B ．10．（2019·益阳）已知二次函数c bx ax y ++=2如图所示，下列结论:①ae ＜0，②b-2a ＜0，③ac b 42−＜0，④a-b+c ＜0，正确的是（ ）A. ①②B.①④C.②③D.②④第10题图【答案】A【解析】∵抛物线开口向下，且与y 的正半轴相交，∴a ＜0，c ＞0，∴ac ＜0，故①正确； ∵对称轴在-1至-2之间，∴122−−−＜＜ab，∴4a ＜b ＜2a ，∴b-2a ＜0，故②正确； ∵抛物线与x 轴有两个交点，∴△=ac b 42−＞0，∴③错误；∵当x=-1时，y=a-b+c ＞0，∴④错误. ∴正确的说法是①②.故选A.11．（2019·娄底） 二次函数2y ax bx c =++的图象如图（5）所示，下列结论中正确的有（ ）① abc<0② 240b ac −<③ 2a b > ④ ()22a c b +< A ． 1个 B ． 2个C ．3个D ． 4个【答案】A【解析】解：①由抛物线的开口方向向下知a<0，对称轴在y 轴的左侧得a 、b 同号，抛物线与y 轴交于正半轴得c>0,所以abc>0 ；故结论①错误；②由抛物线与x 轴有两个交点得240b ac −>，故结论②错误； ③由图象知对称轴12b x a =−>−得12ba<；由a<0，结合不等式的性质三可得 b>2a,即2a<b ；故结论③错误； ④由图象知：当x ＝1时，y<0即a+b+c<0；当x ＝－1时，y>0即a －b+c>0；∴()()0a b c a b c ++−+<，即()220a c b +−<；∴()22a c b +<．故结论④正确．故答案A 正确．1. （2019·济宁）将抛物线y ＝x 2－6x ＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）A ．y ＝(x －4)2－6B ．y ＝(x －1)2－3C ．y ＝(x －2)2－2D ．y ＝(x －4)2－2 【答案】D【解析】y ＝x 2－6x ＋5＝ (x －3) 2－4，把向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后， 得y ＝ (x －3－1) 2－4＋2，即y ＝(x －4)2－2．2. (2019·巴中)二次函数y ＝ax2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示,下列结论①b2>4ac,②abc<0,③2a+b －c>0,3. ④a+b+c<0,其中正确的是( ) A.①④B.②④C.②③D.①②③④第10题图 【答案】A【解析】①:因为图象与x 轴有两个不同的交点,所以b 2－4ac>0,即b 2>4ac,故①正确;②:图象开口向下,故a<0,图象与y 轴交于正半轴,故c>0,因为对称轴为x ＝－1,所以12ba−=− ,所以2a ＝b,故b<0,所以abc>0,②错误;③:a<0,b<0,c>0,所以2a+b －c<0,③错误;④当x ＝1时,y ＝a+b+c,由图可得,x ＝－3时,y<0,由对称性可知,当x ＝1时,y<0,即a+b+c<0,故④正确.综上所述,①④正确,故选A.3. （2019·达州）如图，边长都为4的正方形ABCD 和正三角形EFG 如图放置， AB 与EF 在一条直线上，点A 与点F 重合.现将△EFG 沿AB 方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F 与点B 重合时停止，在这个运动过程中正方形ABCD 和△EFG 重叠部分的面积S 与运动时t 的函数图像大致是( )【答案】C【思路分析】可分两种情况，第一种情况重合部分为三角形，第二种情况重合部分为四边形，分别求出对应的函数关系式即可.【解题过程】运动过程中，当顶点G 在正方形外部时，重合部分为三角形，设运动时间为t ，面积S 与t 的函数关系式为232t y =，函数图像为开口向上的二次函数，当顶点G 在正方形内部时，重合部分为四边形，设运动时间为t ，面积S 与t 的函数关系式为343423-2−+=t t y ，函数图像为开口向下的二次函数，故选C.4. （2019·凉山）二次函数y=ax2+bx+c 的部分图象如图所示，有以下结论：①3a –b=0；②b2-4ac ＞0；③5a-2b+c ＞0； ④4b+3c ＞0,其中错误结论的个数是（ ▲ ） A. 1B. 2C. 3D. 4第12题图【答案】A【解析】根据对称轴232−=−a b 得b =3a ，故可得3a –b =0，所以结论①正确；由于抛物线与x 轴有两个不同的交点，所以b 2-4ac ＞0，结论②正确；根据结论①可知b =3a ，∴5a -2b +c =5a -6a +c =-a +c ，观察图像可知a ＜0,c ＞0，∴5a -2b +c =-a +c ＞0，结论③正确；根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x 轴的右交点在原点与（1，0）之间（不含这两点），所以当x =1时，y =a +b +c ＜0，∵a =b 31，∴b 34+c ＜0，∴4b +3c ＜0，所以结论④错误.故选 A.5. （2019·攀枝花）在同一坐标系中，二次函数y ＝ax2＋bx 与一次函数y ＝bx －a 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】据参数符号可排除A 、D 选项，联立两函数解析式所得方程无解，则两函数图象无交点，故选C ．xxx【知识点】二次函数的图象；一次函数的图象6.（2019·天津）二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当21−=x 时，与其对应的函数值y>0，有下列结论：（1）abc>0;(2)-2和3是关于x 的方程ax2+bx+c=t 的两个根；（3）0<m+n<320,其中，正确结论的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】C【解析】(1)因为当21−=x 时，与其对应的函数值y>0，由图表可知x=0时，y=-2，x=1时，y=-2,可以判断对称轴左侧y 随x 的增大而减小，图像开口向上，a>0;由图表可知x=0时，y=-2，x=1时，y=-2,可得对称轴为直线21=x ，所以b<0;x=0时，y=-2,所以c=-2<0,故abc>0（1）正确；（2）由于对称轴是直线21=x ，-2和3是关于对称轴对称的，所以（2）正确；（3）由对称轴是直线21=x 可得a+b=0,因为x=0时，y=-2，可知c=-2，当21−=x 时，与其对应的函数值y>0可得38>a ，当x=-1时，m=a-b-2=2a-2>310,因为-1和2关于对称轴对称，可得m=n ，所以m+n>320，故（3）错误，故选C. 【知识点】二次函数图像的性质.7. （2019·衢州）二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（A ） A. （1.3） B.（1，-3） C.（-1.3） D.（-1.-3）【答案】A【解析】本题考查二次函数顶点坐标的确定，二次函数y =a （x -h ）2+k 的顶点坐标为（h ，k ），所以y =（x -1）2+3的顶点坐标是（1.3），故选A .8. （2019·重庆B 卷）物线y ＝263-2++x x 的对称轴是（ ）A.直线 2=xB.直线 2−=xC.直线 1=xD.直线 1−=x 【答案】Ｃ【解析】设二次函数的解析式是y=c bx ax ++2， 则二次函数的对称轴为直线y ＝263-2++x x 的对称轴是直线 1=x .故选Ｃ．9.（2019·自贡）一次函数y=ax+b 与反比例函数y=cx 的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c 的大致图象是（ ）【答案】A.【解析】∵双曲线y=cx 经过一、三象限，∴c ＞0.∴抛物线与y 轴交于正半轴.∵直线y =ax +b 经过第一、二和四象限， ∴a ＜0，b ＞0，即−b2a ＜0.∴抛物线y =ax 2+bx +c 开口向下，对称轴在y 轴的右侧. 故选A.9.（2019·遂宁）二次函数y=x 2-ax+b 的图像如图所示，对称轴为直线x=2，下列结论不正确的是 ( )A. a=4B.当b= -4时，顶点的坐标为（2，-8）C.当x= -1 时，b> -5D.当x>3时，y 随x 的增大而增大 【答案】C【解析】选项A,由对称轴为直线x=2可得22a--=，∴a=4，正确；选项B,∵a=4,b= -4 ∴代入解析式可得，y=x 2-4x-4，当x=2时，y=-8,∴顶点的坐标为（2，-8），正确；选项C ，由图像可知，x=-1时，y=0，代入解析式得B=-5，∴错误；选项D 由图像可以看出当x>3时，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，正确，故选C.二、填空题14. （2019·遂宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 落在坐标原点，点A,点C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，G 为线段OA 上一点，将△OCG 沿CG 翻折，O 点恰好落在对角线AC 上的点P 处，反比例函数xy 12=经过点B ，二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像经过C （0,3），G 、A 三点，则该二次函数的解析式为（填一般式）【答案】3411212+−=x x y 【解析】∵矩形OABC ，C （0,3）∴B 点的纵坐标为3，∵反比例函数x y 12=经过点B ，∴B(4,3），A （4,0），∴OA=4，∵C （0,3），∴OC=3，∴Rt △ACO 中，AC=5.设G （m,0)则OG=m ∵翻折∴GP=OG=m,CP=CO=3,∴AP=2，AG=4-m,∴Rt △AGP 中，m 2+22=(4-m)2,∴m=23,∴G(23,0），∵A （4,0）C （0,3）G(23,0）∴解析式为3411212+−=x x y15．(2019·广元)如图,抛物线y ＝ax 2+bx+c(a ≠0)过点(－1,0),(0,2),且顶点在第一象限,设M ＝4a+2b+c,则M 的取值范围是________.第15题图 【答案】－6<M<6【解析】∵y ＝ax 2+bx+c 过点(－1,0),(0,2),∴c ＝2,a －b ＝－2,∴b ＝a+2,∵顶点在第一象限,∴2ba- >0,∴a<0,b>0,a+2>0,a>－2,∴－2<a<0,M ＝4a+2b+c ＝4a+2(a+2)+2＝6a+6,∴－6<M<6.18．（2019·衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2的图象如图所示．已知点A 坐标为（1，1），过点A 作AA 1∥x 轴交抛物线于点A 1，过点A 1作A 1A 2∥OA 交抛物线于点A 2，过点A 2作A 2A 3∥x 轴交抛物线于点A 3，过点A 3作A 3A 4∥OA 交抛物线于点A 4…，依次进行下去，则点A 2019的坐标为 ．【答案】（－1010，10102）【解析】A （1，1），A 1（－1，1），A 2（2，4），A 3（－2，4），A 4（3，9），A 5（－3，9），…，A 2019（－1000，1000 2）．11．（2019·株洲）若二次函数2y ax bx =+的图像开口向下，则a 0（填“＝”或“＞”或“＜”）． 【答案】＜【解析】二次函数开口向下，则a<0。
中考数学专题复习：二次函数图象综合应用
图象性质：二次函数图象主要掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点、单调性和最值等方面．若二次函数解析式为2y ax bx c =++（或2()y a x h k =-+）（0a ≠），则： 开口方向 00a a >⇔⎧⎨<⇔⎩向上向下，a 越大，开口越小． 对称轴 2bx a=-（或x h =）． 顶点坐标(2ba-，24)4ac b a -或(h ，)k ． 单调性当0a >时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大（如图1）；知识互联网思路导航题型一：二次函数图象与其解析式系数的关系二次函数图象综合应用当0a <时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小（如图2）与坐标轴的交点① 与y 轴的交点：()0c ，； ② 与x 轴的交点：()()1200x x ，，，，其中12x x ，是方程()200ax bx c a ++=≠的两根．图象与x 轴的交点个数① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点． ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点． ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点．Ⅰ当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； Ⅱ当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．【引例】 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，判断a ，b ，c ，24b ac -，2a b +，a b c ++，a b c -+的符号【解析】 由图知：图象开口向上，所以0a >；函数的对称轴02bx a=->，所以0b <；函数图象与y 轴的交点小于0，所以0c <；函数图象与x 轴有两个不同的交点，所以240b ac ->；同时12bx a=-<，所以20a b +>；1x =所对应的函数值小于0，所以0a b c ++<； 1x =-所对应的函数值大于0，所以0a b c -+>【例1】 ⑴ 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点()a c ，在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限⑵ 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则一次函数b ax y +=与反比例函数xcy =在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ） 例题精讲典题精练A ．B ．C ．D ．⑶ 一次函数()0≠+=a b ax y 、二次函数bx ax y +=2和反比例函数()0≠=k xky 在同一直角坐标系中的图象如图所示，A 点的坐标为()02，-，则下列结论中，正确的是（ ）A ．k a b +=2B ．k b a +=C ．0＞＞b aD ．0＞＞k a【解析】 ⑴ B. ⑵ B ．⑶D.【例2】 ⑴ 如图，抛物线2y ax bx c =++，OA OC =，下列关系中正确的是（）A ．1ac b +=B ．1ab c +=C ．1bc a +=D ．1ac b+= ）⑵ 如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，若12OB OC OA ==，则b 的值为 ．【解析】 ⑴ A ．提示：把()0c -，代入2y ax bx c =++即可．⑵ 12-．提示：先把B ()0c ，代入2y ax bx c =++，得1ac b =--，再把()0c ，代入()()2y a x c x c =+-即可．【例3】 ⑴ 函数2y ax bx c =++与x y =的图象如图所示，有以下结论：①ac b 42-＞0；②01=++c b ；③063=++c b ；④当1＜x＜3时，()012＜c x b x +-+．其中正确的为．⑵ 已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列8 个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④23c b <；⑤()a b m am b +>+，（1m ≠的实数）；⑥20a b += ；⑦240b ac -<，⑧22()a c b +>，其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】 ⑴ ③④⑵ C ．对称轴在y 轴的右边得0ab <（由开口向下得0a <，故0b >），抛物线与y 轴交于正半轴得0c >，∴0abc <，①不正确；当1x =-时，函数值为0a b c -+<，②不正确； 当2x =时，函数值420a b c ++>，③正确；其实0x =和2x =到对称轴1x =的距离相等，函数值相等得42a b c c ++=，∴2b a =-代入0a b c -+<，32bc <，即23c b <，④正确；当1x =，∵1m ≠，2max y a b c am bm c =++>++，可知⑤正确；由对称轴12ba-=得20a b +=，故⑥正确；抛物线与x 轴有两个交点，故240b ac ->，故⑦不正确；0a b c ++>，0a b c -+<，故()220a c b +-<，故⑧不正确．对于二次函数()20y ax bx c a =++>（max y 表示y 的最大值，min y 表示y 的最小值） ⑴ 若自变量x 的取值范围为全体实数，如图①，函数在顶点处2bx a=-时，取到最值． ⑵ 若2bm x n a<-≤≤，如图②，当x m =，max y y =；当x n =，min y y =． ⑶ 若2bm x n a-<≤≤，如图③，当x m =，min y y =；当x n =，max y y =． ⑷ 若m x n ≤≤，且2b m n a -≤≤，22b b n m a a +>--,如图④，当2bx a=-，min y y =； 当x n =，max y y =．【引例】 ⑴ 若x 为任意实数，求函数221y x x =-+的最小值；⑵ 若12x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑶ 若01x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值；b 思路导航例题精讲题型二：二次函数的最值⑷ 若20x -≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑸ 若x 为整数，求函数221y x x =-+的最小值．【解析】 ⑴ 套用求最值公式（建议教师讲配方法）：当112224b x a -=-=-=⨯时，y 的最小值是24748ac b a -=． ⑵ 由图象可知：当12x ≤≤时，函数221y x x =-+单调递增，当1x =时，y 最小，且21112y =⨯-+=，当2x =时，y 最大，且222217y =⨯-+=．⑶ 由图象可知：当01x ≤≤时，函数221y x x =-+是先减后增，∴当14x =，y 最小，且78y =．∵当0x =时，20011y =⨯-+=；当1x =时， 211121y =⨯-+=>， ∴当1x =时，y 最大，且2y =．⑷ 由函数图象开口向上，且120<4x -≤≤，故当2x =-时，y 取最大值为11，当0x =时，y 取最小值为1．⑸ ∵112224b x a -=-=-=⨯，当0x =时，y 取最小值为1．【点评】 由此题我们可以得到：求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在给定区域内的最值，得看抛物线顶点横坐标2bx a=-是否在给定区域内．若在，则在顶点处取到一个最值，若不在，则在端点处取得最大值和最小值（其实求出端点值和顶点值，这三个值中最大的为最大值，最小的为最小值）．【例4】 ⑴ 已知m 、n 、k 为非负实数，且121=+=+-n k k m ，则代数式6822+-k k 的最小值 为 ．⑵ 已知实数x y ，满足2330x x y ++-=，则x y +的最大值为 ．⑶当12x ≤时，二次函数223y x x =--的最小值为（ ） A ．4- B ．154- C ．12- D ．12【解析】 ⑴∵m 、n 、k 为非负实数，且121=+=+-n k k m ，∴m 、n 、k 最小为0，当n =0时，k 最大为：21；∴210≤≤k ，故最小值为2.5．⑵ 4．提示：233y x x =--+，令()222314q x y x x x =+=--+=-++，当1x =-，q的最大值为4．本题属于x 为全体实数，求二次函数的最值，配方法要熟练掌握．⑶ B ．提示：二次函数的对称轴为1122b x a =-=>，且抛物线的开口向上，故12x =时，y 的最小值为154-．【例5】 如图，抛物线211y ax ax =--+经过点1928P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，且与抛物线221y ax ax =--相交于典题精练A B ，两点．⑴ 求a 值； ⑵ 设211y ax ax =--+与x 轴分别交于M N ，两点（点M 在点N 的左边），221y ax ax =--与x 轴分别交于E F ，两点（点E 在点F 的左边），观察M N E F ，，，四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；⑶ 设A B ，两点的横坐标分别记为A B x x ，，若在x 轴上有一动点()0Q x ，，且A B x x x ≤≤，过Q 作一条垂直于x 轴的直线，与两条抛物线分别交于C D ，两点，试问当x 为何值时，线段CD 有最大值？其最大值为多少？【解析】 ⑴ ∵点1928P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在抛物线211y ax ax =--+上，∴1191428a a -++=，解得12a =．⑵ 由⑴知12a =，∴抛物线2111122y x x =--+，2211122y x x =--．当2111022x x --+=时，解得12x =-，21x =．∵点M 在点N 的左边，∴2M x =-，1N x =． 当2111022x x --=时，解得31x =-，42x =． ∵点E 在点F 的左边，∴1E x =-，2F x =．∵0M F x x +=，0N E x x +=，∴点M 与点F 关于y 轴对称，点N 与点E 关于y 轴对称． ⑶ ∵102a =>．∴抛物线1y 开口向下，抛物线2y 开口向上． 根据题意，得12CD y y =-22211111122222x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又21221112211122y x x y x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消y可解得12x x ==，则当0x =时，CD 的最大值为2．【例6】 ⑴ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，求a 的取值范围⑵ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，试求a b c ++的取值范围．【解析】 ⑴ 根据二次函数图象可知0a <，又此二次函数图象经过(10)，，(01)， 则有0a b c ++=，1c =，得(1)b a =-+，∵0a <，据图象得对称轴在y 轴左侧，∴0b <∴()10a -+<，∴1a >-于是有10a -<<． ⑵ 由图象可知0a >．又顶点在y 轴的右侧，在x 轴的下方，则：02ba->，2404ac b a -<，∴0b <． 又∵当0x =时，1y c =-=当0y =时，1x =-，∴0a b c -+= ∴10a b =+> ∴10b -<<．∴202a b c a b c b b ++=-++=+ ∴220b -<<，即20a b c -<++<．精讲：数形结合思想在二次函数中的应用探究【探究对象】数形结合思想在二次函数中的应用 【探究过程】【探究1】数形结合思想在含参二次函数中求参数的取值范围的应用；二次函数的图像信息：⑴ 根据抛物线的开口方向判断a 的正负性．⑵ 根据抛物线的对称轴的位置判断a 与b 之间的关系． ⑶ 根据抛物线与y 轴的交点，判断c 的大小．⑷ 根据抛物线与x 轴有无交点，判断24b ac -的正负性．⑸ 根据抛物线所经过的特殊点的坐标，可得到关于a b c ，，的等式． ⑹ 根据抛物线的顶点，判断244ac b a-的大小．例. 2y ax bx c =++的图象如图所示．设|||||2||2|M a b c a b c a b a b =++--+++--， 则（ ）A ．0M >B ．0M =C ．0M <D ．不能确定M 为正，为负或为0分析：依题意得0a >，012ba<-<，∴0b <，20a b +>，20a b ->， 又当1x =时，0y a b c =++<，当1x =-时，0y a b c =-+>，故()()(2)(2)2()0M a b c a b c a b a b a b c =-++--+++--=--+<，故选C ．☆【探究2】数形结合思想在求解二次函数的区间最值中的应用；(区间最值问题为高中二次函数部分的重要内容，但在目前中考改革创新，部分高中思想下放初中的大 前提下，老师可以针对班里学生层次进行选讲) 区间最值分三种类型: “轴定区间定”、“轴动区间定”、“轴定区间动”；1、轴定区间定：2、轴动区间定：例．求2()22f x x ax =-+在[24]，上的最大值和最小值． 分析： 先求最小值．因为()f x 的对称轴是x a =，可分以下三种情况：⑴ 当2a <时，()f x 在[24]，上为增函数，所以min ()(2)64f x f a ==-； ⑵ 当24a ≤≤时，()f a 为最小值，2min ()2f x a =-；⑶ 当4a >时，()f x 在[24]，上为减函数，所以min ()(4)188f x f a ==-．综上所述：2min 64, (2)()2, (24)188, (4)a a f x a a a a -<⎧⎪=-⎨⎪->⎩≤≤最大值为(2)f 与(4)f 中较大者：(2)(4)(64)(188)124f f a a a -=---=-+，（1）当3a ≥时，(2)(4)f f ≥，则max ()(2)64f x f a ==-； （2）当3a <时，(2)(4)f f <，则max ()(4)188f x f a ==-．故max 64, (3)()88, (3)a a f x a a -⎧=⎨-<⎩≥ 点评：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴x a = 与区间[24]，的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较(2)f 与 (4)f 的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两 种情况． 3、轴定区间动：例．若函数2()22f x x x =-+当1t x t +≤≤时的最小值为()g t ，求函数()g t 当[32]t ∈-，时的最值． 分析：2()(1)1f x x =-+，按直线1x =与区间[1]t t +，的不同位置关系分类讨论：若1t >，则2min ()()(1)1f x f t t ==-+；若11t t +≤≤，即01t ≤≤，则min ()(1)1f x f ==； 若11t +<，即0t <，则2min ()(1)1f x f t t =+=+．∴22(1)1(1)()1(0)1(0)t t g t t t t ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩≤≤1 函数()g t 在(0)-∞，内是减函数，在[01]，内是常值函数，在(1)+∞，内是增函数，又(3)(2)g g ->，故在区间[32]-，内，min ()1g t =（当01t ≤≤时取得），max ()(3)10g t g =-=．小结：（i ）解此类问题时，心中要有图象；（ii ）含参数问题有两种：一种是“轴变区间定”，另一种是“轴定区间变”．讨论时，要紧紧抓住对称轴与所给区间的相对位置关系，这是进行正确划分的关键．☆【探究3】数形结合思想在求解二次函数的区间根中的应用；(区间根问题同样为高中二次函数部分的重要内容，但在目前中考改革创新，部分高中思想下放初中的大 前提下，老师可以针对班里学生层次进行选讲）二次方程的根其实质就是其相应二次函数的图像与x 轴交点的横坐标．因此， 可以借助于二次函数及其图像，利用数形结合的方法来研究二次方程的实根分布问题．设二次方程()002≠=++a c bx ax 的两个实根1x 、2x ()21x x ＜，ac b 42-=∆，方程对应的二次函数为()()02≠++=a c bx ax x f ．1．当方程有一根大于m ，另一根小于m 时，对应二次函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＜m af ；2．当方程两根均大于m 时，对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：0＞∆， m ab2-，()0＞m af ； 3．当方程两根均在区间()n m ，内，对应二次函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：0＞∆， n abm ＜＜2-，()0＞m af ，()0＞n af ； 4．当两根中仅有一根在区间()n m ，内，对应函数()x f 的图像有下列四种情形：方程系数所满足的充要条件： ()()0＜n f m f ⋅；5．当两根在区间[]n m ，之外时：对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＜m af ，()0＜n af ；6．当两根分别在区间()n m ，、()t s ，内，且s n ≤，对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＞m af ，()0＜n af ，()0＜s af ， ()0＞t af ．小结： 由函数图像与x 轴交点的位置写出相应的充要条件，一般考虑三个方面：①判别式ac b 42-=∆的符号；②对称轴abx 2-=的位置分布；③二次函数在实根分布界点处 函数值的符号．例．若方程01222=+-+m mx x 的两个根均大于2，求实数m 的取值范围． 分析：令()1222+-+=m mx x x f ，如图得充要条件：()()⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=≥+-⋅-=∆20124220124422＞＞m m m f m m ，解得4316-≤-m ．训练1. 已知：a b c >>，且0a b c ++=，则二次函数2y ax bx c =++的图象可能是下列图象中的（ ）A B C D【解析】 B ．由a b c >>，且0a b c ++=，可得0a >， 0c <，且过()10，点，由a b c >>，且a b c ++=0，利用不等式性质，可以进一步推出下列不等关系：a b a b >>--，∴112ba -<<， ∴11224b a -<-<．另一方法：∵a b >，∴330a b ->，330a b a b c -+++>，从而得到420a b c -+>．训练2.已知二次函数()2211y kx k x =+--与x 轴交点的横坐标为1x 、2x ()12x x <，则对于下列结论：⑴ 当2x =-时，1y =；⑵ 当2x x >时，0y >；⑶ 方程()22110kx k x +--=有两个不相等的实数根1x 、2x ；⑷11x <-，21x >-；⑸21x x -=确的结论是______.（只需填写序号）【解析】 ⑴⑶⑷．当2x =-时，代入得1y =，故⑴正确；因为k 的符号不确定，故开口不确定，因此无法确定当2x x >时，0y >，故⑵不正确；联立方程()22110y kx k x y ⎧=+--⎪⎨=⎪⎩可得()22110kx k x +--=，抛物线与x 轴有两个交点，即方程()22110kx k x +--=有两个不相等的实数根．当1x =-时，y k =-，若0k >，0y k =-<，若0k <，0y k =->，故⑷正确．21x x -=.训练3. 如图所示，二次函数2(2)5y x a x a =--+-的图象交x 轴于A 和B ，交y 轴于C ，当线段AB 最短时，求线段OC 的长．【解析】 设1(A x ，0)，2(B x ，0)，思维拓展训练(选讲)则1x ，2x 是方程2(2)50x a x a --+-=的两根，则12AB x x =-=== 当4a =时，AB 取最小值，即最短，此时，抛物线为221y x x =--， 可求得C 的纵坐标为1-，即线段OC 的长是1．训练4. 小明为了通过描点法作出函数21y x x =-+的图象，先取自变量x 的7个值满足：213276x x x x x x d -=-==-= ，再分别算出对应的y 值，列出表1：表1：x1x 2x3x4x 5x 6x7xy1 3 7 13 21 31 43记121m y y =-，232m y y =-，343m y y =-，454m y y =-，…； 121s m m =-，232s m m =-，343s m m =-，… ⑴ 判断1s 、2s 、3s 之间关系；⑵ 若将函数“21y x x =-+”改为“2(0)y ax bx c a =++≠”，列出表2：表2：x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x y1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y其他条件不变，判断1s 、2s 、3s 之间关系，并说明理由；⑶ 小明为了通过描点法作出函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象，列出表3： 表3： x 1x 2x 3x4x 5x 6x7x y 10 50 110 190 290 420 550由于小明的粗心，表3中有一个y 值算错了，请指出算错的y 值（直接写答案）．【解析】 ⑴ 123s s s ==；⑵ 123s s s ==．证明：()()222121111112m y y a x d b x d c ax bx c adx ad bd ⎡⎤⎡⎤=-=++++-++=++⎣⎦⎣⎦()222322122m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()2234331222m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()2245441223m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()22212111222s m m ad x d ad bd adx ad bd ad ⎡⎤⎡⎤=-=+++-++=⎣⎦⎣⎦ 同理22322s m m ad =-=，23432s m m ad =-=． ∴123s s s ==．⑶ 表中的420改为410．题型一 二次函数图象与其解析式系数的关系 巩固练习【练习1】 ⑴ 函数ky x=与22(0)y kx k k =+≠在同一坐标系中图象大致是图中的（ ）⑵ 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x++=在同一坐标系内的图象大致为（ ）【解析】 ⑴ A ．⑵ D ．【练习2】 如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，图象经点()12-，和()10，且与y 轴交于负半轴．⑴ 下列四个结论：①0a >；②0b >；③0c >；④0a b c ++=， 其中正确的结论的序号是 ． ⑵给出下列四个结论：①0abc <；②20a b +>；③1a c +=；④1a >．其中正确的结论的序号是 ．【解析】 ⑴图象开口向上得0a >；对称轴02ba->可得0b <；当0x =时，0y <，即0c <；由1x =时，0y =，即0a b c ++=．故①④．⑵由⑴可知0abc >；对称轴12ba-<，∴20a b +>；∵点()12-，和()10，在抛物线上，代入解析式得20a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩两式相加得1a c +=，得1a c =-，∵0c <，∴11c ->，即1a >．A BCD复习巩固故②③④．【练习3】 如图，表示抛物线2y ax bx c =++的一部分图象，它与x轴的一个交点为A ，与y 轴交于点B ．则b 的取值范围是（ ）A ．20b -<<B ．10b -<<C ．102b -<< D ．01b <<【解析】 B ．【练习4】 二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象大致如图所示，⑴判别a ，b ，c 和24b ac -的符号，并说明理由； ⑵如果OA OC =，求证：10ac b ++=【解析】 ⑴ 解：因为抛物线开口向上，0a >．因为抛物线与y 轴交于负半轴，0c <．又因为抛物线对称轴在y 轴的右侧，02ba->，即a ，b 异号，由0a >，得0b <． 因为抛物线与x 轴有两个交点，所以方程20ax bx c ++=有两个不相等的实根，所以其判别式240b ac ->．⑵ 证明：由于C 点坐标为()0c ，，而OA OC =，所以A 点坐标为()0c ，，把()0A c ，代入2y ax bx c =++，得20ac bc c =++． 因为0c ≠，所以10ac b ++=．题型二 二次函数的最值 巩固练习【练习5】 已知：关于x 的一元二次方程22(2)0x n m x m mn +-+-=①.⑴ 求证：方程①有两个实数根；⑵ 若10m n --=，求证方程①有一个实数根为1；⑶ 在⑵的条件下，设方程①的另一个根为a . 当2x =时，关于m 的函数1y nx am =+与()2222y x a n m x m mn =+-+-的图象交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），平行于y 轴的直线l 与1y 、2y 的图象分别交于点C 、D . 当l 沿AB 由点A 平移到点B 时，求CD 的最大值.【解析】 ⑴ 证明：()()22224n m m mn n ∆=---=.∵20n ≥， ∴0∆≥. ∴方程①有两个实数根.⑵ 解：由10m n --=，得1m n -=当x =1时，等号左边212n m m mn =+-+-()121210n m m m n n m m n m =+-+-=+-+=+-=. 等号右边=0. ∴左边=右边.∴ 1x =是方程①的一个实数根.⑶ 解：由求根公式，得22m n nx -±=.x =m 或x m n =-∵ 1m n -=， ∴ a m =.当2x =时，222122(1)22y n m m m m m =+=-+=+-，22222()()42(1)24y m n m m m m n m m m m m =+--+-=+--+=--+如图，当l 沿AB 由点A 平移到点B 时，22211273363(24CD y y m m m =-=--+=-++由12y y =，得222224m m m m +-=--+解得m =-2或m =1.∴ m A =-2，m B =1.∵-2<12-<1，∴当m =12-时，CD 取得最大值274.【测试1】 设二次函数()20y ax bx c a =++≠图像如图所示，试判断：24a b c a b c a b c b ac ++-+-、、、、、的符号．【解析】由图像可知0a >，102ba-<<，2404ac b a -<，2000a b c ⋅+⋅+<，0a b c -+=，0a b c ++>，于是20000040a b c a b c a b c b ac >><++>-+=->，，，，，．【测试2】 若01x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值；【解析】由图像可知：当01x ≤≤时，函数221y x x =-+是先减后增，∴当14x =，y 最小，且78y =． ∵当0x =时，20011y =⨯-+=当1x =时， 211121y =⨯-+=>， ∴当1x =时，y 最大，且2y =．课后测。
二次函数的图像和性质
二次函数的图像和性质一、二次函数的一般形式二次函数是一种形式为f(x)=ax2+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a eq0。
二、二次函数的图像1.抛物线二次函数的图像是一条抛物线。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
2.判别法利用二次函数的判别式 $\\Delta = b^2 - 4ac$ 的正负性可以确定二次函数的图像开口方向和与x轴的交点情况。
3.最值点二次函数的顶点为抛物线的最值点，当a>0时，最小值在顶点处取得；当a<0时，最大值在顶点处取得。
顶点的横坐标为 $-\\frac{b}{2a}$，纵坐标为 $f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$。
三、二次函数的性质1.对称轴二次函数的对称轴为直线 $x = -\\frac{b}{2a}$，即抛物线关于对称轴对称。
2.单调性当a>0时，二次函数在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减；当a<0时，二次函数在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增。
3.零点二次函数的零点为方程f(x)=0的解，可以利用求根公式 $x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ 求得。
4.图像的平移如f(x)=a(x−ℎ)2+k，其中(ℎ,k)为平移后的顶点坐标，抛物线上下平移，方向与a的正负有关。
四、应用二次函数在几何、物理、经济等领域有着广泛的应用。
例如几何问题中的抛物线轨迹、物体自由落体运动方程、经济学中的成本、收益关系等均可用二次函数描述。
结语二次函数作为高中数学中重要的函数类型，在图像和性质上有着独特的表现，通过对其图像和性质的深入理解，可以更好地应用于解决实际问题。
希望本文的介绍能帮助读者更好地掌握二次函数的知识。
二次函数图像性质与应用
二次函数图像性质与应用二次函数，也叫做一元二次方程，是中学数学中非常重要的一门知识。
它的图像是一条叫做抛物线的曲线，也广泛应用于物理学、经济学、生物学等领域。
在这篇文章中，我将会介绍二次函数的图像性质以及在现实生活中的应用。
一、二次函数的图像性质二次函数是以 x 的二次方作为自变量的函数。
它的一般式为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c 都是实数，a 不等于 0。
这个式子是抛物线的标准式，根据 a 的正负可以确定抛物线的形状。
如果 a 大于 0，抛物线开口朝上；如果 a 小于 0，抛物线开口朝下。
除了开口方向，二次函数还有一些其他的图像性质。
以下是一些重要的性质：1、对称轴二次函数的对称轴是一个垂直于 x 轴的直线。
它过抛物线的顶点，用下面的公式可以求出它的方程：x = -b / 2a2、零点二次函数的零点就是方程 y = 0 的解。
抛物线和 x 轴的交点就是它的零点。
用下面的公式可以求出它的值：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a如果判别式 b²-4ac 大于 0，那么二次函数就会有两个不同的零点；如果判别式等于 0，那么二次函数有一个二重根；如果判别式小于 0，那么二次函数没有实数解。
3、极值二次函数的极值就是抛物线的顶点。
如果 a 大于 0，那么它的极小值就是 y = c - (b²/4a)，对应的 x 坐标是 -b/2a；如果 a 小于 0，那么它的极大值就是 y = c - (b²/4a)，对应的 x 坐标也是 -b/2a。
二、二次函数在现实生活中的应用二次函数在现实生活中的应用非常广泛。
以下是几个例子。
1、建筑设计建筑设计中常常需要使用二次函数。
比如说，建筑师需要设计一个带拱形的门，那么他们会使用二次函数来描述这个门的形状。
不同的二次函数可以绘制出不同形状的门，用于满足客户的设计需求。
2、股市预测股市是一个非常复杂的市场，股票价格每天都有不同的波动。
(完整版)二次函数图象和性质知识点总结
二次函数的图象和性质知识点总结一、知识点回顾1. 二次函数解析式的几种形式：①一般式：（a 、b 、c 为常数，a ≠0） ②顶点式：（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标。
③交点式：，其中是抛物线与x 轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a ≠0，（也叫两根式）。
2. 二次函数的图象 ①二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。
②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。
③在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。
然后取图象与y 轴的交点（0，c ），及此点关于对称轴对称的点（2h ，c ）；如果图象与x 轴有两个交点，就直接取这两个点（x 1，0），y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y a x x x x =--()()12x x 12，ax bx c 20++=y ax bx c =++2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2（x 2，0）就行了；如果图象与x 轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y 轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。
a ＞0 a ＜0 a ＞0 a ＜0(1)抛物线开口向上，(1)抛物线开口向下，(1)抛物线开口(1)抛物线开4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法：将解析式化为的形式，顶点坐标为y ax bx c =++2y a x h k =-+()2（h ，k ），对称轴为直线，若a ＞0，y 有最小值，当x ＝h 时，；若a ＜0，y 有最大值，当x ＝h 时，。
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二次函数的图象特点及其应用
二次函数的图象特点及其应用
课题名称: 二次函数的图象特点及其应用
课题的研究及意义:
数学是一门很有用的学科。
古往今来，人类社会都是在不断了解和探究数学的过程中得到发展进步的。
数学对推动人类文明起了举足轻重的作用。
数学是人们用来解决实际问题的，其实数学问题就产生在生活中。
比如说，上街买东西自然要用到加减法，修房造屋总要画图纸。
类似这样的问题数不胜数，这些知识就从生活中产生，最后被人们归纳成数学知识，解决了更多的实际问题。
现在，就让我们一起领略数学中二次函数的无穷魅力
课题研究内容:
1.发展史:函数就是在某变化过程中有两个变量X和Y，变量Y随着变量X一起变化，而且依赖于X。
如果变量X取某个特定的值，Y依确定的关系取相应的值，那么称Y是X的函数。
这一要领是由法国数学家黎曼在19世纪提出来的，但是最早产生于德国的数学家菜布尼茨。
他和牛顿是微积分的发明者。
17世纪末，在他的文章中，首先使用了“function" 一词。
翻译成汉语的意思就是“函数。
不过，它和我们今天使用的函数一词的内涵并不一样，它表示”幂”、“坐标”、“切线长”等概念。
直到18世纪，法国数学家达朗贝尔在进行研究中，给函数重新下了一个定义，他认为，所谓变量的函数，就是指由这些变量和常量所组成的解析表达式，即用解析式表达函数关系。
后来瑞士的数学家欧拉又把函数的定义作了进一步的规范，他认为函数是能描画出的一条曲线。
我们常见到的一次函数的图像、二次函数的图像、正比例函数的图像、反比例的图像等都是用图像法表示函数关系的。
如果用达朗贝尔和欧拉的方法来表达函数关系，各自有它们的优点，但是如果作为函数的定义，还有欠缺。
因为这两种方法都还停留在表面现象上，而没有提示出函数的本质来。
19世纪中期，法国数学家黎紧吸收了莱布尼茨、达朗贝尔和欧拉的成果，第一次准确地提出了函数的定义：如果某一个量依赖于另一个量，使后一个量变化时，前一个量也随着变化，那么就把前一个量叫做后一个量
的函数。
黎曼定义的最大特点在于它突出了就是之间的依赖、变化的关系，反映了函数概念的本质属性。
2. 定义:表达式如y=ax^2+bx+c (a≠0,且a,b,c是常数)的函数,我们把y 叫做x的一元二次函数. 二次函数有三种表达式:
(1)一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
(2)顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）对于二次函数y=ax^2+bx+c 其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)</CA>
(3)交点式：y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A（x?，0）和B（x?，0）的抛物线
其中x1，2= -b±√b^2－4ac
3.图象特征:一条抛物线,对称轴是x=-b/2a,顶点为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
当a>0开口向上,在对称轴的左侧y随x的增大而减小, 在对称轴的右侧y随x的增大而增大
当a<0开口向下, 在对称轴的左侧y随x的增大而增大,在对称轴的右侧y随x的增大而减小.
4借助二次函数的图象和性质解决有关生活实际问题的基本方法：
数学模型转化实际问题（二次函数的图象和性质）
实际问题（二次函数的图象和性质）回归数学模型
转化关键点：正确建立直角坐标系
1）能够将实际距离（准确的）转化为点的坐标；
2）选择运算简便的方法。
5.应用: 二次函数如空气般,无时无刻不萦绕于我们身边.只是它太平凡,太普通.而使我们似乎觉察不到它在我们身旁.我们无时无刻不在利用二次函数解决难题.
(1)商业:然而有谁理解二次函数的奥妙.二次函数在生活中有许多应用.比如在商场上,二次函数就为必不可少的工具.在实际生活和经济活动中，很多问题都与二次函数密切相关。
在生活中，很多盈利问题都与二次函数有关，尤其是图象。
利用二次函数我们可以解决许多盈利问题。
如商业利润与广告投资的关系等等.
例如:某企业信息部进行市场调查发现:信息一:如果单独投资A种产品,则所获利润y（A）与投资金额x之间存在正比例关系：y(A)=kx,并且当投资5万元时，可获利润2万元并且当投资2万元时，可获利润2。
4
万元；当投资4万元时；可获利润3。
2万元。
而该企业要对A。
B两种产品进行10万元投资，怎样才可获得最大利润。
假如你无法熟练掌握二次函数，那么你将会失去了商机，用最少投入，获得最大产出，这就是效率。
假如，你是该企业成员，该如何设计投资方案呢？
设：能获得最大利润为y，则=y(A)+y(B)投资产品x万元，则产品（10-x)万元。
则y=2/5(10-x)-0.4x2+1.6x=-0.4(x-3/2)2+4.9由二次函数的知识，我们能很明白，当B投资3/2万元，A投资8。
5万元时，就能获得最大利润。
假如你体会并能掌握二次函数的魄力，解决诸如此类的商业问题，就是小菜一碟。
然而，这不过是二次函数被利用于商业竞争的一小部分，二次函数的魄力又何仅限于此呢？
(2)建筑:二次函数在建筑中的运用十分广泛。
如某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。
施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。
再如人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷水水流的最高点P到水枪AB所在直线的距离为1m，且水流的着地点C距离水枪底部B的距离为5/2m,那么，水流的最高点距离地面是多少米？水流沿抛物线落下，容易联想到二次函数的图象，从而用有关二次函数的知识解决问题。
二次函数与拱桥问题也有密切联系。
也可由二次函数求出桥的高低与游船通行的关系。
(4)战争:战争中也不乏运用二次函数的例子。
如某防空部队进行射击训练时，若导弹运行轨道为一抛物线，可求该抛物线的解析式，再运用函数知识预知导弹能否命中目标。
（5）体育：二次函数也与体育息息相关。
先就篮球来说说：抛物线是指投篮出手后，球在空中飞行的弧形轨迹，以距离投篮为例，可归纳为低，中高三种弧线。
1。
球的飞行路线最短，力量容易控制，但由于飞行路线低平，篮圈暴露在求下面的面积很小，不易投中。
2。
中弧线：球飞行弧线的最高点大致在篮板的上沿，在一条水平线上球篮的大部分暴露在球的下面，这是一种比较适宜的抛物线。
3。
高弧线：球接近于垂直下落，篮圈几乎全暴露在球的下面，球容易入篮。
但球的飞行路线太平，不宜控制，实际会降低命中率。
上述投篮的抛物线，只是原地投篮的一种规律，抛物线的高低还与出手力量有关。
在实际应用中，应根据不同的距离，队员的高低，跳投时跳起的高度，不同的投篮方式及防守，干扰等采用不同的抛物线投篮。
生活中也不乏用二次函数的知识来计算体育成绩的例子
如一名运动员推铅球，铅球在点A处出手时球距离地面约为1 m，铅球落地在点B处，铅球运行中在运动员前4m处到达最高点C，最高点高为3m。
已知铅球经过的路线是抛物线，你能算出该运动员的成绩吗？再如一位运动员在距篮下4m处起跳投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离是2.5m时，球达到最大高度3.5m ,已知篮筐中心到地面的距离3.05m , 问球出手时离地面多高时才能中？以上二问题都可先建立坐标系，再运用二次函数相关知识得出结论。
类似的还有跳远，足球射门，羽毛球等体育运动。
总结:
数学的魄力，在于其古老与神奇，总是与美联系在一起，只要怀有一颗欣赏之心，就会在生活的每一个角落捕捉到其“魅影”——抛物线。
这种魄力是独特的，内在的，正如英国著名哲学家，数学家罗素所说：“数学，如果正确看它，不但拥有真理，而且也具有至高无上的美，正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美。
这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐那种华丽修饰，它可以纯净到高崇的地步，能够达到严格的只有伟大的的艺术能显示的那种完美的境界。
”
二次函数能于历史长河之中经风暴而不朽，难以比拟的艺术美为其塑造朦胧而迷幻的形象，但更为主要的是二次函数在商业，建设，体育等日常生活中不可代替的地位。
在生活中，只要我们善于观察，善于思考，将所学知识与生活结合起来将会感到数学的乐趣。