三角形、平行四边形面积的向量公式

三角形、平行四边形面积的向量公式

提到三角形的面积，C ab ah S sin 2

121==应该算最为简捷的两个，尤其是后者，在已知三角形的两边 及其夹角（正弦值）的条件下求三角形面积，常常与正、余弦定理互动也是情理之中的事．下面我们通过 一道高考题，伺机请出三角形面积公式的向量代言人．

引例 （2010年高考辽宁卷8）平面上B A O ,,三点不共线，设=OA a ，=OB b ，则OAB ∆的面积等 于（ ）

A ．222)(||||b a b a ∙-

B ．222)(||||b a b a ∙+

C ．222)(||||21b a b a ∙-

D ．222)(||||2

1b a b a ∙+ 解：)cos 1(21sin 21222C OB OA C OB OA S OABC -=⋅=∆=-=C b a b a 22222cos ||||||||2

1 222)(||||2

1b a b a ∙-．选C ． 因为2222||,||b b a a ==，所以上述公式还可以化为222)(2

1b a b a ∙-，意识到没有，之所以写成选项中的形式，可能是怕有同学误认为222)(ab b a =，随手接着一化，得OAB ∆的面积等于0！然后开始怀疑人生．

其实这道高考题是有渊源的，现在让它卸了妆，它就变成这样子：已知ABC ∆中，=a ，=b ，试用b a ,的向量运算式子表示ABC ∆的面积，即=∆ABC S ____________________．它是谁？它是2004年全国高中数学联赛湖南预赛第12题．好尴尬呀，说出去的话泼出去的水，悔不该揭它老底儿！

上述公式便是三角形面积的向量代言人之一，当题目含有公式需要的向量条件时，可考虑让它出手．

例1 （2012年全国高中数学联赛5）在ABC ∆中，若7=⋅6=-，则ABC ∆面积的最大值为 ．

分析：因为7=⋅，所以只需求出||||⋅的最大值即可.

解：6=-两边平方，得362||||22=∙-+，所以50||||22=+，所以(2

1||||≤⋅25)||||22=+，当且仅当5||||==时，等号成立． 所以ABC ∆面积的最大值为127252

122=-． 评注：本例还可以用几何法求解：记BC 的中点为M ，则()

+=21,

因为644=⋅+-=+，所以8=+，从而4=，所以

122

1=≤∆S ABC （当且仅当BC AM ⊥，即5==AB AC 时，取等号），故所求面积最大值为12.此解法虽有点偏离主题，但还是十分巧妙滴.

变式1 （2015年福建高三模拟）在ABC ∆中，已知2=BC ，1=⋅AC AB ，则ABC ∆面积的最大值是 ．

解：依题意2=-=BC ，两边平方得42||||22=∙-+AC AB AC AB ，所以6||||22=+AC AB ，所以(2

1||||≤⋅3)||||22=+，当且仅当3||||==时，等号成立． 所以ABC ∆面积的最大值为2132

122=-． 例2 （湖北黄冈2017届高三期末）已知)22cos 2,68cos 2(),67cos ,23(cos ︒︒=︒︒=，则ABC ∆的面积为 ．

分析：本例是已知三角形两边对应向量的坐标，求三角形的面积.若有三角形面积的坐标表达式，把坐标代入即可获解.鉴于此，下面就现场推导一下三角形面积公式的坐标表示：已知在ABC ∆中，),(),,(2211y x y x ==，则=∆ABC S ||2

1)())((2112212212122222121y x y x y y x x y x y x -=+-++，即三角形的面积等于坐标交叉积的差的绝对值的一半，至于其中两个向量的方向不影响面积值，如：给出,或,的坐标，上述面积公式不变.上述公式是三角形面积的向量坐标代言人.

解：ABC ∆的面积为|68cos 67cos 222cos 2cos23|2

1︒︒-︒︒|22sin 23sin 22cos cos23|︒︒-︒︒= )22cos(23︒+︒=22cos45=

︒=． 评注：本例若是求以BC AB ,为邻边的平行四边形的面积，易知其面积是=∆ABC S 2||1221y x y x -，它是平行四边形面积的向量坐标代言人.

变式2 （自编题）已知平行四边形ABCD 的四个顶点为)3,6(),3,3(),5,4(),1,1(D C B A ----，O 为坐标原点，求平行四边形ABCD 和AOB ∆的面积.

分析：求平行四边形ABCD 的面积，可先求出向量AC AB ,，再按相应面积公式求解. 求AOB ∆的面积，可先求出向量OB OA ,，再按相应面积公式求解.

解：因为)4,4(),6,3(-=--=AC AB ，所以平行四边形ABCD 的面积为36|4)6()4()3(|=⨯---⨯-.

因为)5,4(),1,1(--=-=，所以AOB ∆的面积为2

9|)4(1)5()1(|21=-⨯--⨯-. 变式3 （自编题）在平行四边形ABCD 中，已知)4,0(),2,4(==，则该平行四边形的面积为（ ）

A ．2

B ．3

C ．5

D ．8

分析：本题是已知平行四边形两条对角线对应向量的坐标，求平行四边形面积问题.比较自然的一个思路是：先求出两邻边对应向量的坐标，然后代入公式求解.但若是有一个专门的用对角线向量的坐标表示的

面积公式，岂不一代了之.现在就来推导：设),(),,(2211y x BD y x AC ==，则),(21),,(212211y x OD y x OC == ，所以81=∆COD S ||1221y x y x -，所以COD ABCD S S ∆=4平行四边形||2

11221y x y x -=，竟然与三角形的向量坐标代言人长得一模一样，好想弱弱地问一句：你俩穿一条裤么？

解：该平行四边形的面积为8|0244|2

1=⨯-⨯．选D ． 变式4 （陕西延安2017届高三质检）在OAB ∆中，O 为坐标原点，⎥⎦

⎤ ⎝⎛∈2,0),1,(sin ),cos ,1(πθθθB A ，则当OAB ∆的面积达最大值时，=θ（ ）

A ．6π

B ．4π

C ．3π

D ．2

π 解：OAB ∆的面积为θθθ2sin 4121|cos sin 11|21-=-⨯，所以当=θ2

π时，OAB ∆的面积达最大值．选D ．