第二章-泊松过程-随机过程
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times)
1. 顺序统计量(the order statistics)
设 Y1,Y2,, Yn 是 n 个随机变量，如果 Y(k)是 Y1,Y2,, Yn 中的第 k 个最 小值，i=1,2,,n,则称 Y(1),Y(2),, Y(n)是对应于 Y1,Y2,, Yn 的顺序统计量 (the order statistics corresponding to Y1,Y2,, Yn)。
因此
条件（3）（4）
＝ P0 (t)(1 h o(h)) P0 (t)(1 h) o(h)
P0 (t
h) h
P0 (t)
P0 (t)
o(h) h
令 h 0得 P0(t) P0 (t) 解得 P0 (t) et
类似地，当n 1时 Pn (t h) P{N (t h) n}
定义 2.1.1 (1) N(0)=0 (2)过程有独立增量(3)在任意长度为 t 的区间中
事 件 的 个 数 服 从 均 值 为 t 的 泊 松 分 布 。 即 对 一 切 s,t 0 ，
P{N(t s) N (s) n} et (t)n , 0, n 0,1, 2,
X1=x1
X2=x2
x1
x1+ x2
Xn-1=xn-1 x1+ x2+…+ xn-1
Xn>t x1+ x2+…+ xn-1+t
所以，从上可得，Xn 也是一个具有均值 1/的指数随机变量，且 Xn
独立于 X1, …, Xn-1。
注记 这个命题不应使我们惊奇。平稳独立增量的假定等价于说在概率 意义上过程在任何时刻都重新开始，即从任何时刻起过程独立于先前已 发生的一切(由独立增量)，且有与原过程完全一样的分布(由平稳增量)。 换言之，过程无记忆，因此指数间隔是预料之中的。
计数过程有独立增量（independent increments）：计数过程在不相交的时 间区间中发生的事件个数是独立的。
计数过程有平稳增量(stationary increments)：在任一时间区间中发生的事 件个数的分布只依赖于时间区间的长度。
（二）泊松过程(the Poisson process) 1．泊松过程第一个定义
定义 2.1.1 如果计数过程{N(t),t≥0}满足 (1) N(0)=0 (2)过程有独立增量， (3)在任意长度为 t 的区间中事件的个数服从均值为t 的泊松分布。
即对一切 s,t 0， P{N(t s) N(s) n} et (t)n , 0,n 0,1,2,
P{在[0, s]内有一个事件,在(s,t]内没有事件} P{N (t) 1}
P{在[0, s]内有一个事件}P{在(s,t]内没有事件} P{N (t) 1}
se s e (t s ) tet
s t
可以推广这个结果．
定理 2.3.1 在已知 N(t) n 的条件下，n 个来到时刻 S1,S2,, Sn，与相 应于 n 个(0,t)上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分 布。
第二章（第三讲） 泊松过程
一、 计数过程（a counting process)与泊松过程(the Poisson process) （一）计数过程（a counting process) 定义：随机过程{N(t),t≥0}称为一个计数过程，若 N(t)表示到时刻 t 为止已 发生的“事件”的总数。 计数过程性质：⑴N(t)≥0⑵N(t)是整值⑶若 s<t,则 N(s)≤N(t)⑷当 s<t, N(t)-N(s)等于(s,t]中发生事件个数.
定理 2.3.1 在已知 N(t) n 的条件下，n 个来到时刻 S1,S2,, Sn，与相
应于 n 个(0,t)上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分布。
证明 我们来计算给定 N(t) n 的条件时，S1,S2,, Sn 密度函数，设
0 t1 t2 tn1 t ，且取 hi 充分小使得ti hi ti1,i 1, 2, , n.。现在 P{ti Si ti hi ,i 1, 2, , n | N (t) n}＝
n
布的指数随机变量。Sn Xi ,n 1，第 n 个事件在时刻 Sn 发生，N(t) i1
表示到时刻 t 为止已发生的“事件”的总数，即 N (t) sup{n : Sn t}， 则
计数过程{N(t),t≥0}是参数为的泊松过程。
三、来到时刻的条件分布（conditional distribution of the arrival
计量 Y(1),Y(2),, Y(n)的联合密度函数是
f ( y1, y2 , , yn ) tnn!,0 y1 y2 yn t
2. 来到时刻的条件分布（conditional distribution of the arrival times)
假设已知到时间 t 泊松过程恰发生了一个事件，我们要确定这一事件
命题：若 Yi，i=1,2,,n,是独立同分布的连续随机变量，具有概率密度 f，则顺序统计量 Y(1),Y(2),, Y(n)的联合密度为
n
f ( y1, y2 , , yn ) n! f ( yi ), y1 y2 yn i 1
证明： (1)对 y1 y2 yn，如果(Y1,Y2,, Yn)等于(y1,y2,,yn)的 n!个排 列中的任一个，Y(1),Y(2),, Y(n)将等于(y1,y2,,yn)；(2)当( yi1 , yi2 , , yin )是 (y1,y2,,yn)的一个排列时，Y1,Y2,, Yn 等于( yi1 , yi2 , , yin )的概率密度是
证明：P{X1>t}= P{ N(t)=0}=et P{ X2>t| X1=s}= P{在(s,s+t]内没有事件| X1=s}=P{在(s,s+t]内没有
事件}(由独立增量)= et (由平稳增量)
所以，从上可得，X2 也是一个具有均值 1/的指数随机变量，且 X2
独立于 X1。
P{ Xn>t| X1=x1, , Xn-1=xn-1 }= P{在(x1++xn-1, x1++xn-1+t]内没有事 件| X1=x1, …, Xn-1=xn-1 }=P{在(x1++xn-1, x1++xn-1+t]内没有事件} (由独立增量)= et (由平稳增量)
n
f ( yi1 ) f ( yin ) f ( yi ) ， 所 以 Y(1),Y(2),, Y(n) 的 联 合 密 度 为 i1 n
f ( y1, y2 , , yn ) n! f ( yi ), y1 y2 yn i1
若 Yi，i=1,2,,n,都是(0,t)上均匀分布，则由上面的讨论可知，顺序统
<n-1 >1
n-1 1
P{N(t) n, N(t h) N(t) 0}
n
0
t
t+h
P{N(t) n 1, N(t h) N(t) 1} P{N(t h) n, N(t h) N(t) 2}＝
P{N(t) n}{N(t h) N(t) 0} P{N(t) n 1}{N(t h) N(t) 1}+ ⑴N(0)=0⑵过程有平稳增
Pn (t ) Pn (t ) Pn1(t ) 于是
Pn (t ) et ( Pn1(t )etdt Cn )
P1(t ) et ( P0 (t )etdt C1 )＝et ( etetdt C1 )＝et (t C1 )，
n!
定义 2.1.2 计数过程{N(t),t≥0}称为具有速率, 0泊松过程，如果
⑴N(0)=0
⑵过程有平稳增量与独立增量
⑶P{N(h)=1}=λh+o(h) ⑷P{N(h)≥2}= o(h)
定理 2.1.1 定义 2.1.1 与 2.1. 2 是等价的。
证明 首先我们证明定义 2.1. 2 蕴含定义 2.1.1。为此设
P{N(t h) n 2, N(t h) N(t) 2}= Pn (t)(1 h) Pn1(t)h o(h) 量与独立增量⑶ P{N(h)=1}=λh+o(h)⑷
Pn (t
h) h
Pn (t )
Pn (t )
Pn1(t )
o(h) h
(4)P{N(h)≥2}= o(h)
(n 1)!
证明：利用关系 N (t) n Sn t
注意到第 n 个事件在时刻 t 或 t 之前发生当且仅当到时间 t 已发
生的事件数目至少是 n，即 N (t) n Sn t
因此 P{Sn
t}
P[N (t)
n}
et
jn
( t ) j
j!
,
求导得 Sn 的密度函数
因
P1 (0)
0 ，得 0
C1， P1(t)
te t
．用数学归纳法可证明 Pn (t)
et
(t)n
n!
于是定义 2．1．2 蕴含了定义 2．1．1。逆命题的证明留给读者去作。
二 、 来 到 间 隔 与 等 待 时 间 的 分 布 (interarrival and waiting time distributions) 1. 来到间隔时间的分布(interarrival time distributions)
f (t ) et ( t ) j1 et ( t ) j et ( t )n1
jn
( j 1)! jn
j!
(n 1)!
3. 泊松过程第三个定义 命题 2.2.1 又给我们定义泊松过程的另一个方法。
泊松过程的第三个等价定义：{Xn,n1}是一列均值为 1/的独立同分
Pn (t) P{N (t) n}
按以下方法导出一个关于 P0 (t)的微分方程：
P0 (t h) P{N (t h) 0} P{N (t) 0, N (t h) N (t) 0}
独立增量
P{N(t) 0}P{N(t h) N(t) 0}
考虑一泊松过程，以 X1 记第一个事件来到的时刻。对 n1 以 Xn 记第 n－1 个到第 n 个事件之间的时间。序列{Xn,n1}称为来到间 隔序列（the sequence of interarrival times）。
命题 2.2.1 Xn,n=1,2,,为独立同分布的均值为 1/的指数随机变量。
n!
则称计数过程{N(t),t≥0}为具有速率 的泊松过程。
注意，从条件(3)可知泊松过程有平稳增量且 E[N(t)] t ，这正是称 为此过程的速率的原因(单位时间内发生的事件的平均个数)。
2．泊松过程第二个定义 为了确定一个任意的计数过程是一泊松过程，必须证明它满足条件
(1)，(2)及(3)。条件(1)只是说明事件的计数是从时刻 0 开始的。条件(2) 通常可从我们对过程了解的情况去直接验证。然而全然不清楚如何去确 定条件(3) 是否满足。为此泊松过程的一个等价定义将是有用的。
发生的时刻的分布。因为泊松过程有平稳独立增量，看来有理由认为
[0,t]内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相同。换言之，这个
事件的来到时刻应在[0,t]上均匀分布。容易验证此事，因为对s t 有
P{X1
s
|
N (t)
1}
P{X1 s, N (t) 1} P{N (t) 1}
2.等待时间的分布(waiting time distributions)
第 n 个事件来到的时间记为 Sn，也称为第 n 个事件的等待时间。则
n
Sn Xi , n Biblioteka Baidu 1 i 1
命 题 Sn 有 参 数 为 n 与 的 — 分 布 ， 即 其 概 率 密 度 为
f (t) (t)n1 et , t 0
1. 顺序统计量(the order statistics)
设 Y1,Y2,, Yn 是 n 个随机变量，如果 Y(k)是 Y1,Y2,, Yn 中的第 k 个最 小值，i=1,2,,n,则称 Y(1),Y(2),, Y(n)是对应于 Y1,Y2,, Yn 的顺序统计量 (the order statistics corresponding to Y1,Y2,, Yn)。
因此
条件（3）（4）
＝ P0 (t)(1 h o(h)) P0 (t)(1 h) o(h)
P0 (t
h) h
P0 (t)
P0 (t)
o(h) h
令 h 0得 P0(t) P0 (t) 解得 P0 (t) et
类似地，当n 1时 Pn (t h) P{N (t h) n}
定义 2.1.1 (1) N(0)=0 (2)过程有独立增量(3)在任意长度为 t 的区间中
事 件 的 个 数 服 从 均 值 为 t 的 泊 松 分 布 。 即 对 一 切 s,t 0 ，
P{N(t s) N (s) n} et (t)n , 0, n 0,1, 2,
X1=x1
X2=x2
x1
x1+ x2
Xn-1=xn-1 x1+ x2+…+ xn-1
Xn>t x1+ x2+…+ xn-1+t
所以，从上可得，Xn 也是一个具有均值 1/的指数随机变量，且 Xn
独立于 X1, …, Xn-1。
注记 这个命题不应使我们惊奇。平稳独立增量的假定等价于说在概率 意义上过程在任何时刻都重新开始，即从任何时刻起过程独立于先前已 发生的一切(由独立增量)，且有与原过程完全一样的分布(由平稳增量)。 换言之，过程无记忆，因此指数间隔是预料之中的。
计数过程有独立增量（independent increments）：计数过程在不相交的时 间区间中发生的事件个数是独立的。
计数过程有平稳增量(stationary increments)：在任一时间区间中发生的事 件个数的分布只依赖于时间区间的长度。
（二）泊松过程(the Poisson process) 1．泊松过程第一个定义
定义 2.1.1 如果计数过程{N(t),t≥0}满足 (1) N(0)=0 (2)过程有独立增量， (3)在任意长度为 t 的区间中事件的个数服从均值为t 的泊松分布。
即对一切 s,t 0， P{N(t s) N(s) n} et (t)n , 0,n 0,1,2,
P{在[0, s]内有一个事件,在(s,t]内没有事件} P{N (t) 1}
P{在[0, s]内有一个事件}P{在(s,t]内没有事件} P{N (t) 1}
se s e (t s ) tet
s t
可以推广这个结果．
定理 2.3.1 在已知 N(t) n 的条件下，n 个来到时刻 S1,S2,, Sn，与相 应于 n 个(0,t)上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分 布。
第二章（第三讲） 泊松过程
一、 计数过程（a counting process)与泊松过程(the Poisson process) （一）计数过程（a counting process) 定义：随机过程{N(t),t≥0}称为一个计数过程，若 N(t)表示到时刻 t 为止已 发生的“事件”的总数。 计数过程性质：⑴N(t)≥0⑵N(t)是整值⑶若 s<t,则 N(s)≤N(t)⑷当 s<t, N(t)-N(s)等于(s,t]中发生事件个数.
定理 2.3.1 在已知 N(t) n 的条件下，n 个来到时刻 S1,S2,, Sn，与相
应于 n 个(0,t)上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分布。
证明 我们来计算给定 N(t) n 的条件时，S1,S2,, Sn 密度函数，设
0 t1 t2 tn1 t ，且取 hi 充分小使得ti hi ti1,i 1, 2, , n.。现在 P{ti Si ti hi ,i 1, 2, , n | N (t) n}＝
n
布的指数随机变量。Sn Xi ,n 1，第 n 个事件在时刻 Sn 发生，N(t) i1
表示到时刻 t 为止已发生的“事件”的总数，即 N (t) sup{n : Sn t}， 则
计数过程{N(t),t≥0}是参数为的泊松过程。
三、来到时刻的条件分布（conditional distribution of the arrival
计量 Y(1),Y(2),, Y(n)的联合密度函数是
f ( y1, y2 , , yn ) tnn!,0 y1 y2 yn t
2. 来到时刻的条件分布（conditional distribution of the arrival times)
假设已知到时间 t 泊松过程恰发生了一个事件，我们要确定这一事件
命题：若 Yi，i=1,2,,n,是独立同分布的连续随机变量，具有概率密度 f，则顺序统计量 Y(1),Y(2),, Y(n)的联合密度为
n
f ( y1, y2 , , yn ) n! f ( yi ), y1 y2 yn i 1
证明： (1)对 y1 y2 yn，如果(Y1,Y2,, Yn)等于(y1,y2,,yn)的 n!个排 列中的任一个，Y(1),Y(2),, Y(n)将等于(y1,y2,,yn)；(2)当( yi1 , yi2 , , yin )是 (y1,y2,,yn)的一个排列时，Y1,Y2,, Yn 等于( yi1 , yi2 , , yin )的概率密度是
证明：P{X1>t}= P{ N(t)=0}=et P{ X2>t| X1=s}= P{在(s,s+t]内没有事件| X1=s}=P{在(s,s+t]内没有
事件}(由独立增量)= et (由平稳增量)
所以，从上可得，X2 也是一个具有均值 1/的指数随机变量，且 X2
独立于 X1。
P{ Xn>t| X1=x1, , Xn-1=xn-1 }= P{在(x1++xn-1, x1++xn-1+t]内没有事 件| X1=x1, …, Xn-1=xn-1 }=P{在(x1++xn-1, x1++xn-1+t]内没有事件} (由独立增量)= et (由平稳增量)
n
f ( yi1 ) f ( yin ) f ( yi ) ， 所 以 Y(1),Y(2),, Y(n) 的 联 合 密 度 为 i1 n
f ( y1, y2 , , yn ) n! f ( yi ), y1 y2 yn i1
若 Yi，i=1,2,,n,都是(0,t)上均匀分布，则由上面的讨论可知，顺序统
<n-1 >1
n-1 1
P{N(t) n, N(t h) N(t) 0}
n
0
t
t+h
P{N(t) n 1, N(t h) N(t) 1} P{N(t h) n, N(t h) N(t) 2}＝
P{N(t) n}{N(t h) N(t) 0} P{N(t) n 1}{N(t h) N(t) 1}+ ⑴N(0)=0⑵过程有平稳增
Pn (t ) Pn (t ) Pn1(t ) 于是
Pn (t ) et ( Pn1(t )etdt Cn )
P1(t ) et ( P0 (t )etdt C1 )＝et ( etetdt C1 )＝et (t C1 )，
n!
定义 2.1.2 计数过程{N(t),t≥0}称为具有速率, 0泊松过程，如果
⑴N(0)=0
⑵过程有平稳增量与独立增量
⑶P{N(h)=1}=λh+o(h) ⑷P{N(h)≥2}= o(h)
定理 2.1.1 定义 2.1.1 与 2.1. 2 是等价的。
证明 首先我们证明定义 2.1. 2 蕴含定义 2.1.1。为此设
P{N(t h) n 2, N(t h) N(t) 2}= Pn (t)(1 h) Pn1(t)h o(h) 量与独立增量⑶ P{N(h)=1}=λh+o(h)⑷
Pn (t
h) h
Pn (t )
Pn (t )
Pn1(t )
o(h) h
(4)P{N(h)≥2}= o(h)
(n 1)!
证明：利用关系 N (t) n Sn t
注意到第 n 个事件在时刻 t 或 t 之前发生当且仅当到时间 t 已发
生的事件数目至少是 n，即 N (t) n Sn t
因此 P{Sn
t}
P[N (t)
n}
et
jn
( t ) j
j!
,
求导得 Sn 的密度函数
因
P1 (0)
0 ，得 0
C1， P1(t)
te t
．用数学归纳法可证明 Pn (t)
et
(t)n
n!
于是定义 2．1．2 蕴含了定义 2．1．1。逆命题的证明留给读者去作。
二 、 来 到 间 隔 与 等 待 时 间 的 分 布 (interarrival and waiting time distributions) 1. 来到间隔时间的分布(interarrival time distributions)
f (t ) et ( t ) j1 et ( t ) j et ( t )n1
jn
( j 1)! jn
j!
(n 1)!
3. 泊松过程第三个定义 命题 2.2.1 又给我们定义泊松过程的另一个方法。
泊松过程的第三个等价定义：{Xn,n1}是一列均值为 1/的独立同分
Pn (t) P{N (t) n}
按以下方法导出一个关于 P0 (t)的微分方程：
P0 (t h) P{N (t h) 0} P{N (t) 0, N (t h) N (t) 0}
独立增量
P{N(t) 0}P{N(t h) N(t) 0}
考虑一泊松过程，以 X1 记第一个事件来到的时刻。对 n1 以 Xn 记第 n－1 个到第 n 个事件之间的时间。序列{Xn,n1}称为来到间 隔序列（the sequence of interarrival times）。
命题 2.2.1 Xn,n=1,2,,为独立同分布的均值为 1/的指数随机变量。
n!
则称计数过程{N(t),t≥0}为具有速率 的泊松过程。
注意，从条件(3)可知泊松过程有平稳增量且 E[N(t)] t ，这正是称 为此过程的速率的原因(单位时间内发生的事件的平均个数)。
2．泊松过程第二个定义 为了确定一个任意的计数过程是一泊松过程，必须证明它满足条件
(1)，(2)及(3)。条件(1)只是说明事件的计数是从时刻 0 开始的。条件(2) 通常可从我们对过程了解的情况去直接验证。然而全然不清楚如何去确 定条件(3) 是否满足。为此泊松过程的一个等价定义将是有用的。
发生的时刻的分布。因为泊松过程有平稳独立增量，看来有理由认为
[0,t]内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相同。换言之，这个
事件的来到时刻应在[0,t]上均匀分布。容易验证此事，因为对s t 有
P{X1
s
|
N (t)
1}
P{X1 s, N (t) 1} P{N (t) 1}
2.等待时间的分布(waiting time distributions)
第 n 个事件来到的时间记为 Sn，也称为第 n 个事件的等待时间。则
n
Sn Xi , n Biblioteka Baidu 1 i 1
命 题 Sn 有 参 数 为 n 与 的 — 分 布 ， 即 其 概 率 密 度 为
f (t) (t)n1 et , t 0