第二章-泊松过程-随机过程

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泊松(possion)过程

泊松(possion)过程

显然有:
p( i
m j
)
(n)

0
(i, j ∈ S)
∑ p(m) ij
(n)
=
1
j∈S
m = 1时,即为一步转移矩阵。
(i ∈ S)
规定:
p( i
0) j
(n)
= δi j
=
1 0
i= j i≠ j
(二)切普曼-柯尔莫哥洛夫(C-K)方程
定理:对于 m 步转移概率有如下的 C-K 方程:
∑ p (m+r ij
= ∑ P{X (n + m + r) = j X (n + m) = k}P{X (n + m) = k X (n) = i} k∈S
∑ =
p(m) ik(n)Leabharlann p(r) kj(n
+
m)
k∈S
对于齐次马氏链的情形:我们可以写成矩阵的形式即有:
P = P P (m+r)
(m) (r)
中科院研究生院 2008~2009 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞
考虑顾客到达一服务台排队等待服务的情况。
若服务台前至少有一顾客等待,则在单位时间周期内,服务员完成一个顾客
的服务后,该顾客立刻离去;若服务台前没有顾客,则服务员空闲。
在一个服务周期内,顾客可以到达,设第 n 个周期到达的顾客数ξn 是一个取 值为非负整数的随机变量,且{ξn , n ≥ 1} 相互独立同分布。在每个周期开始时 系统的状态定义为服务台前等待服务的顾客数。若现在状态为 i ,则下周期的状 态 j 应该为:
中科院研究生院 2008~2009 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞
第二章 Markov 过程

二章Poisson过程-精品文档

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k !
k t exp t Poison分布,即:p N s t N t k ,k 0 , 1 ,
• 例2.1顾客依Poisson过程到达某商店,速率为4人/小时。 已知商店上午9:oo开门。试求到9:30时仅到一位顾客,
而到11:30时总计已到达5位顾客的概率。
互独立同分布的随机变量,且与 相互独立, N t, t 0
称随机过程 为复合泊松过程。 X t, t 0
i位旅客的 NtΒιβλιοθήκη 位客人,就是 。 Et Wi i1
Nt
W t .而所要求的平均总等待时间
• 为求出它可以先求条件期望:
N t n E t W N t n t W N t n i i E 1 1 i i n nt E W t n i N 1 i
m 12 sds 195
12 0
195 195 p N 12 N 0 100 e ! K 0 K
100 K
• 2.3.2 复合Poisson过程 • 定义2.3设 是一个泊松过程, 是一列相 Y1,Y2 , N t, t 0
• 注意到给定 N 的联合密度是与 ( 0, t ] t n , W , i 1 , 2 , , n i 上均匀分布中随机样本 ,的次序统计量 U i 1 , 2 , ,n i,
U i 1 , 2 , ,n的联合密度是一样的。所以: i,
n n n nt E W t n E U E U iN i i i 1 i 1 i 1 2
的Poisson过程到达车站。若火

随机过程的泊松过程与泊松分布

随机过程的泊松过程与泊松分布

随机过程的泊松过程与泊松分布泊松过程是概率论中研究随机事件发生的一种数学模型,它是一种重要的随机过程。

本文将着重讨论泊松过程以及与之相关的泊松分布。

泊松过程是一种以时间为参数的随机过程,它描述了一个随机事件在一段时间内发生的次数。

泊松过程的引入是为了描述稀有事件的发生概率。

它满足以下几个基本条件:1. 事件在不同的时间段内是相互独立的。

2. 事件在任意时间段内发生的概率是恒定的。

3. 事件在一个非常短的时间段内发生的概率与该时间段的长度成正比。

在泊松过程中,我们通常关心的是某个时间段内事件发生的次数。

假设事件在单位时间内发生的平均次数为λ,则在一个长度为t的时间段内,事件发生的次数就是服从参数为λt的泊松分布。

泊松分布是一种离散型概率分布,它描述了在一个固定时间段内,随机事件发生的次数的概率分布。

泊松分布的概率质量函数如下:P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中,X表示事件发生的次数,k表示发生的次数,λ表示单位时间内事件发生的平均次数。

泊松分布有一些重要的性质:1. 期望值:E(X) = λ,即单位时间内事件发生的平均次数。

2. 方差:Var(X) = λ,即单位时间内事件发生次数的方差等于其均值。

3. 独立性:在不同的时间段内,事件发生的次数是相互独立的。

泊松过程和泊松分布在实际生活中有着广泛的应用。

例如,在排队理论中,泊松过程可以用来描述到达某个服务点的顾客数量;在通信系统中,泊松过程可以用来描述信道中到达的信号数量等等。

总结起来,泊松过程是一种重要的随机过程,它描述了随机事件在一段时间内发生的次数。

泊松分布则是泊松过程中事件发生次数的概率分布。

它们在概率论、统计学和应用领域都有着广泛的应用。

通过研究泊松过程和泊松分布,我们可以更好地理解和描述随机事件的发生规律。

泊松过程poisson

泊松过程poisson
分析、推荐系统等。
研究如何将泊松过程与其他 随机过程进行更有效的结合,
以更好地描述复杂现象。
探索如何利用机器学习方法改 进泊松过程的参数估计和模型 选择,以提高模型的预测能力
和解释性。
THANKS
泊松分布的性质
泊松分布具有指数衰减的性质, 即随着时间的推移,事件发生的
概率逐渐减小。
泊松分布的期望值和方差都是参 数λ(λ > 0),即E(X)=λ, D(X)=λ。
当λ增加时,泊松分布的概率密 度函数值也增加,表示事件发生
的频率更高。
泊松分布的应用场景
通信网络
泊松分布用于描述在一定 时间内到达的电话呼叫或 数据包的数量。
生物信息学中的泊松过程
在生物信息学中,泊松过程用于描述基因表达、蛋白质相互 作用等生物过程中的随机事件。例如,基因表达数据可以用 泊松过程来分析,以了解基因表达的模式和规律。
通过泊松过程,生物信息学家可以识别出与特定生物学功能 或疾病相关的基因,为药物研发和个性化医疗提供有价值的 线索。
06 泊松过程的扩展与展望
交通流量分析
泊松分布用于描述在一定 时间内经过某个地点的车 辆数量。
生物学和医学研究
泊松分布可以用于描述在 一定时间内发生的事件数 量,例如基因突变或细菌 繁殖。
04 泊松过程的模拟与实现
离散时间的模拟
01
定义时间间隔
首先确定模拟的时间区间,并将其 划分为一系列离散的时间点。
随机抽样
使用随机数生成器,在每个时间间 隔内随机决定是否发生事件。
有限可加性
在有限的时间间隔内,泊松过 程中发生的事件数量服从二项
分布。
与其他随机过程的比较
与马尔可夫链的比较

随机过程——泊松过程(2)

随机过程——泊松过程(2)

4.2.2 复合Poisson过程
二、定义
设 N t , t 0 为一齐次 Poisson 过程,n , n 1是 i.i.d 序列,且与N t , t 0相互独立,令
Yt n1 n
Nt
Y 则称随机过程 t , t 0 为复合 Poisson 过程.
• 4.1 到达时间间隔与等待时间分布 • 4.1’ Poisson过程的分解 • 4.2 非齐次和复合Poisson过程
4.1’ Poisson过程的分解
一、Poisson过程的分解
N t , t 0为 一 齐 次 sson 程, 有 时 会 Poi 过
将 事 件 分 类 ,型 和II型 , 事 件 被 分 为 哪 I 一类依赖于发生的时,即事件发生在 间 时 刻s, 则 以 概 率 s 被 归 为 型 , 以 P I 的归类独立,则有如结论: 下
s 0

P0 t , s 1 t s h oh
ln P0 t , s t x dx m t s m t
P0 t , s e
m t s m t
再来看k 1的情形
4.2.1 非齐次P机过程 N t 是一个计数过程,若满 足
(2)N t 是独立增量过程 .
(1) N 0 0
(4)h 0,PN t h N t 1 t h oh
则 称N t 具 有 强 度 函 数t 的 非 齐 次 为 Poisson 程 . 过
u t s P0 t , s t

k 1 e iuk t s Pk t , s t s Pk 1 t , s
iuk iu

随机过程课程第二章 随机过程的基本概念

随机过程课程第二章 随机过程的基本概念
第二章 随机过程的基本概念
第一节 随机过程的定义及其分类 第二节 随机过程的分布及其数字特征 第三节 复随机过程 第四节 几种重要的随机过程简介
第一节 随机过程的定义及其分类
一、直观背景及例
例1 电话站在时刻t时以前接到的呼叫次数 一般情况下它是一个随机变数X ,并且依赖 时间t,即随机变数X(t),t[0,24]。
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(4)平稳随机过程
平稳过程的统计特性与马氏过程不同,它不 随时间的推移而变化,过程的“过去”可以对 “未来”有不可忽视的影响。
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第二节 随机过程的分布及其数字特征
一、随机过程的分布函数
设{ X (t) ,t T }是一个随机过程,
一维
分布 对于固定的t1 T ,X (t1) 是一个随机变量,
F (t1,t2;x1, x2 ) =
x1
x2
f (t1, t2;y1, y2 )dy1dy2
则称 f (t1,t2;x1, x2 ) 为 X (t) 的二维概率密度
n维
n 维随机向量(X (t1 ) ,X (t2 ) ,…, X (tn ) )
分布 函数
联合分布函数
F (t1,t2 , ,tn;x1, x2 , , xn )
分布函数
FXY (t1, ,tn ;t1, ,tm ;x1, , xn ; y1, , ym )
P{X (t1) x1, , X (tn ) xn;Y(t1) y1, ,Y(tm ) ym }
称为随机过程和的n + m维联合分布函数
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相互 设 X (t) 和Y (t) ,t1,t2 , ,tn ,t1,t2 , ,tm T
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2.方差函数
随机过程{ X (t) ,t T }的二阶中心矩

泊松过程

泊松过程

第二讲 泊松过程1.随机过程和有限维分布族现实世界中的随机过程例子:液体中,花粉的不规则运动:布朗运动;股市的股票价格; 到某个时刻的电话呼叫次数;到某个时刻服务器到达的数据流数量,等。

特征:都涉及无限多个随机变量,且依赖于时间。

定义(随机过程) 设有指标集T ,对T t ∈都有随机变量)(t X 与之对应,则称随机变量族}),({T t t X ∈为随机过程。

注 一个随机过程是就是一个二元函数E T t X →⨯Ωω:),(。

固定ω,即考虑某个事件相应的随机变量的值,得到函数R T t X →:),(ω称为样本函数或轨道或一个实现。

映射的值域空间E 称为状态空间。

例 随机游动(离散时间,离散状态)质点在直线上每隔单位时间位置就发生变化,分别以概率p 或概率p -1向正或负向移动一个单位。

如果以n S 记时刻n 质点所处的位置,那么就得到随机过程{,0}n S n ≥。

这里指标集},1,0{ =T ,状态空间},1,0,1,{ -=E 。

如果记n X 为时刻n ,质点的移动,那么{,1}n X n ≥也是随机过程。

两个过程的区别:{}n S 不独立;{}n X 独立; 两个过程的关系:01nn kk S S X==+∑习题 计算n ES 和n DS (设00S =)。

提示 利用∑==nk kn XS 1,其中k X 是时刻k 的移动方式。

习题 设从原点出发,则()/2()/2()/2,2()0,21n k n k n k n n C q p n k iP S k n k i +-+⎧+===⎨+=-⎩。

例 服务器到达的数据流(连续时间,离散状态)在],0[t 内,到达服务器的数据包个数记为)(t N ,那么}0),({≥t t N 也是个随机过程,其指标集}{+∈=R t T ,状态空间},1,0{ =E 。

例 布朗运动(连续时间,连续状态)直线上质点的位移是连续的。

在时刻t 的位置为t X 。

泊松过程

泊松过程

pk (t +h) −pk (t) o(h) , = −λpk (t) +λpk−1(t) + h h pk'(t) = −λpk (t) + λpk−1(t) h ,(k = 0,1,2,L ) 令 →0得 , pk (0) = P{N(0) = k} = 0
k=1时 k=1时, p1'(t) = −λp1(t) + λe−λt p1(0) = 0 解得: (t)= 所以k=1时结论成立。 k=1时结论成立 解得:p1(t)=λte-λt,所以k=1时结论成立。
(λt)k−1 −λt e 。 假设k-1时结论成立, pk−1(t) = 假设k 时结论成立, (k −1)! pk'(t) = −λpk (t) + λpk−1(t) (λt)k −λt 解 , 得 pk (t) = e 。 pk (0) = 0 k!
结论成立。 结论成立。 由归纳法知,对一切k=0,1,2, k=0,1,2,…,结论成立。 由归纳法知,对一切k=0,1,2, ,结论成立。 (λt)k −λt 得证
j=0
k
k
{N(t) = j}P N(h = k − j} { ) = ∑P
) ) ) p ) = ∑pj(t)pk−j(h = pk(t)p0(h +pk−1(t)p1(h + ∑ j(t)pk−j(h
j=0 j=0
j=0 k
k−2
(t)[1(t)[λh+o(h)]+o(h), =pk(t)[1-λh+o(h)]+pk-1(t)[λh+o(h)]+o(h),
定义3 如果取非负整数值得计数过程{N(t),t 0}满足下列 {N(t),t≥ 定义3 如果取非负整数值得计数过程{N(t),t≥0}满足下列 条件: 条件: N(0)= a) N(0)=0; 具有独立增量; b) 具有独立增量; P{N(h)=1}= h+0(h); c) P{N(h)=1}=λh+0(h); P{N(h)≥2}= d) P{N(h)≥2}=0(h) 则称{N(t),t 0}为参数(或平均率、强度) {N(t),t≥ 齐次) 则称{N(t),t≥0}为参数(或平均率、强度)为λ的(齐次)泊 松过程。 松过程。 考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼唤.令 例1 考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼唤 令X(t)表 表 示电话交换台在(0,t]内收到的呼唤次数 则{X(t),t≥0}满足定义 内收到的呼唤次数,则 满足定义3 示电话交换台在 内收到的呼唤次数 ≥ 满足定义 的条件, 是一个泊松过程. 的条件 故{X(t), t≥0}是一个泊松过程 ≥ 是一个泊松过程 考虑到某车站售票窗口购买车票的旅客,若记 若记X(t)为在时间 例2 考虑到某车站售票窗口购买车票的旅客 若记 为在时间 [0,t]内到达售票窗口的旅客数 则{X(t),t≥0}为一泊松过程 内到达售票窗口的旅客数,则 内到达售票窗口的旅客数 ≥ 为一泊松过程

2-1泊松过程

2-1泊松过程

det P 1 t dt
t P t t C e 1
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
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结 束
《应用随机过程》电子课件 张 峰
第二章 Poisson 过程
二、Poisson过程的两个等价定义的证明 t P 0 0 P t te 由初始条件 1 1
b P N t h N t 2 P N h 2 o h
P N (t h)- N (t )=1 he
h
(3)
证:由(1)显然可得Poisson过程是平稳过程
k! h 1 h o h h o h
mN t EN (t )= t
DN t DN (t )= t
均方值函数

2 N
t EN (t )=DN t EN t t t
2 2
2
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第二章 Poisson 过程
t 再由 P0 0 0 P N t 0 e
。Leabharlann hNORTH UNIVERSITY OF CHINA
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《应用随机过程》电子课件 张 峰
第二章 Poisson 过程
二、Poisson过程的两个等价定义的证明
2 定义2 定义1 即:由(2),(3) (1) 证:当 k 1 时,Pk t h P N (t h) k

《随机过程——计算与应用》课件泊松过程2

《随机过程——计算与应用》课件泊松过程2

个到达时刻T1 <T2 <…<Tn有以下联合概率密度函
数:
p(u1,
u2
,,
un
)
n!,0 tn 0,
u1
u2 其它
un t
证明:对0 u1 u2 un t,取充分小的正数h1, h2, , hn ,
使得uk Tk uk hk ,且各小区间(uk ,uk hk ](k 1, 2, n)
试计算:
(1) 过程 N1 的第一个事件先于过程 N 2
的第一个事件发生的概率.
(2) 过程 N1 的第k个事件先于过程 N 2 的第一个事件发生的概率.
解题思路: 考虑两个随机变量的联合密度函数,再计算有关的概率
P(T1(1)
T1(2) )
1 1 2
P(Tk(1)
T (2) 1
)
( 1 1 2
1) P{Nth Nt 0} 1 h (h) 2) P{Nth Nt 1} h (h) 则该计数过程一定是参数为的泊松过程.
记 qk (t) P(Nt k), k 0,1, ,对充分小的h 0, 可计算
q0 (t h) P(Nth 0) P(Nth Nt 0, Nt 0)
泊松过程
泊松过程的一个等价定义 称随机过程N={Nt,t≥0}是参数为λ 的泊松过程,如果 它满足以下条件:
① N0 0 ② N是平稳的独立增量过程
③ P{Nth Nt 0} 1 h (h) ④ P{Nth Nt 1} h (h)
泊松过程两个定义的等价性由下面的两个定理验证
定理4.2.2 参数为λ 的泊松过程N={Nt,t≥0}一定满足 以下性质:
qk (t)[1 h (h)] qk1(t)[h (h)] (h)

随机过程的分支过程和泊松过程

随机过程的分支过程和泊松过程

随机过程的分支过程和泊松过程随机过程,指的是随时间而变化的一系列随机事件的集合。

随机过程的数学模型可以用随机变量的集合来描述。

其中,分支过程(branching process)和泊松过程(Poisson process)是随机过程中比较经典并且应用广泛的两种模型。

一、分支过程分支过程最早出现在爱尔兰数学家戈尔登的研究中。

他在研究人口增长的过程中发现,如果假设每个人在他的有生之年内可以产生若干个子女,那么就可以把人口增长的过程看作是一个分支过程。

分支过程是一类离散时间的随机过程,可以描述由一个个独立的、概率相同的“父代”产生的“子代”数目的随机变化过程。

具体来说,在分支过程中,每个父代独立地产生一个随机整数,表示它将会产生的子代数目。

每个子代的产生也是独立的,并且都遵循与父代相同的分布。

这个过程一直持续下去,一直到所有的后代都无法再产生新的子代为止。

对于一个分支过程,我们可以定义一个生成函数G(x),表示从一个父代生成的所有子代的数目的概率分布。

对于一个父代可以生成k个后代的概率为pk,则G(x)可以表示为:G(x) = p0 + p1x + p2x2 + ... + pnxn其中,pn表示最后一代后代数目为n的概率。

我们可以根据这个生成函数来计算分支过程的很多性质,如在每个时刻,所有后代的数目的期望、方差和协方差等等。

二、泊松过程泊松过程是一个连续时间的随机过程,它具有无记忆性(memorylessness)和独立增量(independent increments)的性质,这使得它成为了极其重要的一种数学模型。

在泊松过程中,事件发生的时间无规律,但是平均每单位时间内事件发生的次数是固定的。

具体来说,对于一个泊松过程,我们定义一个速率参数λ,表示在单位时间内事件发生的平均次数。

我们假设事件是独立发生的,并且事件发生的时间间隔服从指数分布。

这样,我们就可以用泊松分布来描述在任意时间段内事件发生的次数。

应用随机过程实验2-泊松过程

应用随机过程实验2-泊松过程

应用随机过程实验2—泊松过程一.准备知识1.泊松过程2.非齐次泊松过程3. 复合泊松过程二.作业1. 设()1X t 和()2X t 分别是参数为1λ和2λ的相互独立的泊松过程,(1)模拟()1X t 和()2X t ,并画图;(2)生成随机过程()()()12Y t =X +X t t ,并画图;(3)计算(){}Y t ,t 0≥ 的平均到达率与+1λ2λ的相对误差。

2. 设到达某商店的顾客组成强度为λ的泊松过程,每个顾客购买商品的概率为p ,且与其他顾客是否购买商品无关,假设每位购买商品的顾客的花费i X 独立同分布,且服从正态分布2X (,)iN μσ,1,2,3,i = ,令()Y t 是t 时刻购买商品的顾客数,()Z t 是t 时刻商品的营业额,0t ≥ ,(1)试模拟随机过程(){},0Y t t ≥,并画图,计算随机过程(){},0Y t t ≥ 的均值函数与pt λ的相对误差;(2)试模拟随机过程(){},0Z t t ≥,并画图,计算随机过程(){}t ,t 0Z ≥ 的均值函数与pt λμ的相对误差。

3. 某路公共汽车从早晨5时到晚上9时有车发出,乘客流量如下:5时按平均乘客为200人/小时计算;5时至8时乘客平均到达率线性增加,8时到达率为1400人/小时;8时至18时保持平均到达率不变;18时到21时到达率线性下降,到21时为200人/小时,假定乘客数在不重叠的区间内是相互独立的,令()X t 是t 时刻到达公共汽车的总人数,(1)计算早晨5时到晚上9时的乘客到达率,并画图;(2)模拟从早晨5时到晚上9时的乘客到达过程(){}X t ,t 0≥。

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泊松过程

泊松过程
E[ N ( t ) N ( s )] D[ N ( t ) N ( s )] ( t s ) N ( t ) E[ N ( t )] E[ N ( t ) N (0)] t
2 N ( t ) D[ N ( t )] D[ N ( t ) N (0)] t
13
解:首先M1(0)=0, M1(t) 具有平稳独立
增量,接下来只需验证 M1(t) 服从均值
为 pt 的泊松分布. 即对任意 t >0 ,
(pt)m pt P{ M 1 ( t ) m } e . m!
下边将用到全概率公式,二项分布的背 景、公式,以及泰勒展式 x n ex n! n 0
泊松过程
3.1 泊松过程的定义
• 定义1 随机过程{N(t),t 0 }是计数过 程,如果 N(t) 表示到时刻 t 为止已经发 生的事件A 的总数,且 N(t) 满足条件
(1) N(t) 0 , 且 N(t) 取整数; (2)当s< t 时,则 N(s)N(t), 且 N(t)-N(s) 表示在时间(s, t]中事件A 发生的次数.
6
10k 10 P{N (t 1) N (t ) 20} e 0.9984 k 0 k!
20
P{N (t 2) N (t ) 0} e20 2.06109
984 k 0 k!
3
• 定义2 计数过程{N(t),t 0 }是泊松过程, 如果N(t)满足 (1) N(0)=0, (2) N(t)是独立增量过程, (3) 在任一长度为 t 的区间中,事件A发生 的次数服从参数 t >0 的泊松分布,即 对任意s, t 0,有 n t ( t ) P N ( t s ) N ( s ) n e , n! n 0,1, 2,

随机过程——泊松过程

随机过程——泊松过程

随机过程——泊松过程计数过程 在(0,t)内出现事件A的总数所组成的过程{N(t),t>0}称为计数过程。

如果⽤N(t)表⽰到时刻t为⽌已发⽣的“事件A”的总数,若N(t)满⾜下列条件:1. N(t)≥02. N(t)取正整数值3. 对任意两个时刻t1<t2,有N(t1)≤N(t2)4. 对任意两个时刻t1<t2,N(t2)-N(t1)等于在区间(t1,t2]中发⽣的“事件A”的次数 则随机过程{N(t),t≥0}称为⼀个计数过程。

注意:如果在不相交的时间区间中发⽣的事件个数是独⽴的,则称计数过程有独⽴增量。

若在任⼀时间区间中发⽣的事件个数的分布只依赖于时间区间的长度,则称计数过程有平稳增量。

独⽴增量过程 如果在不相交的时间间隔内出现事件A的次数是互相统计独⽴的则A事件的计数过程为独⽴增量过程。

平稳(齐次)增量计数过程 在时间间隔(t,t+s)内出现事件A的次数[N(t+s)-N(t)]仅与s有关⽽与t⽆关,则称N(t)为平稳增量计数过程。

泊松过程 设随机过程{X(t),t≥0}是⼀个计数过程,满⾜1. X(0)=02. X(t)是独⽴增量过程3. 对任⼀长度为t的区间中事件的个数服从参数为λt(λ>0)的泊松分布,即对⼀切s,t≥0,有P{X(t+s)-X(s)=k}=(λt)k/(k!).exp(-λt)(其中k=0,1,2,…) 则称X(t)为具有参数λ的泊松过程。

注意:从条件3可知泊松过程有平稳增量,且E[X(t)]=λt并称λ为此过程的⽣起率或强度(单位时间内发⽣事件的平均个数)。

说明: 要确定计数过程是泊松过程,必须证明它满⾜三个条件:条件1只是说明事件的计数是从时刻t=0开始条件2通常可从对过程的了解的情况去直接验证然⽽全然不清楚如何去确定条件3是否满⾜ 为此给出⼀个与泊松过程等价的定义定义 设随机过程{X(t),t≥0}是⼀个计数过程,参数为λ(λ>0),满⾜1. X(0)=02. X(t)是独⽴平稳增量过程3. X(t)满⾜下列两式:①P{X(t+h)-X(t)=1}=λh+o(h);②P{X(t+h)-X(t)≥2}=o(h);其中o(h)表⽰当h→0时对h的⾼阶⽆穷⼩ 则称X(t)为具有参数λ的泊松过程。

北大随机过程课件泊松过程PPT

北大随机过程课件泊松过程PPT

互独立的随机变量。求在五周内移民到该地区
的人口数的数学期望及其方差。
2018/11/10
2018/11/10
非齐次泊松过程举例
假设不相交叠的时间间隔内到达商店的 顾客数是相互统计独立的 ,问在上午8:30 -9:30间无顾客到达商店的概率是多少? 在这段时间内到达商店顾客数学期望是多 少?
2018/11/10
复合泊松过程
定义:
设有泊松过程{ N(t),t ≥0 }和一族独立同分布 随机变量{ Yn },n=1,2,3,…,且{ N(t) }和{ Yn} 也是相互统计独立的. 设随机过程 X (t ) Yn ,
2018/11/10
基本概念--泊松过程
泊松过程为满足下列假设的计数过程 :
1. 从t=0起开始观察事件,即N(0)=0; 2. 该过程是独立增量过程; 3. 该过程为平稳增量过程; 4. 在(t,t+∆t)内出现一个事件的概率为λ ∆t+ o(∆t)(当∆t→0时), λ 为一常数;在(t,t+∆t) 内出现事件二次以及二次以上的概率为o(∆t), 即 P{[N(t+ ∆t)-N(t)] ≥2}=o(∆t);
(1). 泊松过程{N(t), t>0}的第一个事 件到达时间t的概率密度分布.
t ~ t t 内有一个到达。 即:0 ~ t 内无到达,
f ( ) e

2018/11/10
泊松分布相关的问题
(2). 泊松过程{N(t), t>0}的各次事件 间的时间间隔分布.
设各次事件间的时间间隔记为Tn , n 1, 2,3, 则
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泊松分布相关的问题
(5).(续)

随机过程(二)

随机过程(二)

第三章 泊松过程(Possion Process )定义3.1 如果对任何12,,,n t t t T ∈ ,12n t t t <<< ,随机变量211()(),,()()n n X t X t X t X t --- 相互独立,则称{(),}X t t T ∈为独立增量过程。

如果对任何12,t t ,有1122()()()()dX t h X t X t h X t +-=+-,则称{(),}X t t T ∈为平稳增量过程。

兼有独立增量和平稳增量过程称为平稳独立增量过程。

平稳独立增量过程主要有⏹随机游动⏹泊松过程⏹布朗运动⏹Cauchy过程⏹稳定过程(Stable Process)本章主要内容⏹泊松过程的定义⏹与泊松过程有关时刻的分布⏹泊松过程的推广⏹非齐次泊松过程⏹复合泊松过程⏹条件泊松过程⏹更新过程⏹排队论*一、泊松过程的定义定义3.2 随机过程{(),0}N t t≥称为计数过程,如果N(t)表示从时刻0到t时刻内某一事件A发生的次数,它具备以下两个特点:1.()0N t≥且取值为整数;2.s<t时,()()-表示(,]N t N s≤且()()N s N ts t时间内事件A 发生的次数。

定义3.3 计数过程{(),0}N t t≥称为参数为λ的泊松过程,如果1.(0)0N=2.过程有独立增量;3.对任意,0s t≥,λ称为泊松过程的强度或速率,表示单位时间内发生事件的平均次数。

常见的泊松过程✧火车站售票数✧保险公司的索赔数✧到达电话总机的呼叫数目例:设从早上8:00开始,某火车站售票处开始连续售票,乘客以10人/小时的平均速率达到,请问:(1)从9:00到10:00这一个小时内最多有5名乘客来此购票的概率是多少。

(2)假设每位乘客平均购买1张车票,从8:00到12:00,此售票处平均售出多少张车票。

解:我们用一个泊松过程来描述购票的乘客数。

设8:00为0时刻,则9:00为1时刻,参数10λ=。

泊松随机过程

泊松随机过程

泊松随机过程
泊松随机过程是一种常见的随机过程,它描述了在一定时间间隔内随机事件发生的次数。

这种过程的特点是事件之间相互独立,且发生的概率在任意时间点上都是相等的。

因此,泊松随机过程在很多实际应用中都有着广泛的应用,比如在通信领域中,用于描述数据包的到达时间;在金融领域中,用于描述股票价格的波动等。

泊松随机过程的数学模型可以用泊松分布来描述。

泊松分布是一种离散概率分布,它描述了在一个固定时间间隔内,某个事件发生的次数的概率分布。

在泊松随机过程中,事件发生的次数服从泊松分布,其参数为事件发生的平均次数。

在实际应用中,我们可以通过对历史数据的分析,来估计泊松随机过程的参数,并利用这个模型来预测未来的事件发生情况。

比如,在网络流量控制中,我们可以利用泊松随机过程来估计网络流量的峰值,从而调整网络带宽,以保证网络的稳定性和可靠性。

泊松随机过程是一种重要的数学模型,它在很多实际应用中都有着广泛的应用。

通过对泊松随机过程的研究,我们可以更好地理解随机事件的发生规律,从而更好地应对各种实际问题。

随机过程3.4 泊 松 过 程(二)

随机过程3.4 泊 松 过 程(二)
定理3.4.1 更新计数过程{N(t ),t≥0}是泊松过 程的充要条件是时间间隔T具有指数分布.
注等价于时间间隔序列T1,T2,…,Tn,…相互独立 同服从相同指数分布.
证 由定理3.3.2 知必要性,仅需证充分性, 应有
电子科技大学
P{N (t) k} (t)k et ,
k!
Ti的特征函数为
1 min( s, t) 21st 2 min( s, t) 22st 212st (1 2 )min( s, t) (21 22 )st 212st.
电子科技大学
2) 根据泊松分布的可加性知 X(t)=N1(t) +N2(t), t>0,
的载客人数为ξn,则经公交车通过此路口的
人数为:
N(t)
X(t) n n1
电子科技大学
EX.6 若将股票交易次数N(t)看作一个Poisson
过程,ξn表示第n 次与第n-1次易手前后股票价 格差,则X( t ) 就代表直到t 时刻股票的价格变化.
定义3.4.2 设{N(t), t≥0}是强度为λ的齐次 Poisson过程, {ξn, n≥1}是相互独立同分布的随 机变量序列,并与N(t)相互独立,称
电子科技大学
(1) 因 0= N (0) N1(t) N2(t) ,推知 N1(0) 0, N2(0) 0 , (2) 对 任 意 的 0 t0 t1 t2 tn1 tn , 泊 松 过 程 {N(t),t 0} 的增量
相互独立.
服从参数为(λ1+λ2)t 的泊松分布. 问题:如何证明?
3) Y(t)=N1(t)-N2(t)的特征函数为
独立和的 特征函数
Y (u) exp{1teiu 1teiu (1 2 )t}

随机过程 第二章 泊松过程

随机过程 第二章 泊松过程
泊松过程的分解:
强度为λ的泊松过程,事件A在时刻s到达,则此到达可分解成概率为P(s)的 type-1到达和概率为1- P(s) 的type-2到达,用{Ni ( t ) ,t≥0},i=1,2,表示 type-i在时间(0,t]的达到次数,则有
pt ( pt ) n qt ( qt ) m P N1 (t ) n, N 2 (t ) m e e n ! m ! 1 t 其中,p P( s)ds,q 1 p t 0
P{ X (t h) X (t ) 2} o(h)
非齐次泊松过程的均值函数(积分强度函数)为
m X (t )
(s)ds
0
t
16
定理: 设{X(t),t≥0}为具有均值函数 则有
m X (t )
(s)ds非齐次泊松过程,
0
t
P{ X (t s) X (t ) n} [m X (t s) m X (t )]n exp{[m X (t s) m X (t )]}, n!
s0 0st st
0st 其它
12
分布密度
定理: 设{X(t),t≥0}是泊松过程,已知在[0,t]内事件A发生n次,则这n次到达时间 W1<W2, …<Wn与相应于n个[0,t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计 量有相同的分布。
例题
设在[0,t]内事件A已经发生n次,且0<s<t,对于0<k<n,求 P{X(s)=k|X(t)=n}
2
例题
设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有车发出,乘客流量如下:5时 按平均乘客为200人/时计算;5时至8时乘客平均到达率按线性增加, 8时到达率为1400人/时;8时至18时保持平均到达率不变;18时到 21时从到达率1400人/时按线性下降,到21时为200人/时。假定乘客 数在不相重叠时间间隔内是相互独立的。求12时至14时有2000人来 站乘车的概率,并求这两个小时内来站乘车人数的数学期望。
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n
布的指数随机变量。Sn Xi ,n 1,第 n 个事件在时刻 Sn 发生,N(t) i1
表示到时刻 t 为止已发生的“事件”的总数,即 N (t) sup{n : Sn t}, 则
计数过程{N(t),t≥0}是参数为的泊松过程。
三、来到时刻的条件分布(conditional distribution of the arrival
X1=x1
X2=x2
x1
x1+ x2
Xn-1=xn-1 x1+ x2+…+ xn-1
Xn>t x1+ x2+…+ xn-1+t
所以,从上可得,Xn 也是一个具有均值 1/的指数随机变量,且 Xn
独立于 X1, …, Xn-1。
注记 这个命题不应使我们惊奇。平稳独立增量的假定等价于说在概率 意义上过程在任何时刻都重新开始,即从任何时刻起过程独立于先前已 发生的一切(由独立增量),且有与原过程完全一样的分布(由平稳增量)。 换言之,过程无记忆,因此指数间隔是预料之中的。
n
f ( yi1 ) f ( yin ) f ( yi ) , 所 以 Y(1),Y(2),, Y(n) 的 联 合 密 度 为 i1 n
f ( y1, y2 , , yn ) n! f ( yi ), y1 y2 yn i1
若 Yi,i=1,2,,n,都是(0,t)上均匀分布,则由上面的讨论可知,顺序统
Pn (t ) Pn (t ) Pn1(t ) 于是
Pn (t ) et ( Pn1(t )etdt Cn )
P1(t ) et ( P0 (t )etdt C1 )=et ( etetdt C1 )=et (t C1 ),
f (t ) et ( t ) j1 et ( t ) j et ( t )n1
jn
( j 1)! jn
j!
(n 1)!
3. 泊松过程第三个定义 命题 2.2.1 又给我们定义泊松过程的另一个方法。
泊松过程的第三个等价定义:{Xn,n1}是一列均值为 1/的独立同分
2.等待时间的分布(waiting time distributions)
第 n 个事件来到的时间记为 Sn,也称为第 n 个事件的等待时间。则
n
Sn Xi , n 1 i 1
命 题 Sn 有 参 数 为 n 与 的 — 分 布 , 即 其 概 率 密 度 为
f (t) (t)n1 et , t 0
times)
1. 顺序统计量(the order statistics)
设 Y1,Y2,, Yn 是 n 个随机变量,如果 Y(k)是 Y1,Y2,, Yn 中的第 k 个最 小值,i=1,2,,n,则称 Y(1),Y(2),, Y(n)是对应于 Y1,Y2,, Yn 的顺序统计量 (the order statistics corresponding to Y1,Y2,, Yn)。
定义 2.1.1 (1) N(0)=0 (2)过程有独立增量(3)在任意长度为 t 的区间中
事 件 的 个 数 服 从 均 值 为 t 的 泊 松 分 布 。 即 对 一 切 s,t 0 ,
P{N(t s) N (s) n} et (t)n , 0, n 0,1, 2,
因此
条件(3)(4)
= P0 (t)(1 h o(h)) P0 (t)(1 h) o(h)
P0 (t

h) h

P0 (t)

P0 (t)

o(h) h
令 h 0得 P0(t) P0 (t) 解得 P0 (t) et
类似地,当n 1时 Pn (t h) P{N (t h) n}
考虑一泊松过程,以 X1 记第一个事件来到的时刻。对 n1 以 Xn 记第 n-1 个到第 n 个事件之间的时间。序列{Xn,n1}称为来到间 隔序列(the sequence of interarrival times)。
命题 2.2.1 Xn,n=1,2,,为独立同分布的均值为 1/的指数随机变量。
P{N(t h) n 2, N(t h) N(t) 2}= Pn (t)(1 h) Pn1(t)h o(h) 量与独立增量⑶ P{N(h)=1}=λh+o(h)⑷
Pn (t

h) h

Pn (t )


Pn (t )


Pn1(t )

o(h) h
(4)P{N(h)≥2}= o(h)
n!
则称计数过程{N(t),t≥0}为具有速率 的泊松过程。
注意,从条件(3)可知泊松过程有平稳增量且 E[N(t)] t ,这正是称 为此过程的速率的原因(单位时间内发生的事件的平均个数)。
2.泊松过程第二个定义 为了确定一个任意的计数过程是一泊松过程,必须证明它满足条件
(1),(2)及(3)。条件(1)只是说明事件的计数是从时刻 0 开始的。条件(2) 通常可从我们对过程了解的情况去直接验证。然而全然不清楚如何去确 定条件(3) 是否满足。为此泊松过程的一个等价定义将是有用的。
(n 1)!
证明:利用关系 N (t) n Sn t
注意到第 n 个事件在时刻 t 或 t 之前发生当且仅当到时间 t 已发
生的事件数目至少是 n,即 N (t) n Sn t
因此 P{Sn

t}
P[N (t)
n}

et
jn
( t ) j
j!
,
求导得 Sn 的密度函数

P1 (0)

0 ,得 0

C1, P1(t)

te t
.用数学归纳法可证明 Pn (t)

et
(t)n
n!
于是定义 2.1.2 蕴含了定义 2.1.1。逆命题的证明留给读者去作。
二 、 来 到 间 隔 与 等 待 时 间 的 分 布 (interarrival and waiting time distributions) 1. 来到间隔时间的分布(interarrival time distributions)
<n-1 >1
n-1 1
P{N(t) n, N(t h) N(t) 0}
n
0
t
t+h
P{N(t) n 1, N(t h) N(t) 1} P{N(t h) n, N(t h) N(t) 2}=
P{N(t) n}{N(t h) N(t) 0} P{N(t) n 1}{N(t h) N(t) 1}+ ⑴N(0)=0⑵过程有平稳增

P{在[0, s]内有一个事件,在(s,t]内没有事件} P{N (t) 1}
P{在[0, s]内有一个事件}P{在(s,t]内没有事件} P{N (t) 1}

se s e (t s ) tet

s t
可以推广这个结果.
定理 2.3.1 在已知 N(t) n 的条件下,n 随机变量的顺序统计量有相同的分 布。
计数过程有独立增量(independent increments):计数过程在不相交的时 间区间中发生的事件个数是独立的。
计数过程有平稳增量(stationary increments):在任一时间区间中发生的事 件个数的分布只依赖于时间区间的长度。
(二)泊松过程(the Poisson process) 1.泊松过程第一个定义
发生的时刻的分布。因为泊松过程有平稳独立增量,看来有理由认为
[0,t]内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相同。换言之,这个
事件的来到时刻应在[0,t]上均匀分布。容易验证此事,因为对s t 有
P{X1

s
|
N (t)
1}

P{X1 s, N (t) 1} P{N (t) 1}
定义 2.1.1 如果计数过程{N(t),t≥0}满足 (1) N(0)=0 (2)过程有独立增量, (3)在任意长度为 t 的区间中事件的个数服从均值为t 的泊松分布。
即对一切 s,t 0, P{N(t s) N(s) n} et (t)n , 0,n 0,1,2,
n!
定义 2.1.2 计数过程{N(t),t≥0}称为具有速率, 0泊松过程,如果
⑴N(0)=0
⑵过程有平稳增量与独立增量
⑶P{N(h)=1}=λh+o(h) ⑷P{N(h)≥2}= o(h)
定理 2.1.1 定义 2.1.1 与 2.1. 2 是等价的。
证明 首先我们证明定义 2.1. 2 蕴含定义 2.1.1。为此设
定理 2.3.1 在已知 N(t) n 的条件下,n 个来到时刻 S1,S2,, Sn,与相
应于 n 个(0,t)上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分布。
证明 我们来计算给定 N(t) n 的条件时,S1,S2,, Sn 密度函数,设
0 t1 t2 tn1 t ,且取 hi 充分小使得ti hi ti1,i 1, 2, , n.。现在 P{ti Si ti hi ,i 1, 2, , n | N (t) n}=
命题:若 Yi,i=1,2,,n,是独立同分布的连续随机变量,具有概率密度 f,则顺序统计量 Y(1),Y(2),, Y(n)的联合密度为
n
f ( y1, y2 , , yn ) n! f ( yi ), y1 y2 yn i 1
证明: (1)对 y1 y2 yn,如果(Y1,Y2,, Yn)等于(y1,y2,,yn)的 n!个排 列中的任一个,Y(1),Y(2),, Y(n)将等于(y1,y2,,yn);(2)当( yi1 , yi2 , , yin )是 (y1,y2,,yn)的一个排列时,Y1,Y2,, Yn 等于( yi1 , yi2 , , yin )的概率密度是
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