(优选)伯努利方程
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（优选）伯努利方程
连续性方程(复习)
• 质量流量守恒： Sv 常量
流体作定常流动时，流管中各横截面的质量流 量相等。
• 体积流量守恒： Sv 常量
理想流体作定常流动时，流管中各横截面的 体积流量相等。 截面大处流速小，截面小处流速大。
• 连续性方程： • 原理：质量守恒定律
条件：理想流体、定常流动 描述：流速v和横截面积S之间的关系 结论：Q = Sv = 常量
pV 1 mv2 mgh 常量 pV 1 Vv2 Vgh 常量
2
2
p 1 2 gh 常量
2
1 2
2
的单位：k g
m3
m2 s2
kg m2
m s2
N m2
— 动压强
gh
的单位：kg
m3
m s2
m
kg m2
m s2
p
静压强
V等于一个单位体积(如1m3)时，…
p
的单位：N
m2
m3
3.利用伯努利方程解题
1、常与连续性方程联合使用 2、选择待求点和最简单点(已知量最多) 列方程 3、选择方便解题的零势能参考面 4、不熟悉特殊形式，可列出完整形式
【例题2】水从一个大容器里放出。确定出口处 的流速
p1
1 2
12
gh
p2
1 2
2 2
由于Ｓ1>>Ｓ2，故有
υ1<<υ2，可视υ1≈０。又因 为p1=p2=p0，有
N
m
伯努利方程的结论
• 前提：理想流体做定常流动（同一流管内） • 结论：在作定常流动的理想流体中，同一流
管的不同截面处，每单位体积流体的动能、 势能、压强能之和为一常量。
即： p 1 v2 gh 常量
2
压强、流速和高度的关系
【例题1】设有流量为 0.12 m3/s
vB
的水流过如图所示的管子。A
∴ 1 S2
2 gh
(
S2 1
S
2 2
)
气体的流量：
Q S11 S1S2
2gh
(S12
S
2 2
)
皮托管
直管下端A处流速不变，弯 管下端B处流体受阻，形成 速度为零的“滞止区”.
vA=v， vB=0
pA
1 2
v 2
pB
开口A与v相切,开口B逆着液体流向
pB pA gh （h为两管中液面高度差）
20m
s
由伯努利方程得
vB
p A
1 2
v
2 A
gh A
pB
1 2
vB2
ghB
pB
pA
1 2
v
2 A
1 2
vB2
ghB
hA
2105 1 1000122 1 1000 202 1000 9.8 2
2
2
5.24104 Pa
2.2.2 伯努利方程的应用
1压强和流速的关系及举例（水平管） 2压强和高度的关系及举例（均匀管） 3伯努利方程的解题思路
根据功能原理推导伯努利方程 外力的总功=机械能增量
* 以 流 管 中 XY 段 的 理 想
流体为研究对象
Y 2 Y′ p2
F2 S2
p1 F1
S1 X 1 X′
h1
1t
2t
h2
S11Δt = S2 2Δt =V
m1 = m2 = m
在短时间Δt(Δt→0)内，流体XY移至X´Y´
外力的总功：A = p1S1 1Δt - p2S22Δt =p1 V -p2 V
1.压强和流速的关系
条件：水平管
p1
1 2
v12
p2
1 2
v22
p 1 v2 常量
2
结论：流速小的地方压强大， 流速大的地方压强小。
压强和流速的关系应用举例
1) 空吸现象 2) 汾丘里流量计 3) 皮托管
12 喷雾器
空吸现象
S1>S2 → v1<v2 →p1>p2 p2<p0 →空吸现象
水流抽气机
汾丘里流量计
∵
p 1 2 p 1 2
2 1
1
2 2
2
S11 S22
△h
p1 p2 gh
∴
v1 S2
2gh S12 S22
p2 S2
p1υ1
流体的流量：
S1
Q S11 S1S2
2gh S12 S22
气体流量计
∵
p1
1 2
12
p2
1 2
2 2
S11 S22
p1 p2 gh
所以，液体的流速 v 2gh
A孔正对着气体流动方向，形成滞止区，
M孔截面与v平行。
pM
1 2
2
pA
Ａ孔、Ｍ孔处的压强差 为：
p p gh
A
M
1 2
2
所以流速为：
测量气体流速的皮托管
2gh
2.压强和高度的关系
条件：粗细均匀管
p1 gh1 p2 gh2
即：流体在粗细均匀的管中流动时，高 处的压强小，低处的压强大。利用这一原 理可解释体位对血压测量的影响。
• 伯努利方程： • 原理：能量守恒定律
条件：理想流体、定常流动 描述：流速v，高度h和压强p之间的关系 结论：？？？
2.2.1 伯努利方程的推导
* 以 流 管 中 XY 段 的 理 想 流体为研究对象
p1 F1
S1 X 1 X′
h1
1t
Y 2 Y′ p2
F2 S2
2t
h2
在短时间Δt(Δt→0)内，流体XY移至X´Y´
动能的增量：EK
1 2
m2
2 2
1 2
m 2 11
1 2
mv22
1 2
mv12
势能的增量：EP m2gh2 m1gh1 mgh2 mgh1
根据功能原理: A Ek Ep
p1V
p2V
1 2
m22
1 2
m12
mgh2
mgh1
p1V
1 2
mv12
mgh1
p2V
1 2
mv22
mgh2
p 1 2 gh p 1 2 gh
2 1
1
1
2 2
2
2
X、Y两截面在流管中的位置选取上是任意的
对任意截面有 p 1 2 gh constant
2
p 1 2 gh 常量
2
1 2
2
单位体积流体的动能
— 动压强
gh 单位体积流体的重力势能
静压强
p
单位体积流体的压强能
疑问1：p为压强，另外两项为能量，量纲不 一致？
疑问2：p为何称为单位体积的压强能？
体位对血压的影响
p1 gh1 p2 gh2
通过计算可知，身体各部位距心脏水平 高度每升高1.3cm，则升高部位的血压将降 低0.13kPa(1mmHg)。临床全麻手术过程中， 为了使手术区域局部的脉压降低，减少出血， 将尽量使手术部位高于心脏。
测血压时，为避免体位对血压的影响， 一般选定心脏为零势能参考点，人取坐位测 定肱动脉处的动脉血压。如果将手臂抬高， 测得的血压就偏低；如果低于心脏，测得的 血压就偏高。
点的压强为 2×105 Pa ，A 点的
截面积为 100 cm2 ， B 点的截
面积为 60 cm2 。假设水的粘性
可以忽略不计，求 A、B 两点的
流速和 B 点的压强。
解：水可看作不可压缩的流体
由连续性方程 SAvA SBvB Q 得
vA
Q SA
0.12 102
12m
Βιβλιοθήκη Baidu
s
vB
Q SB
0.12 60104
连续性方程(复习)
• 质量流量守恒： Sv 常量
流体作定常流动时，流管中各横截面的质量流 量相等。
• 体积流量守恒： Sv 常量
理想流体作定常流动时，流管中各横截面的 体积流量相等。 截面大处流速小，截面小处流速大。
• 连续性方程： • 原理：质量守恒定律
条件：理想流体、定常流动 描述：流速v和横截面积S之间的关系 结论：Q = Sv = 常量
pV 1 mv2 mgh 常量 pV 1 Vv2 Vgh 常量
2
2
p 1 2 gh 常量
2
1 2
2
的单位：k g
m3
m2 s2
kg m2
m s2
N m2
— 动压强
gh
的单位：kg
m3
m s2
m
kg m2
m s2
p
静压强
V等于一个单位体积(如1m3)时，…
p
的单位：N
m2
m3
3.利用伯努利方程解题
1、常与连续性方程联合使用 2、选择待求点和最简单点(已知量最多) 列方程 3、选择方便解题的零势能参考面 4、不熟悉特殊形式，可列出完整形式
【例题2】水从一个大容器里放出。确定出口处 的流速
p1
1 2
12
gh
p2
1 2
2 2
由于Ｓ1>>Ｓ2，故有
υ1<<υ2，可视υ1≈０。又因 为p1=p2=p0，有
N
m
伯努利方程的结论
• 前提：理想流体做定常流动（同一流管内） • 结论：在作定常流动的理想流体中，同一流
管的不同截面处，每单位体积流体的动能、 势能、压强能之和为一常量。
即： p 1 v2 gh 常量
2
压强、流速和高度的关系
【例题1】设有流量为 0.12 m3/s
vB
的水流过如图所示的管子。A
∴ 1 S2
2 gh
(
S2 1
S
2 2
)
气体的流量：
Q S11 S1S2
2gh
(S12
S
2 2
)
皮托管
直管下端A处流速不变，弯 管下端B处流体受阻，形成 速度为零的“滞止区”.
vA=v， vB=0
pA
1 2
v 2
pB
开口A与v相切,开口B逆着液体流向
pB pA gh （h为两管中液面高度差）
20m
s
由伯努利方程得
vB
p A
1 2
v
2 A
gh A
pB
1 2
vB2
ghB
pB
pA
1 2
v
2 A
1 2
vB2
ghB
hA
2105 1 1000122 1 1000 202 1000 9.8 2
2
2
5.24104 Pa
2.2.2 伯努利方程的应用
1压强和流速的关系及举例（水平管） 2压强和高度的关系及举例（均匀管） 3伯努利方程的解题思路
根据功能原理推导伯努利方程 外力的总功=机械能增量
* 以 流 管 中 XY 段 的 理 想
流体为研究对象
Y 2 Y′ p2
F2 S2
p1 F1
S1 X 1 X′
h1
1t
2t
h2
S11Δt = S2 2Δt =V
m1 = m2 = m
在短时间Δt(Δt→0)内，流体XY移至X´Y´
外力的总功：A = p1S1 1Δt - p2S22Δt =p1 V -p2 V
1.压强和流速的关系
条件：水平管
p1
1 2
v12
p2
1 2
v22
p 1 v2 常量
2
结论：流速小的地方压强大， 流速大的地方压强小。
压强和流速的关系应用举例
1) 空吸现象 2) 汾丘里流量计 3) 皮托管
12 喷雾器
空吸现象
S1>S2 → v1<v2 →p1>p2 p2<p0 →空吸现象
水流抽气机
汾丘里流量计
∵
p 1 2 p 1 2
2 1
1
2 2
2
S11 S22
△h
p1 p2 gh
∴
v1 S2
2gh S12 S22
p2 S2
p1υ1
流体的流量：
S1
Q S11 S1S2
2gh S12 S22
气体流量计
∵
p1
1 2
12
p2
1 2
2 2
S11 S22
p1 p2 gh
所以，液体的流速 v 2gh
A孔正对着气体流动方向，形成滞止区，
M孔截面与v平行。
pM
1 2
2
pA
Ａ孔、Ｍ孔处的压强差 为：
p p gh
A
M
1 2
2
所以流速为：
测量气体流速的皮托管
2gh
2.压强和高度的关系
条件：粗细均匀管
p1 gh1 p2 gh2
即：流体在粗细均匀的管中流动时，高 处的压强小，低处的压强大。利用这一原 理可解释体位对血压测量的影响。
• 伯努利方程： • 原理：能量守恒定律
条件：理想流体、定常流动 描述：流速v，高度h和压强p之间的关系 结论：？？？
2.2.1 伯努利方程的推导
* 以 流 管 中 XY 段 的 理 想 流体为研究对象
p1 F1
S1 X 1 X′
h1
1t
Y 2 Y′ p2
F2 S2
2t
h2
在短时间Δt(Δt→0)内，流体XY移至X´Y´
动能的增量：EK
1 2
m2
2 2
1 2
m 2 11
1 2
mv22
1 2
mv12
势能的增量：EP m2gh2 m1gh1 mgh2 mgh1
根据功能原理: A Ek Ep
p1V
p2V
1 2
m22
1 2
m12
mgh2
mgh1
p1V
1 2
mv12
mgh1
p2V
1 2
mv22
mgh2
p 1 2 gh p 1 2 gh
2 1
1
1
2 2
2
2
X、Y两截面在流管中的位置选取上是任意的
对任意截面有 p 1 2 gh constant
2
p 1 2 gh 常量
2
1 2
2
单位体积流体的动能
— 动压强
gh 单位体积流体的重力势能
静压强
p
单位体积流体的压强能
疑问1：p为压强，另外两项为能量，量纲不 一致？
疑问2：p为何称为单位体积的压强能？
体位对血压的影响
p1 gh1 p2 gh2
通过计算可知，身体各部位距心脏水平 高度每升高1.3cm，则升高部位的血压将降 低0.13kPa(1mmHg)。临床全麻手术过程中， 为了使手术区域局部的脉压降低，减少出血， 将尽量使手术部位高于心脏。
测血压时，为避免体位对血压的影响， 一般选定心脏为零势能参考点，人取坐位测 定肱动脉处的动脉血压。如果将手臂抬高， 测得的血压就偏低；如果低于心脏，测得的 血压就偏高。
点的压强为 2×105 Pa ，A 点的
截面积为 100 cm2 ， B 点的截
面积为 60 cm2 。假设水的粘性
可以忽略不计，求 A、B 两点的
流速和 B 点的压强。
解：水可看作不可压缩的流体
由连续性方程 SAvA SBvB Q 得
vA
Q SA
0.12 102
12m
Βιβλιοθήκη Baidu
s
vB
Q SB
0.12 60104