(优选)伯努利方程
伯努利方程三种形式公式
伯努利方程三种形式公式
第一种形式的伯努利方程公式是：
P₁ + 1/2ρv₁² + ρgh₁ = P₂ + 1/2ρv₂² + ρgh₂
其中P₁和P₂分别表示两个位置的压力，ρ表示流体的密度，v₁和v₂表示两个位置的流速，g为重力加速度，h₁和h₂表示两个位置的高度。
这个公式描述了流体在两个位置之间能量守恒的关系。
等式左边的第
一项表示压力能，第二项表示动能，第三项表示单位质量的重力势能。
等
式右边的三项表示相应位置的压力能、动能和重力势能。
这个公式适用于
流体在不完全关闭的管道、管道两端处于同一高度的情况。
第二种形式的伯努利方程公式是：
P + 1/2ρv² + ρgh = const
这是一个简化形式的伯努利方程，它将两个位置的参数合并成一个常数。
这个公式的物理意义是，当流体在流动过程中没有受到外界力的作用时，流体的总能量保持不变。
这个公式适用于理想的水平管道、无摩擦的
流动。
第三种形式的伯努利方程公式是：
P + 1/2ρv² = const
这是伯努利方程的最简形式，它忽略了重力势能的影响。
这个公式适
用于理想的非粘性流体在无重力情况下的流动，如气体等。
这三种形式的伯努利方程公式分别适用于不同的流体力学问题。
选择
适用的公式取决于具体的流动条件和需要分析的问题。
无论选择哪种形式，
伯努利方程都提供了一个重要的工具，可以帮助我们研究流体力学中的能量转换和守恒。
流体力学伯努利方程公式
流体力学伯努利方程公式
流体力学伯努利方程是物理学中最基本且重要的方程之一。
它是关于流体运动的一组非线性方程，用于以数学方法描述流体运动，它被用于解决流动问题，如气体动力学、湍流流动和热流动。
伯努利方程由英国数学家兼流体力学家约翰·尼科（John von Neumann）在1946年初提出，它是一个具有三个未知量的非线性方程组，同时反映了运动的流体的动量、动能和动量守恒的特性。
伯努利方程的首要用途是计算几何体内流体的参数，它刻画了由于抗力矢量和动量耦合而引起的湍流运动流场。
伯努利方程指定了一个n维流体中特定目标位置上物体的物理参数，它具有一个参数向量，即，流速，流体密度，力学压力，温度和能量密度。
基本伯努利方程可以写成：
∇·（ρu）=0，
∇·u=0，
∇·P+ρ∂u/∂t=ρS，
其中ρ是流体的密度，u是流速，P是静压力，t是时间，S代表的是外力。
伯努利方程被广泛地应用于可解决多维流动，如水流、风流、温度场、抗静电场和对流传输等。
在主动低频技术中，伯努利方程还用于解决超声成像，超声测量和声学设计方面的应用。
它通常被用于数值分析，以解决流动问题的复杂性，并根据实验数据预测流体的行为。
因此，伯努利方程在现代物理学中扮演着一个重要的角色，它不仅可以帮助人们更好地理解流体的行为，还可以帮助我们更特别的设计有效的模拟和预测流体的行为。
伯努利方程——精选推荐
伯努利⽅程伯努利⽅程伯努利⽅程就是能量守衡定律在流动液体中的表现形式。
(动能定理)1、理想液体的运动微分⽅程在微⼩流束上，取截⾯积为dA，长为ds的微元体，现研究理想液体定常流动条件下在重⼒场中沿流线运动时其⼒的平衡关系。
微元体的所受的重⼒为-ρgdAds，压⼒作⽤在两端⾯上的⼒为微元体在定常流动下的加速度为微元体的⼒平衡⽅程为上式简化后可得p，z，u只是s的函数，进⼀步简化得上式即为重⼒场中，理想液体沿流线作定常流动时的运动⽅程，即欧拉运动⽅程。
2、理想液体的伯努利⽅程沿流线对欧拉运动⽅程积分得上式两边同除以g 得以上两式即为理想液体作定常流动的伯努利⽅程。
伯努利⽅程推导简图物理意义：第⼀项为单位重量液体的压⼒能称为⽐压能（p/ρg ）；第⼆项为单位重量液体的动能称为⽐动能（u2/2g ）；第三项为单位重量液体的位能称为⽐位能（z）。
由于上述三种能量都具有长度单位，故⼜分别称为压⼒⽔头、速度⽔头和位置⽔头。
三者之间可以互相转换，但总和（H，称为总⽔头）为⼀定值。
3．实际液体流束的伯努利⽅程实际液体都具有粘性，因此液体在流动时还需克服由于粘性所引起的摩擦阻⼒，这必然要消耗能量，设因粘性⼆消耗的能量为hw'，则实际液体微⼩流束的伯努利⽅程为4．实际液体总流的伯努利⽅程将微⼩流束扩⼤到总流，由于在通流截⾯上速度u是⼀个变量，若⽤平均流速代替，则必然引起动能偏差，故必须引⼊动能修正系数。
于是实际液体总流的伯努利⽅程为式中hw---由液体粘性引起的能量损失；α1，α2---动能修正系数，⼀般在紊流时取α＝1，层流时取α＝2。
5．伯努利⽅程应⽤举例例1 侧壁孔⼝流出速度条件: p1和p2 ，h为⾼，以⼩孔中⼼线为基准。
例2 ⽂丘利流量计例3 液压泵的最⼤吸油⾼度例4 试运⽤连续性⽅程和伯努利⽅程分析变截⾯⽔平管道各处的压⼒情况.条件:A1>A2>A3 ⽐较:流速和压⼒的⼤⼩四、动量⽅程液体作⽤在固体壁⾯上的⼒，⽤动量定理来求解⽐较⽅便。
伯努利方程的公式
伯努利方程的公式
伯努利方程的公式是p+ρgz+(1/2)*ρv^2=C。
伯诺里方程即伯努利方程，又称恒定流能量方程，是理想流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。
伯努利，男，700年2月8日出生于荷兰格罗宁根，782年去世，瑞士物理学家、数学家、医学家。
伯努利，著名的伯努利家族中最杰出的一位。
他是数学家J．伯努利的次子，和他的父辈一样，违背家长要他经商的愿望，坚持学医，他曾在海得尔贝格、斯脱思堡和巴塞尔等大学学习哲学、论理学、医学。
伯努利72伯努利年取得医学硕士学位。
努利在25岁时(伯努利725)就应聘为圣彼得堡科学院的数学院士。
8年后回到瑞士的巴塞尔，先任解剖学教授，后任动力学教，伯努利750年成为物理学教授。
一共读过三个大学，分别是尼赛尔大学、斯特拉斯堡大学和海德堡大学。
[1]
在伯努利725～伯努利749年间，伯努利曾十次荣获法国科学院的年度奖。
伯努利782年3月伯努利7日，伯努利在瑞士巴塞尔逝世，终年82岁。
1。
伯努利方程的三种形式
伯努利方程的三种形式
p+(1/2)*ρv^2+ρgz=C，这个式子被称为伯努利方程。
它也可以被表述为p1+1/2ρv1^2+ρgh1=p2+1/2ρv2^2+ρgh2。
一般不管高度时可简化为：p1+1/2ρv1^2=p2+1/2ρv2^2。
应用举例1
飞机为什么能够飞上天？因为机翼受到向上的升力。
飞机飞行时机翼周围空气的流线分布是指机翼横截面的形状上下不对称，机翼上方的流线密，流速大，下方的流线疏，流速小。
由伯努利方程可知，机翼上方的压强小，下方的压强大。
这样就产生了作用在机翼上的方向的升力。
应用举例2
喷雾器是利用流速大、压强小的原理制成的。
让空气从小孔迅速流出，小孔附近的压强小，容器里液面上的空气压强大，液体就沿小孔下边的细管升上来。
从细管的上口流出后，空气流的冲击，被喷成雾状。
应用举例3
汽油发动机的化油器，与喷雾器的原理相同。
化油器是向汽缸里供给燃料与空气的混合物的装置，构造原理是指当汽缸里的活塞做吸气冲程时，空气被吸入管内，在流经管的狭窄部分时流速大，压强小，汽油就从安装在狭窄部分的喷嘴流出，被喷成雾状，形成油气混合物进入汽缸。
演示文稿伯努利方程推导
d
dy
第20页，共21页。
流体的湍流 雷诺数
层流不是流动的唯一形式；
湍流：流体在管道内流动，当流速超过某一临界值，流体的层流状态
将被破坏，各流层相互混淆，局部有横向流动，呈现不规则的涡状流动 ，这种流动状态称为湍流。
在自然现象中，比较普遍的流动状态是湍流，如江河急流、烟囱 排出的废气流、大气的流动等。
第5页，共21页。
四.连续性原理
1. 推导过程：
假设：
①.取一个截面积很小的细流管，垂直于流管的同一截面上的各点流速
相同； ②.流体由左向右流动 ；
③.流体具有不可压缩性 ；
④.流体质点不可能穿入或者穿出流管 ；
⑤.在一个较短的时间t内，流进流管的流体质量等于流出流管的 流体质量（质量守恒），即：
p 1 v2 恒量 S 恒量
2
2 S1
2p1 p2
S12 S22
p1 p2 gH
流速： 2 S1
2gH S12 S22
,
1
S2
2gH S12 S22
体积流量： QV S22 S1S2
2gH S12 S22
只要读出两个竖 管的高度差，就 可以测量流速和 流量
第16页，共21页。
生活中的实例：
1. 在海洋中平行航行的两艘大轮船，相互不能靠得太近，否则 就会有相撞的危险，为什么？
2. 逆流航行的船只行到水流很急的岸边时，会自动地向岸靠拢；
3. 汽车驶过时，路旁的纸屑常被吸向汽车； 4. 简单的实验：用两张窄长的纸条，相互靠近，用嘴从两纸条
中间吹气，会发现二纸条不是被吹开而是相互靠拢，就是 “速大压小”的道理。 5. 打开的门窗，有风吹过，门窗会自动的闭合，然后又张开；
伯努利方程
伯努利方程（Bernoulli equation）伯努利方程（Bernoulli equation）理想正压流体在有势彻体力作用下作定常运动时，运动方程（即欧拉方程）沿流线积分而得到的表达运动流体机械能守恒的方程。
因著名的瑞士科学家D.伯努利于1738年提出而得名。
对于重力场中的不可压缩均质流体，方程为p+ρgz+(1/2)*ρv^2=C式中p、ρ、v分别为流体的压强、密度和速度；z 为铅垂高度；g为重力加速度。
上式各项分别表示单位体积流体的压力能 p、重力势能ρg z和动能(1/2)*ρv ^2，在沿流线运动过程中，总和保持不变，即总能量守恒。
但各流线之间总能量（即上式中的常量值）可能不同。
对于气体，可忽略重力，方程简化为p+(1/2)*ρv ^2＝常量(p0)，各项分别称为静压、动压和总压。
显然，流动中速度增大，压强就减小；速度减小，压强就增大；速度降为零，压强就达到最大(理论上应等于总压)。
飞机机翼产生举力，就在于下翼面速度低而压强大，上翼面速度高而压强小，因而合力向上。
据此方程，测量流体的总压、静压即可求得速度，成为皮托管测速的原理。
在无旋流动中，也可利用无旋条件积分欧拉方程而得到相同的结果但涵义不同，此时公式中的常量在全流场不变，表示各流线上流体有相同的总能量，方程适用于全流场任意两点之间。
在粘性流动中，粘性摩擦力消耗机械能而产生热，机械能不守恒，推广使用伯努利方程时，应加进机械能损失项。
图为验证伯努利方程的空气动力实验。
补充：p1+1/2ρv1^2+ρgh1=p2+1/2ρv2^2+ρgh2（1）p+ρgh+(1/2)*ρv^2=常量（2）均为伯努利方程其中ρv^2/2项与流速有关，称为动压强，而p和ρgh称为静压强。
伯努利方程揭示流体在重力场中流动时的能量守恒。
由伯努利方程可以看出，流速高处压力低，流速低处压力高。
图II.4-3为一喷油器，已知进口和出口直径D1=8mm，喉部直径D2=7.4mm，进口空气压力p1=0.5MPa，进口空气温度T1=300K，通过喷油器的空气流量qa=500L/min （ANR），油杯内油的密度ρ=800kg/m3。
关于伯努利方程的理论推导
关于伯努利方程的理论推导
《伯努利方程》，又称《伯努利假设》，是20世纪著名数学家Andrey Kolmogorov提出的一种概率论模型。
伯努利方程（Bernoulli Equation）表示一个有限的概率分布，它描述了一个变量的取值依赖于另外一个变量取值所产生的不同情况之间的关系。
它是概率论中最基础而重要的概念，广泛用于统计学、机器学习、金融数学以及一些实际应用场景。
伯努利方程的公式表示为：
P（X=x）=p^x (1-p)^（1-X）
其中，X为事件的发生与否，取值为0或1；p为在某种条件下某事件发生的概率。
伯努利方程的推导如下：
当X取值为1时，事件发生，其发生概率为p，即P（X=1）=p；
当X取值为0时，事件不发生，其发生概率为1-p，即P（X=0）=1-p；
以上两式相乘可得：
P（X=1）P（X=0）=P（X=1）（1-p）=p（1-p）
根据概率乘法定律，把X取值为0或1的两种情况统一表示，可得如下公式：
P（X=x）=p^x (1-p)^（1-x）
如此，便完成了伯努利方程的推导。
伯努利方程的概念广泛应用于实际，如经济统计学中经常使用它
来表示经济变量的概率分布，在信息论中，可以把它用来衡量某个信息源的信息熵，在机器学习中，用它来表示决策树以及逻辑回归算法，而且在金融数学中，还可以使用它来模拟股市中的收益概率分布。
伯努利模型的推导及应用，即实现了统计学与概率论的完美结合。
总之，伯努利方程（Bernoulli Equation）是一种有限的概率分布模型，它比较简单，易于理解，而且应用广泛，因而在统计学、信息论、机器学习以及金融数学等领域均有着重要的应用。
伯努利方程伯努利方程式
在实际应用中，管道流体传输需要考虑到安全、环保等方面的要求，而伯努 利方程可以为这些问题的解决提供理论支持和实践指导。
其他领域的应用
航空航天：飞机设计中的流体动力学分析 船舶工程：船舶推进器优化设计 化工领域：分离过程的优化控制 气象学：气象预报中的风速计算
伯努利方程的局限性
添加标题
伯努利方程的推导
推导过程：通过 微分方程和积分 方程的推导，得 到伯努利方程的 形式
初始条件和边界 条件：在推导过 程中需要考虑的 初始条件和边界 条件
推导结论：得到 伯努利方程后， 对其进行分析和 解释
应用场景：介绍 伯努利方程在流 体力学、航空航 天等领域的应用
伯努利方程的应用场景
航空领域：飞机飞行时，机翼上 下的空气流速不同，产生升力
气象学：风速与气压的关系，如 风向标和气象气球
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
管道流动：液体在管道中流动时， 流速快的地方压力小，流速慢的 地方压力大
船舶工程：船只航行时，船体下 方的水流速度更快，产生向上的 升力
04
伯努利方程的应用
航空领域的应用
飞机起飞和降落：伯努利方程解 释了气流对飞机机翼的作用力， 影响起飞和降落的安全。
重要支持。
随着科技的不 断进步，伯努 利方程的理论 研究将更加深 入，有望为解 决复杂流体问 题提供更多思
路和方法。
未来发展中， 伯努利方程的 应用前景将更 加广阔，为人 类社会的进步 和发展做出更
大的贡献。
YOUR LOGO
THANK YOU
汇报人：XX
对航空航天的影响
飞机机翼设计：利用伯努利方程 原理，设计出机翼形状，实现升 力产生和飞行稳定性。
伯努利方程优选PPT
流线
• 为了形象地描述作定常流动的流体 3、帮你制作一个动画或一个FLASH按钮并插入你指定的页面内收10元；
如你看后满意，请把此页面删掉，以免打扰你正常使用，我们万分感谢！ 如喷雾器就是利用流速大、压强小的原理制成的。
的流动而引入的假想的直线或曲线， 在流动的流体中，流速大的地方压强小；
在流动的流体中，流速大的地方压强小； 1）网上在线付款：在我们的网站或
第八节 伯努利方程
小实验
• 为何乒乓球掉不下来有粘滞性的液体叫做 理想流体
• 一般情况下，密度不发生明显变化 的气体、粘滞性小的流体均可看成 理想流体．
定常流体
• 流体质点经过空间各点的流速虽然可 以不同，但如果空间每一点的流速不 随时间而改变，这样的流动方式称为 定常流动，也可称为稳定流动。这也 是一种理想化的流动方式。
1. 伯努利方程表述的是理想流体作 定常流动时，流体中压强和流速 的规律。
2. 在流动的流体中，流速大的地方 压强小；流速小的地方压强大。
应用实例：
1. 如喷雾器就是利用 流速大、压强小的 原理制成的。
2. 飞机升空的原理。
如你看后满意，请把此页面删掉，以免打扰你正常使用，我们万分感谢！
本站敬告： 一、本课件由“半岛教学资源（）”提供下载, 官网是，网站创办人杨影，系广东省徐闻县徐城中学语文教 师，兼任电脑课，拥有多年网站和课件制作经验，欢迎查实。 二、此课件为作者原作，如你看后有不满意的地方，我们提供专业技术修改，具体如下： 3、1、帮你修制改作最一个低动起画点或一15个元FLA，SH负按钮责并给插你入你修指改定4的个页以面内内收页10面元；，24小时内完成，不完成全额退款； 3、2、帮你修制改作4一个个页动画面或以一上个F的LAS，H按每钮加并插1个入你页指面定收的页5元面内，收插10入元；你发来图片并制作动画特效每张1元； 伯3努、利帮方你程表制述作的是一理个想动流体画作或定一常流个动F时L，AS流H体按中压钮强并和插流速入的你规指律。定的页面内收10元； 如为4喷了、雾 形帮器象你就地是描把利述一用作流定个速常音大流频、动压的或强流视小体频的的原流文理动件制而剪成引的入成。的一假个想的或直几线个或曲并线插，入其作你用指与定电场的线页和面磁感内线并相制似．特效收10元。 04三481、36 成收款交人方：法杨影： 在1邮、件根里据写明上你面在我第们二网点站里的的4会个员小账点号和，付算款下是多你少的钱修，以改便要我多们查少询钱。，然后付款，付款方法有二： 1流）1线）网疏上网的在上地线方在付，款线流：速付在小款我；们：的在网我站或们的网站或 把里文注件一册并会发员来，后要登插录入图进片会的员也要中把心图在片发线来付(我款们不到提我供们找图网片站服里务)；。 为2了）形象汇地款描述：作到定常柜流台动的转流账体或的流存动款而，引入开的户假行想的：直工线商或曲线，，账其号作用：与9电55场8线8和2磁2感0 线15相0似0． 34、、04把帮4你你8要把13修一6改个收的音要频款求或人写视：在频发文杨来件影的剪邮成件一里个，或如几果个需 并要插我入们你帮指剪定辑的音页频面或内视并频制文特件效的收，10元要。 在2流、动把的你流体要中修，流改速的大课的地件方发压到强小我；们的邮箱或里，并 不在可邮压缩件、里没写有粘明滞你性在的液我体们叫网做理站想里流的体 会员账号和付款是多少钱，以便我们查询。 2）3、汇把款：你到要柜修台改转的账或要存求款，写开在户发行：来工的商邮，件账里号：，95如58 果822需0 15要00我们帮剪辑音频或视频文件的，要 把文件一并发来，要插入图片的也要把图片发来(我们不提供找图片服务)。 四、加急请联系： ， ，短信： 五、温馨提示：请在修改要求中尽可能详细的说明你的要求，我们做好发给你后只给你 提供一次重改机会,因你说明不清楚造成要修改第三次的，要补交半数费用。 六、如果你的PPT课件制作技术不错，你也可以加盟成为我站技术代表，你将接到我站交 给你的大量PPT课件制作订单，做好后我站把客户交给我站的钱转给你。详情请点击 这里了解。
伯努利方程原理及其应用
伯努利方程原理及其应用伯努利方程原理是流体力学中的一个重要定理，描述了流体在不同位置的压力、速度和高度之间的关系。
它是基于质量守恒和动量守恒定律得出的。
伯努利方程的应用非常广泛，涉及许多领域，如水力工程、航空航天工程、血液循环等。
P + 1/2ρv² + ρgh = 可以称之为 Bernoulli's Principle 分成三个代表量就是 (pressure), (velocity) and (height)其中，P代表流体的压力，ρ代表流体的密度，v代表流体的流速，g代表重力加速度，h代表流体的高度。
这个方程的意义是，当流体在稳定非粘性的情况下沿着流线流动时，流体在不同位置上的压力、速度和高度之间是相互关联的。
1.水力工程：伯努利方程可以用来研究液体在管道流动中的压力和速度变化。
在水力工程中，通过伯努利方程可以计算水管中的液体流速、压力等参数，从而确定水力机械设备的设计和运行参数。
2.航空航天工程：伯努利方程可以用来研究气体在飞行器周围的流动。
当气体流动速度增加时，伯努利方程能够说明气体的压力减小。
这一原理被应用在飞机的翼型设计中，通过加速飞行器周围的气流，可以产生升力，从而使飞机升起。
3.血液循环：伯努利方程可以用来研究血液在血管中的流动。
血液在动脉和静脉中的流速和压力变化可以通过伯努利方程来描述。
在生理学中，伯努利方程被用来分析血管疾病的发生机制，如动脉瘤、血栓形成等。
4.分离气体传输：伯努利方程在管道气体输送过程中也有重要应用。
通过伯努利方程可以计算气体在管道中的流速和压力变化，从而确定管道的设计和运行参数。
此外，伯努利方程还可以应用于喷射器、超声波仪器、气象学中的风场分析等领域。
总的来说，伯努利方程通过描述流体在不同位置的压力、速度和高度之间的关系，为流体力学的研究和应用提供了基础。
通过对伯努利方程进行分析和应用，可以更好地理解和预测流体力学现象的发生和发展。
伯努利原理应用的表达式
伯努利原理应用的表达式1. 什么是伯努利原理伯努利原理是流体力学中的基本原理之一，描述了运动的不可压缩流体沿着流动方向，沿着与流体运动方向切向的点上的压力的变化情况。
根据伯努利原理，当沿着流体流动方向流速增加时，压力会下降；当流速减小时，压力会上升。
伯努利原理可以用于解释许多涉及流体运动的现象，例如：喷气引擎的工作原理、水龙头的喷射效果、飞机起飞和降落等。
2. 伯努利原理的表达式伯努利原理的数学表达式为：P + 1/2ρv^2 + ρgh = 常数其中，P代表流体的压力，ρ代表流体的密度，v代表流体的流速，h代表流体的位移高度，常数表示沿流线的某一点上的压力、速度和高度的总和。
3. 伯努利原理的应用伯努利原理广泛应用于实际生活和工程中，下面列举几个常见的应用场景。
3.1 飞机起飞和降落飞机起飞和降落过程中，伯努利原理起到重要的作用。
当飞机起飞时，机翼上方的气流速度增加，而下方气流速度较慢，从而导致机翼上方气流的压力减小，下方气流的压力增大。
这个压力差产生的上升力可以使得飞机脱离地面。
同样的道理，在飞机降落时，合理利用伯努利原理可以减小降落时的着陆距离。
3.2 水龙头的喷射效果当我们打开水龙头时，水从水管中流出，形成一个细流。
如果我们把手指放在细流的出口上方的地方，我们会感受到一股由水流快速移动产生的压力。
这是因为通过伯努利原理，快速流动的水减少了细流的压力。
根据伯努利原理，流速增加，压力就会降低，水的速度越快，出口附近的压力就越低。
3.3 喷气引擎的工作原理喷气引擎是一种广泛应用伯努利原理的设备。
喷气引擎通过将空气加热、加压，并通过喷嘴的喷射产生高速气流。
根据伯努利原理，气流的速度越快，喷嘴附近的压力就越低，从而产生向后的推力，推动飞机或其他设备前进。
4. 结论伯努利原理是流体力学中的重要概念，通过数学表达式和实际应用，我们可以更好地理解流体运动中的压力、速度和位移之间的关系。
在飞机起飞和降落、水龙头的喷射效果、喷气引擎的工作等方面，伯努利原理的应用发挥了重要的作用。
伯努利方程——精选推荐
2．两气体伯努利方程式的推导
2 1 0
P2 , w2
热 气 体
P1 ,w1
z2
冷 气
体
Pa1
z1
基准面
• 前提：系统内热气体作稳定而连续的流动，外界冷空气认为是静止的。
•
热气体：
P1
gZ1
w12 2
P2
gZ2
w22 2
+
hl (12)
• 冷空气： Pa1 a gZ1 Pa2 a gZ2
• 两式相减并整理，得两气体的伯努利方程式 ：
伯努利方程式的使用条件：
• ① 气体在窑炉系统稳定流动； • ② 气体只受重力的作用； • ③ 截面是渐变流截面； • ④ 气体在流动过程中温度不变。
• 方程的物理意义:
表示流动过程中能量的守恒关系。
注意区别： 流体力学中的柏努利方程式： 表示单一流动绝对能量的守恒； 两气体柏努利方程： 表示相对能量的守恒（热气体相对于冷气体）。
20℃，空气（标态）密度
ρa,0=1.293kg/m3， 当窑底平面
的静压头为0Pa，-17Pa，-30Pa 时，不计流体阻力损失，
求三种情况下，窑顶以下空间静压头、 几何压头分布状况。
例题
【例1】 】如图所示，为—上水 泵图为了测定水泵功率，在吸水 管和出水管各装一个压力计， 测得进水管截面 I 处的压强 为—25.48 kPa，出水管截面 2 处的压强为 245 kPa。两测压点 1 和 2 的高差为 1m。d1=80mm， d2=68mm，W1=1.5m/3。试求水泵 功率，（不计压头损失）
⑶
hk
w2 2
动压头
• ※物理意义 ：表示单位体积气体流动时所 具有的动能；它与气体在截面上的平均流 速有关。
伯努利方程 傅里叶方程
伯努利方程傅里叶方程
伯努利方程和傅里叶方程是物理学中非常重要的两个方程，它们分别描述了流体力学和热传导的基本规律。
伯努利方程是描述流体在不同位置的压力、速度和高度之间的关系的方程。
它是由瑞士数学家伯努利在18世纪提出的。
伯努利方程的基本形式为：
P + 1/2ρv² + ρgh = 常数
其中，P表示流体在某一位置的压力，ρ表示流体的密度，v表示流体在该位置的速度，g表示重力加速度，h表示流体在该位置的高度。
这个方程表明了在一个封闭的管道中，当流体通过一个狭窄的通道时，速度会增加，压力会降低，而在通道之后，速度会减小，压力会增加。
这个方程在流体力学中有着广泛的应用，例如在飞机、汽车、水泵等领域。
傅里叶方程是描述热传导的方程，它是由法国数学家傅里叶在19世纪提出的。
傅里叶方程的基本形式为：
∂u/∂t = α∇²u
其中，u表示温度场，t表示时间，α表示热扩散系数，∇²表示拉普拉斯算子。
这个方程表明了温度场随时间的变化，与热扩散系数和温度场的梯度有关。
这个方程在热传导领域有着广泛的应用，例
如在材料加工、电子器件散热等领域。
伯努利方程和傅里叶方程是物理学中非常重要的两个方程，它们分别描述了流体力学和热传导的基本规律。
这些方程的应用不仅在科学研究中有着广泛的应用，而且在工程领域也有着重要的应用价值。
伯努利方程公式高数
伯努利方程公式高数好的，以下是为您生成的关于“伯努利方程公式高数”的文章：在咱们学习高数的奇妙世界里，伯努利方程公式就像是一个神秘的宝藏，等待着我们去挖掘和探索。
先来说说伯努利方程到底是个啥。
它呀，用数学语言表述出来就是：p + 1/2ρv² + ρgh = 常量。
这里的 p 是压强，ρ 是流体的密度，v 是流体的速度，g 是重力加速度，h 是高度。
这几个家伙组合在一起，就构成了一个能够解释很多流体现象的神奇公式。
记得有一次，我在公园里看到一个喷泉。
那喷泉的水高高地喷起，然后又散落下来，形成了一道道美丽的弧线。
当时我就在想，这不就是伯努利方程的一个活生生的例子嘛！喷泉口的水速度大，压强就小，周围的大气压就把水压上去，形成了高高的水柱。
而当水往上喷的过程中，速度逐渐减小，压强增大，最终在重力的作用下又落了下来。
咱们再深入地聊聊这个公式。
伯努利方程其实反映了流体在流动过程中能量的守恒。
压强能、动能和势能，它们在一定条件下可以相互转化，但总和保持不变。
这就好像我们兜里的钱，有时候拿去买吃的，有时候拿去买衣服，形式虽然变了，但总钱数不变。
在实际应用中，伯努利方程可太有用了。
比如飞机的翅膀，上面是弧形，下面是平的。
当空气流过时，上面的空气流速快，压强小；下面的空气流速慢，压强大，这样就产生了一个向上的升力，飞机就能飞起来啦。
还有汽车的外形设计，也是考虑了伯努利方程，为了减少空气阻力，让车子跑得更顺畅。
学习伯努利方程可不是一件轻松的事儿。
刚开始接触的时候，那一堆的符号和概念，真能让人脑袋发晕。
我记得我当时做练习题，看着题目里的那些条件，半天都理不清头绪。
一会儿忘了这个量，一会儿又搞错了那个单位。
但是，咱不能怕呀！多做几道题，多琢磨琢磨，慢慢地就找到感觉了。
而且，理解伯努利方程不能只靠死记硬背公式。
得结合实际的例子，多想想生活中的现象，这样才能真正掌握它的精髓。
比如说，我们家里用的水龙头，如果把出水口捏小一点，水流速度就会变快，这也是伯努利方程在起作用呢。
高数伯努利方程
高数伯努利方程
伯努利方程是一种具有普遍性的数学表达式，用来描述折线分析中的统计模型。
它的运算原理是：通过计算变量的概率分布，予以一种形式的描述，从而解释各种变量之间的关系。
而这种关系形式，就叫做伯努利方程，具体表达为Y=1-e^(-bX)。
其中，Y为变量值，X为实验单位或因素量度，e为自然对数的基数，b为模型
形参。
这一神奇的方程，比照真实的情形，把变量Y和X的关系，折射成半径为1
的圆形图形，，需要实际拟合出来才能确定参数b。
伯努利方程的建模应用十分广泛，在概率布朗运动，化学反应领域等多个学科
有着重要的价值。
比如，在布朗运动中，伯努利方程可以用来计算微粒在盒子中自由运动，撞击盒子四壁后基本上反弹回原处的概率，形成对概率分布的模拟。
此外，在物理老化理论中，可以采用伯努利方程解释物料老化的概率分布，以
及在老化过程中各个参量之间的变化。
同样，在园林绿化设计等领域中，伯努利方程也是一种重要的模型，可以用来建模生长对环境因子的响应，以确定最佳园林植物种植、浇水管理等因素。
伯努利方程是一个小小的方程，却可以实现大量的功能，比如折射模型，变量
间关系的模拟，多学科的变量描述等。
可以说，伯努利方程可以有效地广泛应用到许多更广泛的科学领域中，引发科学的探索与思考，十分实用。
伯努利原理公式范文
伯努利原理公式范文
P + 1/2ρv^2 + ρgh = 常数
其中，P表示流体的压力，ρ表示流体的密度，v表示流体的速度，
h表示流体所处的高度，常数表示其中一点上的这三个物理量之和的值。
可以看出，伯努利原理认为，当流体的速度增加时，其压力将下降；反之，当流体的速度减小时，其压力将增加。
1.飞机的升力：根据伯努利原理，当飞机在空中运动时，飞机的翼面
上流动的气体速度大于翼下的气体速度，因此产生了一个向上的力，即升力，使飞机能够飞行。
2.水闸的工作原理：水闸的原理就是利用伯努利原理。
当水闸门打开时，闸后水流速度增加，压力减小，从而将液体抬高到一定高度。
3.风琴原理：风琴通过空气流动产生声音。
风琴中的气流经过狭窄的
气道，使得气流速度增大，从而降低气流压力，形成了吸引空气的效应，
进而产生声音。
4.道路车辆的牵引力：当车辆行驶时，在车辆底盘与道路接触处的气
流速度会增加，从而使车辆底盘下方的气压降低，形成一个向上的浮力，
提供了行驶所需的牵引力。
5.鸟类飞行的原理：伯努利原理解释了鸟类如何在空中飞行。
鸟的翅
膀形状使空气在翅膀的上下表面流动速度不同，从而产生了一个向上的升力，使得鸟能够在空中飞行。
总之，伯努利原理是流体力学中的重要定律之一，描述了流体速度和压力之间的关系。
它在物理学、工程学、生物学等领域都有重要的应用，帮助我们理解和解释了许多自然现象和工程问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
动能的增量：EK
1 2
m2
2 2
1 2
m 2 11
1 2
mv22
1 2
mv12
势能的增量：EP m2gh2 m1gh1 mgh2 mgh1
根据功能原理: A Ek Ep
p1V
p2V
1 2
m22
1 2
m12
mgh2
mgh1
p1V
1 2
mv12
mgh1
p2V
1 2
mv22
mgh2
p 1 2 gh p 1 2 gh
（优选）伯努利方程
连续性方程(复习)
• 质量流量守恒： Sv 常量
流体作定常流动时，流管中各横截面的质量流 量相等。
• 体积流量守恒： Sv 常量
理想流体作定常流动时，流管中各横截面的 体积流量相等。 截面大处流速小，截面小处流速大。
• 连续性方程： • 原理：质量守恒定律
条件：理想流体、定常流动 描述：流速v和横截面积S之间的关系 结论：Q = Sv = 常量
体位对血压的影响
p1 gh1 p2 gh2
通过计算可知，身体各部位距心脏水平 高度每升高1.3cm，则升高部位的血压将降 低0.13kPa(1mmHg)。临床全麻手术过程中， 为了使手术区域局部的脉压降低，减少出血， 将尽量使手术部位高于心脏。
测血压时，为避免体位对血压的影响， 一般选定心脏为零势能参考点，人取坐位测 定肱动脉处的动脉血压。如果将手臂抬高， 测得的血压就偏低；如果低于心脏，测得的 血压就偏高。
• 伯努利方程： • 原理：能量守恒定律
条件：理想流体、定常流动 描述：流速v，高度h和压强p之间的关系 结论：？？？
2.2.1 伯努利方程的推导
* 以 流 管 中 XY 段 的 理 想 流体为研究对象
p1 F1
S1 X 1 X′
h1
1t
Y 2 Y′ p2
F2 S2
2t
h2
在短时间Δt(Δt→0)内，流体XY移至X´Y´
所以，液体的流速 v 2gh
A孔正对着气体流动方向，形成滞止区，
M孔截面与v平行。
pM
1 2
2
pA
Ａ孔、Ｍ孔处的压强差 为：
p p gh
A
M
1 2
2
所以流速为：
测量气体流速的皮托管
2gh
2.压强和高度的关系
条件：粗细均匀管
p1 gh1 p2 gh2
即：流体在粗细均匀的管中流动时，高 处的压强小，低处的压强大。利用这一原 理可解释体位对血压测量的影响。
20m
s
由伯努利方程得
vB
p A
1 2
v
2 A
gh A
pB
1 2
vB2
ghB
pB
pA
1 2
v
2 A
1 2
vB2
ghB
hA
2105 1 1000122 1 1000 202 1000 9.8 2
2
2
5.24104 Pa
2.2.2 伯努利方程的应用
1压强和流速的关系及举例（水平管） 2压强和高度的关系及举例（均匀管） 3伯努利方程的解题思路
pV 1 mv2 mgh 常量 pV 1 Vv2 Vgh 常量
2
2
p 1 2 gh 常量
2
1 2
2
的单位：k g
m3
m2 s2
kg m2
m s2
N m2
— 动压强
gh
的单位：kg
m3
m s2
m
kg m2
m s2
p
静压强
V等于一个单位体积(如1m3)时，…
p
的单位：N
m2
m3
2 1
1
1
2 2
2
2
X、Y两截面在流管中的位置选取上是任意的
对任意截面有 p 1 2 gh constant
2
p 1 2 gh 常量
2
1 2
2
单位体积流体的动能
— 动压强
gh 单位体积流体的重力势能
静压强
p
单位体积流体的压强能
疑问1：p为压强，另外两项为能量，量纲不 一致？
疑问2：p为何称为单位体积的压强能？
3.利用伯努利方程解题
1、常与连续性方程联合使用 2、选择待求点和最简单点(已知量最多) 列方程 3、选择方便解题的零势能参考面 4、不熟悉特殊形式，可列出完整形式
【例题2】水从一个大容器里放出。确定出口处 的流速
p1
1 2
12
gh
p2
1 2
2 2
由于Ｓ1>>Ｓ2，故有
υ1<<υ2，可视υ1≈０。又因 为p1=p2=p0，有
点的压强为 2×105 Pa ，A 点的
截面积为 100 cm2 ， B 点的截
面积为 60 cm2 。假设水的粘性
可以忽略不计，求 A、B 两点的
流速和 B 点的压强。
解：水可看作不可压缩的流体
由连续性方程 SAvA SBvB Q 得
vA
Q SA
0.12 102
12m12 60104
1.压强和流速的关系
条件：水平管
p1
1 2
v12
p2
1 2
v22
p 1 v2 常量
2
结论：流速小的地方压强大， 流速大的地方压强小。
压强和流速的关系应用举例
1) 空吸现象 2) 汾丘里流量计 3) 皮托管
12 喷雾器
空吸现象
S1>S2 → v1<v2 →p1>p2 p2<p0 →空吸现象
水流抽气机
根据功能原理推导伯努利方程 外力的总功=机械能增量
* 以 流 管 中 XY 段 的 理 想
流体为研究对象
Y 2 Y′ p2
F2 S2
p1 F1
S1 X 1 X′
h1
1t
2t
h2
S11Δt = S2 2Δt =V
m1 = m2 = m
在短时间Δt(Δt→0)内，流体XY移至X´Y´
外力的总功：A = p1S1 1Δt - p2S22Δt =p1 V -p2 V
∴ 1 S2
2 gh
(
S2 1
S
2 2
)
气体的流量：
Q S11 S1S2
2gh
(S12
S
2 2
)
皮托管
直管下端A处流速不变，弯 管下端B处流体受阻，形成 速度为零的“滞止区”.
vA=v， vB=0
pA
1 2
v 2
pB
开口A与v相切,开口B逆着液体流向
pB pA gh （h为两管中液面高度差）
汾丘里流量计
∵
p 1 2 p 1 2
2 1
1
2 2
2
S11 S22
△h
p1 p2 gh
∴
v1 S2
2gh S12 S22
p2 S2
p1υ1
流体的流量：
S1
Q S11 S1S2
2gh S12 S22
气体流量计
∵
p1
1 2
12
p2
1 2
2 2
S11 S22
p1 p2 gh
N
m
伯努利方程的结论
• 前提：理想流体做定常流动（同一流管内） • 结论：在作定常流动的理想流体中，同一流
管的不同截面处，每单位体积流体的动能、 势能、压强能之和为一常量。
即： p 1 v2 gh 常量
2
压强、流速和高度的关系
【例题1】设有流量为 0.12 m3/s
vB
的水流过如图所示的管子。A