2.8 函数与方程 2021年高中总复习优化设计一轮用书理数

零点,则实数k的取值范围是( )
A.k≤2
B.-1<k<0
C.-2≤k<-1 D.k≤-2
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考点1
考点2
考点3
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解题心得已知函数有零点(方程有根),求参数的取值范围常用的 方法:
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解 不等式确定参数范围.
(2)分离参数法:先将参数分离,再转化成求函数值域问题加以解 决.
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出 函数的图象,再数形结合求解.
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知识梳理 双基自测
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5.函数f(x)=ex+3x,则方程ex+3x=0实数解的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
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由已知得f'(x)=ex+3>0,故f(x)在R上是增函数,又f(-1)=e-1-3<0,f(1)=e+3>0, 且函数f(x)的图象是连续的,所以f(x)的零点个数是1,故方程ex+3x=0有一
C.{-2,6} D.(-∞,-2)∪ (6,+∞)
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由题意,有Δ=m2-4(m+3)>0,即(m-6)·(m+2)>0,解得m>6或m<-2,故选D.
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D
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4.当x∈ R时,函数f(x)=x2-2x的零点的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
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2.(2019山西晋城期末)函数f(x)=log3x-8+2x的零点所在的区间为( )
A.(5,6)
当x=3时,f(3)=log33-8+2×3=-1<0,当x=4时,f(4)=log34-8+2×4=log34>0,
考点1
考点2
考点3
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例2(1)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为 ( B )
A.1 B.2 C.3 D.4 (2)(2019湖南重点中学联考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(4-x)
零点的个数为( C )
A.9 B.10 C.18 D.20 思考判断函数零点个数的常用方法有哪些?
考点1
考点2
考点3
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解题心得判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点,常用以下 方法:
(1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,观察方程是否有根 落在给定区间上.
(2)利用函数零点的存在性定理进行判断:首先看函数y=f(x)在区 间[a,b]上的图象是否连续,然后看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数 y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
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考点1
考点2
考点3
对点训练3(1)已知函数f(x)=2ax-a+3,若∃x0∈ (-1,1),f(x0)=0,则实数
a的取值范围是( )
A.(-∞,-3)∪ (1,+∞) B.(-∞,-3)
C.(-3,1)
D.(1,+∞)
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(2)已知函数f(x)=
k∈ R,若函数y=|f(x)|+k有三个
值范围是( C )
A.(1,3)
B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)
(3)函数f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上 存 在 零点.(填“存在”或
“不存在”)
考点1
考点2
考点3
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解析:(1)令函数f(x)=log4x+x-7,则函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递 增,且是连续函数.
考点1
考点2
考点3
-17-
考点1
考点2
考点3
-18-
(2)由题意,可知f(x)的最小正周期为4,g(x)的零点的个数即为函数 y=f(x)与y=lg|x|的图象的交点的个数,画出函数y=f(x)与y=lg|x|的图 象(图略),可知共有18个交点.故g(x)的零点的个数为18.
考点1
考点2
考点3
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
连续曲线
f(a)·f(b)<0
f(x0)=0
-3-
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2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
(x1,0),(x2,0) (x1,0)
2
1
0
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3.二分法
对于在区间[a,b]上连续不断且 f (a) ·f( b)< 0 的函数y=f(x), 通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 一 分 为 二 ,使区间的 两个端点逐步逼近 零 点 ,进而得到零点近似值的方法叫做二分
(3)通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来 判断.
考点1
考点2
考点3
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对点训练1(1)(2019甘肃酒泉敦煌一中一诊)方程log4x+x=7的解
所在的区间是( C )
A.(1,2)
B.(3,4) C.(5,6) D.(6,7)
(2)已知函数f(x)=2x- -a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取
所以f(3)·f(4)<0,又函数f(x)=log3x-8+2x的图象是连续的,所以函数
f(x)=log3x-8+2x的零点所在的区间为(3,4).故选B.
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B
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3.如果二次函数y=x2+mx+m+3有两个不同的零点,那么m的取值
范围是( )
A.(-2,6) B.[-2,6]
法.
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1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.
(1)函数f(x)=x2-1的零点是(-1,0)和(1,0). ( × ) (2)当b2-4ac<0时,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 没有零点. ( √ )
(3)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象是连续的),则
考点1
考点2
考点3
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(3)(方法一)∵ f(1)=12-3×1-18=-20<0,f(8)=82-3×8-18=22>0, ∴ f(1)·f(8)<0, 又f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上的图象是连续的,∴ f(x)=x2-3x-18在 区间[1,8]上存在零点. (方法二)令f(x)=0,得x2-3x-18=0, ∴ (x-6)·(x+3)=0. ∴ x=6或x=-3. ∵ x=6∈ [1,8],x=-3∉[1,8], ∴ f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上存在零点.
考点1
考点2
考点3
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(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈ (0,+∞)时,f(x)=2
017x+log2 017x,则f(x)在R上的零点的个数为 .
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考点1
考点2
考点3
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零点,则a的取值范围是( )
A.[-1,0) B.[0,+∞)
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C.[-1,+∞) D.[1,+∞) 思考已知函数有零点(方程有根),求参数的取值范围常用的方法 有哪些?
因为f(5)<0,f(6)>0,f(5)·f(6)<0, 所以函数f(x)=log4x+x-7的零点所在的区间是(5,6). 所以方程log4x+x=7的解所在的区间是(5,6).故选C. (2)由条件可知f(1)f(2)<0, 即(2-2-a)(4-1-a)<0, 即a(a-3)<0,解得0<a<3.
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B个实数解.
解析 答案
考点1
考点2
考点3
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例1(1)(2019河北保定期末)函数f(x)=x-4·
为( B )
的零点所在的区间
A.(0,1)
B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
(2)设定义域为(0,+∞)内的单调函数f(x),对任意的x∈ (0,+∞),都有
f[f(x)-ln x]=e+1,若x0是方程f(x)-f'(x)=e的一个解,则x0可能存在的区
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解题心得判断函数零点个数的方法: (1)解方程法:若对应方程f(x)=0可解时,通过解方程,则有几个解 就有几个零点. (2)零点存在性定理法:利用定理不仅要判断函数在区间[a,b]上是 连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单 调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点. (3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出 两个函数的图象,再看其交点的个数,其中交点的个数就是函数零 点的个数.
间是( D )
A.(0,1)
B.(e-1,1)
C.(0,e-1) D.(1,e)
思考判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点的常用方法有
哪些?
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考点1
考点2
考点3
解析:(1)因为f(1)=1-2<0,f(2)=2-1>0, 所以f(1)·f(2)<0.又f(x)的图象是连续的,
故选B. (2)令f(x)-ln x=k,则f(x)=ln x+k.由f[f(x)-ln x]=e+1,得f(k)=e+1. 又f(k)=ln k+k=e+1,可知k=e.