2019中考数学培优试题

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2019年中考数学培优练习一次函数.doc.docx

2019 年中考数学培优练习一次函数一、选择题1－ 121、下列函数（ 1）y=πx (2)y=2x－1 (3) y=x(4) y=2－3x (5) y=x－ 1 中，是一次函数的有（）A、4个B、3 个C、2个D、1 个2、函数yx2的自变量的取值范围是（）x3A．＞1 B.＞1且≠3C．≥1D．≥1且≠33、若直线 y=﹣ 2x﹣ 4 与直线 y=4x+b 的交点在第三象限，则 b 的取值范围是（）A．﹣ 4＜b＜ 8B．﹣ 4＜ b＜ 0C． b＜﹣ 4 或 b＞ 8D．﹣ 4≤b≤84、下列图形中，表示一次函数y=mx+n 与正比例y=mnx( m, n 是常数，且 mn≠0)图象的是（）A． B. C. D.5、如图，一次函数1y x 2的图象上有两点A、 B， A点的横坐标为20＜2， B 点的横坐标为a（a＜4且 a≠2），过点 A、B 分别作 x 轴的垂线，垂足为 C、D，△ AOC、△ BOD 的面积分别为S1、S2， S1与S2的大小关系是（）A．S1＞S2B． S1＝ S2C．S1＜S2D．无法确定6.如果在一次函数中 , 当自变量x的取值范围是－ 1＜x＜ 3 时，函数 y 的取值范围是－ 2＜y＜ 6，那么此函数解析式为 ( )A. y 2xB. y2x 4C. y 2x或y2x 4D. y2x 或 y2x47、点1（1， 1），点2（2，2）是一次函数y ＝－ 4x+ 3 图象上的两个点，且x1＜2，则y1 与P x y P x y x y2的大小关系是（）A、y1＞y2B、y1＞ y2＞0C、y1＜y2D、 y1＝ y28、若函数y=2x+3与y=3x－2b 的图象交x 轴于同一点，则 b 的值为()A．－ 3B．－3C． 9D．－9 249、如图所示，函数y1x141，1），（ 2， 2）两点．当 y1＞ y2时， x 和 y2x3的图象相交于（﹣3的取值范围是（）A． x＜﹣ 1B．﹣ 1＜ x＜ 2C． x＞ 2D． x＜﹣ 1 或 x＞ 210、如图，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣与矩形ABCO的边OC、BC分别交于点E、F，已知OA=3，OC=4，则△ CEF 的面积是（）A． 6B．3C． 12D．二．填空题1 ．若一次函数的图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行, 则其表达式为.2、已知点P（a， b）在一次函数y=4x+3 的图象上，则代数式4a﹣ b﹣ 2 的值等于_________．3、直线y2x 向上平移3个单位，再向左平移 2 个单位后的解析式为________.4、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（ 0， 1）， B（ 1， 2），点P 在x 轴上运动，当点P到 A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P 的坐标是_________．5、在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，过点A（1，2）的直线y=kx+b与x轴交于点B，且 S△AOB=4，则 k 的值是 _________ ．6．如图，一次函数y=kx+b （ k＜ 0）的图象经过点A．当 y＜ 3 时， x 的取值范围是_________．7．一次函数y=kx+b （k为常数且k≠0）的图象如图所示，则使y＞0 成立的x 取值范围为_________．8．如，直 1：点 C的坐_________与．x 、 y 分相交于点A、B，△ AOB与△ ACB 关于直l称，9．直 y=2x+6 与直 y= -2x 1 的像与x 成的三角形面是_____．与 y 成的三角形面是_____10、如，一系列“黑色梯形”是由x 、直y=x 和 x 上的正奇数1、3、 5、 7、9、⋯所的点且与y 平行的直成的．从左到右，将其面依次S1、S2、 S3、⋯、 S n、⋯．S1=_________， S n=_________．11、在直角坐系中，正方形A1B1C1O1、A2B2C2C1、⋯、A n B n C n C n﹣1按如所示的方式放置，其中点A1、A2、A3、⋯、 A n均在一次函数y=kx+b的象上，点C1、 C2、 C3、⋯、 C n均在 x 上．若点B1的坐（的坐_________．1， 1），点B2的坐（3， 2），点A n三、解答1、已知与成正比例，且(1)求与之的函数关系式；(2)当.，求的.2、如图，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，线段AB 的垂直平分线分别交x 轴、 y 轴于 C、 D两点．（ 1）求点 C 的坐标；（ 2）求△ BCD的面积．3、某商场筹集资金12.8 万元，一次性购进空调、彩电共30 台．根据市场需要，这些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不少于 1.5 万元，其中空调、彩电的进价和售价见表格．空调彩电进价（元 / 台）54003500售价（元 / 台）61003900设商场计划购进空调x 台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y 元．（1）试写出 y 与 x 的函数关系式；（2）商场有哪几种进货方案可供选择？（3）选择哪种进货方案，商场获利最大？最大利润是多少元？4、如图，直线OC、BC的函数关系式分别为y=x 和 y=-2x+6 ，动点 P(x ，0) 在 OB上移动 (0<x<3) ，过点 P作直线l与 x 轴垂直。

2019年中考数学知识点过关培优训练卷：垂直平分线的性质应用(附解析)

2019年中考数学知识点过关培优训练卷：垂直平分线的性质应用一．选择题1．如图在△ABC中，BC＝8，AB、AC的垂直平分线与BC分别交于E、F两点，则△AEF的周长为（）A．2 B．4 C．8 D．不能确定2．如图，DE是线段AC的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）A．DE＝BD B．∠BCD＝∠AC．∠B＞2∠A D．2∠BAC＝180°﹣2∠ADE3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE的延长线于点E，则DE的长为（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE＝4，则AC的长为（）A．2 B．2C．2D．5．如图，以C为圆心，以大于点C到AB距离为半径作弧交AB于点D、E，再以D、E为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点F，作射线CF，则（）A．CF平分∠ACB B．CF⊥ABC．CF平分AB D．CF垂直平分AB6．如图，△ABC，AB＞AC＞BC，边AB上存在一点P，使得PA+PC＝AB．下列描述正确的是（）A．P是AC的垂直平分线与AB的交点B．P是BC的垂直平分线与AB的交点C．P是∠ACB的平分线与AB的交点D．P是以点B为圆心，AC长为半径的弧与边AB的交点7．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为（）A．24°B．30 C．36°D．48°8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连接AE，若CE ＝5，AC＝12，且△ACE的周长为30，则BE的长是（）A．5 B．10 C．12 D．139．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝6cm，AB＝8cm，则△EBC的周长为（）A．14cm B．18cm C．20cm D．22cm10．如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠BAC＝20°，D为线段AB的垂直平分线与直线BC 的交点，连结AD，则∠CAD＝（）A．40°B．30°C．20°D．10°二．填空题11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD的度数为．12．已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA＝4cm，则PB＝cm．13．如图△ABC中，AC＝12，DE为AB的垂直平分线，△BCE的周长为20，则BC的长为．14．如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE⊥AB于点E，∠A＝66°，∠ABC＝90°，BC＝AD，则∠C的大小为．15．如图，△ABC中，AC的垂直平分线DE分别交BC于点E，交AC于点D，连接BD，AB＝AD，∠CED＝45°+∠BAC，△ABD的面积为54，则线段BD的长为．16．如图，已知在锐角△ABC中，AB、AC的中垂线交于点O，则∠ABO+∠ACB＝．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，若CD＝5，则AE＝．18．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝．19．如图，分别以线段BC的两个端点为圆心，以大于BC长为半径画弧，两弧分别相交于D、E两点，直线DE交BC于点F，点A是直线DE上的一点，连接AB、AC，若AB＝12cm，∠C＝60°，则CF＝cm．20．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的线段AB上所有点的纵坐标都是﹣1，横坐标x的取值范围是1≤x≤5，则线段A B上任意一点的坐标可以用“（x，﹣1）（1≤x≤5）”表示．若射线CD垂直平分AB于点C，那么按照类似这样的规定，射线CD上任意一点的坐标可以表示为．三．解答题21．如图，△ABC中，AB，AC边的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为点F，G，△ADE的周长为6cm．（1）求△ABC中BC边的长度；（2）若∠BAC＝116°，求∠DAE的度数．22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线DE交AC于D．（1）若CA＝16cm，BC＝8cm，求DC的长度；（2）若△BDC的周长是n+2，AB＝n，求△ABC的面积．（用含n的代数式表示）．23．在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，MN垂直平分AC，分别交AC、BC于点M、N，连接AE，AN．（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠EAN的度数；（2）如图2，若∠BAC＝70°，求∠EAN的度数；（3）若∠BAC＝α（α≠90°），请直接写出∠EAN的度数．（用含α的代数式表示）24．如图，在四边形ABC D中，M，N分别是CD，BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC．（1）求证：∠BAD＝2∠MAN；（2）连接BD，若∠MAN＝70°，∠DBC＝40°，求∠ADC．26．如图，C，D是AB的垂直平分线上两点，延长AC，DB交于点E，AF∥BC交DE于点F．求证：（1）AB是∠CAF的角平分线；（2）∠FAD＝∠E．27．已知：如图，AF平分∠BAC，BC垂直平分AD，垂足为E，CF上一点P，连结PB交线段AF相交于点M．（1）求证：AB∥CD；（2）若∠DAC＝∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．28．下面是小东设计的“作△ABC中BC边上的高线”的尺规作图过程．已知：△ABC．求作：△ABC中BC边上的高线AD．作法：如图，①以点B为圆心，BA的长为半径作弧，以点C为圆心，CA的长为半径作弧，两弧在BC下方交于点E；②连接AE交BC于点D．所以线段AD是△ABC中BC边上的高线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵＝BA，＝CA，∴点B，C分别在线段AE的垂直平分线上（）（填推理的依据）．∴BC垂直平分线段AE．∴线段AD是△ABC中BC边上的高线．参考答案一．选择题1．解：∵AB的中垂线交BC于E，AC的中垂线交BC于F，∴EA＝EB，FA＝FC，则△AEF的周长＝AE+EF+AF＝BE+EF+FC＝BC＝8，故选：C．2．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴∠BA C＝∠DCA，∴2∠BAC＝180°﹣2∠ADE，D正确，故选：D．3．解：设CE＝x，连接AE．∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE＝BE＝BC+CE＝3+x，∴在Rt△ACE中，AE2＝AC2+CE2，即（3+x）2＝42+x2，解得x＝．在Rt△ABC中，AB＝＝5，∴BD＝AD＝，在Rt△BDE中，DE＝＝，故选：B．4．解：∵DE是BC的垂直平分线，∴EB＝EC，∴∠ECB＝∠B＝30°，∴DE＝BE＝2，由勾股定理得，BD＝＝2，∴BC＝2BD＝4，∵CE平分∠ACB，∴∠ECB＝∠ACE＝30°，∴∠A＝90°，又∠B＝30°，∴AC＝BC＝2，故选：B．5．解：由作图可知：直线CF⊥AB，故选：B．6．解：∵PA+PC＝BC，∴PA＝PC，∴点P在BC的垂直平分线上，即点P为BC的垂直平分线与AB的交点．故选：B．7．解：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD＝24°，∵∠A＝60°，∴∠ACB＝180°﹣60°﹣24°×2＝72°，∵BC的中垂线交BC于点E，∴BF＝CF，∴∠FCB＝24°，∴∠ACF＝72°﹣24°＝48°，故选：D．8．解：∵CE＝5，AC＝12，且△ACE的周长为30，∴AE＝13．∵AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，∴BE＝AE＝13，故选：D．9．解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，∴AE＝CE，∴CE+BE＝AB＝8cm．∵BC＝6cm，∴△EBC的周长＝BC+CE+BE＝BC+AB＝6+8＝14（cm）．故选：A．10．解：∵D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠ABC＝50°，∴∠CAD＝∠DAB﹣∠BAC＝50°﹣20°＝30°．故选：B．二．填空题11．解：∵DE是AC的垂直平分线且分别交BC，AC于点D和E，∴AD＝CD，∴∠C＝∠DAC，∵∠C＝25°，∴∠DAC＝25°，∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝25°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝95°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝95°﹣25°＝70°，故答案为：70°．12．解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PB＝PA，∵PA＝4cm，∴PB＝4cm．故答案为4cm．13．解：∵DE为AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∵△BCE的周长为20，∴BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝20cm，∵AC＝12，∴BC＝8．故答案为：814．解：如图，连接BD．∵AE＝EB，DE⊥AB，∴DA＝DB，∴∠A＝∠DBA＝66°，∵∠ABC＝90°，∴∠DBC＝24°，∵BC＝AD，∴BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝（180°﹣24°）＝78°，故答案为78°．15．解：如图，作AH⊥BD于H交BC于M，作AK⊥CB交CB的延长线于K，作MP⊥AC于P．∵AB＝AD，AH⊥BD，∴∠DAH＝∠ABC，设∠DAH＝α，则∠CED＝45°+α，∵ED⊥AC，∴∠EDC＝90°，∴∠C＝45°﹣α，∴∠AMB＝∠MAC+∠C＝45°，∵A M垂直平分线段BD，∴MB＝MD，∵MH⊥BD，∴∠BMH＝∠DMH＝45°，∴BH＝MH＝DH，设BH＝MH＝DH＝a，∵AK⊥CK，∴∠K＝90°，∵∠KMA＝∠KAM＝45°，∴AK＝KM，∵∠DMC＝∠K＝90°，∴DM∥AK，∵AD＝DC，∴KM＝CM，设AK＝KM＝CM＝m，则AC＝m，∵△CPM∽△CKA，∴＝＝，∴＝＝，∴PM＝m，PC＝m，∴PA＝，∴tan∠PAM＝＝＝，∵DH＝a，∴AH＝3a，＝•BD•AH＝×2a×3a＝54，∵S△ABD∴a＝3或﹣3（舍弃）∴BD＝2a＝6．故答案为16．解：∵BE是AC的垂直平分线，∴BA＝BC，BE⊥AC，∴∠ACB＝∠A，∵∠ABO+∠A＝90°，∴∠ABO+∠ACB＝90°，故答案为：90°．17．解：如图，连接BE，∵AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，∴AE＝BE，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴AB＝2CD＝10，又∵BC＝6，∴AC＝8，设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x，∵∠BCE＝90°，∴Rt△BCE中，CE2+BC2＝BE2，即（8﹣x）2+62＝x2，解得x＝，∴AE＝，故答案为：．18．解：∵点D、E分别是AB、AC边的垂直平分线与BC的交点，∴AD＝BD，AE＝CE，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，∵∠B＝40°，∠C＝45°，∴∠B+∠C＝85°，∠BAC＝95°，∴∠BAD+∠CAE＝85°，∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝95°﹣85°＝10°，故答案为：10°19．解：由作图可知：AE垂直平分线段BC，∴AB＝AC，BF＝CF，∴∠B＝∠C＝60°，∵AB＝12cm，∠AFB＝90°，∴BF＝AB＝6（cm）故答案为：6．20．解：∵点A的坐标为（1，﹣1），点B的坐标为（5，﹣1），C是AB的中点，∴点C的坐标为（3，﹣1），∴线CD上任意一点的坐标可以表示为：（3，y）（y≥﹣1），故答案为：（3，y）（y≥﹣1）．三．解答题21．解：（1）∵AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，∴DA＝DB，EA＝EC，则△ADE的周长＝AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝6（cm），∴BC＝6cm，（2）∵∠BAC＝116°，∴∠B+∠C＝180°﹣116°＝64°，∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，∵∠ADE＝∠B+∠DAB，∠AED＝∠C+∠EAC，∴∠ADE+∠AED＝128°，∴∠DAE＝180°﹣128°＝52°．22．解：（1）∵DE垂直平分线段AB，∴DA＝DB，设CD＝x，则AD＝BD＝（16﹣x）cm，在Rt△BDC中，∵BD2＝CD2+BC2，∴（16﹣x）2＝x2+82，∴x＝6，∴CD＝6cm．（2）∵△BDC的周长＝n+2，∴BD+CD+BC＝n+2，∵AD＝DB，∴AD+DC+BC＝n+2，设BC＝x，AC＝y，则有：，①2﹣②得到：2xy＝4n+4，∴xy＝2n+2，＝xy＝n+1．∴S△ABC23．解：（1）∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B，同理可得：∠CAN＝∠C，∴∠EAN＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN，＝∠BAC﹣（∠B+∠C），在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°，∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）＝100°﹣80°＝20°；（2）∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B，同理可得：∠CAN＝∠C，∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC，＝（∠B+∠C）﹣∠BAC，在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝110°，∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC＝110°﹣70°＝40°；（3）当0°＜α＜90°时，∠EAN＝180°﹣2α；当180°＞α＞90°时，∠EAN＝2α﹣180°．24．（1）证明：连接AC，∵M是CD的中点，AM⊥CD，∴AM是线段CD的垂直平分线，∴AC＝AD，又AM⊥CD，∴∠3＝∠4，同理，∠1＝∠2，∴∠2+∠3＝∠BAD，即BAD＝2∠MAN；（2）∵AM⊥CD，AN⊥BC．∠MAN＝70°，∴∠BCD＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD＝30°，∠BAD＝2∠MAN＝140°，∵AB＝AC，AD＝AC，∴AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝20°，∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝50°．25．解：（1）∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B，同理可得∠CAN＝∠C，∴∠EAN＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN＝∠BAC﹣（∠B+∠C），在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝70°，∴∠EAN＝110°﹣70°＝40°．（2）∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B，同理可得∠CAN＝∠C，∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC＝（∠B+∠C）﹣∠BAC，在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝100°，∴∠EAN＝100°﹣80°＝20°．（3）当0°＜α＜90°时，∠EAN＝180°﹣2α；当90°＜α＜180°时，∠EAN＝2α﹣180°．26．证明：（1）∵点C是AB的垂直平分线上的点，∴CB＝CA，∴∠CB A＝∠CAB，∵AF∥BC交DE于点F，∴∠BAF＝∠CBA，∴∠BAF＝∠CAB．即AB是∠CAF的角平分线．（2）∵点D是AB的垂直平分线上的点，∴DB＝DA，∴∠DBA＝∠DAB，∵∠DBA＝∠E+∠CAB，∠DAB＝∠FAD+∠BAF，∠CAB＝∠BAF，∴∠E＝∠FAD．27．解：（1）∵BC垂直平分AD，∴AC＝CD，∠CAD＝∠CDA，∵AF平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∴∠CDA＝∠BAD，∴AB∥C D；（2）结论：∠F＝∠MCD，理由：∵∠DAC＝∠CDA，∠DAC＝∠MPC，∴∠CDA＝∠MPC，又∵∠CDA+∠CDM＝180°，∠MPC+∠MPF＝180°，∴∠CDM＝∠MPF；又∵AF平分∠BAC，AE⊥BC，AE＝AE．∴△ACE≌△ABE（ASA），∴AC＝AB．又∵AF平分∠BAC，AM＝AM，∴△ACM≌△ABM（SAS），∴∠AMC＝∠AMB，又∵∠AMB＝∠PMF．∴∠AMC＝∠PMF．又∵∠AMC+∠MCD+∠CDM＝180°，∠PMF+∠MPF+∠F＝180°，∴∠F＝∠MCD．28．解：（1）图形如图所示：（2）理由：连接BE，EC．∵AB＝BE，EC＝CA，∴点B，点C分别在线段AE的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上），∴直线BC垂直平分线段AE，∴线段AD是△ABC中BC边上的高线．故答案为：BE，EC，到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．。

2019年中考数学知识点过关培优训练卷：等腰三角形的性质与判定(附解析)

2019年中考数学知识点过关培优训练卷：等腰三角形的性质与判定一．选择题1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE＝160°，则∠B的度数为（）A．80°B．75 C．65°D．60°2．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，点D在BC的延长线上，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2+CF2等于（）A．75 B．100 C．120 D．1253．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC 分别交AB、AC于M、N，则△AMN的周长为（）A．12 B．10C．8 D．不确定4．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．4.5cm2D．5cm25．在等腰三角形△ABC（AB＝AC，∠BAC＝120°）所在平面上有一点P，使得△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，则满足此条件的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，△ABC的面积为10cm2，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，则△PBC的面积为（）A．4cm2B．5cm2C．6 cm2D．7 cm27．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论．①EF＝BE+CF②∠BOC＝90°+∠A③点O到△ABC各边的距离相等④设OD＝m，AE+AF＝mn，正确的结论有（）个．＝n，则S△AEFA．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分△ABC的外角∠ACD，MN经过点O，与AB，AC 相交于点M，N，且MN∥BC，则BM，CN之间的关系是（）A．BM+CN＝MN B．BM﹣CN＝MN C．CN﹣BM＝MN D．BM﹣CN＝2MN 9．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，BD垂直∠BAC的角平分线于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（）A．1.5 B．3 C．4.5 D．910．已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermatpoint）．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF 的费马点，则PD+PE+PF＝（）A．2B．1+C．6 D．3二．填空题11．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC交AC于点E，若DE＝6cm，AE＝5cm，则AC＝cm．12．如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC．若AB＝7，AC＝6，那么△AMN的周长是．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB上的点，BD＝CD＝5，则AD＝．15．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东 60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距m．16．如图，已知BD⊥AG，CE⊥AF，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，若BF＝3，ED ＝2，GC＝5，则△ABC的周长为．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF ＝2，BF＝3，则CE的长度为．18．如图，△ABC中，∠B＝90°．∠BAC的平分线交BC于点E，CD⊥AE于点D，若AC＝13，AD＝12，则AB＝．19．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB交AC于点E，若DE＝7，CE＝6，则AC 的长为．20．如图，在△ABC中，BC＝8cm，∠BPC＝118°，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是cm，∠DPE＝°．三．解答题21．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．（1）证明：△ADF是等腰三角形；（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长，22．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP 的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ＝MN．求证：（1）△APM是等腰三角形；（2）PC＝AN．23．如图，已知在四边形ABCD中，AB＝10cm，∠A＝∠C＝90°，点E、点F分别在边AB、CD上，且EF∥BC，∠DEF＝∠FBC．（1）求证：∠AED＝∠EBF；（2）当∠EBF＝∠FBC时，EF＝cm．24．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D为底边BC延长线上任意一点，过点D作DE∥AB，与AC延长线交于点E．（1）则△CDE的形状是；（2）若在AC上截取AF＝CE，连接FB、FD，判断FB、FD的数量关系，并给出证明．25．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1．（1）求∠B的度数；（2）求CN的长．26．如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，BD平分∠ABC，CD＝4．（1）求BC的长；（2）如图2，若∠ABC＝60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF．请判断△DEF的形状并证明你的结论．27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：（1）EF⊥AB；（2）△ACF为等腰三角形．28．如图，在△ABC中，BA＝BC，D在边CB上，且DB＝DA＝AC．（1）如图1，填空∠B＝°，∠C＝°；（2）若M为线段BC上的点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB、AC与点N、E，如图2①求证：△ANE是等腰三角形；②试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．29．如图，已知BD平分∠ABC，AD∥BC，且AC＝AD．（1）求证：△ABD为等腰三角形；（2）判断∠C与∠D的数量关系，并说明理由．30．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，DE∥AB交BC于E，交AC于F，∠CDE＝∠ACB＝30°．（1）求证：△FCD是等腰三角形；（2）若BC＝DE，求∠CAD的度数．31．如图1，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，O是AB的中点，AC＝6，∠MON＝90°，将∠MON绕点O旋转，OM、ON分别交边AC于点D，交边BC于点E（D、E不与A、B、C重合）（1）判断△ODE的形状，并说明理由；（2）在旋转过程中，四边形CDOE的面积是否发生变化？若不改变，直接写出这个值，若改变，请说明理由；（3）如图2，DE的中点为G，CG的延长线交AB于F，请直接写出四边形CDFE的面积S 的取值范围．参考答案一．选择题1．解：∵∠CDE＝160°，∴∠ADE＝20°，∵DE∥AB，∴∠A＝∠ADE＝20°，∴∠B＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣20°）＝80°．故选：A．2．解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACD，即∠ECF＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，∴△EFC为直角三角形，又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，∴CM＝EM＝MF＝5，EF＝10，由勾股定理可知CE2+CF2＝EF2＝100．故选：B．3．解：∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，∴∠ABE＝∠CBE，∠ACE＝∠BCE，∵MN∥BC，∴∠CBE＝∠BEM，∠BCE＝∠CEN，∴∠ABE＝∠BEM，∠ACE＝∠CEN，∴BM＝ME，CN＝NE，∴△AMN的周长＝AM+ME+AN+NE＝AB+AC，∵AB＝AC＝4，∴△AMN的周长＝6+4＝10．故选：B．4．解：延长AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠EPB＝90°，在△ABP和△EBP中，，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝PE，∴S△ABP ＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，∴S△PBC ＝S△ABC＝×9cm2＝4.5cm2，故选：C．5．解：如图，满足条件的所有点P的个数为2，故选：B．6．解：延长AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠EPB＝90°，在△ABP 和△EBP 中，，∴△ABP ≌△EBP （ASA ），∴AP ＝PE ，∴S △ABP ＝S △EBP ，S △ACP ＝S △ECP ，∴S △PBC ＝S △ABC ＝×10＝5（cm 2），故选：B ．7．解：∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠OBC ＝∠ABC ，∠OCB ＝∠ACB ，∠A +∠ABC +∠ACB ＝180°，∴∠OBC +∠OCB ＝90°﹣∠A ，∴∠BOC ＝180°﹣（∠OBC +∠OCB ）＝90°+∠A ；故②正确；∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠OBC ＝∠OBE ，∠OCB ＝∠OCF ，∵EF ∥BC ，∴∠OBC ＝∠EOB ，∠OCB ＝∠F OC ，∴∠EOB ＝∠OBE ，∠FOC ＝∠OCF ，∴BE ＝OE ，CF ＝OF ，∴EF ＝OE +OF ＝BE +CF ，故①正确；过点O 作OM ⊥AB 于M ，作ON ⊥BC 于N ，连接OA ，∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴ON ＝OD ＝OM ＝m ，∴S △AEF ＝S △AOE +S △AOF ＝AE •OM +AF •OD ＝OD •（AE +AF ）＝mn ；故④正确；∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴点O到△ABC各边的距离相等，故③正确．故选：D．8．证明：∵ON∥BC，∴∠MO C＝∠OCD∵CO平分∠ACD，∴∠ACO＝∠DCO，∴∠NOC＝∠OCN，∴CN＝ON，∵ON∥BC，∴∠MOB＝∠OBD∵BO平分∠ABC，∴∠MBO＝∠CBO，∴∠MBO＝∠MOB，∴OM＝BM∵OM＝ON+MN，OM＝BM，ON＝CN，∴BM＝CN+MN，∴MN＝BM﹣CN．故选：B．9．解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．∵AD⊥BH，∴∠ADB＝∠ADH＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠H+∠HAD＝90°，∵∠BAD＝∠HAD，∴∠ABD＝∠H，∴AB ＝AH ，∵AD ⊥B H ，∴BD ＝DH ，∵DC ＝CA ，∴∠CDA ＝∠CAD ，∵∠CAD +∠H ＝90°，∠CDA +∠CDH ＝90°，∴∠CDH ＝∠H ，∴CD ＝CH ＝AC ，∵AE ＝EC ，∴S △ABE ＝S △ABH ，S △CDH ＝S △ABH ，∵S △OBD ﹣S △AOE ＝S △ADB ﹣S △ABE ＝S △ADH ﹣S △CDH ＝S △ACD ，∵AC ＝CD ＝3，∴当DC ⊥AC 时，△ACD 的面积最大，最大面积为×3×3＝．故选：C ．10．解：如图：过点D 作DM ⊥EF 于点M ，在△BDE 内部过E 、F 分别作∠MEP ＝∠MFP ＝30°，则∠EPF ＝∠FPD ＝∠EPD ＝120°，点P 就是费马点，在等腰Rt △DEF 中，DE ＝DF ＝，DM ⊥EF ，∴EF ＝DE ＝2∴EM ＝DM ＝1，故cos30°＝，解得：PE ＝，则PM ＝，故DP ＝1﹣，同法可得PF ＝则PD +PE +PF ＝2×+1﹣＝+1．故选：B ．二．填空题（共10小题）11．解：∵CD平分∠ACB交AB于D，∴∠ACD＝∠DCB，∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠DCB，∴∠EDC＝∠ECD，∴DE＝EC＝4cm，∵AE＝5cm，∴AC＝AE+EC＝5+6＝11（cm）．故答案为：11．12．解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，∴MO＝MB，NO＝NC，∵AB＝7，AC＝6，∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AB+AC＝6+7＝13．故答案为：13．13．解：如图：可以画出7个等腰三角形；故答案为7．14．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵BD＝DC，∴∠B＝∠DCB，∵∠B+∠A＝90°，∠DCB+∠DCA＝90°，∴∠A＝∠DCA，∴AD＝DC＝5，故答案为5．15．解：∵B在A的正东方，C在A地的北偏东 60°方向，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∵C在B地的北偏东30°方向，∴∠ABC＝90°+30°＝120°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣30°﹣120°＝30°，∴∠BAC＝∠C，∴BC＝AB＝200m．故答案为：200．16．解：∵AG⊥BD，AF⊥CE，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴AB＝BG，AC＝FC．∴AE＝EF，AD＝GD∴ED是△AFG中位线，∴FG＝2ED＝4；∴BG＝AB＝BF+FG＝7，CF＝AC＝CG+FG＝9，＝3+7+9+9＝28．∴C△ABC17．证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵EP⊥BC，∴∠C+∠E＝90°，∠B+∠BFP＝90°，∴∠E＝∠BFP，又∵∠BFP＝∠AFE，∴∠E＝∠AFE，∴AF＝AE，∴△AEF是等腰三角形．又∵AF＝2，BF＝3，∴CA＝AB＝5，AE＝2，∴CE＝7．18．解：∵∠BAC的平分线交BC于点E，∴∠BAE＝∠CAD，∵CD⊥AE，∴∠D＝∠B＝90°，∵AC＝13，AD＝12，∴CD＝5，∵∠AEB＝∠CED，∴∠BAE＝∠DCE，∴∠DCE＝∠DAC，∵∠D＝∠D，∴△CDE∽△ADC，∴＝，∴＝，∴DE＝，∴AE＝，∵∠BAE＝∠DAC，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，∴，∴＝，∴AB＝，故答案为：．19．解：∵△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AB，DE＝7，CE＝6，∴∠CAD＝∠ADE，∴AE＝DE＝7，∴AC＝AE+CE＝7+6＝13．故答案为：13．20．解：（1）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，∵PD∥AB，PE∥AC，∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，∴BD＝PD，CE＝PE，∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝8cm．故答案为8（2）∵∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，∠BPC＝118°，∴∠DPE＝118°﹣∠PBC﹣∠PCB∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°，∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣118°，∴∠DPE＝118°﹣（∠PBC+∠PCB）＝118°﹣180°+118°＝56°．故答案为56．三．解答题（共11小题）21．解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵FE⊥BC，∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，∴∠F＝∠BDE，而∠BDE＝∠FDA，∴∠F＝∠FDA，∴AF＝AD，∴△ADF是等腰三角形；（2）∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵∠B＝60°，BD＝4，∴BE＝BD＝2，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝AD+BD＝6，∴EC＝BC﹣BE＝4．22．证明：（1）∵BA⊥AM，MN⊥AC，∴∠BAM＝∠ANM＝90°，∴∠PAQ+∠MAN＝∠MAN+∠AMN＝90°，∴∠PAQ＝∠AMN，∵PQ⊥AB MN⊥AC，∴∠PQA＝∠ANM＝90°，∴在△PQA与△ANM中，，∴△PQA≌△ANM（ASA）∴AP＝AM，∴△APM是等腰三角形；（2）由（1）知，△PQA≌△ANM，∴AN＝PQ AM＝AP，∴∠AMB＝∠APM∵∠APM＝∠BPC，∠BPC+∠PBC＝90°，∠AMB+∠ABM＝90°∴∠ABM＝∠PBC∵PQ⊥AB，PC⊥BC∴PQ＝PC（角平分线的性质），∴PC＝AN．23．解：（1）∵EF∥BC，∴∠EFB＝∠FBC，∵∠DEF＝∠FBC，∴∠DEF＝∠EFB，∴ED∥BF，∴∠AED＝∠EBF；（2）∵EF∥BC，∠A＝∠C＝90°，∴∠DFE＝∠C＝∠A＝90°，∵DE∥BF，∴∠DEF＝∠EFB，∵∠DEF＝∠FBC，∴∠EFB＝∠FBC，∵∠AED＝∠FBC，∴∠AED＝∠DEF，在△AED与△FED中，，∴△AED≌△FED（AAS），∴AE＝EF，∵∠EBF＝∠FBC，∴∠EFB＝∠EBF，∴BE＝EF，∴AE＝BE＝AB＝5，∴EF＝5．故答案为：5．24．解：（1）△CDE是等腰三角形，理由：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵DE∥AB，∴∠ABC＝∠CDE，∴∠DCE＝∠CDE，∴△CDE是等腰三角形；故答案为：等腰三角形；（2）BF＝DF，理由：∵AB∥DE，∴∠A＝∠E，∵AF＝CE，∴AF＝DE，AF+CF＝CE+CF，即EF＝AC＝AB，在△AFB与△EDF中，∴△ABF≌△EDF（SAS），∴BF＝DF．25．解：（1）∵CM平分∠ACB，MN平分∠AMC，∴∠ACM＝∠BCM，∠AMN＝∠CMN，又∵MN∥BC，∴∠AMN＝∠B，∠CMN＝∠BCM，∴∠B＝∠BCM＝∠ACM，∵∠A＝90°，∴∠B＝×90°＝30°；（2）由（1）得，∠AMN＝∠B＝30°，∠MCN＝∠CMN，∠A＝90°，∴MN＝2AN＝2，MN＝CN，∴CN＝2．26．解：（1）∵DC∥AB，∴∠CDB＝∠ABD，∵∠ABD＝∠CBD，∴BC＝CD＝4；（2）△DEF是等边三角形，理由：∵BC＝CD，CF⊥BD，∴BF＝DF，又∵DE⊥AB，∴EF＝BD＝DF，∵∠BDE＝90°﹣∠EBD＝90°﹣×60°＝60°，∴△DEF是等边三角形．27．证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝72°，又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝36°，∴∠BAD＝∠ABD，∴AD＝BD，又∵E是AB的中点，∴DE⊥AB，即FE⊥AB；（2）∵FE⊥AB，AE＝BE，∴FE垂直平分AB，∴AF＝BF，∴∠BAF＝∠ABF，又∵∠ABD＝∠BAD，∴∠FAD＝∠FBD＝36°，又∵∠ACB＝72°，∴∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，∴∠CAF＝∠AFC＝36°，∴AC＝CF，即△ACF为等腰三角形．28．解：（1）∵BA＝BC，∴∠BCA＝∠BAC，∵DA＝DB，∴∠BAD＝∠B，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠C＝∠BAC＝2∠B，∴∠DAC＝∠B，∵∠DAC+∠ADC+∠C＝180°，∴2∠B+2∠B+∠B＝180°，∴∠B＝36°，∠C＝2∠B＝72°，故答案为：36；72；（2）①在△ADB中，∵DB＝DA，∠B＝36°，∴∠BAD＝36°，在△ACD中，∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC＝72°，∴∠CAD＝36°，∴∠BAD＝∠CAD＝36°，∵MH⊥AD，∴∠AHN＝∠AHE＝90°，∴∠AEN＝∠ANE＝54°，即△ANE是等腰三角形；②CD＝BN+CE．证明：由①知AN＝AE，又∵BA＝BC，DB＝AC，∴BN＝AB﹣AN＝BC﹣AE，CE＝AE﹣AC＝AE﹣BD，∴BN+CE＝BC﹣BD＝CD，即CD＝BN+CE．29．（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵AD∥BC，∴∠D＝∠BDC，∴∠ABD＝∠D，∴△ABD为等腰三角形；（2）∠C＝2∠D，理由：∵△ABD为等腰三角形；∴AB＝AD，∵AD＝AC，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠C＝2∠D．30．（1）证明：∵∠B＝90°，∠ACB＝30°，∴∠BAC＝60°∵AB∥DE，∴∠EFC＝∠BAC＝60°，∵∠CDE＝30°，∴∠FCD＝∠EFC﹣∠CDE＝60°﹣30°＝30°，∴∠FCD＝∠FDC，∴FD＝FC，即△FCD为等腰三角形；（2）解：∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠B，在△DCE和△CAB中，，∴△DCE≌△CAB，（ASA），∴CA＝CD，∴∠CAD＝∠ADC＝＝75°．31．解：（1）△ODE是等腰直角三角形，理由：连接OC，在等腰Rt△ABC中，∵O是AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，∴∠OCE＝45°，OC＝OA＝OB，∠COA＝90°，∵∠DOE＝90°，∴∠AOD＝∠COE，在△AOD与△COE中，，∴△AOD≌△COE，（ASA），∴OD＝OE，∴△ODE是等腰直角三角形；（2）在旋转过程中，四边形CDOE的面积不发生变化，∵△AOD≌△COE，∴四边形CDOE的面积＝△AOC的面积，∵AC＝6，∴AB＝6，∴AO＝OC＝AB＝3，∴四边形CDOE的面积＝△AOC的面积＝×3×3＝9；（3）当四边形CDFE是正方形时，其面积最大，四边形CDFE面积的最大值＝9，故四边形CDFE的面积S的取值范围为：0＜S≤9．。

(完整版)(最新整理)2019重庆中考初三数学17,18,24,25题周末培优(含答案)

初三周末培优1.春节期间，重百超市推出了甲、乙、丙、丁四种礼品套餐组合：甲套餐每袋装有15个A 礼盒，10个B礼盒，10个C礼盒；乙套餐每袋装有5个A 礼盒，7个B礼盒，6个C礼盒；丙套餐每袋装有7个A 礼盒，8个B礼盒，9个C礼盒；丁套餐每袋装有3个A 礼盒，4个B礼盒，4个C礼盒，若一个甲套餐售价1800 元，利润率为20% ，一个乙和一个丙套餐一共成本和为1830 元，且一个 A 礼盒的利润率为25% ，问一个丁套餐的利润率为．（利润率＝×100%）2.某公司推出一款新产品，通过市场调研后，按三种颜色受欢迎的程度分别对 A 颜色、 B 颜色、 C 颜色的产品在成本的基础上分别加价40%，50%，60%出售（三种颜色产品的成本一样），经过一个季度的经营后，发现 C 颜色产品的销量占总销量的40%，三种颜色产品的总利润率为51.5%，第二个季度，公司决定对A产品进行升级，升级后 A 产品的成本提高了25%，其销量提高了60%，利润率为原来的两倍； B 产品的销量提高到与升级后的 A 产品的销量一样， C 产品的销量比第一季度提高了50%，则第二个季度的总利润率为．3.2018 年 3 月全国两会政府工作报告进一步强调“房子是用来住的，不是用来炒的”定位，继续实行差别化调控．这一年被称为史上房地产调控政策最密集、最严厉的年份．因此，房地产开发公司为了环节年终资金周转和财务报表的压力，通常在年底大量促销．重庆某房地产开发公司一方面在“高层、洋房、别墅”三种业态的地产产品中作特价活动；另一方面，公司制定了销售刺激政策，对卖出特价的员工进行个人奖励：每卖出一套高层特价房奖励 1 万元，每卖出一套洋房特价房奖励 2 万元，每卖出一套别墅特价房奖励 4 万元．公司将销售人员分成三个小组，经统计，第一组平均每人售出6套高层特价房、 4 套洋房特价房、 3 套别墅特价房；第二组平均每人售出 2 套高层特价房、 2 套洋房特价房、 1 套别墅特价房；第三组平均每人售出8 套高层特价房、 5 套洋房特价房．这三组销售人员在此次活动中共获得奖励466 万元，其中通过销售洋房特价房所获得的奖励为216 万元，且第三组销售人员的人数不超过20 人．则第三组销售人员的人数比第一组销售人员的人数多人．4. 小亮和小明在同一直线跑道 AB 上跑步，小亮从 AB 之间的 C 地出发，到达终点 B 地停止运动，小明从起点 A 地与小亮同时出发，到达 B 地休息 20秒后立即以原速度的 1.5 倍返回 C 地并停止运动，在返途经过某地时小明的体力下降，并将速度降至 3米/秒跑回终点 C 地，结果两人同时到达各自的终点．在跑步过程中，小亮和小明均保持匀速，两人距 C 地的路程和记为5.松松和东东骑自行车分别从迎宾大道上相距 9500 米的 A 、松松的自行车坏了，立刻停车并马上打电话通知东东，东东接到电话后立刻提速至原来的后用了 5 分钟修好了松松的自行车，修好车后东东立刻骑车以提速后的速度继续向终点留在原地整理工具， 2 分钟以后松松以原速向 B 走了 3 分钟后，发现东东的包在自己身上，马上掉头以原速的倍的速度回 A 地；在整个行驶过程中，松松和东东均保持匀速行驶（东东停车和打电话的时间忽略不计），两人相距的路程 S （米）与松松出发的时间 t （分钟）之间的关系如图所示，则东东到达 A 地时，6. 某海域内有一艘渔船发生故障，海事救援船接到求救信号后立即从港口出发沿直线匀速前往救援，与故障渔船会合后马上熄火随渔船漂流（漂流方向与救援船航行方向一致），并立即对故障进行了 8 分钟的修理，然后立刻以另一速度返回港口，同时渔船沿直线往相反方向远离港口行驶，且渔船前进的速度是救援船前往救援速度的 3倍．如图， O →B →C →E 为救援船离港口的距离 y （海里）与时间 x （分钟）的函数图象，A →B →C →D 为渔船离港口的距离 y （海里）与时间 x （分钟）的函数图象，其中 A → B → C 表示渔船在漂流过程中的变化规律，它是抛物线y ＝ax 2+k 的部分图象．若救援船返程时间是前往救援时间的，则y （米），小亮跑步的时间记为 x （秒），y 与 x 的函数关系如图所示，则小明在返途中体力下降并将速度降至 3 米 / 秒时，他距 C 地还有米．B 两地同时出发，相向而行，行驶一段时间后A 地前行，松松则，碰到松松当救援船返回港口时，渔船与港口的距离是海里．7. 已知，在?ABCD 中，AB⊥ AC，点E是AC上一点，连换BE，延长BE交AD 于点 F ，BE＝CE．（1）如图1，当∠AEB＝60°，BF＝2时，求?ABCD 的面积；（2）如图2，点G是过点E且与BF垂直的直线上一点，连接GF，GC，FC，当GF＝GC 时，求证：＝AB2EG．。

备考2019年中考数学压轴题专项培优训练：四边形(附解析)

备考2019年中考数学压轴题专项培优训练：四边形1．把Rt△ABC和Rt△DEF按如图①摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8，BC＝6，EF ＝10．如图②，△DEF从图①的位置出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以每秒1个单位的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．（1）△DEF在平移的过程中，AP＝CE＝（用含t的代数式表示）；当点D落在Rt△ABC的边AC上时，求t的值．（2）在移动过程中，当0＜t≤5时，连接PE，①设四边形APEQ的面积为y，求y与t之间的函数关系式并试探究y的最大值；②是否存在△PQE为直角三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．2．如图1，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，BF，交点为G．若正方形的边长为4（1）求证：AE⊥BF；（2）将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP交BA的延长线于点Q，求AQ的长；（3）将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM （如图3），若AM和BF相交于点N，求四边形MNGH的面积．3．如图1，已知三角形纸片△AB C和△DEF重合在一起，AB＝AC，DE＝DF，△ABC ≌△DEF．数学实验课上，张老师让同学们用这两张纸片进行如下操作：【操作探究1】保持△ABC不动，将△DEF沿射线BC方向平移至图2所示位置，通过度量发现BE：CE＝1：2，则S△CGE：S△CAB＝；【操作探究2】保持△ABC不动，将△DEF通过一次全等变换（平移、旋转或翻折后和△ABC拼成以BC为一条对角线的菱形，请用语言描述你的全等变换过程．（友情提醒：描述过程要完整）【操作探究3】将两个三角形按图3所示放置：点C与点F重合，AB∥DE．保持△ABC不动，将△DEF沿射线DA方向平移．若AB＝13，BC＝10，设△DEF 平移的距离为m．①当m＝0时，连接AD、BE，判断四边形ABED的形状并说明理由；②在平移的过程中，四边形ABED能否成为正方形？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．4．如图，已知正方形ABCD的边长为4、点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG、顶点G在线段PC 上，对角线EG、PF相交于点O．（1）若AP＝1，则AE＝；（2）①点O与△APE的位置关系是，并说明理由；②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；（3）在点P从点A到点B的运动过程中，线段AE的大小也在改变，当AP ＝，AE达到最大值，最大值是．5．问题背景：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1：将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．并且量AB＝4cm，AC＝8cm，问题解决：（1）将图1中的△ACD以点为A旋转中心，按逆时针方向能转∠α，使∠α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC'D，过点C作AC'的平行线，与DC'的延长线交于点E，则四边形ACEC'的形状是．（2）缜密小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B、A、D三点在同一条直线上，得到如图3所示的△AC'D，连接CC'，取CC'的中点F，连接AF并延长到点G，使FG＝AF，连接CG、C'G，得到四边形ACGC'，发现它是正方形，请你证明这个结论．实践探究：（3）创新小组在缜密小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC沿着BD方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A'点，A'C与BC'相交于点H，如图4所示，连接CC'，试求tan∠C'CH的值．6．在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，点P、E分别是直线BD、BC上的动点，且PE＝PC，过点E作EF∥AC交直线BD于点F（1）如图1，当∠COD＝90°时，△BEF的形状是（2）如图2，当点P在线段BO上时，求证：OP＝BF（3）当∠COD＝60°、CD＝3时，请直接写出当△PEF成为直角三角形时的面积．7．在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE＝∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图①）：①求证：△BOG≌△POE；②猜想：＝；（2）当点P与点C不重合时，如图②，的值会改变吗？试说明理由．8．在矩形ABCD中，E为射线BC上一点，DF⊥AE于F，连接DE．（1）如图1，若E在线段BC上，且CE＝EF，求证：AD＝AE；（2）若AB＝6，AD＝10，在点E的运动过程中，连接BF．①当△ABF是以AB为底的等腰三角形时，求BE的长；②当BF∥DE时，若S△ADF＝m，S△DCE＝n，探究m﹣n的值并简要说明理由．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，把矩形COAB绕点C顺时针旋转α角，得到矩形CFED．设FC与AB交于点H，且A（0，4），C（8，0）．（1）当α＝60°时，△CBD的形状是；（2）设AH＝m①连接HD，当△CHD的面积等于10时，求m的值；②当0°＜α＜90°旋转过程中，连接OH，当△OHC为等腰三角形时，请直接写出m的值．10．如图，在等边△ABC中，BC＝8cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG 以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）①当t为时，以A、F、C、E为顶点的四边形是平行四边形（直接写出结果）；②当t为时，S△ACE＝2S△FCE．（直接写出结果）11．如图，四边形AOBC中，点C到直线OA，OB的距离相等为m，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，OB长为n，且m＝++4，四边形AOBC的面积为6．（1）求线段OA的长；（2）P为AB延长线上一点，PQ∥OC，交CB延长线于Q，探究∠OAP、∠ABQ、∠Q的数量关系并说明理由；（3）作AD平行CB交CO延长线于D，BE平分∠CBH，BE反向延长线交CO延长线于F，若设∠ADO＝α，∠F＝β，试求α+2β的值．12．（1）问题发现：如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：如图2，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC的延长线上时，连接EC，写出此时线段AD，BD，CD之间的等量关系，并证明；（3）拓展延仲：如图3，在四边形ABCF中，∠ABC＝∠ACB＝∠AFC＝45°．若BF＝13，CF＝5，请直接写出AF的长．13．如图（1），已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG．（1）试猜想线段BG和AE的关系（位置关系及数量关系），请直接写出你得到的结论；（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一角度α后（0°＜α＜90°），如图（2），通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；（3）若BC＝DE＝2，正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转角度α（0°＜α＜360°）过程中，当BG为最小值时，求AF的值．14．综合与实践：问题情境：（1）如图1，点E是正方形ABCD边CD上的一点，连接BD、BE，将∠DBE绕点B顺针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线DA交于点F和点G．①线段BE和BF的数量关系是；②写出线段DE、DF和BD之间的数量关系，并说明理由；操作探究：（2）在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，点E是菱形ABCD边CD所在直线上的一点，连接BD、BE，将∠DBE绕点B顺时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线DA交于点F和点G．①如图2，点E在线段DC上时，请探究线段DE、DF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明．②如图3，点E在线段CD的延长线上时，BE交射线DA于点M，若DE＝DC＝2a，直接写出线段FM和AG的长度．15．如图O为坐标原点，四边形ABCD是菱形，A（﹣8，8），B点在第一象限，AB＝10，AB与y轴交于点F，对角线AC交y轴于点E（1）直接写出B、C点的坐标；（2）动点P从C点出发以每秒2个单位的速度沿折线段C﹣D﹣A运动，设运动时间为t秒，请用含t的代数式表示△EDP的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在一点P，使△APE沿其一边翻折构成的四边形是菱形？若存在，请直接写出当t为多少秒时存在符合条件的点P；若不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点A（a，0），B（b，0）在坐标轴上，C的纵坐标是2，且a，b满足式子：（1）求出点A、B、C的坐标．（2）连接AC，在y轴上是否存在点M，使△COM的面积等于△ABC的面积，若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．（3）若点P是边CD上一动点，点Q是CD与y轴的交点，连接OP，OE平分∠AOP交直线CD于点E，OF⊥OE交直线CD于点F，当点P运动时，探究∠OPD 和∠EOQ之间的数量关系，并证明．参考答案1．解：（1）如图1，△DEF在平移的过程中，AP＝CE＝t；当D在AC上时，如图2，∵DE＝DF，∴EC＝CF＝EF＝5，∴t＝5．故答案为：t；（2）①如图3，过点P作PM⊥BC于M，∴∠BMP＝∠ACB＝90°，∴△ABC∽△PBM，∴，∴，∴PM＝8﹣t，又∵∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，∴∠EQC＝∠DEF＝45°，∴CE＝CQ＝t，∴y＝S△ACB﹣S△ECQ﹣S△PBE＝AC•BC﹣EC•CQ﹣BE•PM，＝×8×6﹣×t×t﹣（6﹣t）（8﹣t），＝﹣t（0＜t≤5），∵a＝﹣＜0，∴当x＝﹣＝﹣＝时，y最大值＝﹣×+×＝，②存在．i）当∠PQE＝90°时，如图4，过点P作PH⊥BE于H，过点P作PW⊥AC于W，∴△ABC∽△APW，∴，即，∴PW＝t，AW＝t，∴QW＝8﹣t﹣t＝8﹣t，EH＝t﹣t＝t，由①可得：CE＝CQ＝t，PH＝8﹣t∴PQ2＝PW2+QW2＝（t）2+（8﹣t）2＝t2﹣t+64，PE2＝PH2+EH2＝（8﹣t）2+（t）2＝t2﹣t+64，EQ2＝CE2+CQ2＝t2+t2＝2t2∵∠PQE＝90°，在Rt△PEQ中，PQ2+EQ2＝PE2，即：（t2﹣t+64）+（2t2）＝t2﹣t+64解得：t1＝0（舍去）t2＝；当∠PEQ＝90°，PE2+EQ2＝PQ2即：（t2﹣t+64）+（2t2）＝t2﹣t+64解得：t1＝0（舍去）t2＝20（舍去）∴此时不存在；当∠EPQ＝90°时PQ2+PE2＝EQ2，即：（t2﹣t+64）+（t2﹣t+64）＝2t2，t1＝（舍去）t2＝4，综合上述：当t＝或t＝4时，△PQE是直角三角形．2．解：（1）证明：如图1，∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF＝BE，在Rt△ABE和Rt△BCF中，∵，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∠BAE＝∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BGE＝90°，∴AE⊥BF；（2）如图2，根据题意得，FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°，∵CD∥AB，∴∠CFB＝∠ABF，∴∠ABF＝∠PFB，∴QF＝QB，∵PF＝FC＝2，PB＝BC＝4，在Rt△BPQ中，设QB＝x，∴x2＝（x﹣2）2+42，∴x＝5，∴AQ＝BQ﹣AB＝5﹣4＝1；（3）∵正方形边长为4，∵∠BAE＝∠EAM，AE⊥BF，∴AN＝AB＝4，∵∠AHM＝90°，∴GN∥HM，…（8分）∴△AGN∽△AHM∴＝（）2，∴＝（）2，∴S△AGN＝，∴S四边形GHMN＝S△AHM﹣S△AGN＝4﹣＝，∴四边形GHMN的面积是．3．解：（1）如图2，由题意知DE∥AB，∴△CGE∽△CAB，∴＝（）2，∵＝，∴＝，则＝（）2＝，故答案为：4：9；（2）将△DEF沿EF翻折或绕BC中点旋转180°；（3）①∵AB∥DE且AB＝BC＝DC＝DE，∴四边形ABED是平行四边形，∵∠DEC+∠CEB+∠CBE+∠ABC＝180°，且∠DEC＝∠ABC，∠CEB＝∠CBE，∴∠DEC+∠CEB＝90°，即∠BED＝90°，∴四边形ABED是矩形；②能，如图，过点A作AG⊥BC，过点C作CH⊥BE，CM⊥AB，∴BG＝BC＝5，∴AG＝＝12，∵S△ABC＝AB•CM＝BC•AG，∴CM＝＝，则BH＝CM＝，BE＝2BH＝，∵四边形ABED是正方形，∴平移后BE＝AB，则m＝+13＝或m＝﹣13＝．4．解：（1）∵四边形ABCD、四边形PEFG是正方形，∴∠A＝∠B＝∠EPG＝90°，PF⊥EG，AB＝BC＝4，∠OEP＝45°，∴∠AEP+∠APE＝90°，∠BPC+∠APE＝90°，∴∠AEP＝∠BPC，∴△APE∽△BCP，∴，即，解得：AE＝；故答案为：；（2）①点O在△APE的外接圆上，理由是：证明：如图1，取PE的中点Q，连接A Q，OQ，∵∠POE＝90°，∴OQ＝PE，∵△APE是直角三角形，∴点Q是Rt△APE外接圆的圆心，∴AQ＝PE，∴OQ＝AQ＝EQ＝PQ，∴O在以Q为圆心，以OQ为半径的圆上，即点O在△APE的外接圆上；（到圆心的距离等于半径的点必在此圆上），故答案为：点O在△APE的外接圆上；②连接OA、AC，如图2所示，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∠BAC＝45°，∴AC＝＝4，∵A、P、O、E四点共圆，∴∠OAP＝∠OEP＝45°，∴点O在AC上，当P运动到点B时，O为AC的中点，OA＝AC＝2，即点O经过的路径长为2；（3）设AP＝x，则BP＝4﹣x，由（1）得：△APE∽△BCP，∴，∴，∴AE＝（x﹣2）2+1，∴x＝2时，AE的最大值为1，即当AP＝2时，AE的最大值为1．故答案为：2，1．5．解：（1）在如图1中，∵AC是矩形ABCD的对角线，∴∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，在如图2中，由旋转知，AC'＝AC，∠AC'D＝∠ACD，∴∠BAC＝∠AC'D，∵∠CAC'＝∠BAC，∴∠CAC'＝∠AC'D，∴AC∥C'E，∵AC'∥CE，∴四边形ACEC'是平行四边形，∵AC＝AC'，∴▱ACEC'是菱形，故答案为：菱形；（2）在图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠CAD＝∠ACB，∠B＝90°，∴∠BAC+∠ACB＝90°在图3中，由旋转知，∠DAC'＝∠DAC，∴∠ACB＝∠DAC'，∴∠BAC+∠DAC'＝90°，∵点D，A，B在同一条直线上，∴∠CAC'＝90°，由旋转知，AC ＝AC '，∵点F 是CC '的中点，∴AG ⊥CC '，CF ＝C 'F ，∵AF ＝FG ，∴四边形ACGC '是平行四边形，∵AG ⊥CC '，∴▱ACGC '是菱形，∵∠CAC '＝90°，∴菱形ACGC '是正方形；（3）在Rt △ABC 中，AB ＝4，AC ＝8，∴AC '＝AC ＝8，AD ＝BC ＝4，sin ∠ACB ＝＝，∴∠ACB ＝30°，由（2）结合平移知，∠CHC '＝90°，在Rt △BCH 中，∠ACB ＝30°，∴BH ＝BC •sin30°＝2，∴C 'H ＝BC '﹣BH ＝8﹣2，在Rt △ABH 中，AH ＝AB ＝2，∴CH ＝AC ﹣AH ＝8﹣2＝6，在Rt △CHC '中，tan ∠C ′CH ＝＝．6．解：（1）△BEF 是等腰直角三角形，理由是：如图1，∵∠COD ＝90°，∴AC ⊥BD ，∴矩形ABCD 是正方形，∴∠ACB ＝45°，∵EF ∥AC ，∴∠FEB ＝∠ACB ＝45°，∠F ＝∠BOC ＝90°，∴△BEF 是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形；（2）如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OB＝BD，OC＝AC，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝∠FBE，∵∠FBE＝∠BEP+∠EPB，∠OCB＝∠PCB+∠OCP，∵PE＝PC，∴∠BEP＝∠PCB，∴∠EPB＝∠OCP，∵EF∥AC，∴∠COP＝∠BFE，∴△PEF≌△CPO（AAS），∴OC＝PF＝OB，∴OB﹣PB＝PF﹣PB，即OP＝BF；（3）∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OD＝BD，OC＝AC，∴OD＝OC，∵∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∴OC＝CD＝3，如图3，当∠PEF＝90°时，∵EF∥AC，∴∠POC＝∠OFE＝60°，∴∠BFE＝120°，∴OB ＝OC ， ∴∠OBC ＝∠OCB ＝∠FEB ＝30°，∵∠FEP ＝90°，∴∠PEC ＝60°，∵PE ＝PC ，∴△PEC 是等边三角形，∴∠PCB ＝60°，∴∠PCO ＝60°﹣30°＝30°＝∠FPE ，∴△PFE ≌△COP （ASA ），∴PF ＝OC ＝3，Rt △PFE 中，EF ＝，PE ＝，∴S △PEF ＝＝＝；∴当△PEF 成为直角三角形时的面积是．7．（1）①证明：∵四边形ABCD 是正方形，P 与C 重合，∴OB ＝OP ，∠BOC ＝∠BOG ＝90°，∵PF ⊥BG ，∠PFB ＝90°，∴∠GBO ＝90°﹣∠BGO ，∠EPO ＝90°﹣∠BGO ，∴∠GBO ＝∠EPO ，在△BOG 和△POE 中，∵，∴△BOG ≌△POE （ASA ）；②由①知，△BOG ≌△POE ，∴BG ＝PE ，∵∠BPE ＝∠ACB ，∠BPF +∠GPF ＝∠ACB ，∴∠BPF ＝∠GPF ，∵BF⊥PE，∴BF＝BG，∴＝，故答案为：；（2）解：猜想．证明：如图2，过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，∴∠PNE＝∠BOC＝90°，∠BPN＝∠OCB．∵∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠NBP＝∠NPB．∴NB＝NP．∵∠MBN＝90°﹣∠BMN，∠NPE＝90°﹣∠BMN，∴∠MBN＝∠NPE，在△BMN和△PEN中，∵，∴△BMN≌△PEN（ASA），∴BM＝PE．∵∠BPE＝∠ACB，∠BPN＝∠ACB，∴∠BPF＝∠MPF．∵PF⊥BM，∴∠BFP＝∠MFP＝90°．在△BPF和△MPF中，，∴△BPF≌△MPF（ASA）．∴BF＝MF．即BF＝BM．∴BF＝PE．即．8．（1）证明：在矩形ABCD中，∠DCE＝90°，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，∠DCE＝∠DFE＝90°，∵CE＝EF，DE＝DE，∴△CED≌△FED（HL），∴∠CED＝∠FED，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE；（2）①分两种情况：当点E在线段BC上时，AF＝BF，如图 1 所示：∴∠ABF＝∠BAF，∵∠ABF+∠EBF＝90°，∠BAF+∠BEF＝90°，∴∠EBF＝∠BEF，∴EF＝BF，∴AF＝EF，∵DF⊥AE，∴DE＝AD＝10，在矩形ABCD中，CD＝AB＝6，∠DCE＝90°，∴CE＝8，∴BE＝10﹣8＝2；当点E在BC延长线上时，AF＝BF，如图 2 所示：同理可证AF＝EF，∵DF⊥AE，∴DE＝AD＝10，在矩形ABCD中，CD＝AB＝6，∠DCE＝90°，∴CE＝8，∴BE＝10+8＝18，综上，BE的长是2或8；②m﹣n＝0，理由如下：当BF∥DE时，延长BF交AD于G．如图3：在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∠BAG＝∠DCE＝90°，∵BF∥DE，∴四边形BEDG是平行四边形，∴BE＝DG，∴S△DEF＝，AG＝CE，▱BEDGS △BEF +S △DFG ＝S ▱BEDG ，∵△ABG ≌△CDE ，∴S △ABG ＝S △CDE ，∵S △ABE ＝S ▱BEDG ，∴S △ABE ＝S △BEF +S △DFG ，∴S △ABF ＝S △DFG ，∴S △ABF +S △AFG ＝S △DFG +S △AFG ，即S △ABG ＝S △ADF ，∴S △CDE ＝S △ADF ，即m ﹣n ＝0．9．解：（1）∵矩形COAB 绕点C 顺时针旋转60度的角，得到矩形CFED ， ∴∠BCD ＝60°，CB ＝CD ，∴△CBD 为等边三角形；故答案为：等边三角形；（2）①∵四边形CFED 是矩形，∴∠DCH ＝90°，∵△CHD 的面积等于10，∴CD •CH ＝10，∵CD ＝4，∴，CH ＝5，Rt △BCH 中，由勾股定理得：BH ＝＝＝3， ∴AH ＝8﹣3＝5，即m ＝5；②当△OHC 为等腰三角形时，分三种情况：i ）当OH ＝CH 时，如图2，∵OA＝BC，∴Rt△AOH≌Rt△BCH（HL），∴AH＝BH＝4，即m＝4；ii）当OH＝OC＝8时，如图3，∵OA＝4，由勾股定理得：AH＝＝＝4，即m＝4；iii）当OC＝CH＝8时，如图4，此时F与H重合，则BH＝4，∴m＝8﹣4，综上，m的值是4或4或8﹣4．10．（1）证明：∵AG∥BC，∴∠EAD＝∠DCF，∠AED＝∠DFC，∵D为AC的中点，∴AD＝CD，∵在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（AAS）；（2）解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm），∵AG∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，即t＝8﹣2t，解得：t＝；当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BF﹣BC＝2t﹣8（cm），∵AG∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，即t＝2t﹣8，解得：t＝8；综上可得：当t＝或8s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．故答案为或8s．②∵AG∥BC，∴当AE＝2CF时， S△AEC＝S△EFC，∴t＝2（8﹣2t）或t＝2（2t﹣8），解得t＝或，故答案为：或．11．解：分别以OB、OA所在的直线为x、y轴建立平面直角坐标系．（1）由题意，解得n＝2，∴m＝4，∴B（2，0），C（4，4）．如图1中，∵S四边形AOBC＝S△OBC+S△AOC，∴×2×4+×OA×4＝6，∴OA＝1．（2）如图2中，结论：∠ABQ+∠OAB﹣∠Q＝135°．理由如下：∵OC∥PQ，∴∠Q＝∠OCB，∵∠ABQ＝∠1+∠OCB＝∠1+∠Q，∠1＝180°﹣∠OAB﹣∠AOC＝180°﹣∠OAB ﹣45°＝135°﹣∠OAB，∴∠ABQ＝∠Q+135°﹣∠OAB，∴∠ABQ+∠OAB﹣∠Q＝135°．（3）如图3中，∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCB＝α，∵BE平分∠CBx，∴∠CBE＝∠EBx，∵∠CBE＝∠F+∠OCB＝α+β，∴∠OBF＝∠EBx＝α+β，∵C（4，4），∴OC平分∠AOB，∴∠COB＝45°＝∠F+∠OBF＝α+（α+β），∴α+2β＝45°．12．解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝90°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，∵∠ACB＝45°，∴∠BCE＝45°+45°＝90°，故答案为：BD＝CE，BD⊥CE；（2）2AD2＝BD2+CD2，理由是：如图2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵，∵△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，∴DE2＝CE2+CD2，∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴DE＝AD，∴2AD2＝BD2+CD2；（3）如图3，将AF绕点A逆时针旋转90°至AG，连接CG、FG，则△FAG是等腰直角三角形，∴∠AFG＝45°，∵∠AFC＝45°，∴∠GFC＝90°，同理得：△BAF≌△CAG，∴CG＝BF＝13，Rt△CGF中，∵CF＝5，∴FG＝12，∵△FAG是等腰直角三角形，∴AF＝＝6．13．解：（1）结论：BG＝AE．理由：如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵四边形DEFG是正方形，∴DE＝DG．在△BDG和△ADE中，，∴△ADE≌△BDG（SAS），∴BG＝AE．（2）①成立BG＝AE．理由：如图2，连接AD，∵在Rt△BAC中，D为斜边BC中点，∴AD＝BD，AD⊥BC，∴∠ADG+∠GDB＝90°．∵四边形EFGD为正方形，∴DE＝DG，且∠GDE＝90°，∴∠ADG+∠ADE＝90°，∴∠BDG＝∠ADE．在△BDG和△ADE中，，∴△BDG≌△ADE（SAS），∴BG＝AE；②如图③中，连接AF．如图②中，在△BDG中，∵BD＝1，DG＝2，∴2﹣1≤BG≤1+2，∴GB的最小值为1，此时如图③中，G，B，D共线，在Rt△AEF中，AF＝＝＝．14．解：（1）①∵∠DBE绕点B顺针旋转90°，如图（1）由旋转可知，∠DBE＝∠GBF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC＝∠ADB＝45°，∵∠DBG＝90°，∴∠G＝45°，∴∠G＝∠BDG，∴GB＝BD，∴△GBF≌△DBE（SAS），∴BE＝BF；故答案为：BE＝BF②DF+DE＝BD，理由如下：由旋转可知，∠DBE＝∠GBF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC＝∠ADB＝45°，∵∠DBG＝90°，∴∠G＝45°，∴∠G＝∠BDG，∴GB＝BD，∴△GBF≌△DBE（SAS），∴DE＝GF，∴DF+DE＝DG，∵DG＝BD，即DE+DF＝BD；（2）①DF+DE＝BD，理由如下：在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB＝∠ADC＝，由旋转120°得∠EBF＝∠DBG＝120°，∠EBD＝∠FBG，在△DBG中，∠G＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴∠BDG＝∠G＝30°，∴BD＝BG，∴△EBD≌△FBG（ASA），∴DE＝FG，∴DE+DF＝DF+FG＝DG，过点B作BM⊥DG于点M，如图（2）∵BD＝BG，∴DG＝2DM，在Rt△BMD中，∠BDM＝30°，∴BD＝2BM．设BM＝a，则BD＝2a，DM＝，∴DG＝2a，∴，∴DF+DE＝BD，②过点B作BM⊥DG，BN⊥DC，如图（3）∵DE＝DC＝2a，由①中同理可得：FM＝7a，AG＝4a．15．解：（1）如图1中，作AH⊥CD于H．∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AB＝BC＝10，CD∥AB，∵A（﹣8，8），∴AH＝OH＝8，DH＝＝6，∴OD＝2，OC＝8，∴B（2，8），C（8，0）．（2）如图2，连接DE，作EK⊥AD于K．设直线AC的解析式为y＝kx+b，∵A（﹣8，8），C（8，0），∴，∴，∴直线AC地方解析式为y＝﹣x+4，∴E（0，4），∴EF＝OE＝4，∵四边形ABCD是菱形，∴∠EAF＝∠EAK，∵AE＝AE，∠AFE＝∠AKE＝90°，∴△AEF≌△AEK（AAS），∴EF＝EK＝4，当0≤t＜5时，S＝×4（10﹣t）＝﹣2t+20．当5＜t≤10时，S＝×4（t﹣10）＝2t﹣20．（3）①如图3中当点P在AD上，AP＝AE时，沿PE翻折，可得四边形PAEA′为菱形，在Rt△AEF中，AE＝＝＝4，∴AP＝AE＝4，∴t＝20﹣4②如图4中，当点P在AD上，PA＝PE时，沿AE翻折，可得四边形PAP′E是菱形，设PA＝PE＝EP′＝AP′＝x，在RtEFP′中，则有x2＝（8﹣x）2+42，∴x＝5，∴PA＝5，∴t＝20﹣5＝15，综上所述，满足条件的t的值为20﹣4或15s．16．解：（1）∵又∵≥0，|b﹣4|≥0，∴a+b﹣2＝0，b﹣4＝0，∴a＝﹣2，b＝4，∴A（﹣2，0）．B（4，0），∵四边形ABCD是矩形，点C的纵坐标为2，∴C（4，2）．（2）设M（，t），∵S△ABC＝×（4+2）×2＝6，△COM的面积＝△ABC的面积，∴•|t|•4＝6，解得t＝±3，∴M点坐标为（0，3）或（0，﹣3）；（3）结论：∠OPD＝2∠EOQ．∵OE平分∠AOP，∴∠AOE＝∠POE＝∠1+∠2，∵OF⊥OE，∴∠1+∠2+∠3＝90°，∠4+∠AOE＝90°，∴∠3＝∠4，∵CD⊥y轴，∴CD∥AB，∴∠OPD＝∠POB＝2∠3，∵∠1+∠2+∠3＝90°，∠2+∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠2+∠3＝∠2+2∠3，∴∠1＝∠3，∴∠OPD＝2∠EOQ．。

2019年中考数学知识点过关培优训练：图形的变化(对称+平移+旋转+相似+视图+锐角三角函数)(附答案)

2019年中考数学知识点过关培优训练：图形的变化一．选择题1．把下列英文字母看成图形，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则下列三角函数表示正确的是（）A．tan A＝B．tan B＝C．sin A＝D．cos A＝3．中国的汉字博大精深．下面四个黑体汉字中，不是轴对称的是（）A．品B．里C．用D．且4．鲁班锁，民间也称作孔明锁、八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的棒卯结构，下图是鲁班锁的其中一个部件，它的主视图是（）A．B．C．D．5．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将△ABC绕点C顺时针旋转40°得到△A′B′C，CB′与AB相交于点D，连接AA′，则∠B′A′A的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．30°6．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝8，sin A＝，点D是AB中点，则CD的长为（）A．4 B．5 C．6 D．77．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，P是AD上一动点，则下列线段的长度等于PC+PE的最小值的是（）A．BE B．AD C．AC D．BC8．已知：在直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（1，0），（0，3），将线段AB平移，平移后点A的对应点A′的坐标是（2，﹣1），那么点B的对应点B′的坐标是（）A．（2，1）B．（2，3）C．（2，2）D．（1，2）9．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝9，点E为线段AD上一点，且DE＝2AE，点G是线段AB上的动点，EF⊥EG交BC所在直线于点F，连接GF．则GF的最小值是（）A．3 B．6 C．6D．310．如图，已知E、F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M则下列结论①∠AME＝90°；②∠BAF＝∠EDB；③MD＝2AM＝4EM；④AM＝MF，其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题11．如图，在4×5的正方形网格中点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC＝．12．如图，△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cos A ＝．13．如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH＝8cm，EF＝15cm，则边AD的长是cm．14．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D在边AB上，AD＝2，点E是BC上一点连结DE，将DE绕点D逆时针旋转60°得DF，连结CF，则CF的最小值是．15．科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶6千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C．小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，则B、C两地的距离是千米．16．如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积（阴影部分）是△ABC面积的一半，若BC＝2，则△ABC移动的距离是．17．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝m，点P是边BC上一动点，若△PAB与△PCD相似，且满足条件的点P恰有2个，则m的值为．18．如图所示，等边△ABC中D点为AB边上一动点，E为直线AC上一点，将△ADE沿着DE 折叠，点A落在直线BC上，对应点为F，若AB＝4，BF：FC＝1：3，则线段AE的长度为．19．如图，△ABC中，D、E两点分别在AB、BC上，若AD：DB＝CE：EB＝2：3，则△DBE的面积：△ADC的面积＝．20．在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP＜CP），∠APB＝90°．将△ADP沿AP翻折得到△AD'P，PD的延长线交边AB于点M，过点B作BN∥MP交DC于点N，连接AC，分别交PM，PB于点E，F．现有以下结论：①连接DD'，则AP垂直平分DD'；②四边形PMBN是菱形；③AD2＝DP•PC；④若AD＝2DP，则；其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）三．解答题21．北盘江大桥坐落于云南宜威与贵州水城交界处，横跨云贵两省，为目前世界第一高桥图1是大桥的实物图，图2是从图1中引申出的平面图，测得桥护栏BG＝1.8米，拉索AB 与护栏的夹角是26°，拉索ED与护栏的夹角是60°，两拉素底端距离BD为300m，若两拉索顶端的距离AE为90m，请求出立柱AH的长．（tan26°≈0.5，sin26°≈0.4，1.7）22．某公园内有一如图所示地块，已知∠A＝30°，∠ABC＝75°，AB＝BC＝8米，求C点到人行道AD的距离（结果保留根号）．23．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ；DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ；AC 与DF 交于点O ．已知DE ＝3，EF ＝6，AB ＝4．（1）求AC 的长；（2）若BE ：CF ＝1：3，求OB ：AB ．24．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （﹣1，3），B （﹣4，0），C ．（0，0）（1）将△ABC 向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1，并直接写出点A 1的坐标；（2）△ABC 绕原点O 逆时针方向旋转90°得到△A 2B 2O ；（3）如果△A 2B 2O ，通过旋转可以得到△A 1B 1C 1，请直接写出旋转中心P 的坐标25．如图1，点D、C、F、B共线，AC＝DF＝3，BC＝EF＝4，∠ACB＝∠DFE＝90°．点A在DE上，EF与AB交点为G．现固定△ABC，将△DEF沿CB方向平移，当点F与点B重合，停止运动．设BF＝x．（1）如图1，请写出图中所有与△DEF相似的三角形（全等除外）；（2）如图2，在△DEF运动过程中，设△CGF的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？（3）如图2，在△DEF运动过程中，若△ACG为等腰三角形，请直接写出x的值．26．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D是平面内一点，连接CD，将线段CD绕C顺时针旋转60°得到线段CE，连接BE，AD，并延长AD交BE于点P．（1）当点D在图1所在的位置时①求证：△ADC≌△BEC；②求∠APB的度数；③求证：PD+PE＝PC；（2）如图2，当△ABC边长为4，AD＝2时，请直接写出线段CE的最大值．27．折叠矩形ABCD，使点D落在BC边上的点F处．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若DC＝8，CF＝4，求矩形ABCD的面积S．28．已知：点A、B在∠MON的边OM上，作AC⊥OM，BD⊥OM，分别交ON于C、D两点．（1）若∠MON＝45°．①如图1，请直接与出线段AB和CD的数量关系．②将△AOC绕点O逆时针旋转到如图2的位置，连接AB、CD，猜想线段AB和CD的数量关系，并证明你的猜想．（2）若∠MON＝α（0°＜α＜90°），如图3，请直接写出线段OC、OD、AB之间的数量关系．（用含α的式子表示）29．某校数学课外实践小组一次活动中，测量一座楼房的高度．如图，在山坡坡脚A处测得这座楼房的楼顶B点的仰角为60°，沿山坡往上走到C处再测得B点的仰角为45°，已知山坡的坡比i＝1：，OA＝200m，且O、A、D在同一条直线上．（1）求楼房OB的高度；（2）求山坡上AC的距离（结果保留根号）30．问题情景：如图1，在等腰直角三角形ABC中∠ACB＝90°，BC＝a．将AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，过点D作△BCD的BC边上的高DE．易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为．简单应用：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，用含a的代数式表示△BCD的面积，并说明理由．参考答案1．解：A、不是轴对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，符合题意．故选：D．2．解：∵∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，∴，∴tan A＝，故选项A错误；tan B＝，故选项B错误；sin A＝，故选项C错误；cos A＝，故选项D正确．故选：D．3．解：A、“品”字是轴对称，故此选项不合题意；B、“里”字是轴对称，故此选项不合题意；C、“用”字不是轴对称，故此选项符合题意；D、“且”字是轴对称，故此选项不合题意；故选：C．4．解：它的主视图是：．故选：C．5．解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转40°得到△A′B′C，∴△ABC≌△A'B'C∴AC＝A'C，∠ACA'＝40°，∠BAC＝∠B'A'C＝90°∴∠AA'C＝70°＝∠A'AC∴∠B'A'A＝∠B'A'C﹣∠AA'C＝20°故选：C．6．解：依照题意，画出图形，如图所示．设BC＝3x，则AB＝5x，AC＝＝4x，∴4x＝8，∴x＝2，∴AB＝5x＝10．∵在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，点D是AB中点，∴CD＝AB＝5．故选：B．7．解：如图，连接PB，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴PB＝PC，∴PC+PE＝PB+PE，∵PE+PB≥BE，∴P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度，故选：A．8．解：∵A（1，0）的对应点A′的坐标为（2，﹣1），∴平移规律为横坐标加1，纵坐标减1，∵点B（0，3）的对应点为B′，∴B′的坐标为（1，2）．故选：D．9．解：如图，过点F作FM⊥AD于M，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠EMF＝90°，MF＝AB＝6，∵EF⊥GE，∴∠AGE+∠AEG＝90°，∠AEG+∠MEF＝90°，∴∠AGE＝∠MEF，∴△AEG∽△MFE，∴＝，设AG＝x，∵AD＝9，DE＝2AE，∴AE＝3，∴＝，∴ME＝2x，∴BF＝AM＝3+2x，在Rt△GBF中，GF2＝GB2+BF2＝（6﹣x）2+（3+2x）2＝5x2+45，∵点G在线段AB上，∴0≤x≤6，由二次函数的性质可知，当x＝0时，GF2有最小值45，∴GF的最小值为3，故选：D．10．解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝∴BC，∠DAE＝∠ABF＝90°，∵E、F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，∴AE＝AB，BF＝BC，∴AE＝BF，∴△DAE≌△ABF（SAS），∴∠BAF＝∠ADE，∵∠BAF+∠DAM＝90°，∴∠ADE+∠DAM＝90°，∴∠AME＝∠ADE+∠DAM＝90°，故①正确；（2）设AF与BD交于点N，正方形ABCD的边长为4，则AE＝BE＝BF＝2，∴DE＝AF＝＝2，∵AD∥BF，∴△BFN∽△DAN，∴＝＝，∴FN＝，AN＝，＝AD•AE＝DE•AM，∵S△AED∴AM＝＝＝，∴MN＝AF﹣AM﹣NF＝，∴AM≠MN，若∠BAF＝∠EDB，则∠ADE＝∠EDB，又∵DM＝DM，∠DMA＝∠DMN＝90°，∴△DAM≌△DNM（ASA），∴AM＝MN，不符合题意，故②错误；（3）由（1）知，∠BAF＝∠ADE，又∵∠AME＝∠EAD＝∠AMD＝90°，∴△AME∽△DMA∽△DAE，∴＝＝＝，∴AM＝2EM，DM＝2AM，∴MD＝2AM＝4EM，故③正确；（4）由（2）知AM＝，MN＝，FN＝，∴MF＝MN+FN＝+＝，∴＝，故④正确；故选：B．二．填空题（共10小题）11．解：过点C作CE⊥AB于点E，如图所示．∵S＝AC•3＝AB•CE，即×2×3＝×3•CE，△ABC∴CE＝．在Rt△BCE中，BC＝，CE＝，∴BE＝＝2，∴tan∠ABC＝＝．故答案为：．12．解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝36°．∵D是AB中点，DE⊥AB，∴AE＝BE，∠ABE＝∠A＝36°，∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝72°＝∠C，∴BE＝BC＝AE．设BC＝x，则CE＝AC﹣AE＝4﹣x．∵∠ABC＝∠BEC，∠C＝∠C，∴△ABC∽△BEC，∴＝，即＝，解得：x1＝2﹣2，x2＝﹣2﹣2（舍去），∴cos A＝＝＝．故答案为：．13．解：设AH＝e，AE＝BD＝f，BF＝HD＝m在Rt△AHE中，e2+f2＝82在Rt△EFH中，f2＝em在Rt△EFB中，f2+m2＝152（e+m）2＝e2+m2+2em＝189AD＝e+m＝3故答案为314．解：如图，把△CDB绕点D逆时针旋转60°，得到△C′DB′，∵∠B＝∠BDB′＝60°，∴B′在BC上，BB′＝BD＝4．∵∠C′B′D＝60°，∴∠CB′C′＝60°，∴B′C′∥AB，过点C作CF′⊥B′C′时，此时的CF′就是CF最小值的情况．∵B'C＝BC﹣BB'＝2，∴CF'＝B'C×cos∠CB'C'＝2×＝∴CF最小值为．故答案为：15．解：作BE⊥AC于E，在Rt△ABE中，sin∠BAC＝，∴BE＝AB•sin∠BAC＝6×＝3，由题意得，∠C＝45°，∴BC＝＝3÷＝3（千米），故答案为：3．16．解：∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置，∴AB∥DE，∴△ABC∽△HEC，∴，∴EC：BC＝1：，∵BC＝2，∴EC＝，∴BE＝BC﹣EC＝2﹣．故答案为：2﹣．17．解：∵AB∥CD，∠B＝90°，∴∠C+∠B＝180°，∴∠C＝90°，当∠BAP＝∠CDP时，△PAB∽△PDC，∴＝，即＝，∴PC＝2PB①，当∠BAP＝∠CPD时，△PAB∽△DPC，∴＝，即PB×PC＝1×2＝2②，由①②得：2PB2＝2，解得：PB＝1，∴PC＝2，∴BC＝3；故答案为：3．18．解：按两种情况分析：①点F在线段BC上，如图所示，由折叠性质可知∠A＝∠DFE＝60°∵∠BFD+∠CFE＝120°，∠BFD+∠BDF＝120°∴∠BDF＝∠CFE∵∠B＝∠C∴△BDF∽△CFE∴∵AB＝4，BF：FC＝1：3∴BF＝1，CF＝3设AE＝x，则EF＝AE＝x，CE＝4﹣x∴解得BD＝，DF＝∵BD+DF＝AD+BD＝4∴解得x＝，经检验当x＝时，4﹣x≠0∴x＝是原方程的解②当点F在线段CB的延长线上时，如图所示，同理可知△BDF∽△CFE∴∵AB＝4，BF：FC＝1：3，可得BF＝2，CF＝6设AE＝a，可知AE＝EF＝a，CE＝a﹣4∴解得BD ＝，DF ＝∵BD +DF ＝BD +AD ＝4∴解得a ＝14经检验当a ＝14时，a ﹣4≠0∴a ＝14是原方程的解，综上可得线段AE 的长为或14故答案为或1419．解：∵＝＝，∴＝＝，又∵∠DBE ＝∠ABC ，∴△BED ∽△BCA ，∴＝＝，分别过点B ，D 作AC 的垂线BM ，DN ，则DN ∥BM ，∴△ADN ∽△ABM ，∴＝＝，∵S △ADC ＝AC •DN ，S △BCA ＝A C •BM ，∴＝＝＝，∴＝×＝，故答案为：．20．解：∵将△ADP沿AP翻折得到△AD'P，∴AP垂直平分DD'，故①正确；解法一：过点P作PG⊥AB于点G，∴易知四边形DPGA，四边形PCBG是矩形，∴AD＝PG，DP＝AG，GB＝PC∵∠APB＝90°，∴∠APG+∠GPB＝∠GPB+∠PBG＝90°，∴∠APG＝∠PBG，∴△APG∽△PBG，∴，∴PG2＝AG•GB，即AD2＝DP•PC；解法二：易证：△ADP∽△PCB，∴＝，由于AD＝CB，∴AD2＝DP•PC；故③正确；∵DP∥AB，∴∠DPA＝∠PAM，由题意可知：∠DPA＝∠APM，∴∠PAM＝∠APM，∵∠APB﹣∠PAM＝∠APB﹣∠APM，即∠ABP＝∠MPB∴AM＝PM，PM＝MB，∴PM＝MB，又易证四边形PMBN是平行四边形，∴四边形PMBN是菱形；故②正确；由于＝，可设DP＝1，AD＝2，由（1）可知：AG＝DP＝1，PG＝AD＝2，∵PG2＝AG•GB，∴4＝1•GB，∴GB＝PC＝4，AB＝AG+GB＝5，∵CP∥AB，∴△PCF∽△BAF，∴＝＝，∴，又易证：△PCE∽△MAE，AM＝AB＝∴＝＝＝∴，∴EF＝AF﹣AE＝AC﹣＝AC，∴＝＝，故④错误，即：正确的有①②③，故答案为：①②③．三．解答题（共10小题）21．解：设CD＝x，∵∠EDC＝60°，∴CE＝x，∴AC＝AE+C E＝90+x，BC＝CD+BD＝300+x，∵tan26°＝，∴0.5＝，解得：x≈48.70，∴AH＝BG+AC＝1.8+90+×48.70≈176.15．22．解：过点B作BE⊥AD于E，作BF∥AD，过C作CF⊥BF于F，在Rt△ABE中，∠A＝30°，AB＝8m，∴BE＝4m，∵BF∥AD，∴∠ABF＝30°，∵∠ABC＝75°，∴∠CBF＝45°，在Rt△BCF中，CB＝8m，∴CF＝4m，∴C点到人行道AD的距离为4+4米；23．解：（1）∵l 1∥l 2∥l 3，∴，即，解得：AC ＝12；（2）∵l 1∥l 2∥l 3，∴，∵AB ＝4，AC ＝12，∴BC ＝9，∴OB ＝，∴．24．解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1为所求作的三角形．A 1（4，4）；（2）如图所示，△A 2B 2O 为所求作的三角形．（3）将△A 2B 2C 2绕某点P 旋转可以得到△A 1B 1C 1，点P 的坐标为：（2，﹣3）．25．解：（1）△AEG 、△DAC 、△BFG 和△ABD ；理由：在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DFE（SAS），∴∠B＝∠E，∠BAC＝∠D，∵∠D+∠DAC＝90°，∴∠BAC+∠DAC＝90°，∴∠BAD＝90°，∴∠EAG＝90°＝∠EFD，∵∠E＝∠E，∴△GEA∽△DEF，∵∠ACB＝∠DFE＝90°，∴∠ACB+∠DFE＝180°，∴AC∥EF，∴△DAC∽△DEF，△BFG∽△BCA，∵△ABC≌△DFE，∴△BFG∽△FED，∵∠BAD＝90°＝∠EFD，∠B＝∠E，∴△ABD∽△FED；（2）∵∠ACB＝∠DFE＝90°，∠B＝∠B．∴△BGF∽△BAC．∴＝．∴＝．∵CF＝BC﹣BF＝4﹣x，∴y＝＝，＝．∴当x＝2时，y的最大值为；（3）在Rt△ABC中，AB＝，若GA＝GC，易证G为AB的中点，∵∠ACB＝∠DFE＝90°，∴AC∥EF，∴BF＝BC＝2，即x＝2；若AG＝AC＝3，则BG＝BA﹣AG＝2，∵AC∥EF，∴，∴BF＝，即x＝；若CA＝CG，如图，作CP⊥AB，垂足为P，则AG＝2AP，∵∠ACB＝90°，∴△ACP∽△ABC．∴，∴AP＝，AG＝2AP＝，∴BG＝BA﹣AG＝，∵AC∥EF，∴，∴BF＝，即x＝；∴x的值为2、或．26．解：（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，∵将线段CD绕C顺时针旋转60°得到线段CE，∴CE＝CD，∠DCE＝60°，∴△DCE是等边三角形，∴∠DCE═60°，∵∠ACD+∠DCB＝60°，∠BCE+∠DCB＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）；②∵△ACD≌△BCE，∴∠EBC＝∠DAC，∵∠DAC+∠BAD＝∠BAC＝60°，∴∠PBC+∠BAD＝60°，∴∠APB＝180°﹣∠ABC+∠PBC+∠BAP＝180°﹣60°﹣60°＝60°；③∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE＝∠CAD，∵∠CAD+∠BAD＝60°，∠BAD+∠DBC＝60°，∴∠BAD+∠ABD＝∠BDP＝60°，∵∠APB＝60°，∴△BDP是等边三角形，∴DP＝BP，∴PD+PE＝BE，∵△ADC≌△BEC，∴AD＝BE，∵在△ABD与△CBP中，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴AD＝PC，∴PD+PE＝PC；（2）当∠ADC＝90°时，CE取最大值，∵AB＝AC＝4，AD＝2，∴CD＝，∴CE＝2，即当∠ADC＝90°时，CE取最大值为2．27．（1）证明：∵矩形ABCD中，∠B＝∠C＝∠D＝90°．∴∠BAF+∠AFB＝90°．由折叠性质，得∠AFE＝∠D＝90°．∴∠AFB+∠EFC＝90°．∴∠BAF＝∠EFC．∴△ABF∽△FCE；（2）解：由折叠性质，得AF＝AD，DE＝EF．设DE＝EF＝x，则CE＝CD﹣DE＝8﹣x，在Rt△EFC中，EF2＝CE2+CF2，∴x2＝（8﹣x）2+42．解得x＝5．由（1）得△ABF∽△FCE，∴．∴．∴AD＝AF＝10．∴S＝AD•CD＝10×8＝80．28．解：（1）①如图1中，∵AC⊥OM，BD⊥OM，∴∠OAC＝∠OBD＝90°，∵∠MON＝45°，∴△AOC，△BOD都是等腰直角三角形，∴OD＝OB．OC＝OAM∴CD＝OD﹣OC＝（OB﹣OA）＝AB．故答案为CD＝AB．②如图2中，结论：CD＝AB．∵∠AOC＝∠BOD＝45°，∴∠AOB＝∠COD，∴＝＝，∴△AOB∽△COD，∴＝，∴CD＝AB．（2）如图3中，作CE⊥BD于E．∵AO⊥AC，OB⊥BD，∴∠CAB＝∠ABE＝∠CEB＝90°，∴四边形ABEC是矩形，∴AB＝CE，OB∥CE，∴∠ECD＝∠MON＝α，∴CD＝，∴OD﹣OC＝，故答案为：OD﹣OC＝，29．解：（1）在Rt△AOB中，tan∠BAO＝，则OB＝OA•tan∠BAO＝200，答：楼房OB的高度为200m；（2）作CE⊥OB于E，CF⊥OD于F，则四边形EOFC为矩形，∴CE＝OF，CF＝OE，设CF＝xm，∵AC坡的坡比i＝1：，∴AF＝x，AC＝2x，在Rt△BEC中，∠BCE＝45°，∴BE＝CE，即OB﹣OE＝OA+AF，∴200﹣x＝200+x，解得，x＝200（2﹣）∴AC＝2x＝400（2﹣），答：山坡上AC的距离为400（2﹣）m．30．解：△BCD的面积为．理由如下：过点D作△BCD的BC边上的高DE．如图2，∵边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，∴BA＝BD，∠ABD＝90°，∵∠ABC+∠DBE＝90°，∠ABC+∠A＝90°，∴∠A＝∠DBE，在△ABC和△BDE中∴△ABC≌△BDE（AAS），∴DE＝BC＝a，∴△BCD的面积＝BC•DE＝．。

2019年中考数学知识点过关培优训练：垂径定理的应用(圆)(解析版)

知识点过关培优训练：垂径定理的应用（圆）一．选择题1．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径OB＝10dm，水面宽AB是16dm，则截面水深CD是（）A．3 dm B．4 dm C．5 dm D．6 dm2．如图，半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（）A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm3．乌镇是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8m，则桥拱半径OC为（）A．4m B．5m C．6m D．8m4．如图是一个隧道的截面图，为⊙O的一部分，路面AB＝10米，净高CD＝7米，则此圆半径长为（）A．5米B．7米C．米D．米5．如图为球形灯笼的截面图，过圆心的CD垂直弦AB于D，AB＝2dm，CD＝4dm，则⊙O半径为（）A．2dm B． dm C． dm D． dm6．如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM＝8cm，ON＝6cm，则该圆玻璃镜的直径是（）A． cm B．5cm C．6cm D．10cm7．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是（）A．13寸B．6.5寸C．26寸D．20寸8．某品牌婴儿罐装奶粉圆形桶口如图所示，它的内直径（⊙O直径）为10cm，弧AB的度数约为90°，则弓形铁片ACB（阴影部分）的面积约为（）A．（π﹣）cm2B．（π﹣25）cm2C．（π﹣）cm2D．（25π﹣）cm29．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED＝1寸），锯道长1尺（AB＝1尺＝10寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是（）A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸10．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm11．如图，把一个宽度为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么光盘的直径是（）A．5 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm 12．某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下：①小明取出老师提供的圆形细铁环，先通过在圆一章中学到的知识找到圆心O，再任意找出圆O的一条直径标记为AB（如图1），测量出AB＝4分米；②将圆环进行翻折使点B落在圆心O的位置，翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为C、D（如图2）；③用一细橡胶棒连接C、D两点（如图3）；④计算出橡胶棒CD的长度．小明计算橡胶棒CD的长度为（）A．2分米B．2分米C．3分米D．3分米二．填空题13．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝（弦×矢+矢2）．弧田（如图阴影部分面积）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为120°，半径等于4的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为．14．位于黄岩西城的五洞桥桥上老街目前正在修复，其中一处中式圆形门，它的平面示意图，已知AB过圆心O，且垂直CD于点B，测得门洞高度AB为1.8米，门洞下沿CD宽为1.2米，则该圆形门洞的半径为．15．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其大意为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE＝1寸，CD＝10寸，则⊙O的直径等于寸．16．如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点A，然后过点A作AB与残片的内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD＝15cm，AB＝60cm，则这个摆件的外圆半径是cm．17．如图，某种鱼缸的主视图可视为弓形，该鱼缸装满水时的最大深度CD为18cm，半径OC为13cm，则鱼缸口的直径AB＝cm．18．如图是一块圆环形玉片的残片，作外圆的弦AB与内圆相切于点C，量得AB＝8cm、点C与的中点D的距离CD＝2cm．则此圆环形玉片的外圆半径为cm．19．如图，有一块矩形木板ABCD，AB＝13dm，BC＝8dm，工人师傅在该木板上锯下一块宽为xdm的矩形木板MBCN，并将其拼接在剩下的矩形木板AMND的正下方，其中M′、B′、C′、N′分别与M、B、C、N对应．现在这个新的组合木板上画圆，要使这个圆最大，则x的取值范围是，且最大圆的面积是dm2．20．小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位：cm），请你帮小华算出圆盘的半径是cm．三．解答题21．如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC＝80cm．沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1＝40cm，∠B1D1C1＝120°．（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为cm．（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，求出D1D2的长度．．22．一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm，求这个孔道的直径AB．23．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD ⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题．24．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？25．图1是某奢侈品牌的香水瓶．从正面看上去（如图2），它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在⊙O上），其中BC∥EF；从侧面看，它是扁平的，厚度为1.3cm．（1）已知⊙O的半径为2.6cm，BC＝2cm，AB＝3.02cm，EF＝3.12cm，求香水瓶的高度h．（2）用一张长22cm、宽19cm的矩形硬纸板按照如图3进行裁剪，将实线部分折叠制作成一个底面积为S MNPQ＝9cm2的有盖盒子（接缝处忽略不计）．请你计算这个盒子的高度，并且判断上述香水瓶能否装入这个盒子里．26．赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，（1）如图1，尺规作图，找到桥弧所在圆的圆心O（保留作图痕迹）；（2）如图2，求桥弧AB所在圆的半径R．参考答案1．解：由题意知OD⊥AB，交AB于点E，∵AB＝16，∴BC＝AB＝×16＝8，在Rt△OBC中，∵OB＝10，BC＝8，∴OC＝＝6，∴CD＝OD﹣OC＝10﹣6＝4．故选：B．2．解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，∵CD＝8，OD＝13，∴OC＝5，又∵OB＝13，∴Rt△BCO中，BC＝＝12，∴AB＝2BC＝24．故选：C．3．解：连接BO，由题意可得：AD＝BD＝4m，设B半径OC＝xm，则DO＝（8﹣x）m，由勾股定理可得：x2＝（8﹣x）2+42，解得：x＝5．故选：B．4．解：∵CD⊥AB，AB＝10米，由垂径定理得AD＝5米，设圆的半径为r，由勾股定理得OD2+AD2＝OA2，即（7﹣r）2+52＝r2，解得r＝米．故选：D．5．解：∵过圆心的CD垂直弦AB于D，AB＝2dm，CD＝4dm，∴BD＝AD＝1dm，在Rt△ODB中，OD2+DB2＝OB2，即（4﹣r）2+12＝r2，解得：r＝dm，故选：C．6．解：∵把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，∴线段MN的就是该圆的直径，∵OM＝8cm，ON＝6cm，∠MON＝90°，∴MN＝10cm，故选：D．7．解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13，∴⊙O的直径为26寸，故选：C．8．解：连接OA、OB，∵品牌婴儿罐装奶粉圆形桶口如图所示，它的内直径（⊙O直径）为10cm，弧AB的度数约为90°，∴OA＝OB＝5cm，∠BOA＝90°，∴阴影部分的面积S ＝S 扇形BOA ﹣S △BOA ＝﹣＝（π﹣）cm 2，故选：A ．9．解：设⊙O 的半径为r ．在Rt △ADO 中，AD ＝5，OD ＝r ﹣1，OA ＝r ，则有r 2＝52+（r ﹣1）2，解得r ＝13，∴⊙O 的直径为26寸，故选：C ．10．解：EF 的中点M ，作MN ⊥AD 于点M ，取MN 上的球心O ，连接OF ， ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝∠D ＝90°，∴四边形CDMN 是矩形，∴MN ＝CD ＝4，设OF ＝x ，则ON ＝OF ，∴OM ＝MN ﹣ON ＝4﹣x ，MF ＝2，在直角三角形OMF 中，OM 2+MF 2＝OF 2即：（4﹣x ）2+22＝x 2解得：x ＝2.5故选：B ．11．解：设光盘的圆心为O，如图所示：过点O作OA垂直直尺于点A，连接OB，设OB＝x，∵一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”，∴AB＝×（10﹣2）＝4，∵刻度尺宽2cm，∴OA＝x﹣2，在Rt△OAB中，OA2+AB2＝OB2，即（x﹣2）2+42＝x2，解得：x＝5．∴该光盘的直径是10cm．故选：C．12．解：连接OC，作OE⊥CD，如图3，∵AB＝4分米，∴OC＝2分米，∵将圆环进行翻折使点B落在圆心O的位置，∴OE＝分米，在Rt△OCE中，CE＝分米，∴CD＝2分米；故选：B．二．填空题（共8小题）13．解：如图所示：由题意可得：OA＝4，∵∠AOB＝120°，∴∠AOD＝60°，∴OD＝2，AD＝2，∴弧田的面积＝，故答案为．14．解：设该圆形门洞的半径为r，∵AB过圆心O，且垂直CD于点B，连接OC，在Rt△OCB中，可得：r2＝（1.8﹣r）2+0.62，解得：r＝1，故答案为：1米15．解：如图所示，连接OC．∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE＝CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得：x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸．故答案为：26．16．解：如图，设点O为外圆的圆心，连接OA和OC，∵CD＝15cm，AB＝60cm，∵CD⊥AB，∴OC⊥AB，∴设半径为rcm，则OD＝（r﹣15）cm，根据题意得：r2＝（r﹣15）2+302，解得：r＝37.5．∴这个摆件的外圆半径长为37.5cm；故答案为：37.5．17．解：连接OB，∵CD＝18cm，OC＝13cm，∴OD＝5cm，OB＝OC＝13cm，在Rt△BDO中，BD＝cm，∴AB＝2BD＝24cm，故答案为：24．18．解：如图，连接OA，∵CD＝2cm，AB＝8cm，∵CD⊥AB，∴OD⊥AB，∴设半径为r，则OD＝r﹣2，根据题意得：r2＝（r﹣2）2+42，解得：r＝5．∴这个玉片的外圆半径长为5cm．故答案为：5．19．解：如图，设⊙O与AB相切于点H，交CD与E，连接OH，延长HO交CD于F，设⊙O的半径为r．在Rt△OEF中，当点E与N′重合时，⊙O的面积最大，此时EF＝4，，则有：r2＝（8﹣r）2+42，∴r＝5．∴⊙O的最大面积为25π，由题意：，∴2≤x≤3，故答案为2≤x≤3，25π．20．解：如图，记圆的圆心为O，连接OB，OC交AB于D，∴OC⊥AB，BD＝AB，由图知，AB＝16﹣4＝12cm，CD＝2cm，∴BD＝6，设圆的半径为r，则OD＝r﹣2，OB＝r，在Rt△BOD中，根据勾股定理得，OB2＝AD2+OD2，∴r2＝36+（r﹣2）2，∴r＝10cm，故答案为10．三．解答题（共6小题）21．解：（1）如图1中，连接B1C1交AD1于H．∵AD1＝D1B1＝40cm，∴D1是所在圆的圆心，在Rt△B1HD1中，HB1＝40•sin60°＝20，∴B1C1＝2HB1＝40（cm），故答案为40．（2）如图2中，连接B1C1交AD1于H，连接B2C2交AD2于T．由题意：＝π•B2T，∴AT＝B2T＝（cm），在Rt△B2TD2中，D2T＝＝，∵AH＝HD1＝20，∴HT＝﹣20＝，∴D1D2＝HD2﹣HD1＝+﹣20＝﹣．22．解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD，∵钢珠的直径是10mm，∴钢珠的半径是5mm，∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，∴OD＝3mm，在Rt△AOD中，∵AD＝＝＝4mm，∴AB＝2AD＝2×4＝8mm．23．解：如图所示，连接OC．∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE＝CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得：x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸．24．解：（1）连结OA，由题意得：AD＝AB＝30，OD＝（r﹣18）在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，解得，r＝34；（2）连结OA′，∵OE＝OP﹣PE＝30，∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，解得：A′E＝16．∴A′B′＝32．∵A′B′＝32＞30，∴不需要采取紧急措施．25．解：（1）作OG⊥BC于G，延长GO交EF于H，连接BO、EO．∵EF∥BC，∴OH⊥EF，∴BG＝BC，EH＝EF∴GO＝＝2.4；OH＝＝2.08，∴h＝2.4+2.08+3.02＝7.5cm．（2）设盒子的高为xcm．由题意：（22﹣2x）•＝9解得x＝8或12.5（舍弃），∴MQ＝6，MN＝1.5∵2.6×2＝5.2＜6；1.3＜1.5；7.5＜8，∴能装入盒子．26．解：（1）如图1所示；（2）连接OA．如图2．由（1）中的作图可知：△AOD为直角三角形，D是AB的中点，CD ＝10，∴AD＝AB＝20．∵CD＝10，∴OD＝R﹣10．在Rt△AOD中，由勾股定理得，OA2＝AD2+OD2，∴R2＝202+（R﹣10）2．解得：R＝25．即桥弧AB所在圆的半径R为25米．。

2019年中考数学培优练习分式.doc.docx

2019 年中考数学培优练习分式一 . 结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。

1: 化简1)1 a21 22) a2a 1 a 23a 1 aa 2 a 2a 2a 2a 1a 3x 2 x 4 x 6 x 8 2)11 x2 5x 52. 解方程： 1)x 72 7x 6 x 2 5x 6x 1 x 3 x 5x二 . 在代数求值中的应用3.已知 a 26a 9 与 |b 1 | 互为相反数，求代数式(4ab)a 2 ab 2b 2b 2 b 2ab 222b 2ab2的值。

aa b aaa221 3 5 x 2y2 ，求a2ab 3b54: 若的值；．已知y z, 求2 y的值ba 26ab 7b 2x z xz6: 已知 x23x 20 ，求代数式 (x 1)3x 2 1的值x17 已知x2x1=0，则x 42x1= x58 若abc = 1a b+c，求+的值 =_______ ab + a+ 1 bc + b + 1ca + c + 1.9:已知:115, 则b a的值为 _____.a b a b a b222a 1 a 3 a 3 a 5 a 2011 a 201310:=____________11. 若关于x的方程2xa1的解为正数,则a的取值范围是_____x22mx 3m 的值12 关于 x 的方程x 2 4会产生增根，求x 2 x 2三 . 用方程解决实际问题13: 某工程由甲、乙两队合做 6 天完成，厂家需会甲、乙两队共 8700 元；乙、丙两队合做 10 天完成，厂家需付乙、丙队共 9500 元；甲、丙两队合做 5 天完成全部工程的2，厂家需付甲、丙两队共55003元。

（ 1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？（ 2）若工期要求不超过 15 天完成全部工程，问：可由哪个单独承包此项工程花钱最少？请说明理由。

14．某商店一种商品，由于价降低了 6.4%，使利率提高了8%，求原来种商品的利率是多少？15．探索：（ 1）已知一个正分数n（ m ＞ n ＞0），如果分子、分母同增加1，分数的是增大是减m小？明你的．（ 2）若正分数n（m＞n＞0）中分子和分母同增加2，3⋯k（整数k＞0），情况如何？m（3）你用上面的解下面的：建筑学定：民用住宅窗面必小于地板面，但按采光准，窗面与地板面的比不小于 10％，并且个比越大，住宅的采光条件越好，同增加相等的窗面和地板面，住宅的采光条件是好是坏？明理由．拓展 1. 若 x1 1 _____1, y1 , 则 xyzyz2、已知ab1 ， bc 1 ， ac1，求abc 的值a b 3 b c 4 a c 5ab bc ac3、已知 a bc ，求 a11 b11 c11 的值b ca ca b。

2019年中考数学知识点过关培优训练卷：平面直角坐标系(含解析答案)(良心出品必属精品)

2019年中考数学知识点过关培优训练卷：平面直角坐标系一．选择题1．在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则目标的坐标可能是（）A．（5，﹣4）B．（﹣1，﹣6）C．（﹣3，10）D．（7，3）2．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标（0，2），∠AOC＝45°，∠ACO ＝30°，则OC的长为（）A． +B．﹣C．2+D． + 3．点P（4，3）到x轴的距离为（）A．4 B．3 C．5 D．7 4．在平面直角坐标系中，点（﹣2，﹣a2﹣3）一定在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．在平而直角坐标系中，点E在x轴上方，y轴的左侧，距离x轴3个单位，距离y轴4个单位，则E点的坐标为（）A．（3，﹣4）B．（4，﹣3）C．（﹣4，3）D．（﹣3，4）6．点P（a+3，b+1）在平面直角坐标系的x轴上，并且点P到y轴的距离为2，则a+b的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣1或﹣6 D．﹣2或﹣67．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P'（﹣y+1，x+1）叫做点P伴随点已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A 4，…，这样依次得到点A1，A2A3，…，An，…若点A1的坐标为（2，4），点A2019的坐标为（）A．（﹣3，3）B．（﹣2，﹣2）C．（3，﹣1）D．（2，4）8．小王和小丽下棋，小王执圆子，小丽执方子，如图是在直角坐标系中棋子摆出的图案，若再摆放一圆一方两枚棋子，使9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则这两枚棋子的坐标分别是（）A．圆子（2，3），方子（1，.3）B．圆子（1，3），方子（2，3）C．圆子（2，3），方子（4，0）D．圆子（4，0），方子（2，3）9．若点A（m+2，2m﹣5）在y轴上，则点A的坐标是（）A．（0，﹣9）B．（2.5，0）C．（2.5，﹣9）D．（﹣9，0）10．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），……，按这样的运动规律，经过第2019次运动后，动点P的坐标是（）A．（2018，0）B．（2017，1）C．（2019，1）D．（2019，2）二．填空题11．如果点P（﹣5，y）在第三象限，请写出一个符合条件的点P的坐标．12．已知P（2+x，3x﹣2）到x轴的距离是到y轴的距离的2倍，则x的值为．13．在平面直角坐标系中，线段AB＝5，AB∥x轴，若A点坐标为（﹣1，3），则B点坐标为．14．如图，等边三角形ABC的边长为1，顶点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上，过点B作BA1⊥AC于点A1，过点作A1B1∥OA，交OC于点B1；过点B 1作B1A2⊥AC于点A2，过点A2作A2B2∥OA，交OC于点B2；…，按着这个规律进行下去，点An的坐标是．15．如图，在直角坐标系中，△ABC是边长为a的等边三角形，点B始终落在y轴上，点A始终落在x轴上，则OC的最大值是．16．平面直角坐标系xOy中，已知线段AB与x轴平行，且AB＝5，若点A的坐标为（3，2），则点B的坐标是．17．如图，把“QQ”笑脸图标放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是（﹣2，3），右眼B的坐标为（0，3），则嘴唇C点的坐标是．18．已知点A（2a+3，a﹣4）在二、四象限的角平分线上，则a＝．19．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2019个点的横坐标为．20．如图，在一单位为1的方格纸上，△A 1A 2A 3，△A 3A 4A 5，△A 5A 6A 7……，都是斜边在x 轴上、斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形，若△A 1A 2A 3的顶点坐标分别为A 1（2，0），A 2 （1．﹣1），A 3（0，0），则依图中所示规律，A 2018的坐标为．三．解答题21．已知平面直角坐标系中有一点M （2m ﹣3，m+1）．（1）若点M 到y 轴的距离为2时，求点M 的坐标；（2）点N （5，﹣1）且MN ∥x 轴时，求点M 的坐标．22．在平面直角坐标系xOy 中，有一点P （a ，b ），实数a ，b ，m 满足以下两个等式：2a ﹣6m+4＝0，b+2m ﹣8＝0．（1）当a ＝1时，点P 到x 轴的距离为；（2）若点P 在第一三象限的角平分线上，求点P 的坐标；（3）当a ＜b 时，则m 的取值范围是．23．如图，在正方形网格中，若点A 的坐标是（1，1），点B 的坐标是（2，0）．（1）依题意，在图中建立平面直角坐标系；（2）图中点C的坐标是，点C关于x轴对称的点C'的坐标是；（3）若点D的坐标为（3，﹣1），在图中标出点D的位置；（4）将点B向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得的点B'的坐标是，△AB'C的面积为．24．对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．（Ⅰ）点P（﹣2，3）的“3属派生点”P′的坐标为；（Ⅱ）若点P的“5属派生点”P′的坐标为（3，﹣9），求点P的坐标；（Ⅲ）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且线段PP′的长度为线段OP长度的2倍，求k的值．25．如图，四边形ABCD为平行四边形，OD＝3，CD＝AB＝5，点A坐标为（﹣2，0）（1）请写出B、C、D各点的坐标；（2）求四边形ABCD的面积．26．已知：A（0，1），B（2，0），C（4，3）（1）在坐标系中描出各点，画出△ABC．（2）求△ABC的面积；（3）设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．27．如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知OA＝2cm，OB＝2.5cm，OP＝4cm，点C为OP的中点，回答下列问题：（1）图中距小明家距离相同的是哪些地方？（2）学校、商场、公园、停车场分别在小明家的什么方位？哪两个地方的方位是相同的？（3）若学校距离小明家400m，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？28．如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为（﹣2，8），（﹣11，6），（﹣14，0），（0，0）．（1）确定这个四边形的面积，你是怎么做的？（2）如果把原来ABCD各个顶点纵坐标保持不变，横坐标增加2，所得的四边形面积又是多少？29．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B、C、D均在坐标轴上，AB∥CD．（1）求证：∠ABO+∠CDO＝90°；（2）如图2，BM平分∠ABO交x轴于点M，DN平分∠CDO交y轴于点N，求∠BMO+∠OND的值．30．如图1，在平面直角坐标系中，P（3，3），点A、B分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且PA＝PB．（1）求证：PA⊥PB；（2）若点A（9，0），则点B的坐标为；（3）当点B在y轴负半轴上运动时，求OA﹣OB的值；（4）如图2，若点B在y轴正半轴上运动时，直接写出OA+OB的值．参考答案一．选择题1．解：因为目标在第四象限，所以其坐标的符号是（+，﹣），观察各选项只有A符合题意，故选：A．2．解：连接BC，过点B作BD⊥CO于D，∵∠AOC＝45°，∴∠BOD＝45°，∵点B的坐标（0，2），∴OB＝2，∴BD＝OD＝，∵A，O，B，C四点共圆，∴∠CAO+∠CBO＝180°，∵∠AOC＝45°，∠ACO＝30°，∴∠CAO＝105°，∴∠CBO＝75°，∴∠CBD＝30°，∴CD＝，∴CO＝+，故选：A．3．解：∵点P（4，3），∴点P（4，3）到x轴的距离为|3|＝3，故选：B．4．解：∵a2+3≥3＞0，∴﹣a2﹣3＜0，∴点（﹣2，﹣a2﹣3）一定在第三象限．故选：C．5．解：∵点E在x轴上方，y轴的左侧，∴点E在第二象限，∵距离x轴3个单位长度，距离y轴4个单位长度，∴点E的横坐标为﹣4，纵坐标为3，∴点E的坐标是（﹣4，3）．故选：C．6．解：∵点P（a+3，b+1）在平面直角坐标系的x轴上，并且点P到y轴的距离为2，∴b+1＝0，|a+3|＝2，∴a＝﹣1或﹣5，b＝﹣1，∴a+b＝﹣2或﹣6，故选：D．7．解：观察发现：A1（2，4），A2（﹣3，3），A3（﹣2，﹣2），A4（3，﹣1），A 5（2，4），A6（﹣3，3）…∴依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，∵2019÷4＝504余3，∴点A2019的坐标与A3的坐标相同，为（﹣2，﹣2），故选：B．8．解：如图所示：9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，∴这两枚棋子的坐标分别是圆子（2，3），方子（1，.3），故选：A．9．解：∵点A（m+2，2m﹣5）在y轴上，∴m+2＝0，解得：m＝﹣2，故2m﹣5＝﹣9，故点A的坐标为：（0，﹣9）．故选：A．10．解：分析图象可以发现，点P的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位．∴2019＝4×504+3，当第504循环结束时，点P位置在（2016，0），在此基础之上运动三次到（2019，2），故选：D．二．填空题（共10小题）11．解：∵点P（﹣5，y）在第三象限，∴y＜0，∴符合条件的点P的坐标，可以是（﹣5，﹣3）等，故答案为：（﹣5，﹣3）（答案不唯一）．12．解：∵点P（2+x，3x﹣2）到x轴的距离是到y轴距离的2倍，∴2|2+x|＝|3x﹣2|，∴2（2+x）＝3x﹣2或2（2+x）＝﹣（3x﹣2），解得x＝6或x＝﹣．故答案为：或6．13．解：∵AB∥x轴，A点坐标为（﹣1，3），∴点B的纵坐标为3，当点B在点A的左边时，∵AB＝5，∴点B的横坐标为﹣1﹣5＝﹣5，此时点B（﹣6，3），当点B在点A的右边时，∵AB＝5，∴点B的横坐标为﹣1+5＝4，此时点B（4，3），综上所述，点B 的坐标为（﹣6，3）或（4，3）．故答案为：（﹣6，3）或（4，3）．14．解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ＝1，∠ABC ＝∠A ＝∠ACB ＝60°，∴A （，），C （1，0），∵BA 1⊥AC ，∴AA 1＝A 1C ，∴A 1（，），∵A 1B 1∥OA ，∴∠A 1B 1C ＝∠ABC ＝60°，∴△A 1B 1C 是等边三角形，∴A 2是A 1C 的中点，∴A 2（，），同理A 3（，），…∴A n （，），故答案为：（，）．15．解：如图，取AB 的中点D ，连接OD 、CD ，则OD ＝AB ＝a ，CD ＝a ，在△OCD 中，OD+CD ＞OC ，所以，当点O、D、C三点共线时，OC的长度最大，最大值为a+a＝a．故答案为： a．16．解：∵线段AB与x轴平行，∴点B的纵坐标为2，点B在点A的左边时，3﹣5＝﹣2，点B在点A的右边时，3+5＝8，∴点B的坐标为（﹣2，2）或（8，2）．故答案为：（﹣2，2）或（8，2）．17．解：∵左眼A的坐标是（﹣2，3），右眼B的坐标为（0，3），∴嘴唇C的坐标是（﹣1，1），故答案是：（﹣1，1）．18．解：∵点A（2a+3，a﹣4）在二、四象限的角平分线上，∴2a+3+a﹣4＝0，解得a＝．故答案为：．19．解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1＝12，右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4＝22，右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9＝32，右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16＝42，…右下角的点的横坐标为n 时，共有n 2个，∵452＝2025，45是奇数，∴第2025个点是（45，0），第2019个点是（45，6），所以，第2019个点的横坐标为45．故答案为：45．20．解：∵各三角形都是等腰直角三角形，∴直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半，A 2（1，﹣1），A 4（2，2），A 6（1，﹣3），A 8（2，4），A 10（1，﹣5），A 12（2，6）， …，∴当脚码是2、6、10…时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数 ∴点A 2018在第四象限，横坐标是1，纵坐标是﹣2018÷2＝﹣1009，∴A 2018的坐标为（1，﹣1009）．故答案为（1，﹣1009）．三．解答题（共10小题）21．解：（1）∵点M （2m ﹣3，m+1），点M 到y 轴的距离为1，∴|2m ﹣3|＝2，解得m ＝2.5或m ＝0.5，当m ＝2.5时，点M 的坐标为（2，3.5），当m ＝0.5时，点M 的坐标为（﹣2，0）；综上所述，点M 的坐标为（2，3.5）或（﹣2，0）；（2）∵点M （2m ﹣3，m+1），点N （5，﹣1）且MN ∥x 轴，∴m+1＝﹣1，解得m ＝﹣2，故点M 的坐标为（﹣7，﹣1）．22．解：（1）当a ＝1时，则2×1﹣6m+4＝0，解得m ＝1．把m ＝1代入b+2m ﹣8＝0中，得b ＝6．所以P 点坐标为（1，6），所以点P 到x 轴的距离为6．故答案为6．（2）当点P在第一、三象限的角平分线上时，根据点的横、纵坐标相等，可得a＝b．由2a﹣6m+4＝0，可得a＝3m﹣2；由b+2m﹣8＝0，可得b＝﹣2m+8．则3m﹣2＝﹣2m+8，解得m＝2．把m＝2分别代入2a﹣6m+4＝0，b+2m﹣8＝0中，解得a＝b＝4，所以P点坐标为（4，4）．（3）由（2）中解答过程可知a＝3m﹣2，b＝﹣2m+8．若a＜b，即3m﹣2＜﹣2m+8，解得m＜2．故答案为m＜2．23．解：（1）如图所示．（2）C（﹣1，﹣2）；C'（﹣1，2）．（3）如图所示：D点即为所求；（4）B'（﹣1，1）；△AB'C的面积＝＝3．故答案为：（﹣1，﹣2）；（﹣1，2）；（﹣1，1）； 3．24．解：（Ⅰ）点P（﹣2，3）的“3属派生点”P′的坐标为（﹣2+3×3，﹣2×3+3），即（7，﹣3），故答案为：（7，﹣3）；（Ⅱ）设P（x，y），依题意，得方程组：，解得，∴点P（﹣2，1）．（Ⅲ）∵点P（a，b）在x轴的正半轴上，∴b＝0，a＞0．∴点P的坐标为（a，0），点P′的坐标为（a，ka），∴线段PP′的长为点P′到x轴距离为|ka|，∵P在x轴正半轴，线段OP的长为a，根据题意，有|PP'|＝2|OP|，∴|ka|＝2a，∵a＞0，∴|k|＝2．从而k＝±2．25．解：（1）∵OD＝3，∴D（0，3），∵CD＝AB＝5，点A坐标为（﹣2，0），∴C的坐标为（5，3），B（3，0）；（2）平行四边形ABCD的面积＝AB•OD＝5×3＝15．26．解：（1）如图所示：（2）过点C向x、y轴作垂线，垂足为D、E．∴四边形DOEC的面积＝3×4＝12，△BCD的面积＝＝3，△ACE的面积＝＝4，△AOB的面积＝＝1．∴△ABC的面积＝四边形DOEC的面积﹣△ACE的面积﹣△BCD的面积﹣△AOB 的面积＝12﹣3﹣4﹣1＝4．当点p在x轴上时，△ABP的面积＝＝4，即：，解得：BP＝8，所点P的坐标为（10，0）或（﹣6，0）；当点P在y轴上时，△ABP的面积＝＝4，即，解得：AP＝4．所以点P的坐标为（0，5）或（0，﹣3）．所以点P的坐标为（0，5）或（0，﹣3）或（10，0）或（﹣6，0）．27．解：（1）∵点C为OP的中点，∴OC＝OP＝×4＝2cm，∵OA＝2cm，∴距小明家距离相同的是学校和公园；（2）学校北偏东45°，商场北偏西30°，公园南偏东60°，停车场南偏东60°；公园和停车场的方位相同；（3）图上1cm表示：400÷2＝200m，商场距离小明家：2.5×200＝500m，停车场距离小明家：4×200＝800m．28．解：（1）过点B，A分别作BF，AE垂直于x轴，所以四边形的面积＝×3×6+×（6+8）×9+×2×8＝80；（2）根据平移的性质可知，平移后的图形形状和大小不变，所以所得的四边形面积是80．29．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠DCO，∵∠DCO+∠CDO＝90°；∴∠ABO+∠CDO＝90°；（2）∵BM平分∠ABO，DN平分∠CDO，∴∠MBO＝∠ABO，∠NDO＝∠CDO，∴∠MBO+∠NDO＝（∠ABO+∠CDO）＝45°，∴∠BMO+∠OND＝135°．30．（1）证明：如图1，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，∵P（3，3），∴PE＝PF＝3，在Rt△APE和Rt△BPF中，∴Rt△APE≌Rt△BPF（HL），∴∠APE＝∠BPF，∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝∠BPF+∠BPE＝∠EPF＝90°，∴PA⊥PB；（2）解：由（1）证得，Rt△APE≌Rt△BPF，∴PF＝PE，∴四边形OEPF是正方形，∴OE＝OF＝4，∵A（9，0），∴OA＝9，∴AE＝OA﹣OE＝9﹣3＝6，∵Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF＝6，∴OB＝BF﹣OF＝6﹣3＝3，∴点B的坐标为（0，﹣3），故答案为：（0，﹣3）；（3）解：∵Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF，∵AE＝OA﹣OE＝OA﹣3，BF＝OB+OF＝OB+3，∴OA﹣3＝OB+3，∴OA﹣OB＝6；（4）解：如图2，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，同（1）可得，Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF，∵AE＝OA﹣OE＝OA﹣3，BF＝OF﹣OB＝3﹣OB，∴OA﹣3＝3﹣OB，∴OA+OB＝6．。

2019-2020中考数学真题培优专题《一元二次方程》(含答案解析)

2019-2020中考真题培优专题《一元二次方程》（含答案解析)一、单选题1．（2019·贵州中考真题）一元二次方程x 2﹣3x +1＝0的两个根为x 1，x 2，则x 12+3x 2+x 1x 2﹣2的值是（）A ．10B ．9C ．8D ．72．（2019·内蒙古中考真题）若12x x ，是一元二次方程230x x +-=的两个实数根，则3221417-+x x 的值为（）A ．﹣2B ．6C ．﹣4D ．43．（2019·湖北中考真题）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a 、c ，则关于x 的一元二次方程240ax x c ++=有实数解的概率为（）A ．14 B ．13 C ．12 D ．234．（2019·内蒙古中考真题）已知等腰三角形的三边长分别为4a b 、、，且a 、b 是关于x 的一元二次方程21220x x m -++=的两根，则m 的值是（）A ．34B ．30C ．30或34D ．30或365．（2019·湖北中考真题）若一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限，则关于x 的方程20x kx b ++=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定6．（2019·黑龙江中考真题）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）A ．4B ．5C ．6D ．77．（2019·新疆中考真题）若关于x 的一元二次方程()2110k x x -++=有两个实数根，则k 的取值范围是（） A ．54k ≤ B ．54k ＞ C ．514k k ≠＜且D ．514k k ≤≠且 8．（2019·河南中考真题）一元二次方程(1)(1)23x x x +-=+的根的情况是（） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根9．（2019·广东中考真题）关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k ---+=有两个实数根12,x x ，()1212122(2)2x x x x x x -+--+3=-，则k 的值（）A ．0或2B ．-2或2C ．-2D ．210．（2019·山东中考真题）已知a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根，则22019a b -+的值是( )A ．2023B ．2021C ．2020D ．201911．（2019·山东中考真题）关于x 的一元二次方程2220x mx m m +++=的两个实数根的平方和为12，则m 的值为（）A ．2m =-B ．3m =C ．3m =或2m =-D ．3m =-或2m =12．（2019·山东中考真题）若关于x 的一元二次方程2(2)26k x kx k --+=有实数根，则k 的取值范围为（）A ．0k ≥B ．0k ≥且2k ≠C ．32k ≥D ．32k ≥且2k ≠13．（2018·宁夏中考真题）若x 2-4x+c=0的一个根，则c 的值是（）A ．1B ．C ．D ．14．（2018·内蒙古中考真题）已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+m ﹣2=0有两个实数根，m 为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m 的和为（）A ．6B ．5C ．4D ．3二、填空题15．（2019·四川中考真题）若关于x 的一元二次方程210(0)4ax x a --=≠有两个不相等的实数根，则点(1, 3 )P a a +--在第____象限．16．（2019·宁夏中考真题）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程25140x x +-=即(5)14x x +=为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是2(5)x x ++，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即24145⨯+，据此易得2x =．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程24120x x --=的正确构图是_____．（只填序号）17．（2019·湖北中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等实数根，且满足，则的值为__________．18．（2018·四川中考真题）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-2x-1=0的两实数根，则12112121x x +++的值是__． 19．（2015·四川中考真题）已知实数m ，n 满足，，且，则 = ．20．（2018·四川中考真题）已知关于x 的方程ax 2+bx +1=0的两根为x 1=1，x 2=2，则方程a （x +1）2+b （x +1）+1=0的两根之和为__________．21．（2014·内蒙古中考真题）已知m ，n 是方程x 2+2x ﹣5=0的两个实数根，则m 2﹣mn+3m+n=___________．三、解答题22．（2019·湖南中考真题）关于x 的一元二次方程230x x k -+=有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程()2130m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根，求此时m 的值．23．（2019·湖北中考真题）已知关于x 的一元二次方程26(41)0x x m -++=有实数根.（1）求m 的取值范围. （2）若该方程的两个实数根为1x 、2x ，且124x x -=，求m 的值.24．（2019·湖北中考真题）已知于x 的元二次方程26250x x a -++=有两个不相等的实数根12,x x ．（1）求a 的取值范围；（2）若22121230x x x x +-…，且a 为整数，求a 的值．25．（2018·四川中考真题）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．26．（2019·重庆中考真题）某菜市场有2.5平方米和4平方米两种摊位，2.5平方米的摊位数是4平方米摊位数的2倍．管理单位每月底按每平方米20元收取当月管理费，该菜市场全部摊位都有商户经营且各摊位均按时全额缴纳管理费．（1）菜市场毎月可收取管理费4500元，求该菜市场共有多少个4平方米的摊位？（2）为推进环保袋的使用，管理单位在5月份推出活动一：“使用环保袋送礼物”，2.5平方米和4平方米两种摊位的商户分别有40%和20%参加了此项活动．为提高大家使用环保袋的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“使用环保袋抵扣管理费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的商户会全部参加活动二，参加活动二的商户会显著增加，这样，6月份参加活动二的2.5平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加2a%，毎个摊位的管理费将会减少3%10a；6月份参加活动二的4平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加6a%，每个摊位的管理费将会减少1%4a．这样，参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少5%18a，求a的值．参考答案1．D【解析】【分析】先利用一元二次方程的解的定义得到x 12=3x 1-1，则x 12+3x 2+x 1x 2-2=3（x 1+x 2）+x 1x 2-3，接着利用根与系数的关系得到x 1+x 2=3，x 1x 2=1，然后利用整体代入的方法计算．【详解】∵x 1为一元二次方程x 2﹣3x+1＝0的根，∴x 12﹣3x 1+1＝0，∴x 12＝3x 1﹣1，∴x 12+3x 2+x 1x 2﹣2＝3x 1﹣1+3x 2+x 1x 2﹣2＝3（x 1+x 2）+x 1x 2﹣3，根据题意得x 1+x 2＝3，x 1x 2＝1，∴x 12+3x 2+x 1x 2﹣2＝3×3+1﹣3＝7．故选：D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a． 2．A【解析】【分析】利用根与系数的关系可得出x 1+x 2=-1、x 1•x 2=-3，211x x 3+＝，将代数式2132x 4x 17+﹣进行转化后，再代入数据即可得出结论．【详解】解：12x x ，是一元二次方程2x x 30+﹣＝的两个实数根，12x x 1∴+＝﹣，12x x 3＝﹣，211x x 3+＝，3221x 4x 17∴+﹣32211418--+＝x x()()2222111418=-++-+x x x x ()211114418=---⨯-+x x21184418=---+x x()2118418=--++x x10432=-⨯=-故选：A ．【点睛】本题考查了方程的解、根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则1212,b c x x x x a a+=-=. 3．C【解析】【分析】先根据一元二次方程有实数根求出ac≤4，继而画树状图进行求解即可.【详解】由题意，△=42-4ac≥0，∴ac≤4，画树状图如下：a 、c 的积共有12种等可能的结果，其中积不大于4的有6种结果数，所以a 、c 的积不大于4(也就是一元二次方程有实数根)的概率为61=122，故选C.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，列表法或树状图法求概率，得到ac≤4是解题的关键.4．A【解析】【分析】分三种情况讨论，①当a=4时，②当b=4时，③当a=b 时；结合韦达定理即可求解；【详解】解：当4a =时，8b <，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x m -++=的两根，412b ∴+=，8b ∴=不符合；当4b =时，8a <，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x m -++=的两根，412a ∴+=，8a ∴=不符合；当a b =时，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x m -++=的两根，1222a b ∴==，6a b ∴==，236m ∴+=，34m ∴=；故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合韦达定理和三角形三边关系进行解题是关键．5．A【解析】【分析】利用一次函数性质得出k ＞0，b≤0，再判断出△=k 2-4b ＞0，即可求解.【详解】解：一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限，0k ∴>，0b ≤，240k b ∴∆=->，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一次函数的图像和一元二次方程根的判别式是解题的关键. 6．C【解析】【分析】设这种植物每个支干长出x 个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【详解】设这种植物每个支干长出x 个小分支，依题意，得：2143x x ++=，解得： 17x =-（舍去），26x =．故选：C ．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程7．D【解析】【分析】运用根的判别式和一元二次方程的定义，组成不等式组即可解答【详解】解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2+x +1＝0有两个实数根，∴210=1-41)10k k -⎧⎨∆⨯-⨯≥⎩≠（，解得：k ≤54且k ≠ ．故选：D ．【点睛】此题考查根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的情况与判别式的关系是解题关键8．A【解析】【分析】先化成一般式后，在求根的判别式，即可确定根的状况．【详解】解：原方程可化为：2240x x --=，1a \=，2b =-，4c =-，2(2)41(4)200∴∆=--⨯⨯-=>，∴方程由两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键．9．D【解析】【分析】将()1212122(2)2=3x x x x x x -+--+-化简可得，()21212124423x x x x x x +-+=-－，利用韦达定理，()2142(2)3k k ----+=-，解得，k ＝±2，由题意可知△＞0，可得k ＝2符合题意.【详解】解：由韦达定理，得： 12x x +＝k －1，122x x k +＝－,由()1212122(2)23x x x x x x -+--+=-，得：()21212423x x x x --+=-，即()21212124423x x x x x x +-+=-－，所以，()2142(2)3k k ----+=-,化简，得：24k =，解得：k ＝±2，因为关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k ---+=有两个实数根，所以，△＝()214(2)k k ---+＝227k k +-〉0，k ＝－2不符合，所以，k ＝2故选：D.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.10．A【解析】【分析】根据题意可知b=3-b 2，a+b=-1，ab=-3，所求式子化为a 2-b+2019=a 2-3+b 2+2019=（a+b ）2-2ab+2016即可求解.【详解】a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根，∴23b b =-，1a b +=-，-3ab =，∴222201932019a b a b -+=-++()2220161620162023a b ab =+-+=++=；故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键． 11．A【解析】【分析】设1x ，2x 是2220x mx m m +++=的两个实数根，由根与系数的关系得122x x m +=-，212x x m m ⋅=+，再由()2221212122x x x x x x +=+-⋅代入即可. 【详解】设1x ，2x 是2220x mx m m +++=的两个实数根，∴40m ∆=-≥，∴0m ≤，∴122x x m +=-，212x x m m ⋅=+，∴()2221212122x x x x x x +=+-⋅2224222212m m m m m =--=-=， ∴3m =或2m =-，∴2m =-，故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；牢记韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．12．D【解析】【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围．【详解】（k-2）x 2-2kx+k-6=0，∵关于x 的一元二次方程（k-2）x 2-2kx+k=6有实数根，∴220(2)4(2)(6)0k k k k -≠⎧⎨=----⎩…，解得：32k ≥且k≠ ．故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．13．A【解析】【分析】把2x 2﹣4x +c =0就得到关于c 的方程，就可以解得c 的值．【详解】把2x 2﹣4x +c =0，得（22﹣4（2+c =0，解得：c =1．故选A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．14．B【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法结合已知条件进行分析解答即可.【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+2x+m ﹣2=0有两个实数根，∴△=()224120m =⨯⨯-≥，解得：3m ≤，又∵m 为正整数，∴m=1或2或3，（1）当m=1时，原方程为x 2+2x-1=0，此时方程的两根均不为整数，故m=1不符合要求；（2）当m=2时，原方程为x 2+2x=0，此时方程的两根分别为0和-2，符合题中要求；（3）当m=3时，原方程为x 2+2x+1=0，此时方程的两根都为1，符合题中要求；∴ m=2或m=3符合题意，∴m 的所有符合题意的正整数取值的和为：2+3=5.故选B.【点睛】读懂题意，熟知“在一元二次方程()200ax bx c a ++=≠中，若方程有两个实数根，则△=240b ac -≥”是解答本题的关键.15．四．【解析】【分析】由二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出a 的取值范围，由a 的取值范围可得出a+1＞0，-a-3＜0，进而可得出点P 在第四象限，此题得解．【详解】∵关于x 的一元二次方程210(0)4ax x a --=≠有两个不相等的实数根，∴201(1)4-04a a ≠⎧⎪⎨⎛⎫∆=--⨯⨯> ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：1a >-且0a ≠．∴10a +>，30a --<，∴点(1,3)P a a +--在第四象限．故答案为：四．【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及点的坐标，利用二次项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于a 的一元一次不等式组是解题的关键．16．②．【解析】【分析】仿造案例，构造面积是2(4)x x +-的大正方形，由它的面积为24124⨯+，可求出6x =，此题得解．【详解】解：24120x x --=即()412x x -=，∴构造如图②中大正方形的面积是2(4)x x +-，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即24124⨯+，据此易得6x =．故答案为：②．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，仿造案例，构造出合适的大正方形是解题的关键．17．1 .【解析】【分析】根据根与系数的关系结合，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于的一元二次不等式，把k 的值代入，进而即可确定值，此题得解．【详解】是关于的方程的两个实数根，.，即，整理，得：，解得：．关于的方程的两个不相等实数根，当k= 时，△=- <0，故k= 不符合题意；当k=1时，△=4>0；．故答案为：1．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，利用根与系数的关系结合 - - ，求出值是解题的关键． 18．6【解析】【分析】已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两实数根，根据方程解的定义及根与系数的关系可得x 12﹣2 x 1﹣1=0，x 22﹣2 x 2﹣1=0，x 1+x 2=2，x 1·x 2=-1，即x 12=2 x 1+1， x 22=2 x 2+1，代入所给的代数式，再利用完全平方公式变形，整体代入求值即可.【详解】∵x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两实数根，∴x 12﹣2 x 1﹣1=0， x 22﹣2 x 2﹣1=0，x 1+x 2=2，x 1·x 2=-1，即x 12=2 x 1+1， x 22=2 x 2+1， ∴12112121x x +++=()22212121222222212121221142 6.1x x x x x x x x x x x x +-+++==== 故答案为6.【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系，会熟练运用整体思想是解决本题的关键.19．．【解析】试题分析：由时，得到m ，n 是方程的两个不等的根，根据根与系数的关系进行求解．试题解析：∵ 时，则m ，n 是方程3x 2﹣6x ﹣5=0的两个不相等的根，∴ ，．∴原式= = =，故答案为：．考点：根与系数的关系．20．1【解析】分析：利用整体的思想以及根与系数的关系即可求出答案．详解：设x+1=t ，方程a （x+1）2+b （x+1）+1=0的两根分别是x 3，x 4，∴at 2+bt+1=0，由题意可知：t 1=1，t 2=2，∴t 1+t 2=3，∴x 3+x 4+2=3故答案为：1点睛：本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．21．8【解析】试题分析：根据m+n=﹣=﹣2，m•n ﹣5，直接求出m 、n 即可解题． ∵m 、n 是方程x 2+2x ﹣5=0的两个实数根， ∴mn=﹣5，m+n=﹣2， ∵m 2+2m ﹣5=0 ∴m 2=5﹣2mm 2﹣mn+3m+n=（5﹣2m ）﹣（﹣5）+3m+n=10+m+n=10﹣2=8考点：(1)、根与系数的关系；(2)、一元二次方程的解．22．（1）94k ≤；（2）m 的值为32．【解析】【分析】（1）利用判别式的意义得到()2340k ∆=--≥，然后解不等式即可；（2）利用（1）中的结论得到k 的最大整数为2，解方程2320x x -+=解得121,2x x ==，把1x =和2x =分别代入一元二次方程()2130m x x m -++-=求出对应的m ，同时满足10m -≠．【详解】解：（1）根据题意得()2340k ∆=--≥，解得94k ≤；（2）k 的最大整数为2，方程230x x k -+=变形为2320x x -+=，解得121,2x x ==，∵一元二次方程()2130m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根， ∴当1x =时，1130m m -++-=，解得32m =；当2x =时，()41230m m -++-=，解得1m =，而10m -≠，∴m 的值为32．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当0∆<时，方程无实数根．23．（1）2m ≤.（2）1m =.【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围；（2）由根与系数的关系可得出x 1+x 2=6，x 1x 2=4m+1，结合|x 1-x 2|=4可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出m 的值．【详解】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2-6x+（4m+1）=0有实数根，∴△=（-6）2-4×1×（4m+1）≥0，解得：m≤ ；（2）∵方程x 2-6x+（4m+1）=0的两个实数根为x 1、x 2，∴x 1+x 2=6，x 1x 2=4m+1，∴（x 1-x 2）2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2=42，即32-16m=16，解得：m=1．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合|x 1-x 2|=4，找出关于m 的一元一次方程．24．（1）a<2；（2）－1，0，1【解析】【分析】（1）根据根的判别式，可得到关于a 的不等式，则可求得a 的取值范围；（2）由根与系数的关系，用a 表示出两根积、两根和，由已知条件可得到关于a 的不等式，则可求得a 的取值范围，再求其值即可．【详解】（1）关于x 的一元二次方程26250x x a -++=有两个不相等的实数根12,x x ，0∴∆>，即2(6)4(25)0a --+>，解得2a <；（2）由根与系数的关系知：12126,25x x x x a +==+，12,x x 满足221212x x x x 30+-…，()21212330x x x x ∴+-…，363(25)30a ∴-+…，3,2a ∴-… a 为整数，a ∴的值为1,0,1-．【点睛】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得k 的取值范围是解题的关键，注意方程根的定义的运用．25．（1）见解析；（2）m=﹣1或m=3.【解析】【分析】（1）求出∆的值，即可判断出方程根的情况；（2）根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】（1）由题意可知：△=（2m ﹣2）2﹣4（m 2﹣2m ）=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）∵x 1+x 2=2m ﹣2，x 1x 2=m 2﹣2m ，∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=10，∴（2m ﹣2）2﹣2（m 2﹣2m ）=10，∴m 2﹣2m ﹣3=0，∴m=﹣1或m=3【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型． 26．（1）该菜市场共有25个4平方米的摊位．（2）a 的值为50．【解析】【分析】（1）设该菜市场共有x 个4平方米的摊位，则有2x 个2.5平方米的摊位，根据菜市场毎月可收取管理费4500元，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）由（1）可得出：5月份参加活动一的2.5平方米摊位及4平方米摊位的个数，再由参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少518%a ，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：（1）设该菜市场共有x 个4平方米的摊位，则有2x 个2.5平方米的摊位，依题意，得：20420 2.524500x x ⨯+⨯⨯=，解得：25x =．答：该菜市场共有25个4平方米的摊位．（2）由（1）可知：5月份参加活动一的2.5平方米摊位的个数为25240%20⨯⨯=（个），5月份参加活动一的4平方米摊位的个数为2520%5⨯=（个）．依题意，得：320(12%)20 2.5%10a a +⨯⨯⨯()1516%204%4a a ++⨯⨯⨯[20(12%)20a =+⨯⨯2.5+5(16%)a +5204]%18a ⨯⨯⨯，整理，得：2500a a -=，解得：10a =（舍去），250a =．答：a 的值为50．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．。

2019年中考数学：精选25道最新圆填空题专选培优练习 (含答案)

精选25道最新圆填空题专选培优练习1．（2019•雨湖区一模）如图，点A、B、C、D在圆O上，∠A＝140°，则∠C＝．2．（2019•吴兴区校级一模）如图，一个圆形硬币刚好和一块三角尺的两边相切，其中与AB 边的切点为D，若∠C＝30°，BC＝6，BD＝，则圆形硬币的半径为．3．（2019•简阳市模拟）如图，△ABC内接于⊙O．AB为⊙O的直径，BC＝3，AB＝5，D、E 分别是边AB、BC上的两个动点（不与端点A、B、C重合），将△BDE沿DE折叠，点B的对应点B′恰好落在线段AC上（包含端点A、C），若△ADB′为等腰三角形，则AD的长为．4．（2019•宝山区二模）如果圆O的半径为3，圆P的半径为2，且OP＝5，那么圆O和圆P 的位置关系是．5．（2019•天桥区一模）如图，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为l的正方形，点O，A，B均为格点，则的长等于．6．（2019•青羊区模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，以CD为直径的半圆O与AB 相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为．（结果保留π）7．（2019•江北区模拟）如图，在直角三角形△ABC中，∠BAC＝90°，点E是斜边BC的中点，⊙O经过A、C、E三点，F是弧EC上的一个点，且∠B＝24°，则∠AFC＝．8．（2019•延庆区一模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，已知∠A＝22.5°，OC＝2，则CD的长为．9．（2019•金山区二模）一个正多边形的对称轴共有10条，且该正多边形的半径等于4，那么该正多边形的边长等于．10．（2019•路桥区一模）如图，点B，C，F在⊙O上，∠C＝18°，BE是⊙O的切线，B为切点，OF的延长线交BE于点E，则∠BEO＝度．11．（2019•香坊区一模）如图，AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O 于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D，则∠CDB的度数是°．12．（2019•哈尔滨模拟）某扇形的面积为6π，弧长为3π，此扇形的圆心角的度数为．13．（2019•信阳一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝，分别以点A，B为圆心，AC，BC的长为半径画弧，交AB于点D，E，则图中阴影部分的面积是．14．（2019•盐城一模）如图，已知正方形ABCD，边长为4cm，边CD的中点E，连结AE，将△ADE绕顶点A顺时针方向旋转90°到△ABF，则线段DE所扫过的面积为cm2．15．（2019•闵行区二模）如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点D．如果CD ＝4，AB＝16，那么OC＝．16．（2019•沈河区校级模拟）如图，O点在梯形ABCD的下底AB上，且⨀O与梯形的上底及两腰都相切，若AB＝5cm，CD＝2cm，则梯形ABCD的周长等于．17．（2019•河南一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，现将△ABC绕点C 顺时针旋转60°得到△A′B′C，其中点B的运动路径为，点A的运动路径为，则图中阴影部分的面积是．18．（2019•莆田模拟）等宽曲线是这样的一种几何图形，它们在任何方向上的直径（或称宽度）都是相等的．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，边长为半径画弧则弧AB，弧BC弧AC组成的封闭图形就是“莱洛三角形”．莱洛三角形是“等宽曲线”，用莱洛三角形做横断面的滚子，能使载重物水平地移动而不至于上下颠簸．诺AB＝3，则此“莱诺三角形”的周长为．19．（2019•铁西区三模）如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝1，则⊙O的半径长为．20．（2019•永康市模拟）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径．如图，用角尺的较短边紧靠⊙O于点A，并使较长边与⊙O相切于点C．记角尺的直角顶点为B，量得AB＝2cm，BC＝4cm，则⊙O的半径等于cm．21．（2019•娄底模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝，以点A为圆心、AC的长为半径画弧，交AB边于点D，则弧CD的长等于（结果保留π）22．（2019•江岸区校级模拟）如图，已知四边形ABCD外接圆⊙O的半径为5，对角线AC与BD交于点E，BE＝DE，AB＝BE，且AC＝8，则四边形ABCD的面积为．23．（2019•安徽一模）如图．点P为弦AB上的一点，连接OP，过点P作PC⊥OP，PC交⊙O 于C．若AP＝8，PB＝2，则PC的长是．24．（2019•安徽模拟）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，连接OC与半圆相交于点D，则CD的长为．25．（2019•慈溪市模拟）如图，已知半圆O的直径AB为12，OP＝1，C为半圆上一点，连结CP．若将CP沿着射线AB方向平移至DE，若DE恰好与⊙O相切于点D，则平移的距离为．参考答案1．解：∵点A、B、C、D在圆O上，∴∠A+∠C＝180°，∴∠C＝40°，故答案为：40°．2．解：设圆心为O，连接OD，OA，∵∠C＝30°，∠ABC＝90°∴tan C＝＝，∠BAC＝60°∴AB＝2，∵BD＝，∴AD＝AB﹣BD＝，∵AB，AC都与⊙O相切，∴∠DAO＝∠BAC＝30°，OD⊥AD，∴tan∠DAO＝，∴DO＝1，故答案为：1．3．解：∵AB为⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵BC＝3，AB＝5，∴AC＝4，∵将△BDE沿DE折叠，点B的对应点B′恰好落在线段AC上，∴BD＝B′D，BE＝B′E，若△ADB′为等腰三角形，①当AB′＝DB′时，设AB′＝DB′＝BD＝x，则AD＝5﹣x，如图1，过B′作B′F⊥AD于F，则AF＝DF＝AD，∵∠A＝∠A，∠AF B′＝∠C＝90°，∴△AFB′∽△ACB，∴＝，∴＝，解得：x＝，∴AD＝5﹣x＝；②当AD＝DB′时，则AD＝DB′＝BD＝AB＝；③当AD＝AB′时，如图2，过D作DH⊥AC于H，∴DH∥BC，∴＝＝，设AD＝5m，∴DH＝3m，AH＝4m，∴DB′＝BD＝5﹣5m，HB′＝5m﹣4m＝m，∵DB′2＝DH2+B′H2，∴（5﹣5m）2＝（3m）2+m2，∴m＝，m＝（不合题意舍去），∴AD＝，故答案为：或或．4．解：∵圆O的半径为3，圆P的半径为2，且OP＝5，∴OP＝R+r＝2+3＝5，∴两圆外切，故答案为：外切．5．解：在△ACO和△ODB中，，∴△ACO≌△ODB（SAS）∴∠AOC＝∠OBD，∵∠BOD+∠OBD＝90°，∴∠BOD+∠AOC＝90°，即∠AOB＝90°，由勾股定理得，OA＝OB＝＝，∴的长＝＝π，故答案为：π．6．解：连接OE，如图，∵以CD为直径的半圆O与AB相切于点E，∴OD＝4，OE⊥BC，易得四边形OEAD为正方形，∴由弧DE、线段AE、AD所围成的面积＝，∴阴影部分的面积：，故答案为：4π．7．解：如图，连接AE．∵∠BAC＝90°，BE＝CE，∴AE＝BE＝CE，∴∠B＝∠EAB＝24°，∴∠AEC＝∠B+∠EAB＝48°，∴∠AFC＝∠AEC＝48°，故答案为48°．8．解：∵直径AB垂直于弦CD，∴CE＝DE＝CD，∵∠A＝22.5°，∴∠BOC＝45°，∴OE＝CE，设OE＝CE＝x，∵OC＝2，∴x2+x2＝4，解得：x＝，即：CE＝2，∴CD＝2，故答案为：29．解：∵正多边形的对称轴共有10条，∴这个正多边形是正十边形，设这个正十边形的中心为O，则OA＝OB＝4，∠AOB＝＝36°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B＝72°，作AC平分∠OAB交OB于C，则∠OAC＝∠O，∠ACB＝∠B，∴OC＝CA＝AB，△ABC∽△OAB，∴＝，即AB2＝4×（4﹣AB），解得，AB1＝2﹣2，AB2＝﹣2﹣2（舍去），∴AB＝2﹣2，故答案为：2﹣2．10．解：∵∠C＝18°，∴∠BOE＝36°，∵BE是⊙O的切线，∴∠OBE＝90°，∴∠OEB＝90°﹣36°＝54°，故答案为：5411．解：连接AC，∵由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠ABT＝40°，∴∠CDB＝∠CAB＝40°，故答案为：4012．解：设扇形的圆心角是n°，半径为R，∵扇形的面积为6π，弧长为3π，∴R＝6π，解得：R＝4，则由扇形的面积公式得：＝6π，解得：n＝135，即扇形的圆心角是135°，故答案为：135°．13．解：∵在Rt△ABC，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝，∴∠B＝60°，BC＝tan30°×AC＝1，阴影部分的面积S＝S扇形ACE +S扇形BCD﹣S△ACB＝+﹣＝﹣，故答案为：﹣．14．解：由旋转得：△ADE≌△ABF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADE＝90°，AD＝CD＝4，∵E是CD的中点，∴DE＝2，∴AE＝＝2，∴线段DE所扫过的面积＝S扇形AEF +S△ADE﹣S△ABF﹣S扇形ADB＝S扇形AEF﹣S扇形ADB＝﹣＝π，故答案为：π；15．解：∵半径OC垂直于弦AB，∴AD＝AB＝8，∠ADO＝90°，设CO＝x，则AO＝x，DO＝x﹣4，x2＝82+（x﹣4）2，解得：x＝10，∴CO＝10，故答案为：10．16．解：设⨀O与梯形的上底及两腰的切点分别为E、F、G，如图，连接OE，OF，作DH⊥AB于H，∴OE⊥CD，∵AB∥CD，∴OE⊥AB，∴DH∥OE，∴DH＝OE，∵OE＝OF，∴OF＝DH，在△ADH和△AOF中∴△AD H≌△AOF（AAS），∴AD＝OA，∴AD+BC＝AB，∵AB＝5cm，CD＝2cm，∴梯形ABCD的周长＝2AB+CD＝12cm，故答案为12cm．17．解：如图1，过A作AD⊥BC于D∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，∴AD＝2，BD＝CD＝2∴BC＝4∵根据旋转的性质知∠BCB'＝∠ACA'＝60°，△ABC≌△A'B'C，∴S△ABC ＝S△A'B'C，∴S阴影＝S扇形CB'B+S△A'B'C﹣S△ABC﹣S扇形CA'A＝﹣＝．故答案是：π．18．解：连接OB、OC，作OD⊥BC于D，∵△ABC是正三角形，∴∠BAC＝60°，∴的长为：＝π，∴“莱洛三角形”的周长＝π×3＝3π．故答案为3π19．解：如右图所示，连接AO，BO，DO，BD，连接AO交BD于点E，∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，∠BCD＝120°，AB＝AD＝1，∴∠BAD＝180°﹣∠BCD＝60°，∠AOB＝∠AOD，∴∠BOD＝2∠BAD＝120°，∴∠AOB＝∠AOD＝120°，∴AB＝BD＝AD＝1，∴△ABD是等边三角形，∴AE⊥BD，AE平分BD，∴∠BOE＝60°设OA＝a，则OE＝a，BE＝，∴a2＝，解得，a＝，故答案为：．20．解：设圆的半径为rcm，如图，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D．则OD＝（r﹣2）cm，AD＝BC＝4cm，在Rt△AOD中，r2＝（r﹣2）2+42解得：r＝5．即该圆的半径为5cm．故答案为：5．21．解：∵∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝，∴∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，又∵AC＝1，∴弧CD的长为，故答案为：．22．解：∵BE＝DE，AB＝BE，∴AB2＝2BE2＝BE•BD，∴AB：BE＝BD：AB，又∠EBA＝∠ABD，∴△ABE∽△DBA，∴∠ADB＝∠BAE，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ACB＝∠CAB，∴AB＝BC．连接BO，交AC于H，连接OA，∵AB＝BC，∴BO⊥AC，∴CH＝AH，∴CH＝AH＝AC＝4∵AO＝5，∴OH＝＝3，BH＝OB﹣OH＝5﹣3＝2．＝AC•BH＝×5×2＝5，∴S△ABC∵E是BD的中点，∴S △ABE ＝S △ADE ，S △BCE ＝S △DCE ，∴S △ABC ＝S △ADC ，∴S 四边形ABCD ＝2S △ABC ＝10，故答案为10．23．解：延长CP 交圆于一点D ， ∵PC ⊥OP ，∴PC ＝PD （垂径定理），∴PC 2＝PA •PB ，∵AP ＝8，PB ＝2，∴PC 2＝2×8，解得：PC ＝4．故答案为：4．24．解：如图，设⊙O 与AC 相切于点E ，连接OE ，则OE ⊥AC ， ∵AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，∴AB 2＝AC 2+BC 2，∴∠C ＝90°，∴BC ⊥AC ，∴OE ∥BC ，∵AO ＝OB ，∴AE ＝EC ＝AC ＝4，∵OA ＝AB ＝5，∴OE ＝3，∴OD＝3，在Rt△ABC中，OC是斜边AB上的中线，∴OC＝AB＝5，∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2．故答案为2．25．解：∵半圆O的直径AB为12，∴OD＝OB＝6，如图，过OM⊥CD于M，连接OD，则CM＝DM，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∵将CP沿射线AB方向平移至DE，∴CD∥PE，CD＝PE，∴∠1＝∠2，∵∠DMO＝∠ODE＝90°，∴△DMO∽△ODE，∴＝，设CD＝x，则OE＝OP+PE＝x+1，∴＝，∴x＝8，x＝﹣9（舍去），∴平移的距离为8，故答案为：8．。

2018-2019学年初三培优班数学测试卷

2018-2019学年初三培优班竞赛辅导数学测试卷一、选择题:（每小题4分，共40分1．设a ＜b ＜0，a 2+b 2=4ab ，则b a ba -+的值为（）A. 3B. 6C. 2D. 32．已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca 的值为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 33．一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个凸多边形所有对角线的条数总共有（） A ．42条 B ．54条 C ．66条 D ．78条4．如图，矩形ABCD 的对角线相交于O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ．若∠CAE ＝15°，则∠BOE ＝（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°4．如果,22,12=+=+c b b a ，那么ac 1+等于 ( )（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）15.已知函数()23f x x x =+，则()()()22232462f -=-+•-=-=-。

若()1f a =-，则221a a +的值为（） A 14B 4C 7D 96、一只小船顺流航行在甲、乙两个码头之间需a 小时，逆流航行这段路程需b 小时，那么一木块顺水漂流这段路需（）小时A.ba ab-2 B.ab ab-2 C. ba ab -D.ab ab- 7、如图，小林从P 点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P ，则α（） A ．30° B ．40° C ．80° D ．不存在8、如图，双曲线y = k x(k>0)经过矩形QABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D 。

若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（） A ．ｙ＝1x B ．y ＝2x C ．ｙ＝3x D ．ｙ＝6xOE DCB APα α9、设G 是△ABC 的垂心，且AG ＝6，BG ＝8，CG ＝10，则三角形的面积为（） A. 58 B. 66 C. 72 D. 8410、如图，矩形ABCD 中，AB ＝a ，BC ＝b ，M 是BC 的中点，DE ⊥AM ，E 为垂足，则DE ＝（） A.2242b a ab + B.224b a ab +C. 2242ba ab + D. 224ba ab +二、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）11．已知，关于x 的一元二次方程260x kx --=与260x x k --=只有一个公共的根，那么方程052||2=++-k x k x 所有的根的和是 .12．若251+=x ，则431xx x ++= . 13．已知31a =-，则20122011201022a a a +-的值为_____________14. 当1≤x≤2时，代数式可以化简为。

2019年中考数学知识点过关培优训练：垂径定理的应用(圆)(解析版)

知识点过关培优训练：垂径定理的应用（圆）一．选择题1．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径OB＝10dm，水面宽AB是16dm，则截面水深CD是（）A．3 dm B．4 dm C．5 dm D．6 dm2．如图，半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（）A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm3．乌镇是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8m，则桥拱半径OC为（）A．4m B．5m C．6m D．8m4．如图是一个隧道的截面图，为⊙O的一部分，路面AB＝10米，净高CD＝7米，则此圆半径长为（）A．5米B．7米C．米D．米5．如图为球形灯笼的截面图，过圆心的CD垂直弦AB于D，AB＝2dm，CD＝4dm，则⊙O半径为（）A．2dm B． dm C． dm D． dm6．如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM＝8cm，ON＝6cm，则该圆玻璃镜的直径是（）A． cm B．5cm C．6cm D．10cm7．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是（）A．13寸B．6.5寸C．26寸D．20寸8．某品牌婴儿罐装奶粉圆形桶口如图所示，它的内直径（⊙O直径）为10cm，弧AB的度数约为90°，则弓形铁片ACB（阴影部分）的面积约为（）A．（π﹣）cm2B．（π﹣25）cm2C．（π﹣）cm2D．（25π﹣）cm29．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED＝1寸），锯道长1尺（AB＝1尺＝10寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是（）A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸10．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm11．如图，把一个宽度为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么光盘的直径是（）A．5 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm12．某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下：①小明取出老师提供的圆形细铁环，先通过在圆一章中学到的知识找到圆心O，再任意找出圆O的一条直径标记为AB（如图1），测量出AB＝4分米；②将圆环进行翻折使点B落在圆心O的位置，翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为C、D（如图2）；③用一细橡胶棒连接C、D两点（如图3）；④计算出橡胶棒CD的长度．小明计算橡胶棒CD的长度为（）A．2分米B．2分米C．3分米D．3分米二．填空题13．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝（弦×矢+矢2）．弧田（如图阴影部分面积）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为120°，半径等于4的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为．14．位于黄岩西城的五洞桥桥上老街目前正在修复，其中一处中式圆形门，它的平面示意图，已知AB过圆心O，且垂直CD于点B，测得门洞高度AB为1.8米，门洞下沿CD宽为1.2米，则该圆形门洞的半径为．15．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其大意为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE＝1寸，CD＝10寸，则⊙O的直径等于寸．16．如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点A，然后过点A作AB与残片的内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD＝15cm，AB ＝60cm，则这个摆件的外圆半径是cm．17．如图，某种鱼缸的主视图可视为弓形，该鱼缸装满水时的最大深度CD为18cm，半径OC 为13cm，则鱼缸口的直径AB＝cm．18．如图是一块圆环形玉片的残片，作外圆的弦AB与内圆相切于点C，量得AB＝8cm、点C与的中点D的距离CD＝2cm．则此圆环形玉片的外圆半径为cm．19．如图，有一块矩形木板ABCD，AB＝13dm，BC＝8dm，工人师傅在该木板上锯下一块宽为xdm 的矩形木板MBCN ，并将其拼接在剩下的矩形木板AMND 的正下方，其中M ′、B ′、C ′、N ′分别与M 、B 、C 、N 对应．现在这个新的组合木板上画圆，要使这个圆最大，则x 的取值范围是，且最大圆的面积是 dm 2．20．小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm 的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位：cm ），请你帮小华算出圆盘的半径是 cm ．三．解答题21．如图1是小明制作的一副弓箭，点A ，D 分别是弓臂BAC 与弓弦BC 的中点，弓弦BC ＝80cm ．沿AD 方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC 始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D 拉到点D 1时，有AD 1＝40cm ，∠B 1D 1C 1＝120°．（1）图2中，弓臂两端B 1，C 1的距离为 cm ．（2）如图3，将弓箭继续拉到点D 2，使弓臂B 2AC 2为半圆，求出D 1D 2的长度．．22．一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为10mm 的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm，求这个孔道的直径AB．23．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB 为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题．24．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE ＝4米时，是否要采取紧急措施？25．图1是某奢侈品牌的香水瓶．从正面看上去（如图2），它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在⊙O上），其中BC∥EF；从侧面看，它是扁平的，厚度为1.3cm．（1）已知⊙O的半径为2.6cm，BC＝2cm，AB＝3.02cm，EF＝3.12cm，求香水瓶的高度h．（2）用一张长22cm、宽19cm的矩形硬纸板按照如图3进行裁剪，将实线部分折叠制作成一个底面积为S MNPQ＝9cm2的有盖盒子（接缝处忽略不计）．请你计算这个盒子的高度，并且判断上述香水瓶能否装入这个盒子里．26．赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，（1）如图1，尺规作图，找到桥弧所在圆的圆心O（保留作图痕迹）；（2）如图2，求桥弧AB所在圆的半径R．参考答案1．解：由题意知OD⊥AB，交AB于点E，∵AB＝16，∴BC＝AB＝×16＝8，在Rt△OBC中，∵OB＝10，BC＝8，∴OC＝＝6，∴CD＝OD﹣OC＝10﹣6＝4．故选：B．2．解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，∵CD＝8，OD＝13，∴OC＝5，又∵OB＝13，∴Rt△BCO中，BC＝＝12，∴AB＝2BC＝24．故选：C．3．解：连接BO，由题意可得：AD＝BD＝4m，设B半径OC＝xm，则DO＝（8﹣x）m，由勾股定理可得：x2＝（8﹣x）2+42，解得：x＝5．故选：B．4．解：∵CD⊥AB，AB＝10米，由垂径定理得AD＝5米，设圆的半径为r，由勾股定理得OD2+AD2＝OA2，即（7﹣r）2+52＝r2，解得r＝米．故选：D．5．解：∵过圆心的CD垂直弦AB于D，AB＝2dm，CD＝4dm，∴BD＝AD＝1dm，在Rt△ODB中，OD2+DB2＝OB2，即（4﹣r）2+12＝r2，解得：r＝dm，故选：C．6．解：∵把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，∴线段MN的就是该圆的直径，∵OM＝8cm，ON＝6cm，∠MON＝90°，∴MN＝10cm，故选：D．7．解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解得r ＝13，∴⊙O 的直径为26寸，故选：C ．8．解：连接OA 、OB ，∵品牌婴儿罐装奶粉圆形桶口如图所示，它的内直径（⊙O 直径）为10cm ，弧AB 的度数约为90°，∴OA ＝OB ＝5cm ，∠BOA ＝90°，∴阴影部分的面积S ＝S 扇形BOA ﹣S △BOA ＝﹣＝（π﹣）cm 2，故选：A ．9．解：设⊙O 的半径为r ．在Rt △ADO 中，AD ＝5，OD ＝r ﹣1，OA ＝r ，则有r 2＝52+（r ﹣1）2，解得r ＝13，∴⊙O 的直径为26寸，故选：C ．10．解：EF 的中点M ，作MN ⊥AD 于点M ，取MN 上的球心O ，连接OF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝∠D ＝90°，∴四边形CDMN 是矩形，∴MN ＝CD ＝4，设OF ＝x ，则ON ＝OF ，∴OM ＝MN ﹣ON ＝4﹣x ，MF ＝2，在直角三角形OMF 中，OM 2+MF 2＝OF 2即：（4﹣x ）2+22＝x 2解得：x ＝2.5故选：B ．11．解：设光盘的圆心为O，如图所示：过点O作OA垂直直尺于点A，连接OB，设OB＝x，∵一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”，∴AB＝×（10﹣2）＝4，∵刻度尺宽2cm，∴OA＝x﹣2，在Rt△OAB中，OA2+AB2＝OB2，即（x﹣2）2+42＝x2，解得：x＝5．∴该光盘的直径是10cm．故选：C．12．解：连接OC，作OE⊥CD，如图3，∵AB＝4分米，∴OC＝2分米，∵将圆环进行翻折使点B落在圆心O的位置，∴OE＝分米，在Rt△OCE中，CE＝分米，∴CD＝2分米；故选：B．二．填空题（共8小题）13．解：如图所示：由题意可得：OA＝4，∵∠AOB＝120°，∴∠AOD＝60°，∴OD＝2，AD＝2，∴弧田的面积＝，故答案为．14．解：设该圆形门洞的半径为r，∵AB过圆心O，且垂直CD于点B，连接OC，在Rt△OCB中，可得：r2＝（1.8﹣r）2+0.62，解得：r＝1，故答案为：1米15．解：如图所示，连接OC．∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE＝CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得：x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸．故答案为：26．16．解：如图，设点O为外圆的圆心，连接OA和OC，∵CD＝15cm，AB＝60cm，∵CD⊥AB，∴OC⊥AB，∴AD＝AB＝30cm，∴设半径为rcm，则OD＝（r﹣15）cm，根据题意得：r2＝（r﹣15）2+302，解得：r＝37.5．∴这个摆件的外圆半径长为37.5cm；故答案为：37.5．17．解：连接OB，∵CD＝18cm，OC＝13cm，∴OD＝5cm，OB＝OC＝13cm，在Rt△BDO中，BD＝cm，∴AB＝2BD＝24cm，故答案为：24．18．解：如图，连接OA，∵CD＝2cm，AB＝8cm，∵CD⊥AB，∴OD⊥AB，∴AC＝AB＝4cm，∴设半径为r，则OD＝r﹣2，根据题意得：r2＝（r﹣2）2+42，解得：r＝5．∴这个玉片的外圆半径长为5cm．故答案为：5．19．解：如图，设⊙O与AB相切于点H，交CD与E，连接OH，延长HO交CD于F，设⊙O的半径为r ．在Rt △OEF 中，当点E 与N ′重合时，⊙O 的面积最大，此时EF ＝4，，则有：r 2＝（8﹣r ）2+42，∴r ＝5．∴⊙O 的最大面积为25π，由题意：，∴2≤x ≤3，故答案为2≤x ≤3，25π．20．解：如图，记圆的圆心为O ，连接OB ，OC 交AB 于D ，∴OC ⊥AB ，BD ＝AB ，由图知，AB ＝16﹣4＝12cm ，CD ＝2cm ，∴BD ＝6，设圆的半径为r ，则OD ＝r ﹣2，OB ＝r ，在Rt △BOD 中，根据勾股定理得，OB 2＝AD 2+OD 2，∴r 2＝36+（r ﹣2）2，∴r ＝10cm ，故答案为10．三．解答题（共6小题）21．解：（1）如图1中，连接B 1C 1交AD 1于H ．∵AD 1＝D 1B 1＝40cm ，∴D 1是所在圆的圆心，在Rt △B 1HD 1中，HB 1＝40•sin60°＝20，∴B 1C 1＝2HB 1＝40（cm ），故答案为40．（2）如图2中，连接B 1C 1交AD 1于H ，连接B 2C 2交AD 2于T ．由题意：＝π•B 2T ，∴AT ＝B 2T ＝（cm ），在Rt △B 2TD 2中，D 2T ＝＝， ∵AH ＝HD 1＝20，∴HT ＝﹣20＝，∴D 1D 2＝HD 2﹣HD 1＝+﹣20＝﹣．22．解：连接OA ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则AB ＝2AD ，∵钢珠的直径是10mm ，∴钢珠的半径是5mm ，∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，∴OD ＝3mm ，在Rt△AOD中，∵AD＝＝＝4mm，∴AB＝2AD＝2×4＝8mm．23．解：如图所示，连接OC．∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE＝CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得：x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸．24．解：（1）连结OA，由题意得：AD＝AB＝30，OD＝（r﹣18）在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，解得，r＝34；（2）连结OA′，∵OE＝OP﹣PE＝30，∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，解得：A′E＝16．∴A′B′＝32．∵A′B′＝32＞30，∴不需要采取紧急措施．25．解：（1）作OG⊥BC于G，延长GO交EF于H，连接BO、EO．∵EF∥BC，∴OH⊥EF，∴BG＝BC，EH＝EF∴GO＝＝2.4；OH＝＝2.08，∴h＝2.4+2.08+3.02＝7.5cm．（2）设盒子的高为xcm．由题意：（22﹣2x）•＝9解得x＝8或12.5（舍弃），∴MQ＝6，MN＝1.5∵2.6×2＝5.2＜6；1.3＜1.5；7.5＜8，∴能装入盒子．26．解：（1）如图1所示；（2）连接OA．如图2．由（1）中的作图可知：△AOD为直角三角形，D是AB的中点，CD＝10，∴AD＝AB＝20．∵CD＝10，∴OD＝R﹣10．在Rt△AOD中，由勾股定理得，OA2＝AD2+OD2，∴R2＝202+（R﹣10）2．解得：R＝25．即桥弧AB所在圆的半径R为25米．。

2019年浙江省杭州市中考数学全优试卷附解析

2019年浙江省杭州市中考数学全优试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．由于暴雨，路面积水达 0.1m ，已知一个车轮入水最大深度 CD 正好为此深度时，车轮入水部分的最大弦AB 长为 0.4 m （如图），则此车轮的半径为（）A ．0. 2 mB ．0. 25 mC ．0. 3 mD ．0. 4 m2．如图所示的物体是一个几何体，其主视图是（）3．小红把班级勤工助学挣得的班费 500 元按一年期存入银行，已知年利率为 x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期转存，设两年到期后，本利和为 y 元，则y 与x 之间的函数关系式为（）A ．25y x x =+B ．2500y x =+C ．2500y x x =+D ．2500(1)y x =+4．一元二次方程22(1)1x x -=-的根是（）A ．32-B ．1C ．32-或 1 D ．无解5．如图，小明从点A 处出发，沿北偏东60°方向行走至点 B 处，又沿北偏西20°方向行走至点 C 处，此时把方向调整到与出发时一致，则调整的方向应是（）A ．右转 80°B ．左转 80°C ．右转 100°D ．左转 100° 6．若 x ，y 是正整数，且5222x y ⋅=，则x ，y 的值有（） A ．4 对B ．3 对C ．2 对D ．1 对 7．平移前有两条直线互相垂直，那么这两条直线平移后（）A ．互相平行B ．互相垂直C ．相交但不垂直D ．无法确定8．若P 和Q 都是关于x 的五次多项式，则 P+Q 是（）A ．关于x 的五次多项式B ．关于x 的十次多项式C ．关于x 的四次多项式D ．关于 x 的不超过五次的多项式或单项式9．直角三角形中，如果锐角α的对边y 与邻边x 满足方程|3|40x y -+-=，那么cos sin a α的值是 ( ）A ．35B ．45C ．43D ．34二、填空题10．弦AB 分圆为1：5两部分，则劣弧AB 所对的圆心角等于______．11．立方体的一边长为xcm ，那么它的表面积ycm 2关于xcm 的函数解析式是 . y ＝6x 212．某校团委准备举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm 、宽为20的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸成较大的矩形，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，设彩纸的宽为x cm ，可列方程 .13．x 与 2 的和不大于 4，用不等式表示为，它的解集为．14．如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB=DC ，∠A=68°，则∠C= 度．15．如图，∠ABC = 75°，∠A = 48°，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，则∠DBC= .16．某一天杭州的最低气温是零下3℃，最高气温是零上8℃，则这一天杭州的最大温差是 ℃.17．已知关于x 的方程2mx +3=x 与方程3-2x=1的解相同，则m =_________． 18．用四舍五入法，保留l 个有效数字，则取80600的近似值为，保留2个有效数字的近似值为．三、解答题19．如图所示是一个四棱柱，小红同学画出了它的三种视图. 请你判断小红画得对吗？如果不对，指出其错误，并画出正确的视图.20．如图，花丛中有一路灯杆AB ．在灯光下，小明在D 点处的影长DE=3米，沿BD 方向行走到达G 点，DG=5米，这时小明的影长GH=5米．如果小明的身高为1.7米．求路灯杆AB 路的高度（精确到0.1米）．21．如图，在ABC △中，90C =∠，在AB 边上取一点D ，使BD BC =，过D 作DE AB ⊥交AC 于E ，86AC BC ==，．求DE 的长．22．如图，对角线是宽的两倍的同样大小的两个矩形拼成L 型图案．求∠AFH ，∠DCH ，∠FHD 的度数．23．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表：x (元) 1520 25 … y (件)25 20 15 … 若日销售量y (件)是销售价x (元)的一次函数.(1)求出日售量y (件)与销售价x (元)的函数析式；(2)求销售价定为 30天时，每日的销售利润.24．已知不等式5(2)86(1)7x x -+<-+最小整数解为方程24x ax -=的的解，求a 的值.25．桌面上放着一个圆锥和一个长方体，下面画着三幅图，请找出主视图、左视图和俯视图对应的字母．26．由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，现将其中的两个小正方形涂黑（如图). 请你用两种不同的方法分别在下图中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形.27．把下图中左圈里的每一个整式都除以-2ab ，再把商式填在右边的圆圈内：28．在一次数学课外活动中，四个同学进行比赛，其计算的题目和过程如下：(1)王海鸣：98102(1002)(1002)⨯=-+2210029996=-=(2)李晓：222(21)(21)(12)(12)(1)212x x x x x x ---=-+⋅--=--=-；(3)张虹：2220041996(20041996)(20041996)32000-=+⋅-=；(4)林皓：2222(2)(3)(2)4a b a b a b a b +-=-=-请判断这几个同学的计算是否正确. 为什么？29．利用图形变换，分析如图的花边图案是怎样形成的，请类似地利用图形变换设计一条花边图案．30．计算： (1)231221110.75(1)(1)()223-÷-+-⨯-； (2)[(-3)2-(-5)2]÷(-2).【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．B2．C3．D4．C5．A6．A7．B8．D9．D二、填空题10．60度12．20302)230)(220(⨯⨯=++x x 13．x+2≤4，x ≤214．6815．27°16．1117．-418．8×lO 4，8.1×1O 4三、解答题19．小红画的三视图中，左视图，俯视图都是正确的；主视图是错误的，因为少画了两条看不见的轮廓虚线.如解图所示是正确的主视图.20．设AB=x ，BD=y,△ABE 中，CD ∥AB ，∴y x +=337.1 △ABH 中，FG ∥AB ，∴yx +=1057.1，∴x=5.95,即路灯竿AB 的高度约6．0米． 21．3．22．∠AFH=45°，∠DCH=15°，∠FHD=105°23．(1)40y x =-+ (2)200元24．a=4A ：左视图，B ：主视图，C ：俯视图 26．略27．a -，24ab ，2212a b ，14bc - 28．王海鸣和张虹计算正确，李晓和林皓计算错误 29．略30． (1)736 (2)8。

【中考专题】2019年中考数学二轮二次函数专项培优(含答案)

2019年中考数学二轮二次函数专项培优一、选择题1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则一次函数y=bx+b2﹣4ac与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为（）2.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0)和点B,化简的结果为:①c；②；③b﹣a；④a﹣b+2c.其中正确的有（）A.一个B.两个C.三个D.四个3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2其中正确的个数有（）A.1B.2C.3D.44.如图1，在等边△ABC中，D是BC的中点，P为AB 边上的一个动点，设AP=x，图1中线段DP的长为y，若表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则△ABC的面积为( )C.12D.A.4B.5.如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB．设AP=x，△PBE的面积为y．则能够正确反映y与x之间的函数关系的图象是（）6.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣1，3，则下列结论正确的个数有（）①ac＜0；②2a+b=0；③4a+2b+c＞0；④对于任意x均有ax2+bx≥a+b．A.1B.2C.3D.47.如图,直线y=0.5x+2与y轴交于点A,与直线y=﹣0.5x交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y=(x﹣h)2+k的顶点在直线y=-0.5x上移动.若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点,则h的取值范围是（）A.﹣2≤h≤0.5B.﹣2≤h≤1C.﹣1≤h≤1.5D.﹣1≤h≤0.58.已知a≥2，m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，则(m﹣1)2+(n﹣1)2的最小值是（）A.6B.3C.﹣3D.09.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有( )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个10.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点A（4,0）,C（0,3）.直线y=0.5x由原点开始向上平移,所得的直线y=-0.5x+b与矩形两边分别交于M、N两点,设△OMN面积为S，那么能表示S与b函数关系的图象大致是（）A. B. C. D.11.如图，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB以相同间隔0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.36米，则立柱EF的长为（）A.0.4米B.0.16米C.0.2米D.0.24米12.如图，正方形ABCD中，AB＝8 cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1 cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t(s)，△OEF的面积S(cm2)，则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为( B )二、填空题13.如图,抛物线C是二次函数y=x2﹣10x在第四象限的一段图象,它与x轴的交点是O、A1；将C1绕1点A1旋转180°后得抛物线C2；它与x轴的另一交点为A2；再将抛物线C2绕A2点旋转180°后得抛物线C3，交x轴于点A3；如此反复进行下去…，若某段抛物线上有一点P，则a= ．14.如图，抛物线与交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，的值总是正数；②；③当x=0时，；④AB+AC=10；⑤.其中正确结论的个数是：．15.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交点C．在下面五个结论中：①bc＞0；②a+b+c＜0；③c=﹣3a；④当﹣1＜x＜3时，y＞0；⑤如果△ABC为直角三角形，那么仅a=一种情况.其中正确的结论是．（只填序号）16.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为 -a-1.其中正确的结论个数有（填序号）17.体育公园的圆形喷水池的水柱（如图1）如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水流（如图2），其上的水珠的高度）y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=﹣x2+4x+2.25，那么圆形水池的半径至少为米时，才能使喷出的水流不落在水池外．18.定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}=b．当a＜b时，min{a，b}=a．若当－2≤x≤3，min{x2－2x－15，m(x＋1)}=x2－2x－15,则实数m的取值范围是________三、解答题19.已知二次函数y=a(x-m)2-a(x-m)(a、m为常数，且a≠0)．(1)求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；(2)设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D.①当△ABC的面积等于1时，求a的值；②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．20.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0）和B（2,3）．过点A的直线与y轴的负半轴相交于点C，且tan∠ACO=3．（1）求这条抛物线的表达式及对称轴；（2）连接AB、BC，求∠ABC的正切值；（3）若点D在x轴下方的对称轴上，当S△ABC=S△ADC时，求点D的坐标．21.在坐标系中,已知抛物线y=x2﹣2x+n﹣1与y轴交于点A,其对称轴与x轴交于点B．（1）当△OAB是等腰直角三角形时,求n的值；（2）点C的坐标为（3,0），若该抛物线与线段OC有且只有一个公共点,结合函数的图象求n的取值范围．22.某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y=﹣x+60（30≤x≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？23.某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元．（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式．（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？24.如图，在平面直角坐标系中，圆D与y轴相切于点C（0，4），与x轴相交于A、B两点，且AB=6．（1）则D点的坐标是（，），圆的半径为；（2）sin∠ACB= ；经过C、A、B三点的抛物线的解析式；（3）设抛物线的顶点为F，证明直线FA与圆D相切；（4）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点N，使△CBN面积最大，最大值是多少，并求出N点坐标．25.如图，已知抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线BC的解析式；（3）若点N是抛物线上的动点，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，以B，N，H为顶点的三角形是否能够与△OBC相似？若能，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．答案1.D2.C3.D．4.D5.A．6.C7.A8.A9.A10.B11.C12.B13.答案为24．14.答案为：①②④⑤；15.答案为①②③⑤16.答案为：①③④；17.答案为：4.5．18.答案为：-3≤m≤7.19.20.21.解：（1）二次函数的对称轴是x=﹣1，则B的坐标是（1，0），当△OAB是等腰直角三角形时，OA=OB=1，则A的坐标是（0，1）或（0，﹣1）．抛物线y=x2﹣2x+n﹣1与y轴交于点A的坐标是（0，n﹣1）．则n﹣1=1或n﹣1=﹣1，解得n=2或n=0；（2）①当抛物线的顶点在x轴上时，△=（﹣2）2﹣4（n﹣1）=0，解得：n=2；②当抛物线的顶点在x轴下方时，如图，由图可知当x=0时，y＜0；当x=3时，y≥0，即，解得：﹣2≤n＜1，综上，﹣2≤n＜1或n=2．22.23.解：（1）根据表格中数据可得出：y与x是一次函数关系，设解析式为：y=ax+b，则，解得：，故函数解析式为：y=﹣0.1x+8；（2）根据题意得出：z=（x﹣20）y﹣40=（x﹣20）（﹣0.1x+8）﹣40=﹣0.1x2+10x﹣200，=﹣0.1（x2﹣100x）﹣200=﹣0.1 [（x﹣50）2﹣2500]﹣200=﹣0.1（x﹣50）2+50，故销售价格定为50元/个时净得利润最大，最大值是50万元．（3）当公司要求净得利润为40万元时，即﹣0.1（x﹣50）2+50=40，解得：x1=40，x2=60．如上图，通过观察函数y=﹣0.1（x﹣50）2+50的图象，可知按照公司要求使净得利润不低于40万元，则销售价格的取值范围为：40≤x≤60．而y与x的函数关系式为：y=﹣0.1x+8，y随x的增大而减少，因此，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为40元/个．24.25.解：。

人教版安徽省芜湖市2019年中考数学模拟培优卷

6．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，如果 sinA= ，那么 sinB 的值是（）
A．
B． C． D．
7．如图，在四边形 ABCD 中，如果∠ADC=∠BAC，那么下列条件中不能判定△ADC 和△BAC 相似的是（）
A．∠DAC=∠ABC
B．AC 是∠BCD 的平分线
C．AC2=BC•CD
D． =
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A．① B．④ C．①或③ D．②或④
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
11．（5 分）在今年的春节黄金周中，全国零售和餐饮企业实现销售额约 9260 亿元，同比增长 10.2%，这里的数字
“9260 亿”用科学记数法表示为
．
12．（5 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，AH⊥BC，垂足为点 H，如果 AH=BC，那么 tan∠BAH 的值是
人教版安徽省芜湖市 2019 年中考数学模拟培优卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）每小题都给出代号为 A，B，C，D 的四个选项，其中只有一个是正确的． 1．如图，是一个由 4 个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（）
A．
B． C． D．
2．一元二次方程 x2﹣8x﹣2=0，配方的结果是（） A．（x+4）2=18 B．（x+4）2=14 C．（x﹣4）2=18 D．（x﹣4）2=14
3．实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）
A．a＞﹣2 B．a＜﹣3 C．a＞﹣b D．a＜﹣b 4．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚 AC 和 BD 交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长
或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度 3 的地方（即同时使 OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使 A，B 两个尖端分别在线段 a 的两个端点上，当 CD=1.8cm 时，则 AB 的长为（）

2019学年度九年级数学二次函数综合培优训练题(附答案详解)

2019学年度九年级数学二次函数综合培优训练题1．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象关于y 轴对称且交y 轴负半轴于点C ，与x 轴交于点A 、B ，已知AB=6，OC=4，⊙C P 为⊙C 上一动点．（1）求出二次函数的解析式；（2）是否存在点P ，使得△PBC 为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接PB ，若E 为PB 的中点，连接OE ，则OE 的最大值是多少？2．已知：二次函数y=ax 2+2ax ﹣4（a≠0）的图象与x 轴交于点A ，B （A 点在B 点的左侧），与y 轴交于点C ，△ABC 的面积为12．（1）求二次函数图象的对称轴与它的解析式；（2）点D 在y 轴上，当以A 、O 、D 为顶点的三角形与△BOC 相似时，求点D 的坐标；（3）点D 的坐标为（﹣2，1），点P 在二次函数图象上，∠ADP 为锐角，且tan ∠ADP=2，求点P 的横坐标．3．已知，如图1，抛物线y=ax 2+bx+3与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点A ，且AO=CO ，BC=4．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，点P 是抛物线第一象限上一点，连接PB 交y 轴于点Q ，设点P 的横坐标为t ，线段OQ 长为d ，求d 与t 之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，过点Q 作直线l ⊥y 轴，在l 上取一点M （点M 在第二象限），连接AM，使AM=PQ，连接CP并延长CP交y轴于点K，过点P作PN⊥l于点N，连接KN、CN、CM．若∠MCN+∠NKQ=45°时，求t值．4．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的一边AB在x轴上，∠ABC=90°，点C（4，8）在第一象限内，AC与y轴交于点E，抛物线y=+bx+c经过A、B两点，与y轴交于点D（0，﹣6）．（1）请直接写出抛物线的表达式；（2）求ED的长；（3）点P是x轴下方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m，△PAC的面积为S，试求出S 与m的函数关系式；（4）若点M是x轴上一点（不与点A重合），抛物线上是否存在点N，使∠CAN=∠MAN．若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图①已知抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴的交点为E．（1）抛物线的对称轴与x轴的交点E坐标为_____，点A的坐标为_____；（2）若以E为圆心的圆与y轴和直线BC都相切，试求出抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，如图②Q（m，0）是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC 交于点M ，与抛物线交于点N ，连结CN ，将△CMN 沿CN 翻折，M 的对应点为M′．在图②中探究：是否存在点Q ，使得M′恰好落在y 轴上？若存在，请求出Q 的坐标；若不存在，请说明理由．答案：1．（1）二次函数解析式为24-49y x =；（2）点P 的坐标为（﹣1，﹣2）或（115，﹣225）﹣4 ﹣4）；（3）OE （1）首先确定A 、B 、C 的坐标，再运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）①当PB 与⊙相切时，△PBC 为直角三角形，如图1，连接BC ，根据勾股定理得到BC=5，BP 2=2，过P 2作P 2E ⊥x 轴于E ，P 2F ⊥y 轴于F ，根据相似三角形的性质得到222212P F CP P E BP ==，设OC=P 2E=2x ，FP 2=OE=x ，得到BE=3-x ，CF=2x-4，于是得到FP 2=115，EP 2=225，求得P 2（115，-225），过P 1作P 1G ⊥x 轴于G ，P 1H ⊥y 轴于H ，同理求得P 1（-1，-2），②当BC ⊥PC 时，△PBC 为直角三角形，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；（3）如图中，连接AP ，根据OB=OA ，BE=EP ，推出OE=12AP ，可知当AP 最大时，OE 的值最大，解：（1）∵AB=6，OC=4且图象关于y 轴对称∴A （-3，0），B （3，0），C （0，﹣4）设二次函数解析式为2-4y ax =将A （-3，0）代入得49a =∴二次函数解析式为24-49y x = （2）存在点P ，使得△PBC 为直角三角形.①当PB 与⊙相切时，△PBC 为直角三角形，如图，连接BC.∵OB=3．OC=4，∴BC=5∵CP 2⊥BP 2，CP 2∴BP 2P 2作P 2E ⊥x 轴于E ，P 2F ⊥y 轴于F则△CP 2F ∽△BP 2E ，四边形OCP 2B 是矩形∴222212P F CP P E BP ==，设OF=P 2E=2x ，CP 2=OE=x∴BE=3﹣x ，CF=2x ﹣4 ∴324BE xCF x -=-=2∴x=115，2x=225，即FP 2=115，EP 2=225∴P 2（115，﹣225）过P 1作P 1G ⊥x 轴于G ，P 1H ⊥y 轴于H.同理求得P 1（﹣1，﹣2）②当BC ⊥PC 时，△PBC 为直角三角形过P 4作P 4H ⊥y 轴于H则△BOC ∽△CHP 4∴44P H P CCH OB OC BC ==＝∴CH=3，P 4H=3∴P 4﹣4）同理P 3﹣4）综上所述：点P 的坐标为（﹣1，﹣2）或（115，﹣225﹣4）或（﹣﹣4）. （3）如图，连接AP∵OB=OA ，BE=EP∴OE 为△ABP 的中位线 ∴12OE AP = ∴当AP 最大时，OE 最大∵当P 在AC 的延长线上时，AP 最大，最大值为5∴OE2．（1）y=x 2+x ﹣4；（2）点D 的坐标为（0，2）或（0，﹣2）或（0，8）或（0，﹣8）；（3）P 点的横坐标为﹣2或．根据对称轴坐标公式可求二次函数图象的对称轴；当x =0时，y =−4，可求点C 的坐标为(0,−4)，，根据三角形面积公式可求进一步得到A 点和B 点的坐标分别为(−4,0),(2,0).待定系数法可求二次函数的解析式.则分和两种情况讨论即可.过D作轴于F，分两种情况：①当点P在直线AD的下方时,②当点P在直线AD的上方时.分别求解.解：（1）该二次函数的对称轴是：直线当x=0时，y=−4，∴点C的坐标为(0,−4)，∴连接∵又∵点A，B关于直线x=−1对称，∴A点和B点的坐标分别为(−4,0),(2,0).∴4a+4a−4=0,解得∴所求二次函数的解析式为（2）如图1，∵且分两种情况：①当时，∴即或②当时，∴即或综上所述，点D的坐标为或或或；（3）如图2，过D作轴于F，分两种情况：①当点P在直线AD的下方时，如图所示:由(1)得点A(−4,0),点D(−2,1)，∴DF=1，AF=2.在Rt△ADF中,得延长DF与抛物线交于点,则点为所求,∴点的坐标为(−2,−4).②当点P在直线AD的上方时,延长P1A至点G使得AG=AP1，连接DG，作GH⊥x轴于点H，如图所示.可证△GHA≌△P1F A.∴HA=AF,GH=P1F,GA=P1A.又∵A(−4,0),P1(−2,−4)，∴点G的坐标是(−6,4).易得DG的解析式为：在中，∴∴∴∴∴∴设DG 与抛物线的交点为P 2，则P 2点为所求，设代入DG 的解析式中，解得∵P 2 点在第二象限，∴P 2点的横坐标为（舍正）综上，P 点的横坐标为或．3．（1）抛物线解析式为y=14x 2+12x ﹣6；（2）存在．P 点坐标为（0，2）或（0，﹣2）；（3）Q 点的坐标为（3，﹣94）或（﹣3，﹣214）． ()1把()()6066A C -，，，代入26y ax bx =+-求出,a b 即可. ()2分两种情况进行讨论.()3设()211,66642Q x x x x ⎛⎫+--<< ⎪⎝⎭，则13,2M x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，分06x ≤<和06x ≤<两种情况进行讨论.解：（1）把()()6066A C -，，，代入26y ax bx =+-得，36660{ 36666,a b a b --=+-= 解得14{ 1.2a b == ∴抛物线解析式为211642y x x =+-；（2）存在．如图1，当点P 在OB 上，作PH AB ⊥于H ，直线AC 交y 轴于D ，设()0,P t ，设直线AC 的解析式为y mx n =+，把()()6066A C -，，，代入得60{ 66,m n m n -+=+= 解得1{ 23.m n == ∴直线AC 的解析式为132y x =+，当x =0时， 1332y x =+=，则()03D ，，当0x =时， 211642y x x =+-，则()0,6C -， ∵6OA OB ==，∴OAB 为等腰直角三角形，∴45AB OAB =∠=︒，∴PBH 为等腰直角三角形，∴)62PH BH t ==+， ∵4545OAP OAC OAP PAB ∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴PAB OAC ∠=∠，∴Rt Rt PAH DAO ∽， ∴,PH AH OD OA=即()()6622,36t t ++= 解得2t =-，此时P 点坐标为()0,2-，点P 关于x 轴的对称点P ′的坐标为()02，，∵'OAP OAP ∠=∠，∴'45OAP OAC ∠+∠=︒，∴点P '满足条件，综上所述，P 点坐标为()02，或()0,2-；（3）作QM ∥y 轴交直线AC 于点M ，连接OQ ，设()211,66642Q x x x x ⎛⎫+--<< ⎪⎝⎭，则13,2M x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∴2211113692424MQ x x x x ⎛⎫=+-+-=-+ ⎪⎝⎭，当06x ≤<时，如图2，S 四边形,ABQC ABD BDQ QDC S S S =++21111699692224x x ⎛⎫=⨯⨯+⨯⋅+⨯-+ ⎪⎝⎭， 23954,42x x =-++ ()232433,44x =--+ 当x =3时，S 四边形ABQC 的最大值为2434，此时93,4Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，当60x -<<时，如图3，S 四边形AQBC ,CBD BDQ QDA S S S =++()21111699692224x x ⎛⎫=⨯⨯+⨯⋅-+⨯-+ ⎪⎝⎭， 23954,42x x =--+ ()232433,44x =-++ 当x =-3时，S 四边形AQBC 的最大值为2434，此时213,4Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴Q点的坐标为93,4⎛⎫-⎪⎝⎭或213,4⎛⎫--⎪⎝⎭．4．（1）y=﹣x2+2x+3（2）d=﹣t+3（0＜t＜3）（3（1）先令x=0代入抛物线的解析式中求得与y轴交点A的坐标，根据OA=OC可得C的坐标，从而得B的坐标，利用待定系数法求抛物线解析式；（2）如图2，设P（t，-t2+2t+3）（0<t<3），证明△BOQ∽△BGP，列比例式可得结论；（3）如图3，作辅助线，构建全等三角形和等腰直角三角形，先得QN=OG=AQ=t，则△AQN是等腰直角三角形，得，由PG∥OK，得PG CGOK OC=,，求得AK=3t，证明△NGC是等腰直角三角形，及△AKN∽△NMC，则AK ANOK NC=，代入可得t的值，并根据（2）中的点P只在第一象限进行取舍．解：（1）如图1，当x=0时，y=3，∴A（0，3），∴OA=OC=3，∵BC=4，∴OB=1，∴B（﹣1，0），C（3，0），把B（﹣1，0），C（3，0）代入抛物线y=ax2+bx+3中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）如图2，设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），过P作PG⊥x轴于G，∵OQ∥PG，∴△BOQ∽△BGP，∴，∴，∴d==﹣t+3（0＜t＜3）；（3）如图3，连接AN，延长PN交x轴于G，由（2）知：OQ=3﹣t，OA=3，∴A Q=OA﹣OQ=3﹣（3﹣t）=t，∴QN=OG=AQ=t，∴△AQN是等腰直角三角形，∴∠QAN=45°，AN=t，∵PG∥OK，∴，∴，OK=3t+3，AK=3t，∵∠QAN=∠NKQ+∠ANK，∴∠NKQ+∠ANK=45°，∵∠MCN+∠NKQ=45°，∴∠ANK=∠MCN，∵NG=CG=3﹣t，∴△NGC是等腰直角三角形，∴NC=（3﹣t），∠GNC=45°，∴∠CNH=∠NCM+∠NMC=45°，∴∠NKQ=∠NMC，∴△AKN∽△NMC，∴，∵AQ=QN=t，AM=PQ，∴Rt△AQM≌△Rt△QNP（HL），∴MQ=PN=﹣t2+2t+3﹣（3﹣t）=﹣t2+3t，∴，t2﹣7t+9=0，t1=＞3，t2=，∵0＜t＜3，∴t1＞3，不符合题意，舍去，∴t=．5．（1）y=；（2）；（3）S=﹣m2+m+26（﹣2＜m＜4）；（4）（，）；（，﹣）（1）先确定B（4，0），再利用待定系数法求出抛物线解析式为y=；（2）先利用待定系数法求得直线AC的解析式为y=x+，则可确定E（0，），然后计算DE的长；（3）如图1，作PQ∥y轴交AC于Q，设P（m，m2-m-6），则Q（m，m+），则PQ=-m2+m+，然后根据三角形面积公式，利用S=S△PAQ+S△PCQ计算即可；（4）如图2，当点M在x的正半轴，AN交BC于F，作FH⊥AC于H，根据角平分线的性质得FH=FB，易得AH=AB=6，再利用∠ACB的余弦可求出CF=5，则F（4，3），接着求出直线AF的解析式为y=x+1，于是通过解方程组得N点坐标为（，）；当点M′在x的负半轴上时，AN′交y轴与G，先在证明∴Rt△OAG∽Rt△BFA，在利用相似比求出OG=4，所以G（0，-4），接下来利用待定系数法求出直线AG的解析式为y=-2x-4，然后解方程组得N′的坐标．解：（1）∵BC⊥x轴，点C（4，8），∴B（4，0），把B（4，0），C（0，-6）代入y=x2+bx+c得，解得，∴抛物线解析式为y=x2-x-6；（2）设直线AC的解析式为y=px+q，把A（-2，0），C（4，8）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y=x+，当x=0时，y=x+=，则E（0，），∴DE=+6=；（3）如图1，作PQ∥y轴交AC于Q，设P（m，m2-m-6），则Q（m，m+），∴PQ=m+-（m2-m-6）=-m2+m+，∴S=S△PAQ+S△PCQ=×6×PQ=-m2+m+26（-2＜m＜4）；（4）如图2，当点M在x的正半轴，AN交BC于F，作FH⊥AC于H，则FH=FB，易得AH=AB=6，∵AC=，∴CH=10-6=4，∵cos∠ACB=，∴CF==5，∴F（4，3），易得直线AF的解析式为y=x+1，解方程组得或，∴N点坐标为（，）；当点M′在x的负半轴上时，AN′交y轴与G，∵∠CAN′=∠M′AN′，∴∠KAM′=∠CAK，而∠CAN=∠MAN，∴∠KAC+∠CAN=90°，而∠MAN+∠AFB=90°，∴∠KAC=∠AFB，而∠KAM′=∠GAO，∴∠GAO=∠AFB，∴Rt△OAG∽Rt△BFA，∴，即，解得OG=4，∴G（0，-4），易得直线AG的解析式为y=-2x-4，解方程组得或，∴N′的坐标为（，-）.7．（1）（，0），（﹣1，0）;（2）y=﹣x2+x+3．（3）存在，点Q坐标为（，0）或（，0）．（1）由抛物线的对称轴为直线求出抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）的对称轴方程，即可求得点E的坐标；在y=ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）令y=0可得关于x的方程ax2﹣3ax﹣4a=0，解方程即可求得点A的坐标；（2）如图1，设⊙E与直线BC相切于点D，连接DE，则DE⊥BC，结合（1）可得DE=OE=，EB=，OC=-4a，在Rt△BDE中由勾股定理可得BD=2，这样由tan∠OBC=即可列出关于a的方程，解方程求得a的值即可得到抛物线的解析式；（3）由折叠的性质和MN∥y轴可得∠MCN=∠M′CN=∠MNC，由此可得CM=MN，由点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3）可得线段BC=5，直线BC的解析式为y=﹣x+3，由此即可得到M、N的坐标分别为（m，﹣m+3）、（m，﹣m2+m+3），作MF⊥OC于F，这样由sin∠BCO=即可解得CM=m，然后分点N在直线BC的上方和下方两种情况用含m的代数式表达出MN的长度，结合MN=CM即可列出关于m的方程，解方程即可求得对应的m的值，从而得到对应的点Q的坐标.解：（1）∵对称轴x=，∴点E坐标（，0），令y=0，则有ax2﹣3ax﹣4a=0，∴x=﹣1或4，∴点A坐标（﹣1，0）．故答案分别为（，0），（﹣1，0）．（2）如图①中，设⊙E与直线BC相切于点D，连接DE，则DE⊥BC，∵DE=OE=，EB=，OC=﹣4a，∴DB=，∵tan∠OBC=，∴，解得a=，∴抛物线解析式为y=．（3）如图②中，由题意∠M′CN=∠NCB，∵MN∥OM′，∴∠M′CN=∠CNM，∴MN=CM，∵点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3），∴直线BC解析式为y=﹣x+3，BC=5，∴M（m，﹣m+3），N（m，﹣m2+m+3），作MF⊥OC于F，∵sin∠BCO=，∴，∴CM=m，①当N在直线BC上方时，﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）=m，解得：m=或0（舍弃），∴Q1（，0）．②当N在直线BC下方时，（﹣m+3）﹣（﹣m2+m+3）=m，解得m=或0（舍弃），∴Q2（，0），综上所述：点Q坐标为（，0）或（，0）．。

2019年江苏省淮安市中考数学全优试题附解析

2019年江苏省淮安市中考数学全优试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．下列说法错误的是（）A．太阳光所形成的投影为平行投影B．在一天的不同时刻，同一棵树所形成的影子长度不可能一样C．在一天中，不论太阳怎样变化，两棵相邻平行树的影子都是平行的D．影子的长短不仅和太阳的位置有关，还和物体本身的长度有关2．如图，小红同学要用纸板制作一个高4cm，底面周长是6πcm的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是（）A．12πcm2B．15πcm2C．18πcm2D．24πcm23．若A（-4，y1），B（-3，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x-5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y24．已知k≠0，在同一坐标系中函数(1)y k x=+与kyx=的图象大致是（）A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC的大小是（）A．40°B．45°C．50°D．60°6．已知a，b，C是同一平面内三条直线，下列命题中，属于假命题的是（）A．若a⊥c，b⊥c，则a⊥bB．若a∥b，b⊥c，则a⊥cC．若a⊥c，b⊥c，则a∥bD．若a⊥c，b∥a，则b⊥c7．已知一个三角形的周长为l5 cm，且其中两边长都等于第三边的2倍，那么这个三角形的最短边为（）A．1cm B．2cm C．3 cm D．4 cm8．下列说法中，错误的是（）A．同旁内角互补，两直线平行 B．两直线平行，内错角相等C ．对顶角相等D ．同位角相等9．在多项式222x y +，22x y −，22x y −+，22x y −−中，能用平方差公式分解的是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10．如图是用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图，则说明 OC 平分∠AOB 的依据是（） A ． SAS B ．SSS C ．ASA D ． AAS11．下列各式与x y x y −+相等的是（） A ．55x y x y −+++ B ． 22x y x y−+ C ．222()x y x y −−（x y ≠） D ．2222x y x y −+ 12．计算：53x x ÷=（） A ．2xB ．53x C ．8x D ．1 13．如图，从A 到B 有①、②、③三条路可以走，每条路长分别为l 、m 、n ，则l 、m 、n 的大小关系是（）A ．l n m >>B ．l m n =>C ．m n l >>D ．l m n >>二、填空题14．两名同学玩“石头、剪刀、布”的游戏，如果两人都是等可能性地出石头、剪刀、布三个策略，那么一个回合就能决胜负的概率是．15．将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，写出图中所有相似三角形： (不含全等）．16．二次函数2y ax bx c =++图象如图所示，则点2(4)b A b ac a−−，在第象限． 17．□ABCD 中，∠A=80°，则∠D= , ∠B= ．18．某中学购买一种数学参考书，每本书售价12元，该校有学生x 人，需总金额y 元，则y=12x ，这三个量中，常量为，变量为．19．如图， ∠BAM= 75°，∠BGE= 75°，∠CHG=105°，可推出AM ∥ EF ，AB ∥CD ，试完成下列填空．解：∵ ∠BAM = 75°，∠BGE= 75°（），∴∠BAM=∠BGE ， ∴ ∥ ( ）．又∵∠AGH=∠BGE （），∴∠AGH=75°，∴∠AGH+∠CHG=75°+105°=l80°，∴ ∥ ( ）．20．如图，AE=AD ，请你添加一个条件： ,使△ABE ≌△ACD (图形中不再增加其他字母).21．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，角平分线 AD 、BE 交于点F ，则∠AFB= .22．如图，已知ΔABC ≌ΔADE ，则图中与∠BAD 相等的角是．23．72−的倒数是_________． 72− 三、解答题24．如图所示，是水库大坝的一个横截面梯形 ABCD ，AD ∥BC ，其中坝高为6 m,AD=8 m,CD=10 m, BC= 22 m, 问:(1)背水面 AB 的坡角是多少度？(2)AB 与 CD 哪个的坡度大？25．将图中的点(-3，1)、(-1，3)、(-1，5)、 (1，5)、(1，3)、(3，1)、，(3，-3)、(-3，-3)作如下变化：(1）纵坐标不变，横坐标减2；(2）横坐标不变，纵坐标乘以-l ．画出变化后的图案，并说明变化后的图案与原图案的关系．26．如图，在ABC △中，7050A B CD ∠=∠=，，平分ACB ∠．求∠ADC 的度数．27．已知分式2134x x +−，则： (1)当 x 取什么数时，分式无意义？(2)当 x 取什么数时，分式的值是零？(3)当1x =时，分式的值是多少？B CA D28．如图，点C 是直线AB 上的一点，已知∠BCD=30°，∠ACE=2∠BCD ，请判别断CD 与CE 的位置关系，并说明理由．29．已知1a b +=，2ab =−，求代数式(2103)3(2)2(3)ab a b ab a b a b ab −++−−−+++ 的值.30．去括号，并合并同类项：(1）2(3)(72)x y y −−−−+(2)23(21)2(32)a a −−−++【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．B2．B3．B4．D5．B6．A7．C8．D9．B10．B11．C12．A13．B二、填空题14．2315． △ABE ∽△DAE ∽△DCA16．四17．100°，l00°18．12；x ，y19．已知；m ；EF ；同位角相等，两直线平行；对顶角相等；AB ；CD ；同旁内角互补，两直线平行20．答案不唯一，如AB =AC21．135°22．∠CAE23．三、解答题24．(1)过A 点作 AF ⊥BC 于 F ，过D 点作 DE ⊥BC 于E ，可知 EF= 8 m ，AF=6m. ∵ CD= 10 m, DE= 6 m,∴ CE= 8 m, BF= 6 m,∴AF=BF,∴∠B=45°(2)AB 的坡度1AF BF =,CD 的坡度=34DE CE =,∴AB 的坡度大．25．画图略 26．80°27． (1)43x =；(2)12x =−；3x = 28．CD ⊥CE 29．315()-33ab a b −++=30．(1)27x y −++ (2)129a +。

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2019级初三数学中考培优试题一．解答题：1．如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴的负半轴上，且OD=10，OB=8，将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合（1）直接写出点A、B的坐标：A（_________，_________）、B（_________，_________）；（2）若抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，则这条抛物线的解析式是_________；（3）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N，问是否存在点M，使△AMN与△ACD相似？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，说明理由；（4）当≤x≤7时，在抛物线上存在点P，使△ABP得面积最大，求△ABP面积的最大值．2．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D．运动时间为t秒．（1）当点B与点D重合时，求t的值；（2）设△BCD的面积为S，当t为何值时，S=？（3）连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线y=ax2﹣10ax的顶点在△ABM内部（不包括边），求a的取值范围．3．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是_________三角形；（2）若抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y=﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．4．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3交y轴于点C，直线l为抛物线的对称轴，点P在第三象限且为抛物线的顶点．P到x轴的距离为，到y轴的距离为1．点C关于直线l的对称点为A，连接AC交直线l于B．（1）求抛物线的表达式；（2）直线y=x+m与抛物线在第一象限内交于点D，与y轴交于点F，连接BD交y轴于点E，且DE：BE=4：1．求直线y=x+m的表达式；（3）若N为平面直角坐标系内的点，在直线y=x+m上是否存在点M，使得以点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，三个交点的坐标分别为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC面积的最大值和此时P点的坐标；（3）若P为抛物线在第一象限上的一个动点，过点P作PQ∥AC交x轴于点Q．当点P的坐标为_________时，四边形PQAC是平行四边形；当点P的坐标为_________时，四边形PQAC是等腰梯形（直接写出结果，不写求解过程）．6．如图，已知抛物线y=x2﹣（b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为_________，点C的坐标为_________（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．7．已知直线y=2x﹣5与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．（1）如图，当点M与点A重合时，求：①抛物线的解析式；②点N的坐标和线段MN 的长；（2）抛物线y=﹣x2+bx+c在直线AB上平移，是否存在点M，使得△OMN与△AOB相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（﹣3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（﹣2，﹣3）．（1）求抛物线的解析式和直线BD解析式；（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由．9．如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx﹣3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B点重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求a、b及sin∠ACP的值；（2）设点P的横坐标为m．①用含有m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，直接写出m的值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．11．如图，抛物线的对称轴是直线x=2，顶点A的纵坐标为1，点B（4，0）在此抛物线上．（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线对称轴与x轴交点为C，点D（x，y）为抛物线上一动点，过点D作直线y=2的垂线，垂足为E．①用含y的代数式表示CD2，并猜想CD2与DE2之间的数量关系，请给出证明；②在此抛物线上是否存在点D，使∠EDC=120°？如果存在，请直接写出D点坐标；如果不存在，请说明理由．12．如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m 的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．13．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y 轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD 交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．14．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．15．阅读下列材料：我们知道，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，而y=kx+b经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：Ax+Bx+C=0（A、B、C是常数，且A、B不同时为0）．如图1，点P（m，n）到直线l：Ax+By+C=0的距离（d）计算公式是：d=．例：求点P（1，2）到直线y=x﹣的距离d时，先将y=化为5x﹣12y﹣2=0，再由上述距离公式求得d==．解答下列问题：如图2，已知直线y=﹣与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=x2﹣4x+5上的一点M（3，2）．（1）求点M到直线AB的距离．（2）抛物线上是否存在点P，使得△PAB的面积最小？若存在，求出点P的坐标及△PAB 面积的最小值；若不存在，请说明理由．16．如图，已知二次函数的图象过点A（﹣4，3），B（4，4）．（1）求二次函数的解析式：（2）求证：△ACB是直角三角形；（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图1，抛物线y=mx2﹣11mx+24m （m＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C 的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且∠BAC=90°．（1）填空：OB=_________，OC=_________；（2）连接OA，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；（3）如图2，设垂直于x轴的直线l：x=n与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．18．如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上．直线CB的表达式为y=﹣x+，点A、D的坐标分别为（﹣4，0），（0，4）．动点P自A点出发，在AB上匀速运行．动点Q自点B出发，在折线BCD上匀速运行，速度均为每秒1个单位．当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动．设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为s（不能构成△OPQ的动点除外）．（1）求出点B、C的坐标；（2）求s随t变化的函数关系式；（3）当t为何值时s有最大值？并求出最大值．19．如图，已知二次函数y=ax2+2x+c（a＞0）图象的顶点M在反比例函数上，且与x 轴交于AB两点．（1）若二次函数的对称轴为，试求a，c的值；（2）在（1）的条件下求AB的长；（3）若二次函数的对称轴与x轴的交点为N，当NO+MN取最小值时，试求二次函数的解析式．20．如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m，0），其中m＞0．（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；（3）如图（2），设抛物线y=a（x﹣m﹣6）2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM=90°，求a、h、m的值．21．如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线y=x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＞0）．（1）求b的值．（2）求x1•x2的值．（3）分别过M，N作直线l：y=﹣1的垂线，垂足分别是M1和N1．判断△M1FN1的形状，并证明你的结论．（4）对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m=常数，使m与以MN为直径的圆相切？如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．22．如图，抛物线y=ax2+bx（a＞0）与双曲线y=相交于点A，B．已知点B的坐标为（﹣2，﹣2），点A在第一象限内，且tan∠AOx=4．过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC的面积；（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积？若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由．23．如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）．若⊙P过A、B、E三点（圆心在x轴上），抛物线y=经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1．（1）求B点坐标；（2）求证：ME是⊙P的切线；（3）设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此对称轴上不与N点重合的一动点，①求△ACQ周长的最小值；②若FQ=t，S△ACQ=S，直接写出S与t之间的函数关系式．24．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为﹣8．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG．随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．。

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