福州中考数学压轴题专题复习—一元二次方程的综合

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．阅读下列材料

计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t，则：

原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t2＝

在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：

（1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（+）

（2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4

（3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3

【答案】（1）；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2

【解析】

【分析】

（1）仿照材料内容，令+＝t代入原式计算．

（2）观察式子找相同部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最后要记得把t换为a．

（3）观察式子找相同部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到关于t的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解．

【详解】

（1）令+＝t，则：

原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝

（2）令a2﹣5a＝t，则：

原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2

（3）令x2+4x＝t，则原方程转化为：

（t+1）（t+3）＝3

t2+4t+3＝3

t（t+4）＝0

∴t1＝0，t2＝﹣4

当x2+4x＝0时，

x（x+4）＝0

解得：x 1＝0，x 2＝﹣4

当x 2+4x ＝﹣4时，

x 2+4x +4＝0

（x +2）2＝0

解得：x 3＝x 4＝﹣2

【点睛】

本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算．

2．解方程：(x+1)(x ﹣3)=﹣1．

【答案】x 1x 2=1【解析】

试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.

试题解析：整理得：x 2﹣2x=2，配方得：x 2﹣2x+1=3，即（x ﹣1）2=3，

解得：x 1，x 2=1

3．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()22

3220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？

【答案】存在，n=0.

【解析】

【分析】

在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数.

【详解】

若存在n 满足题意.

设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324

n +-

，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0， ①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-

12

，但1-n=32不是整数，舍. ②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14

(舍)， 综上所述，n=0.

4．关于x 的一元二次方程()22

210x k x k +-+=有两个不等实根1x ，2x . （1）求实数k 的取值范围；

（2）若方程两实根1x ，2x 满足121210x x x x ++-=，求k 的值.

【答案】(1) k＜1

4

;(2) k=0.

【解析】

【分析】

（1）根据一元二次方程的根的判别式得出△＞0，求出不等式的解集即可；

（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=-（2k-1）=1-2k，x1•x2=k2，代入x1+x2+x1x2-1=0，即可求出k值．

【详解】

解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k-1）x+k2=0有两个不等实根x1，x2，

∴△=（2k-1）2-4×1×k2=-4k+1＞0，

解得：k＜1

4

，

即实数k的取值范围是k＜1

4

；

（2）由根与系数的关系得：x1+x2=-（2k-1）=1-2k，x1•x2=k2，

∵x1+x2+x1x2-1=0，

∴1-2k+k2-1=0，

∴k2-2k=0

∴k=0或2，

∵由（1）知当k=2方程没有实数根，

∴k=2不合题意，舍去，

∴k=0．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意用根与系数的关系解题时要考虑根的判别式，以防错解．

5．校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．

（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．

【答案】（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．

【解析】

【分析】

（1）假设能，设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（32﹣2x ）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.

（2）假设能，设AB 的长度为y 米，则BC 的长度为（36﹣2y ）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.

【详解】

（1）假设能，设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（32﹣2x ）米，

根据题意得：x(32﹣2x)=126，

解得：x 1=7，x 2=9，

∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，

∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．

（2）假设能，设AB 的长度为y 米，则BC 的长度为（36﹣2y ）米，

根据题意得：y(36﹣2y)=170，

整理得：y 2﹣18y+85=0．

∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0，

∴该方程无解，

∴假设不成立，即若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积不能达到170m 2．

6．已知关于x 的方程（x-3）(x-2)-p 2=0.

（1）求证：无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

（2）设方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22=3 x 1x 2，求实数p 的值.

【答案】（1）详见解析；（2）p=±1.

【解析】

【分析】

（1）先把方程化成一般形式，再计算根的判别式，判定△＞0，即可得到总有两个不相等的实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得两根和与两根积，再把

2212123x x x x +=变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p 的一元二次方程，解方程即可求解．

【详解】

证明：（1）（x ﹣3）（x ﹣2）﹣p 2=0，

x 2﹣5x+6﹣p 2=0，

△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p 2）=25﹣24+4p 2=1+4p 2，

∵无论p 取何值时，总有4p 2≥0，

∴1+4p 2＞0，

∴无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

（2）x 1+x 2=5，x 1x 2=6﹣p 2，

∵2212

123x x x x +=， ∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=3x 1x 2，

∴52=5（6﹣p 2），

∴p=±1．