第十章 第1讲 椭 圆

x2 y2 4． (2012· 扬州调研一)已知椭圆 E：2＋ 2＝1(a>b>0)过点 P(3,1)， a b → → 其左、右焦点分别为 F1，F2，且F1P· 2P＝－6，则椭圆 E F 的离心率是________． 9 1 解析 由题意，知 2＋ 2＝1，设椭圆左、右焦点为 F1(－ a b
x2 y2 b2＝a2－c2＝16－4＝12.所以椭圆方程为 ＋ ＝1. 16 12
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(2)
因为 PF1>PF2，且△PF1F2 是直角三角形，所以当
∠PF2F1＝90° 时，由椭圆定义与勾股定理，得
PF1＋PF2＝2a＝8， 2 PF2＝PF2＋F1F2＝PF2＋16. 1 2 2
点，定直线l叫做焦点F相应的准线，根据椭圆的对称性，椭 圆有两个焦点和两条准线．
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2．椭圆的标准方程和几何性质
x2 y2 ＋ ＝1(a＞b＞0) a2 b2 y2 x2 ＋ ＝1(a＞b＞0) a2 b2
标准方程
图形
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范围 对称性 顶点 性 质 轴 焦距 离心率 a，b，c 的关系 准线
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【助学· 微博】 一个复习指导 椭圆是圆锥曲线的重要内容．主要考查运用直接法、定义
法、待定系数法求椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性
质、椭圆定义的综合运用以及椭圆中各量的计算，尤其求 椭圆的离心率或离心率的范围是高考的热点，题型有填空
题、解答题，属中档题．
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解析 答案
依椭圆的定义知：PF1＋PF2＝2×5＝10. 10
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5 3．已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 ， 5
且过点 P－5，4，则椭圆的方程为______________．
解析
x2 y2 设椭圆的方程为 2＋ 2＝1(a>b>0)，将点(－5,4)代入 a b
x2 y2 5．已知 F1、F2 是椭圆 C： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P a b → → 为椭圆 C 上的一点，且PF1⊥PF2.若△PF1F2 的面积为 9， 则 b＝________.
解析
→ → 由题意知 PF1＋PF2＝2a，PF1⊥PF2，
∴(PF1)2＋(PF2)2＝(F1F2)2＝4c2， ∴(PF1＋PF2)2－2PF1· 2＝4c2， PF ∴2PF1· 2＝4a2－4c2＝4b2.∴PF1· 2＝2b2， PF PF 1 1 ∴S△PF1F2＝ PF1· 2＝ ×2b2＝b2＝9.∴b＝3. PF 2 2
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考点自测
x2 y2 1．(2011· 新课标全国卷改编)椭圆 ＋ ＝1 的离心率 e＝________. 16 8
解析
由题意知：a2＝16，b2＝8，c2＝a2－b2＝16－8＝8.
c 2 2 2 ∴c＝2 2，∴e＝ ＝ ＝ . a 4 2
答案 2 2
x2 y2 2．设 P 是椭圆 ＋ ＝1 上的点，若 F1、F2 是椭圆的两个焦点， 25 16 则 PF1＋PF2＝________.
解 x2 y2 (1)由题意，设所求椭圆的方程为 ＋ ＝t(t＞0)， 4 3
2 22 － 3 ∵椭圆过点(2，－ 3)，∴t＝ ＋ ＝2， 4 3
x2 y2 故所求椭圆标准方程为 ＋ ＝1. 8 6
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(2)设所求的椭圆方程为 x2 y2 y2 x2 ＋ ＝1(a＞b＞0)或 2＋ 2＝1(a＞b＞0)， a2 b2 a b
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x2 y2 【训练 2】 (1)求与椭圆 ＋ ＝1 有相同的离心率，焦点在 x 4 3 轴，且经过点(2，－ 3)的椭圆方程． (2)已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且 P 到两焦 点的距离分别为 5、3，过 P 且与长轴垂直的直线恰过椭 圆的一个焦点，求椭圆的方程．
又 PF1>PF2，解得 PF1＝5，PF2＝3， PF1 5 所以 ＝ .当∠F1PF2＝90° 时， PF2 3
PF ＋PF ＝8， 1 2 由 2 PF1＋PF2＝F1F2＝16， 2 2
且 PF1>PF2， PF1 5 ＝ . PF2 3
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2 x ＋y2＝1， 于是 A，B 两点的坐标满足方程组 4 y＝kx＋2.
由方程消去 y 并整理，得 (1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0. 16k2－4 2－8k2 4k 由－2x1＝ ，得 x1＝ ，从而 y1＝ 2 2 2. 1＋4k 1＋4k 1＋4k 设线段 AB 的中点为 M， 则M
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[方法总结] (1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭 圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用 正弦定理、余弦定理、PF1＋PF2＝2a，得到a、c的关系．
(2)对△F1PF2的处理方法
定义式的平方 余弦定理 面积公式
2 2 PF1＋PF2 ＝2a 4c2＝PF2＋PF2－2PF1· 2cos θ PF 1 2 ⇔ 1 PF S△＝2PF1· 2sin θ
3 1， . 2
(1)求椭圆的标准方程； (2)若 P 是椭圆上任意一点，F1、F2 是椭圆的左、 右焦点． ①求 PF1· 2 的最大值； PF → → ②求PF1· 2的取值范围． PF
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[方法总结] 运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立 关于a、b的方程组，先定型、再结合椭圆性质、已知条件 定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需
要，椭圆方程可设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，
由题目所给条件求出m、n即可．
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－a≤x≤a －b≤x≤b －b≤y≤b －a≤y≤a 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b,0)，B2(b,0) 2a 2b 长轴 A1A2 的长为___；短轴 B1B2 的长为____ 2c F1F2＝____ c e＝ ∈(0,1) a a2－b2 c2＝________ a2 a2 ± ± x＝_____ y＝_____ c c
→ → c,0)，F2(c,0)，∴F1P＝(3＋c,1)，F2P＝(3－c,1)，∴9－c2 9 1 ＋1＝－6，∴c ＝16，即 a －b ＝16，又 2＋ 2＝1，∴a2 a b
2 2 2
4 2 ＝18，b2＝2，相应离心率大小为 e＝ ＝ 2. 3 2 3 2 答案 2 3
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－8k2 2k 点的坐标为 ， . 1＋4k2 1＋4k2
以下分两种情况：
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①当 k＝0 时， B 的坐标为(2,0)， 点 线段 AB 的垂直平分线为 y → → 轴，于是QA＝(－2，－y0)，QB＝(2，－y0)． → → 由QA· ＝4，得 y0＝± 2. QB 2 ②当 k≠0 时，线段 AB 的垂直平分线方程为 8k2 2k 1 y－ ＝－ x＋ 2. 2 k 1＋4k 1＋4k 6k 令 x＝0，解得 y0＝－ 2. 1＋4k → → 由QA＝(－2，－y0)，QB＝(x1，y1－y0)，
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解
c 3 (1)由 e＝ ＝ ，得 3a2＝4c2，再由 c2＝a2－b2， a＝2b， 得 a 2
1 由题意可知 ×2a×2b＝4，即 ab＝2. 2
a＝2b， 解方程组 ab＝2，
得 a＝2，b＝1，
x2 2 所以椭圆的方程为 ＋y ＝1. 4 (2)由(1)知 A(－2,0)，且直线 l 的斜率必存在． 设 B 点的坐标为(x1，y1)，直线 l 的斜率为 k， 则 l 的方程为 y＝k(x＋2)．
第1讲 椭
圆
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考点梳理
1．椭圆的定义 (1)第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于 定点 常数 ____(大于|F F |)的点的轨迹叫做椭圆，这两个_____叫做椭圆
1 2
焦点 的焦点，两个____的距离叫做焦距． (2)第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比 e 是常数_(0<e<1)的动点的轨迹是椭圆，定点F叫做椭圆的焦
r2＋r2－4c2 r1＋r22－2r1r2－4c2 a2 a2 1 2 cos θ＝ ＝ ＝ －1≥ －1＝0， 2r1r2 2r1r2 r1r2 r1＋r22 2 当且仅当 r1＝r2 时，cos θ＝0，所以
π θ∈0， . 2
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2 2 25 16 c 5 2 c2 a －b 1 得 2 ＋ 2 ＝1，又离心率 e＝ ＝ ⇒e ＝ 2＝ 2 ＝ ，解 a b a 5 a a 5
x2 y2 之得 a2＝45，b2＝36，故椭圆的方程为 ＋ ＝1. 45 36
x2 y2 答案 ＋ ＝1 45 36
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解
b2 (1)因为 F1(－c,0)，则 xM＝－c，yM＝ ， a
b2 b → → 所以 kOM＝－ ，因为 kAB＝－ ，OM∥AB， ac a b2 b c 2 所以－ ＝－ ，所以 b＝c，故 e＝ ＝ . ac a a 2 (2)设 F1Q＝r1，F2Q＝r2，∠F1QF2＝θ， 所以 r1＋r2＝2a，F1F2＝2c，且由(1)知 a＝ 2b，则
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→ → QA· ＝－2x1－y0(y1－y0) QB －22－8k2 6k 6k 4k ＋ ＝ ＋ 2 2 1＋4k2 1＋4k21＋4k 1＋4k 416k4＋15k2－1 ＝ ＝4，整理得 7k2＝2. 1＋4k22 14 2 14 故 k＝± ，所以 y0＝± . 7 5 2 14 综上，y0＝± 2或 y0＝± 2 . 5
2a＝5＋3， 由已知条件得 2 2 2 2c ＝5 －3 ，
解得 a＝4，c＝2，b2＝12.
x2 y2 y2 x2 故所求椭圆方程为 ＋ ＝1 或 ＋ ＝1. 16 12 16 12
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考向三
考查椭圆的几何性质
1 【例 3】 已知长轴在 x 轴上的椭圆的离心率 e＝ ，且过点 2
答案
3
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考向一
考查椭圆的定义
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x2 y2 【例 1】 已知椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的长、短轴端点分别为 a b A、B，从椭圆上一点 M(在 x 轴上方)向 x 轴作垂线，恰好 → → 通过椭圆的左焦点 F1，AB∥OM. (1)求椭圆的离心率 e； (2)设 Q 是椭圆上任意一点，F1、F2 分别是左、右焦点， 求∠F1QF2 的取值范围．
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1 【训练 1】 已知椭圆的中心在原点，离心率 e＝ ，左焦点为 2 F1(－2,0)． (1)求椭圆的方程； (2)设 P 是椭圆上一点，且点 P 与椭圆的两个焦点 F1、F2 PF1 构成直角三角形，若 PF1>PF2，求 的值． PF2
解
c 2 1 (1)由题意，c＝2， ＝ ＝ ，所以 a＝4， a a 2
得此方程组无解．综上所述，
考向二
求椭圆的标准方程
x2 y2 【例 2】 (2013· 泰州二模)已知椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)的离心率为 a b 3 e＝ ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4. 2 (1)求椭圆的方程； (2)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A，B.已知点 A 的坐标 → → 为(－a,0)， Q(0， 0)在线段 AB 的垂直平分线上， 点 y 且QA· QB ＝4.求 y0 的值．