高中数学第二章圆锥曲线与方程习题课(3)课时作业(含解析)新人教A版选修11

高中数学第二章圆锥曲线与方程习题课（3）课时作业（含解析）

新人教A 版选修11

一、选择题

1．[2014·人大附中月考]以双曲线x 2

16

－y 2

9

＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )

A. y 2

＝16x B. y 2

＝－16x C. y 2＝8x

D. y 2

＝－8x

解析：本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程及其几何性质．因为双曲线

x 216－y 2

9

＝1的右顶点为(4,0)，即抛物线的焦点坐标为(4,0)，所以抛物线的标准方程为y 2

＝16x ，故选A.

答案：A

2．若抛物线y 2

＝2px (p >0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F 的距离的关系是( )

A ．成等差数列

B ．既成等差数列又成等比数列

C ．成等比数列

D ．既不成等比数列也不成等差数列

解析：设三点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)， 则y 2

1＝2px 1，y 2

2＝2px 2，y 2

3＝2px 3， 因为2y 2

2＝y 2

1＋y 2

3，所以x 1＋x 3＝2x 2， 即|P 1F |－p 2＋|P 3F |－p

2＝2⎝ ⎛

⎭⎪⎫

|P 2F |－p 2，

所以|P 1F |＋|P 3F |＝2|P 2F |. 答案：A

3．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2

＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )

A ．y 2

＝±4x B ．y 2

＝±8x C ．y 2＝4x

D ．y 2

＝8x

解析：y 2

＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －a

4，令x

＝0得y ＝－a 2.∴12×|a |4×|a |2

＝4，∴a 2

＝64，∴a ＝±8.

答案：B

4．设直线l 1：y ＝2x ，直线l 2经过点P (2,1)，抛物线C ：y 2

＝4x ，已知l 1、l 2与C 共有三个交点，则满足条件的直线l 2的条数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：∵点P (2,1)在抛物线内部，且直线l 1与抛物线C 相交于A ，B 两点，∴过点P 的直线l 2在过点A 或点B 或与x 轴平行时符合题意．∴满足条件的直线l 2共有3条．

答案：C

5．过抛物线y 2

＝ax (a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若PF 与FQ 的长分别为p 、q ，则1p ＋1

q

等于( )

A ．2a B.

12a

C ．4a

D. 4a

解析：可采用特殊值法，设PQ 过焦点F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 4，0且垂直于x 轴，则|PF |＝p ＝x p ＋a 4＝a 4＋

a

4＝a

2

，

|QF |＝q ＝a 2，∴1p ＋1q ＝2a ＋2a ＝4

a

.

答案：D

6．[2014·河北省衡水中学期中考试]已知抛物线y ＝x 2

－1上一定点B (－1,0)和两个动点P ，Q ，当BP ⊥PQ 时，点Q 的横坐标的取值范围是( )

A. (－∞，－3)∪[1，＋∞)

B. [－3,1]

C. [1，＋∞)

D. (－∞，－3]∪[1，＋∞)

解析：本题主要考查直线垂直的条件和直线与抛物线的位置关系．设P (t ，t 2

－1)，Q (s ，

s 2

－1)，∵BP ⊥PQ ，∴t 2－1t ＋1·s 2－1－t 2－1s －t

＝－1，即t 2

＋(s －1)t －s ＋1＝0，∵t

∈R ，P ，Q 是抛物线上两个不同的点，∴必须有Δ＝(s －1)2＋4(s －1)≥0，即s 2

＋2s －3≥0，解得s ≤－3或s ≥1.∴点Q 的横坐标的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)，故选D.

答案：D 二、填空题

7．抛物线y ＝ax 2

的准线方程为y ＝1，则实数a 的值是__________．

解析：抛物线y ＝ax 2化为x 2

＝1a

y ，

由于其准线方程为y ＝1，故a <0，且|1

4a |＝1，

解得a ＝－1

4.

答案：－1

4

8．[2014·四川省绵阳南山中学月考]抛物线y 2

＝2x 上的两点A 、B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是________．

解析：本题主要考查抛物线的定义和基本性质的应用．抛物线y 2

＝2x 的焦点为F (12，0)，

准线方程为x ＝－12，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AF |＋|BF |＝x 1＋12＋x 2＋1

2

＝5，解得x 1＋

x 2＝4，故线段AB 的中点横坐标为2.故线段AB 的中点到y 轴的距离是2.

答案：2

9．设抛物线y 2

＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝__________.

解析：∵直线AF 的斜率为－3， ∴∠PAF ＝60°. 又|PA |＝|PF |，

∴△PAF 为正三角形，作FM ⊥PA ，则M 为PA 中点，MA ＝p ，∴PA ＝2p .

∴|PF |＝|AP |＝2p ＝8. 答案：8 三、解答题

10．(1)求过点(－p 2，0)(p >0)且与直线x ＝p

2相切的动圆圆心M 的轨迹方程；

(2)平面上动点M 到定点F (0,3)的距离比M 到直线y ＝－1的距离大2，求动点M 满足的方程，并画出相应的草图．

解：(1)根据抛物线的定义知， 圆心M 的轨迹是以点(－p

2，0)为焦点，

直线x ＝p

2为准线的抛物线，

其方程为y 2

＝－2px (p >0)．