第7讲多元函数微分学及其应用II

四 应用

1 几何应用

例42（大连理工）求曲线3

2

,,t z t y t x =-==上与平面42=++z y x 平行的切线方程。 解 曲线上任意一点切线的切向量为)3,2,1(2

t t -，平面的法向量为)1,2,1(，由题设得

0)1,2,1()3,2,1(2=⋅-t t ，

解之得1=t ，或3

1

=

t 。 当1=t 时，切点为)1,1,1(-，切向量为)3,2,1(-，所以切线方程为

1

1

2111-=

-+=-z y x 。 当31=t 时，切点为)271,91,31(-，切向量为)3

1

,32,1(-，所以切线方程为

3

127132911

31-=-+=-z y x ，

即9

127619313-=

-+=-z y x 。 例43（北京科技大学2001）求曲线

⎪⎩⎪⎨⎧=++=++,

1,

22

222y xy x ze y x z

在点)0,1,1(-P 处的切线与法平面方程。

解 记1),,(,2),,(2

2

2

2

-++=-++=y xy x z y x G ze y x z y x F z

，则

10

22)

,()

,(=++=

∂∂P

z

z P

y

x ze e y z y G F ，

同理可得

0)

,(),(,

1)

,(),(=∂∂=∂∂P

P

y x G F x z G F ，

因此，曲线在点)0,1,1(-的切线方程和法平面方程分别为

⎪⎩⎪

⎨⎧=+=-,

0,11

1

1z y x 和0=+y x 。

思考题12（北京科技大学1999）求曲线

⎩⎨

⎧=++=++,

0,

6222z y x z y x 在点)1,2,1(-P 处的切线与法平面方程。

思考题13（四川大学2000）求曲面3=+-xy z e z

在点)0,1,2(处的切平面方程。

例44（武汉水利电力学院）已知平面p nz my lx =++与椭球面122

2222=++c

z b y a x 相切，

证明：2

222222p n c m b l a =++。

证 设已知平面与椭球面的切点为),,(000z y x ，则过该点的切平面方程为

0)()()(020

020020=-+-+-z z c

z y y b y x x a x ， 即

120

2020=++z c

z y b y x a x ，这样它与p nz my lx =++表示同一个平面，因此有0≠p ，且 p n c

z p m b y p l a x ===2

02020,,， 又p nz my lx =++000，从而有

2000000222222)(p n z m y l x p pn z pm y pl x n c m b l a =++=++=++。 例45（浙江理工大学，东北师范大学）证明：若函数),(v u F 有连续的偏导数，则曲面S ：

0),(=--mz ny lz nx F 上任一点的切平面都平行于直线L ：n

z

m y l x ==。

证 曲面0),(=--mz ny lz nx F 上任一点的法向量为

),,(),,(y x y u z y x mF lF nF nF F F F --=，

直线L 的切向量为),,(n m l ，于是

0)(),,(),,(=--++=⋅y x y x z y x mF lF n mnF nlF n m l F F F ，

此说明曲面S 上任一点处的切平面都平行于直线L 。

例46（长沙铁道学院）求过直线

⎩⎨

⎧=-+=-+,

0,

272210z y x z y x 与曲面2732

2

2

=-+z y x 相切的切平面方程。

解 过直线⎩

⎨⎧=-+=-+,0,

272210z y x z y x 的平面方程为

0)(272210=-++--+z y x z y x λ，

其法向量为)2,2,10(λλλ--++。设曲面上的切点为),,(000z y x ，则该点的切平面法向量为),,3(000z y x -，于是有

⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧=-+=+-++++=+=+,273,27)2()2()10(,

223102020200000

00z y x z y x z y x λλλλλλ 解之得

1,1,1,3000-====λz y x ，或 19,17,17,3000-=-=-=-=λz y x ，

故所求的切平面方程为

279=-+z y x ，或 2717179-=-+z y x 。

2 函数的极值与最值

多元函数最值问题较一元函数复杂，难点在于边界曲线上极值的计算。 例47（中国人民大学2000）证明：函数()(

)y

y

ye

x e y x f z -+==cos 1,有无穷多个极

大值，但无极小值．

证 ()

()x e f y

x sin 1-+=，()y y e y x f --=1cos ，令

⎩⎨⎧==,0,

0y

x f f 得稳定点()()1cos ,,-=ππn n y x n n ，Z n ∈．

()

x e f y xx cos 1+-=，()y yy e y x f --=2cos ，x e f y xy sin -=，当n 为偶数时，

022

>=-=∆xy yy xx f f f ，02<-=xx f ，

故f 在()0,2πk 上取极大值，当n 为奇数时

()

01222

<+-=-=∆--e e f f f xy yy xx

此处无极值，故f 为无穷多个极大值无极小值．

例48（北京科技大学2001）求函数92822

2

+--+=y x y x z 在D ：122

2

≤+y x 上的最大值和最小值。

解 22,84-=-=y z x z y x ，令其为零得1,2==y x ，点D ∉)1,2(，故z 在D 上的最大最小值只能在D 的边界122

2

=+y x 上取到。于是问题转化为：求1028+--=y x z 在条件122

2

=+y x 下的最大最小值。

构造Lagrange 乘法函数)12(10282

2

-+-+--=y x y x L λ，求L 的所有偏导数，并令其等于零得

⎪⎩

⎪

⎨⎧=-+=--=--,012,022,04822y x y x λλ 解之得

,31,32==

y x 或 3

1,32-=-=y x ， 代入得4,16min max ==z z 。

思考题14（北京科技大学1998）求函数xy y x y x f 2),(2

2

+-=在有界区域1

2

2

≤+y x 上的最大值和最小值。

例49（华中师大2001）设),(y x f z =在有界闭区域D 上有二阶连续偏导数，且

0,02222

2≠∂∂∂=∂∂+∂∂y x z

y

z x z 。 （1） 证明：),(y x f z =的最大值和最小值只能在D 的边界上取得。

证 由于),(y x f z =在有界闭区域D 上连续，故必存在最大最小值，因此只需证：D 内任意点不可能是极值点，由二元函数极值的充分条件知，只需证：在D 内恒有

0)(2<-xy yy xx f f f 。