三角形中常见辅助线培优专题

合集下载

专题全等三角形常见辅助线做法及典型例题

全等三角形辅助线做法总结图中有角平分线;可向两边作垂线.. 也可将图对折看;对称以后关系现..角平分线平行线;等腰三角形来添.. 角平分线加垂线;三线合一试试看..线段垂直平分线;常向两端把线连.. 要证线段倍与半;延长缩短可试验..三角形中两中点;连接则成中位线.. 三角形中有中线;延长中线等中线..一、截长补短法和;差;倍;分截长法：在长线段上截取与两条线段中的一条相等的一段;证明剩余的线段与另一段相等截取----全等----等量代换补短法：延长其中一短线段使之与长线段相等;再证明延长段与另一短线段相等延长 ----全等----等量代换例如：1;已知;如图;在△ABC 中;∠C ＝2∠B;∠1＝∠2..求证：AB=AC+CD..2;已知：如图;AC ∥BD;AE 和BE 分别平分∠CAB 和∠DBA;CD 过点E ．求证：1AE ⊥BE ； 2AB=AC+BD ．二、图中含有已知线段的两个图形显然不全等或图形不完整时;添加公共边或一其中一个图形为基础;添加线段构建图形..公共边;公共角;对顶角;延长;平行例如：已知：如图;AC 、BD 相交于O 点;且AB ＝DC;AC ＝BD;求证：∠A ＝∠D..三、延长已知边构造三角形例如：如图6：已知AC ＝BD;AD ⊥AC 于A ;BC ⊥BD 于B;求证：AD ＝BC四、遇到角平分线;可自角平分线上的某个点向角的两边作垂线“对折”全等例如：已知;如图;AC 平分∠BAD;CD=CB;AB>AD..求证：∠B+∠ADC=180..五、遇到中线;延长中线;使延长段与原中线等长“旋转”全等例如：1如图;AD 为 △ABC 的中线;求证：AB ＋AC ＞2AD..三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半2;已知：AB=4;AC=2;D 是BC 中点;AD 是整数;求AD..3;如图;已知：AD 是△ABC 的中线;且CD=AB;AE 是△ABD 的中线;求证：AC=2AE.六、遇到垂直平分线;常作垂直平分线上一点到线段两端的连线可逆：遇到两组线段相等;可试着连接垂直平分线上的点例如：在△ABC 中;∠ACB=90;AC=BC;D 为△ABC 外一点;且AD=BD;DE ⊥AC 交AC 的延长线于E;求证：DE=AE+BC..七、遇到等腰三角形;可作底边上的高;或延长加倍法“三线合一”“对折”例如：如图;ΔABC 是等腰直角三角形;∠BAC=90°;BD 平分∠ABC 交AC 于点D;CE 垂直于BD;交BD 的延长线于点E..求证：BD=2CE..八、遇到中点为端点的线段时;延长加倍次线段例如：如图2：AD 为△ABC 的中线;且∠1＝∠2;∠3＝∠4;求证：BE ＋CF ＞EF九、过图形上某点;作特定的平行线“平移”“翻转折叠” 例如：如图;ΔABC 中;AB=AC;E 是AB 上一点;F 是AC 延长线上一点;连EF 交BC 于D; 若EB=CF..求证：DE=DF.. AD BCD CB A 110 图OC A EB D。

三角形培优训练100题集锦(1)

DC 三角形培优训练专题【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

【常见辅助线的作法有以下几种】EF 的位置关系及数量关系．（1）如图①当ABC ∆为直角三角形时，探究：AM 与DE 的位置关系和数量关系；（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．A 5、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC.6、如图，AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD+BC 。

7、如图，已知在△ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且相交于点F 。

请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；（2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

MB16、正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数.17、D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中点，DM ⊥DN,DM,DN 分别交BC,CA 于点E,F 。

ABC 外一点，、AC 上移动时，的周长L 的关系．22、如图2-7-1，△ABC 和△DCE 均是等边三角形，B 、C 、E 三点共线，AE 交CD 于G ，BD 交AC 于F 。

求证：①AE=BD;②CF=CG.23、如图2-7-2，在正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，MN⊥MD，BN 平分∠CBE。

八年级数学全等三角形常用辅助线培优

培优补差（1）——常用辅助线的做法
（一）延长特殊线段
例 1 如图，在ABC ∆中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥，
垂足为D 。

求证：21C ∠=∠+∠。

（二）关于角平分线，常做角两边的垂线
例 2 如图，,AP CP 分别是ABC ∆外角MAC ∠和NCA ∠的平分线，它们交于点P 。

求证：BP 为MBN ∠的平分线。

（三）关于中线，延长中线，构造全等三角形
例 3 如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线。

求证：2AC AE =。

（四）截长补短法：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。

具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。

例 4 如图，在ABC
>，12
∆中，A B A C
∠=∠，P为AD上任意一点。

求证：->-。

AB AC PB PC。

中学数学三角形中常见的辅助线问题经典含答案

中学数学三角形中常见的辅助线问题1 前言1.1 研究背景[1]从1952年教育部颁布第一部《中学数学教学大纲（草案)》将三角形的教学内容分散安排在初一、初二和初三年级，中学数学大纲进行了多次修改，而三角形的教学内容也进行了多次调整。

[2]以2000年颁布的过渡性《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用修订版）》为标志，我国新一轮基础教育课程改革全面启动。

2001年教育部颁布了现行的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中要求培养和增大合情推理能力，所以对初中平面几何图形尤其是三角形中的辅助线应该引起重视。

1.2 研究目的在平面几何三角形的学习过程中，有部分三角形问题看上去很容易解决，但在实际的动手的操作的过程中给人一种“山重水复疑无路”的感觉.然而，如何能够“柳暗花明又一村”，使得解题的思路明确，过程简捷？辅助线对问题的解决起着非常重要的作用，是否能添加正确的辅助线是能否解决问题的关键.本文基于前人对本论题的研究成果，针对如何正确、快捷地添加辅助线，以达到化繁为简的目的。

结合历年中考考试题目总结归纳出常用的六类常用辅助线的方法，并对这些方法进行进一步的分析，体会蕴涵在三角形中的常见辅助线的思想方法，并能举一反三，创造性地运用所学知识。

1.3 研究意义（1）理论意义：进行初中数学三角形的有关辅助线问题的研究，会在一定程度上丰富三角形的教学理论。

（2）实践意义：本研究在丰富的理论支持下，深入三角形的课堂教学研究提出具有实践意义的教学建议，可帮助教师选择正确教学模式，丰富课堂内容，提高课堂教学效率。

2.三角形中的辅助线2.1 倍角化等腰[3]当三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，经常通过转化倍角寻找到等腰三角形。

如图1中，若∠ABC＝2∠C，如果作BD平分∠ABC，则△DBC是等腰三角形，并且△ABD与△CAB相似。

如图2中，若∠ABC＝2∠C，如果延长线CB到D，使BD＝BA，连结AD，则△ADC是等腰三角形，并且△ABD与△CAD相似。

(完整版)直角三角形中的辅助线专题训练

(完整版)直角三角形中的辅助线专题训练1. 问题描述在直角三角形中，辅助线是指在特定位置划出的线段，用于研究和解决三角形相关问题。

该专题训练旨在帮助学生掌握辅助线的使用方法及其在解题过程中的应用。

2. 辅助线的基本概念辅助线可以将直角三角形划分为更小的几何形状，以便更好地理解和分析问题。

常见的辅助线有以下几种：- 中位线：连接直角边的中点和斜边上顶点的线段。

- 高线：从直角顶点引出，垂直于斜边的线段。

- 角平分线：从直角顶点引出，将直角分成两个相等的角的线段。

- 中心连线：将直角三角形的重心、外心、内心和垂心连接起来的线段。

3. 辅助线的应用举例下面通过几个实例来展示辅助线在解题过程中的应用。

示例1：设直角三角形的两个直角边分别为3cm和4cm，利用辅助线求斜边的长度。

解答：我们可以绘制出中位线，将直角三角形划分为两个相似三角形，然后利用相似三角形的性质求解。

假设斜边的长度为x，则根据相似三角形的性质，有3/x = x/4，从而得到x的值为6cm。

示例2：设直角三角形的斜边长度为10cm，高线的长度为6cm，求直角边的长度。

解答：通过利用中心连线和角平分线，我们可以找到直角三角形的重心和内心，并利用性质辅助求解。

连接内心和直角边上底边中点的连线，将直角三角形划分为两个全等的直角三角形。

根据全等三角形的性质，直角边的长度为3cm。

4. 总结辅助线在直角三角形的训练中起着重要的作用。

通过合理地运用辅助线，我们可以更加深入地理解和解决与直角三角形相关的问题。

学生应该掌握辅助线的基本概念和使用方法，并灵活运用它们来解决各类问题。

5. 参考资料。

专题12.18 三角形全等作辅助线模型(三)-倍长中线(专项练习)(培优篇)

专题12.18 三角形全等作辅助线模型（三）-倍长中线（专项练习）（培优篇）一、解答题1．已知，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，点D 为边AB 的中点，AE CD ⊥分别交CD ，BC 于点F ，E ．（1）如图1，①若AB AC =，请直接写出EAC BCD ∠-∠=______；①连接DE ，若2AE DE =，求证：DEB AEC ∠=∠；（2）如图2，连接FB ，若FB AC =，试探究线段CF 和DF 之间的数量关系，并说明理由．2．（1）阅读理解：如图1，在ABC 中，若10AB =，6AC =．求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，再连接BE （或将ACD △绕着点D 逆时针旋转180︒得到EBD △），把AB ，AC ，2AD 集中在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是______；（2）问题解决：如图2，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：BE CF EF +>（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，CB CD =，140BCD ∠=︒，以C 为顶点作一个70︒角，角的两边分别交AB ，AD 于E ，F 两点，连接EF ，探索线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并加以证明．3．阅读下列材料，完成相应任务．数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线．求证：2AB AC AD +>．智慧小组的证法如下：证明：如图2，延长AD 至E ，使DE AD =，①AD 是BC 边上的中线①BD CD =在BDE ∆和CDA ∆中BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①BDE CDA ∆∆≌（依据一）①BE CA =在ABE ∆中，AB BE AE +>（依据二）①2AB AC AD +>．任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：______________________________________________；依据2：______________________________________________．归纳总结：上述方法是通过延长中线AD ，使DE AD =，构造了一对全等三角形，将AB ，AC ，AD 转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．任务二：如图3，3AB =，4AC =，则AD 的取值范围是_____________；任务三：如图4，在图3的基础上，分别以AB 和AC 为边作等腰直角三角形，在Rt ABE ∆中，90BAE ∠=︒，AB AE =；Rt ACF ∆中，90CAF =︒∠，AC AF =．连接EF ．试探究EF 与AD 的数量关系，并说明理由．4．已知：①ABC 和①ADE 都是等腰直角三角形，①ACB=①ADE=90°，点M 是BE 的中点，连接CM 、DM ．（1）当点D 在AB 上，点E 在AC 上时（如图一），求证：DM=CM ，DM①CM ；（2）当点D 在CA 延长线上时（如图二）（1）中结论仍然成立，请补全图形（不用证明）；（3）当ED①AB 时（如图三），上述结论仍然成立，请加以证明．5．（1）如图1，AD 是ABC ∆的中线，8,6AB AC ==，求AD 的取值范围，我们可以延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM （如图2所示），这样就可以求出2AD 的取值范围，从而得解，请写出解题过程；（2）在（1）问的启发下，解决下列问题：如图3，AD 是ABC ∆的中线，BE 交AC 于点E ，交AD 于点F ，且AE EF =，求证：AC BF =．6．（阅读理解）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，①ABC 中，若AB ＝8，AC ＝6，求BC 边上的中线AD 的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到①ADC①①EDB 的理由是_____.A ．SSSB ．SASC ．AASD ．HL(2)求得AD 的取值范围是______.A ．6＜AD ＜8B ．6≤AD≤8C ．1＜AD ＜7 D ．1≤AD≤7（感悟）解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.（问题解决）(3)如图2，AD 是①ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE ＝EF.求证：AC ＝BF. 7．已知AE AB ⊥，DA AC ⊥，AE AB =，AD AC =．直线MN 过点A ，交DE 、BC于点M 、N ．（1）若AM 是EAD 中线，求证：AN BC ⊥；（2）若AN BC ⊥，求证：EM DM =．8．已知：如图，D 是①ABC 边BC 上一点，且CD ＝AB ，①BDA ＝①BAD ，AE 是①ABD 的中线．求证：AC ＝2AE ．9．如图, AB=CB, BD=BE, ①ABC=①DBE=α.(1)当α=60°, 如图则，①DPE 的度数______________(2)若①BDE 绕点B 旋转一定角度，如图所示，求①DPE （用α表示）(3)当α=90°，其他条件不变，F 为AD 的中点，求证：EC ① BF10．已知：在ABC ∆中，90ABC ACB ∠-∠=︒，点D 在BC 上，连接AD ，45ADB ∠=︒. （1）如图1，求证：BAD CAD ∠=∠；（2）如图2，点E 为BC 的中点，过点E 作AD 的垂线分别交AD 的延长线，AB 的延长线，AC 于点F G H ，，，求证：BG CH =；（3）如图3，在（2）的条件下，过点E 分别作EM AG ⊥于点M EN AC ⊥，于点N ，若26AB AC +=，1203EM EN +=，求AFG ∆的面积.11．如图，在ABC △中，D 、E 分别是BC 上两点，且BD CE =，求证：AB AC AD AE +>+.12．如图，AB AE =，AD AC =，180BAE DAC ∠+∠=︒，点F 为DE 的中点，求证：2BC AF =.参考答案1．（1）①45°；①见解析；（2）2CF DF =，理由见解析【分析】（1）①利用直角三角形两个锐角相加得90︒和三角形的外角等于不相邻的两个内角和的性质结合题干已知即可解题．①延长ED 至点G ，使得DG DE =，连接AG ，从而可证明ADG ①BDE （SAS ），再利用全等的性质，可知DGA DEB ∠=∠，即可知道//AG BC ，所以GAE AEC ∠=∠，根据题干又可得到AE EG =，所以DGA GAE ∠=∠，从而得出结论．（2）延长CD 至点H ，使得DH DF =，连接BH ，从而可证明HDB ①FDA △（SAS ），再利用全等的性质，可知BH AF =，90H AFD AFC ∠=∠=∠=︒，根据题干即可证明Rt HBF △①Rt FAC △（HL ），即得出结论．【详解】（1）①①90EAC ACD ∠+∠=︒，90AEC BCD ∠+∠=︒①EAC BCD AEC ACD ∠-∠=∠-∠①90EAC BAE ∠+∠=︒①ACD BAE ∠=∠又①AEC B BAE ∠=∠+∠①EAC BCD B BAE ACD ∠-∠=∠+∠-∠①45EAC BCD B ∠-∠=∠=︒故答案为45︒．①如图，延长ED 至点G ，使得DG DE =，连接AG ，①点D 为AB 的中点，①BD AD =，又①ADG BDE ∠=∠，①ADG ①BDE ，①DGA DEB ∠=∠，①//AG BC ，①GAE AEC ∠=∠，又①2AE DE =，①AE EG =，①DGA GAE ∠=∠，①DEB AEC ∠=∠．（2）2CF DF =．如图，延长CD 至点H ，使得DH DF =，连接BH ，①AD BD =，ADF BDH ∠=∠，①HDB ①FDA △，①BH AF =，90H AFD AFC ∠=∠=∠=︒，①BF AC =．①Rt HBF △①Rt FAC △，①2CF HF DF ==．【点拨】本题主要考查直角三角形的角的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的性质．综合性较强，作出辅助线是解答本题的关键．2．（1）28AD <<；（2）见解析；（3）BE DF EF +=，见解析【分析】（1）延长AD 至E ，使DE=AD ，由SAS 证明①ACD①①EBD ，得出BE=AC=6，在①ABE 中，由三角形的三边关系求出AE 的取值范围，即可得出AD 的取值范围；（2）延长FD 至点M ，使DM=DF ，连接BM 、EM ，同（1）得①BMD①①CFD ，得出BM=CF ，由线段垂直平分线的性质得出EM=EF ，在①BME 中，由三角形的三边关系得出BE+BM ＞EM 即可得出结论；（3）延长AB 至点N ，使BN=DF ，连接CN ，证出①NBC=①D ，由SAS 证明①NBC①①FDC ，得出CN=CF ，①NCB=①FCD ，证出①ECN=70°=①ECF ，再由SAS 证明①NCE①①FCE ，得出EN=EF ，即可得出结论．【详解】（1）解：延长AD 至E ，使DE=AD ，连接BE ，如图①所示：①AD 是BC 边上的中线，①BD=CD ，在①BDE 和①CDA 中，BD CD BDE CDA DE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①BDE①①CDA （SAS ），①BE=AC=6，在①ABE 中，由三角形的三边关系得：AB -BE ＜AE ＜AB+BE ，①10-6＜AE ＜10+6，即4＜AE ＜16，①2＜AD ＜8；故答案为：2＜AD ＜8；（2）证明：延长FD 至点M ，使DM DF =，连接BM ，EM ，如图所示同（1）得，()BMD CFD SAS ∆≅∆，BM CF ∴=DE DF ⊥，DM DF =，DE DE =()EDM EDF SAS ∴∆≅∆，EM EF ∴=在BME ∆中，由三角形的三边关系得BE BM EM +>，BE CF EF ∴+>（3）BE DF EF +=证明如下：延长AB 至点N ，使BN DF =，连接CN ，如图所示180ABC D ∠+∠=︒，180NBC ABC ∠+∠=︒NBC D ∴∠=∠在NBC ∆和FDC ∆中，BN DF NBC D BC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()NBC FDC SAS ∴∆≅∆CN CF ∴=，NCB FCD ∠=∠140BCD ∠=︒，70ECF ∠=︒70BCE FCD ∴∠+∠=︒，70ECN ECF ∴∠=︒=∠在NCE ∆和FCE ∆中，CM CF ECN ECF BC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()NCE FCE SAS ∴∆≅∆，EN EF ∴=．BE BN EN +=，BE DF EF ∴+=【点拨】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．3．任务一：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“SAS”）；依据2：三角形两边的和大于第三边；任务二：1722AD ＜＜；任务三：EF=2AD ，见解析【分析】任务一：依据1：根据全等的判定方法判断即可；依据2：根据三角形三边关系判断；任务二：可根据任务一的方法直接证明即可；任务三：根据任务一的方法，延长中线构造全等三角形证明线段关系即可．【详解】解：任务一：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“SAS”）；依据2：三角形两边的和大于第三边．任务二：1722AD ＜＜任务三：EF=2AD ．理由如下：如图延长AD 至G ，使DG=AD ，①AD 是BC 边上的中线①BD=CD在①ABD 和①CGD 中BD CD BDA CDG AD DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①ABD①①CGD①AB=CG ，①ABD=①GCD又①AB=AE①AE=CG在①ABC 中，①ABC+①BAC+①ACB=180°，①①GCD+①BAC+①ACB=180°又①①BAE=90°，①CAF=90°①①EAF+①BAC=360°-（①BAE+①CAF ）=180°①①EAF=①GCD在①EAF 和①GCA 中AE CG EAF GCA AF AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①EAF①①GCA①EF=AG①EF=2AD ．【点拨】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键．4．（1）证明见解析；（2）见解析；（3）见解析．【分析】（1）如图一中，延长DM 使得MN DM =，连接BN 、CN ，先证明DME NMB ∆≅∆，再证明ACD BCN ∆≅∆即可解决问题．（2）补充图形如图二所示，延长DM 交CB 的延长线于N ，只要证明DME NMB ∆≅∆，再证明CDN ∆是等腰直角三角形即可．（3）如图三中，如图一中，延长DM 使得MN DM =，连接BN 、CN ，CD ，先证明DME NMB ∆≅∆，再证明ACD BCN ∆≅∆即可．【详解】（1）证明：如图一中，延长DM 使得MN=DM ，连接BN 、CN ．在①DME 和①NMB 中，DM MN DME NMB ME MB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①DME①①NMB ，①DE=BN ，①MDE=①MNB ，①DE①NB ，①①ADE=①ABN=90°，①①ABC 和①ADE 都是等腰直角三角形，①ACB=①ADE=90°，①AD=DE=BN ，AC=BC ，①A=①ABC=45°，①①CBN=45°=①A ，在①ACD 和①BCN 中，AC BC A CBN AD BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ACD①①BCN ，①DC=CN，①ACD=①BCN，①①DCN=①ACB=90°，①①DCN是等腰直角三角形，①DM=MN，①DM=CM．DM①CM（2）解：如图二所示延长DM交CB的延长线于N，①①ABC和①ADE都是等腰直角三角形，①ACB=①ADE=90°，①AD=DE=BN，AC=BC，①A=①ABC=45°，①①EDC+①DCN=180°，①DE①CN，①①EDM=①N在①DME和①NMB中，EDM NEMD NMB EM BM∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①DME①①NMB，①DE=BN=AD，DM=MN，①CD=CN，①①CDN=①N=45°，CM=DM=MN，CM①DN，①DM=CM．DM①CM．（3）证明：如图三中，如图一中，延长DM交AB于N连接CN．①DE①AB ，①①MBN=①MED ，在①DME 和①NMB 中，MBN MED BM EM BMN EMD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，①①DME①①NMB ，①DE=BN=AD ，DM=MN ，①①ABC 和①ADE 都是等腰直角三角形，①ACB=①ADE=90°，①AD=DE=BN ，AC=BC ，①BAC=①ABC=45°，①①AED+①BAE=180°，①①BAE=135°，①①BAC=①EAD=45°，①①DAC=①CBN=45°在①ACD 和①BCN 中，AC BC DAC NBC AD BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ACD①①BCN ，①DC=CN ，①ACD=①BCN ，①①DCN=①ACB=90°，①①DCN 是等腰直角三角形，①DM=MN ，①DM=CM ．DM①CM【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，记住中线延长一倍是常用辅助线，属于中考常考题型． 5．（1）17AD <<；（2）见解析．【分析】（1）延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM ，易证ADC MDB ∆≅∆，从而得BM AC =，根据三角形三边关系，可得214AM <<，进而即可求解；（2）先证ADC MDB ∆≅∆，结合AE EF =，可得BM BF =，结合BM AC =，即可得到结论．【详解】（1）AD DM BD CD ADC MDB ==∠=∠，，，ADC MDB ∴∆≅∆（SAS ）， ①BM AC =，①在ABM ∆中， 214AM <<，即：2214AD <<，①AD 的范围是：17AD <<；（2）延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM ，由（1）知：ADC MDB ∆≅∆，M CAD BM AC ∴∠=∠=，，AE EF =，CAD AFE ∴=∠，MFB AFE ∠=∠，BMF BFM ∴∠=∠，BM BF ∴=，AC BF ∴=．【点拨】本题主要考查三角形全等的判定和性质定理，三角形三边的关系，等腰三角形的性质和判定定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．6．(1)B ；(2)C ；(3)证明见解析.【分析】(1)根据AD ＝DE ，①ADC ＝①BDE ，BD ＝DC 推出①ADC 和①EDB 全等即可；(2)根据全等得出BE ＝AC ＝6，AE ＝2AD ，由三角形三边关系定理得出8﹣6＜2AD ＜8+6，求出即可；(3)延长AD 到M ，使AD ＝DM ，连接BM ，根据SAS 证①ADC①①MDB ，推出BM ＝AC ，①CAD ＝①M ，根据AE ＝EF ，推出①CAD ＝①AFE ＝①BFD ，求出①BFD ＝①M ，根据等腰三角形的性质求出即可.【详解】（1）解：在①ADC 和①EDB 中AD DE ADC BDE BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ADC①①EDB(SAS)，故选B ；（2）解：如图：①由(1)知：①ADC①①EDB ，①BE ＝AC ＝6，AE ＝2AD ，①在①ABE 中，AB ＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD ＜8+6，①1＜AD ＜7，故选C.（3）延长AD 到M ，使AD ＝DM ，连接BM ，①AD 是①ABC 中线，①CD ＝BD ，①在①ADC 和①MDB 中DC DB ADC MDB DA DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①ADC①①MDB ，①BM ＝AC ，①CAD ＝①M ，①AE ＝EF ，①①CAD ＝①AFE ，①①AFE ＝①BFD ，①①BFD ＝①CAD ＝①M ，①BF ＝BM ＝AC ，即AC ＝BF.【点拨】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．7．（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）延长AM 至F ，使MF AM =，易证EMF △①DMA △，可得DAM F ∠=∠，EF AD =，再根据AD AC =可得EF AC =，再利用①BAC 、①BAE 、①EAD 和①DAC 四个角和为360°，可得180BAC DAE ∠=︒-∠，利用①AEF 的内角和可得180AEF DAE ∠=︒-，可得BAC AEF ∠=∠，即可证明ABC △①EAF △，最后利用等角的余角相等的等量代换以及①ABN 的内角和为180°可得出结论.（2）过点E 作EF AD ∥交AM 的延长线于F ，则F DAM ∠=∠，根据DA AC ⊥，可得90DAM CAN ∠+∠=︒；AN BC ⊥，可得90CAN C ∠+∠=︒，等量代换得出F DAM C ∠=∠=∠．根据周角等于360°，可得180BAC DAE ∠=︒-∠；根据三角形内角和可得180∠=︒-∠AEF DAE ，可得BAC AEF ∠=∠，则可证明ABC △①EAF △（AAS ），得到EF AC =；易证EFM △①DAM △，即可得到EM DM =．【详解】解：（1）如图，延长AM 至F ，使MF AM =，①AM 是EAD 中线，①EM DM =．在EMF △和DMA △中，EM DM EMF AMD MF AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①EMF △①DMA △（SAS ）．①DAM F ∠=∠，EF AD =．①AD AC =，①EF AC =．①AE AB ⊥，DA AC ⊥，①360902180BAC DAE DAE ∠=︒-︒⨯-∠=︒-∠． ①180180180AEF F EAM DAM EAM DAE ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=︒-，①BAC AEF ∠=∠．在ABC △和EAF △中，EF AC BAC AEF AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①ABC △①EAF △（SAS ）．①EAF B ∠=∠．①AE AB ⊥，①90EAF BAN ∠+∠=︒．①90B BAN ∠+∠=︒．在ABN 中，()1801809090ANB B BAN ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，①AN BC ⊥．（2）如图，过点E 作EF AD ∥交AM 的延长线于F ，则F DAM ∠=∠，①DA AC ⊥，①90DAM CAN ∠+∠=︒．①AN BC ⊥，①90CAN C ∠+∠=︒．①F DAM C ∠=∠=∠．①AE AB ⊥，DA AC ⊥，①360902180BAC DAE DAE ∠=︒-︒⨯-∠=︒-∠． ①180180180AEF F EAM DAM EAM DAE ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=︒-∠， ①BAC AEF ∠=∠．在ABC △和EAF △中，BAC AEF F C AB AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①ABC △①EAF △（AAS ）．①EF AC =．①AD AC =，①EF AD =．在EFM △和DAM △中，F DAM EMF DMA EF AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①EFM △①DAM △（AAS ）．①EM DM =．【点拨】本题考查三角形全等以及角度之间的等量代换，第（1）题通过“倍长中线”这一辅助线做法，构造全等三角形，从而得出角相等，在遇到有中线的题目，并且题中没有全等三角形，那么我们就可以通过延长中线，或者经过中点的线段，构造全等三角形；第（2）题是通过构造平行线，进而得到角相等，构造全等三角形，然后再根据角之间的等量代换，常见的就是等角的余角相等、等角的补角相等，当直角比较多的地方都可以想到这种方法.8．见解析.【分析】延长AE 到F ，使EF=AE ，连接DF,，可证明①ABE①①FDE ，则①BAE=①EFD ，再由外角的性质得出①ADF=①ADC ，则①ADF①①ADC ，则AF=AC ，从而得出AC=2AE.【详解】证明：延长AE 到F ，使EF=AE ，连接DF①AE 是①ABD 的中线．①BE=ED在①ABE 和①FDE 中，BE DE AEB DEF AE EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①ABE①①FDE （SAS ）①AB=DF ，①BAE=①EFD①①ADB 是①ADC 的外角①①DAC+①ACD=①ADB=①BAD①①BAE+①EAD=①BAD①BAE=①EFD①①EFD+①EAD=①DAC+①ACD①①ADF=①ADC①AB=DC①DF=DC在①ADF 和①ADC 中，AD AD ADF ADC FD DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①ADF①①ADC （SAS ）①AF=AC①AF=AE+EF，AE=ED①AC=2AE【点拨】本题主要考查三角形全等的判定与性质，还涉及三角形中线定义、三角形外角定理等知识点，作出辅助线以及熟练掌握三角形全等的性质定理是解题关键.9．（1）60°；（2）α；（3）证明见解析．【分析】（1）由SAS证明①ABE①①CBD，得到①AEB=①CDB，再由对顶角相等及三角形内角和公式可得①EPD=①EBD即可；（2）与（1）同理可求①DPE=①DBE，即可得出结论；（3）延长BF到K，使FK=BF，连接KD，延长EC交BK于M．由SAS证明①AFB①①DFK，得到AB=KD，①ABF=①DKF，进而得到BC=KD，KD①AB，再证明①BDK=①4，得到①EBC①①BDK，由全等三角形对应角相等得到①1=①2，即可得出结论．【详解】（1）如图1，设BE和CD相交于M．①①ABC=①DBE，①①ABE=①CBD．在①ABE和①CBD中，①AB BCABE CBDBE BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ABE①①CBD（SAS），①①AEB=①CDB．在①PME和①BMD中，①①PME=①BMD，①AEB=①CDB，①①EPD=180°－①AEB－①PME=180°－①CDB－①BMD=①MBD=60°；（2）如图2，同理可求①DPE=①DBE=α；（3）如图3，延长BF 到K ，使FK =BF ，连接KD ，延长EC 交BK 于M ．①AF =DF ，①AFB =①DFK ，BF =KF ，①①AFB ①①DFK ，①AB =KD ，①ABF =①DKF ，①BC =KD ，KD ①AB ，①①BDK +①ABD =180°，①①BDK =180°－①ABD =180°－（①2+①3+①4+①5）=180°－[（90°－①4）+90°]=①4．在①EBC 和①BDK 中，①EB =BD ，①4=①BDK ，BC =DK ，①①EBC ①①BDK ，①①1=①2． ①①2+①EBK =90°，①①1+①EBK =90°，①①EMB =90°，①EC ①BF ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，此类题目往往求解思路相同，证明三角形全等是解题的关键．10．(1)见解析；（2）见解析；（3）30【解析】【分析】（1）设ACB α∠=，根据条件90ABC ACB ∠-∠=︒以及外角性质可得①ADB=①C+①CAD=45°，所以9090ABC ACB a ∠=∠+︒=+︒，45CAD ADB C α∠=∠-∠=︒-，由三角形内角和定理可得()18090902BAC ααα∠=︒-+︒-=︒-，从而求解；（2）过点B 作BT GH ⊥于点T ，过点C 作CR GH ⊥的延长线于点R ，可证G AHG CHR ==∠∠∠，利用AAS 证明BET CER ∆∆≌，得出BT CR =，再利用AAS证明BGT CHR ∆∆≌即可证明；（3）连接AE ，由ASA 易证AFG AFH ∆∆≌ ，所以AG AH =，26AB AC += ，因为()()26AG BG AH CH -++= ，所以13AG AH ==，又因为AGH AEG AEH S S S ∆∆∆=+ 所以()111313120131360222213AGH S EM EN EM EN ∆=⨯⨯+⨯⨯=⨯+=⨯=，因为111222AGH AFG FG GH S GH AF S FG AF ∆∆==⨯⨯=⨯⨯，所以1302AFG AGH S S ∆∆== 【详解】（1）证明：如图1 令ACB α∠=，①90ABC ACB ∠-∠=︒，①ADB=①C+①CAD=45°，①9090ABC ACB a ∠=∠+︒=+︒，45CAD ADB C α∠=∠-∠=︒-在ABC ∆中 ①180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒①()18090902BAC ααα∠=︒-+︒-=︒-=2（45°-α ）①45BAD BAC CAD CAD α∠=∠-∠=︒-=∠（2）如图2 过点B 作BT GH ⊥于点T ，过点C 作CR GH ⊥的延长线于点R ①AF GH ⊥①90AFG AFH ∠=∠=︒①9090G FAG AHF FAH ∠+∠=∠+∠=︒︒①G AHG CHR ==∠∠∠在BET ∆和CER ∆中 90BET CER BTE CRE BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩①BET CER ∆∆≌①BT CR =由（1）得BAD CAD ∠=∠，①HG①AF ，①①BGT=①AHG=①CHR ，在BGT ∆和CHR ∆中 90BGT CHR BTG CRH BT CR ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩①BGT CHR ∆∆≌①BG CH =（3）如图3 连接AE在AFG ∆和AFH ∆中 FAG FAH AF AFAFG AFH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩①AFG AFH ∆∆≌①AG AH =①26AB AC +=①()()26AG BG AH CH -++=①13AG AH ==①AGH AEG AEH S S S ∆∆∆=+ ①()111313120131360222213AGH S EM EN EM EN ∆=⨯⨯+⨯⨯=⨯+=⨯= ①111222AGH AFG FG GH S GH AF S FG AF ∆∆==⨯⨯=⨯⨯ ①1302AFG AGH S S ∆∆==【点拨】本题考查角平分线的判定、全等三角形的证明与性质，三角形面积的计算，解题关键是恰当做出辅助线.11．详见解析【解析】【分析】如图，取DE 的中点O ，连结AO 并延长至点F ，使OF OA =，连结EF 、CF ，证明AOD FOE ∆∆≌，从而可得AD=EF ，同理可得AB=CF ，延长AE 交CF 于点G ，在ACG ∆中，根据三角形三边关系可得到AC CG AE EG +>+，在EFG ∆中，EG FG EF +>，继而通过推导即可得出答案.【详解】如图，取DE 的中点O ，连结AO 并延长至点F ，使OF OA =，连结EF 、CF ， AO FO =，DO EO =，AOD FOE ∠=∠，AOD FOE ∴∆∆≌，AD EF ∴=，同理可证：AB CF =，延长AE 交CF 于点G ，在ACG ∆中，AC CG AG +>，即AC CG AE EG +>+，①在EFG ∆中，EG FG EF +>，①①+①得，AC CG EG FG AE EG EF +++>++，即AC CF AE EF +>+，AB AC AD AE ∴+>+.【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，正确添加辅助线，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键.12．详见解析【分析】如图，延长AF 至G ，使AF FG =，连结EG ，证明ADF GEF ∆∆≌，从而可得AD GE =，ADF GEF ∠=∠，继而得GEA BAC ∠=∠，再证明AEG ACB ∆∆≌，可得AG=BC ，继而可得结论.【详解】如图，延长AF 至G ，使AF FG =，连结EG ，又DF EF =，AFD GFE ∠=∠，ADF GEF ∴∆∆≌，AD GE ∴=，ADF GEF ∠=∠.AD GE ∴，180GEA DAE ∴∠+∠=︒，180BAE DAC ∴∠+∠=︒，180DAE BAC ∴∠+∠=︒，GEA BAC ∴∠=∠，又AB AE =，AC AD =，AC GE ∴=，AEG ACB ∴∆∆≌，AG BC ∴=，即2BC AF =.【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据倍长中线正确添加辅助线是解题的关键.。

中考专题之与三角形有关的辅助线

第一节等腰三角形常用的辅助线例1、文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时,画出图形,写出“已知”“求证”如图,她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：“过点A作BC的中垂线AD,垂足为D”；彬彬：“作△ABC的角平分线AD”;数学老师看了两位同学的辅助线作法后,说：“彬彬的做法是正确的,而文文的做法需要订正;”1请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；2根据彬彬的辅助线作法,完成证明过程;例2、如图,已知AD∥BC,AB=AD＋BC,E为DC的中点;求证：∠ABE=∠CBE;例3、已知：如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,在CD延长线上取一点F,使FE=FC,EF交AD于P;求证：AE=2DF;连接CE,取CE中点HFHE全等于FHC,FH垂直于CE角BEC=角ECFCE/EB=CF/CH=根号5CF=根号5CH=根号5CE/2=根号5根号5BE/2=BE5/2=AB5/4DF=CF-CD=AB/4=AB/21/2=AE1/2例4、已知：如图,在△ABC中,AB=AC,D点在AB上,E在AC延长线上,且BD=CE,连结DE交BC于点F;求证：DF=EF;DF=EF证明如下：过点D作平行于BC的直线交AC于点G因为AB=AC；DG//BC所以BD=CG又BD=CE,故CG=CE又因为CF//DG所以CF是三角形DEG的中位线所以F是DE的中点所以DF=EF综合演练：1、如图,菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、F分别是边AD、CD上的两个动点,且满足AE＋CF=2;1求证：△BDE≌△BCF；2判断△BEF的形状,并说明理由；3设△BEF的面积为S,求S的取值范围;1AE+CF=2=CD=DF+CF∴AE=DFAB=BD∠A=∠BDF=60°∴△BDE全等于△BCF2由1得BE=BF且∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠EBD+∠ABE=∠ABD=60°∴△BEF是等边三角形33√3/4<=S<=√3第二节直角三角形常用的辅助线例1、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AD是∠BAC的平分线,求证：AC＋CD=AB;综合演练：Rt 斜边AB上的高,将△BCD沿CD折叠,B点恰好落在AB的中点E处;则∠A等于1、如图,CD是ABCA、25°B、30°C、45°D、60°2、如图1,△ABC的边BC在直线l上,AC⊥BC,且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上,边EF与边AC重合,且EF=FP;1在图1中,请你通过观察、测量,猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；2将△EFP沿直线l向左平移到图2所示的位置时,EP交AC于点Q,连结AP、BQ;猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想;3将△EFP沿直线l向左平移到图3所示的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结AP、BQ;你认为图2中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗若成立,给出证明；若不成立,请说明理由;3、如图,在锐角△ABC中,BE、CF是高,在BE、CF或其延长线上分别截取CP=AB,BQ=AC,分别过P、Q作PM第三节全等三角形的辅助线例1、已知：如图,在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AC边上一点,BE与AD交于F,若AE=EF;求证：AC=BF;例2、1已知：如图1在四边形ABCD中,BC＞AB,AD=CD,BD平分∠ABC;求证：∠BAD＋∠C=180°;2已知：如图2在△ABC中,BE是∠ABC的平分线,AD⊥BE,垂足为D;求证：∠BAD=∠DAC＋∠C;例3、已知：如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,P为△ABC内一点,若∠PBC=10°,∠PCB=30°,求∠PAB 的度数;例4、已知：如图,BD是四边形ABCD的∠ABC的平分线,∠A＋∠BCD=180°;求证：AD=DC;例5、已知：如图,在△ABC中,DE∥GF∥BC,且AD=GB;求证：AE=CF;例6、已知：如图,P为∠AOB平分线OP上一点,PC⊥OA于C,∠OAP＋∠OBP=180°;求证：AO＋BO=2OC; 例7、如图,在△ABC中,∠B=60°,AD、CE是△ABC的角平分线,且交于点O;求证：AC=AE＋CD;综合演练：1、操作：如图①,△ABC是正三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°的角,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连结MN;探究：线段BM、MN、NC之间的关系,并加以证明;说明：1如果你经历反复探究,没有找到解决问题上的方法,请你把探究过程中的某种思路写出来要求至少写3步；2在你经历说明1的过程之后,可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件,完成你的证明;①AN=NC如图②；②DM∥AC如图③;附加题：若点M、N分别是射线AB、AC上的点,其他条件不变,再探索线段BM、MN、NC之间的关系,在图④中画出图形,丙说明理由;① ② ③ ④2、如图,两个全等的含30°,60°的三角形ADE 和ABC,E 、A 、C 在一条直线上,连结BD,取BD 的中点M,连结ME 、MC,试判断△EMC 的形状,并说明理由;3、如图①,小明将一张矩形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片如图②,量得他们的斜边长为10cm ,较小锐角为30°,再将这两张三角形纸片摆成如图③所示的形状,但点B 、C 、F 、D 在同一直线上,且点C 与点F 重合;在图③至图⑥中统一用F 表示;小明在对这两张三角形纸进行如下操作时遇到了三个问题,请你帮助解决;1将图③中的△ABF 沿BD 向右平移到图④的位置,使点B 与点F 重合,请你求出平移的距离;2将图③中的△ABF 绕点F 顺时针方向旋转30°到图⑤的位置,F A 1交DE 于点G,请你求出线段FG 的长度; 3将图③中的△ABF 沿直线AF 翻折到图⑥的位置,AB 交DE 于点H,请证明：AH=DH;① ② ③ ④ ⑤ ⑥4、已知：点O 到△ABC 的两边AB 、AC 所在直线的距离相等,且OB=OC;1如图1,若点O 在边BC 上,求证：AB=AC ；2如图2,若点O 在△ABC 的内部,求证：AB=AC ；3若点O 在△ABC 的外部,AB=AC 成立吗请画图表示;1 25、请阅读下列材料：问题：如图1,在菱形ABCD 和菱形BEFG 中,点A,B,E 在同一条直线上,P 是线段DF 的中点,连结PG ,PC;若∠ABC=∠BEF=60°,探究PG 与PC 的位置关系及PC PG 的值; 小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决;请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题：1写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PCPG 的值； 2将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转,使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上,原问题中的其他条件不变如图2;你在1中得到的两个结论是否发生变化写出你的猜想并加以证明;3若图1中∠ABC=∠BEF=)900(2 <<αα,将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度,原问题的其他条件不变,请你直接写出PCPG 的值;用含α的式子表示1 2第四节相似三角形中常用的辅助线例1、如图,△ABC中,点D、E在BC上,且BD=DE=EC,又AB上的中线CF分别交AD、AE于G、H, 求FG：GH：HC;例2、如图,□ABCD中,点E在AB上,AE=2BE;点F是BC的中点,连结EF交对角线BD于点G;求：BG：BD的值;例3、已知：如图,过△ABC的顶点C任作一条直线,与边AB及中线AD分别交于点F和E;求证：AE：ED=2AF：FB;例4、如图,△ABC中,AB=8,AC=6,点D在AB上,且AD=2;试在边AC上找一点E,使△ADE与原三角形△ABC 相似,求AE的长;例5、如图,△ABC 中,∠C=90°,AB=5,AC=4,点D 在AB 的延长线上,且BD=AB,动点P 在线段BC 上移动,作直线DP 交AC 于点E;设BP=x ,AE=y ;1求y 关于x 的函数解析式及定义域；2当PB 为何值时,直线DP 恰将△ABC 的面积平分例6、如图,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,矩形DEFG 的顶点D 在AB 上,E 、F 在BC 上,G 在AC 上;1设BE=x ,y S DEFG 四边形,求y 与x 之间的函数关系式和自变量x 的取值范围;2连结EG,当x 取何值时,EG ∥AB 求此时矩形DEFG 的面积;例7、如图,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠A=90°,BC=8,AB=12,AD=a ;试问：能否在边AB 上找到点P,使得△ADP 与△BCP 相似并说明a 的取值对点P 的个数是否有影响,请加以说明;例8、如图,在△ABC 内有一点O,连结AO 、BO 、CO 并分别延长后与BC 、CA 、AB 相交于点D 、E 、F;求证：1=++CFOF BE OE AD OD ;综合演练：1、已知：如图,在△ABC 中,D 为AB 边上一点,∠A=36°,AC=BC,AD AB AC ⋅=2;1试说明：△ADC 和△BDC 都是等腰三角形；2若AB=1,求AC 的值；3试构造一个等腰梯形,该梯形连同它的两条对角线,得到了8个三角形,要求构造出的图形中有尽可能多的等腰三角形;标明各角的度数2、如图所示,一段街道的两边缘所在的直线分别为AB 、PQ,并且AB ∥PQ;建筑物的一端DE 所在的直线MN ⊥AB 于点M,交PQ 于点N;小亮从胜利街的A 处,沿着AB 方向前进,小明一直站在点P 的位置等候小亮; 1请你在图纸中画出小亮恰好看见小明时的视线,以及此时小亮所在位置用点C 标出2已知MN=20m ,MD=8m ,PN=24m ,求1中的点C 到胜利街口的距离CM;3、已知：如图1,在ABC Rt ∆中,∠C=90°,AC=4cm ,BC=3cm ,点P 由B 出发沿BA 向点A 匀速运动,速度为1cm ∕s ；点Q 由A 出发沿CA 方向向点C 匀速运动,速度为2cm ∕s ；连结PQ;若设运动的时间为)20)((<<t s t ,解答下列问题：1当t 为何值时,PQ ∥BC2说明理由；4如图2,连结PC,并把△PQC 沿QC 翻折,得到四边形C PQP ',那么是否存在某一时刻t ,使四边形C PQP '为菱形若存在,求出此时菱形的边长；若不存在,说明理由;1 24、如图,四边形ABCD 为一梯形纸片,AB ∥CD,AD=BC,翻折纸片ABCD,使点A 与点C 重合,折痕为EF,已知CE ⊥AB;1求证：EF ∥BD;2若AB=7,CD=3;求线段EF 的长;5、如图,在ABC Rt 中,∠A=90°,AB=6,AC=8,D 、E 分别是边AB 、AC 的中点,点P 从点D 出发沿DE 方向运动,过点P 作PQ ⊥BC 于Q,过点Q 作QR ∥BA 交AC 于R,当点Q 与点C 重合时,点P 停止运动;设BQ=x ,QR=y ; 1求点D 到BC 的距离DH 的长；2求y 关于x 的函数关系式不要求写出自变量的取值范围；3是否存在点P,使△PQR 为等腰三角形若存在,请求出所有满足要求的x 的值；若不存在,请说明理由;。

八年级数学三角形中位线培优专题训练

八年级数学三角形中位线培优专题训练一、内容提要1. 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

2. 中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。

3. 运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。

4. 中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。

它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等 ②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边 ③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰 5. 有关线段中点的其他定理还有： ①直角三角形斜边中线等于斜边的一半②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合 ③对角线互相平分的四边形是平行四边形 ④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等因此如何发挥中点作用必须全面考虑。

二、例题例1. 已知：△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM 和CAN ，P 是BC 的中点。

求证：PM ＝PN证明：作ME ⊥AB ，NF ⊥AC ，垂足E ，F ∵△ABM 、△CAN 是等腰直角三角形∴AE ＝EB＝ME ，AF ＝FC ＝NF ，根据三角形中位线性质 PE ＝21AC ＝NF ，PF ＝21AB ＝MEPE ∥AC ，PF ∥AB∴∠PEB ＝∠BAC ＝∠PFC 即∠PEM ＝∠PFN∴△PEM ≌△PFN ∴PM ＝PN例2.已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝7，AD 是角平分线，CM ⊥AD 于M ，且N 是BC 的中点。

求MN 的长。

分析：N 是BC 的中点，若M 是另一边中点，则可运用中位线的性质求MN 的长，根据轴称性质作出△AMC 的全等三角形即可。

辅助线是：延长CM 交AB 于E （证明略例3.如图已知：△ABC 中，AD 是角平分线，BE ＝CF ，M 、N 分别是BC 和EF 的中点求证：MN ∥AD 证明一：连结EC ，取EC 的中点P ，连结PM 、PNP NMP ∥AB ，MP ＝21AB ，NP ∥AC ，NP ＝21AC ∵BE ＝CF ，∴MP ＝NP∴∠3=∠4=2MPN-180∠∠MPN ＋∠BAC ＝180（两边分平行的两个角相等或互补）∴∠1=∠2=2MPN-180∠ ， ∠2=∠3∴NP ∥AC ∴MN ∥AD证明二：连结并延长EM 到G ，使MG ＝ME 连结CG ，FG则MN ∥FG ，△MCG ≌△MBE ∴CG ＝BE ＝CF ∠B ＝∠BCG∴AB ∥CG ，∠BAC ＋∠FCG ＝180∠CAD ＝21（180－∠FCG ） ∠CFG ＝21（180－∠FCG ）=∠CAD ∴ MN ∥AD 例4. 已知：△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是高，CE 是角平分线，EF ⊥BC 于F ，GE ⊥CE交CB 的延长线于G 求证：FD ＝41CG 证明要点是：延长GE 交AC 于H ，可证E 是GH 的中点过点E 作EM ∥GC 交HC 于M ，则M 是HC 的中点，EM ∥GC ，EM ＝21GC由矩形EFDO 可得FD ＝EO ＝21EM ＝41GC三、练习1. 如图11，M 、P 分别为△ABC 的AB 、AC 上的点，且AM=BM ，AP=2CP ，BP 与CM 相交于N ，已知PN=1，则PB 的长为 ( ) A. 2 B. 3 C .4 D. 52. 如图12，△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点，AB=10，则MD 的长为 ( )A. 10B. 8 C .6 D. 53. 如图13，△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，P 为不同于B 、E 、C 的BC 上的任意一点，△DPH 为等边三角形.连接FH ，则EP 与FH 的大小关系是 ( ) A. E P>FH B. EP=FH C. EP<FH D.不确定4. 如图14，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD ，DE ∥AC ，交AB 于E ,若AB=5，则DE 的长为 .C5. 如图15，△ABC中，AB=4，AC=7，M为BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交AC于F，则FC的长等于.6. 如图25，P为△ABC内一点，∠P AC=∠PBC，PM⊥AC于M，PN⊥BC于N.D是AB的中点.求证：DM=DN7. 如图16，在△ABC中，D、E是AB、AC上的点，且BD=CE，M、N分别是BE、CD的中点，直线MN分别交AB、AC于P、Q.求证：AP=AQ8. 如图17，BE、CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M.求证：MN∥BC.9. 如图18，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD于M.求证：AB+AC=2AM10.如图19，四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AB=CD.BA、CD的延长线交HG的延长线于E、F.求证：∠BEH=∠CFH.1. 如图20，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，过BC的中点M作ME⊥AD，交BA的延长线于E，交AD的延长线于F.求证：12BE BD.2. 如图21，在△ABC中，AB<AC，P为AC上的点，CP=AB，K为AP的中点，M为BC的中点，MK的延长线交BA的长线于N.求证：AN=AK.3. 如图22，分别以△ABC的边AC、BC为腰，A、B为直角顶点，作等腰直角△ACE和等腰直角△BCD，M为ED的中点.求证：AM⊥BM.4. 如图23，点O是四边形ABCD内一点，∠AOB=∠COD=1200，AO=BO，CO=DO，E、F、G分别为AB、CD、BC的中点.求证：△EFG为等边三角形.5. 如图24，△ABC中，M是AB的中点，P是AC的中点，D是MB的中点，N是CD的中点，Q是MN的中点，直线PQ交MB于K.求证：K是DB的中点.6. 如图25，P为△ABC内一点，∠P AC=∠PBC，PM⊥AC于M，PN⊥BC于N.D是AB的中点.求证：DM=DN图21 图22 图23 图24 图257. 如图26，AP是△ABC的角平分线，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=CE.又G、H分别为BC、DE的中点.求证：HG∥AP.8. 如图27，已知△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=900，如图(a)，连接DE，设M为DE的中点.(1)求证：MB=MC;(2)设∠BAD=∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图(b)的位置，试问MB=MC是否成立?并证明其结论.9. 已知△ABC面积为S，作直线l∥BC，交AB于D，交AC于E，若△BED的积为K.求证：S≥4K.10.如图28，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，E是线段AD上的一点．且∠BED=2∠CED=∠BAC.求证：BD=2CD.图26 图27。

三角形全等作辅助线模型截长补短专项练习培优篇20212022学年八年级数学上册基础知识专项讲练人教版

专题12.14 三角形全等作辅助线模型（二）-截长补短（专项练习）（培优篇）一、填空题1．如图，已知ABC V 中，60A Ð=°，D 为AB 上一点，且2,4AC AD BD B ACD =+Ð=Ð，则DCB Ð的度数是_________．2．如图，△ABC 中，E 在BC 上，D 在BA 上，过E 作EF ⊥AB 于F ，∠B ＝∠1+∠2，AB ＝CD ，BF ＝43，则AD 的长为________．二、解答题3．思维探索：在正方形ABCD 中，AB ＝4，∠EAF 的两边分别交射线CB ，DC 于点E ，F ，∠EAF ＝45°．（1）如图1，当点E ，F 分别在线段BC ，CD 上时，△CEF 的周长是；（2）如图2，当点E ，F 分别在CB ，DC 的延长线上，CF ＝2时，求△CEF 的周长；拓展提升：如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，过点B 作BD ⊥BC ，连接AD ，在BC 的延长线上取一点E ，使∠EDA ＝30°，连接AE ，当BD ＝2，∠EAD ＝45°时，请直接写出线段CE 的长度．4．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．（1）求证：AE=EF；（2）如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？；（填“成立”或“不成立”）；（3）如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请证明，若不成立说明理由．5．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:如图一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE⊥BC交BC于点E：(1)根据阅读材料可得AD与DC的数量关系为__________.(2)如图二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC的数量关系，并证明你的猜想.(3)如图三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与BD、BC的数量关系，并证明你的猜想.6．已知等边ABC D 中，点O 是边AC ，BC 的垂直平分线的交点，M ，N 分别在直线AC ，BC 上且60MON Ð=°，（1）如图所示，点M ，N 分别在边AC ，BC 上，求证：AM CN MN =+；（2）如图所示，点M 在边AC 上，点N 在BC 的延长线上，求AM CN MN+的值.7．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD ，以D 为顶点作MDN Ð，交边AC ，BC 于点M ，N ．（1）如图（1），若30ACD Ð=°，60MDN Ð=°，当MDN Ð绕点D 旋转时，AM ，MN ，BN 三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）如图（2），当90ACD MDN Ð+Ð=°时，AM ，MN ，BN 三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图（3），在（2）的条件下，若将M ，N 分别改在CA ，BC 的延长线上，完成图（3），其余条件不变，则AM ，MN ，BN 之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）．8．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD ，若AC=2cm ，求四边形ABCD 的面积．解：延长线段CB 到E ，使得BE=CD ，连接AE ，我们可以证明△BAE ≌△DAC ，根据全等三角形的性质得AE=AC=2， ∠EAB=∠CAD ，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =S △ABC +S △ABE =S △AEC ，这样，四边形ABCD 的面积就转化为等腰直角三角形EAC 面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD 的面积为cm 2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN 的面积．9．如图1，在ABC D 中，ACB Ð是直角，60B Ð=°，AD 、CE 分别是BAC Ð、BCA Ð的平分线，AD 、CE 相交于点F ．（1）求出AFC Ð的度数；（2）判断FE 与FD 之间的数量关系并说明理由．（提示：在AC 上截取CG CD =，连接FG ．）（3）如图2，在△ABC D 中，如果ACB Ð不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE 、CD 与AC 之间的数量关系并说明理由．10．数学课上，小白遇到这样一个问题：如图1，在等腰Rt ABC D 中，90BAC Ð=°，AB AC =，AD AE =，求证ABE ACD Ð=Ð；在此问题的基础上，老师补充：过点A 作AF BE ⊥于点G 交BC 于点F ，过F 作FP CD ^交BE 于点P ，交CD 于点H ，试探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，AFB Ð与HFC Ð有某种数量关系；小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：（1）求证ABE ACD Ð=Ð；（2）猜想AFB Ð与HFC Ð的数量关系，并证明；（3）探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并证明．11．在数学活动课上，数学老师出示了如下题目：如图①，在四边形ABCD 中，E 是边CD 的中点，AE 是BAD Ð的平分线，AD BC ∥．求证：AB AD BC =+．小聪同学发现以下两种方法：方法1：如图②，延长AE 、BC 交于点F ．方法2：如图③，在AB 上取一点G ，使AG AD =，连接EG 、CG ．（1）请你任选一种方法写出这道题的完整的证明过程；（2）如图④，在四边形ABCD中，AE是BADÐ的平分线，E是边CD的中点，60 BADÐ=°，11802D BCDÐ+Ð=°，求证：CB CE=．12．阅读下面材料，完成(1)-(3)题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，以AB为边向AB左侧作等边△ABE，直线CE与直线AD交于点F．请探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠DFC的度数可以求出来．”小强：“通过观察和度量，发现线段DF和CF之间存在某种数量关系．”小伟：“通过做辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．”......老师：“若以AB为边向AB右侧作等边△ABE，其它条件均不改变，请在图2中补全图形,探究线段EF、AF、DF三者的数量关系，并证明你的结论．”（1）求∠DFC 的度数；（2）在图1中探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明；（3）在图2中补全图形，探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明．13．如图1，在ABC V 中，AB AC =，AC 平分BCD Ð，连接BD ，2ABD CBD Ð=Ð，BDC ABD ACD Ð=Ð+Ð．（1）求A Ð的度数：（2）如图2，连接AD ，AE AD ^交BC 于E ，连接DE ，求证：DEC BAE Ð=Ð；（3）如图3，在（2）的条件下，点G 为CE 的中点，连接AG 交BD 于点F ，若32ABC S =△，求线段AF 的长．14．如图所示，已知AC 平分∠BAD ，180B D Ð+Ð=°，CE AB ^于点E ，判断AB 、AD 与BE 之间有怎样的等量关系，并证明．15．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠EAF=12∠BAC ，BF ⊥AE 于E 交AF 于点F ，连结 CF ．（1）如图 1 所示，当∠EAF 在∠BAC 内部时，求证：EF ＝BE +CF ．（2）如图 2 所示，当∠EAF 的边 AE 、AF 分别在∠BAC 外部、内部时，求证：CF ＝BF +2BE ．16．如图，在ABC V 中，AC BC =，AD 平分CAB Ð．（1）如图1，若90ACB =°，求证：AB AC CD =+；（2）如图2，若AB AC BD =+，求ACB Ð的度数；（3）如图3，若100ACB Ð=°，求证：AB AD CD =+．17．如图所示，//AB DC AB AD BE ^，，平分ABC CE Ð，平分BCD Ð；（1）求AB CD 、与BC 的数里关系，并说明你的理由．（2）若把AB AD ^条件去掉，则（1）中AB CD 、与BC 的数里关系还成立吗?并说明你的理由．18．已知在四边形ABCD 中，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∠BAD ＋∠BCD ＝180°，AB ＝BC （1）如图1，连接BD ，若∠BAD ＝90°，AD ＝7，求DC 的长度．（2）如图2，点P 、Q 分别在线段AD 、DC 上，满足PQ ＝AP ＋CQ ，求证：∠PBQ ＝∠ABP ＋∠QBC（3）若点Q 在DC 的延长线上，点P 在DA 的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ ＝AP ＋CQ ，请写出∠PBQ 与∠ADC 的数量关系，并给出证明过程．19．如图，在正方形ABCD 中，点E 迕射线BC 上，连接AE ，作EF AE ^，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．（1）若点E 在边BC 的中点处时，AE ________EF （填“＞”“＜”或“=”）（2）若点E 为边BC 上的任意一点（不含点B ，C ），探究此时AE 与EF 的数量关系，并说明理由．（3）若点E 是边BC 延长线上的一点，探究此时AE 与EF 的数量关系，并说明理由．20．如图，ABC V 是边长为1的等边三角形，BD CD =，120BDC Ð=°，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且60EDF Ð=°，求AEF V 的周长．21．已知等腰△ABC中，AB=AC，点D在直线AB上，DE∥BC，交直线AC与点E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足为H．（1）当点D在线段AB上时，如图1，求证DH=BH+DE；（2）当点D在线段BA延长线上时，如图2，当点D在线段AB延长线上时，如图3，直接写出DH，BH，DE之间的数量关系，不需要证明．参考答案1．20°【分析】通过作辅助线构造直角三角形，利用等边三角形的性质，得到角相等，边相等，根据三角形全等，得到角相等，利用外角的性质列方程求解；【详解】解：如图，延长AB 至点E 使BE AD =，连接CE ．∴2=++=+AE AD DB BE AD BD ．∵2=+AC AD BD ，∴AE AC =．∵60A Ð=°，∴AEC V 是等边三角形，∴60Ð=Ð=°E ACE ．∵4Ð=ÐABC ACD ，∴设ACD x Ð=，则4Ð=ABC x ．在ADC V 与EBC V 中，∵,,,AD BE A E AC EC =ìïÐ=Ðíï=î∴()SAS V V ≌ADC EBC ，∴Ð=Ð=ACD ECB x ．∵Ð=Ð+ÐABC E BCE ，∴460=°+x x ，∴20x =°，∴60202020Ð=°-°-°=°BCD ．【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，准确分析是解题的关键．2．8 3【分析】在FA上取一点T，使得FT=BF，连接ET，在CB上取一点K，使得CK=ET，连接DK．想办法证明AT=DK，DK=BD，推出BD=AT，推出BT=AD即可解决问题．【详解】在FA上取一点T，使得FT=BF，连接ET，在CB上取一点K，使得CK=ET，连接DK．∵EB=ET，∴∠B=∠ETB，∵∠ETB=∠1+∠AET，∠B=∠1+∠2，∴∠AET=∠2，∵AE=CD，ET=CK，∴△AET≌△DCK(SAS)，∴DK=AT，∠ATE=∠DKC，∴∠ETB=∠DKB，∴∠B=∠DKB，∴DB=DK，∴BD=AT，∴AD=BT，∵BT=2BF=83，∴AD=83，故答案为：83．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造出全等三角形．3．思维探索：（1）8；（2）12；拓展提升：CE﹣1．【分析】思维探索：（1）利用旋转的性质，证明△AGE≌△AFE即可；（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°到AD，交CD于点G，证明△AEF≌△AGF即可求得EF＝DF﹣BE；拓展提升：如图3，过A作AG⊥BD交BD的延长线于G，推出四边形ACBG是矩形，得到矩形ACBG是正方形，根据正方形的性质得到AC＝AG，∠CAG＝90°，在BG上截取GF＝CE，根据全等三角形的性质得到AE＝AF，∠EAC＝∠FAG，∠ADF＝∠ADE＝30°，解直角三角形得到DE＝DF＝4，BE＝CE＝x，则GF＝CE＝x，BC＝BG＝﹣x，根据线段的和差即可得到结论．【详解】思维探索：（1）如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，∴GB＝DF，AF＝AG，∠BAG＝∠DAF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠EAF，在△AGE和△AFE中AG AFGAE EAF AE AE=ìïÐ=Ðíï=î∴△AGE≌△AFE（SAS），∴GE＝EF，∵GE＝GB+BE＝BE+DF，∴EF＝BE+DF，∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+BE+DF+CF＝BC+CD＝8，故答案为：8；（2）如，2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°到AD，交CD于点G，同（1）可证得△AEF≌△AGF，∴EF＝GF，且DG＝BE，∴EF＝DF﹣DG＝DF﹣BE，∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+CF+DF﹣BE＝BC+DF+CF＝4+4+2+2＝12；拓展提升：如图3，过A作AG⊥BD交BD的延长线于G，∵BD⊥BC，∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CBG＝∠G＝90°，∴四边形ACBG是矩形，∵AC＝BC，∴矩形ACBG是正方形，∴AC＝AG，∠CAG＝90°，在BG上截取GF＝CE，∴△AEC≌△AGF（SAS），∴AE＝AF，∠EAC＝∠FAG，∵∠EAD＝∠BAC＝∠GAB＝45°，∴∠DAF＝∠DAE＝45°，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF（SAS），∴∠ADF＝∠ADE＝30°，∴∠BDE＝60°，∵∠DBE＝90°，BD＝2，∴DE＝DF＝4，BE＝，设CE＝x，则GF＝CE＝x，BC＝BG＝x，∴DG＝﹣x，∴DG﹣FG＝DF，即﹣x﹣x＝4，∴x1，∴CE1．【点拨】本题以正方形为背景，结合旋转，三角形全等，解直角三角形进行综合性考查，熟知常见的全等模型，旋转性质，三角形的判定及性质，正方形，矩形的性质是解题的关键．4．（1）证明见解析；（2）成立；（3）成立，证明见解析.【解析】试题分析：（1）取AB中点M，连接EM，求出BM=BE，得出∠BME=45°，求出∠AME=∠ECF=135°，求出∠MAE=∠FEC，根据ASA推出△AME和△ECF全等即可；（2）截取BE=BM，连接EM，求出AM=EC，得出∠BME=45°，求出∠AME=∠ECF=135°，求出∠MAE=∠FEC，根据ASA推出△AME和△ECF全等即可；（3）在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE，根据已知利用ASA判定△ANE≌△ECF，因为全等三角形的对应边相等，所以AE=EF．试题解析：（1）证明：取AB中点M，连接EM，∵AB=BC，E为BC中点，M为AB中点，∴AM=CE=BE，∴∠BME=∠BME=45°，∴∠AME=135°=∠ECF，∵∠B=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∵∠AEF=90°，∴∠AEB+∠FEC=90°，∴∠BAE=∠FEC ，在△AME 和△ECF 中，MAE CEF AM ECAME ECF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴△AME ≌△ECF （ASA ），∴AE=EF ；（2）成立，理由是：如图，在AB 上截取BM=BE ，连接ME ，∵∠B=90°，∴∠BME=∠BEM=45°，∴∠AME=135°=∠ECF ，∵AB=BC ，BM=BE ，∴AM=EC ，在△AME 和△ECF 中，MAE CEF AM ECAME ECF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴△AME ≌△ECF （ASA ），∴AE=EF ；（3）成立．证明：如图，在BA 的延长线上取一点N ．使AN=CE ，连接NE ，∴BN=BE ，∴∠N=∠NEC=45°，∵CF 平分∠DCG，∴∠FCE=45°，∴∠N=∠ECF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BE，∴∠DAE=∠BEA，即∠DAE+90°=∠BEA+90°，∴∠NAE=∠CEF，∴△ANE≌△ECF（ASA），∴AE=EF．点睛：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，阅读材料，理清解题的关键是去AM=EC，然后构造出△AME和△ECF全等是解题的关键.5．（1）；（2）；（3）BC=AD+BD.【解析】【分析】（1）由角平分线的性质可得AD=DE，根据∠A=90°，AB=AC，可得∠C=45°，由DE⊥BC可得△DEC是等腰直角三角形，可得，进而可得答案；（2）在BC上截取BE=AB，连接DE，利用SAS可证明△ABD≌△EBD，可得AD=DE，∠BED=∠A=120°，由等腰三角形的性质可得∠C=30°，利用三角形外角性质可得∠CDE=90°，利用含30°角的直角三角形的性质即可得答案；（3）在BC上取一点E，使BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC 于G，由角平分线的性质就可以得出DF=DG，利用AAS可证明△DAF≌△DEG，可得DA=DE，利用外角性质可求出∠EDC=40°，进而可得DE=CE，即可得出结论．【详解】（1）∵∠A=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，∴DE=AD，∵∠A=90°，AB=AC，∴∠C=45°，∴△CDE是等腰直角三角形，，∴故答案为：（2）如图，在BC上截取BE=AB，连接DE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBE，在△ABD 和△EBD 中，AB =BE ∠ABD =∠DBE BD =BD，∴△ABD ≌△EBD ，∴DE=AD ，∠BED=∠A=120°，∵AB=AC ，∴∠C=∠ABC=30°，∴∠CDE=∠BED-∠C=90°，∴（3）如图，在BC 上取一点E ，是BE=BD ，作DF ⊥BA 于F ，DG ⊥BC 于G ，∴∠DFA=∠DGE=90°．∵BD 平分∠ABC ，DF ⊥BA ，DG ⊥BC ，∴DF=DG ．∵∠BAC=100°，AB=AC ，∴∠FAD=80°，∠ABC=∠C=40°，∴∠DBC=20°，∵BE=BD ，∴∠BED=∠BDE=80°，∴∠FAD=∠BED ．在△DAF 和△DEG 中，∠DFA =∠DGE ∠FAD =∠BED DF=DG，∴△DAF ≌△DEG （AAS ），∴AD=ED ．∵∠BED=∠C+∠EDC ，∴80°=40+∠EDC ，∴∠EDC=40°，∴∠EDC=∠C ，∴DE=CE，∴AD=CE ．∵BC=BE+CE ，∴BC=BD+AD ．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时合理添加辅助线是解答本题的关键．6．（1）见解析，（2）1AM CN MN+=【解析】【分析】（1）在AM 上截取AN′=CN ，连接ON′，OC ，OA ，根据等边三角形的性质和线段垂直平分线得出∠OCN=∠OAN′，OC=OA ，证△OCN ≌△OAN′推出ON=ON′，∠CON=∠AON′，求出∠NOM=∠MON′，根据SAS 证△MON ≌△MON′，推出MN=MN′，即可求出答案；（2）延长CA 到N′，使AN′=CN ，连接OC ，OA ，ON′，证△OCN ≌△OAN′推出ON=ON′，∠CON=∠AON′，求出∠NOM=∠MON′，根据SAS 证△MON ≌△MON′，推出MN=MN′，即可求出答案.【详解】（1）在AM 上截取AN′=CN ，连接ON′，OC ，OA ，∵O 是边AC 和BC 垂直平分线的交点，△ABC 是等边三角形，∴OC=OA ，由三线合一定理得：∠OCB=∠OCA=∠OAC=30°，∠AOC=180°-30°-30°=120°，∴∠OCN=∠OAN′=30°，∵在△OCN 和△OAN′中OC OA NCO OAN AN CN ìïÐÐ¢íï¢î＝＝＝，∴△OCN ≌△OAN′（SAS ），∴ON=ON′，∠CON=∠AON′∴∠N′ON=∠COA=120°，又∵∠MON=60°，∴∠MON=∠MON′=60°∵在△NOM 和△N′OM 中ON ON NOM N OM OM OM ¢ìïÐÐ¢íïî＝＝＝，∴△NOM ≌△N′OM ，∴MN=MN′，∵MN′=AM-AN′=AM-CN ，∴MN=AM-CN ．即AM CN MN =+；（2）延长CA 到N′，使AN′=CN ，连接OC ，OA ，ON′，∵O 是边AC 和BC 垂直平分线的交点，△ABC 是等边三角形，∴OC=OA ，由三线合一定理得：∠OCA=∠OAB=30°，∠AOC=180°-30°-30°=120°，∴∠OCN=∠OAN′，∵在△OCN 和△OAN′中OA OC OCN OAN CN AN ìïÐÐ¢íï¢î＝＝＝，∴△OCN ≌△OAN′（SAS ），∴ON′=ON ，∠CON=∠AON′，∵∠COA=120°，∠NOM=60°，∴∠CON+∠AOM=60°，∴∠AON′+∠AOM=60°，即∠NOM=∠N′OM ，∵在△NOM 和△N′OM 中ON ON NOM N OM OM OM ¢ìïÐÐ¢íïî＝＝＝，∴△NOM ≌△N′OM ，∴MN=MN′，∵MN′=AM+AN′=AM+CN ，∴MN=AM+CN ．【点拨】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的性质和判定，主要考查学生的推理能力和猜想能力，题目具有一定的代表性，证明过程类似．7．（1）AM BN MN +=；证明见解析；（2）AM BN MN +=；证明见解析；（3）补图见解析；BN AM MN -=；证明见解析．【分析】（1）延长CB 到E ，使BE=AM ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可；（2）延长CB 到E ，使BE=AM ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可；（3）在CB 截取BE=AM ，连接DE ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可．【详解】（1）AM BN MN +=．证明如下：如图，延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE ．90A CBD Ð=Ð=°Q ，90A EBD \Ð=Ð=°．ADC BDC QV V ≌，AD BD \=．在DAM △和DBE V 中，AM BE A DBE AD BD =ìïÐ=Ðíï=îQ ，()DAM DBE SAS \V V ≌，BDE MDA \Ð=Ð，DM DE =．MDN ADC BDC Ð=Ð=ÐQ ，ADM NDC BDE \Ð=Ð=Ð，MDC NDB Ð=Ð，MDN NDE \Ð=Ð．在MDN △和EDN △中，DM DE MDN EDN DN DN =ìïÐ=Ðíï=îQ ，()MDN EDN SAS \△≌△，MN NE \=．NE BE BN AM BN =+=+Q ，AM BN MN \+=；（2）AM BN MN +=．证明如下：如图，延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE ．90A CBD Ð=Ð=°Q，90A DBE \Ð=Ð=°．ADC BDC QV V ≌，AD BD \=，ADC CDB Ð=Ð．在DAM △和DBE V 中，AM BE A DBE AD BD =ìïÐ=Ðíï=î，()DAM DBE SAS \V V ≌，BDE MDA \Ð=Ð，DM DE =．90MDN ACD Ð+Ð=°Q ，90ACD ADC Ð+Ð=°，ADC CDB Ð=Ð，NDM ADC CDB \Ð=Ð=Ð，ADM CDN BDE \Ð=Ð=Ð，CDM NDB Ð=Ð，MDN NDE \Ð=Ð．在MDN △和EDN △中，DM DE MDN EDN DN DN =ìïÐ=Ðíï=î，()MDN EDN SAS \△≌△，MN NE \=．NE BE BN AM BN =+=+Q ，AM BN MN \+=；（3）补充完成题图，如图所示．BN AM MN -=．证明如下：如上图，在CB 上截取BE=AM ，连接DE ．90CDA ACD Ð+Ð=°Q ，90MDN ACD Ð+Ð=°，MDN CDA \Ð=Ð，MDA CDN \Ð=Ð．90B CAD Ð=Ð=°Q ，90B DAM \Ð=Ð=°．在DAM △和DBE V 中，AM BE DAM DBE AD BD =ìïÐ=Ðíï=î，()DAM DBE SAS \V V ≌，BDE ADM CDN \Ð=Ð=Ð，DM DE =．ADC BDC MDN Ð=Ð=ÐQ ，ADN CDE \Ð=Ð，MDN EDN \Ð=Ð．在MDN △和EDN △中，DM DE MDN EDN DN DN =ìïÐ=Ðíï=î，()MDN EDN SAS \△≌△，MN NE \=．NE BN BE BN AM =-=-Q ，BN AM MN \-=．【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．8．（1）2；（2）4【分析】（1）根据题意可直接求等腰直角三角形EAC 的面积即可；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，由（1）易证FGH FNK V V ≌，则有FK=FH ，因为HM=GH+MN 易证FMK FMH V V ≌，故可求解．【详解】（1）由题意知21=22ABC ADC ABC ABE AEC ABCD AC S S S S S S =+=+==V V V V V 四边形，故答案为2；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，如图所示：Q FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，\∠FNK=∠FGH=90°，\FGH FNK V V ≌，\FH=FK ，又Q FM=FM ，HM=KM=MN+GH=MN+NK ，\FMK FMH V V ≌，\MK=FN=2cm ，\12=242FGH HFM MFN FMK FGHMN S S S S S MK FN =++=´×=V V V V 五边形．【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，关键是根据截长补短法及割补法求面积的运用．9．（1）∠AFC ＝120°；（2）FE 与FD 之间的数量关系为：DF ＝EF ．理由见解析；（3）AC ＝AE+CD ．理由见解析．【分析】（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC ，∠ACF 即可解决问题;（2）根据在图2的 AC 上截取CG=CD ，证得△CFG ≌△CFD (SAS),得出DF= GF ；再根据ASA 证明△AFG ≌△AFE ，得EF=FG ，故得出EF=FD ；（3）根据(2) 的证明方法，在图3的AC 上截取AG=AE ，证得△EAF ≌△GAF (SAS)得出∠EFA=∠GFA ；再根据ASA 证明△FDC ≌△FGC ，得CD=CG 即可解决问题．【详解】（1）解：∵∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，∴∠BAC ＝90°﹣60°＝30°，∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，∴∠FAC ＝15°，∠FCA ＝45°，∴∠AFC ＝180°﹣（∠FAC+∠ACF ）＝120°（2）解：FE 与FD 之间的数量关系为：DF ＝EF ．理由：如图2，在AC 上截取CG ＝CD ，∵CE 是∠BCA 的平分线，∴∠DCF ＝∠GCF ，在△CFG 和△CFD 中，CG CD DCF GCF CF CF =ìïÐ=Ðíï=î，∴△CFG ≌△CFD （SAS ），∴DF ＝GF ．∠CFD ＝∠CFG由（1）∠AFC ＝120°得，∴∠CFD ＝∠CFG ＝∠AFE ＝60°，∴∠AFG ＝60°，又∵∠AFE ＝∠CFD ＝60°，∴∠AFE ＝∠AFG ，在△AFG 和△AFE 中，AFE AFG AF AFEAF GAF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△AFG ≌△AFE （ASA ），∴EF ＝GF ，∴DF ＝EF ；（3）结论：AC ＝AE+CD ．理由：如图3，在AC 上截取AG ＝AE ，同（2）可得，△EAF ≌△GAF （SAS ），∴∠EFA ＝∠GFA ，AG ＝AE∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°∴∠AFC ＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-12(∠BAC+∠BCA)=180°-12×120°=120°，∴∠EFA ＝∠GFA ＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC ，∴∠CFG ＝∠CFD ＝60°，同（2）可得，△FDC ≌△FGC （ASA ），∴CD ＝CG ，∴AC ＝AG+CG ＝AE+CD ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．10．（1）见解析；（2）HFC BFA Ð=Ð，证明见解析；（3）BP AF PF =+，证明见解析【分析】（1）利用SAS 证明ABE ACD @V V 可得结论；（2）设ABE ACD x Ð=Ð=，推出=45BFA x Ð°+，=45HFC x Ð°+，即可证明HFC BFA Ð=Ð；（3）过点C 作CM AC ^交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，证明△ABE ≌△CAM ，得出BE AM =和M BEA Ð=Ð，从而证明△NFC ≌△MFC ，得到FM FN =和M FNC Ð=Ð，可得PN=PE ，从而得出BP=AF+PF.【详解】解：（1）∵在△ABE 和△ACD 中，==AB AC A A AE AD ìïÐ=Ðíïî，ABE ACD \D @D （SAS ），ABE ACD \Ð=Ð；（2）设ABE ACD x Ð=Ð=，AF BE ^Q ，90BAF x \Ð=°-，()=9045=45BFA x x \Ð°-°-°+，ACD x Ð=Q ，45HCF x \Ð=°-，FP CD ^Q ，()9045=45HFC x x \Ð=°-°-°+，HFC BFA \Ð=Ð；（3）过点C 作CM AC ^交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，90BAF FAC Ð+Ð=°Q ，90BAF ABG Ð+Ð=°，FAC ABG \Ð=Ð，在△ABE 和△CAM 中，===BAE ACM AB AC ABE CAM ÐÐìïíïÐÐî，ABE CAM \D @D （ASA ），BE AM \=，M BEA Ð=Ð，BFA MFC NFC Ð=Ð=ÐQ ，FC FC =，45ACB BCM Ð=Ð=°，NFC MFC \D @D （ASA ），FM FN \=，M FNC Ð=Ð，FNC BEA \Ð=Ð，PN PE \=，∴BP BE PE AM PE AF FM PE =-=-=+-AF FN PN AF PF =+-=+.【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及等角对等边等知识点，解题的关键是根据截长补短法添加适当的辅助线，构造全等三角形证明结论，有一定难度.11．（1）方法1：证明见解析；方法2：证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）方法1：先根据角平分线的定义、平行线的性质得出BAF DAE F Ð=Ð=Ð，再根据等腰三角形的性质可得AB BF =，根据三角形全等的判定定理与性质得出AD FC =，然后根据线段的和差即可得证；方法2：先根据角平分线的定义得出DAE GAE Ð=Ð，再根据三角形全等的判定定理与性质可得,DE GE D AGE =Ð=Ð，然后根据线段中点的定义、等腰三角形的性质可得ECG EGC Ð=Ð，最后根据平行线的性质、平角的定义可得BCG BGC Ð=Ð，由等腰三角形的定义可得BG BC =，由此根据线段的和差即可得证；（2）如图（见解析），参照方法1构造辅助线，先根据等腰三角形的性质得出EF 平分AFG Ð，从而有12EFC AFG Ð=Ð，再根据平行线的性质、角的和差得出60EFC BFC Ð=Ð=°，ECF BCF Ð=Ð，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证．【详解】（1）方法1：如图②，延长AE 、BC 交于点FAE ∵是BAD Ð的平分线BAF DAE\Ð=Ð//AD BCQ DAE F\Ð=ÐBAF F\Ð=ÐAB BF FC BC \==+Q E 是边CD 的中点DE CE\=在ADE V 和FCE △中，DAE F AED FECDE CE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î()ADE FCE AAS \@V V AD FC\=AB FC BC AD BC \=+=+；方法2：如图③，在AB 上取一点G ，使AG AD =，连接EG 、CGAE ∵是BAD Ð的平分线DAE GAE\Ð=Ð在ADE V 和AGE V 中，AD AG DAE GAEAE AE =ìïÐ=Ðíï=î()ADE AGE SAS \@V V ,DE GE D AGE\=Ð=ÐQ E 是边CD 的中点DE CE\=CE GE\=ECG EGC\Ð=Ð//AD BCQ 180D BCD °\Ð+Ð=，即180D ECG BCG Ð+Ð+Ð=°180AGE EGC BCG \Ð+Ð+Ð=°，即180AGC BCG Ð+Ð=°又180AGC BGC Ð+Ð=°Q BCG BGC\Ð=ÐBG BC\=AB AG BG AD BC \=+=+；（2）如图，过点C 作//CG AD ，交AE 延长线于点G ，延长GC 交AB 于点F ，连接EF 由方法1可知：,AF GF AE GE==AFG \V 是等腰三角形EF \平分AFG Ð12EFC AFG \Ð=Ð//CG AD Q ，60BAD Ð=°60,180120BFC BAD AFG BAD \Ð=Ð=°Ð=°-Ð=°60EFC \Ð=°//CG ADQ 180D ECF \Ð+Ð=°11802D BCD °Ð+Ð=Q ，即1()1802D ECF BCF Ð+Ð+Ð=°1()2ECF ECF BCF \Ð=Ð+ÐECF BCF\Ð=Ð在ECF △和BCF △中，60EFC BFC CF CFECF BCF Ð=Ð=°ìï=íïÐ=Ðî()ECF BCF ASA \@V V CB CE \=．【点拨】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2），参照方法1，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．12．（1）60°；（2）EF=AF+FC ，证明见解析；（3）AF=EF+2DF ，证明见解析．【分析】（1）可设∠BAD ＝∠CAD ＝α，∠AEC ＝∠ACE ＝β，在△ACE 中，根据三角形内角和可得2α＋60＋2β＝180°，从而有α＋β＝60°，即可得出∠DFC 的度数；（2）在EC 上截取EG ＝CF ，连接AG ，证明△AEG ≌△ACF ，然后再证明△AFG 为等边三角形，从而可得出EF ＝EG ＋GF ＝AF ＋FC ；（3）在AF 上截取AG ＝EF ，连接BG ，BF ，证明方法类似（2），先证明△ABG ≌△EBF，再证明△BFG为等边三角形，最后可得出结论．【详解】解：（1）∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴可设∠BAD＝∠CAD＝α，又△ABE为等边三角形，∴AE=AB=AC，∠EAB=60°，∴可设∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，2α＋60°＋2β＝180°，∴α＋β＝60°，∴∠DFC=α＋β＝60°；（2）EF=AF+FC，证明如下：∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠FDC=90°，∵∠CFD＝60°，则∠DCF=30°，∴CF＝2DF，在EC上截取EG＝CF，连接AG，又AE=AC，∴∠AEG=∠ACF，∴△AEG≌△ACF（SAS）,∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF，又∠CAF=∠BAD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠GAF＝∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°，∴△AFG为等边三角形，∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC，即EF=AF+FC；（3）补全图形如图所示，结论：AF=EF+2DF ．证明如下：同（1）可设∠BAD ＝∠CAD ＝α，∠ACE ＝∠AEC ＝β，∴∠CAE ＝180°－2β，∴∠BAE ＝2α＋180°－2β＝60°，∴β－α＝60°，∴∠AFC=β－α＝60°，又△ABE 为等边三角形，∴∠ABE=∠AFC=60°，∴由8字图可得：∠BAD ＝∠BEF ，在AF 上截取AG ＝EF ，连接BG ，BF ，又AB=BE ，∴△ABG ≌△EBF （SAS ），∴BG ＝BF ，又AF 垂直平分BC ，∴BF=CF ，∴∠BFA=∠AFC=60°，∴△BFG 为等边三角形，∴BG=BF ，又BC ⊥FG ，∴FG=BF=2DF ，∴AF ＝AG ＋GF ＝BF ＋EF ＝2DF ＋EF ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是常用辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．13．（1）90A Ð=°；（2）见解析；（3）4【分析】（1）设.DBC x Ð=推出2ABC x Ð=，3ABC ACB ACD x Ð=Ð=Ð=，5D x Ð=，利用三角形内角和定理构建方程求出x 即可；（2）先依据ASA 证明BEA CDA △≌△，再依据全等三角形的性质得到AE AD =，结合AE AD ^，依据三角形内角和求出45AED Ð=°,再依据三角形外角的性质及等式的基本性质即可求证；（3）根据直角三角形的面积公式求出AB ，延长AG 至K ，使GK AG =，连接CK ，先依据SAS 证明AEG KCG △≌△，结合等量代换得到AE KC AD ==，ACK BAD Ð=Ð，再依据SAS 证明AKC BDA △≌△，依据全等的性质求得CAG ABD Ð=Ð215=´°30=°，从而得到60BAF Ð=°，继而得到90AFB Ð=°，最后依据直角三角形30度角的性质解决问题．【详解】()1解：如图1中，设DBC x Ð=．2ABD DBC Ð=ÐQ ，AB AC =，2ABD x \Ð=，3ABD ACB x Ð=Ð=，AC Q 平分BCD Ð，3ACD ACB x \Ð=Ð=，26DCB ACB x Ð=Ð=,5D ABD ACD x Ð=+Ð=Q ，又∵在BCD D 中，180D DBC DCB Ð+Ð+Ð=°，56180x x x \++=°，15x \=°，45ABC ACB \Ð=Ð=°，30ABD Ð=°，180454590A \Ð=°-°-°=°；（2）AE AD ^Q ,90EAD \Ð=°,90BAC EAD Ð=Ð=°Q ,BAC EAC EAD EAC \Ð-Ð=Ð-Ð,BAE CAD \Ð=Ð,=345ABE x ACD Ð=°=ÐQ ，AB AC=()BEA CDA ASA \△≌△AE AD \=，又∵90EAD Ð=°,∴45AED ADE Ð=Ð=°又AEC ABE BAE AED DEC Ð=Ð+Ð=Ð+ÐQ ，DEC BAE \Ð=Ð；（3）延长AG 至K ，使GK AG =，连接CKQ 点G 为CE 的中点，EG CG \=，AGE KGC Ð=ÐQ ，()AEG KCG SAS \△≌△，AE KC \=，AEG KCG Ð=Ð，AE KC AD \==，45ACK ACB KCG AECÐ=Ð+Ð=°+Ð4590ABE BAE BAE BAD=°+Ð+Ð=°+Ð=ÐAB AC=Q ()AKC BDA SAS \△≌△21530CAG ABD Ð=Ð=´°=°60BAF \Ð=°90AFB \Ð=°32ABC S =V Q 211=3222AB AC AB \´=8AB \=142AF AB \==．【点拨】本题属于三角形综合题，考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的判定和性质，含30度的直角三角形的性质，第（1）问的关键在于设未知数，列方程；第（2）问的关键得到了等腰直角三角形和利用三角形的外角性质建立起了两个待证量之间的等式；第（3）问的关键在于作辅助线证明了30CAG Ð=°.14．2AB AD BE =+，证明见解析【分析】在AB 上截取EF ，使EF=BE ，联结CF ．证明()BCE ECF SAS V V ≌，得到B BFC Ð=Ð，又证明AFC ADC V V ≌，得到AF AD =，最后结论可证了．【详解】证明:在AB 上截取EF ，使EF=BE ，联结CF ．CE AB^Q 90BEC FEC \Ð=Ð=°在BCE V 和ECF △BE EFBEC FECCE CE=ìïÐ=Ðíï=î ()BCE ECF SAS \V V ≌ B BFC\Ð=Ð 180B D Ð+Ð=°Q 180BFC AFC Ð+Ð=°Q 又D AFC \Ð=ÐQ AC 平分∠BADFAC DAC\Ð=Ð在AFC △ 和ADC V中AFC D FAC DACAC AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î()AFC ADC AAS \V V ≌AF AD\=AB AF BE EF=++Q 2AB AD BE\=+【点拨】本题考查三角形全等知识的综合应用，关键在于寻找全等的条件，作适当的辅助线加以证明．15．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）在EF 上截取EH BE =，由“SAS ”可证ACF AHF D @D ，可得CF HF =，可得结论；（2）在BE 的延长线上截取EN BE =，连接AN ，由“SAS ”可证ACF ANF D @D ，可得CF NF =，可得结论．【详解】解：证明：（1）如图，在EF 上截取EH BE =，连接AH ，EB EH =Q ，AE BF ^，AB AH \=，AB AH =Q ，AE BH ^，BAE EAH \Ð=Ð，AB AC =Q ，AC AH \=，12EAF BAC Ð==ÐQ BAE CAF EAF \Ð+Ð=Ð，BAE CAF EAH FAH \Ð+Ð=Ð+Ð，CAF HAF \Ð=Ð，在ACF D 和AHF D 中，AC AH CAF HAF AF AF =ìïÐ=Ðíï=î，()ACF AHF SAS \D @D ，CF HF \=，EF EH HF BE CF \=+=+；（2）如图，在BE 的延长线上截取EN BE =，连接AN ，AE BF ^Q ，BE EN =，AB AC =，AN AB AC \==，AN AB =Q ，AE BN ^，BAE NAE \Ð=Ð，12EAF BAC Ð==ÐQ 1(2)2EAF NAE BAC NAE \Ð+Ð=Ð+Ð12FAN CAN \Ð=Ð，FAN CAF \Ð=Ð，在ACF D 和ANF D中，AC AN CAF NAF AF AF =ìïÐ=Ðíï=î，()ACF ANF SAS \D @D ，CF NF \=，2CF BF BE \=+．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．16．（1）见详解；（2）108°；（3）见详解【分析】（1）如图1，过D 作DM ⊥AB 于M ，由 CA ＝CB ，90ACB =°，得ABC V 是等腰直角三角形，根据角平分线的性质得到CD ＝MD ，∠ABC ＝45°，根据全等三角形的性质得到AC ＝AM ，于是得到结论；（2）如图2，设∠ACB ＝α，则∠CAB ＝∠CBA ＝90°−12α，在AB 上截取AK ＝AC ，连结DK ，根据角平分线的定义得到∠CAD ＝∠KAD ，根据全等三角形的性质得到∠ACD ＝∠AKD ＝α，根据三角形的内角和即可得到结论；（3）如图3，在AB 上截取AH ＝AD ，连接DH ，根据等腰三角形的性质得到∠CAB ＝∠CBA ＝40°，根据角平分线的定义得到∠HAD ＝∠CAD ＝20°，求得∠ADH ＝∠AHD ＝80°，在AB 上截取AK ＝AC ，连接DK ，根据全等三角形的性质得到∠ACB ＝∠AKD ＝100°，CD ＝DK ，根据等腰三角形的性质得到DH ＝BH ，于是得到结论．【详解】（1）如图1，过D 作DM ⊥AB 于M ，∴在ABC V 中，AC BC =，∴∠ABC ＝45°，∵∠ACB ＝90°，AD 是角平分线，∴CD ＝MD ，∴∠BDM ＝∠ABC ＝45°，∴BM ＝DM ，∴BM ＝CD ，在RT △ADC 和RT △ADM 中，CD MD AD AD ìíî＝＝，∴RT △ADC ≌RT △ADM （HL ），∴AC ＝AM ，∴AB ＝AM ＋BM ＝AC ＋CD ，即AB ＝AC ＋CD ；（2）设∠ACB ＝α，则∠CAB ＝∠CBA ＝90°−12α，在AB 上截取AK ＝AC ，连结DK ，如图2，∵AB ＝AC ＋BD ，AB=AK+BK∴BK ＝BD ，∵AD 是角平分线，∴∠CAD ＝∠KAD ，在△CAD 和△KAD 中，AC AK CAD KAD AD AD ìïÐÐíïî＝＝＝∴△CAD ≌△KAD （SAS ），∴∠ACD ＝∠AKD ＝α，∴∠BKD ＝180°−α，∵BK ＝BD，∴∠BDK ＝180°−α，∴在△BDK 中，180°−α＋180°−α＋90°−12α＝180°，∴α＝108°，∴∠ACB ＝108°；（3）如图3，在AB 上截取AH ＝AD ，连接DH ，∵∠ACB ＝100°，AC ＝BC ，∴∠CAB ＝∠CBA ＝40°，∵AD 是角平分线，∴∠HAD ＝∠CAD ＝20°，∴∠ADH ＝∠AHD ＝80°，在AB 上截取AK ＝AC ，连接DK ，由（1）得，△CAD ≌△KAD ，∴∠ACB ＝∠AKD ＝100°，CD ＝DK ，∴∠DKH ＝80°＝∠DHK ，∴DK ＝DH ＝CD ，∵∠CBA ＝40°，∴∠BDH ＝∠DHK -∠CBA =40°，∴DH ＝BH ，∴BH ＝CD ，∵AB ＝AH ＋BH ，∴AB ＝AD ＋CD ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．17．（1）AB CD BC +=，见解析；（2）成立，见解析【分析】（1）先写出数量关系，过E 作EF BC ^于F ，然后证明CDE CFE D @D 和ABE FBE @D D ，便可得结论了．（2）成立, 在BC 上截取CF CD =证明CDE CFE D @D 和ABE FBE @D D ，便可得到结论．【详解】()1AB CD BC+=理由是：过E 作EF BC ^于FCE 为角平分线DCE FCE \Ð=Ð//AB DC AB AD^Q ，90D \Ð=oEF BC^Q D CFE \Ð=ÐCE CE =Q()CDE CFE AAS D @D CD CF\=同理可证()ABE FBE AAS D @D AB BF \=CF BF AB+=AB CD BC\+=()2成立理由：在BC 上截取CF CD=CE 为角平分线DCE FCE\Ð=ÐCE CE=Q ()CDE CFE SAS D @D CD CF \= D CFE Ð=ÐQ //AB DC180D A \Ð+Ð=o又180CFE EFB Ð+=o QA EFB \Ð=Ð又BE Q 是角平分线ABE FBE \Ð=ÐBE BE =Q()BAE BFE AAS D @D AB FB\=\ CF BF AB+=AB CD BC\+=18．（1）7DC =；（2）见解析；（3）1902PBQ ADC Ð=°+Ð，证明见解析【分析】（1）根据已知条件得出BDC V 为直角三角形，再根据HL 证出△≌△Rt BAD Rt BCD ，从而证出AD CD =即可得出结论；（2）如图2，延长DC 到 K ，使得CK=AP ，连接BK ，通过证△BPA ≌△BCK （SAS ）得到：∠1=∠2，BP=BK ．然后根据SSS 证明得≌PBQ BKQ V V ，从而得出21PBQ CBQ CBQ Ð=Ð+Ð=Ð+Ð，然后得出结论；。

三角形常见辅助线的作法专题一

∵ BD是∠ABC的角平分线（已知） DN⊥BA，DM⊥BC（已知）
∴ ND=MD（角平分线上的点到这
N A
4
3
D
个角的两边距离相等）
∵ DN⊥BA，DM⊥BC（已知） ∴△NAD和△MCD是Rt△ 在Rt△NAD和Rt△MCD中
1 2 B
MC
∵ ND=MD （已证）
∵ ∠3+ ∠4＝180°（平角定义）
A
∵ AD是∠BAC的角平分线（已知）
∴∠1=∠2（角平分线定义）
12
在△AED和△ACD中
E3
∵ AE=AC（已知） ∠1=∠2（已证）
4
B
D
C
AD=AD（公共边）
∴△AED≌△ACD（S.A.S）
∴∠B=∠4（等边对等角）
∴ ∠C＝∠3（全等三角形的对应角相等) ∵ ∠3= ∠ B+∠4= 2∠B
可以利用角平分线所在直线
作对称轴，翻折三角形来构造全
A
等三角形。
方法一：在AB上截取AE=AC， E
连结DE。
必有结论： △ADE≌△ADC。 B
D
C
ED=CD ，∠AED=∠C ，∠ADE=∠ADC。
123*
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。
可以利用角平分线所在直
线作对称轴，翻折三角形来
A
1
2 ∵ AD=CD（已知），AD=DE（已证） 3 ∴DE=DC（等量代换）
*
∴∠4=∠C（等边对等角）
∠A＝∠3（已证） ∴∠A+ ∠C＝180°
（等量代换）
例1 已知：如图，在四边形ABCD中，BD是
∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：

专题全等三角形的常见辅助线

方法一作平行线法变式12．如图，△ABC 中，AB =AC ,在AB 上取一点E ，在AC 的延长线上取一点F ，使CF =BE ,连接EF ，交BC 于点D ．求证：DE =DF 作平行，构造全等．利用的思维模式是全等变换中的“平移”．【例题1】1．△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠C ＝40°，AP 平分∠BAC 交BC 于P ，BQ 平分∠ABC 交AC 于Q ，求证：AB ＋BP＝BQ ＋AQ ．（有多种辅助线作法）．专题全等三角形的常见辅助线变式23．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，延长BC 到点F ，使CF ＝12BC ．连结CD 、EF ，那么CD 与EF 相等吗？请证明你的结论．变式34．如图所示，ABC ∆为等边三角形，边长为4，点O 为BC 边中点，120EOF ∠=︒，其两边分别交AB 和CA 的延长线于E ，F ，求AE AF -的值.变式45．如图，将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD 上使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于点Q ，当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与线段PB 之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论．培优变式56．如图1，已知ABC 和EFC 都是等边三角形，且点E 在线段AB 上．（1）过点E 作//EG BC 交AC 于点G ，试判断AEG △的形状并说明理由；（2）求证：//BF AC ；（3）如图2，若点D 在射线CA 上，且ED EC =，求证：AB AD BF =+．方法二作垂直法作垂直，构造全等．分为做1条垂直辅助线和2条垂直辅助线．可以利用通过作角平分线上的点两边的距离得全等，或截取等长线段得全等；思维模式是全等变换中的“轴对称”即“对折”．【例题2】7．如图，△ABC中，AB＝2AC，AD平分∠BAC，且AD＝BD．求证：CD⊥AC．变式18．如图所示，在四边形ABCD 中，AC 平分,DAB CD CB ∠=，求证：180B D ∠+∠= ．变式29．已知：∠AOB+∠CPD =180°，OM 是∠AOB 的平分线，将三角板的直角顶P 在射线OM 上滑动，两直角边分别与OA 、OB 交于C 、D ．求证：PC=PD ．变式310．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF．求证：∠ADC＝∠BDF．变式411．如图，在梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB的中点，DE平分∠ADC．(1)求证：CE平分∠BCD；(2)求证：AD+BC=CD．培优变式512．已知如图,在△ABC中,以AB、AC为直角边,分别向外作等腰直角三角形ABE、ACF,连结EF,过点A作AD⊥BC,垂足为D,反向延长DA交EF于点M.（1）用圆规比较EM与FM的大小.（2）你能说明由(1)中所得结论的道理吗?方法三倍长中线法倍长中线主要用于证明全等三角形，其主要是在全等三角形的判定过程中，遇到一般三角形边上的中线或中点，考虑中线倍长；思维模式是全等变换中的“旋转”，可转移元素或将分散的条件聚集拢来．其主要的图形特征和证明方法如图：已知：在三角形ABC中，O为BC边中点，辅助线：延长AO到点D使AO＝DO，结论：△AOB≌△DOC证明：延长AO到点D使AO＝DO，由中点可知，OB＝OC，在△AOB 和△DOC 中OA OD AOB DOC OB OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOB ≌△DOC同理在下图中仍能得到△AOB ≌△DOC规律总结：由倍长中线法证明三角形全等的过程一般均是用SAS 的方法，这是由于作出延长线后出现的对顶角决定的．补充：关于倍长中线的其他方法①向中线做垂直，易证△BEO ≌△CDO步骤：延长AO 到点D ，过点B ，C 分别向AD 作垂线，垂足为E ，D ，易证△BEO ≌△CDO （AAS ）②过中线做任意三角形证明全等，易证△BDO ≌△CEO步骤：在AC 上任意选取一点E ，连接EO 并延长到点D ，使EO ＝DO ，连接BD ，易证△BDO ≌△CEO （SAS ）点拨：倍长中线的思路：已知中线——作中线倍长线——证全等——找大小关系【例题3】13．如图，AD 是ABC 的中线，,E F 分别在边,AB AC 上（,E F 不与端点重合），且DE DF ⊥，则（）．A ．BE CF EF+>B ．BE CF EF +=C ．BE CF EF+<D ．BE CF +与EF 的长短关系不确定变式14．如图，901,2,AB CD BCD AB BC CD E ∠=︒=== ，，为AD 上的中点，则BE ＝______．变式15．如图，ABC ∆中，D 为BC 的中点，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于F ，BE AC =，且9BF =，6CF =，那么AF 的长度为__．变式16．如图，E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且∠BAE ＝∠CDE.求证：AB ＝CD .变式17．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】（1）如图1，AD 是ABC 的中线，延长AD 至点E ，使ED AD =，连接BE ，证明：ACD EBD △≌△．【理解与应用】（2）如图2，EP 是DEF 的中线，若5EF =，3DE =，设EP x =，则x 的取值范围是________．（3）如图3，AD 是ABC 的中线，E 、F 分别在AB 、AC 上，且DE DF ⊥，求证：BE CF EF +>．培优变式18．问题探究：小红遇到这样一个问题：如图1，ABC 中，6AB =，4AC =，AD 是中线，求AD 的取值范围．她的做法是：延长AD 到E ，使DE AD =，连接BE ，证明BED CAD △≌△，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：（1）小红证明BED CAD △≌△的判定定理是：__________________________________________；（2）AD 的取值范围是________________________；方法运用：（3）如图2，AD 是ABC 的中线，在AD 上取一点F ，连结BF 并延长交AC 于点E ，使AE EF =，求证：BF AC =．（4）如图3，在矩形ABCD 中，12AB BC =，在BD 上取一点F ，以BF 为斜边作Rt BEF △，且12EF BE =，点G 是DF 的中点，连接EG ，CG ，求证：=EG CG ．方法四截长补短法基本方法已知条件在ABC 中，,AB AC AM >平分BAC∠辅助线作（1）在AB 上截取AD AC =；（2）把AC 延长到点E ，使AB AE =法可用结论截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段．理论依据（1）因为AM 平分BAC ∠，且AD AC =，所以(SAS)AMD AMC ≌；（2）因为AM 平分BAC ∠，且AE AB=，所以(SAS)AMB AME ≌【例题4】19．在ABC 中，60ABC ∠=︒，点D 、E 分别在AC 、BC 上，连接BD 、DE 和AE ；并且有AB BE =，AED C ∠=∠．（1）求CDE ∠的度数；（2）求证：AD DE BD +=．变式120．如图，在ABC 中，AD 为BAC ∠的平分线，如图，若2,12,7.2C B AB AC ∠=∠==，求线段CD 的长度．变式221．如图，P为等边△ABC外一点，AH垂直平分PC于点H，∠BAP的平分线交PC于点D．（1）求证：DP＝DB；（2）求证：DA+DB＝DC；变式322．在等边△ABC中，E为BC边上一点，G为BC延长线上一点，过点E作∠AEM＝60°，交∠ACG的平分线于点M．（1）如图1，当点E在BC边的中点位置时，求证：AE＝EM；（2）如图2，当点E在BC边的任意位置时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．变式423．如图，在Rt△BCD中，∠CBD=90°，BC=BD，点A在CB的延长线上，且BA=BC，点E在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F．（1）当点E在线段BD上移动时，如图（1）所示，求证：AE=EF；（2）当点E在直线BD上移动时，如图（2）、图（3）所示，线段AE与EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．变式524．如图1，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠ADC=180°，点E ，F 分别在四边形ABCD 的边BC ，CD 上，∠EAF=12∠BAD ，连接EF ，试猜想EF ，BE ，DF 之间的数量关系．（1）思路梳理将△ABE 绕点A 逆时针旋转至△ADG ，使AB 与AD 重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F ，D ，G 三点共线，易证△AFG ≌△AFE ，故EF ，BE ，DF 之间的数量关系为__；（2）类比引申如图2，在图1的条件下，若点E ，F 由原来的位置分别变到四边形ABCD 的边CB ，DC 延长线上，∠EAF=12∠BAD ，连接EF ，试猜想EF ，BE ，DF 之间的数量关系，并给出证明．（3）联想拓展如图3，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D ，E 均在边BC 上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接写出DE 的长为________________.培优变式625．通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．【解决问题】如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，则EF BE DF =+，试说明理由．证明：延长CD 到G ，使DG BE =，在ABE 与ADG △中，90AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴ABE ADG △≌△理由：（SAS ）进而证出：AFE △≌___________，理由：（__________）进而得EF BE DF =+．【变式探究】如图，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒点E 、F 分别在边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒．若B ∠、D ∠都不是直角，则当B ∠与D ∠满足等量关系________________时，仍有EF BE DF =+．请证明你的猜想．【拓展延伸】如图，若AB AD =，90≠︒∠BAD ，45EAF ∠≠︒，但12EAF BAD ∠=∠，90B D ∠=∠=︒，连接EF ，请直接写出EF 、BE 、DF 之间的数量关系．方法五补全图形法补全定理图形或基本图形，运用定理或基本结论解题．【例题5】26．如图，已知等腰直角三角形ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，BF 平分ABC ∠，CD BD ⊥交BF 的延长线于点D ，试说明：2BF CD =．变式127．如图，在ABC ∆中，,90,AC BC ACB BD =∠= 平分ABC ∠，且AE 垂直于BD 的延长线于点E ，求证：2BD AE =．变式228．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，直角EPF ∠的顶点P 是BC 中点，两边PE 、PF 分别交AB 、CA 的延长线于点E 、F ．（1）求证：AE ＝CF ；（2）求证：△EPF 是等腰直角三角形；（3）求证：∠FEA ＋∠PFC ＝45°；（4）求证：S △PFC －S △PBE ＝12S △ABC ．方法六旋转法常见通过旋转构造全等的情况1、等腰三角形的旋转2、等边三角形的旋转3、四边形旋转4、正方形旋转根据想要转换的线段以及“共顶点等线段"的特点锁定旋转目标，添加辅助线促成全等，实现线段或角度在位置上的变化，再根据题目中的具体条件从而解决问题．【例题6】29．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝120°，AC ＝2，则四边形ABCD 的面积为________变式130．在ABC 中，90,ACB CA CB ∠=︒=，点,E F 在AB 边上，45ECF ∠=︒．若10,15AE EF ==，则BF 的长为__________．变式231．如图，在Rt △ABC 和Rt △BCD 中，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，BC ＝8，AB ＝AC ，∠CBD ＝30°，BD ＝M ，N 分别在BD ，CD 上，∠MAN ＝45°，则△DMN 的周长为_____．变式332．如图，等腰三角形ABC 中，BA BC =，ABC α∠=．作AD BC ⊥于点D ，将线段BD 绕着点B 顺时针旋转角α后得到线段BE ，连接CE ．（1）求证：BE CE ⊥；（2）延长线段AD ，交线段CE 于点F ．求CFA ∠的度数（用含有α的式子表示）．培优变式433．阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，∠EAF=45°，连结EF ，则EF=BE+DF ，试说明理由．小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB ，AD 是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE 绕着点A 逆时针旋转90°得到△ADG ，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°．若∠B，∠D 都不是直角，则当∠B与∠D满足_关系时，仍有EF=BE+DF；（2）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，求DE的长．。

专题：三角形全等常用辅助线及模型(答案)

专题：三角形全等常用辅助线及模型※题型讲练考点一三角形全等常见辅助线一：倍长中线法1．如图，在△ABC中，D为BC的中点．(1)求证：AB+AC>2AD；(2)若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．解：(1)延长AD至点E，使DE=AD，连接BE．∵D为BC的中点，∴CD=BD．又∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，∴△ADC≌△EDB．∴AC=EB．∵AB+BE>AE，∴AB+AC>2AD．(2)∵AB-BE<AE<AB+BE，∴AB-AC<2AD<AB+AC．∵AB=5，AC=3，∴2<2AD<8．∴1<AD<4．2．如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，M为BC的中点，求证：(1)DE=2AM；(2) AM⊥DE．证明：(1)延长AM至点N，使MN=AM，连接BN．∵M为BC的中点，∴BM=CM．又∵AM=MN，∠AMC=∠NMB，∴△AMC≌△NMB(SAS)，∴AC=BN，∠C=∠NBM，∴∠ABN=∠ABC+∠NBM=∠ABC+∠C=180°-∠BAC=∠EAD．∵AD=AC，AC=BN，∴AD=BN．又∵AB=AE，∴△ABN≌△EAD(SAS)，∴DE=NA．又∵AM=MN，∴DE=2AM．(2)互余证法，证明略；3．如图，△ABC中，BD=AC，∠ADC=∠CAD，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE．解：延长AE到M，使EM=AE，连结DM易证△DEM≌△CEA∴∠C=∠MDE, DM=AC又BD=AC∴DM=BD,又∠ADB=∠C +∠CAD，∠ADM=∠MDE+∠ADC，∠ADC=∠CAD∴∠ADM=∠ADB∴△ADM≌△ADB∴∠BAD=∠MAD即AD平分∠BAE考点二三角形全等常见辅助线二：截长补短法1．如图，已知AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，CE的延长线交AP于点D．求证：AD+BC=AB．证明：在AB上截取AF=AD，∵AE平分∠PAB，∴∠DAE=∠FAE，在△DAE和△FAE中，∴△DAE≌△FAE(SAS)，∴∠AFE=∠ADE．∵AD∥BC，∴∠ADE+∠C=180°，∵∠AFE+∠EFB=180°，∴∠EFB=∠C．∵BE平分∠ABC，∴∠EBF=∠EBC，在△BEF和△BEC中，∴△BEF≌△BEC(AAS)，∴BC=BF，∴AD+BC=AF+BF=AB．2．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B ＝∠ADC＝90°．E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°．求证：EF＝FD＋BE．证明：如图，延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG．∵∠B＝∠ADC＝90°，∴∠B＝∠ADG＝90°．∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG．∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG．又∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠FAD＝60°，∠DAG＋∠FAD＝60°．即∠GAF＝60°，∴∠EAF＝∠GAF＝60°．∴△EAF≌△GAF．∴EF＝GF＝FD＋DG，∴EF＝FD＋BE．考点三三角形全等常见模型一：一线三等角1．如图，在△ABC中，AB＝AC，P、M分别在BC、AC边上，且∠APM＝∠B，若AP＝MP，求证：PB＝MC.证明：∵∠B＋∠BAP＝∠APM＋∠CPM，∠B＝∠APM，∴∠BAP＝∠CPM.∵AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．∴∠B＝∠C，又∵AP＝PM，∴△APB≌△PMC.∴PB＝MC 2．如图，一次函数y=－23x+4的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，以AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．则过B，C两点的直线表达式为y=15x+4．3．(1)已知，如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E，则线段BD、CE、DE之间的关系是：DE＝BD＋CE ；(2)如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意钝角，请问(1)中结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．图①图②解：(1)DE＝BD＋CE．(2)当α为任意钝角时，结论DE＝BD＋CE仍成立，理由：∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°－α，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，⎩⎨⎧∠ABD＝∠CAE，∠BDA＝∠AEC，AB＝CA，∴△ADB≌△CEA(AAS)，∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE．考点四三角形全等常见模型二：手拉手1．如图，△ABC，△CDE是等边三角形，B，C，E三点在同一直线上，连接AE、BD交于点O．(1)求证：AE=BD；(2)求∠BOE的度数；(3)若BD和AC交于点M，AE和CD交于点N，求证：CM=CN．解：(1)∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°．∴∠BCD=∠ACE=120°．在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE=BD．(2) ∠BOE的度数为120°；(3)∵△ACE≌△BCD，∴∠CBD=∠CAE．∵∠ACN=180°-∠ACB-∠DCE=60°，∴∠BCM=∠ACN．在△BCM和△ACN 中，∴△BCM≌△ACN(ASA)，∴CM=CN．2．如图，∠BAD =∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CF，垂足为F．(1)求证：BC=DE．(2)求∠EAF的度数；(3)若AC=10，求四边形ABCD的面积．解：(1)易证△ABC≌△ADE(SAS)，∴BC=DE．(2) ∠EAF的度数为135°；(3) 四边形ABCD的面积=三角形ACE的面积=50．※课后练习1．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D，E．AD=3，BE=1，则DE的长是 2 ．2．如图，C为线段AE上的一个动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD=BE；②∠AOB=60°；③AP=BQ；④DE=DP．其中正确的是①②③．(填序号)3．如图，AB=AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD=∠ACE．求证：AD=AE．证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE，AB=AC，∠ABD=∠ACE，∴△ABD≌△ACE，∴AD=AE．4．正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，∠EAF=45°，求证：BE+DF=EF．证明：延长EB使得BG=DF，连接AG，在△ABG和△ADF中，由AB＝AD，∠ABG＝∠ADF＝90°，BG＝DF，可得△ABG≌△ADF（SAS），∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，又∵∠EAF=45°∴∠GAE=∠EAF=45°在△AEG和△AEF中，AE＝AE，∠GAE=∠EAF，AG＝AF∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EF=GE= BG+BE即BE+DF=EF．5．如图，D是△ABC的边BC上的点，且CD=AB，∠ADB= ∠BAD，AE是△ABD的中线．求证：AC=2AE．解：延长AE到M ，使EM=AE，连结DM易证△DEM≌△BEA∴∠B=∠MDE, DM=AB又CD=AB∴DM=CD,又∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADM=∠MDE+∠ADB，∠ADB=∠BAD∴∠ADM=∠ADC∴△ADM≌△ADC∴AC=AM=2AE6．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，AD，CE交于O．(1)求∠AOC的度数；(2)求证：AC＝AE＋CD．解：(1)∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°－∠B＝120°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2＋∠3＝60°，∴∠AOC＝180°－60°＝120°；(2)在AC上截取AF＝AE，连接OF，∵AE＝AF，∠1＝∠2，AO＝AO，∴△AEO≌△AFO(SAS)，∴∠AOE＝∠AOF，∵∠AOC＝120°，∴∠AOE＝∠DOC＝60°，∴∠AOF＝∠COF＝60°，在△OFC和△ODC中，⎩⎨⎧∠FOC＝∠DOC＝60°，OC＝OC，∠3＝∠4，∴△OFC≌△ODC(ASA)，∴FC＝DC，∵AF＋FC＝AC，∴AC＝AE＋CD．7．Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D为射线AB上一点，连接CD，过点C作线段CD的垂线l，在直线l上分别在点C 的两侧截取与线段CD相等的线段CE和CF，连接AE，BF．(1)当点D在线段AB上时(点D不与点A，B重合)，如图1，线段BF，AD所在直线的位置关系为垂直，线段BF，AD的数量关系为相等．(2)当点D在线段AB的延长线上时，如图2，则(1)中的结论是否仍然成立?如果成立请证明；如果不成立，请说明理由．解：(2)成立．理由如下：∵CD⊥EF，∴∠DCF=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCF+∠BCD=∠ACB+∠BCD，即∠ACD=∠BCF，∵BC=AC，CD=CF，∴△ACD≌△BCF，∴AD=BF，∠BAC=∠FBC，∴∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，即BF⊥AD．8．如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D 是中点，求证：BE+CF＞EF．证明：延长FD至G，使得GD=DF，连接BG，EG∵在△DFC和△DGB中，DF=DG∠CDF=∠BDGDC=DB，∴△DFC≌△DGB（SAS），∴BG=CF，∵在△EDF和△EDG中DF=DG∠FDE=∠GDE=90°DE=DE∴△EDF≌△EDG（SAS），∴EF=EG在△BEG中，两边之和大于第三边，∴BG+BE＞EG又∵EF=EG，BG=CF，∴BE+CF＞EF．9．如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AM∥BN，按下列要求画图并回答：画∠MAB、∠NBA的平分线交于E(1)求∠AEB的度数；(2)过点E作一直线交AM于D，交BN于C，求证：DE=CE；(3)无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，①AD+BC=AB；②AD+BC=CD谁成立？并说明理由．解：（1）∵AM∥BN，∴∠MAB+∠ABN=180°，又AE，BE分别为∠MAB、∠NBA的平分线，∴∠1+∠3=（∠MAB+∠ABN）=90°，∴∠AEB=180°-∠1-∠3=90°，即∠AEB为直角；（2）过E点作辅助线EF使其平行于AM，∵AM∥BN，EF∥BC，∴EF∥AD∥BC，∴∠AEF=∠4，∠BEF=∠2，∵∠3=∠4，∠1=∠2，∴∠AEF=∠3，∠BEF=∠1，∴AF=FE=FB，∴F为AB的中点，又EF∥AD∥BC，根据平行线等分线段定理得到E为DC中点，∴ED=EC；（3）由（2）中结论可知，无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，总满足EF为梯形ABCD中位线的条件，所以总有AD+BC=2EF=AB．所以①成立。

三角形问题常见辅助线添加学生版

三角形问题常有协助线增添方法专题三角形问题常有协助线增添方法1、等腰三角形利用“三线合一”的性质解题2、倍长中线：使延伸线段与原中线长相等，结构全等三角形3、角均分线五种增添协助线4、垂直均分线连结线段两头5、用截长或补短法：碰到有线段和差问题的6、图形补全法：有一个60°或 120°角，把该角添线后组成等边三角形7、角度数为30°、 60°的作垂线法，能够从角一边上一点向角的另一边作垂线8、计算数值法：碰到等腰直角三角形、正方形，计算边长与角的度数，这样能够获得在数值上相等的二边或二角，进而为证明全等创建边、角条件9、利用翻折，结构全等三角形10、引平行线结构全等三角形11、作连线结构等腰三角形找全等三角形的方法：（1）能够从结论出发，找寻要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）能够从已知条件出发，看已知条件能够确立哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确立哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不行行，可考虑增添协助线，结构全等三角形。

解题后的思虑：碰到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补短法：截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，而后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延伸，延伸部分等于另一条短线段，而后证明新线段等于长线段。

1）关于证明相关线段和差的不等式，往常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想方法将其放在一个三角形中证明。

2）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连结两点或延伸某边组成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。

小结：三角形图中有角均分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称此后关系现。

角均分线平行线，等腰三角形来添。

角均分线加垂线，三线合一试一试看。

线段垂直均分线，常向两头把线连。