二项式定理赋值法求各项系数的和教学提纲
赋值法在二项式定理中的应用
赋值法在二项式定理中的应用赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的．实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，在高考题中屡见不鲜，特别是在二项式定理中的应用尤为明显，现以例说明．一、用赋值法解决二项式系数的有关问题利用二项式定理的展开式与所求问题进行类比转换，实现从一般到特殊的转化，用来证明或求值．思路设法从已知等式中求出n．(1＋2)n = 729，即3n = 36，解得n = 6．注意：所求式子中缺少一项，不能直接等于26．二、用赋值法解决项的系数的有关问题例2 (1997年上海高考题)(3x＋1)n(n∈N*)展开式中各项系数和为256，求x2的系数．设(3x＋1)n = a0x n＋a1x n-1＋a2x n-2＋…＋a n．①由题意：a0＋a1＋a2＋…＋a n = 256．在①式中令x = 1得4n = a0＋a1＋a2＋…＋a n = 256，解得n = 4．a3)2－(a1＋a3)2 =[ ] A．1B．－1C．0D．2解(a0＋a2＋a3)2－(a1＋a3)2= (a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)．上式左边中的两个式子分别是所给展开式中x取1和－1时的表达式．故选A．三、综合应用在综合应用中要求学生能严格区别二项式系数与项的系数，注意项的系数的符号与式子的结构，灵活应用其他相关知识解题．例4若(1－3x)9 = a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9| = ________．解由二项式的展开式可知a0，a2，…，a8为正，a1，a3，…，a9为负，于是|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9| = a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9．在所给的展开式中，令x = －1得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|= a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9 = [1－3(－1)]9 = 49．例5 (1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n = b0＋b1x＋b2x2＋…b n x n，且b0＋b1＋b2＋…＋b n = 62，则n = ________．解在(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n = b0＋b1x＋b2x2＋…＋b n x n中，令x = 1，得2＋22＋23＋…＋2n = b0＋b1＋b2＋…＋b n = 62，赋值法是由一般到特殊的一种处理方法，在其他章节中也有广泛应用，望同学们在学习中能举一反三．。
二项式定理教学设计教案
●课题二项式定理(二)●教学目标(一)教学知识点1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和.2.“赋值法”.(二)能力训练要求1.掌握二项式系数的性质，并会简单应用.2.学会用“赋值法”解决与二项式系数有关的问题.(三)德育渗透目标1.提高学生的数学素质.2.树立由一般到特殊的意识.●教学重点1.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.(2)增减性：∵kn C =k k n 1+-1C -k n , ∴当k ＜21+n 时，二项式系数逐渐增大，由对称性知后半部分是逐渐减小的. (3)最大值：当n 为偶数时，中间一项(第2n +1项)的二项式系数最大，最大值为2C n n . 当n 为奇数时，中间两项(第21+n 项和第21+n +1项)的二项式系数相等，且同时取最大值，最大值为21C -n n 或21C +n n .(4)各二项式系数和0C n +1C n +2C n +…+r n C +…+n n C =2n .2.“赋值法”在解题中的运用.●教学难点与二项展开式中系数最大项有关问题的求解.●教学方法发现法●教具准备投影片一张.内容：课本P 107图10-9.●教学过程Ⅰ.复习回顾［师生共同活动］(a +b )n =0C n a n +1C n a n -1b 1+…+r n C a n-r b r +…n n C b n .T r +1=r n C a n-r b r .Ⅱ.讲授新课［师］通项公式中的r n C ，我们称其为二项式系数，(a +b )n 展开式的二项式系数，当n不难发现，它有这样的规律：每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.［师］能用我们所学知识解释一下吗？［生］设这一数为r n 1C +,其肩上的数则为1C -r n 和r n C ，由组合数知识可知r n 1C +=1C -r n +r n C .［师］上表可称为二项式系数表，早在我国南宋数学家1261年所著的《详解九章算术》中就有所记载，又称为杨辉三角.此表将二项式系数的性质表现得淋漓尽致.(打出投影片)［师］下面结合此表，来看一下二项式系数的主要性质.同学们看出哪些性质？［生］对称性.即与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.［师］为什么呢？［生］因为m n C =m n n-C . ［师］还有什么性质？［生］增减性与最大值.当k ＜21+n 时，二项式系数是逐渐增大的； 当k ＞21+n 时，二项式系数是逐渐减小的. 当n 是偶数时，2C n n 最大；当n 是奇数时, 21C -n n ,21C +n n 相等，且最大.［师］上述性质与我们所学二次函数性质有相似之处，因此r n C 可看成是以r 为自变量的函数f (r ),其定义域是{0,1,2,…,n }.［师］可以解释上述性质吗？［生］∵kn C =kk k n n n n ⋅-+---)!1()1()2)(1( =1C -k n ·k k n )1(+-， ∴当k k n 1+-＞1，即k ＜21+n 时,1C C -k nk n ＞1,即kn C ＞1C -k n .当k k n 1+-＜1,即k ＞21+n 时，1C C -k nk n ＜1,即kn C ＜1C -k n . ［师］还有其他性质吗？［生］∵(1+x )n =0C n +1C n x +2C n x 2+…+r n C x r +…+n n C x n ,当x =1时， 2n =0C n +1C n +2C n +…+r n C +…+n n C ，即(a +b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于2n .［师］是否还可发现其他性质呢？［生］在(a +b )n 的展开式中，令a =1,b =-1,则可得0=0C n -1C n +2C n -3C n +…=(0C n +2C n +…)-(1C n +3C n +…)，即0C n +2C n +…=1C n +3C n +….也就是说，在(a +b )n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的和.［师］下面看怎样应用这些性质.［例1］求(1+2x -3x 2)5的展开式中的x 5项的系数.［师］这是一个关于三项式的展开式的问题，而三项式的展开式对于我们来讲，并无现成的公式可用，那么请大家思考一下如何解决？能否与我们刚学的二项式定理产生联系呢？［生甲］我认为可以将(2x -3x 2)看作一项，用二项式定理展开，再考查各项中x 5项的系数，最后通过求和得到所求.［生乙］我也尝试了甲同学的方法，但感觉各项中x 5项的系数有些烦琐.［师］虽然此种解法较繁，但对于大家来说，能够熟悉二项式定理，熟悉二项式的展开式，熟悉二项式的通项的特点，所以，我还是提倡大家采用这种思路尝试下去，加深自己的体会.［生丙］我注意到括号内的(1+2x -3x 2)恰好可以分解因式为(1-x )(1+3x ),故三项式可转化为两个二项式之积，分别展开后考查得到x 5项的多种情形：x 0·x 5,x 1·x 4,x 2·x 3,x 3·x 2,x 4·x 1,x 5·x 0，然后将两个二项展开式的系数对应相乘相加即可.［师］很好，相对于解法一来讲，丙同学的解法就体现了解题方法的灵活性，即通过因式分解将三项式问题转化为二项式问题，其他同学注意体会.解法一：∵(1+2x -3x 2)5=［1+(2x -3x 2)］5=1+5(2x -3x 2)+10(2x -3x 2)2+10(2x -3x 2)3+5(2x -3x 2)4+(2x -3x 2)5=1+5x (2-3x )+10x 2(2-3x )2+10x 3(2-3x )3+5x 4(2-3x )4+x 5(2-3x )5,∴x 5项的系数为上式各项中含x 5项的系数和，即1023C ·21·(-3)2+514C ·23·(-3)1+25=92. 解法二：∵(1+2x -3x 2)5=(1-x )5·(1+3x )5=(1-5x +10x 2-10x 3+5x 4-x 5)·(1+15x +90x 2+270x 3+405x 4+243x 5),∴展开式中x 5项的系数为243-5×405+270×10-10×90+5×15-1=92.［例2］求(1+x )3+(1+x )4+…+(1+x )16的展开式中x 3项的系数.［师］请大家审读题目后，考虑如何获得含x 3项的系数.［生甲］我认为可以求出每一项中含x 3项的系数，并注意发现其变化规律，依次为33C ,34C ,35C ,…,316C ，但是,33C ,34C ,…,316C 各项之和的求解较为复杂.［师］甲同学的思路完全正确，大家可以一起考虑一下，看能否将甲同学的困惑解决呢？［生丁］可以用我们前面所学的组合数性质，将33C +34C =44C +34C =45C ，再将45C +35C =46C ，以此类推，达到求和的目的. ［师］很好，乙同学求和的关键是将首项33C 变为44C ，然后多次应用组合数的性质达到化简求和的目的，此解法能使我们得到一个启示，用式子表达，即kk C +k k 1C ++k k 2C ++…+k n C =11C ++k n ，大家在以后碰到相关题目时，可以尝试使用.［师］下面大家继续思考，看能否想出其他的解决办法.［生戊］我认为，可以将原式化简后再求x 3项的系数，具体做法是：把(1+x )3+(1+x )4+…+(1+x )16看作首项为(1+x )3,公比为(1+x )(当x ≠-1时)，项数为14的等比数列的前n 项和，由等比数列前n 项和公式求和可得原式=xx x 317)1()1(+-+,从上式可以看出只有(1+x )17展开式中含x 4的项与x 相除可得含x 3项，所以只需考查(1+x )17的展开式中含x 4的系数即可.［生己］戊同学在叙述过程中提到x ≠-1时，(1+x )3+(1+x )4+…+(1+x )16可以看作等比数列前n 项和，那么当x =-1时又如何解释呢？［生庚］我认为，由于此题的目的是求x 3项的系数，其中x 是任意的变量，而当x ≠-1时，求出的系数不失一般性，故不必考虑x =-1的情形.［师］大家说得很好.同学们由此题联系到我们所学的数列求和方法，将表面的14个二项式问题转化为一个二项式问题，达到了化繁为简，化不熟悉为熟悉的目的，与第一种解法有异曲同工之妙.［师］下面请大家写出完整的解答过程.解法一：由题意(1+x )3,(1+x )4,…,(1+x )16的展开式中x 3项的系数依次为33C ,34C ，…，316C ，∴所求展开式中含x 3的项的系数为33C +34C +35C +...+316C =(44C +34C )+35C + (316)=(45C +35C )+…+316C =46C +…+316C =…=416C +316C =417C .又417C =2380,∴所求展开式中含x 3的系数为2380.解法二：当x ≠-1时，(1+x )3+(1+x )4+…+(1+x )16可以看作是首项为(1+x )3,公比为(1+x ),项数为14的等比数列的前n 项和，由等比数列前n 项和的求和公式可得原式=[]1)1(1)1()1(143-+-++x x x =x x x 317)1()1(+-+.显然只有(1+x )17展开式中x 4项与分母x 相除可得x 3项，∴含x 3项的系数为417C =2380.Ⅲ.课堂练习(学生练习，老师讲评)课本P 109练习1～3.1.(1)1016C =1015C +915C =515C +915C =a +b ;(2)49C =126;(3)111C +311C +…+1111C =210=1024;(4)原式=21221=+n n . 2.证明：∵0C n +1C n +2C n +…+k n C +…+n n C =2n ,C n +2C n +…=1C n +3C n +…,∴0C n +1C n +2C n +…+k n C +…+n n C =(0C n +2C n +…)+(1C n +3C n +…)=2(0C n +2C n +…)=2n .∴0C n +2C n +…+n nC =22n=2n -1. 评述：注意灵活利用二项式系数性质.Ⅳ.课时小结通过本节学习，需掌握二项式系数的三大性质：即对称性、增减性和最大值，及二项式系数之和.Ⅴ.课后作业(一)课本P 109习题10.4 4、5.(二)预习提纲如何利用二项式定理、通项公式及二项式系数性质解决相关问题？。
二项式系数的赋值法总结
二项式系数的赋值法总结二项式系数是组合数学中重要的一类系数，表示为 nCm，其中 n 和 m 都是非负整数，表示从 n 个元素中选取 m 个元素的不同组合数量。
计算二项式系数是组合数学的基础之一，对于求解概率、排列组合等数学问题有着广泛的应用。
赋值法是一种较为简便的计算二项式系数的方法，其基本思想是将已知的系数作为中间变量进行存储，并通过递推公式求解出目标系数。
以下是二项式系数的赋值法总结及其实现方法。
1. 递推公式二项式系数的递推公式是 nCm = (n-1)C(m-1) + (n-1)Cm，即从n 个元素中选取 m 个元素数量等于从 n-1 个元素中选取 m-1 个元素数量加上从 n-1 个元素中选取 m 个元素数量。
这个公式可以通过组合数学的排列组合知识来证明。
2. 赋值法实现通过递推公式可以得出赋值法的实现思路：先将 nC0 = 1 存储在数组中，然后通过递推公式依次计算 nC1、nC2、...、nCn。
具体实现方法：（1）定义一个大小为（n+1）x（n+1）的二维数组，每个元素初始化为0；（2）将第0列的元素全部赋值为1，即nC0 = 1；（3）根据递推公式，依次计算nC1、nC2、...、nCn，存储在对应位置上；（4）最后数组中第n行第m列即为所求的二项式系数nCm。
3. 时间复杂度和空间复杂度赋值法的时间复杂度和空间复杂度均为 O(n^2)，因为需要计算（n+1）x（n+1）的二维数组，并进行n次递推运算。
总之，赋值法是计算二项式系数的一种简便有效的方法，它既方便了计算，又能够减少计算量，满足现代计算机处理大型数据的需要。
通过掌握赋值法的实现方法，我们可以更好地应用它解决各种与排列组合有关的问题，为数学研究和应用提供有力支持。
二项式定理赋值法求各项系数的和复习过程
二项式定理赋值法求各项系数的和复习过程二项式定理赋值法求各项系数的和例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++L ，求：（1）127a a a +++L ；（2）1357a a a a +++；（3）017||||||a a a +++L .解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为0127a a a a ++++L∴0127a a a a ++++L 1=-，当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-L ，（2）令1x =， 0127a a a a ++++L 1=- ① 令1x =-，7012345673a a a a a a aa -+-+-+-= ②①-② 得：713572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7132+-.（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正，∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+，∴ 70246132a a a a -++++=，∴017||||||a a a +++=L 01234567a a a a a a a a -+-+-+- 702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=例6．设()()()()231111nx x x x ++++++++=L 2012n n a a x a x a x ++++L ，当012254n a a a a ++++=L 时，求n 的值解：令1x =得：230122222nn a a a a ++++=++++L L 2(21)25421n -==-，∴2128,7n n ==，点评：对于101()()()n n n f x a x a a x a a -=-+-++L ，令1,x a -=即1x a=+可得各项系数的和012n a a a a ++++L 的值；令1,x a -=-即1x a =-，可得奇数项系数和与偶数项和的关系例8．在10)32(y x -的展开式中,求:①二项式系数的和;②各项系数的和;③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;④奇数项系数和与偶数项系数和;⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.分析:因为二项式系数特指组合数rn C ,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式y x 32-中的系数无关. 解：设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=-Λ(*), 各项系数和即为1010a a a +++Λ,奇数项系数和为0210a a a +++L ,偶数项系数和为9531a a a a ++++Λ,x 的奇次项系数和为9531a a a a ++++Λ,x 的偶次项系数和10420a a a a ++++Λ.由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.①二项式系数和为1010101100102=+++C C C Λ.。
公开课——利用二项式定理求通项、系数,赋值法求系数和
二项式定理的应用学习目标：1.通过练习，能够利用二项展开式的通项、组合知识求特定项及系数；2.通过训练，会用赋值法恰当地赋值，求展开式中系数的和.一、自主学习1．二项式定理(a+b )n = ，其展开式共有 项，二项式系数为 (k = )， 项的系数是二项式系数与a ，b 的系数的乘积, 展开式中的第k+1项叫做 ，记作T k+1= .2. 相关性质(1)对称性在(a+b )n 的展开式中，与首末两端“ ”的两个二项式系数相等，即C n m = .(2)增减性与最大值①增减性：当k <n+12时，二项式系数逐渐 ；当k > n+12时，二项式系数逐渐 .②最大值：当二项式的次数n 为偶数时，中间 项的二项式系数 取得最大值；当二项式的次数n 为奇数时，中间 项的二项式系数 同时取得最大值.(3)系数和二项式系数和：C n 0+C n 1+C n 2+⋯+C n k +⋯+C n n = (令a = , b = 即可). 奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和：C n 0+C n 2+C n 4+⋅⋅⋅+C n 2r +⋅⋅⋅=C n 1+C n 3+C n 5+⋯+C n 2r+1+⋅⋅⋅= (令a = , b = 即可).二、合作探究1. 求二项展开式中的特定项及系数例1 已知二项式(x +√x)6，求： (1)它的展开式中的常数项；(2)它的展开式中x 3的二项式系数和系数.练习1 若(x −√x )n 的展开式中所有奇数项的二项式系数之和为32，求：(1)它的展开式中的有理项；(2)它的展开式中系数最大的项.例2 (2019·全国卷Ⅲ) (1+2x 2 )(1+x )4的展开式中x 3的系数为练习2 (2020·全国卷Ⅰ) (x+y x 2)(x+y )5的展开式中x 3y 3的系数为 例3 (1+x +1x 3)10的展开式中，x 2项的系数为练习3 (2015·全国卷Ⅰ) ( x 2+x+y )5的展开式中，x 5y 2的系数为2. 利用赋值法求展开式系数的和例4 设(2−x)10=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 10x 10，求下列各式的值：(1) a 0；(2) a 1+a 2+a 3+⋯+a 10；(3) a 1+a 3+a 5+a 7+a 9；(4)|a 0|+|a 1|+|a 2|+⋯+|a 10|.练习4 已知(1−2x)2021=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 2021x 2021，求下列各式的值：(1) a 1+a 2+a 3+⋯+a 2021；(2) a 2+a 4+a 6+⋯+a 2020；(3)|a 0|+|a 1|+|a 2|+⋯+|a 2021|；(4)(a 0+a 2+⋯+a 2020)2－(a 1+a 3+⋯+a 2021)2.三、巩固延伸1. 在二项式(√1x 4+√x 23)n 的展开式中倒数第3项的系数为45，求x 3的系数.2. 若(√1x 3+√1x 25)n 的展开式中所有奇数项的系数和为1024，求它的中间项. 3. 已知在(a －x 3)(1+x )10的展开式中，x 5的系数为207，求x 6的系数.变式：求(1+2x)3(1−x)4展开式中x 2的系数.4. (1+x +1x 2021)10的展开式中，x 2项的系数为 .5. (2020·浙江卷)若(1+2x)5=a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x 1+a 0,则a 1+a 3+a 5= .6. 若二项展开式(12+2x)n (n <10)中的第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中系 数最大的项.四、课堂小结。
二项式定理赋值法求各项系数的和教学提纲
二项式定理赋值法求各项系数的和教学提纲一、引言（200字）二项式定理是高中数学中非常重要的一个定理，它可以用于展开任意整指数幂的二项式。
在教学中，可以采用赋值法来求解各项系数的和，这种教学方法能够让学生更好地理解和掌握二项式定理的应用。
本提纲将介绍如何使用赋值法来教授二项式定理求解各项系数的和，主要包括教学目标、教学步骤和教学评价等内容。
二、教学目标（200字）1.理解二项式定理的基本概念和公式；2.掌握使用赋值法求解二项式定理各项系数的和的方法；3.培养学生的逻辑思维能力和问题求解能力；4.增强学生对数学的兴趣和学习动力。
三、教学步骤（600字）1.复习与导入（100字）-复习二项式定理的基本概念和公式；-引导学生思考如何求解二项式各项系数的和。
2.讲解赋值法求解各项系数的和（300字）-介绍赋值法的基本原理；-以具体的例子说明如何应用赋值法求解二项式各项系数的和；-提醒学生注意赋值时的技巧和要点。
3.练习与训练（400字）-给学生提供一些简单的练习题，要求他们使用赋值法求解各项系数的和；-引导学生思考和讨论解题思路和方法；-鼓励学生积极参与训练，提高他们的问题解决能力。
4.拓展与应用（200字）-引导学生探索更复杂的二项式定理应用问题；五、教学评价（200字）1.反馈评价（100字）-给学生提供一些评价标准，帮助他们自我评价；-鼓励学生积极参与讨论和互评，提高他们的学习和合作能力。
2.教师评价（100字）-结合学生的课堂表现、练习和思考能力等多个因素进行综合评价；-鼓励并提出学生进一步提高的建议。
六、教学反思（200字）。
完整版二项式定理教案
1.3.1 二项式定理（第一课时）、教学目标1、知识与技能（1）理解二项式定理，并能简单应用（2）能够区分二项式系数与项的系数2、过程与方法通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察，分析，归纳的能力，以及转化化归的意识与知识迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式。
3、情感与态度价值观通过探究问题，归纳假设让学生在学习的过程中养成独立思考的好习惯，在自主学习中体验成功, 在思索中感受数学的魅力，让学生在体验知识产生的过程中找到乐趣。
、教学重点难点1、教学重点：二项式定理及二项式定理的应用2、教学难点：二项式定理中单项式的系数三、教学设计:三、典例分析例1例1、求(2 _)4的展开式x解：(2 -)4C：24C4 23(丄)C4 22(-)2C：2 (-)3C：』)x x x x x “32 24 8 116 2 3 4x x x x例2 (1)求(1 2x)5的展开式中第3项5 23 2 3解.(1 2x)的展开式的第3项疋T2 1 C5 1 (2x) 40 x,1 9 3例3.求(x -)9的展开式中x3的系数x1解：••• (x -)9的展开式的通项是xT k 1 C9x9 k(1)k C9k x9 2k,x二9 2k 3 , k 3，二x3的系数C： 84课堂检测：1.(2a b)4的展开式中的第2项•解：T2 1 C4(2a)3b 32a3b,2.(x 1)10的展开式的第6项的系数(D )厂6 厂6 厂5 厂5A. C10B. C10C. C10D. C10x 5 23.(1 )5的展开式中x2的系数为(C )25A. 10B. 5C. -D. 12四、小结X二项式定理：通理J(灯+小『=Ctf+U十%+…彳U旷方*+…+6弟斤十］域的一，顼成乘数区别：展开式中第2项的系数，第2项二项式系数4思考：展开式中第3项的系数，第3项二项式系数通过例题让学生更好的理解二项式定理强调：通项公式的应用进一步巩固二项式定理学生应用二项式定理明确通项的作用板书设计：1.3.1 二项式定理一. 二项式定理：(a b)n C0n a n C1n a n 1b L C k n a n k b k L C n n b n(n N* )1.项数：n 1项；2•指数：字母a , b的指数和为n ,a 的指数由n 递减至0，b的指数由0递增至n ；3.二项式系数：C n0,C n1,C n2,L ,C n k L ,C n n (k {0,1, 2,L n})4.通项：第k 1项：T k 1 C n k a n k b k二. 典例三. 作业。
二项式定理中的赋值技巧
ʏ河南省许昌市建安区第一高级中学 丁书珍ʏ河南省鄢陵县第二高级中学 刘俊霞在二项式定理的求值问题中,尤其是求解二项展开式的系数和等问题时,我们常常采用赋值法求解㊂即对二项展开式中的相关字母进行赋值,进而得以求解二项式系数及与之相关的综合问题,在选择性必修三课本中就给出了用法,让我们走进课本,从课本入手,了解赋值法在二项式定理中的应用,以便同学们正确掌握二项式定理中的赋值技巧㊂已知(1+x )n=C 0n+C 1nx +C 2nx 2+ +C n n x n,令x =1,得2n=C 0n +C 1n +C 2n+ +C nn ㊂这就是说,(a +b )n的展开式的各二项式系数的和等于2n㊂例1 求证:在(a +b )n 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和㊂解析:奇数项的二项式系数的和为C 0n +C 2n +C 4n + ;偶数项的二项式系数的和为C 1n+C 3n+C 5n + ㊂由于(a +b )n =C 0n a n +C 1na n -1b +C 2n a n -2b 2+ +C n nb n 中的a ,b 可以取任意实数,因此我们可以通过对a ,b 适当赋值来得到上述两个系数和㊂在展开式(a +b )n=C 0na n+C 1na n -1b +C 2na n -2b 2+ +C n nb n中,令a =1,b =-1,得(1-1)n=C 0n-C 1n+C 2n+ +(-1)kC k n++(-1)n C n n ㊂即(C 0n +C 2n +C 4n + )-(C 1n +C 3n +C 5n + )=0㊂因此,C 0n +C 2n +C 4n + =C 1n +C 3n +C 5n + ㊂故在(a +b )n 的展开式中,奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和㊂点评:实际上,a ,b 既可以取实数,也可以取多项式㊂我们可以根据具体问题的需要灵活选取a ,b 的值㊂例2 已知(3x -1)8=a 8x 8+a 7x 7+ +a 1x +a 0,求下列各式的值:(1)a 8+a 7+ +a 1+a 0;(2)|a 8|+|a 7|+|a 6|+ +|a 0|;(3)a 1+a 3+a 5+a 7㊂解析:(1)令x =1,得a 8+a 7+ +a 1+a 0=(3-1)8=28=256㊂(2)因为|a 8|+|a 7|+|a 6|+ +|a 0|=a 8-a 7+ -a 1+a 0,所以令x =-1,得:|a 8|+|a 7|+|a 6|+ +|a 0|=a 8-a 7+ -a 1+a 0=(-3-1)8=48=65536㊂(3)由(1)和(2)知:a 8+a 7+ +a 1+a 0=(3-1)8=28,a 8-a 7+ -a 1+a 0=(-3-1)8=216㊂则a 1+a 3+a 5+a 7=28-2162=27-215=-32640㊂点评:赋值法是求二项展开式系数和及有关问题的常用方法,注意取值要有利于问题的解决,可以取一个值或几个值,也可以取几组值,解决问题时要避免漏项㊂同时,要注意问题的实质及变形,如求各项系数的绝对值的和时,要先根据绝对值里面数的符号赋值求解㊂同时注意这类问题的变形写法,如:|a 8|+|a 7|+|a 6|+ +|a 0|=a 8-a 7+ -a 1+a 0=(a 8+a 6+a 4+ )-(a 7+a 5+a 3+ )等㊂对于比较繁杂式子的求值问题,22 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年3月要先观察式子的特点,结合所学知识如因式分解等,对式子进行因式分解,再赋值求解㊂例3 已知(2-3x )100=a 0+a 1x +a 2x 2+ +a 100x 100,求下列各式的值:(1)a 0;(2)a 1+a 2+a 3+a 4+ +a 100;(3)a 2+a 4+ +a 100;(4)(a 0+a 2+ +a 100)2-(a 1+a 3+ +a 99)2㊂解析:(1)令x =0,可得a 0=2100㊂(2)令x =1,可得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+ +a 100=(2-3)100㊂所以a 1+a 2+a 3+a 4+ +a 100=(2-3)100-2100㊂(3)令x =-1,可得a 0-a 1+a 2-a 3+a 4+ +a 100=(2+3)100㊂结合(2)可得:a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+ +a 100=(2-3)100,a 0-a 1+a 2-a 3+a 4+ +a 100=(2+3)100㊂则a 0+a 2+a 4+ +a 100=(2-3)100+(2+3)1002㊂由(1)知a 0=2100㊂所以a 2+a 4++a 100=(2-3)100+(2+3)1002-2100㊂(4)由(2)知a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+ +a 100=(2-3)100㊂由(3)知a 0-a 1+a 2-a 3+a 4+ +a 100=(2+3)100㊂则(a 0+a 2+ +a 100)2-(a 1+a 3+ +a 99)2=(a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+ +a 100)㊃(a 0-a 1+a 2-a 3+a 4+ +a 100)=(2-3)100㊃(2+3)100=1㊂点评:一般地,对于多项式f (x )=a 0+a 1x +a 2x 2+ a nx n,各项系数和为f (1),奇次项系数和为f (1)-f (-1)2,偶次项系数和为f (1)+f (-1)2,a 0=f (0)㊂例4 已知(2x +1)n=a 0+a 1x +a 2x 2+ +a nx n的展开式中的各项系数和为243,求a 1+2a 2+3a 3+ +n a n 值㊂解析:令x =1,可得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+ +a n =3n=243㊂解得n =5㊂对(2x +1)n =a 0+a 1x +a 2x 2+ +a nx n求导,可得:2n (2x +1)n -1=a 1+2a 2x +3a 3x 2+ +n a nx n -1㊂令x =1,可得:a 1+2a 2+3a 3+ +n a n =2n ㊃3n -1=2ˑ5ˑ34=810㊂点评:观察问题中的式子,我们发现,a n前面的系数是原式x n的幂指数,先借助于求导可以实现数由指数位置向系数位置的转化,再对求导所得结果赋值即可得到该类型题的答案㊂例5 (1)若(1+m x )6=a 0+a 1x +a 2x 2+ +a 6x 6,且a 0+a 1+a 2+ +a 6=64,则求实数m 的值㊂(2)已知C 4n =C 6n ,设(3x -4)n=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+ +a n (x -1)n,求a 1+a 2+ +a n ㊂解析:(1)令x =1,可得(1+m )6=a 0+a 1+a 2+ +a 6=64㊂则1+m =2或1+m =-2㊂解得m =1或m =-3㊂(2)因为C 4n =C 6n ,所以n =10㊂则(3x -4)10=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+ +a 10(x -1)10㊂令x -1=0,即x =1,可得a 0=(3-4)10=1㊂令x -1=1,即x =2,可得a 0+a 1+a 2+ +a 10=(6-4)10=210㊂故a 1+a 2+ +a 10=210-1㊂点评:在与二项式定理有关的赋值求值问题中,首先要观察需要求值问题与原题中条件之间的关系,从展开式入手,通过比较,正确找出需要赋的值,才能求出正确的答案㊂(责任编辑 徐利杰)32解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年3月。
二项式定理.版块三.二项展开式3赋值求某些项系数的和与差.学生版
1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项011222...n n n n nn n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr nT C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是()na b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r rr n T C a b -+=是不同的，在这知识内容赋值求某些项系数的和与差里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr r n nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,nn n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ． 当6n =时，()f r 的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n m n n C C -=得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．由于展开式各项的二项式系数顺次是 ()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅， ()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．， ()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1knn n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1nn C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间． 当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2n nC ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项． 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n nnCC-+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项展开式3赋值求某些项系数的和与差【例1】 5231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为______；各项系数之和为______．（用数字作答）典例分析【例2】 若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．【例3】 ()82x -展开式中不含4x 的项的系数和为A ．1-B ．92C ．102D ．152【例4】 若231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为32，则n =_____，其展开式中的常数项为______．（用数字作答）【例5】 6260126(1)x a a x a x a x -=++++L ，则0a +126a a a +++=L ______．【例6】 在二项式42nx x ⎛+ ⎪⎭的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．【例7】 522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数是________；其展开式中各项系数之和为_______．（用数字作答）【例8】 若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为_____（用数字作答）．【例9】 设(5nx 的展开式的各项系数之和为M ， 二项式系数之和为N ，若240M N -=， 则展开式中3x 的系数为（ ）A ．150-B ．150C ．500-D ．500【例10】 若n x )2(+展开式的二项式系数之和等于64，则第三项是 ．【例11】 若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 ．【例12】 在二项式n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．⑴求展开式的第四项；⑵求展开式的常数项；⑶求展开式的各项系数的和．【例13】 若()1002310001231002a a x a x a x a x =+++++L ，求()()22024********a a a a a a a a ++++-++++L L 的值．【例14】 若201(1)(1)(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x ++++++=+-+-L L ，则01n a a a ++=L ．【例15】 若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为_____（用数字作答）．【例16】 若52345012345(2)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则12345a a a a a ++++=_____．【例17】 已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++L ，求017||||||a a a +++L ．【例18】 若()72345670123456712x a a a x a x a x a x a x a x +=+++++++，求0246a a a a +++的值．【例19】 若423401234(2x a a x a x a x a x +=++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为（ ）．A ．1B ．1-C ．0D ．2【例20】 若1002100012100(12)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-L ，则13599a a a a ++++=L （ ）A ．1001(31)2-B ．1001(31)2+C ．1001(51)2-D ．1001(51)2+【例21】 已知()77012712x a a x a x a x -=++++L ，求：⑴ 1237a a a a ++++L ； ⑵ 1357a a a a +++； ⑶ 0246a a a a +++．【例22】 若()1002310001231002a a x a x a x a x =+++++L ，求()()22024********a a a a a a a a ++++-++++L L 的值．【例23】 若55432543210(2)x a x a x a x a x a x a -=+++++，则12345a a a a a ++++=________．（用数字作答）【例24】 若201(1)(1)(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x ++++++=+-+-L L ，则01n a a a ++=L ．【例25】 若()2009200901200912x a a x a x -=+++L ，则20091222009222a a a +++L 的值为（ ） A ．0B ．2C ．1-D ．2-【例26】 已知23*0123(1)(1)(1)(1)(1)(2,)n n n x a a x a x a x a x n n +=+-+-+-++-∈N L ≥．⑴当5n =时，求012345a a a a a a +++++的值；⑵设22343,2n n n n ab T b b b b -==++++L ． 试用数学归纳法证明：当2n ≥时，(1)(1)3n n n n T +-=．【例27】 请先阅读：在等式2cos 22cos 1()x x x =-∈R 的两边求导得2(cos2)(2cos 1)x x ''=-，由求导法则得(sin 2)24cos (sin )x x x -⋅=⋅-，化简得sin22sin cos x x x =．⑴利用上述想法（或其他方法），结合等式012211(1)C C C C C n n n n nn n n n n x x x x x --+=+++⋅⋅⋅++（x ∈R ，整数2n ≥），证明：112[(1)1]C nn k k n k n x k x--=+-=∑； ⑵对于整数3n ≥，求证：1(1)C 0nk k n k k =-=∑．⑶对于整数3n ≥，求证①21(1)C 0nkknk k =-=∑；②10121C 11n nkn k k n +=-=++∑．【例28】 证明：220C (1)2nk n n k k nn -==+∑．【例29】 证明：n nkn k n k k n n +=--=++++∑20123C (1)(2)(1)(2)．【例30】 求证：121C 2C C 2n n n n n n n -+++=⋅L【例31】 求51x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式．【例32】 设5432()5101051f x x x x x x =-+-++，则1()f x -等于（ ）A ．1 B．1 C．1 D．1【例33】 设2a i =+，求11212121212121A C a C a C a =-+-+L【例34】 已知数列0123a a a a L ，，，，（00≠a ）满足：112(123)i i i a a a i -++==L ，，， 求证：对于任意正整数n ，01111011()(1)(1)(1)C C C C n n n n n nn n n n n n f x a x a x x a x x a x----=-+-++-+L是一次多项式或零次多项式．【例35】 若0()C ni in i f m m ==∑，则22log (3)log (1)f f 等于（ ）A ．2B ．12 C ．1 D ．3。
高三数学教案《二项式定理》优秀3篇
高三数学教案《二项式定理》优秀3篇1. 介绍本文档将介绍三篇优秀的高三数学教案，主题为《二项式定理》。
这些教案从不同的角度和方法讲解了二项式定理，帮助学生更好地理解和应用该定理，提高数学解题能力。
2. 教案一：《二项式定理初步认识》2.1 教学目标•了解二项式的定义和性质•掌握二项式展开的基本方法•能够灵活应用二项式定理解决实际问题2.2 教学内容1.二项式的定义和性质–介绍二项式的概念和表达形式–讲解二项式的性质，如二项式系数的对称性等2.二项式展开的基本方法–介绍二项式在展开时的基本方法–给出一些例题进行演示和练习3.实际问题的应用–利用二项式定理解决实际问题，如排列组合问题等–给出一些实际问题的例题和练习2.3 教学方法•讲授与演示相结合：通过讲解二项式的定义和性质，并用例题演示二项式展开的基本方法，加深学生对二项式定理的理解•提问与讨论：引导学生参与讨论，思考问题的解决方法，培养学生的分析和解决问题的能力•练习与巩固：给学生一定数量的练习题，巩固所学知识，并能够应用到实际问题中2.4 教学评价与反馈•教学评价：通过课堂上教师的观察、学生的表现及课后作业的完成情况，进行教学评价•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改正错误，提高学习效果3. 教案二：《二项式定理的证明与应用》3.1 教学目标•掌握二项式定理的证明方法•理解二项式定理的应用领域•提高数学推理和证明能力3.2 教学内容1.二项式定理的证明方法–讲解二项式定理的组合证明方法，如二项式系数的递推关系等–通过数学推理，证明二项式定理的正确性2.二项式定理的应用–介绍二项式定理在组合数学、概率论等领域的应用–给出一些应用题进行练习，提高学生的应用能力3.数学推理与证明–培养学生的数学推理和证明能力，通过解答证明题加深学生对二项式定理的理解3.3 教学方法•讲授与演示相结合：通过讲解二项式定理的证明方法，并演示具体的证明过程，加强学生对二项式定理的理解•课堂讨论：引导学生进行证明题的讨论和分析，提高学生的数学推理能力•练习与应用：给学生一些练习题，加深学生对二项式定理的应用理解3.4 教学评价与反馈•教学评价：通过课堂上的表现、学生的参与情况以及课后作业的完成情况综合评价学生的学习情况•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改进学习方法，提高学习效果4. 教案三：《二项式定理与三角恒等式》4.1 教学目标•掌握二项式定理与三角恒等式的联系和应用•理解二项式定理与三角恒等式在数学中的重要性•提高学生的综合应用能力4.2 教学内容1.二项式定理与三角恒等式的联系和应用–介绍二项式定理与三角恒等式之间的联系和应用–分析二项式展开式的三角形式及其与三角恒等式的关系2.二项式定理与三角恒等式的具体应用–给出一些具体的二项式展开题目，引导学生将其化简成三角恒等式形式–通过练习题，锻炼学生的综合应用能力4.3 教学方法•讲授与实例演示：通过讲解二项式定理与三角恒等式的联系，并给出具体的例题进行演示，加深学生对二项式定理和三角恒等式的理解•练习与应用：给学生一些练习题，锻炼学生将二项式展开式化简成三角恒等式形式的能力•问题探究与讨论：引导学生思考和探索二项式定理与三角恒等式之间的更多联系4.4 教学评价与反馈•教学评价：通过观察学生的课堂表现、参与讨论的情况以及课后作业的完成情况综合评价学生的学习情况•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改进问题解决的方法，提高学习效果5. 总结本文档介绍了三篇优秀的高三数学教案，主题为《二项式定理》。
二项式定理易错点及赋值法妙用-高三数学解题技巧专题突破
二项式定理易错点及赋值法妙用一．【学习目标】1．能用计数原理证明二项式定理；熟练掌握二项展开式的通项公式．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．二．方法归纳1.运用二项式定理一定要牢记通项T r＋1＝C r n a n－r b r，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项是不相同的，我们一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同概念，前者只指C r n，而后者是指字母外的部分.2.求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r，再求T r＋1，有时还需先求n，再求r，才能求出T r＋1.3.有些三项展开式问题可以通过变形，变成二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏.4.对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.练习4．(x+1)(2x+1)(3x+1)…(nx+1)(n∈N*)的展开式中,一次项的系数为 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，可得展开式中一次项的系数为1+2+3+…+n==，故选C.（三）求常数项例3．在二项式的展开式中，当且仅当第5项的二项式系数最大，则系数最小的项是A．第6项B．第5项C．第4项D．第3项【答案】C【解析】由题意二项式的展开式中，当且仅当第5项的二项式系数最大，故，二项式展开式的通项为要系数最小，则为奇数当时，当时，，当时，当时，，故当当时系数最小则系数最小的项是第4项，故选练习1．已知二项式的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，且展开式中项的系数为，则为（）A．2B．1C．D．【答案】B（四）赋值法例4．已知，则( )A．B．C．D．【答案】A【解析】∵（1+x）5＝﹣[﹣2+（1﹣x）]5，通项a3＝﹣（﹣2）2＝﹣40，故选：A．练习1．对任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值为()A．3 B．6 C．9 D．21【答案】B【解析】由于，其展开式的通项为，当时，为，故.练习2．若，则A．B．C．D．【答案】C【解析】令，得令得两式子相加得：，令，得到，所以，故选C。
最新高中数学《二项式定理》教案精编版
2020年高中数学《二项式定理》教案精编
版
二项式定理教案
（一）教学目标
1．知识与技能：掌握二项式定理①能根据组合思想及不完全归纳，得出二项式定理和二项展开式的通项。
②能正确区分二项式系数和某一项的系数。
③能正确利用二项式定理对任意给定的一个二项式进行展开，并求出它的特定项。
2．过程与方法：通过定理的发现推导提高学生的观察，比较，分析，概括等能力。
（二）教学重点与难点
重点：二项式定理的发现，理解和初步应用。
难点：二项式定理的发现。
（三）教学方法
启发诱导，师生互动
（四）教学过程。
二项式定理.版块三.二项展开式3赋值求某些项系数的和与差.教师版 普通高中数学复习讲义Word版
1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项011222...n n n n nn n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr nT C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．知识内容赋值求某些项系数的和与差④通项公式是()n a b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r rr n T C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr rn nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,nn n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ． 当6n =时，()f r 的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n m n n C C -=得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大． 由于展开式各项的二项式系数顺次是 ()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅， ()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．， ()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1knn n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1nn C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间． 当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2n nC ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项． 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n nnCC-+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项展开式3赋值求某些项系数的和与差【例1】 5231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为______；各项系数之和为______．（用数字作答）典例分析【考点】赋值求某些项系数的和与差 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2008年，北京高考【解析】通项为()52310555C C rrr r rx x x---=，10502r r -=⇒=，常数项为25C 10=， 各项系数和为5(11)32+=．【答案】10，32；【例2】 若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．【考点】赋值求某些项系数的和与差 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2007年，重庆高考【解析】由题意，2646n n =⇒=．于是通项662166r r r r r r T C x x C x ---+=⋅=当620r -=时，3r =．常数项为34620T C ==． 【答案】20；【例3】 (82展开式中不含4x 的项的系数和为A ．1-B ．92C ．102D ．152【考点】赋值求某些项系数的和与差 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2010年，江西高考 【解析】略 【答案】B ；【例4】 若231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为32，则n =_____，其展开式中的常数项为______．（用数字作答）【考点】赋值求某些项系数的和与差 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2008年，北京高考 【解析】令1x =得2325n n =⇒=．2510515531C ()C rr rr r r T x xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，于是2r =时，对应常数项25C 10=． 【答案】510，；【例5】 6260126(1)x a a x a x a x -=++++，则0a +126a a a +++=______．【考点】赋值求某些项系数的和与差 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】令6()(1)f x x =-，所求式子即为0126(1)0a a a a f ++++==．【答案】0；【例6】 在二项式n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．【考点】赋值求某些项系数的和与差 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决 ． 二项式的展开式的通项公式为：234112rn rn rrr r nn r T x--+==C C 解析：前三项的012r =，，． 得系数为：()121231*********n n t t n t n n =====-C C ，，， 由已知：2132t t t =+ ()1118n n n =+-，∴8n = 通项公式为1634181101282rrr r r T x r T -++==C ，，，为有理项，故163r -是4的倍数，∴048r =，，．依次得到有理项为448215898282135********T x T x x T x x-=====C C ，，．【例7】 522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数是________；其展开式中各项系数之和为_______．（用数字作答）【考点】赋值求某些项系数的和与差 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2009年，西城1模 【解析】通项公式55315522C 2C rr rr r r r T xx x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，故2x 的系数是152C 10=； 令1x =即可得各项系数之和为53243=．【答案】10；243；【例8】 若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为_____（用数字作答）．【考点】赋值求某些项系数的和与差 【难度】3星【题型】填空 【关键字】无【解析】所求式子即为024*******()()a a a a a a a a a a ++++++--，令4()(2f x x =+，要求的式子就是44(1)(1)2)2)1f f -==．【答案】1；【例9】 设(5nx 的展开式的各项系数之和为M ， 二项式系数之和为N ，若240M N -=， 则展开式中3x 的系数为（ ）A ．150-B ．150C ．500-D ．500【考点】赋值求某些项系数的和与差 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2008年，北京丰台一模【解析】求(5n x 的展开式的各项系数之和令1x =，而二项式系数之和为2n ，则240M N -=可以转化为42240n n -=得216n =即4n =．然后利用通项1r n r r r n T C a b -+=来求解．答案： B【答案】B ；【例10】 若n x )2(+展开式的二项式系数之和等于64，则第三项是 ．【考点】赋值求某些项系数的和与差 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2009年，丰台一模【解析】由题设2646n n =⇒=，第三项242436C 260T x x =⋅=． 【答案】460x ；【例11】 若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 ．【考点】赋值求某些项系数的和与差 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】由2646n n =⇒=，于是常数项为36C 20= 【答案】20；【例12】 在二项式n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．⑴求展开式的第四项；⑵求展开式的常数项；⑶求展开式的各项系数的和．【考点】赋值求某些项系数的和与差 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】第一项系数的绝对值为0C n，第二项系数的绝对值为1C 2n ，第三项系数的绝对值为2C 4n ，依题意有210C C C 242nn n+=⨯，解得8n =，⑴第四项52333487C 4T x -⎛==- ⎝；⑵通项公式为88281881C C 2rrrr r r r T ---+⎛⎛⎫==- ⎪⎝⎭⎝，展开式的常数项有280r -=，即4r =，常数项为4458135C 28T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭；⑶令1x =，得展开式的各项系数的和88111122256⎛⎫-== ⎪⎝⎭．【例13】 若()1002310001231002a a x a x a x a x =+++++，求()()22024********a a a a a a a a ++++-++++的值．【考点】赋值求某些项系数的和与差 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】令1x =得()(100012341002a a a a a a ++++++=-，令1x =-得()(100012345991002a a a a a a a a -+-+-+-+=，()()22024********a a a a a a a a ++++-++++=()()0123410001234599100a a a a a a a a a a a a a a ++++++-+-+-+-+=(1002(1002=1【答案】1；【例14】 若201(1)(1)(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x ++++++=+-+-，则01n a a a ++= ．【考点】赋值求某些项系数的和与差 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】注意原式的展开特点，令2x =，即可得013(31)2n n a a a ++=-．【答案】013(31)2n n a a a ++=-【例15】 若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为_____（用数字作答）．【考点】赋值求某些项系数的和与差 【难度】3星【题型】填空 【关键字】无【解析】所求式子即为024*******()()a a a a a a a a a a ++++++--，令4()(2f x x =，要求的式子就是44(1)(1)2)2)1f f -==．【答案】1；【例16】 若52345012345(2)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则12345a a a a a ++++=_____．【考点】赋值求某些项系数的和与差 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2008年，福建高考【解析】令5()(2)f x x =-，则所求式子为(1)(0)31f f -=． 【答案】31；【例17】 已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求017||||||a a a +++．【考点】赋值求某些项系数的和与差 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正，∴017||||||a a a +++=01234567a a a a a a a a -+-+-+-令7()(12)f x x =-，则所求式子为7(1)3f -=．【答案】7(1)3f -=【例18】 若()72345670123456712x a a a x a x a x a x a x a x +=+++++++，求0246a a a a +++的值．【考点】赋值求某些项系数的和与差 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】令7()(12)f x x =+，用赋值法，令1x =，得()77012345671232187a a a a a a a a +=+++++++== ⑴令1x =-，()701234567121a a a a a a a a -=+++++++=- ⑵ ⑴+⑵，得02462222218712186a a a a +++=-= 即02461093a a a a +++=．【例19】 若423401234(2x a a x a x a x a x +=++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为（ ）．A ．1B ．1-C ．0D ．2【考点】赋值求某些项系数的和与差 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无【解析】令4()(2f x x =+，所求的为44(1)(1)2)2)1f f -==，选A ． 【答案】A ；【例20】 若1002100012100(12)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，则13599a a a a ++++=（ ）A ．1001(31)2-B ．1001(31)2+C ．1001(51)2-D ．1001(51)2+【考点】赋值求某些项系数的和与差 【难度】3星 【题型】选择【解析】令100()(12)f x x =+，所求为10011((2)(0))(51)22f f -=-，选C ．【答案】C ；【例21】 已知()77012712x a a x a x a x -=++++，求：⑴ 1237a a a a ++++；⑵ 1357a a a a +++； ⑶ 0246a a a a +++．【考点】赋值求某些项系数的和与差 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】⑴ 取0x =可得01a =，取1x =得()701711a a a +++=-=-∴12372a a a a ++++=-．⑵ 取1x =-得70123673a a a a a a -+-++-=，记0246A a a a a =+++，1357B a a a a =+++． ∴713A B A B +=--=，．可得()()771131109313109422A B =-==-+=-，从而13571094a a a a +++=-．⑶ 从⑵的计算已知02461093a a a a +++=．【例22】 若()1002310001231002a a x a x a x a x =+++++，求()()22024********a a a a a a a a ++++-++++的值．【考点】赋值求某些项系数的和与差 【难度】3 【题型】解答【解析】略【答案】令1x =得()(100012341002a a a a a a ++++++=，令1x =-得()(100012345991002a a a a a a a a -+-+-+-+=+，()()22024********a a a a a a a a ++++-++++=()()0123410001234599100a a a a a a a a a a a a a a ++++++-+-+-+-+=(1002(1002=1【例23】 若55432543210(2)x a x a x a x a x a x a -=+++++，则12345a a a a a ++++=________．（用数字作答）【考点】赋值求某些项系数的和与差 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】令0x =得50(2)32a -=-=，令1x =得0151a a a +++=-，∴1234531a a a a a ++++=．【答案】31；【例24】 若201(1)(1)(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x ++++++=+-+-，则01n a a a ++= ．【考点】赋值求某些项系数的和与差 【难度】3 【题型】填空 【关键字】无【解析】注意原式的展开特点，令2x =，即可得013(31)2n n a a a ++=-．【答案】013(31)2n n a a a ++=-【例25】 若()2009200901200912x a a x a x -=+++，则20091222009222a a a +++的值为（ ） A ．0 B ．2C ．1-D ．2-【考点】赋值求某些项系数的和与差 【难度】3 【题型】选择【关键字】2009年，陕西高考 【解析】在二项式展开式中令12x =，得2009120220090222a a a a =++++， 于是200912022009222a a a a +++=-，而01a =，故200912220091222a a a+++=-．【答案】C ；【例26】 已知23*0123(1)(1)(1)(1)(1)(2,)n n n x a a x a x a x a x n n +=+-+-+-++-∈N ≥．⑴当5n =时，求012345a a a a a a +++++的值；⑵设22343,2n n n n ab T b b b b -==++++． 试用数学归纳法证明：当2n ≥时，(1)(1)3n n n n T +-=．【考点】赋值求某些项系数的和与差 【难度】4 【题型】解答【关键字】2009年，南京1模 【解析】略【答案】⑴当5n =时，原等式变为5250125(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-．令2x =得50153243a a a +++==．⑵因为(1)[2(1)]n n x x +=+-，所以222C 2n n a -=⋅． 所以2232C (1)2n n n ab n n -===-（2n ≥）． ①当2n =时，左边2122T b b ==+=，右边2(21)(21)23+-==，左边=右边，等式成立．②假设当*(2,)n k k k =∈N ≥时，等式成立，即(1)(1)3k k k k T +-=，那么，当1n k =+时， 左边1(1(3k k k k k T b k k ++-=+=+++-1(3k k k -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(3k ++==右边．故当1n k =+时，等式成立． 综合①②，当2n ≥时，(1)(1)3n n n n T +-=．【例27】 请先阅读：在等式2cos 22cos 1()x x x =-∈R 的两边求导得2(cos2)(2cos 1)x x ''=-，由求导法则得(sin 2)24cos (sin )x x x -⋅=⋅-，化简得sin22sin cos x x x =．⑴利用上述想法（或其他方法），结合等式012211(1)C C C C C n n n n nn n n n n x x x x x --+=+++⋅⋅⋅++（x ∈R ，整数2n ≥），证明：112[(1)1]C nn k k n k n x k x--=+-=∑； ⑵对于整数3n ≥，求证：1(1)C 0nk k n k k =-=∑．⑶对于整数3n ≥，求证①21(1)C 0nkknk k =-=∑；②10121C 11n nk n k k n +=-=++∑． 【考点】赋值求某些项系数的和与差 【难度】4 【题型】解答【关键字】2008年，江苏高考 【解析】略【答案】⑴在等式012211(1)C C C C C n n n n nn n n n n x x x xx --+=+++⋅⋅⋅++两边对x 求导，得 112121(1)C 2C (1)C C n n n n n n n n n n x x n x n x----+=++⋅⋅⋅+-+． 移项得112(1)1C nn k k n k n x k x --=⎡⎤+-=⎣⎦∑（*） ⑵在（*）式中，令1x =-得，12(1)C nk knk n k -=-=-∑，2(1)C 0nk k n k k n =--=∑，整理得1(1)C 0nk k n k k =-=∑．⑶①由⑴知112121(1)C 2C (1)C C n n n n n n n n n n x x n x n x ----+=++⋅⋅⋅+-+，3n ≥． 两边对x 求导，得2232(1)(1)2C 32C (1)C n n n n n n n n x x n n x---+=+⋅+⋅⋅⋅+-． 在上式中，令1x =-，得2322C 32C (1)(1)C (1)0n n n n n n n -+⋅-+⋅⋅⋅+--=， 即21(1)C (1)0nkk nk k k -=--=∑，亦即21(1)()C 0nk kn k k k =--=∑．又由⑵知1(1)C 0n kknk k =-=∑，上面两式相加，得21(1)C 0nk kn k k =-=∑．②将等式012211(1)C C C C C n n n n nn n n n n x x x xx --+=+++⋅⋅⋅++两边在[01]，上对x 积分， 110122110(1)d (C C C C C )d n n n n nn n n n n x x x x xx x --+=+++⋅⋅⋅++⎰⎰． 由微积分基本定理，得11011C 1(1)0011k n n k n k x x n k ++=⎛⎫+= ⎪++⎝⎭∑， 故10121C 11n nkn k k n +=-=++∑．【例28】 证明：220C (1)2nk n n k k nn -==+∑． 【考点】赋值求某些项系数的和与差 【难度】2 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】由二项式定理知：0(1)C nk k nn k x x ==+∑．等式两边对x 求2次导数得：22()(1)(1)C nk k n n k k k x n n x -=-=-+∑ 令1x =，则：220()(1)2C nk n n k k k n n -=-=-∑． 整理得220C (1)2nk n n k k nn -==+∑．【例29】 证明：n nkn k n k k n n +=--=++++∑20123C (1)(2)(1)(2)．【考点】赋值求某些项系数的和与差 【难度】3 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】由二项式定理知：0(1)nk k C k nn x x ==+∑．等式两边对x 积分得：1111(1)101C (1)(1)nk k n nk x x k n n ++=+=++++∑． 再次积分：221(1)101C (1)(2)(1)(2)(1)(2)n nk k n k x x x k k n n n n n ++=+++=+++++++∑． 令1x =，整理，得证．【例30】 求证：121C 2C C 2n n n n n n n -+++=⋅ 【考点】赋值求某些项系数的和与差 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】因为122(1)1n nn x C x C x +=+++...n n n C x +，等式两边取关于x 的导数，得 11232(1)23n n n n n x C C x C x -+=+++......1k k n kC x -++ (1)n n n nC x -+． 令1x =，得12323nn n C C C +++…k n kC ++…12nn n nC n -+=⋅【例31】 求51x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式．【考点】赋值求某些项系数的和与差 【难度】3 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】这里a x =，1b x=，5n =，直接代公式． 5234505142332415555555111111C C C C C C x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭53351051510x x x x x x=+++++．【例32】 设5432()5101051f x x x x x x =-+-++，则1()f x -等于（ ）A ． 1B ．1C ．1D ．1【考点】赋值求某些项系数的和与差 【难度】3 【题型】选择 【关键字】无【解析】5()(1)2f x x =-+，因此1()1f x -=C ． 【答案】C ；【例33】 设2a i =+，求11212121212121A C a C a C a =-+-+【考点】赋值求某些项系数的和与差 【难度】3 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】1222112121212121212121(1)(12)(1)(2)64A C a C a C a a i i i =-+-+=-=--=--==-．【例34】 已知数列0123a a a a ，，，，（00≠a ）满足：112(123)i i i a a a i -++==，，，求证：对于任意正整数n，01111011()(1)(1)(1)C C C C n n n n n nn n n n n n f x a x a x x a x x a x ----=-+-++-+ 是一次多项式或零次多项式．【考点】赋值求某些项系数的和与差 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】由已知条件知数列{}n a 是等差数列，设公差为d ．则0k a a kd k =+∈N ，．于是：01111011()(1)(1)(1)C C C C n n n n n nn n n n n n f x a x a x x a x x a x ----=-+-++-+011110000(1)()(1)((1))(1)()C C C C n n n n n nn n n n a x a d x x a n d x x a nd x ---=-++-+++--++011112220[(1)(1)][(1)2(1)]C C C C C C n n n n n n n nn n n n n n a x x x x d x x d x x nd x ---=-+-+++-+-++01[(1)](1)C nnk k n kn k a x x kd x x -==-++-∑ 01(1)C nk k n kn k a kd x x -==+-∑ 而11!(1)!!()!(1)!()!C C k k n n n n k k n n k n k k n k ---=⋅=⋅=---，所以1011()(1)C nk k n kn k f x a nd x x ---==+-∑ 11(1)(1)011(1)C nk k n k n k a ndx xx ------==+-∑ 10[(1)]n a ndx x x -=+-+0a ndx =+因此()f x 是一次多项式或零次多项式．【例35】 若0()C ni i n i f m m ==∑，则22log (3)log (1)f f 等于（ ）A ．2B ．12C ．1D ．3 【考点】赋值求某些项系数的和与差 【难度】3 【题型】选择 【关键字】无【解析】∵0()C nii ni f m m ==∑，∴0(3)3C (13)4nii nnni f ===+=∑，0(1)1C 2ni i n n i f ===∑．2222log (3)log 42log (1)log 2nnf f ==，故应选A ．【答案】A ；。
人教课标版高中数学选修2-3《二项式定理(第2课时)》教案-新版
1.3 二项式定理第二课时一、教学目标1．核心素养通过二项式定理的推导过程的学习，提高学生的归纳推理能力，树立由特殊到一般的数学思想增强了学生的逻辑推理能力.2．学习目标二项式展开式的项数、指数、系数特点及其应用.3．学习重点二项式展开式的项数、指数、系数特点及其应用.4．学习难点二项式定理和二项式系数性质的应用.二、教学设计（一）课前设计1．预习自测1.错误！未找到引用源。
的展开式中，常数项为错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
（）A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
解：D2.错误！未找到引用源。
的展开式中常数项为．（用数字作答）解：-423.若错误！未找到引用源。
的二项展开式中错误！未找到引用源。
的系数为错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
．解：2（二）课堂设计1．知识回顾1．二项式定理及其特例：（1）错误！未找到引用源。
，（2）错误！未找到引用源。
2．二项展开式的通项公式：错误！未找到引用源。
3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对错误！未找到引用源。
的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性2．问题探究问题探究一●活动一认知杨辉三角在n(+展开式中，当n＝1，2，3，…时，各项的二项式系数是怎样的？a)b()1ba+()2ba+()3ba+()4ba+()5ba+()6ba+仔细观察，你能发现什么规律？“杨辉三角”为什么会有这些规律呢？二项式系数表（杨辉三角）错误！未找到引用源。
展开式的二项式系数，当错误！未找到引用源。
依次取错误！未找到引用源。
…时，二项式系数表，表中每行两端都是错误！未找到引用源。
，除错误！未找到引用源。
以外的每一个数都等于它肩上两个数的和●活动二函数观点认知二项式系数设函数()r n Crf=的函数图象，观察f=，这个函数的定义域是怎样的？试以n＝6为例作出()r n Cr函数图像，你能说出它的哪些性质？错误！未找到引用源。
高中高三数学《二项式定理》教案、教学设计
（二）讲授新知，500字
在讲授新知环节，我会按照以下步骤进行：
1.详细讲解二项式定理的基本形式，让学生理解二项式定理的构成要素。
2.通过几何图形和具体实例，引导学生探究二项式定理的推导过程，强调组合数公式的运用。
-例如：请简述二项式定理的推导过程，以及你在学习过程中遇到的问题和解决方法。
-要求：学生认真撰写，培养学生的学习反思能力。
5.课外阅读题：推荐学生阅读与二项式定理相关的数学历史资料，了解数学家们在二项式定理研究过程中的贡献。
-例如：阅读《数学家与二项式定理》的相关文章，了解二项式定理的发现和发展过程。
3.二项式定理在解决实际问题中的应用。
4.二项式定理与其他数学知识的联系。
在整个教学内容与过程中，我注重启发式教学，关注学生的主体地位，充分调动学生的积极性，提高学生的数学素养。
五、作业布置
为了巩固学生对二项式定理的理解和应用，确保学生能够熟练掌握本章节的知识点，我设计了以下几类作业：
1.基础知识巩固题：选取一些典型的题目，要求学生运用二项式定理的基本形式进行计算，巩固二项式系数的计算方法。
-例如：计算(x+y)^5展开式中x^3y^2的系数。
-要求：学生独立完成，注重解题过程的规范性和准确性。
2.应用题：设计一些实际问题，让学生运用二项式定理解决，提高学生分析问题和解决问题的能力。
-例如：一个袋子里有5个红球和5个蓝球，随机取出3个球，求取出2个红球和1个蓝球的概率。
-要求：学生通过小组合作完成，培养学生的团队协作能力。
4.教学策略：
二项式定理教学设计教案
二项式定理教学设计教案一、教学目标1. 让学生理解二项式定理的定义和背景。
2. 引导学生掌握二项式定理的证明过程。
3. 培养学生运用二项式定理解决实际问题的能力。
4. 提高学生对数学公式和定理的记忆和运用。
二、教学内容1. 二项式定理的定义及公式。
2. 二项式定理的证明。
3. 二项式定理的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：二项式定理的定义、公式及应用。
2. 教学难点：二项式定理的证明过程。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解二项式定理的定义、公式及证明。
2. 通过例题演示二项式定理的应用。
3. 引导学生进行小组讨论，培养合作精神。
4. 利用多媒体辅助教学，提高学生的学习兴趣。
五、教学过程1. 导入新课：回顾一元二次方程的解法，引导学生思考如何快速求解特定类型的一元二次方程。
2. 讲解二项式定理：介绍二项式定理的定义、公式及背景，讲解公式中的各项系数和指数的含义。
3. 证明二项式定理：引导学生跟随证明过程，理解二项式定理的推导过程。
4. 应用二项式定理：通过例题展示二项式定理在实际问题中的应用，引导学生学会运用定理解决问题。
5. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学内容。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对二项式定理的理解程度。
2. 练习批改：及时批改课后练习，了解学生对知识的掌握情况。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解合作能力和思维过程。
七、课后作业1. 复习二项式定理的定义、公式及证明过程。
2. 完成课后练习题，包括简单应用和综合应用题。
3. 收集有关二项式定理的实际应用案例，进行拓展学习。
八、教学反思1. 反思教学内容：检查教学内容是否全面、深入，是否符合学生的实际需求。
2. 反思教学方法：根据学生的反馈，调整教学方法，提高教学效果。
3. 反思教学效果：分析学生的学习情况，找出不足之处，为下一步教学提供改进方向。
九、课程拓展1. 引导学生关注二项式定理在实际生活中的应用，如概率计算、数据处理等。
二项式定理赋值法求各项系数的和复习过程
二项式定理赋值法求各项系数的和复习过程首先，我们来回顾一下二项式定理的表达式。
在代数中，二项式定理可以表示为：(a+b)^n=C(n,0)*a^n+C(n,1)*a^(n-1)*b+C(n,2)*a^(n-2)*b^2+...+C(n,n-1)*a*b^(n-1)+C(n,n)*b^n其中，a和b是实数或复数常数，n是非负整数，C(n,k)表示组合数，表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
接下来，我们将通过赋值法来复习二项式定理。
假设我们要计算表达式(x+y)^3的展开式中各项系数的和。
首先，我们将x和y赋值给a和b，即a=x，b=y。
然后，我们将n的值设置为3，表示幂的最高次数。
根据二项式定理，我们可以展开表达式(x+y)^3为：(x+y)^3=C(3,0)*x^3+C(3,1)*x^2*y+C(3,2)*x*y^2+C(3,3)*y^3现在，让我们逐项计算这些项的系数。
首先，我们计算C(3,0)，表示从3个元素中选择0个元素的组合数。
根据组合数的定义，C(3,0)等于1所以，第一项的系数为：1*x^3=x^3接下来，我们计算C(3,1)，表示从3个元素中选择1个元素的组合数。
根据组合数的定义，C(3,1)等于3所以，第二项的系数为：3*x^2*y=3x^2y然后，我们计算C(3,2)，表示从3个元素中选择2个元素的组合数。
根据组合数的定义，C(3,2)等于3所以，第三项的系数为：3 * x * y^2 = 3xy^2最后，我们计算C(3,3)，表示从3个元素中选择3个元素的组合数。
根据组合数的定义，C(3,3)等于1所以，第四项的系数为：1*y^3=y^3现在，让我们将这些项的系数相加，求得展开式中各项系数的和：x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3从这个例子中，我们可以看出，展开式中各项系数的和等于原始表达式的幂次数加1通过赋值法复习二项式定理，我们可以更好地理解二项式定理的运用。
高中数学赋值法解决二项式展开系数和问题
高中数学赋值法解决二项式展开系数和问题
赋值法是给代数式（或方程或函数表达式）中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解
决问题的目的。
实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，在高考题中屡见不鲜，特别
是在二项式定理中的应用尤为明显。
二项式定理在高考中一般以小题形式出现，分值为5分，常考
的题型为求二项式某一项的系数或者系数和的问题。
今天我们主要讲下怎么利用赋值法求二项展
开式系数和的问题。
一
基础知识
1. 含变量的恒等式：是指无论变量在已知范围内取何值，均可使等式成立。
所以通常可对变
量赋予特殊值得到一些特殊的等式或性质
2. 二项式展开式与原二项式呈恒等关系，所以可通过对变量赋特殊值得到有关系数（或二项
式系数）的等式
3. 常用赋值举例：
二
典型例题
三
变式训练
四
总结。
高二数学二项式定理知识精讲
高二数学二项式定理【本讲主要内容】二项式定理二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数的性质、二项式系数和【知识掌握】 【知识点精析】1. 二项式定理及其特例： （1）（2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++2. 二项展开式的通项公式：1r n r rr n T C a b -+=3.杨辉三角：()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。
4. 二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C 。
rn C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（证明：m n m n n C C -=）。
直线2nr =是图象的对称轴。
（2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2n nC 取得最大值； 当n 是奇数时，中间两项12n nC-，12n nC+取得最大值。
（3）二项式系数和：0122n r nn n n n n C C C C C =++++++证明：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++，令1x =，则0122n r nn n n n n C C C C C =++++++（4）在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明：在展开式01()()n n nr n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈中，令1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n nnn n n n C C C C C -=-+-++-，即02130()()n n n n C C C C =++-++，∴0213n n n n C C C C ++=++，即在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。
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二项式定理赋值法求各项系数的和
二项式定理赋值法求各项系数的和
例2．已知7270127(12)
x a a x a x a x -=++++L ，求： （1）127a a a +++L ； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++L .
解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为
0127a a a a ++++L
∴0
127a a a a ++++L 1=-， 当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-L ，
（2）令1x =， 0
127a a a a ++++L 1=- ① 令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②
①-② 得：713572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7
132
+-. （3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正，
∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+，
∴ 70246132
a a a a -++++=， ∴017||||||a a a +++=L 01234567a a a a a a a a -+-+-+-
702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=
例6． 设
()()()()231111n x x x x ++++++++=L 2012n n a a x a x a x ++++L ， 当012254n a a a a ++++=L 时，求n 的值
解：令1x =得：
230122222n
n a a a a ++++=++++L L 2(21)25421n -==-， ∴2128,7n n ==，
点评：对于
101()()()n n n f x a x a a x a a -=-+-++L ，令1,x a -=即1x a =+可得各项系数的和012n a a a a ++++L 的值；令1,x a -=-即1x a =-，可得奇数项系数和与偶数项和的关系
例8．在10)32(y x -的展开式中,求:
①二项式系数的和;
②各项系数的和;
③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;
④奇数项系数和与偶数项系数和;
⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.
分析:因为二项式系数特指组合数r n C ,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式y x 32-中的系数无关.
解：设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=-Λ(*),
各项系数和即为1010a a a +++Λ,奇数项系数和为0210a a a +++L ,偶数项系数和为
9531a a a a ++++Λ,x 的奇次项系数和为9531a a a a ++++Λ,x 的偶次项系数和
10420a a a a ++++Λ.
由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.
①二项式系数和为101010110010
2=+++C C C Λ. ②令1==y x ,各项系数和为1)1()32(1010=-=-.
③奇数项的二项式系数和为91010210010
2=+++C C C Λ, 偶数项的二项式系数和为9910310110
2=+++C C C Λ. ④设10102829110010)
32(y a y x a y x a x a y x ++++=-Λ, 令1==y x ,得到110210=++++a a a a Λ…(1),
令1=x ,1-=y (或1-=x ,1=y )得101032105=++-+-a a a a a Λ (2)
(1)+(2)得10102051)(2+=+++a a a Λ, ∴奇数项的系数和为2
5110+;
(1)-(2)得1093151)(2-=+++a a a Λ, ∴偶数项的系数和为25
110-.
⑤x 的奇次项系数和为25
1109531-=++++a a a a Λ;
x 的偶次项系数和为2
511010420+=++++a a a a Λ. 点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一
例7．求证：1231232n n n n n n C C C nC n -++++=⋅L ．
证（法一）倒序相加：设S
=12323n n n n n C C C nC ++++L ① 又∵S
=1221(1)(2)2n n n n n n n n nC n C n C C C --+-+-+++L ② ∵r n r n n C C -=，∴011,,n n n n n n C C C C -==L ，
由①+②得：()0122n n n n n S
n C C C C =++++L ， ∴11222
n n S n n -=⋅⋅=⋅，即1231232n n n n n n C C C nC n -++++=⋅L ． （法二）：左边各组合数的通项为
r n rC 11!(1)!!()!(1)!()!r n n n n r nC r n r r n r --⋅-=⋅
==---， ∴ ()1230121112123n n n
n n n n n n n C C C nC n C C C C -----++++=++++L L 12n n -=⋅
1．设()()()()()591413
011314132111x x a x a x a x a -+=+++++++L 求：① 0114a a a +++L ②1313a a a +++L ．答案：①9319683=；
②()953399632+=
2．多项式12233()(1)(1)(1)(1)n n n n n n f x C x C x C x C x =-+-+-++-L （6n >）的展开式中，6x 的系数为
3．在(1)n x +的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则2(1)n x -等于（ ）
A.0
B.
pq C.22p q + D.22p q -。