二项式定理赋值法求各项系数的和教学提纲
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二项式定理赋值法求各项系数的和
二项式定理赋值法求各项系数的和
例2.已知7270127(12)
x a a x a x a x -=++++L ,求: (1)127a a a +++L ; (2)1357a a a a +++; (3)017||||||a a a +++L .
解:(1)当1x =时,77(12)(12)1x -=-=-,展开式右边为
0127a a a a ++++L
∴0
127a a a a ++++L 1=-, 当0x =时,01a =,∴127112a a a +++=--=-L ,
(2)令1x =, 0
127a a a a ++++L 1=- ① 令1x =-,7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②
①-② 得:713572()13a a a a +++=--,∴ 1357a a a a +++=7
132
+-. (3)由展开式知:1357,,,a a a a 均为负,0248,,,a a a a 均为正,
∴由(2)中①+② 得:702462()13a a a a +++=-+,
∴ 70246132
a a a a -++++=, ∴017||||||a a a +++=L 01234567a a a a a a a a -+-+-+-
702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=
例6. 设
()()()()231111n x x x x ++++++++=L 2012n n a a x a x a x ++++L , 当012254n a a a a ++++=L 时,求n 的值
解:令1x =得:
230122222n
n a a a a ++++=++++L L 2(21)25421n -==-, ∴2128,7n n ==,
点评:对于
101()()()n n n f x a x a a x a a -=-+-++L ,令1,x a -=即1x a =+可得各项系数的和012n a a a a ++++L 的值;令1,x a -=-即1x a =-,可得奇数项系数和与偶数项和的关系
例8.在10)32(y x -的展开式中,求:
①二项式系数的和;
②各项系数的和;
③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;
④奇数项系数和与偶数项系数和;
⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.
分析:因为二项式系数特指组合数r n C ,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式y x 32-中的系数无关.
解:设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=-Λ(*),
各项系数和即为1010a a a +++Λ,奇数项系数和为0210a a a +++L ,偶数项系数和为
9531a a a a ++++Λ,x 的奇次项系数和为9531a a a a ++++Λ,x 的偶次项系数和
10420a a a a ++++Λ.
由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.
①二项式系数和为101010110010
2=+++C C C Λ. ②令1==y x ,各项系数和为1)1()32(1010=-=-.
③奇数项的二项式系数和为91010210010
2=+++C C C Λ, 偶数项的二项式系数和为9910310110
2=+++C C C Λ. ④设10102829110010)
32(y a y x a y x a x a y x ++++=-Λ, 令1==y x ,得到110210=++++a a a a Λ…(1),
令1=x ,1-=y (或1-=x ,1=y )得101032105=++-+-a a a a a Λ (2)
(1)+(2)得10102051)(2+=+++a a a Λ, ∴奇数项的系数和为2
5110+;
(1)-(2)得1093151)(2-=+++a a a Λ, ∴偶数项的系数和为25
110-.
⑤x 的奇次项系数和为25
1109531-=++++a a a a Λ;
x 的偶次项系数和为2
511010420+=++++a a a a Λ. 点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一
例7.求证:1231232n n n n n n C C C nC n -++++=⋅L .
证(法一)倒序相加:设S
=12323n n n n n C C C nC ++++L ① 又∵S
=1221(1)(2)2n n n n n n n n nC n C n C C C --+-+-+++L ② ∵r n r n n C C -=,∴011,,n n n n n n C C C C -==L ,
由①+②得:()0122n n n n n S
n C C C C =++++L , ∴11222
n n S n n -=⋅⋅=⋅,即1231232n n n n n n C C C nC n -++++=⋅L . (法二):左边各组合数的通项为
r n rC 11!(1)!!()!(1)!()!r n n n n r nC r n r r n r --⋅-=⋅
==---, ∴ ()1230121112123n n n
n n n n n n n C C C nC n C C C C -----++++=++++L L 12n n -=⋅
1.设()()()()()591413
011314132111x x a x a x a x a -+=+++++++L 求:① 0114a a a +++L ②1313a a a +++L .答案:①9319683=;
②()953399632+=
2.多项式12233()(1)(1)(1)(1)n n n n n n f x C x C x C x C x =-+-+-++-L (6n >)的展开式中,6x 的系数为
3.在(1)n x +的展开式中,奇数项之和为p ,偶数项之和为q ,则2(1)n x -等于( )
A.0
B.
pq C.22p q + D.22p q -