计算物理习题

第一章绪论

1. 什么是计算物理？计算物理与计算数学有何不同？

答：计算物理学是以计算机及计算机技术为工具和手段，运用计算数学的方法解决复杂物理问题的一门应用科学。计算物理是用计算机作为实现手段的实验物理或“计算机实验”，计算数学则是解决物理问题的理论基础。

2. 试阐述计算机模拟方法与理论、实验方法相比有什么特殊的优点和局限性。

答：优点：1.省时省钱

2.具有更大的自由度和灵活性

3.能够模拟极端条件下的实验

缺点：1、不能获得物理定律和理论公式

2、计算结果缺乏严格的论证，其结果仍需实验验证

3. 试阐述计算物理学和实验物理及理论物理的关系？计算物理在物理学研究中

主要用于什么方面？

答：

计算物理在物理学研究中主要用于模拟实验并提供数据，用于验证理论方程还可以与实验结果对照或作为实验的参考数据。

4. 利用计算物理解决问题时，不同计算方法的选取会有什么影响？数值计算的

误差包括哪些方面？在计算中如何减小误差？

答：不同的方法选取会影响到计算的时间长短和计算结果的正确性。数值计算的误差包括：模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差。减小误差的方式有：1.两个相近的近似数相减时，有效数字会严重损失，实际计算时要尽量避免；2.保护重要的物理参量；3.注意计算步

骤的简化，减少算术运算的次数。

5.计算物理有哪些工作步骤？

答：1.物理机理，2.数学提法，3.离散模型，4.算法程序，5.上机计算，6.结果分析。

6. 离散化与逼近的含义是什么？收敛性与稳定性的含义。

答：离散化是为了能让计算机处理数据所做的必要步骤，逼近则是为了让结果尽量接近真值的方式。收敛性是指通过数值计算得到的近似解是否逼近数学模型的的真解这样一个性质，稳定性是指在数值计算中，误差的传播能否得到控制这样一个性质。

第二章随机数和蒙特卡洛方法

1. 随机数列的类型和产生方法？任意分布的伪随机变量的抽样方法有哪些?

答：随机数的类型有真随机数、准随机数、伪随机数，产生方法有：物理方法和数学方法。伪随机变量的抽样方法有：直接抽样法（反函数法）、变换抽样法、舍选抽样法、复合抽样法、特殊抽样法。

2. 采用线性同余法（参见公式(2.2.3)）产生伪随机数。取a=5，c=1，m=16和x0=1

记录下产生出的前20 数，它产生数列的周期是多少？

答：6、31、156、781、3906、19531、97655、

3. 简要叙述蒙特卡洛方法的基本思想。

答：针对待求问题，根据物理现象本身的统计规律，或人为构造一合适的依赖随机变量的概率模型，使某些随机变量的统计量为待求问题的解，进行大统计量N→∞的统计实验方法或计算机随机模拟方法。

4.蒙特卡洛方法对随机数有较高的要求，然而实际应用的随机数通常都是通过某些数学公式计算而产生的伪随机数，但是，只要伪随机数能够通过随机数的一系列的统计检验，我们就可以把它当作真随机数放心使用。在产生伪随机数的方法中，有比较经典的冯·诺曼平方取中法和线性同余法，请分别写出它们的递推关系式？对于伪随机数一般需要做哪些统计检验（至少写出四个）？

答：平方去中法：X n+1=[X n2/2r](mod22r) ξn=X n/22r

线性同余法：X i+1=a·X i+c (mod M) ξi+1=X i+1/M

伪随机数的统计检验：独立性检验和均匀性检验。

5.蒙特卡洛方法计算中减少方差的技术有哪些？

1.分层抽样，

2.重要抽样法，

3.控制变量法，

4.对偶变量法。

6. 若用蒙特卡罗算法计算定积分dx x ⎰102

，请给出其求解原理与计算步骤。 答：由于题目中的积分为一维标准积分，故直接使用一维积分掷点法，定义

在正方形内投掷N 个点，在落在曲线f(x)下的有M 个，则I ≈M/N 。

7. 简要叙述变分蒙特卡洛方法求解基态本征能量E0 和基态本征态波函数()x

ψ 基本原理，并以一维情况为例说明蒙特卡洛计算步骤。

答：见PPT 第二章蒙特卡洛变分量子方法。

第三四章 有限差分和有限元数值求解

1. 有限差分和有限元方法的基本思想是什么？比较有限差分和有限元方法。

答：基本思想：1.有限元法：基于变分原理，既通过求解一个泛函取极小值的变分问题；2.有限差分法：以变量离散取值后对应的函数值来近似微分方程中独立变量的连续取值。 二者都是数值求解微分方程的方法，有限元法比有限差分法的矩形网格划分方法在布局上更为合理，在处理复杂区域和复杂边界条件时更方便和适当，采用有限元素法还能使物理特性基本上被保持, 计算精度和收敛性进一步得到保证，但是并不是所有有限差分法可以处理的问题都能够用有限元法处理，即有限元法有一定的局限性。

2. 写出五点差分法的公式？

答：见PPT 第三章的矩形区域的泊松方程。

3. 简述有限元方法的一般步骤。

答：首先，推导出与给定边界条件的偏微分方程等价的泛函表示；

第二，把求解的区域用三角形元素划分为小的单元。然后对每个节点和三角形元素按照约定的规则分别进行编号。

第三，利用公式(5.2.14-15)和(5.2.18-21)，计算出各个三角形元素的系数矩阵(K)e 和(P)e 。 第四，将各个三角形单元的系数矩阵(K)e 和(P)e 装配成总矩阵(K)和(P)，形成有限元方程组，然后利用强加边界条件法对有限元方程组进行修正。

最后，利用超松弛迭代法求解有限元方程组，则得到域内各个节点上的函数ϕ值。

4. 分子运动方程常用的求解方法有哪些？

答：欧拉法、龙格-库塔法、辛普生法等。